Четно странно функция като. Четни и нечетни функции

Графиките на четни и нечетни функции имат следните характеристики:

Ако функцията е четна, тогава нейната графика е симетрична спрямо оста y. Ако една функция е нечетна, тогава нейната графика е симетрична спрямо началото.

Пример.Начертайте функцията \(y=\left|x \right|\).

Решение.Разгледайте функцията: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) и заместете \(x \) с противоположното \(-x \). В резултат на прости трансформации получаваме: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ In с други думи, ако замените аргумента с противоположния знак, функцията няма да се промени.

Това означава, че тази функция е четна и нейната графика ще бъде симетрична спрямо оста y (вертикална ос). Графиката на тази функция е показана на фигурата вляво. Това означава, че когато начертавате графика, можете да изградите само половината, а втората част (отляво на вертикалната ос, начертайте вече симетрично от дясната страна). Чрез определяне на симетрията на функция, преди да започнете да чертаете нейната графика, можете значително да опростите процеса на конструиране или изучаване на функция. Ако е трудно да извършите проверка в обща форма, можете да го направите по-лесно: заменете едни и същи стойности на различни знаци в уравнението. Например -5 и 5. Ако стойностите на функцията са еднакви, тогава можем да се надяваме, че функцията ще бъде четна. От математическа гледна точка този подход не е съвсем правилен, но от практическа гледна точка е удобен. За да увеличите надеждността на резултата, можете да замените няколко двойки такива противоположни стойности.

Пример.Начертайте функцията \(y=x\left|x \right|\).

Решение.Нека проверим същото като в предишния пример: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right ) $$ Това означава, че оригиналната функция е нечетна (знакът на функцията е обърнат).

Извод: функцията е симетрична спрямо началото. Можете да изградите само едната половина и да нарисувате другата половина симетрично. Тази симетрия е по-трудна за рисуване. Това означава, че гледате диаграмата от другата страна на листа и дори обърната с главата надолу. Можете също да направите това: вземете начертаната част и я завъртете около началото на 180 градуса обратно на часовниковата стрелка.

Пример.Начертайте функцията \(y=x^3+x^2\).

Решение.Нека извършим същата проверка за промяна на знака, както в предишните два примера. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ $$f\left( -x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ Което означава, че функцията не е нито четна, нито нечетна .

Извод: функцията не е симетрична нито спрямо началото, нито спрямо центъра на координатната система. Това се случи, защото е сбор от две функции: четно и нечетно. Същата ситуация ще бъде, ако извадите две различни функции. Но умножението или делението ще доведе до различен резултат. Например произведението на четна и нечетна функция дава нечетна. Или частното от две нечетни води до четна функция.

Скриване на шоуто

Начини за задаване на функция

Нека функцията е дадена по формулата: y=2x^(2)-3 . Като присвоите произволна стойност на независимата променлива x, можете да използвате тази формула, за да изчислите съответните стойности на зависимата променлива y. Например, ако x=-0,5 , тогава използвайки формулата, получаваме, че съответната стойност на y е y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5 .

Като се има предвид всяка стойност, взета от аргумента x във формулата y=2x^(2)-3 , може да се изчисли само една функционална стойност, която съответства на нея. Функцията може да бъде представена като таблица:

х	−2	−1	0	1	2	3
г	−4	−3	−2	−1	0	1

Използвайки тази таблица, можете да разберете, че за стойността на аргумента -1 ще съответства стойността на функцията -3; и стойността x=2 ще съответства на y=0 и т.н. Също така е важно да знаете, че всяка стойност на аргумент в таблицата отговаря само на една стойност на функцията.

Повече функции могат да бъдат зададени с помощта на графики. С помощта на графиката се установява коя стойност на функцията корелира с определена стойност на x. Най-често това ще бъде приблизителна стойност на функцията.

Четна и нечетна функция

Функцията е дори функция, когато f(-x)=f(x) за всяко x от домейна. Такава функция ще бъде симетрична спрямо оста Oy.

Функцията е странна функциякогато f(-x)=-f(x) за всяко x в домейна. Такава функция ще бъде симетрична спрямо началото O (0;0) .

Функцията е дори не, нито страннои се обади обща функциякогато няма симетрия спрямо оста или началото.

Разглеждаме следната функция за паритет:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) със симетрична област на дефиниция относно произхода. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Следователно функцията f(x)=3x^(3)-7x^(7) е нечетна.

Периодична функция

Функцията y=f(x), в чиято област f(x+T)=f(x-T)=f(x) е вярна за всяко x, се нарича периодична функцияс период T \neq 0 .

Повторение на графиката на функцията върху всеки сегмент от абсцисната ос, който има дължина T .

Интервали, където функцията е положителна, т.е. f (x) > 0 - сегменти от абсцисната ос, които съответстват на точките от графиката на функцията, които лежат над абсцисната ос.

f(x) > 0 включено (x_(1); x_(2)) \чаша (x_(3); +\infty)

Пропуски, при които функцията е отрицателна, т.е. f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \чаша (x_(2); x_(3))

Ограничение на функцията

ограничен отдолуобичайно е да се извиква функция y=f(x), x \in X, когато съществува число A, за което неравенството f(x) \geq A е валидно за всяко x \in X .

Пример за функция, ограничена по-долу: y=\sqrt(1+x^(2)), тъй като y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 за всяко x .

ограничен отгорефункция y=f(x), x \in X се извиква, ако съществува число B, за което неравенството f(x) \neq B е в сила за всяко x \in X .

Пример за функция, ограничена по-долу: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1]тъй като y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 за всяко x \in [-1;1] .

Ограниченобичайно е да се извиква функция y=f(x), x \in X, когато съществува число K > 0, за което неравенството \left | f(x) \right | \neq K за всяко x \in X .

Пример за ограничена функция: y=\sin x е ограничена на цялата числова ос, защото \ляво | \sin x \right | \neq 1.

Нарастваща и намаляваща функция

Прието е да се говори за функция, която нараства на разглеждания интервал като увеличаваща се функциякогато по-голяма стойност на x ще съответства на по-голяма стойност на функцията y=f(x) . От тук се оказва, че като вземем от разглеждания интервал две произволни стойности на аргумента x_(1) и x_(2) , и x_(1) > x_(2) , ще бъде y(x_(1)) > y(x_(2)) .

Извиква се функция, която намалява на разглеждания интервал намаляваща функциякогато по-голяма стойност на x ще съответства на по-малка стойност на функцията y(x) . От тук се оказва, че като вземем от разглеждания интервал две произволни стойности на аргумента x_(1) и x_(2) , и x_(1) > x_(2) , ще бъде y(x_(1))< y(x_{2}) .

Функционални корениобичайно е да се назовават точките, в които функцията F=y(x) пресича абсцисната ос (те се получават в резултат на решаване на уравнението y(x)=0 ).

а) Ако четна функция расте при x > 0, тогава тя намалява при x< 0

б) Когато четна функция намалява за x > 0, тогава тя нараства за x< 0

в) Когато нечетна функция расте за x > 0, тогава тя също нараства за x< 0

г) Когато нечетна функция намалява за x > 0, тогава тя също ще намалява за x< 0

Функционални крайности

Функционална минимална точка y=f(x) е обичайно да наричаме такава точка x=x_(0) , в която нейната околност ще има други точки (с изключение на точката x=x_(0) ), а за тях тогава неравенството f( x) > f (x_(0)) . y_(min) - обозначение на функцията в точката min.

Функционална максимална точка y=f(x) е обичайно да наричаме такава точка x=x_(0) , в която нейната околност ще има други точки (с изключение на точката x=x_(0) ), и тогава неравенството f(x) ще бъдат доволни за тях< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Необходимо условие

Според теоремата на Ферма: f"(x)=0, тогава когато функцията f(x) , която е диференцируема в точката x_(0) , в тази точка ще се появи екстремум.

Достатъчно условие

1. Когато знакът на производната се промени от плюс на минус, тогава x_(0) ще бъде минималната точка;
2. x_(0) - ще бъде максимална точка само когато производната промени знака от минус на плюс при преминаване през стационарната точка x_(0) .

Най-голямата и най-малката стойност на функцията на интервала

Стъпки на изчисление:

1. Търси се производна f"(x) ;
2. Намират се стационарни и критични точки на функцията и се избират принадлежащите към интервала;
3. Стойностите на функцията f(x) се намират в стационарните и критичните точки и краищата на сегмента. Най-малкият от резултатите ще бъде най-малката стойност на функцията, и още - най велик.

Назад напред

внимание! Визуализацията на слайда е само за информационни цели и може да не представя пълния обем на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Цели:

• да формира концепцията за четни и нечетни функции, да научи способността да определя и използва тези свойства при изучаването на функции, чертане;
• да развива творческата активност на учениците, логическото мислене, способността за сравняване, обобщаване;
• да се култивира усърдие, математическа култура; развийте комуникативни умения .

Оборудване:мултимедийна инсталация, интерактивна дъска, раздавателни материали.

Форми на работа:фронтална и групова с елементи на търсеща и изследователска дейност.

Източници на информация:

1. Алгебра клас 9 А. Г. Мордкович. Учебник.
2. Алгебра 9 клас А. Г. Мордкович. Задачна книга.
3. Алгебра 9 клас. Задачи за обучение и развитие на учениците. Беленкова Е.Ю. Лебединцева Е.А.

ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА

1. Организационен момент

Поставяне на цели и задачи на урока.

2. Проверка на домашните

№ 10.17 (Проблемна книга 9 клас А.Г. Мордкович).

а) при = f(х), f(х) =

б) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

в) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(х) = 0 за х ~ 0,4
4. f(х) >0 при х > 0,4 ; f(х) < 0 при – 2 < х < 0,4.
5. Функцията се увеличава с х € [– 2; + ∞)
6. Функцията е ограничена отдолу.
7. принаем = - 3, принаиб не съществува
8. Функцията е непрекъсната.

(Използвахте ли алгоритъма за изследване на функции?) Пързалка.

2. Нека проверим таблицата, която ви беше зададена на слайда.

Попълнете таблицата
	Домейн	Функционални нули	Интервали на постоянство		Координати на точките на пресичане на графиката с Oy
		x = -5, х = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Актуализация на знанията

– Дадени са функции.
– Посочете домейна на дефиниция за всяка функция.
– Сравнете стойността на всяка функция за всяка двойка стойности на аргументи: 1 и – 1; 2 и - 2.
– За кои от дадените функции в областта на дефиниция са равенствата f(– х) = f(х), f(– х) = – f(х)? (поставете данните в таблицата) пързалка

		f(1) и f(– 1)	f(2) и f(– 2)	диаграми	f(– х) = –f(х)	f(– х) = f(х)
1. f(х) =
2. f(х) = х 3
3. f(х) = | х |
4.f(х) = 2х – 3
5. f(х) =	х ≠ 0
6. f(х)=	х > –1		и не е дефиниран.

4. Нов материал

- Докато вършим тази работа, момчета, разкрихме още едно свойство на функцията, непознато за вас, но не по-малко важно от останалите - това е четността и нечетността на функцията. Запишете темата на урока: „Четни и нечетни функции“, нашата задача е да се научим как да определяме четните и нечетните функции, да разберем значението на това свойство при изучаването на функциите и чертането.
И така, нека намерим определенията в учебника и прочетем (стр. 110) . пързалка

Деф. 1функция при = f (х), дефинирана върху множеството X, се нарича дори, ако за някаква стойност хЄ X в ход равенство f (–x) = f (x). Дай примери.

Деф. 2функция y = f(x), дефинирана върху множеството X се нарича странно, ако за някаква стойност хЄ X е изпълнено равенството f(–х)= –f(х). Дай примери.

Къде срещнахме термините "четно" и "нечетно"?
Коя от тези функции ще бъде четна, според вас? Защо? Кои са странни? Защо?
За всяка функция на формата при= x n, Където не цяло число, може да се твърди, че функцията е нечетна за не нечетно и функцията е четно за н- дори.
– Преглед на функции при= и при = 2х– 3 не е нито четно, нито нечетно, т.к равенствата не са спазени f(– х) = – f(х), f(– х) = f(х)

Изследването на въпроса дали една функция е четна или нечетна се нарича изследване на функция за паритет.пързалка

Дефиниции 1 и 2 се занимават със стойностите на функцията при x и - x, като по този начин се приема, че функцията също е дефинирана при стойността х, и при - х.

ОПР 3.Ако числово множество заедно с всеки от неговите елементи x съдържа противоположния елемент x, тогава множеството хсе нарича симетрично множество.

Примери:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) са симетрични множества, а , [–5;4] са несиметрични.

- Четните функции имат ли област на дефиниция - симетрично множество? Странните?
- Ако D( f) е асиметрично множество, тогава каква е функцията?
– По този начин, ако функцията при = f(х) е четен или нечетен, тогава неговият домейн на дефиниция е D( f) е симетрично множество. Но вярно ли е обратното, ако областта на дадена функция е симетрично множество, тогава тя е четна или нечетна?
- Така че наличието на симетрично множество от областта на дефиниране е необходимо условие, но не и достатъчно.
– И така, как можем да изследваме функцията за паритет? Нека се опитаме да напишем алгоритъм.

пързалка

Алгоритъм за изследване на функция за паритет

1. Определете дали областта на функцията е симетрична. Ако не, тогава функцията не е нито четна, нито нечетна. Ако да, тогава преминете към стъпка 2 от алгоритъма.

2. Напишете израз за f(–х).

3. Сравнете f(–х).И f(х):

• Ако f(–х).= f(х), тогава функцията е четна;
• Ако f(–х).= – f(х), тогава функцията е нечетна;
• Ако f(–х) ≠ f(х) И f(–х) ≠ –f(х), тогава функцията не е нито четна, нито нечетна.

Примери:

Изследвайте функцията за паритет а) при= x 5 +; б) при= ; V) при= .

Решение.

а) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симетрично множество.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e функция h(x)= x 5 + странно.

б) y =,

при = f(х), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), асиметрично множество, така че функцията не е нито четна, нито нечетна.

V) f(х) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Вариант 2

1. Даденото множество симетрично ли е: а) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

А); б) y \u003d x (5 - x 2). 2. Проверете функцията за паритет:

а) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. На фиг. начертан при = f(х), за всички х, отговарящи на условието х? 0.
Начертайте функцията при = f(х), Ако при = f(х) е четна функция.

3. На фиг. начертан при = f(х), за всички x, удовлетворяващи x? 0.
Начертайте функцията при = f(х), Ако при = f(х) е странна функция.

Взаимна проверка включена пързалка.

6. Домашна работа: №11.11, 11.21,11.22;

Доказателство за геометричния смисъл на свойството паритет.

*** (Присвояване на опцията USE).

1. Нечетната функция y \u003d f (x) е дефинирана на цялата реална линия. За всяка неотрицателна стойност на променливата x стойността на тази функция съвпада със стойността на функцията g( х) = х(х + 1)(х + 3)(х– 7). Намерете стойността на функцията h( х) = при х = 3.

7. Обобщаване

Четните и нечетните функции са едно от основните му свойства, а паритетът заема впечатляваща част от училищния курс по математика. Той до голяма степен определя характера на поведението на функцията и значително улеснява изграждането на съответната графика.

Нека дефинираме паритета на функцията. Най-общо казано, изследваната функция се разглежда дори ако за противоположни стойности на независимата променлива (x), разположена в нейната област, съответните стойности на y (функция) са равни.

Нека дадем по-строга дефиниция. Помислете за някаква функция f (x), която е дефинирана в домейна D. Ще бъде дори, ако за всяка точка x, разположена в домейна на дефиниция:

• -x (противоположна точка) също се намира в дадения обхват,

• f(-x) = f(x).

От горната дефиниция следва условието, необходимо за областта на дефиниране на такава функция, а именно симетрия по отношение на точката O, която е началото на координатите, тъй като ако някаква точка b се съдържа в областта на дефиниция на четна функция, тогава съответната точка - b също лежи в тази област. Следователно от гореизложеното следва заключението: четна функция има форма, която е симетрична спрямо ординатната ос (Oy).

Как да определим паритета на функция на практика?

Нека е дадено чрез формулата h(x)=11^x+11^(-x). Следвайки алгоритъма, който следва директно от дефиницията, ние първо изучаваме нейната област на дефиниция. Очевидно е дефинирано за всички стойности на аргумента, т.е. първото условие е изпълнено.

Следващата стъпка е да замените аргумента (x) с противоположната му стойност (-x).
Получаваме:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Тъй като събирането удовлетворява комутативния (преместващ) закон, очевидно е, че h(-x) = h(x) и дадената функционална зависимост е четна.

Нека проверим четността на функцията h(x)=11^x-11^(-x). Следвайки същия алгоритъм, получаваме h(-x) = 11^(-x) -11^x. Като извадим минуса, в резултат имаме
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Следователно h(x) е странно.

Между другото, трябва да припомним, че има функции, които не могат да бъдат класифицирани според тези критерии, те се наричат ​​нито четни, нито нечетни.

Дори функциите имат редица интересни свойства:

• в резултат на добавянето на подобни функции се получава равномерна;
• в резултат на изваждането на такива функции се получава четна;
• дори, също дори;
• в резултат на умножаването на две такива функции се получава четна;
• в резултат на умножение на нечетни и четни функции се получава нечетна;
• в резултат на разделянето на нечетните и четните функции се получава нечетна;
• производната на такава функция е странна;
• Ако повдигнем на квадрат нечетна функция, получаваме четна.

Четността на функция може да се използва при решаване на уравнения.

За да решите уравнение като g(x) = 0, където лявата страна на уравнението е четна функция, ще бъде напълно достатъчно да намерите решението му за неотрицателни стойности на променливата. Получените корени на уравнението трябва да се комбинират с противоположни числа. Един от тях подлежи на проверка.

Същият се използва успешно за решаване на нестандартни задачи с параметър.

Например, има ли някаква стойност за параметъра a, която би накарала уравнението 2x^6-x^4-ax^2=1 да има три корена?

Ако вземем предвид, че променливата влиза в уравнението с четни степени, тогава е ясно, че замяната на x с -x няма да промени даденото уравнение. От това следва, че ако дадено число е негов корен, то противоположното число е същото. Изводът е очевиден: корените на уравнението, различни от нула, са включени в множеството от неговите решения по „двойки“.

Ясно е, че самото число 0 не е, т.е. броят на корените на такова уравнение може да бъде само четен и, естествено, за всяка стойност на параметъра не може да има три корена.

Но броят на корените на уравнението 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 може да бъде нечетен и за всяка стойност на параметъра. Наистина е лесно да се провери дали множеството от корени на дадено уравнение съдържа решения в "двойки". Нека проверим дали 0 е корен. Когато го заместим в уравнението, получаваме 2=2. Така освен "сдвоени" 0 е и корен, което доказва нечетното им число.

Функционално изследване.

1) D(y) - Домейн на дефиниция: множеството от всички тези стойности на променливата x. при които алгебричните изрази f(x) и g(x) имат смисъл.

Ако функцията е дадена с формула, тогава областта на дефиниция се състои от всички стойности на независимата променлива, за които формулата има смисъл.

2) Свойства на функцията: четно/нечетно, периодичност:

странноИ дорисе наричат ​​функции, чиито графики са симетрични спрямо промяната на знака на аргумента.

странна функция- функция, която променя стойността на противоположната, когато се промени знакът на независимата променлива (симетрична спрямо центъра на координатите).

Равномерна функция- функция, която не променя стойността си при промяна на знака на независимата променлива (симетрична спрямо оста y).

Нито четна, нито нечетна функция (обща функция)е функция, която няма симетрия. Тази категория включва функции, които не попадат в предишните 2 категории.

Извикват се функции, които не принадлежат към нито една от категориите по-горе нито четно, нито нечетно(или общи функции).

Странни функции

Нечетна степен, където е произволно цяло число.

Дори функции

Четна степен където е произволно цяло число.

Периодична функцияе функция, която повтаря стойностите си на някакъв редовен интервал от аргумента, т.е. не променя стойността си, когато към аргумента се добави някакво фиксирано ненулево число ( Периодфункции) в цялата област на дефиниция.

3) Нули (корени) на функция са точките, в които тя изчезва.

Намиране на пресечната точка на графиката с оста Ой. За да направите това, трябва да изчислите стойността f(0). Намерете и точките на пресичане на графиката с оста вол, защо да намерим корените на уравнението f(х) = 0 (или се уверете, че няма корени).

Точките, в които графиката пресича оста, се наричат функционални нули. За да намерите нулите на функцията, трябва да решите уравнението, тоест да намерите тези x стойности, за което функцията изчезва.

4) Интервали на постоянство на знаците, знаци в тях.

Интервали, където функцията f(x) запазва своя знак.

Интервалът на постоянство е интервалът във всяка точка, в коятофункцията е положителна или отрицателна.

НАД оста x.

ПОД оста.

5) Непрекъснатост (точки на прекъсване, характер на прекъсването, асимптоти).

непрекъсната функция- функция без "скокове", тоест такава, при която малки промени в аргумента водят до малки промени в стойността на функцията.

Подвижни точки на прекъсване

Ако границата на функцията съществува, но функцията не е дефинирана в този момент или ограничението не съвпада със стойността на функцията в този момент:

,

тогава точката се нарича точка на пречупванефункции (в комплексен анализ, подвижна особена точка).

Ако "коригираме" функцията в точката на отстранимо прекъсване и поставим , тогава получаваме функция, която е непрекъсната в тази точка. Такава операция върху функция се нарича разширяване на функцията до непрекъснатаили разширение на функцията чрез непрекъснатост, което оправдава името на точката, като точки разполагаемпразнина.

Точки на прекъсване от първи и втори род

Ако функцията има прекъсване в дадена точка (т.е. границата на функцията в дадена точка липсва или не съвпада със стойността на функцията в дадена точка), тогава за числовите функции има две възможни опции свързани със съществуването на числови функции едностранни граници:

ако и двете едностранни граници съществуват и са крайни, тогава се нарича такава точка точка на счупване от първи вид. Отстранимите точки на прекъсване са точки на прекъсване от първи вид;

ако поне една от едностранните граници не съществува или не е крайна стойност, тогава такава точка се нарича точка на счупване от втори вид.

Асимптота - прав, което има свойството, че разстоянието от точка на кривата до тази правклони към нула, докато точката се движи по клона до безкрайност.

вертикален

Вертикална асимптота - гранична линия .

По правило при определяне на вертикалната асимптота се търси не една граница, а две едностранни (лява и дясна). Това се прави, за да се определи как се държи функцията, когато се приближава към вертикалната асимптота от различни посоки. Например:

Хоризонтална

Хоризонтална асимптота - праввидове, подчинени на съществуването лимит

.

косо

Наклонена асимптота - праввидове, подчинени на съществуването граници

Забележка: Една функция може да има не повече от две наклонени (хоризонтални) асимптоти.

Забележка: ако поне една от двете граници, споменати по-горе, не съществува (или е равна на ), тогава наклонената асимптота при (или ) не съществува.

ако в т. 2.), тогава , а границата се намира по формулата за хоризонтална асимптота, .

6) Намиране на интервали на монотонност.Намерете интервали на монотонност на функция f(х) (т.е. интервали на увеличаване и намаляване). Това става чрез изследване на знака на производната f(х). За да направите това, намерете производната f(х) и решете неравенството f(х)0. На интервалите, където това неравенство е изпълнено, функцията f(х) се увеличава. Където е валидно обратното неравенство f(х)0, функция f(х) намалява.

Намиране на локален екстремум.След като намерихме интервалите на монотонност, можем веднага да определим точките на локален екстремум, където увеличението се заменя с намаление, има локални максимуми и където намалението се заменя с увеличение, локални минимуми. Изчислете стойността на функцията в тези точки. Ако дадена функция има критични точки, които не са локални точки на екстремум, тогава е полезно да се изчисли стойността на функцията и в тези точки.

Намиране на най-голямата и най-малката стойност на функцията y = f(x) на сегмент(продължение)

1. Намерете производната на функция: f(х). 2. Намерете точки, където производната е нула: f(х)=0х 1, х 2 ,... 3. Определете собствеността на точките х 1 ,х 2 , … сегмент [ а; b]: позволявам х 1а;b, А х 2а;b .