Когато изчисляваме алгебрични полиноми, за да опростим изчисленията, използваме формули за съкратено умножение . Има общо седем такива формули. Всички те трябва да се знаят наизуст.

Също така трябва да се помни, че вместо a и b във формулите може да има както числа, така и всякакви други алгебрични полиноми.

Разлика на квадратите

Разликата на квадратите на две числа е равна на произведението на разликата на тези числа и тяхната сума.

a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

сума квадрат

Квадратът на сбора от две числа е равен на квадрата на първото число плюс два пъти произведението на първото число и второто плюс квадрата на второто число.

(а + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Имайте предвид, че с тази формула за намалено умножение е лесно да намери квадрати големи числа без използване на калкулатор или дълго умножение. Нека обясним с пример:

Намерете 112 2 .

Нека разложим 112 на сбора от числата, чиито квадрати помним добре.2
112 = 100 + 1

Записваме сбора на числата в скоби и поставяме квадрат над скобите.
112 2 = (100 + 12) 2

Нека използваме формулата за сбор на квадрат:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Не забравяйте, че формулата за квадратна сума е валидна и за всички алгебрични полиноми.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Внимание!!!

(a + b) 2 не е равно на a 2 + b 2

Квадрат на разликата

Квадратът на разликата между две числа е равен на квадрата на първото число минус два пъти произведението на първото и второто плюс квадрата на второто число.

(а - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Също така си струва да запомните една много полезна трансформация:

(a - b) 2 = (b - a) 2
Горната формула се доказва чрез просто разширяване на скобите:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2

сборен куб

Куб от сбора на две числа е равно на кубпървото число плюс три пъти квадрата на първото число и второто плюс три пъти произведението на първото и квадрата на второто плюс куба на второто.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Спомнянето на тази "ужасно" изглеждаща формула е доста просто.

Научете, че 3 е първо.

Двата полинома в средата имат коефициенти 3.

ATзапомнете, че всяко число на нулева степен е 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Лесно се вижда, че във формулата има намаляване на степента a и увеличаване на степента b. Можете да проверите това:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Внимание!!!

(a + b) 3 не е равно на a 3 + b 3

куб на разликата

Кубът на разликата между две числа е равен на куба на първото число минус три пъти квадрата на първото число и второто плюс три пъти произведението на първото число и квадрата на второто минус куба на второто .

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Тази формула се запомня като предишната, но само като се вземе предвид редуването на знаците "+" и "-". Първият член на 3 се предхожда от "+" (според правилата на математиката не го пишем). Това означава, че следващият член ще бъде предшестван от "-", след това отново от "+" и т.н.

(a - b) 3 = + а 3 - 3а 2б + 3ab 2 - b 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Сборът на кубовете ( Да не се бърка със сборния куб!)

Сборът от кубчета е равен на произведението от сбора на две числа и непълния квадрат на разликата.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)

Сборът на кубовете е произведението на две скоби.

Първата скоба е сумата от две числа.

Втората скоба е непълният квадрат на разликата на числата. Непълният квадрат на разликата се нарича израз:

A 2 - ab + b 2
Този квадрат е непълен, тъй като в средата вместо двойно произведениеобикновено произведение на числа.

Cube Difference (Да не се бърка с Difference Cube!!!)

Разликата на кубовете е равна на произведението на разликата на две числа по непълния квадрат на сбора.

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Бъдете внимателни, когато пишете знаци.Трябва да се помни, че всички формули по-горе се използват и отдясно наляво.

Лесен начин за запомняне на формули за съкратено умножение или... Триъгълник на Паскал.

Трудно ли е да запомните формулите за съкратено умножение? Случаят е лесен за помощ. Просто трябва да запомните как такива просто нещокато триъгълника на Паскал. Тогава ще помните тези формули винаги и навсякъде, или по-скоро не помните, а възстановявайте.

Какво представлява триъгълникът на Паскал? Този триъгълник се състои от коефициентите, които влизат в разширяването на всяка степен на бином от формата в полином.

Нека го разбием, например:

В този запис е лесно да запомните, че в началото има куб на първото, а в края - кубът на второто число. Но какво има по средата е трудно да се запомни. И дори фактът, че във всеки следващ термин степента на един фактор намалява през цялото време, а вторият се увеличава - лесно се забелязва и помни, ситуацията е по-трудна със запомнянето на коефициентите и знаците (плюс или минус?).

И така, първо коефициентите. Не е нужно да ги запаметявате! В полетата на тетрадката бързо рисуваме триъгълника на Паскал и ето ги – коефициентите, вече пред нас. Започваме да рисуваме с три, една отгоре, две отдолу, отдясно и отляво - да, вече се получава триъгълник:

Първият ред с единица е нула. След това идва първото, второто, третото и т.н. За да получите втория ред, трябва отново да зададете единици по краищата, а в центъра да запишете числото, получено чрез добавяне на двете числа над него:

Пишем третия ред: отново по ръбовете на единицата и отново, за да получите следващото числов нов ред добавете числата над него в предишния:

Както може би се досещате, във всеки ред получаваме коефициентите от разлагането на бином в полином:

Е, още по-лесно е да запомните знаците: първият е същият като в разширения бином (поставяме сумата - това означава плюс, разликата - това означава минус), а след това знаците се редуват!

Това е толкова полезно нещо - триъгълникът на Паскал. Наслади се!

Формули или правила за намалено умножение се използват в аритметиката или по-скоро в алгебрата за по-бърз процес на изчисляване на големи алгебрични изрази. Самите формули са извлечени от съществуващите правила в алгебрата за умножение на няколко полинома.

Използването на тези формули осигурява доста бързо решение на различни задачи по математика, а също така помага за опростяване на изрази. правила алгебрични трансформацииви позволяват да извършвате някои манипулации с изрази, след което можете да получите израза от лявата страна на равенството, което е от дясната страна, или да трансформирате правилната странаравно (за да получите израза от лявата страна след знака за равенство).

Удобно е да знаете формулите, използвани за съкратено умножение по памет, тъй като те често се използват при решаване на задачи и уравнения. Следват основните формули, включени в този списък, и името им.

сума квадрат

За да изчислите квадрата на сумата, трябва да намерите сумата, състояща се от квадрата на първия член, два пъти произведението на първия член и втория и квадрата на втория. Под формата на израз това правило се записва по следния начин: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Квадрат на разликата

За да изчислите квадрата на разликата, трябва да изчислите сумата, състояща се от квадрата на първото число, два пъти произведението на първото число по второто (взето от противоположен знак) и квадрата на второто число. Под формата на израз това правило изглежда така: (a - c)² \u003d a² - 2ac + c².

Разлика на квадратите

Формулата за разликата на две числа на квадрат е равна на произведението от сбора на тези числа и тяхната разлика. Под формата на израз това правило изглежда така: a² - c² \u003d (a + c) (a - c).

сборен куб

За да се изчисли кубът на сумата от два члена, е необходимо да се изчисли сумата, състояща се от куба на първия член, утроения продукт на квадрата на първия член и втория, тройния продукт на първия член и вторият на квадрат и кубът на втория член. Под формата на израз това правило изглежда така: (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Сбор от кубове

Според формулата тя е равна на произведението на сумата от тези членове и техния непълен квадрат на разликата. Под формата на израз това правило изглежда така: a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²).

Пример.Необходимо е да се изчисли обемът на фигурата, която се образува чрез добавяне на два куба. Известни са само величините на техните страни.

Ако стойностите на страните са малки, тогава е лесно да се извършат изчисления.

Ако дължините на страните са изразени в тромави числа, тогава в този случай е по-лесно да се приложи формулата "Сума от кубове", което значително ще опрости изчисленията.

куб на разликата

Изразът за кубичната разлика звучи така: като сбор от третата степен на първия член, утроете отрицателния продукт на квадрат на първия член по втория, утройте произведението на първия член на квадрата на втория , и отрицателния куб на втория член. Като математически изразразликовият куб изглежда така: (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Разлика на кубчета

Формулата за разликата на кубовете се различава от сумата на кубовете само с един знак. По този начин разликата на кубовете е формула, равно на произведениеторазликата на дадени числа от техния непълен квадрат на сбора. Под формата на математически израз разликата на кубчетата изглежда така: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).

Пример.Необходимо е да се изчисли обемът на фигурата, който ще остане след изваждане от обема на синия куб обемна фигура жълт цвят, което също е куб. Известен е само размерът на страната на малък и голям куб.

Ако стойностите на страните са малки, тогава изчисленията са доста прости. И ако дължините на страните са изразени в значителни числа, тогава си струва да използвате формула, озаглавена "Разлика на кубовете" (или "Разлика на куба"), което значително ще опрости изчисленията.

Формулите със съкратени изрази се използват много често на практика, така че е препоръчително да ги научите наизуст. До този момент ние ще служим вярно, което препоръчваме да разпечатаме и да държим пред очите си през цялото време:

Първите четири формули от съставената таблица с формули за съкратено умножение ви позволяват да поставите на квадрат и куб сумата или разликата на два израза. Петият е за кратко умножение на разликата и сбора на два израза. А шестата и седмата формула се използват за умножаване на сумата от два израза a и b по техния непълен квадрат на разликата (така се нарича изразът на формата a 2 −a b + b 2) и разликата на два израза a и b чрез непълния квадрат на тяхната сума (a 2 + a b+b 2 ) съответно.

Заслужава да се отбележи отделно, че всяко равенство в таблицата е идентичност. Това обяснява защо формулите за съкратено умножение се наричат ​​още идентичности за съкратено умножение.

При решаване на примери, особено в които се извършва факторизация на полином, FSU често се използва във формата с пренаредени лява и дясна част:

Последните три самоличности в таблицата имат свои имена. Извиква се формулата a 2 −b 2 =(a−b) (a+b). формула за разлика на квадратите, a 3 +b 3 =(a+b) (a 2 −a b+b 2) - формула за сбор от кубове, а a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+b 2) - формула за кубична разлика. Моля, имайте предвид, че не сме наименували съответните формули с пренаредени части от предишната FSU таблица.

Допълнителни формули

Не боли да добавите още няколко идентичности към таблицата със съкратени формули за умножение.

Обхват на формули за съкратено умножение (FSU) и примери

Основната цел на формулите за съкратено умножение (FSU) се обяснява с тяхното име, т.е. тя се състои в кратко умножение на изрази. Обхватът на FSO обаче е много по-широк и не се ограничава до кратко умножение. Нека изброим основните направления.

Несъмнено централно приложениеформули за съкратено умножение, открити при извършване на идентични трансформации на изрази. Най-често тези формули се използват в процеса опростяване на израза.

Пример.

Опростете израза 9·y−(1+3·y) 2 .

Решение.

В този израз повдигането на квадрат може да се извърши съкратено, имаме 9 y−(1+3 y) 2 =9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2). Остава само да отворим скобите и да дадем подобни условия: 9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9 y−1−6 y−9 y 2 =3 y−1−9 y 2.

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебен ред, в съдебни производства и/или въз основа на публични искания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо от съображения за сигурност, правоприлагане или други причини от обществен интерес.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

В предишния урок се занимавахме с факторизиране. Усвоихме два метода: изваждане на общия множител извън скоби и групиране. В този урок следният мощен метод: формули за съкратено умножение. AT съкращение- БСС.

Формулите за съкратено умножение (квадрат на сбор и разлика, куб на сбор и разлика, разлика на квадрати, сбор и разлика на кубове) са от съществено значение във всички клонове на математиката. Те се използват за опростяване на изрази, решаване на уравнения, умножаване на полиноми, съкращаване на дроби, решаване на интеграли и др. и т.н. Накратко, има всички основания да се занимаваме с тях. Разберете откъде идват, защо са необходими, как да ги запомните и как да ги приложите.

разбираме ли?)

Откъде идват формулите за съкратено умножение?

Равенства 6 и 7 не се записват по обичайния начин. Като обратното. Това е нарочно.) Всяко равенство работи както отляво надясно, така и отдясно наляво. В такъв запис е по-ясно откъде идва FSO.

Те са взети от умножението.) Например:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

Това е, без научни трикове. Просто умножаваме скобите и даваме подобни. Ето как се оказва всички формули за съкратено умножение. съкратеноумножение е защото в самите формули няма умножение на скоби и съкращаване на подобни. Намалено.) Резултатът се дава веднага.

FSU трябва да знае наизуст. Без първите трине можете да мечтаете за тройка, без останалото - за четири с пет.)

Защо се нуждаем от формули за съкратено умножение?

Има две причини да научите, дори да запомните тези формули. Първият - готовият отговор на машината драстично намалява броя на грешките. Но не е най-много главната причина. А ето и второто...

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.