В това видео ще разгледаме целия комплект. линейни уравнения, които се решават по един и същи алгоритъм – затова се наричат ​​най-простите.

Като начало, нека дефинираме: какво е линейно уравнение и кое от тях трябва да се нарече най-простото?

Линейно уравнение е това, в което има само една променлива и то само на първа степен.

Най-простото уравнение означава конструкцията:

Всички останали линейни уравнения се свеждат до най-простите с помощта на алгоритъма:

1. Отворени скоби, ако има такива;
2. Преместете термини, съдържащи променлива от едната страна на знака за равенство, и термини без променлива от другата;
3. Водя като терминиотляво и отдясно на знака за равенство;
4. Разделете полученото уравнение на коефициента на променливата $x$.

Разбира се, този алгоритъм не винаги помага. Факт е, че понякога след всички тези машинации коефициентът на променливата $x$ се оказва равен на нула. В този случай са възможни два варианта:

1. Уравнението изобщо няма решения. Например, когато получите нещо като $0\cdot x=8$, т.е. отляво е нула, а отдясно е различно от нула число. Във видеото по-долу ще разгледаме няколко причини, поради които тази ситуация е възможна.
2. Решението е всички числа. Единственият случай, когато това е възможно, е когато уравнението е сведено до конструкцията $0\cdot x=0$. Съвсем логично е, че каквито и $x$ да заместим, пак ще се получи „нула е равна на нула“, т.е. правилно числово равенство.

А сега нека да видим как всичко работи на примера на реални проблеми.

Примери за решаване на уравнения

Днес се занимаваме с линейни уравнения и то само с най-простите. Най-общо линейно уравнение означава всяко равенство, което съдържа точно една променлива и то само на първа степен.

Такива конструкции се решават приблизително по същия начин:

1. На първо място, трябва да отворите скобите, ако има такива (както в нашия последен пример);
2. След това донесете подобни
3. Накрая изолирайте променливата, т.е. всичко, което е свързано с променливата - термините, в които се съдържа - се прехвърля от едната страна, а всичко, което остава без нея, се прехвърля от другата страна.

След това, като правило, трябва да донесете подобни от всяка страна на полученото равенство и след това остава само да се раздели на коефициента при "x" и ще получим окончателния отговор.

На теория това изглежда хубаво и просто, но на практика дори опитни гимназисти могат да направят обидни грешки в доста прости линейни уравнения. Обикновено се допускат грешки или при отваряне на скоби, или при броене на "плюсове" и "минуси".

Освен това се случва линейното уравнение изобщо да няма решения или така че решението да е цялата числова линия, т.е. произволен брой. Ще анализираме тези тънкости в днешния урок. Но ще започнем, както вече разбрахте, с най-много прости задачи.

Схема за решаване на прости линейни уравнения

Като начало нека отново напиша цялата схема за решаване на най-простите линейни уравнения:

1. Разгънете скобите, ако има такива.
2. Отделете променливите, т.е. всичко, което съдържа "х" се прехвърля на едната страна, а без "х" - на другата.
3. Представяме подобни условия.
4. Разделяме всичко на коефициента при "х".

Разбира се, тази схема не винаги работи, има някои тънкости и трикове и сега ще се запознаем с тях.

Решаване на реални примери на прости линейни уравнения

Задача №1

В първата стъпка се изисква да отворим скобите. Но те не са в този пример, така че пропускаме тази стъпка. Във втората стъпка трябва да изолираме променливите. Забележка: говорим сисамо за отделни термини. нека напишем:

Даваме подобни термини отляво и отдясно, но това вече е направено тук. Затова преминаваме към четвъртата стъпка: разделяне на коефициент:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Тук получихме отговора.

Задача №2

В тази задача можем да наблюдаваме скобите, така че нека ги разширим:

И отляво, и отдясно виждаме приблизително една и съща конструкция, но нека действаме според алгоритъма, т.е. секвестр променливи:

Ето някои като:

В какви корени работи това? Отговор: за всякакви. Следователно можем да напишем, че $x$ е произволно число.

Задача №3

Третото линейно уравнение вече е по-интересно:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тук има няколко скоби, но те не се умножават по нищо, просто стоят пред тях различни знаци. Нека ги разделим:

Извършваме втората стъпка, която вече ни е известна:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Нека изчислим:

Извършваме последната стъпка - разделяме всичко на коефициента при "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Неща, които трябва да запомните, когато решавате линейни уравнения

Ако пренебрегнем твърде простите задачи, бих искал да кажа следното:

• Както казах по-горе, не всяко линейно уравнение има решение - понякога просто няма корени;
• Дори да има корени, между тях може да влезе нула - в това няма нищо лошо.

Нулата е същото число като останалите, не трябва по някакъв начин да го дискриминирате или да предполагате, че ако получите нула, значи сте направили нещо нередно.

Друга особеност е свързана с разширяването на скобите. Моля, обърнете внимание: когато има „минус“ пред тях, ние го премахваме, но в скоби променяме знаците на противоположност. И тогава можем да го отворим според стандартните алгоритми: ще получим това, което видяхме в изчисленията по-горе.

Разбирайки това прост фактще ви предпази от допускане на глупави и болезнени грешки в гимназията, когато правенето на такива неща се приема за даденост.

Решаване на сложни линейни уравнения

Нека да преминем към повече сложни уравнения. Сега конструкциите ще станат по-сложни и ще се появи квадратична функция при извършване на различни трансформации. Но не трябва да се страхувате от това, защото ако, според намерението на автора, решим линейно уравнение, тогава в процеса на трансформация всички мономи, съдържащи квадратична функция, задължително ще бъдат намалени.

Пример #1

Очевидно първата стъпка е отварянето на скобите. Нека направим това много внимателно:

Сега да вземем поверителността:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Ето някои като:

Очевидно това уравнение няма решения, така че в отговора пишем следното:

\[\сорт \]

или без корени.

Пример #2

Изпълняваме същите стъпки. Първа стъпка:

Нека преместим всичко с променлива наляво, а без нея - надясно:

Ето някои като:

Очевидно това линейно уравнение няма решение, така че го записваме така:

\[\varnothing\],

или без корени.

Нюанси на решението

И двете уравнения са напълно решени. На примера на тези два израза отново се уверихме, че дори в най-простите линейни уравнения всичко може да не е толкова просто: може да има или едно, или нито едно, или безкрайно много. В нашия случай разгледахме две уравнения, и в двете просто няма корени.

Но бих искал да обърна внимание на друг факт: как да работите със скоби и как да ги разширите, ако пред тях има знак минус. Помислете за този израз:

Преди да отворите, трябва да умножите всичко по "x". Моля, обърнете внимание: умножете всеки отделен термин. Вътре има два термина - съответно два термина и се умножава.

И едва след като тези на пръв поглед елементарни, но много важни и опасни трансформации са завършени, може да се отвори скобата от гледна точка на това, че след нея има знак минус. Да, да: едва сега, когато трансформациите са направени, ние си спомняме, че има знак минус пред скобите, което означава, че всичко отдолу просто променя знаците. В същото време самите скоби изчезват и, най-важното, предният „минус“ също изчезва.

Правим същото с второто уравнение:

Неслучайно обръщам внимание на тези дребни, на пръв поглед незначителни факти. Защото решаването на уравнения винаги е последователност елементарни трансформациикъдето невъзможността за ясно и компетентно изпълнение прости стъпкиводи до факта, че учениците от гимназията идват при мен и се учат отново да решават такива прости уравнения.

Разбира се, ще дойде ден, когато ще усъвършенствате тези умения до автоматизм. Вече не е нужно да извършвате толкова много трансформации всеки път, ще пишете всичко на един ред. Но докато просто учите, трябва да напишете всяко действие отделно.

Решаване на още по-сложни линейни уравнения

Това, което ще решим сега, трудно може да се нарече най-простата задача, но смисълът остава същият.

Задача №1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Нека умножим всички елементи от първата част:

Да направим отстъпление:

Ето някои като:

Нека направим последната стъпка:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ето нашия окончателен отговор. И въпреки факта, че в процеса на решаване имахме коефициенти с квадратична функция, обаче, те взаимно се компенсират, което прави уравнението точно линейно, а не квадратно.

Задача №2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Нека направим първата стъпка внимателно: умножете всеки елемент в първата скоба по всеки елемент във втората. Общо четири нови члена трябва да бъдат получени след трансформации:

А сега внимателно изпълнете умножението във всеки член:

Нека преместим членовете с "x" наляво, а без - надясно:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Ето подобни термини:

Получихме категоричен отговор.

Нюанси на решението

Най-важната забележка за тези две уравнения е следната: веднага щом започнем да умножаваме скоби, в които има повече от член, тогава това се прави по следното правило: вземаме първия член от първия и умножаваме с всеки елемент от втория; след това вземаме втория елемент от първия и по подобен начин умножаваме с всеки елемент от втория. В резултат на това получаваме четири термина.

На алгебричната сума

В последния пример бих искал да напомня на учениците какво е алгебрична сума. В класическата математика под $1-7$ имаме предвид проста конструкция: изваждаме седем от едно. В алгебрата под това разбираме следното: към числото „едно“ добавяме друго число, а именно „минус седем“. Тази алгебрична сума се различава от обичайната аритметична сума.

Веднага щом при извършване на всички трансформации, всяко добавяне и умножение започнете да виждате конструкции, подобни на описаните по-горе, просто няма да имате проблеми в алгебрата, когато работите с полиноми и уравнения.

В заключение, нека да разгледаме още няколко примера, които ще бъдат още по-сложни от тези, които току-що разгледахме, и за да ги решим, ще трябва леко да разширим нашия стандартен алгоритъм.

Решаване на уравнения с дроб

За решаването на такива задачи ще трябва да добавим още една стъпка към нашия алгоритъм. Но първо ще напомня нашия алгоритъм:

1. отворени скоби.
2. Отделни променливи.
3. Донесете подобни.
4. Разделете на коефициент.

Уви, този прекрасен алгоритъм, въпреки цялата му ефективност, не е напълно подходящ, когато имаме дроби пред нас. И в това, което ще видим по-долу, имаме дроб отляво и отдясно и в двете уравнения.

Как да работим в този случай? Да, много е просто! За да направите това, трябва да добавите още една стъпка към алгоритъма, която може да се извърши както преди първото действие, така и след него, а именно да се отървете от дроби. Така алгоритъмът ще бъде както следва:

1. Отървете се от дробите.
2. отворени скоби.
3. Отделни променливи.
4. Донесете подобни.
5. Разделете на коефициент.

Какво означава „да се отървем от дробите“? И защо е възможно това да се прави както след, така и преди първата стандартна стъпка? Всъщност в нашия случай всички дроби са числови по отношение на знаменателя, т.е. навсякъде знаменателят е просто число. Следователно, ако умножим и двете части на уравнението по това число, тогава ще се отървем от дроби.

Пример #1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Нека се отървем от дробите в това уравнение:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot четири\]

Моля, обърнете внимание: всичко се умножава по „четири“ веднъж, т.е. това, че имате две скоби, не означава, че трябва да умножите всяка от тях по "четири". нека напишем:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Сега нека го отворим:

Извършваме изолиране на променлива:

Ние извършваме намаляване на подобни условия:

\[-4x=-1\наляво| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Имаме окончателно решение, преминаваме към второто уравнение.

Пример #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Тук извършваме всички същите действия:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Проблема решен.

Това всъщност е всичко, което исках да кажа днес.

Ключови точки

Основните констатации са следните:

• Познаване на алгоритъма за решаване на линейни уравнения.
• Възможност за отваряне на скоби.
• Не се притеснявайте, ако някъде имате квадратични функции, най-вероятно в процеса на по-нататъшни трансформации те ще бъдат намалени.
• Корените в линейните уравнения, дори и най-простите, са три вида: един единствен корен, цялата числова линия е корен, корени изобщо няма.

Надявам се, че този урок ще ви помогне да овладеете проста, но много важна тема за по-нататъшно разбиране на цялата математика. Ако нещо не е ясно, отидете на сайта, решете представените там примери. Очаквайте още много интересни неща!

С тази математическа програма можете да решите система от две линейни уравнения с две променлив методметод на заместване и добавяне.

Програмата не само дава отговор на проблема, но и води подробно решениес обяснения на стъпките на решение по два начина: метод на заместване и метод на добавяне.

Тази програмаможе да бъде полезно за учениците в гимназията при подготовка за контролна работаи изпити, при проверка на знанията преди изпит, родителите да контролират решаването на много задачи по математика и алгебра. Или може би ви е твърде скъпо да наемете учител или да закупите нови учебници? Или просто искате да го направите възможно най-скоро? домашна работаматематика или алгебра? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробно решение.

По този начин можете да изпълнявате вашите собствено обучениеи/или обучението им по-малки братяили сестри, докато нивото на образование в областта на решаваните задачи се повишава.

Правила за въвеждане на уравнения

Всяка латинска буква може да действа като променлива.
Например: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.н.

При въвеждане на уравнения можете да използвате скоби. В този случай уравненията първо се опростяват. Уравненията след опростяване трябва да са линейни, т.е. от вида ax+by+c=0 с точността на реда на елементите.
Например: 6x+1 = 5(x+y)+2

В уравненията можете да използвате не само цели числа, но и дробни числакато десетични и обикновени дроби.

Правила за въвеждане на десетични дроби.
Цяла и дробна част десетични дробимогат да бъдат разделени с точка или запетая.
Например: 2,1n + 3,5m = 55

Правила за въвеждане на обикновени дроби.
Само цяло число може да действа като числител, знаменател и цяла част от дроб.
Знаменателят не може да бъде отрицателен.
Когато влезете числова дробЧислителят се отделя от знаменателя със знак за деление: /
цяла частразделени от дробта с амперсанд: &

Примери.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)

Решете система от уравнения

Беше установено, че някои скриптове, необходими за решаването на тази задача, не са заредени и програмата може да не работи.
Може да сте активирали AdBlock.
В този случай го деактивирайте и опреснете страницата.

Имате деактивиран JavaScript в браузъра си.
JavaScript трябва да е активиран, за да се появи решението.
Ето инструкции как да активирате JavaScript във вашия браузър.

защото Има много хора, които искат да решат проблема, вашата заявка е на опашка.
След няколко секунди решението ще се появи по-долу.
Моля изчакайте сек...

Ако ти забеляза грешка в решението, тогава можете да пишете за това във формата за обратна връзка.
Не забравяй посочете коя задачавие решавате какво въведете в полетата.

Нашите игри, пъзели, емулатори:

Малко теория.

Решаване на системи от линейни уравнения. Метод на заместване

Последователността на действията при решаване на система от линейни уравнения чрез метода на заместване:
1) изразете една променлива от някое уравнение на системата по отношение на друго;
2) заменете получения израз в друго уравнение на системата вместо тази променлива;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Нека изразим от първото уравнение y през x: y = 7-3x. Замествайки израза 7-3x вместо y във второто уравнение, получаваме системата:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Лесно е да се покаже, че първата и втората система имат еднакви решения. Във втората система второто уравнение съдържа само една променлива. Нека решим това уравнение:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Като заместим числото 1 вместо x в уравнението y=7-3x, намираме съответната стойност на y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Двойка (1;4) - решение на системата

Системи от уравнения на две променливи, които имат еднакви решения, се наричат еквивалентен. Системи, които нямат решения, също се считат за еквивалентни.

Решаване на системи от линейни уравнения чрез събиране

Помислете за друг начин за решаване на системи от линейни уравнения - методът на добавяне. При решаване на системи по този начин, както и при решаване чрез метода на заместване, се преминава от дадена система към друга еквивалентна на нея система, в която едно от уравненията съдържа само една променлива.

Последователността на действията при решаване на система от линейни уравнения чрез метода на добавяне:
1) умножете уравненията на системния член по член, като изберете факторите така, че коефициентите за една от променливите да станат противоположни числа;
2) добавете член по член лявата и дясната част на уравненията на системата;
3) решете полученото уравнение с една променлива;
4) намерете съответната стойност на втората променлива.

Пример. Нека решим системата от уравнения:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

В уравненията на тази система коефициентите на y са противоположни числа. Добавяйки член по член лявата и дясната част на уравненията, получаваме уравнение с една променлива 3x=33. Нека заместим едно от уравненията на системата, например първото, с уравнението 3x=33. Да вземем системата
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

От уравнението 3x=33 намираме, че x=11. Като заместим тази стойност x в уравнението \(x-3y=38 \), получаваме уравнение с променливата y: \(11-3y=38 \). Нека решим това уравнение:
\(-3y=27 \Стрелка надясно y=-9 \)

Така намерихме решението на системата от уравнения, като добавихме: \(x=11; y=-9 \) или \((11; -9) \)

Възползвайки се от факта, че в уравненията на системата коефициентите на y са противоположни числа, сведохме нейното решение до решението еквивалентна система(чрез сумиране на двете части на всяко от уравненията на оригиналната sim-тема), в която едно от уравненията съдържа само една променлива.

Книги (учебници) Резюмета на Единния държавен изпит и OGE тестове онлайн Игри, пъзели Изграждане на графики на функции Правописен речник на руския език Речник на младежкия жаргон Справочник на руските училища Каталог на средните училища в Русия Каталог на руските университети Списък със задачи

Линейните уравнения са доста безобидна и разбираема тема. училищна математика. Но, колкото и да е странно, броят на неочакваните грешки при решаването на линейни уравнения е само малко по-малък, отколкото в други теми - квадратни уравнения, логаритми, тригонометрия и др. Причините за повечето грешки са банални идентични трансформации на уравнения. На първо място, това е объркване в знаците при прехвърляне на членове от една част на уравнението в друга, както и грешки при работа с дроби и дробни коефициенти. Да да! Срещат се и дроби в линейните уравнения! Навсякъде наоколо. Малко по-надолу ще анализираме и такива зли уравнения.)

Е, нека не дърпаме котката за опашката и да започнем да го разбираме, нали? Тогава четем и разбираме.)

Какво е линейно уравнение? Примери.

Обикновено линейното уравнение има следната форма:

брадва + b = 0,

Където a и b са произволни числа. Всичко: цяло, дробно, отрицателно, ирационално - всеки може да бъде!

Например:

7x + 1 = 0 (тук a = 7, b = 1)

x - 3 = 0 (тук a = 1, b = -3)

x/2 - 1,1 = 0 (тук a = 1/2, b = -1,1)

Като цяло разбирате, надявам се.) Всичко е просто, като в приказка. За момента ... И ако се вгледате внимателно общ запис ax + b = 0 по-отблизо, но малко обмислено? Тъй като a и b всякакви числа! И ако имаме, да речем, a = 0 и b = 0 (могат да се вземат всякакви числа!), тогава какво ще получим?

0 = 0

Но това не е всичко забавно! И ако, да кажем, a = 0, b = -10? Тогава се оказва доста глупост:

0 = 10.

Което е много, много неприятно и подкопава доверието в извоюваната с пот и кръв математика... Особено при контролни и изпити. Но от тези неразбираеми и странни равенства трябва да намерите и Х! Която изобщо не съществува! И тук дори добре подготвените ученици понякога могат да изпаднат, както се казва, в ступор ... Но не се притеснявайте! AT този урокние също ще разгледаме всички подобни изненади. И x от такива равенства също със сигурност ще се намери.) Освен това, това x се търси много, много просто. Да да! Изненадващо, но факт.)

Добре, това е разбираемо. Но как по външния вид на задачата да разберете, че имаме линейно уравнение, а не някакво друго? За съжаление, далеч не винаги е възможно да се разпознае вида на уравнението само по външен вид. Работата е там, че не само уравненията под формата ax + b = 0 се наричат ​​линейни, но и всички други уравнения, които чрез идентични трансформации по един или друг начин се свеждат до тази форма. Как да разберете дали става или не? Докато почти решите примера - почти нищо. Това е разстройващо. Но за някои видове уравнения е възможно с един бърз поглед веднага да се каже със сигурност дали е линейно или не.

За да направите това, ние се обръщаме отново към цялостна структуравсяко линейно уравнение:

брадва + b = 0

Обърнете внимание, че в линейно уравнение винагиима само променлива x в първа степени малко цифри! И това е! Нищо друго. В същото време няма x на квадрат, куб, под корен, под логаритъм и други екзотики. И (най-важното!) без дроби с х в знаменателите!Но дроби с числа в знаменателите или делението на брой- лесно!

Например:

Това е линейно уравнение. Уравнението съдържа само x на първа степен и числа. И няма X в повече високи градуси- в квадрат, в куб и т.н. Да, тук има дроби, но в същото време те стоят в знаменателите на дроби само числа.А именно две и три. С други думи, няма деление на х.

И ето уравнението

Вече не може да се нарече линеен, въпреки че и тук има само числа и х-ове на първа степен. Защото, наред с други неща, има и дроби с х в знаменателите. И след опростяване и трансформация, такова уравнение може да стане всичко: линейно и квадратно - всяко.

Как се решават линейни уравнения? Примери.

Как се решават линейни уравнения? Прочетете и се изненадайте.) Цялото решение на линейните уравнения се основава само на две основни неща. Нека ги изброим.

1) Набор от елементарни действия и правила на математиката.

Това е използването на скоби, отваряне на скоби, работа с дроби, работа с отрицателни числа, таблицата за умножение и т.н. Тези знания и умения са необходими не само за решаване на линейни уравнения, но и за цялата математика като цяло. И ако това е проблем, запомнете младши класове. В противен случай ще ви е трудно...

2)

Те са само две. Да да! Освен това, тези много елементарни идентични трансформации са в основата на решението не само на линейни, но изобщо на всякакви математически уравнения! С една дума, решението на всяко друго уравнение - квадратно, логаритмично, тригонометрично, ирационално и т.н. - като правило, започва с тези много основни трансформации. Но решаването на точно линейни уравнения всъщност свършва с тях (преобразувания). Готов отговор.) Така че не бъдете мързеливи и се разходете по връзката.) Освен това линейните уравнения също са анализирани подробно там.

Е, мисля, че е време да започнем анализа на примерите.

Като начало, като загрявка, помислете за някои елементарни. Без никакви фракции и други звънци и свирки. Например това уравнение:

x - 2 \u003d 4 - 5x

Това е класическо линейно уравнение. Всички x са максимални на първа степен и никъде няма деление на x. Схемата на решение в такива уравнения винаги е една и съща и проста до ужас: всички членове с x трябва да бъдат събрани отляво, а всички членове без x (т.е. числа) трябва да бъдат събрани отдясно. Така че нека започнем да събираме.

За да направим това, стартираме първата идентична трансформация. Трябва да преместим -5x наляво и -2, за да се преместим надясно. С промяна на знака, разбира се.) Така че прехвърляме:

x + 5x = 4 + 2

Заповядай. Половината битка е свършена: x-овете са събрани на купчина, числата също. Сега даваме подобни отляво и броим отдясно. Получаваме:

6x = 6

Какво ни липсва сега? пълно щастие? Да, така че да остане чисто X отляво! И шестицата пречи. Как да се отървете от него? Сега започваме второто идентично преобразуване - разделяме двете страни на уравнението на 6. И - готово! Отговорът е готов.)

х = 1

Разбира се, примерът е доста примитивен. Да се Главна идеяулов. Е, нека направим нещо по-съществено. Например, разгледайте следното уравнение:

Нека го анализираме подробно.) Това също е линейно уравнение, въпреки че изглежда, че тук има дроби. Но в дробите има деление на две и има деление на три, но няма деление на израз с х! Така че ние решаваме. Използвайки всички същите идентични трансформации, да.)

Какво ще направим първо? С Х - наляво, без Х - надясно? По принцип е възможно и така. Летете до Сочи през Владивосток.) ​​Или можете да поемете по най-краткия път, като използвате веднага универсалния и мощен метод. Ако знаете идентичните трансформации, разбира се.)

За начало питам ключов въпрос: Какво най-много забелязвате и не харесвате в това уравнение? 99 от 100 души казват: дроби!И ще бъдат прави.) Така че нека първо се отървем от тях. Безопасно за самото уравнение.) Така че нека започнем веднага с второ идентично преобразуване- от умножение. По какво трябва да се умножи лявата страна, така че знаменателят да бъде безопасно намален? Точно така, двойно. А дясната страна? За три! Но ... Математиката е капризна дама. Тя, знаете, изисква умножаване само на двете части за същия брой!Умножете всяка част по нейното собствено число - не работи ... Какво ще правим? Нещо... Търсете компромис. За да задоволим желанията си (да се отървем от дробите) и да не обиждаме математиката.) И нека умножим двете части по шест!) Тоест по общ знаменателвсички дроби в уравнението. Тогава, с един замах, двете ще бъдат намалени и трите!)

Тук се умножаваме. Цялата лява страна и цялата дясна страна изцяло! Затова използваме скоби. Ето как изглежда процедурата:

Сега нека отворим тези скоби:

Сега, представяйки 6 като 6/1, умножете шестте по всяка от дробите отляво и отдясно. Това е обичайното умножение на дроби, но, така да бъде, ще напиша подробно:

И тук - внимание! Взех числителя (x-3) в скоби! Това е всичко, защото при умножаване на дроби числителят се умножава изцяло, изцяло и изцяло! И с израза x-3 е необходимо да се работи като с една солидна конструкция. Но ако напишете числителя така:

6x - 3,

Но имаме всичко наред и трябва да го завършим. Какво да правя след това? Отворете скоби в числителя вляво? В никакъв случай! Ние с теб умножихме и двете части по 6, за да се отървем от дробите, а не да се парим с отварящи се скоби. На този етапИмаме нужда от намалим нашите дроби.С чувство на дълбоко задоволство редуцираме всички знаменатели и получаваме уравнението без дроби, в линийка:

3(x-3) + 6x = 30 - 4x

И сега останалите скоби могат да бъдат отворени:

3x - 9 + 6x = 30 - 4x

Уравнението става все по-добро и по-добро! Сега отново си припомняме първата идентична трансформация. С каменно лице повтаряме заклинанието от по-ниски оценки: с x - наляво, без x - надясно. И приложете тази трансформация:

3x + 6x + 4x = 30 + 9

Даваме подобни отляво и броим отдясно:

13x = 39

Остава да разделите двете части на 13. Тоест, приложете отново втората трансформация. Разделяме и получаваме отговора:

х = 3

Работата е свършена. Както можете да видите, в дадено уравнениетрябваше да приложим първата трансформация (превод на термини) веднъж и втората два пъти: в началото на решението използвахме умножение (по 6), за да се отървем от дроби, а в края на решението използвахме деление (по 13) да се отървем от коефициента пред x. И решението на всяко (да, всяко!) линейно уравнение се състои от комбинация от същите тези трансформации в една или друга последователност. Къде точно да започнете зависи от конкретното уравнение. Някъде е по-изгодно да започнете с прехвърляне, а някъде (както в този пример) - с умножение (или деление).

Работим от просто към сложно. Помислете сега за откровения калай. С куп дроби и скоби. И ще ви кажа как да не се пренапрягате.)

Например, ето едно уравнение:

Гледаме уравнението за минута, ужасени сме, но все пак се събираме! Основният проблем е откъде да започна? Можете да добавите дроби от дясната страна. Можете да извадите дроби в скоби. Можете да умножите и двете части по нещо. Или споделете ... И така, какво все още е възможно? Отговор: всичко е възможно! Математиката не забранява нито едно от изброените действия. И каквато и последователност от действия и трансформации да изберете, отговорът винаги ще бъде един и същ – верният. Освен ако, разбира се, на някаква стъпка не нарушавате идентичността на вашите трансформации и по този начин не правите грешки ...

И за да не правим грешки, в такива измислени примери като този винаги е най-полезно да го оценим външен види помислете наум: какво може да се направи в примера, така че максимумда го опростя в една стъпка?

Тук гадаем. Вляво са шестиците в знаменателите. Лично аз не ги харесвам, но се махат много лесно. Нека умножа двете страни на уравнението по 6! Тогава шестиците отляво ще бъдат безопасно намалени, дробите в скоби все още няма да отидат никъде. Е, нищо страшно. Ще се занимаем с тях малко по-късно.) Но отдясно ще намалят знаменателите 2 и 3. Именно с това действие (умножение по 6) постигаме максимални опростявания в една стъпка!

След умножението цялото ни зло уравнение става така:

Ако не разбирате как точно се е получило това уравнение, тогава не сте разбрали добре анализа на предишния пример. И аз опитах, между другото ...

Така че нека го отворим:

Сега най-логичната стъпка би била да изолираме фракциите отляво и да изпратим 5x в дясната страна. В същото време даваме подобни от дясната страна. Получаваме:

Вече много по-добре. Сега лявата страна се е подготвила за умножение. Какво трябва да се умножи по лявата страна, така че и петицата, и четворката веднага да бъдат намалени? На 20! Но имаме и недостатъци от двете страни на уравнението. Следователно ще бъде най-удобно да умножите двете страни на уравнението не по 20, а по -20. Тогава, с един замах, минусите ще изчезнат и дробите.

Тук умножаваме:

За тези, които все още не разбират тази стъпка, това означава, че проблемите не са в уравненията. Проблемите са в основата! Пак си спомняме златно правилоразширяване на скоби:

Ако числото се умножи по някакъв израз в скоби, то това число трябва последователно да се умножи по всеки член на същия израз. Освен това, ако числото е положително, тогава знаците на изразите след разширяването се запазват. Ако са отрицателни, те се обръщат:

a(b+c) = ab+ac

-a(b+c) = -ab-ac

Минусите изчезнаха след умножаване на двете части по -20. И сега умножаваме скобите с дроби отляво по себе си положително число 20. Следователно при отварянето на тези скоби се запазват всички знаци, които са били вътре в тях. Но откъде идват скобите в числителите на дробите, вече обясних подробно в предишния пример.

И сега можете да намалите дробите:

4(3-5x)-5(3x-2) = 20

Разгънете останалите скоби. Отново отваряме правилно. Първите скоби се умножават по положително число 4 и следователно всички знаци се запазват при отварянето им. Но вторите скоби се умножават по отрицателенчислото е -5 и следователно всички знаци са обърнати:

12 - 20x - 15x + 10 = 20

Остават празни места. С x вляво, без x вдясно:

-20x - 15x = 20 - 10 - 12

-35x = -2

Това е почти всичко. Отляво се нуждаете от чист X и числото -35 ви пречи. Така че разделяме двете части на (-35). Напомням ви, че втората трансформация на идентичността ни позволява да умножим и разделим двете части на както и да еномер. Включително отрицателното.) Само да не е до нула! Чувствайте се свободни да споделите и да получите отговор:

X=2/35

Този път X се оказа дробно. ОК е. Такъв пример.)

Както виждаме, принципът за решаване на линейни уравнения (дори и най-заплетените) е доста прост: вземаме оригиналното уравнение и чрез идентични трансформации го опростяваме последователно до отговора. С основите, разбира се! Основните проблеми тук са именно в неспазването на основите (да речем, има минус преди скобите и са забравили да променят знаците при отваряне), както и в баналната аритметика. Така че не пренебрегвайте основите! Те са в основата на цялата останала математика!

Някои трикове при решаване на линейни уравнения. Или специални поводи.

Всичко щеше да е нищо. Въпреки това ... Сред линейните уравнения има и такива смешни бисери, които в процеса на решаването им могат да ги вкарат в силен ступор. Дори отличен ученик.)

Например, ето едно безобидно изглеждащо уравнение:

7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2

Прозявайки се широко и леко отегчени, събираме всички X отляво и всички числа отдясно:

7x-4x-3x = 5-2-3

Даваме подобни, разглеждаме и получаваме:

0 = 0

Това е! Издаден primerchik фокус! Само по себе си това равенство не предизвиква възражения: нулата наистина е равна на нула. Но X го няма! Без следа! И трябва да напишем в отговора, Какво е равно на x . В противен случай решението не се обмисля, да.) Какво да правя?

Без паника! В такива нестандартни случаи най-много общи понятияи принципите на математиката. Какво е уравнение? Как се решават уравнения? Какво означава да решиш уравнение?

Решаването на уравнение означава намиране всичкостойности на променливата x, която при заместване в началенуравнение ще ни даде правилното равенство (тъждество)!

Но имаме правилното равенство вече е готово! 0=0, или по-скоро никъде!) Остава да познаем при кои x-ове получаваме това равенство. В какъв вид x могат да бъдат заменени началенуравнение, ако при заместване всички те все още се свиват до нула?Още ли не си го разбрал?

Да разбира се! Xs могат да бъдат заменени всякакви!!! Абсолютно всякакви. Каквото искате, сложете ги. Поне 1, поне -23, поне 2,7 - каквото и да е! Те тепърва ще се редуцират и в резултат ще остане чистата истина. Опитайте, заменете го и вижте сами.)

Ето вашия отговор:

x е произволно число.

В научната нотация това равенство се записва така:

Този запис гласи така: "X е всяко реално число."

Или под друга форма, на интервали:

Както искате, подредете го. Това е правилният и напълно пълен отговор!

И сега ще променя само едно число в нашето първоначално уравнение. Нека решим това уравнение сега:

7x + 2 = 4x + 5 + 3x - 2

Отново прехвърляме условията, броим и получаваме:

7x - 4x - 3x = 5 - 2 - 2

0 = 1

И как ви харесва този виц? Имаше обикновено линейно уравнение, но имаше неразбираемо равенство

0 = 1…

говорене научен език, имаме грешно равенство.Но на руски не е вярно. Глупости. Глупости.) Защото нулата не е равна на единица!

И сега отново мислим какъв вид x ще ни даде заместването в първоначалното уравнение правилно равенство?Който? Но нито един! Каквото и X да замените, всичко ще бъде намалено и ще има глупости.)

Ето отговора: няма решения.

В математическата нотация такъв отговор се изготвя по следния начин:

Той гласи: "X принадлежи на празното множество."

Такива отговори в математиката също са доста често срещани: не винаги всяко уравнение има принципни корени. Някои уравнения може изобщо да нямат корени. Изобщо.

Ето две изненади. Надявам се, че сега внезапното изчезване на X в уравнението няма да ви обърка завинаги. Случаят е доста познат.)

И тогава чувам логичен въпрос: ще бъдат ли в OGE или USE? На изпита, сами по себе си като задача - не. Твърде просто. Но в OGE или в текстови задачи - лесно! Така че сега - тренираме и решаваме:

Отговори (в безпорядък): -2; -един; произволен брой; 2; няма решения; 7/13.

Всичко се получи? Отлично! Имате добри шансове на изпита.

Нещо не пасва? Хм... Тъга, разбира се. Така че някъде има пропуски. Или в основите, или идентични трансформации. Или е въпрос на банално невнимание. Прочетете отново урока. Защото това не е тема, без която човек може да мине толкова лесно в математиката ...

Късмет! Тя определено ще ви се усмихне, повярвайте ми!)

Линейното уравнение е алгебрично уравнение, чиято обща степен на полиномите е равна на единица. Решаване на линейни уравнения – част училищна програма, и не най-трудното. Някои обаче все още изпитват трудности при преминаването на тази тема. Надяваме се да четем даден материал, всички трудности за вас ще останат в миналото. Така че, нека го разберем. как се решават линейни уравнения.

Обща форма

Линейното уравнение се представя като:

• ax + b = 0, където a и b са произволни числа.

Въпреки че a и b могат да бъдат произволно число, техните стойности влияят на броя на решенията на уравнението. Има няколко специални случая на решение:

• Ако a=b=0, уравнението има безкрайно множестворешения;
• Ако a=0, b≠0, уравнението няма решение;
• Ако a≠0, b=0, уравнението има решение: x = 0.

В случай, че и двете числа нямат нулеви стойности, уравнението трябва да бъде решено, за да се изведе крайният израз за променливата.

Как да решим?

Решаването на линейно уравнение означава намиране на какво е равна дадена променлива. Как да го направя? Да, много е просто - с помощта на прости алгебрични операции и спазване на правилата за прехвърляне. Ако уравнението се появи пред вас в общ вид, имате късмет, всичко, което трябва да направите, е:

1. Преместете b в дясната страна на уравнението, като не забравяте да промените знака (правило за прехвърляне!), Така от израз на формата ax + b = 0 трябва да се получи израз на формата ax = -b.
2. Приложете правилото: за да намерите един от факторите (x - в нашия случай), трябва да разделите продукта (-b в нашия случай) на друг фактор (a - в нашия случай). По този начин трябва да се получи израз на формата: x \u003d -b / a.

Това е всичко - решението е намерено!

Сега нека да разгледаме конкретен пример:

1. 2x + 4 = 0 - трансфер b е равен на този случай 4, дясна страна
2. 2x = -4 - разделете b на a (не забравяйте знака минус)
3. х=-4/2=-2

Това е всичко! Нашето решение: x = -2.

Както можете да видите, намирането на решение на линейно уравнение с една променлива е доста просто, но всичко е толкова просто, ако имаме късмета да срещнем уравнението в обща форма. В повечето случаи, преди решаването на уравнението в двете стъпки, описани по-горе, също е необходимо съществуващият израз да се приведе в общ вид. Това обаче също не е непосилна задача. Нека разгледаме някои специални случаи с примери.

Решаване на специални случаи

Първо, нека да разгледаме случаите, които описахме в началото на статията, и да обясним какво означава да има безкраен брой решения и да няма решение.

• Ако a=b=0, уравнението ще изглежда така: 0x + 0 = 0. Изпълнявайки първата стъпка, получаваме: 0x = 0. Какво означават тези глупости, възкликваш! В крайна сметка, каквото и число да умножите по нула, винаги ще получите нула! вярно! Затова казват, че уравнението има безкраен брой решения - каквото и число да вземете, равенството ще е вярно, 0x \u003d 0 или 0 \u003d 0.
• Ако a=0, b≠0, уравнението ще изглежда така: 0x + 3 = 0. Изпълняваме първата стъпка, получаваме 0x = -3. Пак глупости! Очевидно е, че това равенство никога няма да бъде вярно! Затова казват, че уравнението няма решения.
• Ако a≠0, b=0, уравнението ще изглежда така: 3x + 0 = 0. Като направим първата стъпка, получаваме: 3x = 0. Какво е решението? Лесно е, x = 0.

Трудности при превода

Описаните частни случаи не са всичко, с което могат да ни изненадат линейните уравнения. Понякога уравнението обикновено е трудно да се идентифицира на пръв поглед. Да вземем пример:

• 12x - 14 = 2x + 6

Това линейно уравнение ли е? Но какво да кажем за нулата от дясната страна? Няма да бързаме със заключенията, ще действаме - ще прехвърлим всички компоненти на нашето уравнение лява страна. Получаваме:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Сега, изваждайки подобно от подобно, получаваме:

• 10x - 20 = 0

Научени? Най-линейното уравнение някога! Чието решение: x = 20/10 = 2.

Ами ако имаме този пример:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Да, това също е линейно уравнение, само трябва да се направят още трансформации. Нека първо разширим скобите:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - сега извършете прехвърлянето:
4. 25x - 4 = 0 - остава да се намери решение по вече известната схема:
5. 25x=4
6. х = 4/25 = 0,16

Както можете да видите, всичко е решено, основното е да не се притеснявате, а да действате. Не забравяйте, че ако вашето уравнение съдържа само променливи от първа степен и числа, това е линейно уравнение, което, независимо как изглежда първоначално, може да бъде приведено до общ вид и решено. Надяваме се всичко да се нареди за вас! Късмет!

Системите от уравнения се използват широко в икономическа индустрияпри математическо моделиране различни процеси. Например, при решаване на проблеми с управлението и планирането на производството, логистичните маршрути ( транспортна задача) или разположение на оборудването.

Системите от уравнения се използват не само в областта на математиката, но и във физиката, химията и биологията, когато се решават задачи за намиране на размера на популацията.

Система от линейни уравнения е термин за две или повече уравнения с няколко променливи, за които е необходимо да се намери общо решение. Такава последователност от числа, за която всички уравнения стават истински равенства или доказват, че последователността не съществува.

Линейно уравнение

Уравнения от вида ax+by=c се наричат ​​линейни. Обозначенията x, y са неизвестните, чиято стойност трябва да се намери, b, a са коефициентите на променливите, c е свободният член на уравнението.
Решаването на уравнението чрез начертаване на неговата графика ще изглежда като права линия, всички точки на която са решението на полинома.

Видове системи линейни уравнения

Най-простите са примери за системи от линейни уравнения с две променливи X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, където F1,2 са функции и (x, y) са функционални променливи.

Решете система от уравнения - това означава да се намерят такива стойности (x, y), за които системата става истинско равенство, или да се установи, че няма подходящи стойности на x и y.

Двойка стойности (x, y), записана като координати на точка, се нарича решение на система от линейни уравнения.

Ако системите имат едно общо решение или няма решение, те се наричат ​​еквивалентни.

Хомогенните системи от линейни уравнения са системи дясна часткоето е равно на нула. Ако дясната част след знака "равно" има стойност или е изразена от функция, такава система не е хомогенна.

Броят на променливите може да бъде много повече от две, тогава трябва да говорим за пример на система от линейни уравнения с три или повече променливи.

Изправени пред системи, учениците приемат, че броят на уравненията трябва задължително да съвпада с броя на неизвестните, но това не е така. Броят на уравненията в системата не зависи от променливите, може да има произволно голям брой от тях.

Прости и сложни методи за решаване на системи от уравнения

Няма общ аналитичен начин за решаване подобни системи, всички методи се основават на числени решения. AT училищен курсматематика, такива методи като пермутация, алгебрично събиране, заместване, както и графични и матричен метод, решение по метода на Гаус.

Основната задача при преподаването на методи за решаване е да се научи как правилно да се анализира системата и да се намери оптимален алгоритъмрешения за всеки пример. Основното нещо е да не запомните система от правила и действия за всеки метод, а да разберете принципите на прилагане на конкретен метод.

Решаване на примери за системи от линейни уравнения от 7 клас на програмата средно училищедоста просто и обяснено много подробно. Във всеки учебник по математика на този раздел се отделя достатъчно внимание. Решаването на примери за системи от линейни уравнения по метода на Гаус и Крамер се изучава по-подробно в първите курсове на висшите учебни заведения.

Решаване на системи чрез метода на заместване

Действията на метода на заместване са насочени към изразяване на стойността на една променлива чрез втората. Изразът се замества в останалото уравнение, след което се редуцира до форма с една променлива. Действието се повтаря в зависимост от броя на неизвестните в системата

Да дадем пример за система от линейни уравнения от 7-ми клас по метода на заместване:

Както може да се види от примера, променливата x беше изразена чрез F(X) = 7 + Y. Полученият израз, заместен във второто уравнение на системата на мястото на X, помогна да се получи една променлива Y във второто уравнение . Решение този примерне създава затруднения и ви позволява да получите стойността на Y. Последната стъпка е да проверите получените стойности.

Не винаги е възможно да се реши пример на система от линейни уравнения чрез заместване. Уравненията могат да бъдат сложни и изразяването на променливата по отношение на второто неизвестно ще бъде твърде тромаво за по-нататъшни изчисления. Когато в системата има повече от 3 неизвестни, заместващото решение също е непрактично.

Решение на пример на система от линейни нехомогенни уравнения:

Решение чрез алгебрично събиране

При търсене на решение на системи чрез метода на събиране, почленно събиране и умножение на уравнения по различни числа. Крайната цел на математическите операции е уравнение с една променлива.

За приложения този методизисква практика и наблюдение. Не е лесно да се реши система от линейни уравнения с помощта на метода на събиране с брой променливи 3 или повече. Алгебричното добавяне е полезно, когато уравненията съдържат дроби и десетични числа.

Алгоритъм за действие на решението:

1. Умножете двете страни на уравнението по някакво число. Като резултат аритметична операцияедин от коефициентите на променливата трябва да стане равен на 1.
2. Съберете получения израз член по член и намерете едно от неизвестните.
3. Заместете получената стойност във второто уравнение на системата, за да намерите оставащата променлива.

Метод на решение чрез въвеждане на нова променлива

Може да се въведе нова променлива, ако системата трябва да намери решение за не повече от две уравнения, броят на неизвестните също трябва да бъде не повече от две.

Методът се използва за опростяване на едно от уравненията чрез въвеждане на нова променлива. Новото уравнение се решава по отношение на въведеното неизвестно и получената стойност се използва за определяне на оригиналната променлива.

Примерът показва, че чрез въвеждане на нова променлива t е възможно да се намали първото уравнение на системата до стандартното квадратен тричлен. Можете да разрешите полином, като намерите дискриминанта.

Необходимо е да се намери стойността на дискриминанта по добре позната формула: D = b2 - 4*a*c, където D е желаният дискриминант, b, a, c са множителите на полинома. AT даден пример a=1, b=16, c=39, следователно D=100. Ако дискриминантът Над нулата, тогава има две решения: t = -b±√D / 2*a, ако дискриминантът е по-малък от нула, тогава има само едно решение: x= -b / 2*a.

Решението за получените системи се намира по метода на добавяне.

Визуален метод за решаване на системи

Подходящ за системи с 3 уравнения. Методът е да се надгражда координатна осграфики на всяко уравнение, включено в системата. Координатите на точките на пресичане на кривите и ще бъдат общо решениесистеми.

Графичният метод има редица нюанси. Разгледайте няколко примера за решаване на системи от линейни уравнения по визуален начин.

Както може да се види от примера, две точки бяха конструирани за всяка линия, стойностите на променливата x бяха избрани произволно: 0 и 3. Въз основа на стойностите на x бяха намерени стойностите за y: 3 и 0. На графиката са отбелязани точки с координати (0, 3) и (3, 0) и свързани с линия.

Стъпките трябва да се повторят за второто уравнение. Пресечната точка на правите е решението на системата.

Следният пример трябва да се намери графично решениесистеми от линейни уравнения: 0.5x-y+2=0 и 0.5x-y-1=0.

Както се вижда от примера, системата няма решение, тъй като графиките са успоредни и не се пресичат по цялата си дължина.

Системите от примери 2 и 3 са сходни, но когато се конструират, става очевидно, че техните решения са различни. Трябва да се помни, че не винаги е възможно да се каже дали системата има решение или не, винаги е необходимо да се изгради графика.

Матрицата и нейните разновидности

Матриците се използват за съкращениесистеми от линейни уравнения. Една таблица се нарича матрица. специален видпълни с числа. n*m има n - редове и m - колони.

Матрицата е квадратна, когато броят на колоните и редовете е равен. Матрица - векторът е матрица от една колона с безкрайност възможен бройлинии. Матрица с единици по един от диагоналите и други нулеви елементи се нарича идентичност.

Обратната матрица е такава матрица, когато се умножи, по която оригиналната се превръща в единична, такава матрица съществува само за оригиналната квадратна.

Правила за преобразуване на система от уравнения в матрица

По отношение на системите от уравнения коефициентите и свободните членове на уравненията се записват като числа на матрицата, едно уравнение е един ред от матрицата.

Матричен ред се нарича ненулев, ако поне един елемент от реда не е равен на нула. Следователно, ако в някое от уравненията броят на променливите е различен, тогава е необходимо да въведете нула на мястото на липсващото неизвестно.

Колоните на матрицата трябва стриктно да съответстват на променливите. Това означава, че коефициентите на променливата x могат да бъдат записани само в една колона, например първата, коефициентът на неизвестното y - само във втората.

При умножаване на матрица всички елементи на матрицата се умножават последователно по число.

Опции за намиране на обратната матрица

Формулата за намиране на обратната матрица е доста проста: K -1 = 1 / |K|, където K -1 - обратна матрицаи |K| - матричен детерминант. |K| не трябва да е равно на нула, тогава системата има решение.

Детерминантата се изчислява лесно за матрица две по две, необходимо е само елементите да се умножат диагонално един с друг. За опцията "три по три" има формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можете да използвате формулата или можете да запомните, че трябва да вземете по един елемент от всеки ред и всяка колона, така че номерата на колоните и редовете на елементите да не се повтарят в продукта.

Решаване на примери на системи от линейни уравнения по матричния метод

Матричният метод за намиране на решение позволява да се намалят тромавите нотации при решаване на системи с голямо количествопроменливи и уравнения.

В примера a nm са коефициентите на уравненията, матрицата е вектор, x n са променливите, а b n са свободните членове.

Решаване на системи по метода на Гаус

AT висша математикаметодът на Гаус се изучава заедно с метода на Крамер, а процесът на намиране на решение на системи се нарича метод на решение на Гаус-Крамер. Тези методи се използват за намиране системни променливис много линейни уравнения.

Методът на Гаус е много подобен на решения, използващи замествания и алгебрично събиранено по-систематично. В училищния курс се използва решението на Гаус за системи от 3 и 4 уравнения. Целта на метода е да доведе системата до формата на обърнат трапец. Чрез алгебрични трансформации и замествания стойността на една променлива се намира в едно от уравненията на системата. Второто уравнение е израз с 2 неизвестни, а 3 и 4 - съответно с 3 и 4 променливи.

След привеждане на системата до описания вид, по-нататъшното решение се свежда до последователно заместване на известни променливи в уравненията на системата.

В училищните учебници за 7 клас пример за гаусово решение е описан, както следва:

Както може да се види от примера, на стъпка (3) са получени две уравнения 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решението на всяко от уравненията ще ви позволи да намерите една от променливите x n.

Теорема 5, която се споменава в текста, гласи, че ако едно от уравненията на системата се замени с еквивалентно, то получената система също ще бъде еквивалентна на оригиналната.

Методът на Гаус е труден за разбиране от учениците гимназия, но е един от най-интересните начини за развитие на изобретателността на децата, записани в програмата задълбочено проучванев часовете по математика и физика.

За по-лесно записване на изчисленията е обичайно да се прави следното:

Коефициентите на уравнението и свободните членове се записват под формата на матрица, където всеки ред от матрицата съответства на едно от уравненията на системата. разделя лявата страна на уравнението от дясната страна. Римските цифри означават номерата на уравненията в системата.

Първо те записват матрицата, с която да работят, след това всички действия, извършени с един от редовете. Получената матрица се записва след знака "стрелка" и продължава да извършва необходимите алгебрични операции, докато се постигне резултатът.

В резултат на това трябва да се получи матрица, в която един от диагоналите е 1, а всички други коефициенти са равни на нула, т.е. матрицата се редуцира до една форма. Не трябва да забравяме да правим изчисления с числата от двете страни на уравнението.

Тази нотация е по-малко тромава и ви позволява да не се разсейвате от изброяване на множество неизвестни.

Безплатното прилагане на всеки метод на решение ще изисква внимание и известен опит. Не всички методи се прилагат. Някои начини за намиране на решения са по-предпочитани в определена област на човешката дейност, докато други съществуват с цел обучение.