дълъг логаритъм. Какво е логаритъм? Решение на логаритми

Какво е логаритъм?

внимание!
Има допълнителни
материал в специален раздел 555.
За тези, които силно "не много..."
И за тези, които "много...")

Какво е логаритъм? Как се решават логаритми? Тези въпроси объркват много абсолвенти. Традиционно темата за логаритмите се смята за сложна, неразбираема и страшна. Особено - уравнения с логаритми.

Това абсолютно не е вярно. Абсолютно! не вярвате? Глоба. Сега за около 10-20 минути вие:

1. Разберете какво е логаритъм.

2. Научете се да решавате цял клас експоненциални уравнения. Дори и да не сте чували за тях.

3. Научете се да изчислявате прости логаритми.

Освен това, за това ще трябва само да знаете таблицата за умножение и как числото се повишава до степен ...

Чувствам, че се съмнявате ... Е, пазете време! Отивам!

Първо, решете наум следното уравнение:

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

Таблица на първоизводните ("интеграли"). Таблица на интегралите. Таблични неопределени интеграли. (Прости интеграли и интеграли с параметър). Формули за интегриране по части. Формула на Нютон-Лайбниц.

Таблица на първоизводните ("интеграли"). Таблични неопределени интеграли. (Прости интеграли и интеграли с параметър).
Интеграл на степенната функция.	Интеграл на степенната функция.
Интеграл, който се редуцира до интеграл на степенна функция, ако x е поставено под знака на диференциала.

	Експоненциалният интеграл, където a е постоянно число.
Интеграл на комплексна експоненциална функция.	Интеграл на експоненциалната функция.

Интеграл, равен на натурален логаритъм.	Интеграл: "Дълъг логаритъм".
	Интеграл: "Дълъг логаритъм".
Интеграл: "Голям логаритъм".	Интегралът, където x в числителя е поставен под знака на диференциала (константата под знака може да се добавя и изважда), в резултат на това е подобен на интеграла, равен на естествения логаритъм.
Интеграл: "Голям логаритъм".

Косинус интеграл.	Синус интеграл.
Интеграл, равен на тангенса.	Интеграл, равен на котангенса.

Интеграл, равен както на арксинус, така и на аркуссинус
Интеграл, равен на арксинус и арккосинус.	Интеграл, равен на аркутангенса и аркокотангенса.

Интегралът е равен на косеканса.	Интеграл, равен на секанс.
Интеграл, равен на арсеканса.	Интеграл, равен на косеканса на дъгата.
Интеграл, равен на арсеканса.	Интеграл, равен на арсеканса.

Интеграл, равен на хиперболичния синус.	Интеграл, равен на хиперболичния косинус.

Интеграл, равен на хиперболичния синус, където sinhx е хиперболичният синус на английски.	Интеграл, равен на хиперболичния косинус, където sinhx е хиперболичният синус в английската версия.
Интеграл, равен на хиперболичния тангенс.	Интеграл, равен на хиперболичния котангенс.
Интеграл, равен на хиперболичния секанс.	Интеграл, равен на хиперболичния косеканс.

Формули за интегриране по части. Правила за интегриране.

Формули за интегриране по части. Формула на Нютон-Лайбниц Правила за интегриране.
Интегриране на продукт (функция) чрез константа:
Интегриране на сумата от функции:
неопределени интеграли:
Формула за интегриране по части определени интеграли:
Формула на Нютон-Лайбниц определени интеграли:	Където F(a),F(b) са стойностите на антипроизводните съответно в точки b и a.

Производна таблица. Таблица производни. Производно на продукта. Производно на частно. Производна на сложна функция.

Ако x е независима променлива, тогава:

Производна таблица. Таблица производни. "таблица производна" - да, за съжаление, така се търсят в интернет
	Производна на степенна функция

	Производна на показателя
Производна на съставна експоненциална функция	Производна на експоненциална функция

Производна на логаритмична функция	Производна на натурален логаритъм
	Производна на натурален логаритъм на функция

Производна по синус	косинус производна
Производна на косеканс	Производна на секанс
Производна на арксинус	Производна на аркосинус
Производна на арксинус	Производна на аркосинус
Тангенсна производна	Котангенсна производна
Производна на аркутангенс	Производна на арктангенс
Производна на аркутангенс	Производна на арктангенс
Производна на арсеканс	Производна на дъгов косеканс
Производна на арсеканс	Производна на дъгов косеканс

Производна на хиперболичния синус Производна на хиперболичния синус в английската версия	Хиперболична производна по косинус Производната на хиперболичния косинус в английската версия
Производна на хиперболичния тангенс	Производна на хиперболичния котангенс
Производна на хиперболичен секанс	Производна на хиперболичния косеканс

Правила за диференциране. Производно на продукта. Производно на частно. Производна на сложна функция.
Производна на продукт (функция) по константа:
Производна на сумата (функции):
Производна на продукта (на функции):
Производната на частното (на функции):
Производна на сложна функция:

Свойства на логаритмите. Основни формули на логаритми. Десетични (lg) и естествени логаритми (ln).

Основно логаритмично тъждество
Нека покажем как всяка функция от формата a b може да бъде направена експоненциална. Тъй като функция от вида e x се нарича експоненциална, тогава
Всяка функция от формата a b може да бъде представена като степен на десет

Натурален логаритъм ln (логаритъм при основа e = 2,718281828459045…) ln(e)=1; log(1)=0

Серия Тейлър. Разгъване на функция в ред на Тейлър.

Оказва се, че повечето на практика възникващиматематическите функции могат да бъдат представени с всякаква точност в близост до определена точка под формата на степенни редове, съдържащи степените на променливата във възходящ ред. Например в близост до точката x=1:

При използване на редове, т.нар Тейлър редове,смесените функции, съдържащи, да речем, алгебрични, тригонометрични и експоненциални функции, могат да бъдат изразени като чисто алгебрични функции. С помощта на серии често може бързо да се извърши диференциация и интеграция.

Редът на Тейлър в околността на точка a има следните форми:

1) , където f(x) е функция, която има производни на всички разряди при x=a. R n - остатъчният член в реда на Тейлър се определя от израза

k-тият коефициент (при x k) на серията се определя по формулата

3) Специален случай на серията Taylor е серията Maclaurin (=McLaren) (разлагането се извършва около точката a=0)

за a=0

членовете на редицата се определят по формулата

Условия за прилагане на редовете на Тейлър.

1. За да може функцията f(x) да бъде разширена в редица на Тейлър на интервала (-R;R), е необходимо и достатъчно остатъчният член във формулата на Тейлър (Маклаурин (=Макларън)) за това функция клони към нула при k →∞ на посочения интервал (-R;R).

2. Необходимо е да има производни на тази функция в точката, в близост до която ще изградим ред на Тейлър.

Свойства на редовете на Тейлър.

Ако f е аналитична функция, тогава нейният ред на Тейлър във всяка точка a от областта на f се събира до f в някаква околност на a.

Има безкрайно диференцируеми функции, чийто ред на Тейлър се събира, но се различава от функцията във всяка околност на a. Например:

Сериите на Тейлър се използват за апроксимация (апроксимацията е научен метод, който се състои в замяна на някои обекти с други, в един или друг смисъл близки до оригинала, но по-прости) функции чрез полиноми. По-специално, линеаризация ((от linearis - линеен), един от методите за приблизително представяне на затворени нелинейни системи, при който изследването на нелинейна система се заменя с анализ на линейна система, в смисъл еквивалентен на оригиналния .) на уравненията се получава чрез разширяване в серия на Тейлър и прекъсване на всички членове над първи ред.

Така почти всяка функция може да бъде представена като полином с дадена точност.

Примери за някои често срещани разширения на степенни функции в редове на Маклорен (= Макларън, Тейлър в близост до точка 0) и Тейлър в близост до точка 1. Първите членове на разширения на основните функции в редове на Тейлър и Макларън.

Примери за някои често срещани разширения на степенни функции в редица на Маклорен (= Макларън, Тейлър в близост до точка 0)

Примери за някои често срещани разширения в ред на Тейлър около точка 1

Таблица на примитивите.

Свойствата на неопределения интеграл ни позволяват да намерим неговата първоизводна от известния диференциал на функция. По този начин, използвайки равенствата и възможно е да се състави таблица на първоизводните от таблицата на производните на основните елементарни функции.

Припомням си производна таблица, записваме го под формата на диференциали.

Например, нека намерим неопределения интеграл на степенната функция.

Използване на диференциалната таблица , следователно, чрез свойствата на неопределения интеграл имаме . Ето защо или в друг запис

Намерете множеството от първоизводни на степенната функция за p = -1 . Ние имаме . Позовавайки се на таблицата с диференциали за натурален логаритъм , следователно, . Ето защо .

Надявам се, че схващате идеята.

Таблица на първоизводните (неопределени интеграли).

Формулите от лявата колона на таблицата се наричат основни първоизводни. Формулите от дясната колона не са основни, но много често се използват при намиране на неопределени интеграли. Те могат да бъдат проверени чрез диференциране.

Директна интеграция.

Директното интегриране се основава на използването на свойствата на неопределените интеграли , , правила за интегриране и таблици на примитивите.

Обикновено интегралната функция първо трябва да бъде леко трансформирана, за да може да се използва таблицата с основните интеграли и свойствата на интегралите.

Пример.

Намерете интеграла .

Решение.

Коефициент 3 може да бъде изваден от интегралния знак въз основа на свойството:

Преобразуваме интегранта (според тригонометричните формули):

Тъй като интегралът на сбора е равен на сбора на интегралите, тогава

Време е да се обърнем към масата на примитивите:

Отговор:

Пример.

Намерете множеството от първоизводни на функция

Решение.

Обръщаме се към таблицата на антипроизводните за експоненциалната функция: . Това е, .

Ако използваме правилото за интегриране , тогава имаме:

По този начин таблицата на първоизводните, заедно със свойствата и правилото за интегриране, ни позволява да намерим много неопределени интеграли. Въпреки това, далеч не винаги е възможно да се преобразува интеграндът, за да се използва таблицата с противопроизводни.

Например в таблицата на първоизводните няма интеграл от функцията логаритъм, функциите на арксинуса, аркосинуса, арктангенса и арккотангенса, функциите на тангенса и котангенса. За откриването им се използват специални методи. Но повече за това в следващия раздел: