Какъв е модулът на числото 2. Модул на числото (абсолютна стойност на числото), определения, примери, свойства

Модулът на числото е разстоянието от това число до нула на координатната права.

Модулът е обозначен със символа: | |.

Запис |6| четете като "модул на числото 6" или "модул на шест".
Запис |8| се чете "модул 8".

Модулът на положително число е равен на самото число. Например |2| = 2. Модулът на отрицателно число е равен на противоположното число<=>|-3| = 3. Модулът на нула е равен на нула, тоест |0| = 0. Модулите на противоположни числа са равни, т.е. |-a| = |a|.

За по-добро разбиране на темата: „модул на число“, предлагаме да използвате метода на асоцииране.

Нека си представим, че модулът на едно число е баня, а знакът минус е мръсотия.

Намирайки се под знака на модула (тоест в „ваната“), отрицателното число се „измива“ и излиза без знак „минус“ - чисто.

Във ваната могат да се "мият" (т.е. да стоят под знака на модула) и отрицателни, и положителни числа, и числото нула. Въпреки това, бидейки „чисти“ положителни числа, и нулата не променят знака си, когато напускат „ваната“ (т.е. от под знака на модула)!

Историята на модула на числото или 6 интересни факта за модула на числото

1. Думата "модул" идва от латинското име modulus, което в превод означава думата "мярка".
2. Този термин е въведен от ученика на Исак Нютон, английския математик и философ Роджър Коутс (1682 - 1716).
3. Големият немски физик, изобретател, математик и философ Готфрид Лайбниц в своите произведения и писания използва модулната функция, която той обозначава мод x.
4. Обозначението на модула е въведено през 1841 г. от немски математик
Карл Вайерщрас (1815 - 1897).
5. При изписване на модул той се обозначава със символа: | |.
6. Друга версия на термина "модул" е въведена през 1806 г. от французите
математик на име Жан Робърт Арган (1768-1822). Но не е така.
Математикът от началото на деветнадесети век Жан Робърт Арган (1768 - 1822)
и Августин Луи Коши (1789 - 1857) въвежда понятието "модул на комплексно число",
който се изучава в курса по висша математика.

Решаване на задачи по темата "Модул на числото"

Задача номер 1. Подредете изразите: -|12|, 0, 54, |-(-2)|, -17 във възходящ ред.

— | 12 | = — 12
| — (— 2) | = 2

17 < -12 < 0 < 2 < 54, что будет равносильно:
-17 < -|12| < 0 < | — (— 2) | < 54.

Отговор: -17< -|12| < 0 < | — (— 2) | < 54.

Задача номер 2. Необходимо е да се подредят изразите: -|-14|, -|30|, |-16|, -21, | -(-9) |
в низходящ ред.

Първо, нека отворим скобите и модулите:

— | — 14| = — 14
— |30| = -30
|-16| = 16
| -(-9) | = 9

16 > 9 > -14 > - 21 > - 30, което ще бъде еквивалентно на:
|-16| > | -(-9) | > — | — 14| > — 21 > — |30|.

Отговор: |-16| > | -(-9) | > - | — 14| > — 21 > — |30|

В тази статия ще анализираме подробно абсолютната стойност на число. Ще дадем различни дефиниции на модула на числото, ще въведем обозначения и ще дадем графични илюстрации. В този случай разглеждаме различни примери за намиране на модула на число по дефиниция. След това изброяваме и обосноваваме основните свойства на модула. В края на статията ще говорим за това как се определя и намира модулът на комплексно число.

Навигация в страницата.

Модул на числото - определение, запис и примери

Първо представяме обозначение на модула. Модулът на числото a ще бъде записан като , тоест отляво и отдясно на числото ще поставим вертикални линии, които образуват знака на модула. Нека дадем няколко примера. Например модул -7 може да бъде записан като ; модул 4,125 е написан като , а модулът е написан като .

Следващата дефиниция на модула се отнася до, и следователно, до, и до цели числа, и до рационални и ирационални числа, като съставни части на набора от реални числа. Ще говорим за модула на комплексно число в.

Определение.

Модул на aе или самото число a, ако a е положително число, или числото −a, обратното на числото a, ако a е отрицателно число, или 0, ако a=0 .

Озвучената дефиниция на модула на числото често се записва в следната форма , тази нотация означава, че ако a>0 , ако a=0 и ако a<0 .

Записът може да бъде представен в по-компактна форма . Тази нотация означава, че ако (a е по-голямо или равно на 0), и ако a<0 .

Има и запис . Тук случаят, когато a=0, трябва да бъде обяснен отделно. В този случай имаме , но −0=0 , тъй като нулата се счита за число, което е противоположно на себе си.

Да донесем примери за намиране на модула на числос дадено определение. Например, нека намерим модули на числата 15 и . Да започнем с намирането. Тъй като числото 15 е положително, неговият модул по дефиниция е равен на самото това число, т.е. Какъв е модулът на числото? Тъй като е отрицателно число, тогава неговият модул е равен на числото, противоположно на числото, тоест числото . По този начин, .

В заключение на този параграф даваме едно заключение, което е много удобно за прилагане на практика при намиране на модула на число. От дефиницията на модула на числото следва, че модулът на числото е равен на числото под знака на модула, независимо от неговия знак, и от примерите, разгледани по-горе, това се вижда много ясно. Изразеното твърдение обяснява защо се нарича и модулът на числото абсолютната стойност на числото. Така че модулът на числото и абсолютната стойност на числото са едно и също.

Модул на число като разстояние

Геометрично, модулът на числото може да се тълкува като разстояние. Да донесем определяне на модула на число по отношение на разстоянието.

Определение.

Модул на aе разстоянието от началото на координатната права до точката, съответстваща на числото a.

Това определение е в съответствие с определението за модула на число, дадено в първия параграф. Нека обясним тази точка. Разстоянието от началото до точката, съответстваща на положително число, е равно на това число. Нулата съответства на референтната точка, следователно разстоянието от референтната точка до точката с координата 0 е равно на нула (не е необходим нито един сегмент, нито сегмент, съставляващ каквато и да е част от единичен сегмент, за да се стигне от точка O до точката с координата 0). Разстоянието от началото до точка с отрицателна координата е равно на числото, противоположно на координатата на дадената точка, тъй като е равно на разстоянието от началото до точката, чиято координата е противоположното число.

Например, модулът на числото 9 е 9, тъй като разстоянието от началото до точката с координата 9 е девет. Да вземем друг пример. Точката с координата −3.25 е на разстояние 3.25 от точка O, така че .

Озвучената дефиниция на модула на числото е частен случай на определяне на модула на разликата на две числа.

Определение.

Модул на разликата на две числа a и b е равно на разстоянието между точките на координатната права с координати a и b .

Тоест, ако са дадени точки на координатната права A(a) и B(b), тогава разстоянието от точка A до точка B е равно на модула на разликата между числата a и b. Ако вземем точка O (референтна точка) като точка B, тогава ще получим дефиницията на модула на числото, дадено в началото на този параграф.

Определяне на модула на число чрез аритметичен квадратен корен

Понякога се среща определяне на модула чрез аритметичен квадратен корен.

Например, нека изчислим модулите на числата −30 и въз основа на това определение. Ние имаме . По същия начин изчисляваме модула на две трети: .

Дефиницията на модула на число от гледна точка на аритметичен квадратен корен също е в съответствие с дефиницията, дадена в първия параграф на тази статия. Нека го покажем. Нека a е положително число и нека −a е отрицателно. Тогава и , ако a=0 , тогава .

Свойства на модула

Модулът има редица характерни резултати - свойства на модула. Сега ще дадем основните и най-често използвани от тях. Когато обосноваваме тези свойства, ще разчитаме на дефиницията на модула на числото по отношение на разстоянието.

Нека започнем с най-очевидното свойство на модула − модул на число не може да бъде отрицателно число. В буквална форма това свойство има формата за всяко число a . Това свойство е много лесно за обосноваване: модулът на числото е разстоянието и разстоянието не може да бъде изразено като отрицателно число.

Да преминем към следващото свойство на модула. Модулът на числото е равен на нула тогава и само ако това число е нула. Модулът на нула е нула по дефиниция. Нулата съответства на началото, никоя друга точка от координатната линия не съответства на нула, тъй като всяко реално число е свързано с една точка от координатната линия. По същата причина всяко число, различно от нула, съответства на точка, различна от началото. И разстоянието от началото до всяка точка, различна от точката O, не е равно на нула, тъй като разстоянието между две точки е равно на нула тогава и само ако тези точки съвпадат. Горното разсъждение доказва, че само модулът на нула е равен на нула.

Продължа напред. Противоположните числа имат равни модули, т.е. за всяко число a . Действително две точки от координатната права, чиито координати са противоположни числа, са на едно и също разстояние от началото, което означава, че модулите на противоположни числа са равни.

Следващото свойство на модула е: модулът на произведението на две числа е равен на произведението на модулите на тези числа, това е, . По дефиниция модулът на произведението на числата a и b е или a b, ако , или −(a b), ако . От правилата за умножение на реални числа следва, че произведението на модулите на числата a и b е равно на a b , или −(a b) , ако , което доказва разглежданото свойство.

Модулът на частното при деление на a на b е равен на частното на делене на модула на a на модула на b, това е, . Нека обосновем това свойство на модула. Тъй като частното е равно на произведението, тогава . По силата на предишното свойство имаме . Остава само да използваме равенството , което е валидно поради определението на модула на числото.

Следното свойство на модула се записва като неравенство: , a , b и c са произволни реални числа. Написаното неравенство не е нищо повече от неравенство на триъгълник. За да стане ясно това, нека вземем точките A(a) , B(b) , C(c) на координатната права и разгледаме изродения триъгълник ABC, чиито върхове лежат на една и съща права. По дефиниция модулът на разликата е равен на дължината на отсечката AB, - дължината на отсечката AC и - дължината на отсечката CB. Тъй като дължината на никоя страна на триъгълник не надвишава сумата от дължините на другите две страни, неравенството , следователно неравенството също е в сила.

Току-що доказаното неравенство е много по-често срещано във формата . Написаното неравенство обикновено се разглежда като отделно свойство на модула с формулировката: „ Модулът на сбора на две числа не превишава сбора на модулите на тези числа". Но неравенството директно следва от неравенството , ако поставим −b вместо b в него и вземем c=0 .

Модул на комплексно число

Да дадем определяне на модула на комплексно число. Нека ни се даде комплексно число, записано в алгебрична форма , където x и y са някои реални числа, представляващи съответно реалната и имагинерната част на дадено комплексно число z, и е имагинерна единица.

Абсолютната стойност на число ае разстоянието от началото до точката НО(а).

За да разберем това определение, заместваме вместо променлива апроизволно число, например 3 и опитайте да го прочетете отново:

Абсолютната стойност на число 3 е разстоянието от началото до точката НО(3 ).

Става ясно, че модулът не е нищо повече от обичайното разстояние. Нека се опитаме да видим разстоянието от началото до точка A( 3 )

Разстоянието от началото на координатите до точка A( 3 ) е равно на 3 (три единици или три стъпки).

Модулът на числото се обозначава с две вертикални линии, например:

Модулът на числото 3 се означава по следния начин: |3|

Модулът на числото 4 се означава по следния начин: |4|

Модулът на числото 5 се означава по следния начин: |5|

Потърсихме модула на числото 3 и открихме, че е равно на 3. Затова пишем:

Чете се като: „Модулът на три е три“

Сега нека се опитаме да намерим модула на числото -3. Отново се връщаме към определението и заместваме числото -3 в него. Само вместо точка Аизползвайте нова точка б. точка Авече използвахме в първия пример.

Модулът на числото е 3 наричаме разстоянието от началото до точката б(—3 ).

Разстоянието от една точка до друга не може да бъде отрицателно. Следователно модулът на всяко отрицателно число, което е разстояние, също няма да бъде отрицателен. Модулът на числото -3 ще бъде числото 3. Разстоянието от началото до точката B(-3) също е равно на три единици:

Чете се като: „Модулът на число минус три е три“

Модулът на числото 0 е 0, тъй като точката с координата 0 съвпада с началото, т.е. разстояние от началото до точката О(0)е равно на нула:

„Модулът на нула е нула“

Правим изводи:

Модулът на числото не може да бъде отрицателен;
За положително число и нула модулът е равен на самото число, а за отрицателно - на противоположното число;
Противоположните числа имат равни модули.

Противоположни числа

Наричат се числа, които се различават само по знаци противоположност. Например числата −2 и 2 са противоположни. Те се различават само по знаци. Числото −2 има знак минус, а 2 има знак плюс, но ние не го виждаме, защото плюс, както казахме по-рано, традиционно не се пише.

Още примери за противоположни числа:

Противоположните числа имат равни модули. Например, нека намерим модули за −2 и 2

Фигурата показва, че разстоянието от началото до точките A(−2)и B(2)равно на две стъпки.

Хареса ли ви урока?
Присъединете се към нашата нова група Vkontakte и започнете да получавате известия за нови уроци

Инструкция

Ако модулът е представен като непрекъсната функция, тогава стойността на неговия аргумент може да бъде положителна или отрицателна: |х| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2);

Лесно е да се види, че събирането и изваждането на комплексни числа следват същото правило като събирането и .

Произведението на две комплексни числа е:

z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.

Тъй като i^2 = -1, крайният резултат е:

(x1*x2 - y1*y2) + i(x1*y2 + x2*y1).

Операциите за повишаване на степен и извличане на корен за комплексни числа се дефинират по същия начин, както за реалните. В комплексната област обаче за всяко число има точно n числа b, така че b^n = a, тоест n корена от n-та степен.

По-специално това означава, че всяко алгебрично уравнение от n-та степен в една променлива има точно n комплексни корена, някои от които могат да бъдат и .

Подобни видеа

източници:

Лекция "Комплексни числа" 2019г

Коренът е икона, която обозначава математическата операция за намиране на такова число, чието повдигане на степен, посочена преди знака за корен, трябва да даде числото, посочено под същия знак. Често за решаване на задачи, в които има корени, не е достатъчно само да се изчисли стойността. Трябва да извършим допълнителни операции, една от които е въвеждането на число, променлива или израз под знака на корена.

Инструкция

Определете показателя на корена. Индикаторът е цяло число, показващо степента, на която трябва да бъде повдигнат резултатът от изчисляването на корена, за да се получи коренният израз (числото, от което се извлича този корен). Показател на корена, определен като горен индекс преди иконата на корена. Ако това не е посочено, това е корен квадратен, чиято степен е две. Например коренният показател √3 е две, показателят ³√3 е три, коренният показател ⁴√3 е четири и т.н.

Увеличете числото, което искате да добавите под знака за корен, до степен, равна на показателя на този корен, който определихте в предишната стъпка. Например, ако трябва да въведете числото 5 под знака на корена ⁴√3, тогава показателят на корена е четири и се нуждаете от резултата от повишаване на 5 на четвърта степен 5⁴=625. Можете да направите това по всеки удобен за вас начин - наум, с помощта на калкулатор или съответните публикувани услуги.

Въведете стойността, получена в предишната стъпка, под знака за корен като множител на радикалния израз. За примера, използван в предишната стъпка с добавяне под корена ⁴√3 5 (5*⁴√3), това действие може да се извърши по следния начин: 5*⁴√3=⁴√(625*3).

Опростете получения радикален израз, ако е възможно. За примера от предишните стъпки това е, че просто трябва да умножите числата под знака за корен: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. Това завършва операцията по добавяне на число под корена.

Ако има неизвестни променливи в проблема, тогава описаните по-горе стъпки могат да бъдат извършени по общ начин. Например, ако искате да въведете неизвестна променлива x под корен от четвърта степен и коренният израз е 5/x³, тогава цялата последователност от действия може да бъде написана по следния начин: x*⁴√(5/x³)=⁴ √(x4*5/x³)= ⁴√(x*5).

източници:

как се нарича знакът за корен

Реалните числа не са достатъчни за решаване на всяко квадратно уравнение. Най-простото от квадратните уравнения, които нямат корен сред реални числа, е x^2+1=0. При решаването му се оказва, че x=±sqrt(-1) и според законите на елементарната алгебра извадете корена на четна степен от отрицателна числазабранено е.