Каква е сумата от два вектора? Как да изваждаме и добавяме вектори

Векторът е математически обект, който се характеризира с големина и посока (например ускорение, преместване), който се извлича от скалари, които нямат посока (например разстояние, енергия). Скаларите могат да се добавят чрез добавяне на техните стойности (например 5 kJ работа плюс 6 kJ работа се равняват на 11 kJ работа), но векторите не са толкова лесни за добавяне и изваждане.

стъпки

Събиране и изваждане на вектори с известни компоненти

Тъй като векторите имат величина и посока, те могат да бъдат разложени на компоненти въз основа на измеренията x, y и/или z. Те обикновено се означават по същия начин като точките в координатна система (напр.<х,у,z>). Ако компонентите са известни, тогава добавянето/изваждането на вектори е толкова просто, колкото добавянето/изваждането на x, y, z координати.

• Имайте предвид, че векторите могат да бъдат едномерни, двумерни или триизмерни. Така векторите могат да имат компонент "x", компоненти "x" и "y" или компоненти "x", "y", "z". 3D векторите са обсъдени по-долу, но процесът е подобен за 1D и 2D вектори.
• Да предположим, че са ви дадени два триизмерни вектора - вектор A и вектор B. Напишете тези вектори във векторна форма: A = и B = , където a1 и a2 са компонентите „x“, b1 и b2 са компонентите „y“, c1 и c2 са компонентите „z“.

1. За да добавите два вектора, добавете съответните им компоненти.С други думи, добавете x компонента на първия вектор към x компонента на втория вектор (и така нататък). В резултат на това ще получите компонентите x, y, z на резултантния вектор.

   • A+B = .
   • Нека съберем вектори A и B. A =<5, 9, -10>и B =<17, -3, -2>. A+B=<5+17, 9+-3, -10+-2>, или <22, 6, -12> .

2. За да извадите един вектор от друг, трябва да извадите съответните компоненти.Както ще бъде показано по-долу, изваждането може да бъде заменено чрез добавяне на един вектор и обратния вектор на друг. Ако компонентите на два вектора са известни, извадете съответните компоненти на единия вектор от компонентите на другия.

   • А-Б =
   • Извадете векторите A и B. A =<18, 5, 3>и B =<-10, 9, -10>. A - B =<18--10, 5-9, 3--10>, или <28, -4, 13> .

   Графично събиране и изваждане

   1. Тъй като векторите имат големина и посока, те имат начало и край (начална точка и крайна точка, разстоянието между които е равно на стойността на вектора). Когато векторът се показва графично, той се изчертава като стрелка, чийто връх е краят на вектора, а противоположната точка е началото на вектора.

      • Когато начертавате вектори, начертайте всички ъгли много точно; в противен случай ще получите грешен отговор.

   2. За да добавите вектори, начертайте ги така, че краят на всеки предишен вектор да е свързан с началото на следващия вектор. Ако добавяте само два вектора, тогава това е всичко, което трябва да направите, преди да намерите резултантния вектор.

      • Моля, обърнете внимание, че редът, в който са свързани векторите, не е важен, тоест вектор A + вектор B = вектор B + вектор A.

   3. За да извадите вектор, просто добавете обратния вектор, т.е. обърнете посоката на извадения вектор и след това свържете началото му с края на друг вектор. С други думи, за да извадите вектор, завъртете го на 180o (около началото) и го добавете към друг вектор.

      Ако добавите или извадите колко (повече от два) вектора, свържете техните краища и начала последователно. Редът, в който свързвате векторите, няма значение. Този метод може да се използва за произволен брой вектори.

   4. Начертайте нов вектор, като започнете от началото на първия вектор и завършите с края на последния вектор (броят на добавените вектори не е важен). Ще получите резултатен вектор, равен на сумата от всички добавени вектори. Обърнете внимание, че този вектор е същият като вектора, получен чрез добавяне на компонентите x, y и z на всички вектори.

      • Ако сте начертали дължините на векторите и ъглите между тях много точно, тогава можете да намерите стойността на резултантния вектор просто като измерите дължината му. Освен това можете да измерите ъгъла (между резултантния вектор и друг зададен вектор или хоризонтални/вертикални линии), за да намерите посоката на резултантния вектор.
      • Ако сте начертали дължините на векторите и ъглите между тях много точно, тогава можете да намерите стойността на резултантния вектор с помощта на тригонометрията, а именно синусовата теорема или косинусовата теорема. Ако добавяте множество вектори (повече от два), първо добавете два вектора, след това добавете получения вектор и третия вектор и т.н. Вижте следващия раздел за повече информация.

   5. Представете получения вектор, като посочите неговата стойност и посока.Както беше отбелязано по-горе, ако сте начертали много точно дължините на векторите, които се добавят, и ъглите между тях, тогава стойността на резултантния вектор е равна на неговата дължина, а посоката е ъгълът между него и вертикалната или хоризонталната линия . Към стойността на вектора не забравяйте да зададете мерните единици, в които са дадени векторите, които ще се добавят/изваждат.

      • Например, ако добавите вектори на скоростта, измерени в m/s, след това добавете „m/s“ към стойността на резултантния вектор и също така посочете ъгъла на резултантния вектор във формат „o спрямо хоризонталната линия“.

   Добавяне и изваждане на вектори чрез намиране на стойностите на техните компоненти

   1. За да намерите стойностите на векторните компоненти, трябва да знаете стойностите на самите вектори и тяхната посока (ъгъл спрямо хоризонтална или вертикална линия). Помислете за двумерен вектор. Направете го хипотенузата на правоъгълен триъгълник, тогава катетите (успоредни на осите X и Y) на този триъгълник ще бъдат компонентите на вектора. Тези компоненти могат да се разглеждат като два свързани вектора, които, когато се добавят заедно, дават оригиналния вектор.

      • Дължините (стойностите) на двата компонента (компонентите x и y) на оригиналния вектор могат да бъдат изчислени с помощта на тригонометрия. Ако "x" е стойността (модул) на оригиналния вектор, тогава векторният компонент, съседен на ъгъла на оригиналния вектор, е xcosθ, а векторният компонент, противоположен на ъгъла на оригиналния вектор, е xsinθ.
      • Важно е да се обърне внимание на посоката на компонентите. Ако компонентът е насочен срещу посоката на една от осите, тогава неговата стойност ще бъде отрицателна, например, ако в двумерна координатна равнина компонентът е насочен наляво или надолу.
      • Например, даден е вектор с модул (стойност) 3 и посока 135 o (спрямо хоризонталата). Тогава компонентът "x" е равен на 3cos 135 = -2,12, а компонентът "y" е равен на 3sin135 = 2,12.

   2. След като намерите компонентите на всички добавени вектори, просто добавете техните стойности и намерете стойностите на компонентите на получения вектор. Първо, добавете стойностите на всички хоризонтални компоненти (тоест компонентите, успоредни на оста X). След това добавете стойностите на всички вертикални компоненти (тоест компонентите, успоредни на оста Y). Ако стойността на даден компонент е отрицателна, тя се изважда, а не се добавя.

      • Например, нека добавим вектора<-2,12, 2,12>и вектор<5,78, -9>. Полученият вектор ще бъде като този<-2,12 + 5,78, 2,12-9>или<3,66, -6,88>.

   3. Изчислете дължината (стойността) на резултантния вектор, като използвате Питагоровата теорема: c 2 =a 2 +b 2 (тъй като триъгълникът, образуван от оригиналния вектор и неговите компоненти, е правоъгълен). В този случай краката са компонентите "x" и "y" на резултантния вектор, а хипотенузата е самият резултантен вектор.

      • Например, ако в нашия пример сте събрали силата, измерена в нютони, тогава напишете отговора, както следва: 7,79 N под ъгъл от -61,99 o (спрямо хоризонталната ос).
   • Не бъркайте векторите с техните модули (стойности).
   • Вектори, които имат една и съща посока, могат да се добавят или изваждат просто чрез добавяне или изваждане на техните стойности. Ако се добавят два противоположно насочени вектора, техните стойности се изваждат, а не се добавят.
   • Вектори, които са представени като x i+ y й+ z кможе да се добави или извади чрез просто добавяне или изваждане на съответните коефициенти. Също така запишете отговора във формата i,j,k.
   • Стойността на вектор в триизмерното пространство може да се намери с помощта на формулата a 2 =b 2 +c 2 +d 2, Където а- векторна стойност, б, в,И д- векторни компоненти.
   • Векторите на колони могат да се добавят/изваждат чрез добавяне/изваждане на съответните стойности във всеки ред.

X и гнаречен вектор zтакова, че z+y=x.

Опция 1.Началните точки на всички вектори съвпадат с началото на координатите.

Нека построим разликата на векторите и .

За да начертаете векторната разлика z=x-y, трябва да добавите вектора хс обратното на гвектор y". Противоположен вектор y"лесно се изгражда:

вектор y"е противоположен на вектора г, защото y+y"= 0, където 0 е нулев вектор с подходящ размер. След това се извършва векторно добавяне хИ y":

От израз (1) става ясно, че за да се конструира разликата между векторите, е достатъчно да се изчислят разликите в съответните координати на векторите хИ г.

Ориз. 1

На снимката Фиг. 1 в двумерното пространство е представена разликата на векторите х=(10.3) и г=(2,4).

Нека изчислим z=x-y=(10-3,3-4)=(7,-1). Нека сравним получения резултат с геометричната интерпретация. Наистина, след конструирането на вектора y"и успоредно движение на началната точка на вектора y"до крайната точка на вектора х, получаваме вектора y"", и след добавяне на вектори хИ y"", получаваме вектора z.

Вариант 2.Началните точки на векторите са произволни.

Ориз. 2

На снимката Фиг. 2 в двумерното пространство е представена разликата на векторите х=ABИ г=CD, Където А(1,0), Б(11,3), ° С(1,2), д(3.6). За изчисляване на вектора z=x-y, построен срещу вектора гвектор y":

След това трябва да добавите векторите хИ y". вектор y"се движи успоредно, така че точката ° С"съвпадна с точката Б. За целта се изчисляват разликите в координатите на точките БИ СЪС.

Нека $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$ са два вектора (фиг. 1, а).

Нека вземем произволна точка O и построим вектор $\overrightarrow(OA) = \overrightarrow(a)$ . След това от точка A начертаваме вектора $\overrightarrow(AB) = \overrightarrow(b)$. Векторът $\overrightarrow(OB)$, свързващ началото на първия член на вектора с края на втория (фиг. 1, b), се нарича сбор от тези вектори и се обозначава $\overrightarrow(a) + \ стрелка надясно(b)$$ ( правило на триъгълника).

Същата сума от вектори може да се получи по друг начин. Нека начертаем векторите $\overrightarrow(OA) = \overrightarrow(a) \,и\, \overrightarrow(OS) = \overrightarrow(b) $ от точка O (фиг. 1, c). Нека да построим успоредник OABC върху тези вектори като на страните. Векторът $\overrightarrow(OB)$, който служи като диагонал на този успоредник, изтеглен от върха O, очевидно е сумата от векторите $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)$ ( правило на успоредник). от Фигура 1, вОт това веднага следва, че сумата от два вектора има комутативното свойство: $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b) = \overrightarrow(b) + \overrightarrow(a)$

Наистина, всеки от векторите $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b) \,and\, = \overrightarrow(b) + \overrightarrow(a)$ е равен на същия вектор $\overrightarrow(OB)$.

Пример 1.В триъгълник ABC AB = 3, BC = 4, ∠ B = 90°. Намерете: $a)\,\ \overrightarrow(|AB|) + \overrightarrow(|BC|);\,\,\ b)\,\ |\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC)|$ .

Решение

а) Имаме: $|\overrightarrow(AB)| = AB,\,\,\ |\стрелка надясно(BC)| = BC$ и следователно $|\overrightarrow(AB)| + |\стрелка надясно(BC)| = $7.

b) Тъй като $\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) = \overrightarrow(AC) \,\,\,\, тогава\,\, |\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC)| = |\стрелка надясно(AC)| = AC$.

Сега, прилагайки Питагоровата теорема, намираме $$ AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(9 + 16) = 5 \\ т.е.\, |\overrightarrow(AB) + \overrightarrow( Sun )| = 5. $$

Концепцията за сума от вектори може да се обобщи за случая на всеки краен брой вектори на сумата.

Нека например са дадени три вектора $\overrightarrow(a), \overrightarrow(b) \,и\, \overrightarrow(c)$ (фиг. 2).

Като първо конструираме сумата от вектори $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)$ и след това добавим вектора $\overrightarrow(c)$ към тази сума, получаваме вектора $(\overrightarrow(a) + \ стрелка надясно(b)) + стрелка надясно(c)$. На фигура 2 $$ \overrightarrow(OA) = \overrightarrow(a)\,; \горна дясна стрелка(AB) = b\,; \стрелка надясно(OB) = \стрелка надясно(a) + \стрелка надясно(b)\,; \overrightarrow(BC) = \overrightarrow(c) \\ и \\ \overrightarrow(OS) = \overrightarrow(OB) + \overrightarrow(BC) = (\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)) + \overrightarrow (c) $$ От фигура 2 става ясно, че ще получим същия вектор $\overrightarrow(OS)$, ако добавим вектора $\overrightarrow(АВ) = \към вектора $\overrightarrow(АВ) = \overrightarrow (a)$ стрелка надясно(b) + \стрелка надясно(c)$. По този начин $(\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)) + \overrightarrow(c) = \overrightarrow(a) + (\overrightarrow(b) + \overrightarrow(c))$, т.е. векторите на сумата имат a комбиниране на собственост. Следователно сумата от три вектора $\overrightarrow(a)\,\,\overrightarrow(b)\,\,\overrightarrow(c)$ се записва просто $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b) + \overrightarrow (c)$ .

По разликадва вектора $\overrightarrow(a) \,and\, \overrightarrow(b)$ се нарича третият вектор $\overrightarrow(c) = \overrightarrow(a) - \overrightarrow(b)$ , чиято сума с субтрахендният вектор $\overrightarrow (b)$ дава вектора $\overrightarrow(a)$. Така, ако $\overrightarrow(c) = \overrightarrow(a) - \overrightarrow(b)\,\ тогава\, \overrightarrow(c) + \overrightarrow(b) = \overrightarrow(a)$ .

От дефиницията на сумата на два вектора следва правилото за построяване на разностен вектор (фиг. 3).

Начертаваме векторите $\overrightarrow(OA) = \overrightarrow(a) \,и\, \overrightarrow(OB) = \overrightarrow(b)$ от общата точка O. Вектор $\overrightarrow(BA)$, свързващ краищата на редуцирания вектор $ \overrightarrow(a)$ и вектора на субтрахенда $\overrightarrow(b)$ и насочен от субтрахенда към умаления е разликата $\overrightarrow(c) = \overrightarrow(a) - \overrightarrow(b )$ . Наистина, според правилото за добавяне на вектор $\overrightarrow(OB) + \overrightarrow(BA) = \overrightarrow(OA) \text( , or ) \overrightarrow(b) + \overrightarrow(c) = \overrightarrow(a) $ .

Пример 2.Страната на равностранен триъгълник ABC е равна на a. Намерете: $a) |\стрелка надясно(BA) - \стрелка надясно(BC)|\,;\,\ b)\,\,\ |\стрелка надясно(AB) - \стрелка надясно(AC)|$ .

Решение a) Тъй като $\overrightarrow(BA) - \overrightarrow(BC) = \overrightarrow(CA)\text( , a )|\overrightarrow(CA)| = a\текст( , след това )|\стрелка надясно(BA) - \стрелка надясно(BC)| = a$.

b) Тъй като $\overrightarrow(AB) - \overrightarrow(AC) = \overrightarrow(CB)\text( , a )|\overrightarrow(CB)| = a\текст( , след това )|\стрелка надясно(AB) - \стрелка надясно(AC)| = a$.

Произведението на вектора $\overrightarrow(a)$ (обозначаван като $=\lambda\overrightarrow(a)$ или $\overrightarrow(a)\lambda$) с реалното число $\lambda$ е векторът $\overrightarrow( b)$, колинеарен вектор $\overrightarrow(a)$ с дължина, равна на $|\lambda||\overrightarrow(a)|$ и същата посока като вектор $\overrightarrow(a)$, ако $\lambda > 0$ и посоката, обратна на посоката на вектора $\overrightarrow(a)$, ако $\lambda< 0$ . Так, например, $2\overrightarrow{a}$ есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор $\overrightarrow{a}$ , а длину, вдвое большую, чем вектор $\overrightarrow{a}$ (рис.4).

В случай, когато $\lambda = 0$ или $\overrightarrow(a) = 0$, продуктът $\lambda\overrightarrow(a)$ представлява нулевия вектор. Противоположният вектор $-\overrightarrow(a)$ може да се разглежда като резултат от умножаването на вектора $\overrightarrow(a)$ по $\lambda = -1$ (виж Фиг. 4): $$ -\overrightarrow(a ) = \ ( -1)\overrightarrow(a) $$ Очевидно, $\overrightarrow(a) + (-\overrightarrow(a)) = \overrightarrow(0)$ .

Пример 3.Докажете, че ако O, A, B и C са произволни точки, то $\overrightarrow(OA) + \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(СО) = 0$ .

Решение. Сумата от вектори $\overrightarrow(OA) + \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(CB) = \overrightarrow(OS)$ , вектор $\overrightarrow(CO)$ е противоположен на вектор $\overrightarrow(OS)$ . Следователно $\overrightarrow(OS) + \overrightarrow(СО) = \overrightarrow(0)$ .

Нека е даден векторът $\overrightarrow(a)$. Да разгледаме единичен вектор $\overrightarrow(a_0)$, колинеарен на вектора $\overrightarrow(a)$ и със същата посока. От определението за умножение на вектор по число следва, че $$ \overrightarrow(a) = |\overrightarrow(a)|\,\ \overrightarrow(a_0) $$ , т.е. всеки вектор е равен на произведението от неговия модул и единичен вектор от същата посока. Освен това от същата дефиниция следва, че ако $\overrightarrow(b) = \lambda\overrightarrow(a)$ , където $\overrightarrow(a)$ е ненулев вектор, тогава векторите $\overrightarrow(a) \, и\, \overrightarrow(b)$ са колинеарни. Очевидно, обратно, от колинеарността на векторите $\overrightarrow(a) \,и\, \overrightarrow(b)$ следва, че $\overrightarrow(b) = \lambda\overrightarrow(a)$.

Пример 4.Дължината на вектора AB е 3, дължината на вектора AC е 5. Косинусът на ъгъла между тези вектори е 1/15. Намерете дължината на вектора AB + AC.

Видео решение.

Определение

Добавянето на вектори се извършва съгласно правило на триъгълника.

Количество два векторанаричат ​​такъв трети вектор, чието начало съвпада с началото, а краят с края, при условие че краят на вектора и началото на вектора съвпадат (фиг. 1).

За допълнение векториПрилага се и правилото на успоредника.

Определение

Правило на успоредник- ако два неколинеарни вектора се доведат до общ произход, тогава векторът съвпада с диагонала на успоредник, изграден върху вектори (фиг. 2). Освен това началото на вектора съвпада с началото на дадените вектори.

Определение

Векторът се нарича противоположен векторкъм вектора, ако го колинеаренвектор, равен на него по дължина, но насочен в обратна посока на вектора.

Операцията за добавяне на вектор има следните свойства:

Определение

По разлика векторисе нарича вектор, за който е изпълнено условието: (фиг. 3).

Умножение на вектор по число

Определение

Работата вектор на бройе вектор, който отговаря на условията:

Свойства на умножаване на вектор по число:

Тук и са произволни вектори, и са произволни числа.

Евклидово пространство(Също Евклидово пространство) - в първоначалния смисъл, пространството, чиито свойства са описани аксиоми Евклидова геометрия. В този случай се приема, че пространството има измерениеравно на 3.

В съвременния смисъл, в по-общ смисъл, това може да означава един от подобни и тясно свързани обекти: крайномерен истински векторно пространствос въведено върху него положително определение скаларно произведение, или метрично пространство, съответстващ на такова векторно пространство. В тази статия първото определение ще бъде взето като отправна точка.

Многомерното евклидово пространство също често се обозначава с нотацията (ако от контекста е ясно, че пространството има евклидова структура).

За да се дефинира евклидовото пространство, най-лесно е да се приеме като основно понятие точков продукт. Евклидовото векторно пространство се определя като крайномерен векторно пространствопо-горе поле реални числа, на чиито вектори е дадено функция с реална стойностима следните три свойства:

Афинно пространствосъответстващо на такова векторно пространство се нарича евклидово афинно пространство или просто евклидово пространство .

Пример за евклидово пространство е координатно пространство, състоящо се от всички възможни н-ok реални числа, скаларното произведение в които се определя по формулата

Базисни и векторни координати

Основа (друг гръцкиβασις, основа) - съвкупност от такива вектори V векторно пространство, че всеки вектор от това пространство може да бъде уникално представен във формата линейна комбинациявектори от този набор - базисни вектори.

В случай, че базата е безкрайна, понятието "линейна комбинация" изисква изясняване. Това води до два основни типа дефиниции:

основа Хамел, чиято дефиниция разглежда само крайни линейни комбинации. Базисът на Хамел се използва главно в абстрактната алгебра (по-специално в линейната алгебра).

основа на Шаудер, чиято дефиниция също така разглежда безкрайни линейни комбинации, а именно разширяване в редици. Това определение се използва главно във функционалния анализ, по-специално за Хилбертово пространство,

В крайномерните пространства и двата вида базис съвпадат.

Векторни координати— коефициенти на единственото възможно линейна комбинация основен векторив избраното координатна система, равен на този вектор.

където са координатите на вектора.

Скаларно произведение.

операция на две вектори, резултатът от което е номер[когато разглеждаме вектори, числата често се наричат скалари], независими от координатната система и характеризиращи дължините на факторните вектори и ъгълмежду тях. Тази операция съответства на умножението дължинавектор хНа проекциявектор гкъм вектор х. Тази операция обикновено се счита за комутативенИ линеенза всеки фактор.

Скаларно произведениедва вектора е равна на сумата от произведенията на съответните им координати:

Векторни произведения на изкуството

Това псевдовектор, перпендикуляренравнина, конструирана от два фактора, което е резултатът двоична операция"векторно умножение" над векторив три измерения Евклидово пространство. Кръстосаното произведение няма свойства комутативностИ асоциативност(е антикомутативен) и за разлика от скаларно произведение на вектори, е вектор. Широко използван в много инженерни и физични приложения. Например, ъглов моментИ Сила на Лоренцматематически написан като векторен продукт. Кръстосаното произведение е полезно за "измерване" на перпендикулярността на векторите - модулът на кръстосаното произведение на два вектора е равен на произведението на техните модули, ако са перпендикулярни, и намалява до нула, ако векторите са успоредни или антипаралелни.

Векторни произведения на изкуствотодва вектора могат да бъдат изчислени с помощта на детерминант матрици

Смесена работа

Смесен продукт вектори -скаларно произведение векторНа векторен продукт векториИ:

Понякога се нарича тройно скаларно произведениевектори, очевидно поради факта, че резултатът е скаларен(по-точно - псевдоскаларен).

Геометрично значение:Модулът на смесения продукт е числено равен на обема паралелепипед, образован вектори .смесена работачрез детерминантата могат да бъдат намерени три вектора

Самолет в космоса

Самолет - алгебрична повърхностпърва поръчка: в Декартова координатна системаможе да се посочи равнина уравнениепърва степен.

Някои характерни свойства на равнината

Самолет - повърхност, съдържащ напълно всеки директен, свързвайки което и да е от него точки;

Двете равнини са или успоредни, или се пресичат по права линия.

Правата е или успоредна на равнината, или я пресича в една точка, или е в равнината.

Две прави, перпендикулярни на една и съща равнина, са успоредни една на друга.

Две равнини, перпендикулярни на една и съща права, са успоредни една на друга.

По същия начин сегментИ интервал, равнина, която не включва екстремни точки, може да се нарече интервална равнина или отворена равнина.

Общо уравнение (пълно) на равнината

където и са константи, като в същото време не са равни на нула; V векторформа:

където е радиус векторът на точката, вектор перпендикулярна на равнината (нормален вектор). Ръководствакосинуси вектор:

За правилното показване на законите на природата във физиката са необходими подходящи математически инструменти.

В геометрията и физиката има величини, характеризиращи се както с числова стойност, така и с посока.

Препоръчително е да ги изобразите като насочени сегменти или вектори.

Такива количества имат начало (показано с точка) и край, обозначен със стрелка. Дължината на сегмента се нарича (дължина).

• скорост;
• ускорение;
• пулс;
• сила;
• момент;
• сила;
• движещ се;
• напрегнатост на полето и др.

Равнинни координати

Нека дефинираме отсечка в равнината, насочена от точка A (x1,y1) към точка B (x2,y2). Нейните координати a (a1, a2) са числата a1=x2-x1, a2=y2-y1.

Модулът се изчислява с помощта на Питагоровата теорема:

Началото на нулевия вектор съвпада с края. Координатите и дължината са 0.

Сума от вектори

Съществуват няколко правила за изчисляване на сумата

• правило на триъгълника;
• многоъгълно правило;
• правило на успоредник.

Правилото за добавяне на вектори може да се обясни с помощта на задачи от динамиката и механиката. Нека разгледаме добавянето на вектори според правилото на триъгълника, като използваме примера за сили, действащи върху точково тяло и последователни движения на тялото в пространството.

Да кажем, че едно тяло се движи първо от точка А до точка Б, а след това от точка Б до точка С. Крайното преместване е отсечка, насочена от началната точка А към крайната точка С.

Резултатът от две движения или тяхната сума s = s1+ s2. Този метод се нарича правило на триъгълника.

Стрелките се подреждат във верига една след друга, като при необходимост се извършва паралелен трансфер. Общият сегмент затваря последователността. Началото му съвпада с началото на първото, краят му с края на последното. В чуждите учебници този метод се нарича "опашка до глава".

Координатите на резултата c = a + b са равни на сумата от съответните координати на членовете c (a1+ b1, a2+ b2).

Сумата от успоредни (колинеарни) вектори също се определя от правилото на триъгълника.

Ако два първоначални сегмента са перпендикулярни един на друг, тогава резултатът от тяхното добавяне е хипотенузата на правоъгълния триъгълник, построен върху тях. Дължината на сумата се изчислява с помощта на Питагоровата теорема.

Примери:

• Скоростта на тялото, хвърлено хоризонтално, е перпендикуляренускорение на свободното падане.
• При равномерно въртеливо движение линейната скорост на тялото е перпендикулярна на центростремителното ускорение.

Добавяне на три или повече векторапроизвеждат според правило на многоъгълник, "опашка до глава"

Да приемем, че силите F1 и F2 са приложени към точково тяло.

Опитът доказва, че комбинираният ефект на тези сили е еквивалентен на действието на една сила, насочена по диагонала на построения върху тях успоредник. Тази резултатна сила е равна на тяхната сума F = F1 + F 2. Горният метод на добавяне се нарича правило на успоредник.

Дължината в този случай се изчислява по формулата

Където θ е ъгълът между страните.

Правилата за триъгълник и успоредник са взаимозаменяеми. Във физиката по-често се използва правилото на паралелограма, тъй като насочените величини на силите, скоростите и ускоренията обикновено се прилагат към едно точково тяло. В триизмерна координатна система се прилага правилото на паралелепипеда.

Елементи на алгебрата

1. Добавянето е двоична операция: само двойка може да се добавя наведнъж.
2. Комутативност: сумата от пренареждането на членовете не се променя a + b = b + a. Това става ясно от правилото на успоредника: диагоналът винаги е един и същ.
3. Асоциативност: сумата от произволен брой вектори не зависи от реда на тяхното добавяне (a + b) + c = a + (b + c).
4. Сумирането с нулев вектор не променя нито посоката, нито дължината: a +0= a .
5. За всеки вектор има противоположност. Сборът им е равен на нула a +(-a)=0, а дължините са еднакви.

Изваждането на насочен сегмент е еквивалентно на добавяне на неговата противоположност. Координатите са равни на разликата на съответните координати. Дължината е:

За изваждане можете да използвате модифицирано триъгълно правило.

Умножение със скалар

Резултатът от умножението със скалар е вектор.

Координатите на произведението се получават чрез умножаване по скала на съответните координати на оригинала.

Скаларът е числова стойност със знак плюс или минус, по-голяма или по-малка от единица.

Примери за скаларни величини във физиката:

• тегло;
• време;
• зареждане;
• дължина;
• квадрат;
• сила на звука;
• плътност;
• температура;
• енергия.

Примери:

• Преместването на равномерно движещо се тяло е равно на произведението на времето и скоростта s = vt.
• Импулсът на тялото е масата, умножена по скоростта p = mv.
• Втори закон на Нютон. Произведението от масата на тялото и ускорението е равно на приложенрезултатна сила ma=F.
• Силата, действаща върху заредена частица в електрическо поле, е пропорционална на заряда F = qE.

Скаларното произведение на насочени отсечки a и b е равно на произведението на модулите и косинуса на ъгъла между тях. Скаларното произведение на взаимно перпендикулярни отсечки е равно на нула.

Пример:

Работата е скаларното произведение на силата и изместването A = Fs.