Доказателството на теоремата на Ферма е елементарно, просто, разбираемо. Историята на последната теорема на Farm

1

Ивлиев Ю.А.

Статията е посветена на описанието на фундаментална математическа грешка, допусната в процеса на доказване на последната теорема на Ферма в края на 20 век. Откритата грешка не само изкривява истинския смисъл на теоремата, но също така възпрепятства развитието на нов аксиоматичен подход към изучаването на степените на числата и естествената редица от числа.

През 1995 г. беше публикувана статия, която беше подобна по размер на книга и докладваше за доказателството на известната Голяма (последна) теорема на Ферма (WTF) (за историята на теоремата и опитите да се докаже, вижте, например, ). След това събитие се появиха много научни статии и научно-популярни книги, които популяризираха това доказателство, но нито една от тези работи не разкри фундаментална математическа грешка в него, която се е промъкнала дори не по вина на автора, а поради някакъв странен оптимизъм, който е обхванал умовете на математиците, които се занимаваха с този проблем и свързаните с него въпроси. Психологическите аспекти на това явление са изследвани в. Дава се и подробен анализ на възникналото недоглеждане, което не е от конкретно естество, а е резултат от неправилно разбиране на свойствата на степените на целите числа. Както е показано в , проблемът на Ферма се корени в нов аксиоматичен подход към изследването на тези свойства, който все още не е приложен в съвременната наука. Но погрешно доказателство застана на пътя му, давайки фалшиви насоки на теоретиците на числата и отклонявайки изследователите на проблема на Ферма от неговото директно и адекватно решение. Тази работа е посветена на премахването на това препятствие.

1. Анатомия на грешка, допусната по време на доказването на WTF

В процеса на много дълги и досадни разсъждения първоначалното твърдение на Ферма беше преформулирано от гледна точка на съпоставяне на Диофантово уравнение от p-та степен с елиптични криви от 3-ти ред (виж теореми 0.4 и 0.5 в ). Подобно сравнение принуди авторите на de facto колективното доказателство да обявят, че техният метод и разсъждение водят до окончателното решение на проблема на Ферма (припомнете си, че WTF не разполагаше с признати доказателства за случая на произволни цели числа на цели числа до 90-те години на миналия век). Целта на това разглеждане е да се установи математическата некоректност на горното сравнение и в резултат на анализа да се намери фундаментална грешка в доказателството, представено в .

а) Къде и какво не е наред?

И така, нека преминем през текста, където на стр.448 се казва, че след "остроумната идея" на Г. Фрей (G. Frey) се е отворила възможността за доказване на WTF. През 1984 г. Г. Фрей предложи и

К. Рибет по-късно доказва, че предполагаемата елиптична крива, представляваща хипотетичното цяло числово решение на уравнението на Ферма,

y 2 = x(x + u p)(x - vп) (1)

не може да бъде модулен. Въпреки това, A.Wiles и R.Taylor доказаха, че всяка полустабилна елиптична крива, дефинирана върху полето от рационални числа, е модулна. Това доведе до заключението за невъзможността на целочислени решения на уравнението на Ферма и следователно валидността на твърдението на Ферма, което в нотацията на А. Уайлс беше записано като теорема 0.5: нека има равенство

u p+ v p+ w p = 0 (2)

Където ти, v, w- рационални числа, цяло число p ≥ 3; тогава (2) е изпълнено само ако uvw = 0 .

Сега, очевидно, трябва да се върнем назад и да разгледаме критично защо кривата (1) априори се възприема като елиптична и каква е нейната реална връзка с уравнението на Ферма. Предусещайки този въпрос, A. Wiles се позовава на работата на Y. Hellegouarch, в която той намери начин да свърже уравнението на Ферма (вероятно решено в цели числа) с хипотетична крива от 3-ти ред. За разлика от G. Frey, I. Allegouches не свързва своята крива с модулни форми, но неговият метод за получаване на уравнение (1) е използван за по-нататъшно напредване на доказателството на A. Wiles.

Нека да разгледаме по-отблизо работата. Авторът води разсъжденията си от гледна точка на проективната геометрия. Опростявайки някои от неговите обозначения и привеждайки ги в съответствие с , откриваме, че абелевата крива

Y 2 = X(X - β p)(X + γ p) (3)

сравнява се диофантовото уравнение

х p+ г p+ z p = 0 (4)

Където х, y, zса неизвестни цели числа, p е степен на цяло число от (2), а решенията на диофантовото уравнение (4) α p , β p , γ p се използват за записване на абелевата крива (3).

Сега, за да се уверим, че това е елиптична крива от 3-ти ред, е необходимо да разгледаме променливите X и Y в (3) на евклидовата равнина. За да направим това, ние използваме добре известното правило на аритметиката за елиптични криви: ако има две рационални точки на кубична алгебрична крива и правата, минаваща през тези точки, пресича тази крива в още една точка, тогава последната също е рационална точка. Хипотетично уравнение (4) формално представлява закона за добавяне на точки върху права линия. Ако направим промяна на променливите х p = A, г p=B, z p = C и насочете така получената права линия по оста X в (3), тогава тя ще пресече кривата от 3-та степен в три точки: (X = 0, Y = 0), (X = β p , Y = 0 ), (X = - γ p , Y = 0), което е отразено в нотацията на абелевата крива (3) и в подобна нотация (1). Дали обаче крива (3) или (1) наистина е елиптична? Очевидно не, защото сегментите на евклидовата линия, когато се добавят точки върху нея, се вземат в нелинеен мащаб.

Връщайки се към линейните координатни системи на евклидовото пространство, вместо (1) и (3) получаваме формули, които са много различни от формулите за елиптични криви. Например (1) може да бъде в следната форма:

η 2p = ξ p (ξ p + u p)(ξ p - vп) (5)

където ξ p = x, η p = y и обжалването на (1) в този случай за извеждане на WTF изглежда неправомерно. Въпреки факта, че (1) удовлетворява някои критерии от класа на елиптичните криви, то не удовлетворява най-важния критерий да бъде уравнение от 3-та степен в линейна координатна система.

б) Класификация на грешките

И така, отново се връщаме в началото на разглеждането и проследяваме как се прави изводът за истинността на WTF. Първо, предполага се, че има решение на уравнението на Ферма в цели положителни числа. Второ, това решение се вмъква произволно в алгебрична форма с известна форма (плоска крива от 3-та степен) при допускането, че получените по този начин елиптични криви съществуват (второто непотвърдено предположение). Трето, тъй като с други методи е доказано, че построената конкретна крива е немодулна, това означава, че тя не съществува. От това следва заключението: няма цяло число решение на уравнението на Ферма и следователно WTF е вярно.

В тези аргументи има едно слабо звено, което след детайлна проверка се оказва грешка. Тази грешка е направена във втората стъпка от процеса на доказване, когато се приема, че хипотетично решение на уравнението на Ферма също е решение на алгебрично уравнение от трета степен, описващо елиптична крива с известна форма. Само по себе си подобно предположение би било оправдано, ако посочената крива наистина е елиптична. Но както се вижда от т. 1а), тази крива е представена в нелинейни координати, което я прави „илюзорна“, т.е. реално не съществува в линейно топологично пространство.

Сега трябва ясно да класифицираме намерената грешка. Тя се състои в това, че това, което трябва да се докаже, се дава като аргумент на доказателството. В класическата логика тази грешка е известна като "омагьосан кръг". В този случай целочисленото решение на уравнението на Ферма се сравнява (очевидно, вероятно уникално) с фиктивна, несъществуваща елиптична крива и след това целият патос на по-нататъшните разсъждения отива да докаже, че определена елиптична крива от тази форма, получена от хипотетични решения на уравнението на Ферма, не съществува.

Как стана така, че такава елементарна грешка беше пропусната в сериозен математически труд? Вероятно това се дължи на факта, че „илюзорни“ геометрични фигури от този тип не са били изучавани преди това в математиката. Наистина, кой може да се интересува например от фиктивен кръг, получен от уравнението на Ферма чрез промяна на променливите x n/2 = A, y n/2 = B, z n/2 = C? В края на краищата неговото уравнение C 2 = A 2 + B 2 няма цели числа за цяло число x, y, z и n ≥ 3 . В нелинейни координатни оси X и Y такава окръжност би била описана с уравнение, което изглежда много подобно на стандартната форма:

Y 2 \u003d - (X - A) (X + B),

където A и B вече не са променливи, а конкретни числа, определени от горното заместване. Но ако на числата A и B се даде оригиналната им форма, която се състои в техния степенен характер, тогава хетерогенността на нотацията във факторите от дясната страна на уравнението веднага хваща окото. Този знак помага да се разграничи илюзията от реалността и да се премине от нелинейни към линейни координати. От друга страна, ако разглеждаме числата като оператори, когато ги сравняваме с променливи, както например в (1), тогава и двете трябва да са хомогенни величини, т.е. трябва да имат същата степен.

Подобно разбиране на мощностите на числата като оператори също дава възможност да се види, че сравнението на уравнението на Ферма с илюзорна елиптична крива не е еднозначно. Вземете, например, един от множителите от дясната страна на (5) и го разширете в p линейни множители чрез въвеждане на комплексно число r, така че r p = 1 (вижте например):

ξ p + u p = (ξ + u)(ξ + r u)(ξ + r2 u)...(ξ + r p-1 u) (6)

Тогава формата (5) може да бъде представена като разлагане на прости фактори на комплексни числа според вида на алгебричната идентичност (6), но уникалността на такова разлагане в общия случай е под въпрос, което веднъж беше показано от Kummer .

2. Изводи

От предишния анализ следва, че така наречената аритметика на елиптичните криви не е в състояние да хвърли светлина върху това къде да търсим доказателството за WTF. След работата изявлението на Ферма, между другото, взето като епиграф към тази статия, започна да се възприема като историческа шега или практична шега. В действителност обаче се оказва, че не Ферма се шегува, а експерти, които се събраха на математически симпозиум в Оберволфах в Германия през 1984 г., на който Г. Фрей изрази своята остроумна идея. Последствията от такова небрежно изказване доведоха математиката като цяло до загуба на общественото доверие, което е описано подробно в и което неизбежно поставя въпроса за отговорността на научните институции пред обществото пред науката. Преобразуването на уравнението на Ферма към кривата на Фрей (1) е „ключалката“ на цялото доказателство на Уайлс по отношение на теоремата на Ферма и ако няма съответствие между кривата на Ферма и модулните елиптични криви, тогава няма и доказателство.

Напоследък имаше различни съобщения в Интернет, че някои видни математици най-накрая са измислили доказателството на Уайлс за теоремата на Ферма, давайки му извинение под формата на "минимално" преизчисляване на цели точки в евклидовото пространство. Никакви нововъведения обаче не могат да отменят класическите резултати, вече получени от човечеството в математиката, по-специално факта, че въпреки че всяко поредно число съвпада с неговия количествен аналог, то не може да го замести в операциите за сравняване на числа помежду си, и следователно от което неизбежно следва заключението, че кривата на Фрей (1) първоначално не е елиптична, т.е. не е по дефиниция.

БИБЛИОГРАФИЯ:

1. Ивлиев Ю.А. Реконструкция на родното доказателство на последната теорема на Ферма - Обединено научно списание (секция "Математика"). Април 2006 г. № 7 (167) стр. 3-9, виж също Праци на Луганския клон на Международната академия по информатизация. Министерство на образованието и науката на Украйна. Шидноукраински национален университет на име. В. Дал. 2006 № 2 (13) стр.19-25.
2. Ивлиев Ю.А. Най-голямата научна измама на 20 век: "доказателството" на последната теорема на Ферма - Естествени и технически науки (раздел "История и методология на математиката"). Август 2007 г. № 4 (30) стр. 34-48.
3. Едуардс Г. (Edwards H.M.) Последната теорема на Ферма. Генетично въведение в алгебричната теория на числата. пер. от английски. изд. Б. Ф. Скубенко. М.: Мир 1980, 484 с.
4. Hellegouarch Y. Points d'ordre 2p h sur les courbes elliptiques - Acta Arithmetica. 1975 XXVI стр.253-263.
5. Wiles A. Модулни елиптични криви и последната теорема на Ферма - Анали на математиката. Май 1995 v.141 Втора серия No. 3 p.443-551.

Библиографска връзка

Ивлиев Ю.А. ГРЕШНОТО ДОКАЗАТЕЛСТВО НА УАЙЛС НА ГОЛЯМАТА ТЕОРЕМА НА ФЕРМА // Фундаментални изследвания. - 2008. - № 3. - С. 13-16;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=2763 (дата на достъп: 03.03.2020 г.). Предлагаме на Вашето внимание списанията, издавани от издателство "Естествонаучна академия"

ГОЛЯМА ТЕОРЕМА НА ФЕРМА - твърдението на Пиер Ферма (френски адвокат и математик на непълно работно време), че диофантовото уравнение X n + Y n = Z n, с показател n>2, където n = цяло число, няма решения в положителен цели числа. Авторски текст: „Невъзможно е да се разложи куб на два куба, или би-квадрат на два би-квадрата, или като цяло степен, по-голяма от две, на две степени с еднакъв показател.“

"Ферма и неговата теорема", Амадео Модилиани, 1920 г

Пиер излезе с тази теорема на 29 март 1636 г. И след около 29 години той почина. Но оттам започна всичко. В края на краищата, един богат немски математик на име Волфскел завеща сто хиляди марки на този, който представи пълното доказателство на теоремата на Ферма! Но вълнението около теоремата беше свързано не само с това, но и с професионалните математически вълнения. Самият Ферма намекна на математическата общност, че знае доказателството - малко преди смъртта си, през 1665 г., той остави следния запис в полетата на книгата на Диофант от Александрия „Аритметика“: „Имам много удивително доказателство, но то е твърде големи, за да бъдат поставени върху полета."

Именно този намек (плюс, разбира се, парична награда) накара математиците да прекарат неуспешно най-добрите си години в търсене на доказателства (според американски учени само професионалните математици са прекарали общо 543 години в това).

В някакъв момент (през 1901 г.) работата по теоремата на Ферма придобива съмнителната слава на „работа, подобна на търсенето на вечен двигател“ (има дори унизителен термин – „ферматисти“). И изведнъж, на 23 юни 1993 г., на математическа конференция по теория на числата в Кеймбридж, английският професор по математика от Принстънския университет (Ню Джърси, САЩ) Андрю Уайлс обяви, че най-накрая е доказал Ферма!

Доказателството обаче е не само сложно, но и очевидно погрешно, както бе посочено от колегите му. Но професор Уайлс цял живот мечтаеше да докаже теоремата, така че не е изненадващо, че през май 1994 г. той представи нова, подобрена версия на доказателството пред научната общност. В него нямаше хармония, красота и пак беше много сложно - фактът, че математиците са анализирали това доказателство цяла година (!), за да разберат дали не е погрешно, говори само за себе си!

Но в крайна сметка доказателството на Уайлс се оказа правилно. Но математиците не простиха на Пиер Ферма самият му намек в аритметиката и всъщност започнаха да го смятат за лъжец. Всъщност първият човек, който постави под съмнение моралния интегритет на Ферма, беше самият Андрю Уайлс, който отбеляза, че „Ферма не би могъл да има такова доказателство. Това е доказателство от двадесети век“. Тогава, сред други учени, се засили мнението, че Ферма "не може да докаже своята теорема по друг начин, а Ферма не може да я докаже по начина, по който Уайлс отиде, по обективни причини."

Всъщност Ферма, разбира се, би могъл да го докаже и малко по-късно това доказателство ще бъде пресъздадено от анализаторите на Новата аналитична енциклопедия. Но – какви са тези „обективни причини“?
Всъщност има само една такава причина: в онези години, когато е живял Ферма, хипотезата на Танияма не е могла да се появи, върху която Андрю Уайлс е изградил своето доказателство, тъй като модулните функции, върху които оперира хипотезата на Танияма, са открити едва в края на 19 век. .

Как самият Уайлс доказва теоремата? Въпросът не е празен - това е важно за разбирането как самият Ферма би могъл да докаже своята теорема. Уайлс изгради своето доказателство върху доказателството на хипотезата на Танияма, представено през 1955 г. от 28-годишния японски математик Ютака Танияма.

Хипотезата звучи така: "всяка елиптична крива съответства на определена модулна форма." Елиптичните криви, известни отдавна, имат двуизмерна форма (разположени в равнина), докато модулните функции имат четириизмерна форма. Тоест хипотезата на Танияма комбинира напълно различни концепции - прости плоски криви и невъобразими четириизмерни форми. Самият факт на свързване на разномерни фигури в хипотезата изглежда абсурден за учените, поради което през 1955 г. не му се отдава никакво значение.

Но през есента на 1984 г. „хипотезата на Танияма“ внезапно отново се сеща, и не само се сеща, но евентуалното й доказателство се свързва с доказателството на теоремата на Ферма! Това беше направено от математика от Саарбрюкен Герхард Фрей, който каза на научната общност, че „ако някой може да докаже хипотезата на Танияма, тогава последната теорема на Ферма ще бъде доказана“.

Какво направи Фрей? Той преобразува уравнението на Ферма в кубично, след което обърна внимание на факта, че елиптична крива, получена чрез преобразуване на уравнението на Ферма в кубично, не може да бъде модулна. Хипотезата на Танияма обаче гласи, че всяка елиптична крива може да бъде модулна! Съответно, елиптична крива, конструирана от уравнението на Ферма, не може да съществува, което означава, че не може да има цели решения и теорема на Ферма, което означава, че е вярно. Е, през 1993 г. Андрю Уайлс просто доказва хипотезата на Танияма, а оттам и теоремата на Ферма.

Въпреки това, теоремата на Ферма може да бъде доказана много по-просто, на базата на същата многомерност, с която оперират и Танияма, и Фрей.

Като начало нека обърнем внимание на условието, поставено от самия Пиер Ферма - n>2. Защо беше необходимо това условие? Да, само за това, че за n=2 обикновената Питагорова теорема X 2 +Y 2 =Z 2 става частен случай на теоремата на Ферма, която има безкраен брой цели решения - 3,4,5; 5,12,13; 7.24.25; 8,15,17; 12,16,20; 51,140,149 и така нататък. По този начин теоремата на Питагор е изключение от теоремата на Ферма.

Но защо точно в случай на n=2 възниква такова изключение? Всичко си идва на мястото, ако видите връзката между степента (n=2) и размера на самата фигура. Триъгълникът на Питагор е двуизмерна фигура. Не е изненадващо, че Z (т.е. хипотенузата) може да се изрази чрез катети (X и Y), които могат да бъдат цели числа. Размерът на ъгъла (90) позволява да се разглежда хипотенузата като вектор, а краката са вектори, разположени на осите и идващи от началото. Съответно е възможно да се изрази двуизмерен вектор, който не лежи на нито една от осите, по отношение на векторите, които лежат върху тях.

Сега, ако отидем в третото измерение и следователно до n=3, за да изразим триизмерен вектор, няма да има достатъчно информация за два вектора и следователно ще бъде възможно да изразим Z в уравнението на Ферма в поне три члена (три вектора, лежащи съответно на трите оси на координатната система).

Ако n=4, тогава трябва да има 4 члена, ако n=5, тогава трябва да има 5 члена и т.н. В този случай ще има повече от достатъчно цели решения. Например 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 и така нататък (можете да изберете други примери за n=3, n=4 и така нататък).

Какво следва от всичко това? От това следва, че теоремата на Ферма наистина няма цели решения за n>2 - но само защото самото уравнение е неправилно! Със същия успех може да се опита да изрази обема на паралелепипед чрез дължините на двата му ръба - разбира се, това е невъзможно (цели решения никога няма да бъдат намерени), но само защото да се намери обемът на паралелепипед , трябва да знаете дължините на трите му ръба.

Когато попитали известния математик Дейвид Гилбърт коя е най-важната задача за науката сега, той отговорил „да хване муха от другата страна на луната“. На резонния въпрос "Кому е нужно?" той отговори така: "Никой не се нуждае от това. Но помислете колко важни и сложни задачи трябва да решите, за да постигнете това."

С други думи, Ферма (адвокат на първо място!) изигра остроумна юридическа шега с целия математически свят, основана на неправилна формулировка на проблема. Той всъщност предложи на математиците да намерят отговор защо една муха не може да живее от другата страна на Луната, а в полетата на Аритметика искаше само да напише, че на Луната просто няма въздух, т.е. не може да има цели решения на неговата теорема за n>2 само защото всяка стойност на n трябва да съответства на определен брой членове от лявата страна на неговото уравнение.

Но само шега ли беше? Въобще не. Гениалността на Ферма се състои именно в това, че той всъщност пръв вижда връзката между степента и размерността на една математическа фигура – ​​тоест, което е абсолютно еквивалентно, броя на членовете от лявата страна на уравнението. Смисълът на известната му теорема беше именно не само да тласне математическия свят върху идеята за тази връзка, но и да постави началото на доказателството за съществуването на тази връзка - интуитивно разбираема, но математически все още необоснована.

Ферма, както никой друг, разбира, че установяването на връзка между привидно различни обекти е изключително плодотворно не само в математиката, но и във всяка наука. Подобна връзка сочи към някакъв дълбок принцип, лежащ в основата на двата обекта и позволяващ по-дълбоко разбиране за тях.

Например, първоначално физиците смятаха електричеството и магнетизма за напълно несвързани явления, а през 19 век теоретиците и експериментаторите осъзнаха, че електричеството и магнетизмът са тясно свързани. Резултатът беше по-задълбочено разбиране както на електричеството, така и на магнетизма. Електрическите токове генерират магнитни полета, а магнитите могат да индуцират електричество в проводници, които са близо до магнитите. Това доведе до изобретяването на динамо и електрически двигатели. В крайна сметка беше открито, че светлината е резултат от координирани хармонични колебания на магнитни и електрически полета.

Математиката от времето на Ферма се състоеше от острови от знание в море от невежество. Геометрите изучаваха формите на единия остров, а математиците изучаваха вероятността и шанса на другия остров. Езикът на геометрията беше много различен от езика на теорията на вероятностите и алгебричната терминология беше чужда на тези, които говореха само за статистика. За съжаление, математиката на нашето време се състои от приблизително същите острови.

Farm беше първият, който осъзна, че всички тези острови са свързани помежду си. И неговата известна теорема - ГОЛЯМАТА ТЕОРЕМА на Ферма - е отлично потвърждение за това.

Съдейки по популярността на заявката "теорема на Ферма - кратко доказателство,този математически проблем наистина е от интерес за мнозина. Тази теорема е заявена за първи път от Пиер дьо Ферма през 1637 г. на ръба на копие на Аритметиката, където той твърди, че има решение, което е твърде голямо, за да се побере на ръба.

Първото успешно доказателство е публикувано през 1995 г., пълното доказателство на теоремата на Ферма от Андрю Уайлс. Това беше описано като „зашеметяващ напредък“ и накара Уайлс да получи наградата Абел през 2016 г. Макар и описано сравнително накратко, доказателството на теоремата на Ферма също доказа голяма част от теоремата за модулността и отвори нови подходи към множество други проблеми и ефективни методи за премахване на модулността. Тези постижения напреднаха математиката 100 години напред в бъдещето. Доказателството на малката теорема на Ферма днес не е нещо необичайно.

Нерешеният проблем стимулира развитието на алгебричната теория на числата през 19 век и търсенето на доказателство на теоремата за модулността през 20 век. Това е една от най-забележителните теореми в историята на математиката и до пълното доказателство на последната теорема на Ферма чрез разделяне, тя беше в Книгата на рекордите на Гинес като "най-трудната математическа задача", една от характеристиките на която е че има най-голям брой неуспешни доказателства.

Историческа справка

Уравнението на Питагор x 2 + y 2 = z 2 има безкраен брой положителни цели числа за x, y и z. Тези решения са известни като Питагорови триединства. Около 1637 г. Ферма пише на ръба на книгата, че по-общото уравнение a n + b n = c n няма решения в естествени числа, ако n е цяло число, по-голямо от 2. Въпреки че самият Ферма твърди, че има решение на проблема си, той го направи не оставя никакви подробности за доказателството си. Елементарното доказателство на теоремата на Ферма, заявено от нейния създател, е по-скоро негово самохвално изобретение. Книгата на великия френски математик е открита 30 години след смъртта му. Това уравнение, наречено Последната теорема на Ферма, остава нерешено в математиката в продължение на три и половина века.

В крайна сметка теоремата се превърна в един от най-забележителните нерешени проблеми в математиката. Опитите да се докаже това предизвикаха значително развитие в теорията на числата и с течение на времето последната теорема на Ферма стана известна като нерешен проблем в математиката.

Кратка история на доказателствата

Ако n = 4, както е доказано от самия Ферма, е достатъчно да се докаже теоремата за индекси n, които са прости числа. През следващите два века (1637-1839) хипотезата е доказана само за простите числа 3, 5 и 7, въпреки че Софи Жермен актуализира и доказва подход, който се прилага към целия клас прости числа. В средата на 19 век Ернст Кумер разширява това и доказва теоремата за всички редовни прости числа, при което нередовните прости числа се анализират индивидуално. Въз основа на работата на Kummer и използвайки сложни компютърни изследвания, други математици успяха да разширят решението на теоремата, с цел да покрият всички основни показатели до четири милиона, но доказателството за всички показатели все още не беше налично (което означава, че математиците обикновено се смята решението на теоремата за невъзможно, изключително трудно или непостижимо с настоящите знания).

Работата на Шимура и Танияма

През 1955 г. японските математици Горо Шимура и Ютака Танияма подозираха, че има връзка между елиптичните криви и модулните форми, два много различни клона на математиката. Известна по това време като хипотезата на Танияма-Шимура-Вайл и (в крайна сметка) като теорема за модулността, тя съществуваше сама по себе си, без видима връзка с последната теорема на Ферма. Самата тя се смяташе широко за важна математическа теорема, но се смяташе (подобно на теоремата на Ферма) за невъзможно да се докаже. В същото време доказателството на Последната теорема на Ферма (чрез разделяне и прилагане на сложни математически формули) не е завършено до половин век по-късно.

През 1984 г. Герхард Фрей забеляза очевидна връзка между тези два преди това несвързани и неразрешени проблема. Пълно потвърждение, че двете теореми са тясно свързани, беше публикувано през 1986 г. от Кен Рибет, който се основава на частично доказателство от Жан-Пиер Сера, който доказва всички с изключение на една част, известна като „хипотезата за епсилон“. Просто казано, тези работи на Фрей, Сера и Рибе показаха, че ако теоремата за модулността може да бъде доказана, поне за полустабилен клас от елиптични криви, тогава доказателството на последната теорема на Ферма рано или късно също ще бъде открито. Всяко решение, което може да противоречи на последната теорема на Ферма, може да се използва и за противоречие на теоремата за модулността. Следователно, ако теоремата за модулността се оказа вярна, тогава по дефиниция не може да има решение, което да противоречи на последната теорема на Ферма, което означава, че тя трябваше да бъде доказана скоро.

Въпреки че и двете теореми бяха трудни задачи в математиката, смятани за неразрешими, работата на двамата японци беше първото предложение за това как последната теорема на Ферма може да бъде разширена и доказана за всички числа, не само за някои. Важен за изследователите, които избраха темата за изследване, беше фактът, че за разлика от последната теорема на Ферма, теоремата за модулността беше основната активна област на изследване, за която беше разработено доказателството, а не просто историческа странност, така че времето, прекарано в работата му може да бъде оправдана от професионална гледна точка. Въпреки това, общият консенсус беше, че разрешаването на хипотезата на Танияма-Шимура се оказа нецелесъобразно.

Последната теорема на Ферма: доказателство на Уайлс

След като научи, че Рибет е доказал правилността на теорията на Фрей, английският математик Андрю Уайлс, който се интересуваше от последната теорема на Ферма от детството си и имаше опит с елиптични криви и съседни области, реши да се опита да докаже хипотезата на Танияма-Шимура като начин за доказване Последната теорема на Ферма. През 1993 г., шест години след като обявява целта си, докато тайно работи върху проблема за решаването на теоремата, Уайлс успява да докаже свързана хипотеза, която от своя страна ще му помогне да докаже последната теорема на Ферма. Документът на Уайлс беше огромен по размер и обхват.

Беше открит недостатък в една част от оригиналната му статия по време на партньорска проверка и беше необходима още една година сътрудничество с Ричард Тейлър за съвместно решаване на теоремата. В резултат на това окончателното доказателство на Уайлс за последната теорема на Ферма не закъсня. През 1995 г. тя е публикувана в много по-малък мащаб от предишната математическа работа на Уайлс, което показва, че той не е сбъркал в предишните си заключения относно възможността за доказване на теоремата. Постижението на Wiles беше широко разпространено в популярната преса и популяризирано в книги и телевизионни програми. Останалите части от хипотезата на Танияма-Шимура-Вейл, които вече са доказани и са известни като теоремата за модулността, впоследствие бяха доказани от други математици, които надграждаха работата на Уайлс между 1996 и 2001 г. За постиженията си Уайлс е отличен и получава множество награди, включително наградата Абел за 2016 г.

Доказателството на Уайлс за последната теорема на Ферма е специален случай на решаване на теоремата за модулността за елиптични криви. Това обаче е най-известният случай на такава мащабна математическа операция. Наред с решаването на теоремата на Рибе, британският математик получава и доказателство на последната теорема на Ферма. Последната теорема на Ферма и теоремата за модулността бяха почти универсално смятани за недоказуеми от съвременните математици, но Андрю Уайлс успя да докаже на научния свят, че дори експертите могат да грешат.

Уайлс за първи път обяви откритието си в сряда, 23 юни 1993 г. на лекция в Кеймбридж, озаглавена „Модулни форми, елиптични криви и представяния на Галоа“. През септември 1993 г. обаче се оказа, че изчисленията му съдържат грешка. Година по-късно, на 19 септември 1994 г., в това, което той би нарекъл "най-важният момент от своя трудов живот", Уайлс се натъква на разкритие, което му позволява да коригира решението на проблема до точката, в която то може да задоволи математическите общност.

Описание на работата

Доказателството на Андрю Уайлс за теоремата на Ферма използва много методи от алгебричната геометрия и теорията на числата и има много разклонения в тези области на математиката. Той също така използва стандартните конструкции на съвременната алгебрична геометрия, като категорията на схемите и теорията на Ивасава, както и други методи от 20-ти век, които не са били достъпни за Пиер дьо Ферма.

Двата документа, съдържащи доказателствата, са дълги 129 страници и са писани в продължение на седем години. Джон Коутс описа това откритие като едно от най-големите постижения на теорията на числата, а Джон Конуей го нарече основното математическо постижение на 20 век. Уайлс, за да докаже последната теорема на Ферма чрез доказване на теоремата за модулността за специалния случай на полустабилни елиптични криви, разработи мощни методи за повдигане на модулността и отвори нови подходи към множество други проблеми. За решаването на последната теорема на Ферма той е рицар и получава други награди. Когато стана известно, че Уайлс е спечелил наградата Абел, Норвежката академия на науките описа постижението му като „възхитително и елементарно доказателство за последната теорема на Ферма“.

Как беше

Един от хората, които прегледаха оригиналния ръкопис на Wiles с решението на теоремата, беше Ник Кац. В хода на прегледа си той зададе на британеца редица уточняващи въпроси, които накараха Уайлс да признае, че работата му очевидно съдържа празнина. В една критична част от доказателството беше допусната грешка, която даде оценка за реда на определена група: системата на Ойлер, използвана за разширяване на метода на Коливагин и Флах, беше непълна. Грешката обаче не направи работата му безполезна - всяка част от работата на Уайлс беше много значима и новаторска сама по себе си, както и много от разработките и методите, които той създаде в хода на работата си и които засегнаха само една част от ръкопис. Въпреки това, тази оригинална работа, публикувана през 1993 г., всъщност нямаше доказателство за последната теорема на Ферма.

Уайлс прекара почти година в опити да преоткрие решение на теоремата, първо сам, а след това в сътрудничество с бившия си ученик Ричард Тейлър, но всичко изглеждаше напразно. До края на 1993 г. плъзнаха слухове, че доказателството на Уайлс се е провалило при тестване, но колко сериозен е този провал не беше известно. Математиците започнаха да оказват натиск върху Уайлс да разкрие подробностите от работата си, независимо дали е била извършена или не, така че по-широката общност от математици да може да изследва и използва всичко, което той е успял да постигне. Вместо бързо да поправи грешката си, Уайлс само открива допълнителни трудни аспекти в доказателството на Последната теорема на Ферма и накрая осъзнава колко е трудно.

Уайлс заявява, че на сутринта на 19 септември 1994 г. той е бил на ръба да се предаде и да се предаде и почти се е примирил с провала. Той беше готов да публикува недовършената си работа, за да могат другите да надграждат върху нея и да открият къде греши. Английският математик реши да си даде последен шанс и анализира теоремата за последен път, за да се опита да разбере основните причини, поради които неговият подход не работи, когато внезапно осъзна, че подходът на Коливагин-Флак няма да работи, докато не свърже повече и повече към процеса на доказване на теорията на Ивасава, като я накара да работи.

На 6 октомври Уайлс моли трима колеги (включително Фултинс) да прегледат новата му работа и на 24 октомври 1994 г. той предава два ръкописа - „Модулни елиптични криви и последната теорема на Ферма“ и „Теоретични свойства на пръстена на някои алгебри на Хеке “, втората от които Уайлс написа в съавторство с Тейлър и доказа, че са изпълнени определени условия, за да оправдае коригираната стъпка в основната статия.

Тези два документа бяха прегледани и накрая публикувани като пълно текстово издание в Annals of Mathematics от май 1995 г. Новите изчисления на Андрю бяха широко анализирани и в крайна сметка приети от научната общност. В тези работи е установена теоремата за модулността за полустабилни елиптични криви - последната стъпка към доказване на последната теорема на Ферма, 358 години след нейното създаване.

История на големия проблем

Решаването на тази теорема е смятано за най-големия проблем в математиката в продължение на много векове. През 1816 г. и през 1850 г. Френската академия на науките предлага награда за общо доказателство на последната теорема на Ферма. През 1857 г. Академията присъжда 3000 франка и златен медал на Кумер за изследването му върху идеални числа, въпреки че той не кандидатства за наградата. Друга награда му е предложена през 1883 г. от Брюкселската академия.

Награда Волфскел

През 1908 г. немският индустриалец и аматьор математик Пол Волфскел завещава 100 000 златни марки (голяма сума за времето) на Академията на науките в Гьотинген, за да бъде наградата за пълното доказателство на Последната теорема на Ферма. На 27 юни 1908 г. Академията публикува девет правила за награждаване. Освен всичко друго, тези правила изискват доказателството да бъде публикувано в рецензирано списание. Наградата трябваше да бъде присъдена само две години след публикуването. Състезанието трябваше да изтече на 13 септември 2007 г. - около век след началото му. На 27 юни 1997 г. Уайлс получава паричната награда на Волфшел и след това още 50 000 долара. През март 2016 г. той получи 600 000 евро от норвежкото правителство като част от наградата Абел за „удивително доказателство на последната теорема на Ферма с помощта на хипотезата за модулност за полустабилни елиптични криви, откривайки нова ера в теорията на числата“. Това беше световният триумф на скромния англичанин.

Преди доказателството на Уайлс, теоремата на Ферма, както беше споменато по-рано, се смяташе за абсолютно неразрешима в продължение на векове. Хиляди неверни доказателства по различно време бяха представени на комисията Wolfskell, възлизащи на приблизително 10 фута (3 метра) кореспонденция. Само през първата година от съществуването на наградата (1907-1908) са подадени 621 заявления за решаване на теоремата, въпреки че до 70-те години броят им е намалял до около 3-4 заявления на месец. Според Ф. Шлихтинг, рецензент на Wolfschel, повечето от доказателствата се основават на елементарни методи, преподавани в училищата и често се представят като "хора с техническо образование, но неуспешна кариера". Според историка на математиката Хауърд Ейвс последната теорема на Ферма поставя своеобразен рекорд – това е теоремата с най-много неверни доказателства.

Лаврите на Ферма отидоха при японците

Както беше обсъдено по-рано, около 1955 г. японските математици Горо Шимура и Ютака Танияма откриха възможна връзка между два привидно напълно различни клона на математиката - елиптични криви и модулни форми. Получената теорема за модулност (известна тогава като хипотезата на Танияма-Шимура) гласи, че всяка елиптична крива е модулна, което означава, че може да бъде свързана с уникална модулна форма.

Първоначално теорията беше отхвърлена като малко вероятна или силно спекулативна, но беше приета по-сериозно, когато теоретикът на числата Андре Вейл намери доказателства в подкрепа на японските заключения. В резултат на това хипотезата често е наричана хипотезата на Танияма-Шимура-Вейл. Той стана част от програмата Langlands, която представлява списък от важни хипотези, които трябва да бъдат доказани в бъдеще.

Дори след сериозно изследване, хипотезата е призната от съвременните математици за изключително трудна или може би недостъпна за доказване. Сега именно тази теорема чака своя Андрю Уайлс, който може да изненада целия свят с нейното решение.

Теорема на Ферма: доказателство на Перелман

Въпреки общоприетия мит, руският математик Григорий Перелман, въпреки цялата си гениалност, няма нищо общо с теоремата на Ферма. Това обаче не омаловажава многобройните му заслуги към научната общност.

Завистници твърдят, че френският математик Пиер Ферма е вписал името си в историята само с една фраза. В полето на ръкописа с формулировката на известната теорема през 1637 г. той прави бележка: „Намерих невероятно решение, но няма достатъчно място да го поставя“. Тогава започна невероятна математическа надпревара, в която наред с изключителни учени се включиха цяла армия от аматьори.

Каква е коварността на проблема на Ферма? На пръв поглед е ясно дори за ученик.

Тя се основава на добре известната теорема на Питагор: в правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на краката: x 2 + y 2 \u003d z 2. Ферма твърди, че уравнение със степен, по-голяма от две, няма решение в цели числа.

Изглежда просто. Протегнете ръка и ето го отговорът. Не е изненадващо, че академиите на различни страни, научните институти, дори редакциите на вестниците бяха затрупани с десетки хиляди доказателства. Техният брой е безпрецедентен, на второ място след проекти за "вечни двигатели". Но ако сериозната наука отдавна не е обмисляла тези луди идеи, тогава произведенията на "фермистите" се изучават честно и заинтересовано. И, уви, намира грешки. Твърди се, че повече от три века се е образувало цяло математическо гробище от решения на теоремата.

Нищо чудно, че казват: лакътят е близо, но няма да хапете. Минаха години, десетилетия, векове и проблемът на Ферма изглеждаше все по-изненадващ и изкусителен. Изглежда непретенциозен, оказа се твърде труден за напредъка, който бързо изгражда мускули. Човекът вече е разделил атома, стигнал е до гена, стъпил е на Луната, но Ферма не се предаде, продължавайки да мами потомците си с фалшиви надежди.

Опитите за преодоляване на научния връх обаче не бяха напразни. Първата стъпка е направена от великия Ойлер, доказвайки теоремата за четвърта степен, след това за трета. В края на 19 век германецът Ернст Кумер довежда броя на степените до сто. Накрая, въоръжени с компютри, учените увеличиха тази цифра до 100 000. Но Ферма говореше за всякакви степени. Това беше целият смисъл.

Разбира се, учените бяха измъчвани от задачата не поради спортен интерес. Известният математик Дейвид Хилбърт каза, че една теорема е пример за това как един на пръв поглед незначителен проблем може да има огромно влияние върху науката. Работейки върху него, учените откриха напълно нови математически хоризонти, например бяха положени основите на теорията на числата, алгебрата и теорията на функциите.

И все пак Великата теорема беше покорена през 1995 г. Нейното решение е представено от американеца от Принстънския университет Андрю Уайлс и е официално признато от научната общност. Той даде повече от седем години от живота си, за да намери доказателства. Според учените тази изключителна работа обединява трудовете на много математици, възстановявайки изгубените връзки между различните му раздели.

И така, върхът е взет и науката е получила отговор, - каза на кореспондента на RG научният секретар на Отделението по математика на Руската академия на науките, доктор на техническите науки Юрий Вишняков. - Теоремата е доказана, макар и не по най-простия начин, както настояваше самият Ферма. А сега желаещите могат да отпечатат свои версии.

Семейството на "фермистите" обаче изобщо няма да приеме доказателството на Уайлс. Не, те не опровергават решението на американеца, защото то е много сложно и следователно разбираемо само за тесен кръг специалисти. Но не минава седмица без в интернет да се появи ново разкритие на поредния ентусиаст, който „най-после слага край на една дългогодишна епопея“.

Между другото, точно вчера един от най-старите "фермисти" у нас Всеволод Ярош се обади в редакцията на "RG": "Знаете ли, че доказах теоремата на Ферма още преди Уайлс. Освен това по-късно открих грешка в него, за което писах на нашия изключителен математик академик Арнолд с молба да публикува това в научно списание. Сега чакам отговор. Също така кореспондирам с Френската академия на науките по този въпрос. "

И току-що, както беше съобщено в редица медии, с "лека грация той разкри великата тайна на математиката", друг ентусиаст е бившият генерален дизайнер на софтуера "Полет" от Омск, доктор на техническите науки Александър Илин. Решението се оказа толкова просто и кратко, че се помести на малка част от вестникарската площ на една от централните публикации.

Редакторите на "RG" се обърнаха към водещия в страната Институт по математика. Steklov RAS с молба за оценка на това решение. Учените бяха категорични: не може да се коментира публикация във вестник. Но след дълги увещания и предвид засиления интерес към известния проблем, те се съгласиха. Според тях в публикуваното доказателство са допуснати няколко фундаментални грешки. Между другото, дори студент от Математическия факултет можеше да ги забележи.

И все пак редакторите искаха да получат информация от първа ръка. Още повече, че вчера в Академията за авиация и въздухоплаване Илин трябваше да представи своето доказателство. Оказа се обаче, че малцина дори сред специалистите знаят за такава академия. И когато въпреки това с голяма трудност беше възможно да се намери телефонният номер на научния секретар на тази организация, тогава, както се оказа, той дори не подозираше, че такова историческо събитие ще се случи на тяхно място. С една дума, кореспондентът на "RG" не успя да стане свидетел на световната сензация.