Математически изразиа задачите изискват много допълнителни знания. NOC е един от основните, особено често се използва в темата.Темата се изучава в гимназията, докато не е особено трудна за разбиране на материала, няма да е трудно за човек, запознат със степените и таблицата за умножение, да избере необходимите числа и намерете резултата.

Определение

Общо кратно е число, което може да бъде напълно разделено на две числа едновременно (a и b). Най-често това число се получава чрез умножаване на оригиналните числа a и b. Числото трябва да се дели на двете числа едновременно, без отклонения.

NOC е приетият термин за кратко заглавие, сглобени от първите букви.

Начини за получаване на номер

За да намерите LCM, методът за умножение на числа не винаги е подходящ, той е много по-подходящ за прости едноцифрени или двуцифрени числа. Обичайно е да се разделят на фактори, колкото по-голямо е числото, толкова повече фактори ще има.

Пример #1

За най-простия пример училищата обикновено приемат прости, едноцифрени или двуцифрени числа. Например, трябва да решите следната задача, намерете най-малкото общо кратно на числата 7 и 3, решението е съвсем просто, просто ги умножете. В резултат на това има числото 21, просто няма по-малко число.

Пример #2

Вторият вариант е много по-труден. Дадени са числата 300 и 1260, намирането на LCM е задължително. За решаване на задачата се предполагат следните действия:

Разлагане на първо и второ число на най-прости множители. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Първият етап е завършен.

Вторият етап включва работа с вече получените данни. Всяко от получените числа трябва да участва в изчисляването на крайния резултат. За всеки фактор най-големият брой срещания се взема от оригиналните числа. НОК е общ брой, така че факторите от числата трябва да се повтарят в него до последно, дори и тези, които присъстват в един екземпляр. И двете начални числа имат в състава си числата 2, 3 и 5, в различни степени, 7 присъства само в един случай.

За да изчислите крайния резултат, трябва да вземете всяко число в най-голямата от представените им степени в уравнението. Остава само да умножите и да получите отговора, с правилното попълване задачата се вписва в две стъпки без обяснение:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300.

Това е цялата задача, ако се опитате да изчислите желаното число чрез умножение, тогава отговорът определено няма да е правилен, тъй като 300 * 1260 = 378 000.

Преглед:

6300 / 300 = 21 - вярно;

6300 / 1260 = 5 е правилно.

Коректността на резултата се определя чрез проверка - разделяне на LCM на двете оригинални числа, ако числото е цяло число и в двата случая, тогава отговорът е правилен.

Какво означава NOC в математиката

Както знаете, в математиката няма нито една безполезна функция, тази не е изключение. Най-честата употреба на това число е за намаляване на дроби до общ знаменател. Какво обикновено се изучава в 5-6 клас гимназия. Освен това е общ делител за всички кратни, ако такива условия са в проблема. Такъв израз може да намери кратно не само на две числа, но и на много по-голямо число - три, пет и т.н. как още числа- колкото повече действия в задачата, но сложността на това не се увеличава.

Например, като се имат предвид числата 250, 600 и 1500, трябва да намерите общия им LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - този пример описва разлагането на множители в детайли, без редукция.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

За да се състави израз, е необходимо да се споменат всички множители, в случая са дадени 2, 5, 3 - за всички тези числа е необходимо да се определи максималната степен.

Внимание: всички множители трябва да бъдат доведени до пълно опростяване, ако е възможно, разлагане до ниво на едноцифрени числа.

Преглед:

1) 3000 / 250 = 12 - вярно;

2) 3000 / 600 = 5 - вярно;

3) 3000 / 1500 = 2 е правилно.

Този метод не изисква никакви трикове или способности на ниво гений, всичко е просто и ясно.

Друг начин

В математиката много неща са свързани, много могат да бъдат решени по два или повече начина, същото важи и за намирането на най-малкото общо кратно, LCM. Следващ методможе да се използва в случай на прости двуцифрени и едноцифрени числа. Съставя се таблица, в която множителят се въвежда вертикално, множителят хоризонтално, а произведението се посочва в пресичащите се клетки на колоната. Можете да отразявате таблицата с помощта на линия, взема се число и резултатите от умножаването на това число с цели числа се записват в ред, от 1 до безкрайност, понякога са достатъчни 3-5 точки, второто и следващите числа се подлагат към същия изчислителен процес. Всичко се случва, докато се намери общо кратно.

Имайки предвид числата 30, 35, 42, трябва да намерите LCM, който свързва всички числа:

1) Кратни на 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 и т.н.

2) Кратни на 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 и т.н.

3) Кратни на 42: 84, 126, 168, 210, 252 и т.н.

Забелязва се, че всички числа са доста различни, единственото общо число сред тях е 210, така че това ще бъде LCM. Сред процесите, свързани с това изчисление, има и най-големият общ делител, който се изчислява по подобни принципи и често се среща в съседни задачи. Разликата е малка, но достатъчно значителна, LCM включва изчисляването на число, което се дели на всички дадени начални стойности, а GCM включва изчислението най-голяма стойностна които се делят оригиналните числа.

Нека продължим дискусията за най-малкото общо кратно, която започнахме в раздела LCM - Най-малко общо кратно, дефиниция, примери. В тази тема ще разгледаме начини за намиране на LCM за три или повече числа, ще анализираме въпроса как да намерим LCM на отрицателно число.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Изчисляване на най-малкото общо кратно (LCM) чрез gcd

Вече установихме връзката между най-малкото общо кратно и най-големия общ делител. Сега нека научим как да дефинираме LCM чрез GCD. Първо, нека да разберем как да направим това за положителни числа.

Определение 1

Можете да намерите най-малкото общо кратно чрез най-големия общ делител, като използвате формулата LCM (a, b) \u003d a b: НОД (a, b) .

Пример 1

Необходимо е да се намери LCM на числата 126 и 70.

Решение

Нека вземем a = 126 , b = 70 . Заменете стойностите във формулата за изчисляване на най-малкото общо кратно чрез най-големия общ делител LCM (a, b) = a · b: НОД (a, b) .

Намира НОД на числата 70 и 126. За това се нуждаем от алгоритъма на Евклид: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , следователно gcd (126 , 70) = 14 .

Нека изчислим LCM: LCM (126, 70) = 126 70: НОД (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Отговор: LCM (126, 70) = 630.

Пример 2

Намерете nok на числата 68 и 34.

Решение

GCD в този случайНамирането му е лесно, тъй като 68 се дели на 34. Изчислете най-малкото общо кратно, като използвате формулата: LCM (68, 34) = 68 34: НОД (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Отговор: LCM(68, 34) = 68.

В този пример използвахме правилото за намиране на най-малкото общо кратно на положителни цели числа a и b: ако първото число се дели на второто, тогава LCM на тези числа ще бъде равно на първото число.

Намиране на LCM чрез разлагане на числа на прости множители

Сега нека разгледаме начин за намиране на LCM, който се основава на разлагането на числата на прости множители.

Определение 2

За да намерим най-малкото общо кратно, трябва да изпълним няколко прости стъпки:

• съставете продукта на всички основни факторичисла, за които трябва да намерим LCM;
• ние изключваме всички прости множители от техните получени продукти;
• произведението, получено след елиминиране на общите прости множители, ще бъде равно на LCM на дадените числа.

Този начин за намиране на най-малкото общо кратно се основава на равенството LCM (a , b) = a b: НОД (a , b) . Ако погледнете формулата, ще стане ясно: произведението на числата a и b е равно на произведението на всички фактори, които участват в разширяването на тези две числа. В този случай НОД на две числа е равно на произведениетовсички прости множители, които присъстват едновременно в факторизациите на дадените две числа.

Пример 3

Имаме две числа 75 и 210. Можем да ги разделим по следния начин: 75 = 3 5 5И 210 = 2 3 5 7. Ако направите произведението на всички множители на двете оригинални числа, получавате: 2 3 3 5 5 5 7.

Ако изключим множителите 3 и 5, общи за двете числа, получаваме произведението следния вид: 2 3 5 5 7 = 1050. Този продукт ще бъде нашият LCM за числата 75 и 210.

Пример 4

Намерете LCM на числата 441 И 700 , разлагайки двете числа на прости множители.

Решение

Нека намерим всички прости множители на числата, дадени в условието:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Получаваме две вериги от числа: 441 = 3 3 7 7 и 700 = 2 2 5 5 7 .

Продуктът на всички фактори, които са участвали в разширяването на тези числа, ще изглежда така: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Нека намерим общите множители. Това число е 7. Да го изключим от общ продукт: 2 2 3 3 5 5 7 7. Оказва се, че NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Отговор: LCM (441 , 700) = 44 100 .

Нека дадем още една формулировка на метода за намиране на LCM чрез разлагане на числата на прости множители.

Определение 3

Преди това изключихме от общия брой фактори, общи за двете числа. Сега ще го направим по различен начин:

• Нека разложим и двете числа на прости множители:
• добавете към произведението на простите множители на първото число липсващите множители на второто число;
• получаваме продукта, който ще бъде търсеният LCM от две числа.

Пример 5

Да се ​​върнем към числата 75 и 210, за които вече търсихме LCM в един от предишните примери. Нека ги разделим на прости фактори: 75 = 3 5 5И 210 = 2 3 5 7. Към произведението на множители 3 , 5 и 5 номер 75 добавете липсващите множители 2 И 7 числата 210 . Получаваме: 2 3 5 5 7 .Това е LCM на числата 75 и 210.

Пример 6

Необходимо е да се изчисли LCM на числата 84 и 648.

Решение

Нека разложим числата от условието на прости множители: 84 = 2 2 3 7И 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Добавете към произведението на множителите 2 , 2 , 3 и 7 числа 84 липсващи множители 2 , 3 , 3 и
3 числата 648 . Получаваме продукта 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 .Това е най-малкото общо кратно на 84 и 648.

Отговор: LCM (84, 648) = 4536.

Намиране на LCM на три или повече числа

Независимо с колко числа имаме работа, алгоритъмът на нашите действия винаги ще бъде един и същ: последователно ще намираме LCM на две числа. Има теорема за този случай.

Теорема 1

Да предположим, че имаме цели числа a 1 , a 2 , … , a k. НОК m kот тези числа се намира при последователно изчисление m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .

Сега нека да разгледаме как теоремата може да се приложи към конкретни проблеми.

Пример 7

Трябва да изчислите най-малкото общо кратно на четирите числа 140 , 9 , 54 и 250 .

Решение

Нека въведем нотацията: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Нека започнем с изчисляването на m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Нека използваме евклидовия алгоритъм, за да изчислим НОД на числата 140 и 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Получаваме: НОД(140, 9) = 1, НОК(140, 9) = 140 9: НОД(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Следователно m 2 = 1 260 .

Сега нека изчислим по същия алгоритъм m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . В хода на изчисленията получаваме m 3 = 3 780.

Остава да изчислим m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Ние действаме по същия алгоритъм. Получаваме m 4 \u003d 94 500.

LCM на четирите числа от примерното условие е 94500.

Отговор: LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Както можете да видите, изчисленията са прости, но доста трудоемки. За да спестите време, можете да отидете по друг начин.

Определение 4

Предлагаме ви следния алгоритъм на действие:

• разложи всички числа на прости множители;
• към произведението на множителите на първото число добавете липсващите множители от произведението на второто число;
• добавете липсващите фактори на третото число към продукта, получен на предишния етап и т.н.;
• полученото произведение ще бъде най-малкото общо кратно на всички числа от условието.

Пример 8

Необходимо е да се намери НОК на пет числа 84, 6, 48, 7, 143.

Решение

Нека разложим всичките пет числа на прости множители: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Простите числа, което е числото 7, не могат да бъдат разложени на прости множители. Такива числа съвпадат с тяхното разлагане на прости множители.

Сега нека вземем произведението на простите множители 2, 2, 3 и 7 на числото 84 и добавим към тях липсващите множители на второто число. Разложихме числото 6 на 2 и 3. Тези множители вече са в произведението на първото число. Затова ги пропускаме.

Продължаваме да добавяме липсващите множители. Обръщаме се към числото 48, от произведението на прости множители, на които вземаме 2 и 2. След това добавяме прост множител 7 от четвъртото число и множителите 11 и 13 от петото. Получаваме: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Това е най-малкото общо кратно на петте оригинални числа.

Отговор: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

Намиране на най-малкото общо кратно на отрицателни числа

За намиране на най-малкото общо кратно отрицателни числа, тези числа трябва първо да бъдат заменени с числа с противоположен знаки след това извършете изчисления съгласно горните алгоритми.

Пример 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) и LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Такива действия са допустими поради факта, че ако се приеме, че аИ − а- противоположни числа
тогава множеството от кратни асъвпада с набора от кратни на число − а.

Пример 10

Необходимо е да се изчисли LCM на отрицателни числа − 145 И − 45 .

Решение

Нека сменим числата − 145 И − 45 към техните противоположни числа 145 И 45 . Сега, използвайки алгоритъма, изчисляваме НКТ (145 , 45) = 145 45: НОД (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 , като преди това сме определили НОД с помощта на алгоритъма на Евклид.

Получаваме, че НОК на числата − 145 и − 45 равно на 1 305 .

Отговор: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Как да намерите LCM (най-малко общо кратно)

Общото кратно на две цели числа е цялото число, което се дели равномерно на двете дадени числа без остатък.

Най-малкото общо кратно на две цели числа е най-малкото от всички цели числа, което се дели равномерно и без остатък и на двете дадени числа.

Метод 1. Можете да намерите LCM на свой ред за всяко от дадените числа, като изпишете във възходящ ред всички числа, които се получават чрез умножаването им по 1, 2, 3, 4 и т.н.

Примерза числата 6 и 9.
Умножаваме числото 6 последователно по 1, 2, 3, 4, 5.
Получаваме: 6, 12, 18 , 24, 30
Умножаваме числото 9 последователно по 1, 2, 3, 4, 5.
Получаваме: 9, 18 , 27, 36, 45
Както можете да видите, LCM за числата 6 и 9 ще бъде 18.

Този метод е удобен, когато и двете числа са малки и е лесно да се умножат по поредица от цели числа. Въпреки това, има моменти, когато трябва да намерите LCM за двуцифрено или трицифрени числа, а също и когато има три или дори повече начални числа.

Метод 2. Можете да намерите LCM, като разложите оригиналните числа на прости множители.
След разлагането е необходимо да се изтрият от получената серия прости множители същите числа. Останалите числа от първото число ще бъдат факторът за второто, а останалите числа от второто число ще бъдат факторът за първото.

Примерза числото 75 и 60.
Най-малкото общо кратно на числата 75 и 60 може да се намери, без да се изписват подред кратни на тези числа. За да направим това, разлагаме 75 и 60 на прости множители:
75 = 3 * 5 * 5 и
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Както можете да видите, факторите 3 и 5 се срещат и в двата реда. Мислено ги "зачеркваме".
Нека напишем останалите фактори, включени в разширението на всяко от тези числа. При разлагането на числото 75 оставихме числото 5, а при разлагането на числото 60 оставихме 2 * 2
И така, за да определим LCM за числата 75 и 60, трябва да умножим останалите числа от разгръщането на 75 (това е 5) по 60, а числата, останали от разгръщането на числото 60 (това е 2 * 2) ) умножете по 75. Тоест за по-лесно разбиране казваме, че умножаваме "на кръст".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Ето как намерихме LCM за числата 60 и 75. Това е числото 300.

Пример. Определете LCM за числата 12, 16, 24
В този случай нашите действия ще бъдат малко по-сложни. Но първо, както винаги, разлагаме всички числа на прости множители
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
За да определим правилно LCM, избираме най-малкото от всички числа (това е числото 12) и последователно преминаваме през неговите множители, като ги задраскваме, ако поне един от другите редове с числа има същия множител, който все още не е пресечен навън.

Етап 1 . Виждаме, че 2 * 2 се среща във всички серии от числа. Зачеркваме ги.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Стъпка 2. В простите множители на числото 12 остава само числото 3. Но то присъства в простите множители на числото 24. Задраскваме числото 3 от двата реда, докато за числото 16 не се очаква действие .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Както можете да видите, при разлагането на числото 12 ние "задраскахме" всички числа. Така констатацията на НОК е завършена. Остава само да се изчисли стойността му.
За числото 12 вземаме останалите множители от числото 16 (най-близкото във възходящ ред)
12 * 2 * 2 = 48
Това е НОК

Както можете да видите, в този случай намирането на LCM беше малко по-трудно, но когато трябва да го намерите за три или повече числа, този методви позволява да го направите по-бързо. Въпреки това и двата начина за намиране на LCM са правилни.

Най-голям общ делител

Определение 2

Ако естествено число a се дели на естествено число $b$, тогава $b$ се нарича делител на $a$, а числото $a$ се нарича кратно на $b$.

Нека $a$ и $b$ са естествени числа. Числото $c$ се нарича общ делител както на $a$, така и на $b$.

Множеството от общи делители на числата $a$ и $b$ е крайно, тъй като никой от тези делители не може да бъде по-голям от $a$. Това означава, че сред тези делители има най-големият, който се нарича най-голям общ делител на числата $a$ и $b$ и се обозначава със следната нотация:

$gcd \ (a;b) \ ​​​​или \ D \ (a;b)$

За да намерите най-големия общ делител на две числа:

1. Намерете произведението на числата, намерени в стъпка 2. Полученото число ще бъде желаният най-голям общ делител.

Пример 1

Намерете gcd на числата $121$ и $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Изберете числата, които са включени в разширението на тези числа

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Намерете произведението на числата, намерени в стъпка 2. Полученото число ще бъде желаният най-голям общ делител.

$gcd=2\cdot 11=22$

Пример 2

Намерете НОД на мономи $63$ и $81$.

Ще намерим според представения алгоритъм. За това:

Нека разложим числата на прости множители

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Ние избираме числата, които са включени в разширението на тези числа

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Нека намерим произведението на числата, намерени в стъпка 2. Полученото число ще бъде желаният най-голям общ делител.

$gcd=3\cdot 3=9$

Можете да намерите НОД на две числа по друг начин, като използвате набора от делители на числа.

Пример 3

Намерете НОД на числата $48$ и $60$.

Решение:

Намерете набора от делители на $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Сега нека намерим набора от делители на $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

Нека намерим пресечната точка на тези множества: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - това множество ще определи множеството от общи делители на числата $48$ и $60 $. Най-големият елемент в даден наборще бъде числото $12$. Така че най-големият общ делител на $48$ и $60$ е $12$.

Дефиниция на NOC

Определение 3

общо кратно естествени числа $a$ и $b$ е естествено число, което е кратно на $a$ и $b$.

Общите кратни на числата са числа, които се делят на оригинала без остатък. Например за числата $25$ и $50$ общите кратни ще бъдат числата $50,100,150,200$ и т.н.

Най-малкото общо кратно ще се нарича най-малко общо кратно и ще се означава с LCM$(a;b)$ или K$(a;b).$

За да намерите LCM на две числа, трябва:

1. Разлагайте числата на прости множители
2. Изпишете факторите, които са част от първото число и добавете към тях факторите, които са част от второто и не отиват към първото

Пример 4

Намерете LCM на числата $99$ и $77$.

Ще намерим според представения алгоритъм. За това

Разлагайте числата на прости множители

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Запишете факторите, включени в първия

добавете към тях фактори, които са част от втория и не отиват към първия

Намерете произведението на числата, намерени в стъпка 2. Полученото число ще бъде желаното най-малко общо кратно

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Съставянето на списъци с делители на числа често отнема много време. Има начин да се намери GCD, наречен алгоритъм на Евклид.

Изявления, на които се основава алгоритъмът на Евклид:

Ако $a$ и $b$ са естествени числа и $a\vdots b$, тогава $D(a;b)=b$

Ако $a$ и $b$ са естествени числа, така че $b

Използвайки $D(a;b)= D(a-b;b)$, можем последователно да намаляваме разглежданите числа, докато достигнем двойка числа, така че едното от тях да се дели на другото. Тогава по-малкото от тези числа ще бъде търсеният най-голям общ делител за числата $a$ и $b$.

Свойства на GCD и LCM

1. Всяко общо кратно на $a$ и $b$ се дели на K$(a;b)$
2. Ако $a\vdots b$ , тогава K$(a;b)=a$

Ако K$(a;b)=k$ и $m$-естествено число, то K$(am;bm)=km$

Ако $d$ е общ делител за $a$ и $b$, тогава K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Ако $a\vdots c$ и $b\vdots c$ , тогава $\frac(ab)(c)$ е общо кратно на $a$ и $b$

За всякакви естествени числа $a$ и $b$ равенството

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

Всеки общ делител на $a$ и $b$ е делител на $D(a;b)$

Но много естествени числа се делят равномерно на други естествени числа.

Например:

Числото 12 се дели на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;

Числото 36 се дели на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

Числата, на които се дели числото (за 12 е 1, 2, 3, 4, 6 и 12) се наричат делители на числа. Делител на естествено число ае естественото число, което дели дадено число абез следа. Нарича се естествено число, което има повече от два множителя композитен .

Забележете, че числата 12 и 36 имат общи делители. Това са числата: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Най-големият делител на тези числа е 12. Общият делител на тези две числа аИ bе числото, на което и двете дадени числа се делят без остатък аИ b.

общо кратноняколко числа се нарича числото, което се дели на всяко от тези числа. Например, числата 9, 18 и 45 имат общо кратно на 180. Но 90 и 360 също са техните общи кратни. Сред всички jcommon кратни винаги има най-малкото, в този случай то е 90. Това число се нарича най-малкообщо кратно (LCM).

LCM винаги е естествено число, което трябва да е по-голямо от най-голямото от числата, за които е дефинирано.

Най-малко общо кратно (LCM). Имоти.

Комутативност:

Асоциативност:

По-специално, ако и са взаимно прости числа, тогава:

Най-малкото общо кратно на две цели числа мИ не делител на всички други общи кратни мИ н. Освен това, набор от общи кратни м,нсъвпада с набора от кратни за LCM( м,н).

Асимптотиката за може да бъде изразена чрез някои теоретични функции.

Така, Функция на Чебишев. И:

Това следва от определението и свойствата на функцията на Ландау g(n).

Какво следва от закона за разпределение прости числа.

Намиране на най-малкото общо кратно (LCM).

НОК( а, б) може да се изчисли по няколко начина:

1. Ако най-големият общ делител е известен, можете да използвате връзката му с LCM:

2. Нека се знае канонично разлаганедвете числа на прости множители:

Където p 1 ,...,p kса различни прости числа и d 1 ,...,d kИ e 1 ,...,ekса неотрицателни цели числа (те могат да бъдат нула, ако съответното просто число не е в разлагането).

Тогава LCM ( а,b) се изчислява по формулата:

С други думи, LCM разширението съдържа всички прости множители, които са включени в поне едно от числовите разширения а, б, и се взема най-големият от двата показателя на този фактор.

Пример:

Изчисляването на най-малкото общо кратно на няколко числа може да се сведе до няколко последователни изчисления на LCM на две числа:

правило.За да намерите LCM на поредица от числа, трябва:

- разлагат числата на прости множители;

- прехвърлете най-голямото разширение към факторите на желания продукт (произведението на факторите на най-големия брой от дадените) и след това добавете факторите от разширението на други числа, които не се срещат в първото число или са в то по-малко числоведнъж;

- полученото произведение от прости множители ще бъде LCM на дадените числа.

Всеки две или повече естествени числа имат свой собствен LCM. Ако числата не са кратни едно на друго или нямат същите множителипри разлагането, тогава техният LCM е равен на произведението на тези числа.

Простите множители на числото 28 (2, 2, 7) бяха допълнени с множител 3 (числото 21), полученият продукт (84) ще бъде най-малкото число, което се дели на 21 и 28 .

Простите множители на най-голямото число 30 бяха допълнени с множител 5 на числото 25, полученото произведение 150 е по-голямо от най-голямото число 30 и се дели на всички дадени числа без остатък. Това най-малко продуктот възможните (150, 250, 300...), което е кратно на всички дадени числа.

Числата 2,3,11,37 са прости, така че техният LCM е равен на произведението на дадените числа.

правило. За да изчислите LCM на прости числа, трябва да умножите всички тези числа заедно.

Друг вариант:

За да намерите най-малкото общо кратно (LCM) на няколко числа, трябва:

1) представя всяко число като произведение на неговите прости множители, например:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) запишете степените на всички прости множители:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) запишете всички прости делители (множители) на всяко от тези числа;

4) изберете най-голямата степен на всяко от тях, намираща се във всички разширения на тези числа;

5) умножете тези правомощия.

Пример. Намерете LCM на числата: 168, 180 и 3024.

Решение. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Изписваме най-големите степени на всички прости делители и ги умножаваме:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.