Какво означава стандартната форма на моном? Дефиниция на моном, свързани понятия, примери

Концепцията за моном

Дефиниция на моном: моном е алгебричен израз, който използва само умножение.

Стандартна форма на монома

Какво стана стандартен изгледмоном? Мономът се записва в стандартна форма, ако има числен фактор на първо място и този фактор се нарича коефициент на монома, има само един в монома, буквите на монома са подредени по азбучен ред и всяка буква се появява само веднъж.

Пример за моном в стандартна форма:

тук на първо място е число, коефициентът на монома, и това число е само едно в нашия моном, всяка буква се среща само веднъж и буквите са подредени по азбучен ред, в в такъв случайтова е латинската азбука.

Друг пример за моном в стандартна форма:

всяка буква се появява само веднъж, те са подредени по латински азбучен ред, но къде е коефициентът на монома, т.е. числовият фактор, който трябва да е на първо място? Той е тук равно на едно: 1адм.

Може ли коефициентът на монома да бъде отрицателен? Да, може би, пример: -5a.

Може ли коефициентът на един моном да бъде дробен? Да, може би, пример: 5.2a.

Ако един моном се състои само от число, т.е. няма букви, как мога да го приведа в стандартна форма? Всеки моном, който е число, вече е в стандартна форма, например: числото 5 е моном в стандартна форма.

Привеждане на мономи до стандартна форма

Как да приведа моном в стандартна форма? Нека да разгледаме примерите.

Нека е даден мономът 2a4b; Умножаваме неговите два числови множителя и получаваме 8ab. Сега мономът е написан в стандартна форма, т.е. има само един числов фактор, написан на първо място, всяка буква в монома се среща само веднъж и тези букви са подредени по азбучен ред. Така че 2a4b = 8ab.

Дадено е: моном 2a4a, приведете монома в стандартна форма. Умножаваме числата 2 и 4, като заместваме произведението aa с втората степен на 2. Получаваме: 8a 2 . Това е стандартната форма на този моном. Така че 2a4a = 8a 2 .

Подобни мономи

Какво представляват подобни мономи? Ако мономите се различават само по коефициенти или са равни, тогава те се наричат ​​подобни.

Пример за подобни мономи: 5а и 2а. Тези мономи се различават само по коефициенти, което означава, че са подобни.

Подобни ли са мономите 5abc и 10cba? Нека приведем втория моном към стандартна форма и да получим 10abc. Сега можем да видим, че мономите 5abc и 10abc се различават само по своите коефициенти, което означава, че са подобни.

Събиране на мономи

Какъв е сборът на мономите? Можем само да сумираме подобни мономи. Нека разгледаме пример за добавяне на мономи. Каква е сумата на мономите 5a и 2a? Сборът от тези мономи ще бъде моном, подобен на тях, чийто коефициент равно на суматакоефициенти на термините. И така, сборът на мономите е 5a + 2a = 7a.

Още примери за добавяне на мономи:

2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4

Отново. Можете да добавяте само подобни мономи; добавянето се свежда до добавяне на техните коефициенти.

Изваждане на мономи

Каква е разликата между мономите? Можем да изваждаме само подобни мономи. Нека да разгледаме пример за изваждане на мономи. Каква е разликата между мономи 5а и 2а? Разликата на тези мономи ще бъде моном, подобен на тях, чийто коефициент е равен на разликата на коефициентите на тези мономи. И така, разликата на мономите е 5a - 2a = 3a.

Още примери за изваждане на мономи:

10a 2 - 3a 2 = 7a 2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4

Умножение на мономи

Какъв е продуктът на мономите? Да разгледаме един пример:

тези. произведението на мономите е равно на моном, чиито множители са съставени от множителите на първоначалните мономи.

Друг пример:

2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .

Как се стигна до този резултат? Всеки фактор съдържа „а“ на степен: в първия - „а“ на степен 2, а във втория - „а“ на степен 5. Това означава, че продуктът ще съдържа „а“ на степен от 7, тъй като при умножаване на еднакви букви показателите на техните степени се сгъват:

A 2 * a 5 = a 7 .

Същото важи и за фактора “b”.

Коефициентът на първия фактор е две, а на втория е едно, така че резултатът е 2 * 1 = 2.

Ето как се изчислява резултатът: 2a 7 b 12.

От тези примери става ясно, че коефициентите на едночлените се умножават и еднаквите букви се заменят със сумите на техните степени в произведението.

Мономите са произведения на числа, променливи и техните степени. Числата, променливите и техните степени също се считат за мономи. Например: 12ac, -33, a^2b, a, c^9. Мономът 5aa2b2b може да се редуцира до формата 20a^2b^2. Това означава, че стандартният вид на монома е произведението на коефициента (който е първи) и степените на. променливите. Коефициенти 1 и -1 не се изписват, но се запазва минус от -1. Моном и неговата стандартна форма

Изразите 5a2x, 2a3(-3)x2, b2x са произведения на числа, променливи и техните степени. Такива изрази се наричат ​​мономи. Числата, променливите и техните степени също се считат за мономи.

Например изразите 8, 35,y и y2 са мономи.

Стандартната форма на монома е моном под формата на произведение на числен фактор на първо място и степени на различни променливи. Всеки моном може да бъде редуциран до стандартна форма чрез умножаване на всички променливи и числа, включени в него. Ето пример за редуциране на моном до стандартна форма:

4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5

Численият фактор на монома, записан в стандартна форма, се нарича коефициент на монома. Например, коефициентът на монома -7x2y2 е равен на -7. Коефициентите на мономите x3 и -xy се считат за равни на 1 и -1, тъй като x3 = 1x3 и -xy = -1xy

Степента на монома е сумата от показателите на всички променливи, включени в него. Ако един моном не съдържа променливи, тоест е число, тогава неговата степен се счита за равна на нула.

Например степента на монома 8x3yz2 е 6, монома 6x е 1, а степента на -10 е 0.

Умножение на мономи. Повдигане на мономи на степени

При умножаване на мономи и повишаване на мономи на степен се използват правилото за умножение на степени с една и съща основа и правилото за повишаване на степен на степен. Това произвежда моном, който обикновено се представя в стандартна форма.

Например

4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3

((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6

В този урок ще дадем строга дефиниция на моном, помислете различни примериот учебника. Нека си припомним правилата за умножение на степени с на същото основание. Нека дефинираме стандартната форма на монома, коефициента на монома и неговата буквена част. Нека разгледаме две основни типични операции върху мономи, а именно привеждане до стандартна форма и изчисляване на конкретна числена стойност на мономи при дадени стойностилитералните променливи, включени в него. Нека формулираме правило за редуциране на моном до стандартна форма. Да се ​​научим да решаваме типични задачис всякакви мономи.

Предмет:Мономи. Аритметични действия върху мономи

Урок:Концепцията за моном. Стандартна форма на монома

Помислете за някои примери:

3. ;

Ще намерим Общи чертиза дадените изрази. И в трите случая изразът е произведение на числа и променливи, повдигнати на степен. Въз основа на това даваме мономиална дефиниция : Мономът е алгебричен израз, който се състои от произведението на степени и числа.

Сега даваме примери за изрази, които не са мономи:

Нека намерим разликата между тези изрази и предишните. Състои се в това, че в примери 4-7 има операции събиране, изваждане или деление, докато в примери 1-3, които са мономи, тези операции ги няма.

Ето още няколко примера:

Израз номер 8 е моном, защото е произведение на степен и число, докато пример 9 не е моном.

Сега нека разберем действия върху мономи .

1. Опростяване. Да разгледаме пример №3 ;и пример № 2 /

Във втория пример виждаме само един коефициент - , всяка променлива се среща само веднъж, тоест променливата " А" се представя в едно копие като "", по подобен начин променливите "" и "" се появяват само веднъж.

В пример № 3, напротив, има два различни коефициента - и , виждаме променливата "" два пъти - като "" и като "", по същия начин променливата "" се появява два пъти. Тоест, този израз трябва да бъде опростен, така стигаме до първото действие, извършено върху мономи, е да се редуцират мономи до стандартна форма . За да направим това, ще редуцираме израза от Пример 3 до стандартна форма, след което ще дефинираме тази операция и ще научим как да редуцираме всеки моном до стандартна форма.

Така че, помислете за пример:

Първото действие в операцията за привеждане до стандартна форма винаги е да се умножат всички числови множители:

;

Резултат на това действиеще се нарича коефициент на монома .

След това трябва да умножите правомощията. Нека умножим степените на променливата " х„според правилото за умножение на степени с еднакви основи, което гласи, че при умножение степените се събират:

Сега нека умножим правомощията " при»:

;

И така, ето един опростен израз:

;

Всеки моном може да бъде приведен до стандартна форма. Да формулираме правило за стандартизация :

Умножете всички числени фактори;

Поставете получения коефициент на първо място;

Умножете всички степени, тоест вземете буквената част;

Тоест всеки моном се характеризира с коефициент и буквена част. Гледайки напред, отбелязваме, че едночлените, които имат една и съща буквена част, се наричат ​​подобни.

Сега трябва да тренираме техника за редуциране на мономи до стандартна форма . Помислете за примери от учебника:

Задача: приведете монома в стандартна форма, назовете коефициента и буквената част.

За изпълнение на задачата ще използваме правилото за привеждане на моном до стандартен вид и свойствата на степените.

1. ;

3. ;

Коментари по първия пример: Първо, нека определим дали този израз наистина е моном, нека проверим дали съдържа операции на умножение на числа и степени и дали съдържа операции на събиране, изваждане или деление. Можем да кажем, че този израз е моном, тъй като горното условие е изпълнено. След това, съгласно правилото за редуциране на моном до стандартна форма, умножаваме числените множители:

- намерихме коефициента на даден моном;

; ; ; тоест получава се буквалната част на израза:;

Нека запишем отговора: ;

Коментари по втория пример: Следвайки правилото, което изпълняваме:

1) умножете числови фактори:

2) умножете правомощията:

Променливите са представени в едно копие, тоест не могат да бъдат умножени с нищо, те се пренаписват без промени, степента се умножава:

Нека запишем отговора:

;

IN в този примеркоефициентът на монома е равен на единица, а буквената част е .

Коментари към третия пример: аПодобно на предишните примери, извършваме следните действия:

1) умножете числови фактори:

;

2) умножете правомощията:

;

Нека запишем отговора: ;

В този случай коефициентът на монома е "", а буквената част .

Сега нека помислим втора стандартна операция върху мономи . Тъй като мономът е алгебричен израз, състоящ се от буквални променливи, които могат да приемат специфични числови стойности, тогава имаме аритметика числов израз, които следва да се изчислят. Тоест, следващата операция върху полиноми е изчисляване на тяхната специфична числена стойност .

Нека разгледаме един пример. Даден моном:

този моном вече е редуциран до стандартна форма, неговият коефициент е равен на единица и буквената част

По-рано казахме, че алгебричен израз не винаги може да бъде изчислен, т.е. променливите, които са включени в него, не могат да приемат никаква стойност. В случай на моном, променливите, включени в него, могат да бъдат всякакви характеристики на монома.

И така, в даден примеризисква се да се изчисли стойността на монома при , , , .

Степен на моном

За монома съществува понятието степен. Нека да разберем какво е то.

Определение.

Степен на мономстандартната форма е сумата от експонентите на всички променливи, включени в неговия запис; ако в нотацията на монома няма променливи и той е различен от нула, тогава неговата степен се счита за равна на нула; числото нула се счита за моном, чиято степен е недефинирана.

Определянето на степента на монома ви позволява да дадете примери. Степента на монома a е равна на едно, тъй като a е a 1. Степента на монома 5 е нула, тъй като той е различен от нула и неговият запис не съдържа променливи. И произведението 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 е моном от осма степен, тъй като сумата от показателите на всички променливи a, x и y е равна на 2+1+3+2=8.

Между другото, степента на моном, който не е записан в стандартна форма, е равна на степента на съответния моном от стандартна форма. За да илюстрираме това, нека изчислим степента на монома 3 x 2 y 3 x (−2) x 5 y. Този моном в стандартна форма има формата −6·x 8 ·y 4, неговата степен е 8+4=12. Така степента на първоначалния моном е 12.

Мономен коефициент

Моном в стандартна форма, който има поне една променлива в своето обозначение, е продукт с един числен фактор - числен коефициент. Този коефициент се нарича мономиален коефициент. Нека формулираме горните аргументи под формата на определение.

Определение.

Мономен коефициенте численият фактор на моном, записан в стандартна форма.

Сега можем да дадем примери за коефициенти на различни мономи. Числото 5 е коефициентът на монома 5·a 3 по дефиниция, подобно на монома (−2,3)·x·y·z има коефициент от −2,3.

Специално внимание заслужават коефициентите на мономите, равни на 1 и −1. Въпросът тук е, че те обикновено не присъстват изрично в записа. Смята се, че коефициентът на мономите със стандартна форма, които нямат числен фактор в записа си, е равен на единица. Например мономи a, x·z 3, a·t·x и т.н. имат коефициент 1, тъй като a може да се разглежда като 1·a, x·z 3 - като 1·x·z 3 и т.н.

По същия начин, коефициентът на мономи, чиито записи в стандартна форма нямат числов фактор и започват със знак минус, се счита за минус едно. Например, мономи −x, −x 3 y z 3 и т.н. имат коефициент −1, тъй като −x=(−1) x, −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3и така нататък.

Между другото, концепцията за коефициента на монома често се нарича мономи от стандартната форма, които са числа без буквени множители. Коефициентите на такива мономи-числа се считат за тези числа. Така, например, коефициентът на монома 7 се счита за равен на 7.

Библиография.

• Алгебра:учебник за 7 клас общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 17-то изд. - М.: Образование, 2008. - 240 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Мордкович А. Г.Алгебра. 7 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за уч образователни институции/ А. Г. Мордкович. - 17-то изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (наръчник за кандидати за технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.

Отбелязахме, че всеки моном може да бъде доведе до стандартна форма. В тази статия ще разберем какво се нарича привеждане на моном в стандартна форма, какви действия позволяват извършването на този процес и ще разгледаме решения на примери с подробни обяснения.

Навигация в страницата.

Какво означава да се намали един моном до стандартна форма?

Удобно е да се работи с мономи, когато са написани в стандартна форма. Но много често мономите се задават във форма, различна от стандартната. В тези случаи винаги можете да преминете от оригиналния моном към моном със стандартна форма чрез извършване на трансформации на идентичност. Процесът на извършване на такива трансформации се нарича редуциране на монома до стандартна форма.

Нека обобщим горните аргументи. Редуцирайте монома до стандартна форма- това означава да направите следното с него трансформации на идентичносттатака че да приеме стандартната форма.

Как да приведа моном в стандартна форма?

Време е да разберем как да редуцираме мономи до стандартна форма.

Както е известно от дефиницията, мономи с нестандартна форма са произведения на числа, променливи и техните степени и евентуално повтарящи се. И един моном от стандартната форма може да съдържа в своята нотация само едно число и неповтарящи се променливи или техните степени. Сега остава да разберем как да приведем продукти от първия тип към типа на втория?

За да направите това, трябва да използвате следното правилото за редуциране на моном до стандартна формасъстоящ се от две стъпки:

• Първо се извършва групиране на числени фактори, както и идентични променливи и техните мощности;
• Второ, произведението на числата се изчислява и прилага.

В резултат на прилагане на посоченото правило всеки моном ще бъде редуциран до стандартна форма.

Примери, решения

Остава само да се научим да прилагаме правилото от предходния параграф при решаване на примери.

Пример.

Редуцирайте монома 3 x 2 x 2 до стандартна форма.

Решение.

Нека групираме числови фактори и фактори с променлива x. След групирането оригиналният моном ще приеме формата (3·2)·(x·x 2) . Произведението на числата в първите скоби е равно на 6, а правилото за умножение на степени с еднакви основи позволява изразът във вторите скоби да бъде представен като x 1 +2=x 3. В резултат на това получаваме полином от стандартната форма 6 x 3.

Да дадем кратка бележкарешения: 3 x 2 x 2 =(3 2) (x x 2)=6 x 3.

Отговор:

3 x 2 x 2 =6 x 3.

И така, за да приведете един моном в стандартна форма, трябва да можете да групирате фактори, да умножавате числа и да работите със степени.

За да консолидираме материала, нека решим още един пример.

Пример.

Представете монома в стандартна форма и посочете неговия коефициент.

Решение.

Оригиналният моном има един числен множител в своето обозначение −1, нека го преместим в началото. След това отделно ще групираме факторите с променливата a, отделно с променливата b и няма с какво да групираме променливата m, ще я оставим както е, имаме . След извършване на операции със степени в скоби, мономът ще приеме стандартната форма, от която се нуждаем, от която можем да видим, че коефициентът на монома е равен на −1. Минус едно може да се замени със знак минус: .