Десетични знаци: дефиниции, означения, примери, операции с десетични знаци. Как да решим десетични дроби Ако в десетичен

Тема: Десетични числа. Събиране и изваждане на десетични знаци

Урок: Десетичен запис на дробни числа

Знаменателят на дроб може да се изрази с всяко естествено число. Дробни числа, в които знаменателят е изразен като 10; 100; 1000;…, където n, се съгласихме да го запишем без знаменател. Всяко дробно число, чийто знаменател е 10; 100; 1000 и т.н. (тоест единица, последвана от няколко нули) може да бъде представена в десетична система (като десетична). Първо се записва цялата част, след това числителя на дробната част, а цялата част се отделя от дробта със запетая.

Например,

Ако липсва цяла част, т.е. Ако дробта е правилна, тогава цялата част се записва като 0.

За да напишете правилно десетичната запетая, числителят на дробта трябва да има толкова цифри, колкото нули има в дробта.

1. Запишете като десетичен знак.

2. Представяне на десетична дроб като дроб или смесено число.

3. Прочетете десетичните знаци.

12.4 - 12 точка 4;

0,3 - 0 точка 3;

1.14 - 1 точка 14 стотни;

2.07 - 2 точки 7 стотни;

0,06 - 0 точки 6 стотни;

0,25 - 0 точки 25;

1,234 - 1 точка 234 хилядни;

1.230 - 1 точка 230 хилядни;

1,034 - 1 точка 34 хилядни;

1,004 - 1 точка 4 хилядни;

1.030 - 1 точка 30 хилядни;

0,010101 - 0 точка 10101 милионни.

4. Преместете запетаята във всяка цифра с 1 място наляво и прочетете числата.

34,1; 310,2; 11,01; 10,507; 2,7; 3,41; 31,02; 1,101; 1,0507; 0,27.

5. Преместете запетаята във всяко от числата с 1 място вдясно и прочетете полученото число.

1,37; 0,1401; 3,017; 1,7; 350,4; 13,7; 1,401; 30,17; 17; 3504.

6. Изразете в метри и сантиметри.

3,28 m = 3 m + .

7. Изразете в тонове и килограми.

24.030 t = 24 t.

8. Запишете частното като десетична дроб.

1710: 100 = ;

64: 10000 =

803: 100 =

407: 10 =

9. Експресно в dm.

5 dm 6 cm = 5 dm + ;

9 mm =

Вече казахме, че има дроби обикновениИ десетичен знак. На този етап научихме малко за дробите. Научихме, че има правилни и неправилни дроби. Научихме също, че обикновените дроби могат да се съкращават, събират, изваждат, умножават и делят. И също така научихме, че има така наречените смесени числа, които се състоят от цяло число и дробна част.

Все още не сме изследвали напълно обикновените дроби. Има много тънкости и подробности, за които трябва да се говори, но днес ще започнем да изучаваме десетичен знакдроби, тъй като обикновените и десетичните дроби често трябва да се комбинират. Тоест при решаване на задачи трябва да работите и с двата вида дроби.

Този урок може да изглежда сложен и объркващ. Съвсем нормално е. Този вид уроци изискват да се изучават, а не да се преглеждат повърхностно.

Съдържание на урока

Изразяване на количествата в дробна форма

Понякога е удобно да се покаже нещо в дробна форма. Например една десета от дециметъра се записва така:

Този израз означава, че един дециметър е разделен на десет равни части и от тези десет части е взета една част. И една част от десет в този случай е равна на един сантиметър:

Помислете за следния пример. Покажете 6 см и още 3 мм в сантиметри в дробна форма.

Така че трябва да покажете 6 см и 3 мм в сантиметри, но в дробна форма. Вече имаме 6 цели сантиметра:

Но остават още 3 милиметра. Как да ги покажа тези 3 милиметра, и то в сантиметри? Дробите идват на помощ. Един сантиметър е десет милиметра. Три милиметра са три части от десет. И три части от десет са написани като cm

Изразът cm означава, че един сантиметър е разделен на десет равни части и от тези десет части са взети три части.

В резултат на това имаме шест цели сантиметра и три десети от сантиметъра:

В този случай 6 показва броя на целите сантиметри, а дробта показва броя на дробните сантиметри. Тази дроб се чете като "шест запетая и три сантиметра".

Дроби, чийто знаменател съдържа числата 10, 100, 1000, могат да бъдат записани без знаменател. Първо напишете цялата част, а след това числителя на дробната част. Цялата част се отделя от числителя на дробната част със запетая.

Например, нека го запишем без знаменател. Първо записваме цялата част. Цялата част е 6

Записва се цялата част. Веднага след написването на цялата част поставяме запетая:

А сега записваме числителя на дробната част. В смесено число числителят на дробната част е числото 3. Пишем три след десетичната запетая:

Всяко число, което е представено в тази форма, се нарича десетичен знак.

Следователно можете да покажете 6 cm и още 3 mm в сантиметри, като използвате десетична дроб:

6,3 см

Ще изглежда така:

Всъщност десетичните знаци са същите като обикновените дроби и смесените числа. Особеността на такива дроби е, че знаменателят на тяхната дробна част съдържа числата 10, 100, 1000 или 10 000.

Подобно на смесено число, десетичната дроб има цяло число и дробна част. Например в едно смесено число цялата част е 6, а дробната е .

В десетичната дроб 6.3 цялата част е числото 6, а дробната част е числителят на дробта, тоест числото 3.

Случва се и обикновени дроби, в чийто знаменател числата 10, 100, 1000 са дадени без цяла част. Например дадена е дроб без цяла част. За да напишете такава дроб като десетична, първо напишете 0, след това поставете запетая и напишете числителя на дробта. Дроб без знаменател ще бъде записана по следния начин:

Чете като "нула точка пет".

Преобразуване на смесени числа в десетични

Когато пишем смесени числа без знаменател, по този начин ги преобразуваме в десетични дроби. Когато преобразувате дроби в десетични, има няколко неща, които трябва да знаете, за които ще говорим сега.

След като цялата част е записана, е необходимо да се преброи броят на нулите в знаменателя на дробната част, тъй като броят на нулите на дробната част и броят на цифрите след десетичната запетая в десетичната дроб трябва да бъдат един и същ. Какво означава? Разгледайте следния пример:

Първо

И можете веднага да запишете числителя на дробната част и десетичната дроб е готова, но определено трябва да преброите броя на нулите в знаменателя на дробната част.

И така, ние броим броя на нулите в дробната част на едно смесено число. Знаменателят на дробната част има една нула. Това означава, че в десетичната дроб ще има една цифра след десетичната запетая и тази цифра ще бъде числителят на дробната част на смесеното число, тоест числото 2

Така, когато се преобразува в десетична дроб, смесеното число става 3,2.

Тази десетична дроб се чете така:

"Три точка две"

„Десети“, защото числото 10 е в дробната част на смесено число.

Пример 2.Преобразувайте смесено число в десетично.

Запишете цялата част и поставете запетая:

И можете веднага да запишете числителя на дробната част и да получите десетичната дроб 5,3, но правилото гласи, че след десетичната запетая трябва да има толкова цифри, колкото нули има в знаменателя на дробната част на смесеното число. И виждаме, че знаменателят на дробната част има две нули. Това означава, че нашата десетична дроб трябва да има две цифри след десетичната запетая, а не една.

В такива случаи числителят на дробната част трябва да бъде леко модифициран: добавете нула пред числителя, т.е. преди числото 3

Сега можете да конвертирате това смесено число в десетична дроб. Запишете цялата част и поставете запетая:

И запишете числителя на дробната част:

Десетичната дроб 5.03 се чете, както следва:

"Пет точка три"

„Стотици“, защото знаменателят на дробната част на смесено число съдържа числото 100.

Пример 3.Преобразувайте смесено число в десетично.

От предишни примери научихме, че за да преобразуваме успешно смесено число в десетично, броят на цифрите в числителя на дробта и броят на нулите в знаменателя на дробта трябва да са еднакви.

Преди да конвертирате смесено число в десетична дроб, неговата дробна част трябва да бъде леко модифицирана, а именно, за да се уверите, че броят на цифрите в числителя на дробната част и броят на нулите в знаменателя на дробната част са един и същ.

Първо, разглеждаме броя на нулите в знаменателя на дробната част. Виждаме, че има три нули:

Нашата задача е да организираме три цифри в числителя на дробната част. Вече имаме една цифра - това е числото 2. Остава да добавим още две цифри. Те ще бъдат две нули. Добавете ги преди числото 2. В резултат на това броят на нулите в знаменателя и броят на цифрите в числителя ще бъдат еднакви:

Сега можете да започнете да преобразувате това смесено число в десетична дроб. Първо записваме цялата част и поставяме запетая:

и веднага запишете числителя на дробната част

3,002

Виждаме, че броят на цифрите след десетичната запетая и броят на нулите в знаменателя на дробната част на смесеното число са еднакви.

Десетичната дроб 3,002 се чете, както следва:

"Три цел и две хилядни"

„Хилядна“, защото знаменателят на дробната част на смесеното число съдържа числото 1000.

Преобразуване на дроби в десетични знаци

Обикновените дроби със знаменател 10, 100, 1000 или 10 000 също могат да бъдат преобразувани в десетични знаци. Тъй като обикновената дроб няма цяло число, първо запишете 0, след това поставете запетая и запишете числителя на дробната част.

И тук броят на нулите в знаменателя и броят на цифрите в числителя трябва да са еднакви. Затова трябва да внимавате.

Пример 1.

Цялата част липсва, затова първо пишем 0 и поставяме запетая:

Сега разглеждаме броя на нулите в знаменателя. Виждаме, че има една нула. И числителят има една цифра. Това означава, че можете безопасно да продължите десетичната дроб, като напишете числото 5 след десетичната запетая

В получената десетична дроб 0,5 броят на цифрите след десетичната запетая и броят на нулите в знаменателя на дробта са еднакви. Това означава, че дробта е преведена правилно.

Десетичната дроб 0,5 се чете, както следва:

"Нула точка пет"

Пример 2.Преобразувайте дроб в десетичен знак.

Цяла част липсва. Първо пишем 0 и поставяме запетая:

Сега разглеждаме броя на нулите в знаменателя. Виждаме, че има две нули. А числителят има само една цифра. За да направите броя на цифрите и броя на нулите еднакви, добавете една нула в числителя преди числото 2. Тогава дробта ще приеме формата . Сега броят на нулите в знаменателя и броят на цифрите в числителя са еднакви. Така че можете да продължите десетичната дроб:

В получената десетична дроб 0,02 броят на цифрите след десетичната запетая и броят на нулите в знаменателя на дробта са еднакви. Това означава, че дробта е преведена правилно.

Десетичната дроб 0,02 се чете, както следва:

"Нула точка две."

Пример 3.Преобразувайте дроб в десетичен знак.

Напишете 0 и поставете запетая:

Сега преброяваме броя на нулите в знаменателя на дробта. Виждаме, че има пет нули, а в числителя има само една цифра. За да направите броя на нулите в знаменателя и броя на цифрите в числителя еднакви, трябва да добавите четири нули в числителя преди числото 5:

Сега броят на нулите в знаменателя и броят на цифрите в числителя са еднакви. Така че можем да продължим с десетичната дроб. Напишете числителя на дробта след десетичната запетая

В получената десетична дроб 0,00005 броят на цифрите след десетичната запетая и броят на нулите в знаменателя на дробта са еднакви. Това означава, че дробта е преведена правилно.

Десетичната дроб 0,00005 се чете, както следва:

„Нула точка петстотин хилядни.“

Преобразуване на неправилни дроби в десетични

Неправилна дроб е дроб, в която числителят е по-голям от знаменателя. Има неправилни дроби, в които знаменателят съдържа числата 10, 100, 1000 или 10 000. Такива дроби могат да се преобразуват в десетични. Но преди да се преобразуват в десетична дроб, тези дроби трябва да бъдат разделени на цялата част.

Пример 1.

Дробта е неправилна дроб. За да преобразувате такава дроб в десетична дроб, първо трябва да изберете цялата й част. Нека си припомним как да изолираме цялата част от неправилните дроби. Ако сте забравили, съветваме ви да се върнете и да го проучите.

И така, нека подчертаем цялата част в неправилната дроб. Спомнете си, че дроб означава деление - в този случай деление на числото 112 на числото 10

Нека да разгледаме тази снимка и да сглобим нов смесен номер, като детски конструктор. Числото 11 ще бъде цялата част, числото 2 ще бъде числителят на дробната част, а числото 10 ще бъде знаменателят на дробната част.

Имаме смесен брой. Нека го преобразуваме в десетична дроб. И вече знаем как да преобразуваме такива числа в десетични дроби. Първо запишете цялата част и поставете запетая:

Сега преброяваме броя на нулите в знаменателя на дробната част. Виждаме, че има една нула. А числителят на дробната част има една цифра. Това означава, че броят на нулите в знаменателя на дробната част и броят на цифрите в числителя на дробната част са еднакви. Това ни дава възможност веднага да запишем числителя на дробната част след десетичната запетая:

В получената десетична дроб 11.2 броят на цифрите след десетичната запетая и броят на нулите в знаменателя на дробта са еднакви. Това означава, че дробта е преведена правилно.

Това означава, че неправилна дроб става 11,2, когато се преобразува в десетична.

Десетичната дроб 11.2 се чете, както следва:

— Единадесет и две.

Пример 2.Преобразувайте неправилна дроб в десетична.

Това е неправилна дроб, защото числителят е по-голям от знаменателя. Но може да се преобразува в десетична дроб, тъй като знаменателят съдържа числото 100.

Първо, нека изберем цялата част от тази дроб. За да направите това, разделете 450 на 100 с ъгъл:

Да съберем ново смесено число - получаваме . И вече знаем как да преобразуваме смесени числа в десетични дроби.

Запишете цялата част и поставете запетая:

Сега преброяваме броя на нулите в знаменателя на дробната част и броя на цифрите в числителя на дробната част. Виждаме, че броят на нулите в знаменателя и броят на цифрите в числителя са еднакви. Това ни дава възможност веднага да запишем числителя на дробната част след десетичната запетая:

В получената десетична дроб 4,50 броят на цифрите след десетичната запетая и броят на нулите в знаменателя на дробта са еднакви. Това означава, че дробта е преведена правилно.

Това означава, че неправилна дроб става 4,50, когато се преобразува в десетична.

При решаване на задачи, ако има нули в края на десетичната дроб, те могат да бъдат изхвърлени. Нека също да премахнем нулата в нашия отговор. Тогава получаваме 4,5

Това е едно от интересните неща за десетичните числа. Това се крие във факта, че нулите, които се появяват в края на дробта, не придават никаква тежест на тази дроб. С други думи, десетичните знаци 4,50 и 4,5 са равни. Нека поставим знак за равенство между тях:

4,50 = 4,5

Възниква въпросът: защо се случва това? В крайна сметка 4,50 и 4,5 изглеждат като различни дроби. Цялата тайна се крие в основното свойство на дробите, което изучавахме по-рано. Ще се опитаме да докажем защо десетичните дроби 4,50 и 4,5 са равни, но след като изучим следващата тема, която се нарича „преобразуване на десетична дроб в смесено число“.

Преобразуване на десетична запетая в смесено число

Всяка десетична дроб може да бъде преобразувана обратно в смесено число. За целта е достатъчно да можете да четете десетични дроби. Например, нека преобразуваме 6,3 в смесено число. 6.3 е шест запетая три. Първо записваме шест цели числа:

и до три десети:

Пример 2.Преобразувайте десетично число 3,002 в смесено число

3,002 е три цяло и две хилядни. Първо записваме три цели числа

и до него пишем две хилядни:

Пример 3.Преобразувайте десетично число 4,50 в смесено число

4,50 е четири цяло и петдесет. Запишете четири цели числа

и следващите петдесет стотни:

Между другото, да си припомним последния пример от предишната тема. Казахме, че десетичните знаци 4,50 и 4,5 са равни. Казахме също, че нулата може да бъде изхвърлена. Нека се опитаме да докажем, че десетичните знаци 4,50 и 4,5 са равни. За да направим това, преобразуваме и двете десетични дроби в смесени числа.

Когато се преобразува в смесено число, десетичната запетая 4,50 става , а десетичната запетая 4,5 става

Имаме две смесени числа и . Нека преобразуваме тези смесени числа в неправилни дроби:

Сега имаме две дроби и . Време е да си припомним основното свойство на дроб, което гласи, че когато умножите (или разделите) числителя и знаменателя на дроб по едно и също число, стойността на дробта не се променя.

Нека разделим първата дроб на 10

Имаме и това е втората дроб. Това означава, че и двете са равни една на друга и равни на една и съща стойност:

Опитайте да използвате калкулатор, за да разделите първо 450 на 100, а след това 45 на 10. Ще бъде смешно.

Преобразуване на десетична дроб в дроб

Всяка десетична дроб може да бъде преобразувана обратно в дроб. За да направите това, отново е достатъчно да можете да четете десетични дроби. Например, нека преобразуваме 0,3 в обикновена дроб. 0,3 е нула запетая и три. Първо записваме нула цели числа:

и до три десети 0. Нулата традиционно не се записва, така че крайният отговор няма да бъде 0, а просто .

Пример 2.Преобразувайте десетичната дроб 0,02 в дроб.

0,02 е нула запетая две. Ние не записваме нула, така че веднага записваме две стотни

Пример 3.Преобразувайте 0,00005 в дроб

0,00005 е нула цяло пет. Ние не записваме нула, така че веднага записваме петстотин хилядни

Хареса ли ви урока?
Присъединете се към нашата нова група VKontakte и започнете да получавате известия за нови уроци

За да запишете рационално число m/n като десетична дроб, трябва да разделите числителя на знаменателя. В този случай частното се записва като крайна или безкрайна десетична дроб.

Запишете това число като десетична дроб.

Решение. Разделете числителя на всяка дроб в колона по знаменателя: а)разделете 6 на 25; б)разделяне на 2 на 3; V)разделете 1 на 2 и след това добавете получената дроб към едно - цялата част от това смесено число.

Несъкратими обикновени дроби, чиито знаменатели не съдържат прости множители, различни от 2 И 5 , се записват като последна десетична дроб.

IN пример 1кога а)знаменател 25=5·5; кога V)знаменателят е 2, така че получаваме крайните десетични знаци от 0,24 и 1,5. Кога б)знаменателят е 3, така че резултатът не може да бъде записан като краен десетичен знак.

Възможно ли е без дълго деление да се преобразува в десетична дроб такава обикновена дроб, чийто знаменател не съдържа други делители освен 2 и 5? Нека да го разберем! Каква дроб се нарича десетична и се записва без дробна черта? Отговор: дроб със знаменател 10; 100; 1000 и т.н. И всяко от тези числа е продукт равенброй двойки и петици. Всъщност: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 и т.н.

Следователно, знаменателят на нередуцируема обикновена дроб ще трябва да бъде представен като произведение от „двойки“ и „петици“ и след това да бъде умножен по 2 и (или) 5, така че „двойките“ и „петиците“ да станат равни. Тогава знаменателят на дробта ще бъде равен на 10 или 100 или 1000 и т.н. За да сме сигурни, че стойността на дробта не се променя, умножаваме числителя на дробта по същото число, с което сме умножили знаменателя.

Изразете следните обикновени дроби като десетични числа:

Решение. Всяка от тези дроби е несъкратима. Нека разложим знаменателя на всяка дроб на прости множители.

20=2·2·5. Извод: липсва едно „А“.

8=2·2·2. Заключение: липсват три „А“.

25=5·5. Заключение: липсват две „двойки“.

Коментирайте.На практика те често не използват факторизация на знаменателя, а просто задават въпроса: по колко трябва да се умножи знаменателят, така че резултатът да е единица с нули (10 или 100 или 1000 и т.н.). И след това числителят се умножава по същото число.

Така че, в случай а)(пример 2) от числото 20 можете да получите 100, като умножите по 5, следователно трябва да умножите числителя и знаменателя по 5.

Кога б)(пример 2) от числото 8 няма да се получи числото 100, а ще се получи числото 1000, като се умножи по 125. И числителят (3), и знаменателят (8) на дробта се умножават по 125.

Кога V)(пример 2) от 25 получавате 100, ако умножите по 4. Това означава, че числителят 8 трябва да се умножи по 4.

Нарича се безкрайна десетична дроб, в която една или повече цифри неизменно се повтарят в една и съща последователност периодиченкато десетичен знак. Наборът от повтарящи се цифри се нарича период на тази дроб. За краткост периодът на дроб се записва веднъж, ограден в скоби.

Кога б)(пример 1) има само една повтаряща се цифра и е равна на 6. Следователно нашият резултат 0,66... ​​​​ще бъде записан така: 0,(6) . Те гласят: нула точка, шест в точка.

Ако има една или повече неповтарящи се цифри между десетичната запетая и първата точка, тогава такава периодична дроб се нарича смесена периодична дроб.

Несъкратима обикновена дроб, чийто знаменател е заедно с другимножител съдържа множител 2 или 5 , става смесенпериодична дроб.

Запишете числата като десетични знаци.

Тази статия е за десетични знаци. Тук ще разберем десетичния запис на дробните числа, ще въведем концепцията за десетична дроб и ще дадем примери за десетични дроби. След това ще говорим за цифрите на десетичните дроби и ще дадем имената на цифрите. След това ще се съсредоточим върху безкрайни десетични дроби, нека поговорим за периодични и непериодични дроби. След това изброяваме основните операции с десетични дроби. В заключение, нека установим позицията на десетичните дроби върху координатния лъч.

Навигация в страницата.

Десетичен запис на дробно число

Четене на десетични числа

Нека кажем няколко думи за правилата за четене на десетични дроби.

Десетичните дроби, които съответстват на правилните обикновени дроби, се четат по същия начин като тези обикновени дроби, само че първо се добавя „нулево цяло число“. Например десетичната дроб 0,12 съответства на обикновената дроб 12/100 (да се чете „дванадесет стотни“), следователно 0,12 се чете като „нула точка и дванадесет стотни“.

Десетичните дроби, които съответстват на смесени числа, се четат точно по същия начин като тези смесени числа. Например десетичната дроб 56.002 съответства на смесено число, така че десетичната дроб 56.002 се чете като „петдесет и шест цяло и две хилядни“.

Места в десетични знаци

При записване на десетични дроби, както и при записване на естествени числа, значението на всяка цифра зависи от нейната позиция. Наистина числото 3 в десетичната дроб 0,3 означава три десети, в десетичната дроб 0,0003 - три десетхилядни, а в десетичната дроб 30 000,152 - три десетки хиляди. Така че можем да говорим за десетични знаци, както и за цифрите в естествените числа.

Имената на цифрите в десетичната дроб до десетичната запетая напълно съвпадат с имената на цифрите в естествените числа. А имената на десетичните знаци след десетичната запетая могат да се видят от следващата таблица.

Например в десетичната дроб 37.051 цифрата 3 е на мястото на десетиците, 7 е на мястото на единиците, 0 е на мястото на десетите, 5 е на мястото на стотните и 1 е на мястото на хилядните.

Местата в десетичните дроби също се различават по приоритет. Ако при писане на десетична дроб се движим от цифра на цифра отляво надясно, тогава ще се движим от възрастни хораДа се младши чинове. Например мястото на стотните е по-старо от мястото на десетите, а мястото на милиона е по-ниско от мястото на стотните. В дадена крайна десетична дроб можем да говорим за големи и второстепенни цифри. Например в десетична дроб 604.9387 старши (най-висок)мястото е мястото на стотиците и младши (най-нисък)- цифра от десет хилядни.

За десетични дроби се извършва разширяване в цифри. Подобно е на разлагането на естествени числа в цифри. Например, разширяването в десетични знаци на 45.6072 е както следва: 45.6072=40+5+0.6+0.007+0.0002. И свойствата на добавяне от разлагането на десетична дроб в цифри ви позволяват да преминете към други представяния на тази десетична дроб, например 45,6072=45+0,6072, или 45,6072=40,6+5,007+0,0002, или 45,6072= 45,0072+ 0,6.

Крайни десетични знаци

До тук говорихме само за десетични дроби, в записа на които има краен брой цифри след десетичната запетая. Такива дроби се наричат ​​крайни десетични дроби.

Определение.

Крайни десетични знаци- Това са десетични дроби, чиито записи съдържат краен брой знаци (цифри).

Ето няколко примера за крайни десетични дроби: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230 032,45.

Въпреки това, не всяка дроб може да бъде представена като краен десетичен знак. Например дробта 5/13 не може да бъде заменена с равна дроб с един от знаменателите 10, 100, ..., следователно не може да бъде преобразувана в последна десетична дроб. Ще говорим повече за това в теоретичния раздел, превръщайки обикновените дроби в десетични.

Безкрайни десетични дроби: периодични дроби и непериодични дроби

Когато пишете десетична дроб след десетичната точка, можете да приемете възможността за безкраен брой цифри. В този случай ще разгледаме така наречените безкрайни десетични дроби.

Определение.

Безкрайни десетични знаци- Това са десетични дроби, които съдържат безкраен брой цифри.

Ясно е, че не можем да запишем безкрайни десетични дроби в пълна форма, така че при записването им се ограничаваме само до определен краен брой цифри след десетичната запетая и поставяме многоточие, обозначаващо безкрайно продължаваща последователност от цифри. Ето няколко примера за безкрайни десетични дроби: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152….

Ако се вгледате внимателно в последните две безкрайни десетични дроби, тогава в дробта 2.111111111... ясно се вижда безкрайно повтарящото се число 1, а в дробта 69.74152152152..., започвайки от третия десетичен знак, повтаряща се група числа 1, 5 и 2 се вижда ясно. Такива безкрайни десетични дроби се наричат ​​периодични.

Определение.

Периодични десетични знаци(или просто периодични дроби) са безкрайни десетични дроби, при записването на които, започвайки от определен знак след десетичната запетая, се повтаря безкрайно някакво число или група числа, което се т.нар. период на фракцията.

Например периодът на периодичната дроб 2.111111111... е цифрата 1, а периодът на дробта 69.74152152152... е група от цифри от вида 152.

За безкрайни периодични десетични дроби се приема специална форма на запис. За краткост се съгласихме да изпишем точката веднъж, като я поставим в скоби. Например, периодичната дроб 2.111111111... се записва като 2,(1) , а периодичната дроб 69.74152152152... се записва като 69.74(152) .

Заслужава да се отбележи, че за една и съща периодична десетична дроб могат да бъдат зададени различни периоди. Например, периодичната десетична дроб 0,73333... може да се разглежда като дроб 0,7(3) с период 3, а също и като дроб 0,7(33) с период 33 и така нататък 0,7(333), 0,7 (3333), ... Можете също така да разгледате периодичната дроб 0,73333 ... така: 0,733(3) или така 0,73(333) и т.н. Тук, за да избегнем двусмислие и несъответствия, ние се съгласяваме да считаме за период на десетична дроб най-кратката от всички възможни последователности от повтарящи се цифри и започвайки от най-близката позиция до десетичната запетая. Тоест периодът на десетичната дроб 0,73333... ще се счита за последователност от една цифра 3, а периодичността започва от втората позиция след десетичната запетая, тоест 0,73333...=0,7(3). Друг пример: периодичната дроб 4.7412121212... има период 12, периодичността започва от третата цифра след десетичната запетая, тоест 4.7412121212...=4.74(12).

Безкрайните десетични периодични дроби се получават чрез преобразуване в десетични дроби на обикновени дроби, чиито знаменатели съдържат прости множители, различни от 2 и 5.

Тук си струва да споменем периодични дроби с период 9. Нека дадем примери за такива дроби: 6.43(9) , 27,(9) . Тези дроби са друга нотация за периодични дроби с период 0 и обикновено се заменят с периодични дроби с период 0. За да направите това, период 9 се заменя с период 0 и стойността на следващата най-висока цифра се увеличава с единица. Например, дроб с период 9 от формата 7,24(9) се заменя с периодична дроб с период 0 от формата 7,25(0) или равна крайна десетична дроб 7,25. Друг пример: 4,(9)=5,(0)=5. Равенството на дроб с период 9 и съответстващата й дроб с период 0 се установява лесно след замяна на тези десетични дроби с равни обикновени дроби.

И накрая, нека разгледаме по-отблизо безкрайните десетични дроби, които не съдържат безкрайно повтаряща се поредица от цифри. Те се наричат ​​непериодични.

Определение.

Неповтарящи се десетични знаци(или просто непериодични дроби) са безкрайни десетични дроби, които нямат период.

Понякога непериодичните дроби имат форма, подобна на тази на периодичните дроби, например 8,02002000200002... е непериодична дроб. В тези случаи трябва да сте особено внимателни, за да забележите разликата.

Имайте предвид, че непериодичните дроби не се преобразуват в обикновени дроби; безкрайните непериодични десетични дроби представляват ирационални числа.

Операции с десетични знаци

Една от операциите с десетични дроби е сравнението, като са дефинирани и четирите основни аритметични функции операции с десетични знаци: събиране, изваждане, умножение и деление. Нека разгледаме отделно всяко от действията с десетични дроби.

Сравнение на десетични знаципо същество се основава на сравнение на обикновени дроби, съответстващи на сравняваните десетични дроби. Обаче преобразуването на десетични дроби в обикновени дроби е доста трудоемък процес и безкрайните непериодични дроби не могат да бъдат представени като обикновени дроби, така че е удобно да се използва поместно сравнение на десетични дроби. Поместното сравнение на десетични дроби е подобно на сравнението на естествени числа. За по-подробна информация препоръчваме да изучите статията: сравнение на десетични дроби, правила, примери, решения.

Да преминем към следващата стъпка - умножение на десетични знаци. Умножението на крайни десетични дроби се извършва подобно на изваждането на десетични дроби, правила, примери, решения за умножение по колона от естествени числа. При периодичните дроби умножението може да се сведе до умножение на обикновени дроби. От своя страна умножението на безкрайни непериодични десетични дроби след тяхното закръгляне се свежда до умножаване на крайни десетични дроби. Препоръчваме за по-нататъшно изучаване на материала в статията: умножение на десетични дроби, правила, примери, решения.

Десетични знаци върху координатен лъч

Има едно към едно съответствие между точки и десетични знаци.

Нека да разберем как се конструират точки от координатния лъч, които съответстват на дадена десетична дроб.

Можем да заменим крайните десетични дроби и безкрайните периодични десетични дроби с равни обикновени дроби и след това да конструираме съответните обикновени дроби върху координатния лъч. Например десетичната дроб 1.4 съответства на обикновената дроб 14/10, така че точката с координата 1.4 се отдалечава от началото в положителна посока с 14 сегмента, равни на една десета от единичен сегмент.

Десетичните дроби могат да бъдат отбелязани върху координатен лъч, като се започне от разлагането на дадена десетична дроб на цифри. Например, нека трябва да изградим точка с координата 16.3007, тъй като 16.3007=16+0.3+0.0007, тогава можем да стигнем до тази точка чрез последователно полагане на 16 единични сегмента от началото на координатите, 3 сегмента, чиято дължина е равна на една десета от единица и 7 сегмента, чиято дължина е равна на десет хилядна от единичен сегмент.

Този метод за конструиране на десетични числа върху координатен лъч ви позволява да се приближите колкото искате до точката, съответстваща на безкрайна десетична дроб.

Понякога е възможно да се начертае точно точката, съответстваща на безкрайна десетична дроб. Например, , тогава тази безкрайна десетична дроб 1,41421... съответства на точка от координатния лъч, отдалечена от началото на координатите с дължината на диагонала на квадрат със страна 1 единичен сегмент.

Обратният процес на получаване на десетичната дроб, съответстваща на дадена точка от координатен лъч, е т.нар. десетично измерване на сегмент. Нека да разберем как се прави.

Нека нашата задача е да стигнем от началото до дадена точка на координатната линия (или да я приближим безкрайно, ако не можем да стигнем до нея). С десетичното измерване на сегмент можем последователно да отделим от началото произволен брой единични сегменти, след това сегменти, чиято дължина е равна на една десета от единицата, след това сегменти, чиято дължина е равна на стотна от единицата и т.н. Като записваме броя на сегментите от всяка дължина, оставени настрана, получаваме десетичната дроб, съответстваща на дадена точка от координатния лъч.

Например, за да стигнете до точка M на горната фигура, трябва да отделите 1 единичен сегмент и 4 сегмента, чиято дължина е равна на една десета от единицата. Така точка М съответства на десетичната дроб 1,4.

Ясно е, че точките от координатния лъч, които не могат да бъдат достигнати в процеса на десетично измерване, съответстват на безкрайни десетични дроби.

Библиография.

• Математика: учебник за 5 клас. общо образование институции / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21 изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
• Математика. 6 клас: учебен. за общо образование институции / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-ро издание, рев. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра:учебник за 8 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (ръководство за постъпващите в технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.

В тази статия ще разберем какво е десетична дроб, какви функции и свойства има. Отивам! 🙂

Десетичната дроб е специален случай на обикновените дроби (където знаменателят е кратен на 10).

Определение

Десетичните знаци са дроби, чиито знаменатели са числа, състоящи се от единица и няколко нули след нея. Тоест, това са дроби със знаменател 10, 100, 1000 и т.н. В противен случай десетичната дроб може да се характеризира като дроб със знаменател 10 или една от степените на десет.

Примери за дроби:

, ,

Десетичните дроби се записват по различен начин от обикновените дроби. Операциите с тези дроби също са различни от операциите с обикновените. Правилата за работа с тях до голяма степен са подобни на правилата за работа с цели числа. Това по-специално обяснява тяхното търсене на решаване на практически проблеми.

Представяне на дроби в десетичен запис

Десетичната дроб няма знаменател; тя показва числото на числителя. Най-общо десетичната дроб се записва по следната схема:

където X е цялата част от дробта, Y е нейната дробна част, “,” е десетичната запетая.

За правилното представяне на дроб като десетична дроб, тя трябва да бъде обикновена дроб, тоест с маркирана цяло число (ако е възможно) и числител, който е по-малък от знаменателя. Тогава в десетичния запис цялата част се записва пред десетичната запетая (X), а числителят на обикновената дроб се записва след десетичната запетая (Y).

Ако числителят съдържа число с по-малко цифри от броя на нулите в знаменателя, тогава в част Y липсващият брой цифри в десетичния запис се запълва с нули пред цифрите на числителя.

Пример:

Ако една обикновена дроб е по-малка от 1, т.е. няма цяла част, тогава за X в десетична форма напишете 0.

В дробната част (Y) след последната значима (ненулева) цифра може да се въведе произволен брой нули. Това не влияе на стойността на фракцията. Обратно, всички нули в края на дробната част на десетичната запетая могат да бъдат пропуснати.

Четене на десетични числа

Част X обикновено се чете по следния начин: „X цели числа“.

Частта Y се чете според числото в знаменателя. За знаменател 10 трябва да прочетете: „Y десети“, за знаменател 100: „Y стотни“, за знаменател 1000: „Y хилядни“ и така нататък... 😉

Друг подход към четенето, базиран на преброяване на броя на цифрите на дробната част, се счита за по-правилен. За да направите това, трябва да разберете, че дробните цифри са разположени в огледален образ по отношение на цифрите на цялата част от фракцията.

Имената за правилно четене са дадени в таблицата:

Въз основа на това четенето трябва да се основава на съответствие с името на цифрата на последната цифра на дробната част.

• 3.5 се чете като "три точка пет"
• 0,016 чете "нула цяло шестнадесет хилядни"

Преобразуване на произволна дроб в десетична

Ако знаменателят на обикновена дроб е 10 или някаква степен на десет, тогава преобразуването на дробта се извършва, както е описано по-горе. В други ситуации са необходими допълнителни трансформации.

Има 2 метода за превод.

Първи метод на прехвърляне

Числителят и знаменателят трябва да бъдат умножени по такова цяло число, че знаменателят да произвежда числото 10 или една от степените на десет. И тогава фракцията се представя в десетична система.

Този метод е приложим за дроби, чийто знаменател може да бъде разширен само до 2 и 5. И така, в предишния пример . Ако разширението съдържа други прости множители (например ), тогава ще трябва да прибегнете до втория метод.

Втори метод на превод

Вторият метод е да разделите числителя на знаменателя в колона или на калкулатор. Цялата част, ако има такава, не участва в трансформацията.

Правилото за дълго деление, което води до десетична дроб, е описано по-долу (вижте Деление на десетични дроби).

Преобразуване на десетична дроб в обикновена дроб

За да направите това, трябва да запишете неговата дробна част (вдясно от десетичната запетая) като числител, а резултатът от прочитането на дробната част като съответното число в знаменателя. След това, ако е възможно, трябва да намалите получената фракция.

Крайна и безкрайна десетична дроб

Десетична дроб се нарича крайна дроб, чиято дробна част се състои от краен брой цифри.

Всички примери по-горе съдържат крайни десетични дроби. Въпреки това, не всяка обикновена дроб може да бъде представена като крайна десетична дроб. Ако първият метод на преобразуване не е приложим за дадена дроб и вторият метод показва, че делението не може да бъде завършено, тогава може да се получи само безкрайна десетична дроб.

Невъзможно е да се напише безкрайна дроб в пълна форма. В непълна форма такива фракции могат да бъдат представени:

1. в резултат на намаляване до желания брой десетични знаци;
2. като периодична дроб.

Дробта се нарича периодична, ако след десетичната запетая е възможно да се различи безкрайно повтаряща се поредица от цифри.

Останалите дроби се наричат ​​непериодични. За непериодични дроби е разрешен само първият метод на представяне (закръгляване).

Пример за периодична дроб: 0,8888888... Тук има повтарящо се число 8, което очевидно ще се повтаря до безкрайност, тъй като няма причина да се предполага друго. Тази фигура се нарича период на фракцията.

Периодичните фракции могат да бъдат чисти или смесени. Чиста десетична дроб е тази, чийто период започва веднага след десетичната запетая. Смесената дроб има 1 или повече цифри преди десетичната запетая.

54.33333… – периодична чиста десетична дроб

2.5621212121… – периодична смесена дроб

Примери за писане на безкрайни десетични дроби:

Вторият пример показва как правилно да форматирате точка в запис на периодична дроб.

Преобразуване на периодични десетични дроби в обикновени дроби

За да преобразувате чиста периодична дроб в обикновен период, запишете го в числителя и запишете число, състоящо се от деветки в количество, равно на броя на цифрите в периода в знаменателя.

Смесената периодична десетична дроб се превежда, както следва:

1. трябва да образувате число, състоящо се от числото след десетичната запетая преди точката и първата точка;
2. От полученото число извадете числото след десетичната запетая преди точката. Резултатът ще бъде числителят на обикновената дроб;
3. в знаменателя трябва да въведете число, състоящо се от число деветки, равно на броя на цифрите на периода, последвано от нули, чийто брой е равен на броя на цифрите на числото след десетичната запетая преди 1-во Период.

Сравнение на десетични знаци

Десетичните дроби се сравняват първоначално с целите им части. Дробта, чиято цяла част е по-голяма, е по-голяма.

Ако целите части са еднакви, тогава сравнете цифрите на съответните цифри на дробната част, като започнете от първата (от десетите). Тук важи същият принцип: по-голямата дроб е тази с повече десети; ако цифрите на десетите са равни, цифрите на стотните се сравняват и т.н.

Тъй като

, тъй като при равни цели части и равни десети в дробната част, 2-рата дроб има по-голяма цифра на стотните.

Събиране и изваждане на десетични знаци

Десетичните знаци се добавят и изваждат по същия начин като целите числа, като съответните цифри се записват една под друга. За да направите това, трябва да имате десетични точки една под друга. Тогава единиците (десетките и т.н.) на цялата част, както и десетите (стотните и т.н.) на дробната част ще бъдат в съответствие. Липсващите цифри на дробната част се попълват с нули. Директно процесът на събиране и изваждане се извършва по същия начин, както при целите числа.

Умножаване на десетични числа

За да умножите десетичните числа, трябва да ги напишете един под друг, подравнени с последната цифра и без да обръщате внимание на местоположението на десетичните точки. След това трябва да умножите числата по същия начин, както когато умножавате цели числа. След получаване на резултата трябва да преизчислите броя на цифрите след десетичната запетая в двете дроби и да разделите общия брой дробни цифри в полученото число със запетая. Ако няма достатъчно цифри, те се заменят с нули.

Умножение и деление на десетични знаци с 10n

Тези действия са прости и се свеждат до преместване на десетичната запетая. П При умножение десетичната запетая се премества надясно (дробта се увеличава) с брой цифри, равен на броя на нулите в 10n, където n е произволна цяло число. Тоест, определен брой цифри се прехвърлят от дробната част към цялата част. При разделяне, съответно, запетаята се премества наляво (числото намалява), а някои от цифрите се прехвърлят от целочислената част към дробната част. Ако няма достатъчно числа за прехвърляне, тогава липсващите битове се запълват с нули.

Деление на десетична запетая и цяло число на цяло число и десетична запетая

Разделянето на колона на десетична дроб с цяло число е подобно на деленето на две цели числа. Освен това трябва да вземете предвид само позицията на десетичната запетая: когато премахвате цифрата на място, последвана от запетая, трябва да поставите запетая след текущата цифра на генерирания отговор. След това трябва да продължите да делите, докато получите нула. Ако в дивидента няма достатъчно знаци за пълно деление, като тях трябва да се използват нули.

По същия начин 2 цели числа се разделят в колона, ако всички цифри на дивидента са премахнати и пълното деление все още не е завършено. В този случай, след премахване на последната цифра от дивидента, в получения отговор се поставя десетична запетая, а нулите се използват като премахнати цифри. Тези. дивидентът тук по същество е представен като десетична дроб с нулева дробна част.

За да разделите десетична дроб (или цяло число) на десетично число, трябва да умножите делителя и делителя по числото 10 n, в което броят на нулите е равен на броя на цифрите след десетичната запетая в делителя. По този начин се отървавате от десетичната запетая в дробта, на която искате да разделите. Освен това процесът на разделяне съвпада с описания по-горе.

Графично представяне на десетични дроби

Десетичните дроби се представят графично с помощта на координатна линия. За да направите това, отделните сегменти се разделят допълнително на 10 равни части, точно както сантиметрите и милиметрите се маркират едновременно на линийка. Това гарантира, че десетичните знаци се показват точно и могат да се сравняват обективно.

За да бъдат еднакви разделенията на отделните сегменти, трябва внимателно да прецените дължината на самия сегмент. Тя трябва да бъде такава, че да може да се осигури удобството за допълнително разделяне.