Елементарните резултати са класическото определение за вероятност. Типични грешки при решаване на задачи за класическата дефиниция на вероятността

Основи на теорията на вероятностите

план:

1. Случайни събития

2. Класическа дефиниция на вероятността

3. Изчисляване на вероятности за събития и комбинаторика

4. Геометрична вероятност

Теоретична информация

Случайни събития.

случайно явление- явление, чийто изход е недвусмислено определен. Това понятие може да се тълкува в доста широк смисъл. А именно: всичко в природата е съвсем случайно, появата и раждането на всеки индивид е случайно явление, изборът на стоки в магазина също е случайно явление, получаването на оценка на изпит е случайно явление, болестта и оздравяването са случайни явления и др.

Примери за случайни явления:

~ Стрелбата се извършва от оръдие, поставено под зададен ъгъл спрямо хоризонта. Попадането му в целта е случайно, но попадането на снаряд в определена "вилица" е модел. Можете да посочите разстоянието, по-близо от и отвъд което снарядът няма да лети. Вземете малко "вилица дисперсия на черупки"

~ Едно и също тяло се претегля няколко пъти. Строго погледнато, всеки път ще се получават различни резултати, макар и с пренебрежимо малка разлика, но различни.

~ Самолет, летящ по същия маршрут, има определен полетен коридор, в рамките на който самолетът може да маневрира, но никога няма да има точно същия маршрут

~ Един спортист никога няма да може да пробяга същото разстояние с едно и също време. Неговите резултати също ще бъдат в определен цифров диапазон.

Опитът, експериментът, наблюдението са тестове

Пробен период- спазване или изпълнение на определен набор от условия, които се изпълняват многократно и редовно се повтарят в същата последователност, продължителност, като се спазват други идентични параметри.

Нека разгледаме изпълнението на изстрел от спортист в целта. За да бъде произведен е необходимо да бъдат изпълнени условия като подготовка на спортиста, зареждане на оръжието, прицелване и др. „Попадение“ и „пропускане“ са събития в резултат на изстрел.

Събитие– резултат от качествен тест.

Едно събитие може да се случи или да не се случи. Събитията се обозначават с главни латински букви. Например: D = "Стрелецът уцели целта". S=Изтеглена бяла топка. K="Случаен билет за лотария без печалба.".

Хвърлянето на монета е изпитание. Падането на нейния „герб” е едното събитие, падането на нейния „номер” е второто събитие.

Всеки тест включва настъпването на няколко събития. Някои от тях може да са необходими в даден момент от изследователя, докато други може да не са необходими.

Събитието се нарича случайно, ако при изпълнението на определен набор от условия Сможе да се случи или да не се случи. По-нататък, вместо да кажем „наборът от условия S е изпълнен“, ще кажем накратко: „тестът е извършен“. Така събитието ще се счита за резултат от теста.

~ Стрелецът стреля по мишена, разделена на четири зони. Кадърът е тест. Удрянето на определена област от целта е събитие.

~ В урната има цветни топки. Една топка се тегли на случаен принцип от урната. Изваждането на топка от урна е изпитание. Появата на топка с определен цвят е събитие.

Видове случайни събития

1. Твърди се, че събитията са несъвместимиако настъпването на едно от тях изключва настъпването на други събития в същото изпитване.

~ Част е взета на случаен принцип от кутия с части. Появата на стандартна част изключва появата на нестандартна част. Събития € стандартна част се появи" и с нестандартна част се появи" - несъвместимо.

~ Хвърля се монета. Появата на "герба" ​​изключва появата на надписа. Събитията "появи се герб" и "появи се надпис" са несъвместими.

Формират се няколко събития пълна група,ако поне един от тях се появи в резултат на теста. С други думи, настъпването на поне едно от събитията на пълната група е определено събитие.

По-специално, ако събитията, които образуват пълна група, са несъвместими по двойки, тогава едно и само едно от тези събития ще се появи като резултат от теста.Този специален случай е от най-голям интерес за нас, тъй като се използва по-долу.

~ Бяха закупени два билета от лотарията за пари и дрехи. Трябва да се случи едно и само едно от следните събития:

1. "печалбите паднаха на първия билет и не паднаха на втория",

2. "печалбите не паднаха на първия билет, а паднаха на втория",

3. "печалбите паднаха и на двата билета",

4. "и двата билета не спечелиха."

Тези събития образуват пълна група от несъвместими по двойки събития,

~ Стрелецът е стрелял в целта. Със сигурност ще се случи едно от следните две събития: удар, пропуск. Тези две несвързани събития също образуват пълна група.

2. Извикват се събития еднакво възможноако има основание да се смята, че нито едното е по-възможно от другото.

~ Появата на "герб" и появата на надпис при хвърляне на монета са еднакво възможни събития. Действително се предполага, че монетата е изработена от хомогенен материал, има правилна цилиндрична форма и наличието на монета не влияе на загубата на една или друга страна на монетата.

~ Появата на един или друг брой точки върху хвърлен зар е също толкова вероятно събитие. Действително се предполага, че матрицата е направена от хомогенен материал, има формата на правилен многостен и наличието на точки не влияе върху загубата на лице.

3. Събитието се нарича автентичен,ако не може да стане

4. Събитието се нарича не е надежденако не може да стане.

5. Събитието се нарича противоположносткъм някакво събитие, ако се състои в ненастъпването на даденото събитие. Противоположните събития не са съвместими, но едно от тях задължително трябва да се случи. Противоположните събития обикновено се наричат ​​отрицания, т.е. над буквата се изписва тире. Събитията са противоположни: A и Ā; U и Ū и т.н. .

Класическата дефиниция на вероятността

Вероятността е едно от основните понятия на теорията на вероятностите.

Има няколко дефиниции на това понятие. Нека дадем определение, което се нарича класическо. След това посочваме слабостите на това определение и даваме други определения, които позволяват да се преодолеят недостатъците на класическото определение.

Да разгледаме ситуацията: кутия съдържа 6 еднакви топки, 2 червени, 3 сини и 1 бяла. Очевидно е, че възможността за изтегляне на произволна цветна (т.е. червена или синя) топка от урна е по-голяма от възможността за изтегляне на бяла топка. Тази възможност може да се характеризира с число, което се нарича вероятност за събитие (поява на цветна топка).

Вероятност- число, характеризиращо степента на възможност за настъпване на събитието.

В разглежданата ситуация означаваме:

Събитие A = „Изваждане на цветна топка“.

Извиква се всеки от възможните резултати от теста (тестът се състои в изваждане на топка от урната). елементарен (възможен) изход и събитие.Елементарните резултати могат да бъдат обозначени с букви с индекси по-долу, например: k 1 , k 2 .

В нашия пример има 6 топки, така че има 6 възможни резултата: появи се бяла топка; появи се червена топка; появи се синя топка и т.н. Лесно е да се види, че тези резултати образуват пълна група от несъвместими по двойки събития (непременно ще се появи само една топка) и са еднакво вероятни (топката се изважда на случаен принцип, топките са еднакви и старателно смесени).

Елементарни резултати, в които се случва събитието, което ни интересува, ще наричаме благоприятни резултатитова събитие. В нашия пример събитието е предпочитано А(появата на цветна топка) следните 5 резултата:

Така събитието Анаблюдава се, ако някой се появи в теста, без значение кой, от елементарните резултати, които благоприятстват А.Това е външният вид на всяка цветна топка, от която има 5 броя в кутията

В разглеждания пример на елементарни резултати 6; от които 5 благоприятстват събитието А.следователно P(A)= 5/6. Това число дава количествено определяне на степента на възможност за появата на цветна топка.

Определение на вероятността:

Вероятност за събитие Ае отношението на броя на резултатите, благоприятни за това събитие, към общия брой на всички еднакво възможни несъвместими елементарни резултати, които образуват пълна група.

P(A)=m/n или P(A)=m: n, където:

m е броят на елементарните резултати, които благоприятстват А;

П- броя на всички възможни елементарни резултати от теста.

Тук се приема, че елементарните резултати са несъвместими, еднакво вероятни и образуват пълна група.

Следните свойства следват от определението за вероятност:

1. Вероятността за определено събитие е равна на единица.

Наистина, ако събитието е сигурно, тогава всеки елементарен резултат от теста благоприятства събитието. В такъв случай m = nследователно p=1

2. Вероятността за невъзможно събитие е нула.

Наистина, ако събитието е невъзможно, тогава нито един от елементарните резултати от опита не благоприятства събитието. В този случай m=0, следователно p=0.

3.Вероятността за случайно събитие е положително число между нула и едно. 0T< n.

В следващите теми ще бъдат дадени теореми, които позволяват, от известните вероятности за някои събития, да се намерят вероятностите за други събития.

Измерване. В групата ученици има 6 момичета и 4 момчета. Каква е вероятността произволно избран ученик да е момиче? млад мъж ли ще е

p dev = 6 / 10 = 0,6 p jun = 4 / 10 = 0,4

Концепцията за "вероятност" в съвременните строги курсове по теория на вероятностите е изградена на основата на теория на множествата. Нека да разгледаме част от този подход.

Да предположим, че в резултат на теста се случва едно и само едно от следните събития: w i(i=1, 2, .... n). събития w i, е наречен елементарни събития (елементарни резултати). ОТНОСНОследва, че елементарните събития са по двойки несъвместими. Множеството от всички елементарни събития, които могат да се появят в изпитание, се нарича елементарно пространство за събитияΩ (главна гръцка буква омега), а самите елементарни събития - точки в това пространство..

Събитие Аидентифицирани с подмножество (от пространството Ω), чиито елементи са елементарни резултати, благоприятстващи А;събитие INе подмножество Ω, чиито елементи са резултати, които благоприятстват IN,Така множеството от всички събития, които могат да възникнат в теста, е множеството от всички подмножества на Ω. Самото Ω възниква с всеки резултат от теста, следователно Ω е определено събитие; празно подмножество на пространството Ω е -невъзможно събитие (то не се случва за нито един резултат от теста).

Елементарните събития се отличават от всички събития по теми, „всяко от тях съдържа само един елемент Ω

Към всеки елементарен изход w iсъответства на положително число p iе вероятността за този резултат и сумата от всички p iравно на 1 или със знака на сумата, този факт ще бъде записан като израз:

По дефиниция вероятността P(A)събития Ае равно на сумата от вероятностите за благоприятни елементарни резултати А.Следователно вероятността за определено събитие е равна на единица, невъзможно - на нула, произволно - е между нула и единица.

Нека разгледаме важен частен случай, когато всички резултати са еднакво вероятни Броят на резултатите е равен на n, сумата от вероятностите на всички резултати е равна на единица; следователно вероятността за всеки резултат е 1/n. Нека събитието Аблагоприятства m резултати.

Вероятност на събитието Ае равно на сумата от вероятностите за благоприятни резултати A:

P(A)=1/n + 1/n+...+1/n = n 1/n=1

Получава се класическата дефиниция на вероятността.

Все още има аксиоматиченподход към понятието "вероятност". В предложената система от аксиоми. Колмогоров A.N., недефинирани понятия са елементарно събитие и вероятност. Изграждането на логически пълна теория на вероятностите се основава на аксиоматичното определение на случайно събитие и неговата вероятност.

Ето аксиомите, които определят вероятността:

1. Всяко събитие Априсвоено неотрицателно реално число P(A).Това число се нарича вероятност на събитието. А.

2. Вероятността за определено събитие е равна на единица:

3. Вероятността за настъпване на поне едно от по двойки несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите на тези събития.

Въз основа на тези аксиоми свойствата на вероятностите за връзката между тях се извеждат като теореми.

Вероятностсъбитие е съотношението на броя на елементарните резултати, които благоприятстват дадено събитие, към броя на всички еднакво възможни резултати от опит, в който това събитие може да се случи. Вероятността за събитие А се обозначава с P(A) (тук P е първата буква от френската дума probabilite - вероятност). Според дефиницията
(1.2.1)
където е броят на елементарните резултати, благоприятстващи събитие А; - броят на всички еднакво възможни елементарни резултати от опита, образуващи пълна група от събития.
Това определение на вероятността се нарича класическо. Възниква в началния етап от развитието на теорията на вероятностите.

Вероятността за събитие има следните свойства:
1. Вероятността за определено събитие е равна на единица. Нека обозначим определено събитие с буквата. За определено събитие, следователно
(1.2.2)
2. Вероятността за невъзможно събитие е нула. Означаваме невъзможното събитие с буквата . За невъзможно събитие, следователно
(1.2.3)
3. Вероятността за случайно събитие се изразява като положително число, по-малко от едно. Тъй като неравенствата , или са изпълнени за случайно събитие, тогава
(1.2.4)
4. Вероятността за всяко събитие удовлетворява неравенствата
(1.2.5)
Това следва от съотношенията (1.2.2)-(1.2.4).

Пример 1Една урна съдържа 10 топки с еднакъв размер и тегло, от които 4 са червени и 6 са сини. От урната се изтегля една топка. Каква е вероятността изтеглената топка да е синя?

Решение. Събитието „изтеглената топка се оказа синя“ ще бъде отбелязано с буквата А. Този опит има 10 еднакво възможни елементарни изхода, от които 6 благоприятстват събитие А. В съответствие с формула (1.2.1) получаваме

Пример 2Всички естествени числа от 1 до 30 са написани на еднакви карти и поставени в урна. След старателно смесване на картите, едната карта се изважда от урната. Каква е вероятността числото на изтеглената карта да е кратно на 5?

Решение.Означаваме с А събитието "числото на взетата карта е кратно на 5". В този тест има 30 еднакво възможни елементарни изхода, от които 6 изхода са в полза на събитие А (номера 5, 10, 15, 20, 25, 30). следователно

Пример 3Хвърлят се два зара, изчислява се сумата от точките на горните лица. Намерете вероятността за събитие B, състоящо се в това, че горните стени на кубовете ще имат общо 9 точки.

Решение.Има 6 2 = 36 еднакво възможни елементарни резултата в този опит. Събитие B е облагодетелствано от 4 резултата: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), така че

Пример 4. На случаен принцип е избрано естествено число, което не надвишава 10. Каква е вероятността това число да е просто?

Решение.Означаваме с буквата C събитието "избраното число е просто". В този случай n = 10, m = 4 (прости числа 2, 3, 5, 7). Следователно желаната вероятност

Пример 5Хвърлят се две симетрични монети. Каква е вероятността и двете монети да имат цифри от горната страна?

Решение.Нека обозначим с буквата D събитието "имаше число от горната страна на всяка монета". Има 4 еднакво възможни елементарни резултата в този тест: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Означението (G, C) означава, че на първата монета има герб, на втората - число). Събитие D се предпочита от един елементарен изход (C, C). Тъй като m = 1, n = 4, тогава

Пример 6Каква е вероятността цифрите в произволно избрано двуцифрено число да са еднакви?

Решение.Двуцифрените числа са числата от 10 до 99; такива числа са общо 90. 9 числа са с еднакви цифри (това са числата 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Тъй като в този случай m = 9, n = 90, тогава
,
където A е събитието „число с еднакви цифри“.

Пример 7От буквите на думата диференциаледна буква се избира произволно. Каква е вероятността тази буква да бъде: а) гласна б) съгласна в) буква ч?

Решение. В думата диференциал има 12 букви, от които 5 са ​​гласни и 7 са съгласни. Писма чтази дума не го прави. Нека обозначим събитията: A - "гласна", B - "съгласна", C - "буква ч". Броят на благоприятните елементарни резултати: - за събитие A, - за събитие B, - за събитие C. Тъй като n \u003d 12, тогава
, И .

Пример 8Хвърлят се два зара, като се отбелязва броят на точките на горната страна на всеки зар. Намерете вероятността двата зара да имат еднакъв брой точки.

Решение.Нека означим това събитие с буквата A. Събитие A се предпочита от 6 елементарни резултата: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6; 6). Общо има еднакво възможни елементарни резултати, които образуват пълна група от събития, в този случай n=6 2 =36. Така че желаната вероятност

Пример 9Книгата има 300 страници. Каква е вероятността произволно отворена страница да има пореден номер, кратен на 5?

Решение.От условията на задачата следва, че от всички еднакво възможни елементарни изхода, които образуват пълна група от събития, ще има n = 300. От тях m = 60 благоприятстват настъпването на определеното събитие. Наистина, число, което е кратно на 5, има формата 5k, където k е естествено число и , откъдето . следователно
, където A - събитието "страница" има пореден номер, който е кратен на 5".

Пример 10. Хвърлят се два зара, изчислява се сумата от точките на горните лица. Кое е по-вероятно да получи общо 7 или 8?

Решение. Нека обозначим събитията: A - "7 точки паднаха", B - "8 точки паднаха". Събитие A се благоприятства от 6 елементарни изхода: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), а събитие B - от 5 изхода: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Има n = 6 2 = 36 от всички еднакво възможни елементарни резултати. Следователно, И .

И така, P(A)>P(B), тоест получаването на общо 7 точки е по-вероятно събитие от получаването на общо 8 точки.

Задачи

1. На случаен принцип е избрано естествено число, не по-голямо от 30. Каква е вероятността това число да е кратно на 3?
2. В урната ачервено и bсини топки с еднакъв размер и тегло. Каква е вероятността произволно изтеглена топка от тази урна да е синя?
3. На случаен принцип се избира число, което не надвишава 30. Каква е вероятността това число да е делител на zo?
4. В урната Асиньо и bчервени топки с еднакъв размер и тегло. Една топка се изтегля от тази урна и се оставя настрана. Тази топка е червена. След това от урната се изтегля друга топка. Намерете вероятността втората топка също да е червена.
5. На случаен принцип е избрано естествено число, което не надвишава 50. Каква е вероятността това число да е просто?
6. Хвърлят се три зара, изчислява се сумата от точките на горните лица. Кое е по-вероятно - да получите общо 9 или 10 точки?
7. Хвърлят се три зара, изчислява се сумата на падналите точки. Какво е по-вероятно да получи общо 11 (събитие A) или 12 точки (събитие B)?

Отговори

1. 1/3. 2 . b/(а+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(а+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - вероятността да получите общо 9 точки; p 2 \u003d 27/216 - вероятността да получите общо 10 точки; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Въпроси

1. Какво се нарича вероятност за събитие?
2. Каква е вероятността за определено събитие?
3. Каква е вероятността за невъзможно събитие?
4. Какви са границите на вероятността от случайно събитие?
5. Какви са границите на вероятността за всяко събитие?
6. Каква дефиниция на вероятността се нарича класическа?

В икономиката, както и в други области на човешката дейност или в природата, постоянно се налага да се сблъскваме със събития, които не могат да бъдат точно предвидени. По този начин обемът на продажбите на стоки зависи от търсенето, което може да варира значително, и от редица други фактори, които е почти невъзможно да се вземат предвид. Следователно при организацията на производството и продажбите трябва да се предвиди резултатът от такива дейности въз основа или на собствения предишен опит, или на подобен опит на други хора, или на интуицията, която също до голяма степен се основава на експериментални данни.

За да се оцени по някакъв начин разглежданото събитие, е необходимо да се вземат предвид или специално да се организират условията, при които се записва това събитие.

Изпълнението на определени условия или действия за идентифициране на въпросното събитие се нарича опитили експеримент.

Събитието се нарича случаендали в резултат на експеримента може или не може да се случи.

Събитието се нарича надежден, ако непременно се появи в резултат на това преживяване, и невъзможенако не може да се появи в това преживяване.

Например снеговалежът в Москва на 30 ноември е случайно събитие. Ежедневният изгрев може да се счита за определено събитие. Снеговалежът на екватора може да се разглежда като невъзможно събитие.

Един от основните проблеми в теорията на вероятностите е проблемът за определяне на количествена мярка за възможността за възникване на събитие.

Алгебра на събитията

Събитията се наричат ​​несъвместими, ако не могат да бъдат наблюдавани заедно в едно и също преживяване. Така наличието на две и три коли в един магазин за продажба едновременно са две несъвместими събития.

сумасъбития е събитие, състоящо се в настъпването на поне едно от тези събития

Пример за сбор от събития е наличието на поне един от два продукта в магазин.

работасъбития се нарича събитие, състоящо се в едновременното възникване на всички тези събития

Събитие, състоящо се в появата на две стоки едновременно в магазина, е продукт на събития: - появата на един продукт, - появата на друг продукт.

Събитията образуват пълна група от събития, ако поне едно от тях задължително се появява в преживяването.

Пример.Пристанището разполага с две кейови места за кораби. Могат да се разглеждат три събития: - липса на кораби на кейовите места, - присъствие на един кораб на едно от кейовите места, - присъствие на два кораба на две кейови места. Тези три събития образуват пълна група от събития.

Отсрещасе наричат ​​две уникални възможни събития, които образуват пълна група.

Ако едно от противоположните събития се обозначава с , тогава противоположното събитие обикновено се означава с .

Класически и статистически дефиниции на вероятността от събитие

Всеки от еднакво възможните тестови резултати (експерименти) се нарича елементарен резултат. Те обикновено се означават с букви. Например, хвърля се зар. Може да има шест елементарни изхода според броя точки от страните.

От елементарни резултати можете да съставите по-сложно събитие. И така, събитието с четен брой точки се определя от три резултата: 2, 4, 6.

Количествена мярка за възможността за настъпване на разглежданото събитие е вероятността.

Две дефиниции на вероятността от събитие са най-широко използвани: класическиИ статистически.

Класическата дефиниция на вероятността е свързана с понятието благоприятен изход.

Изход се нарича благоприятентова събитие, ако настъпването му води до настъпването на това събитие.

В дадения пример разглежданото събитие е четен брой точки на отпадналия ръб, има три благоприятни изхода. В случая генералът
броя на възможните резултати. И така, тук можете да използвате класическата дефиниция на вероятността от събитие.

Класическо определениее равно на отношението на броя на благоприятните резултати към общия брой възможни резултати

където е вероятността за събитието, е броят на благоприятните резултати за събитието, е общият брой възможни резултати.

В разглеждания пример

Статистическата дефиниция на вероятността е свързана с концепцията за относителната честота на поява на дадено събитие в експериментите.

Относителната честота на възникване на дадено събитие се изчислява по формулата

където е броят на поява на събитие в серия от експерименти (тестове).

Статистическа дефиниция. Вероятността за събитие е числото, спрямо което се стабилизира (установява) относителната честота с неограничено увеличаване на броя на експериментите.

В практическите задачи относителната честота за достатъчно голям брой опити се приема като вероятност за събитие.

От тези дефиниции на вероятността за събитие може да се види, че неравенството винаги е в сила

За да се определи вероятността от събитие въз основа на формула (1.1), често се използват комбинаторни формули за намиране на броя на благоприятните резултати и общия брой възможни резултати.

Кратка теория

За количествено сравнение на събитията според степента на възможността за тяхното възникване се въвежда числена мярка, която се нарича вероятност за събитие. Вероятността за случайно събитиесе нарича число, което е израз на мярка за обективната възможност за настъпване на събитие.

Стойностите, които определят колко значими са обективните основания за разчитане на настъпването на събитие, се характеризират с вероятността на събитието. Трябва да се подчертае, че вероятността е обективна величина, която съществува независимо от познаващия и е обусловена от съвкупността от условия, които допринасят за настъпването на дадено събитие.

Обясненията, които сме дали на концепцията за вероятност, не са математическа дефиниция, тъй като те не определят тази концепция количествено. Има няколко дефиниции на вероятността от случайно събитие, които се използват широко при решаване на конкретни проблеми (класически, аксиоматични, статистически и др.).

Класическата дефиниция на вероятността от събитиесвежда тази концепция до по-елементарна концепция за еднакво вероятни събития, която вече не подлежи на дефиниране и се приема за интуитивно ясна. Например, ако зарът е хомогенен куб, тогава падането на която и да е от страните на този куб ще бъде еднакво вероятни събития.

Нека определено събитие се раздели на еднакво вероятни случаи, сборът от които дава събитието. Тоест случаите от , на които се разпада, се наричат ​​благоприятни за събитието, тъй като появата на един от тях осигурява офанзивата.

Вероятността за събитие ще бъде обозначена със символа.

Вероятността за събитие е равна на отношението на броя на благоприятните за него случаи от общия брой уникални, еднакво възможни и несъвместими случаи към броя, т.е.

Това е класическата дефиниция на вероятността. По този начин, за да се намери вероятността за събитие, е необходимо, след разглеждане на различните резултати от теста, да се намери набор от единствените възможни, еднакво възможни и несъвместими случаи, да се изчисли общият им брой n, броят на случаите m, които предпочитайте това събитие и след това извършете изчислението съгласно горната формула.

Вероятността за събитие, равна на съотношението на броя на резултатите от опита, благоприятни за събитието, към общия брой резултати от опита, се нарича класическа вероятностслучайно събитие.

От определението следват следните свойства на вероятността:

Свойство 1. Вероятността за определено събитие е равна на единица.

Свойство 2. Вероятността за невъзможно събитие е нула.

Свойство 3. Вероятността за случайно събитие е положително число между нула и едно.

Свойство 4. Вероятността за възникване на събития, които образуват пълна група, е равна на единица.

Свойство 5. Вероятността за настъпване на противоположното събитие се определя по същия начин, както вероятността за настъпване на събитие А.

Броят на събитията, които благоприятстват появата на противоположното събитие. Следователно вероятността да се случи противоположното събитие е равна на разликата между единица и вероятността да се случи събитие А:

Важно предимство на класическата дефиниция на вероятността от събитие е, че с негова помощ вероятността от събитие може да се определи, без да се прибягва до опит, а въз основа на логически разсъждения.

Когато набор от условия е изпълнен, определено събитие определено ще се случи, а невъзможното определено няма да се случи. Сред събитията, които при създаване на комплекс от условия могат да настъпят или да не настъпят, за настъпването на едни може да се разчита с по-голямо основание, за появата на други с по-малко основание. Ако, например, в урната има повече бели топки, отколкото черни, тогава има повече причини да се надяваме за появата на бяла топка, когато се извади произволно от урната, отколкото за появата на черна топка.

Пример за решение на проблем

Пример 1

Една кутия съдържа 8 бели, 4 черни и 7 червени топки. На случаен принцип се изтеглят 3 топки. Намерете вероятностите за следните събития: - изтеглена е поне 1 червена топка, - има поне 2 топки от един и същи цвят, - има поне 1 червена и 1 бяла топка.

Решението на проблема

Намираме общия брой резултати от теста като броя на комбинациите от 19 (8 + 4 + 7) елемента от по 3 всеки:

Намерете вероятността за събитие– изтеглена поне 1 червена топка (1,2 или 3 червени топки)

Изисквана вероятност:

Нека събитието- има поне 2 топки от един и същи цвят (2 или 3 бели топки, 2 или 3 черни топки и 2 или 3 червени топки)

Брой резултати, благоприятстващи събитието:

Изисквана вероятност:

Нека събитието– има поне една червена и една бяла топка

(1 червена, 1 бяла, 1 черна или 1 червена, 2 бели или 2 червени, 1 бяла)

Брой резултати, благоприятстващи събитието:

Изисквана вероятност:

Отговор: P(A)=0,773;P(C)=0,7688; P(D)=0,6068

Пример 2

Хвърлят се два зара. Намерете вероятността сумата от точките да е най-малко 5.

Решение

Нека събитието е сбор от точки не по-малко от 5

Нека използваме класическата дефиниция на вероятността:

Общ брой възможни резултати от опита

Броят опити, които благоприятстват събитието, което ни интересува

На изпуснатата страна на първия зар могат да се появят една точка, две точки ..., шест точки. по подобен начин са възможни шест изхода при второто хвърляне на зара. Всеки от резултатите от първия зар може да се комбинира с всеки от резултатите от втория. По този начин общият брой на възможните елементарни резултати от теста е равен на броя на поставянията с повторения (селекция с поставяния на 2 елемента от набор от том 6):

Намерете вероятността за обратното събитие - сборът от точки е по-малък от 5

Следните комбинации от изпуснати точки ще благоприятстват събитието:

№

1-ва кост

2-ра кост

1

1

1

2

1

2

3

2

1

4

3

1

5

1

3

Представена е геометричната дефиниция на вероятността и е дадено решението на добре известната задача за срещата.

Първоначално, бидейки просто сбор от информация и емпирични наблюдения на играта на зарове, теорията на вероятностите се превърна в солидна наука. Ферма и Паскал са първите, които му дават математическа рамка.

От размисли за вечното до теорията на вероятностите

Двама души, на които теорията на вероятностите дължи много фундаментални формули, Блез Паскал и Томас Байес, са известни като дълбоко религиозни хора, като последният е бил презвитериански свещеник. Очевидно желанието на тези двама учени да докажат погрешността на мнението за определена Фортуна, давайки късмет на нейните фаворити, даде тласък на изследванията в тази област. В края на краищата всъщност всяка хазартна игра, с нейните печалби и загуби, е просто симфония от математически принципи.

Благодарение на вълнението на Chevalier de Mere, който беше еднакво комарджия и човек, който не беше безразличен към науката, Паскал беше принуден да намери начин да изчисли вероятността. Де Мере се интересуваше от този въпрос: „Колко пъти трябва да хвърлите два зара по двойки, така че вероятността да получите 12 точки да надхвърли 50%?“. Вторият въпрос, който изключително много интересуваше господина: „Как да разделим залога между участниците в незавършената игра?“ Разбира се, Паскал успешно отговори и на двата въпроса на дьо Мере, който стана неволен инициатор на развитието на теорията на вероятностите. Интересно е, че личността на дьо Мер остава известна в тази област, а не в литературата.

Преди това нито един математик все още не е направил опит да изчисли вероятностите за събития, тъй като се смяташе, че това е само едно предположение. Блез Паскал даде първото определение на вероятността за събитие и показа, че това е конкретна цифра, която може да бъде математически обоснована. Теорията на вероятностите се е превърнала в основа на статистиката и се използва широко в съвременната наука.

Какво е случайност

Ако разгледаме тест, който може да се повтори безкраен брой пъти, тогава можем да дефинираме случайно събитие. Това е един от възможните резултати от опита.

Опитът е изпълнението на конкретни действия в постоянни условия.

За да може да се работи с резултатите от опита, събитията обикновено се обозначават с буквите A, B, C, D, E ...

Вероятност за случайно събитие

За да може да се премине към математическата част на вероятността, е необходимо да се дефинират всички нейни компоненти.

Вероятността за събитие е числена мярка за възможността за възникване на някакво събитие (A или B) в резултат на преживяване. Вероятността се означава като P(A) или P(B).

Теорията на вероятностите е:

• надежденсъбитието гарантирано ще настъпи в резултат на експеримента Р(Ω) = 1;
• невъзможенсъбитието никога не може да се случи Р(Ø) = 0;
• случаенсъбитието се намира между сигурно и невъзможно, т.е. вероятността за възникването му е възможна, но не е гарантирана (вероятността за случайно събитие винаги е в рамките на 0≤P(A)≤1).

Връзки между събития

И едното, и сумата от събития A + B се разглеждат, когато събитието се брои при изпълнението на поне един от компонентите, A или B, или и двата - A и B.

Във връзка едно с друго събитията могат да бъдат:

• Еднакво възможно.
• съвместим.
• Несъвместим.
• Противоположни (взаимно изключващи се).
• Зависим.

Ако две събития могат да се случат с еднаква вероятност, тогава те еднакво възможно.

Ако настъпването на събитие A не анулира вероятността за настъпване на събитие B, тогава те съвместим.

Ако събития A и B никога не се случват по едно и също време в един и същи експеримент, тогава те се извикват несъвместими. Хвърлянето на монета е добър пример: излизането на опашки автоматично не означава излизане на глави.

Вероятността за сумата от такива несъвместими събития се състои от сумата от вероятностите за всяко от събитията:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Ако настъпването на едно събитие прави невъзможно настъпването на друго, тогава те се наричат ​​противоположни. Тогава единият от тях се обозначава като A, а другият - Ā (чете се като "не A"). Настъпването на събитие A означава, че Ā не е настъпило. Тези две събития образуват пълна група със сума от вероятности, равна на 1.

Зависимите събития имат взаимно влияние, като взаимно намаляват или увеличават вероятността.

Връзки между събития. Примери

Много по-лесно е да разберете принципите на теорията на вероятностите и комбинацията от събития, като използвате примери.

Експериментът, който ще се проведе, е да извадите топките от кутията, като резултатът от всеки експеримент е елементарен резултат.

Събитието е един от възможните резултати от преживяване - червена топка, синя топка, топка с числото шест и т.н.

Тест номер 1. Има 6 топки, три от които са сини с нечетни числа, а другите три са червени с четни числа.

Тест номер 2. Има 6 сини топки с числа от едно до шест.

Въз основа на този пример можем да именуваме комбинации:

• Надеждно събитие.На Испански № 2, събитието "вземете синята топка" е надеждно, тъй като вероятността за възникването му е 1, тъй като всички топки са сини и не може да има пропуск. Докато събитието „вземете топката с номер 1“ е случайно.
• Невъзможно събитие.На Испански № 1 със сини и червени топки, събитието "вземете лилавата топка" е невъзможно, тъй като вероятността за възникването му е 0.
• Еквивалентни събития.На Испански № 1, събитията „вземете топката с номер 2“ и „вземете топката с номер 3“ са еднакво вероятни, както и събитията „вземете топката с четно число“ и „вземете топката с номер 2“ ” имат различни вероятности.
• Съвместими събития.Получаването на шестица в процеса на хвърляне на зар два пъти подред са съвместими събития.
• Несъвместими събития.На същия испански Събития №1 „вземи червената топка“ и „вземи топката с нечетно число“ не могат да се комбинират в едно и също изживяване.
• противоположни събития.Най-яркият пример за това е хвърлянето на монета, където тегленето на глави е същото като нетеглене на опашки и сумата от техните вероятности винаги е 1 (пълна група).
• Зависими събития. И така, на испански № 1, можете да си поставите за цел да извадите червена топка два пъти подред. Извличането му или не извличането му за първи път влияе върху вероятността за извличането му втори път.

Вижда се, че първото събитие значително влияе върху вероятността от второто (40% и 60%).

Формула за вероятност на събитието

Преходът от гадаене към точни данни става чрез прехвърляне на темата в математическата равнина. Това означава, че преценките за случайно събитие като "висока вероятност" или "минимална вероятност" могат да бъдат преведени в конкретни числени данни. Вече е допустимо да се оценява, сравнява и въвежда такъв материал в по-сложни изчисления.

От гледна точка на изчислението дефиницията на вероятността за събитие е съотношението на броя на елементарните положителни резултати към броя на всички възможни резултати от опита по отношение на конкретно събитие. Вероятността се обозначава с P (A), където P означава думата "вероятност", която се превежда от френски като "вероятност".

И така, формулата за вероятността от събитие е:

Където m е броят на благоприятните резултати за събитие А, n е сумата от всички възможни резултати за това преживяване. Вероятността за събитие винаги е между 0 и 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Изчисляване на вероятността от събитие. Пример

Да вземем испански. № 1 с топки, който е описан по-рано: 3 сини топки с номера 1/3/5 и 3 червени топки с номера 2/4/6.

Въз основа на този тест могат да се разгледат няколко различни задачи:

• A - падане на червена топка. Червените топки са 3, а вариантите са общо 6. Това е най-простият пример, при който вероятността за събитие е P(A)=3/6=0,5.
• B - отпадане на четно число. Има общо 3 (2,4,6) четни числа, а общият брой възможни числови опции е 6. Вероятността за това събитие е P(B)=3/6=0,5.
• C - загуба на число, по-голямо от 2. Има 4 такива опции (3,4,5,6) от общия брой възможни резултати 6. Вероятността за събитие C е P(C)=4/6= 0,67.

Както може да се види от изчисленията, събитие C има по-висока вероятност, тъй като броят на възможните положителни резултати е по-висок, отколкото в A и B.

Несъвместими събития

Такива събития не могат да се появят едновременно в едно и също преживяване. Като на испански № 1, невъзможно е да получите синя и червена топка едновременно. Тоест можете да получите или синя, или червена топка. По същия начин четно и нечетно число не могат да се появят в зара едновременно.

Вероятността от две събития се разглежда като вероятността от тяхната сума или продукт. Сумата от такива събития A + B се счита за събитие, което се състои в появата на събитие A или B, а произведението на техните AB - в появата на двете. Например, появата на две шестици наведнъж върху лицата на два зара при едно хвърляне.

Сумата от няколко събития е събитие, което предполага настъпването на поне едно от тях. Продуктът на няколко събития е съвместната поява на всички тях.

В теорията на вероятностите, като правило, използването на съюза "и" означава сумата, съюзът "или" - умножение. Формулите с примери ще ви помогнат да разберете логиката на събирането и умножението в теорията на вероятностите.

Вероятност на сумата от несъвместими събития

Ако се вземе предвид вероятността от несъвместими събития, тогава вероятността от сумата от събития е равна на сумата от техните вероятности:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Например: изчисляваме вероятността на испански. Номер 1 със синя и червена топка ще пусне число между 1 и 4. Ще смятаме не с едно действие, а чрез сумата от вероятностите на елементарните компоненти. И така, в такъв експеримент има само 6 топки или 6 от всички възможни изхода. Числата, които отговарят на условието, са 2 и 3. Вероятността да се получи числото 2 е 1/6, вероятността за числото 3 също е 1/6. Вероятността да получите число между 1 и 4 е:

Вероятността за сумата от несъвместими събития на пълна група е 1.

Така че, ако в експеримента с куб съберем вероятностите да получим всички числа, тогава в резултат ще получим едно.

Това важи и за противоположни събития, например в експеримента с монета, където едната й страна е събитието А, а другата е противоположното събитие Ā, както е известно,

Р(А) + Р(Ā) = 1

Вероятност за създаване на несъвместими събития

Умножението на вероятностите се използва, когато се разглежда появата на две или повече несъвместими събития в едно наблюдение. Вероятността събитията A и B да се появят в него едновременно е равна на произведението на техните вероятности или:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Например вероятността в № 1 в резултат на два опита ще се появи синя топка два пъти, равна на

Тоест, вероятността да се случи събитие, когато в резултат на два опита с изваждане на топки ще бъдат извлечени само сини топки, е 25%. Много е лесно да се направят практически експерименти по този проблем и да се види дали това наистина е така.

Съвместни събития

Събитията се считат за съвместни, когато появата на едно от тях може да съвпадне с появата на другото. Въпреки факта, че са съвместни, се взема предвид вероятността от независими събития. Например хвърлянето на два зара може да даде резултат, когато и на двата се падне числото 6. Въпреки че събитията съвпадат и се появяват по едно и също време, те са независими едно от друго – може да падне само една шестица, вторият зар няма влияние върху него.

Вероятността от съвместни събития се разглежда като вероятността от тяхната сума.

Вероятността на сумата от съвместни събития. Пример

Вероятността от сумата от събития А и Б, които са съвместни едно спрямо друго, е равна на сумата от вероятностите на събитието минус вероятността от техния продукт (т.е. съвместното им изпълнение):

R става. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Да приемем, че вероятността за попадение в целта с един изстрел е 0,4. След това събитие А - попадение в целта от първия опит, Б - от втория. Тези събития са съвместни, тъй като е възможно да се уцели целта както от първия, така и от втория изстрел. Но събитията не са зависими. Каква е вероятността за поразяване на целта с два изстрела (поне един)? Според формулата:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Отговорът на въпроса е: "Вероятността за попадение в целта с два изстрела е 64%."

Тази формула за вероятността от събитие може да се приложи и към несъвместими събития, където вероятността за съвместно възникване на събитие P(AB) = 0. Това означава, че вероятността от сумата от несъвместими събития може да се счита за специален случай от предложената формула.

Геометрия на вероятностите за яснота

Интересното е, че вероятността от сумата от съвместни събития може да бъде представена като две области A и B, които се пресичат една с друга. Както можете да видите от снимката, площта на тяхното обединение е равна на общата площ минус площта на тяхното пресичане. Това геометрично обяснение прави привидно нелогичната формула по-разбираема. Имайте предвид, че геометричните решения не са необичайни в теорията на вероятностите.

Дефиницията на вероятността за сумата от набор (повече от две) съвместни събития е доста тромава. За да го изчислите, трябва да използвате формулите, предоставени за тези случаи.

Зависими събития

Зависими събития се наричат, ако появата на едно (A) от тях влияе върху вероятността за възникване на другото (B). Освен това се отчита влиянието както на настъпването на събитие А, така и на неговото ненастъпване. Въпреки че събитията се наричат ​​зависими по дефиниция, само едно от тях е зависимо (B). Обичайната вероятност се обозначава като P(B) или вероятността от независими събития. При зависимите се въвежда ново понятие - условната вероятност P A (B), която е вероятността за зависимото събитие B при условие, че е настъпило събитието A (хипотеза), от което то зависи.

Но събитие А също е случайно, така че също има вероятност, която трябва и може да бъде взета предвид при изчисленията. Следващият пример ще покаже как да работите със зависими събития и хипотеза.

Пример за изчисляване на вероятността от зависими събития

Добър пример за изчисляване на зависими събития е стандартно тесте карти.

На примера на тесте от 36 карти, разгледайте зависимите събития. Необходимо е да се определи вероятността втората изтеглена карта от тестето да бъде каро, ако първата изтеглена карта е:

1. тамбура.
2. Друг костюм.

Очевидно вероятността за второто събитие B зависи от първото A. Така че, ако първата опция е вярна, което е 1 карта (35) и 1 каро (8) по-малко в тестето, вероятността за събитие B:

P A (B) \u003d 8 / 35 \u003d 0,23

Ако втората опция е вярна, тогава има 35 карти в колодата и общият брой тамбури (9) все още е запазен, тогава вероятността за следното събитие е B:

P A (B) \u003d 9/35 \u003d 0,26.

Може да се види, че ако събитие А зависи от факта, че първата карта е каро, тогава вероятността за събитие Б намалява и обратно.

Умножение на зависими събития

Въз основа на предходната глава приемаме първото събитие (А) за факт, но по същество то има случаен характер. Вероятността за това събитие, а именно извличането на тамбурина от тесте карти, е равна на:

P(A) = 9/36=1/4

Тъй като теорията не съществува сама по себе си, а е призована да служи на практически цели, справедливо е да се отбележи, че най-често е необходима вероятността за създаване на зависими събития.

Съгласно теоремата за произведението на вероятностите от зависими събития, вероятността за възникване на съвместно зависими събития A и B е равна на вероятността за едно събитие A, умножена по условната вероятност за събитие B (в зависимост от A):

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

След това в примера с тесте, вероятността да изтеглите две карти с цвят каро е:

9/36*8/35=0,0571 или 5,7%

И вероятността първо да се извлекат не диаманти, а след това диаманти, е равна на:

27/36*9/35=0,19 или 19%

Може да се види, че вероятността за настъпване на събитие B е по-голяма, при условие че първо се изтегли карта от цвят, различен от каро. Този резултат е съвсем логичен и разбираем.

Обща вероятност за събитие

Когато проблем с условни вероятности стане многостранен, той не може да бъде изчислен с конвенционални методи. Когато има повече от две хипотези, а именно A1, A2, ..., A n , .. образува пълна група от събития при условието:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

И така, формулата за общата вероятност за събитие B с пълна група от случайни събития A1, A2, ..., A n е:

Поглед в бъдещето

Вероятността за случайно събитие е от съществено значение в много области на науката: иконометрия, статистика, физика и др. Тъй като някои процеси не могат да бъдат описани детерминистично, тъй като те самите са вероятностни, са необходими специални методи на работа. Вероятността на теорията на събитието може да се използва във всяка технологична област като начин за определяне на възможността за грешка или неизправност.

Може да се каже, че разпознавайки вероятността, ние по някакъв начин правим теоретична крачка в бъдещето, разглеждайки го през призмата на формулите.