Ако една права е перпендикулярна на две прави. Перпендикулярност на линиите в пространството

Нека затвърдим концепцията за перпендикулярност на права и равнина с бележките към урока. Ще дадем обща дефиниция, ще формулираме и представим доказателства на теоремата и ще решим няколко задачи за консолидиране на материала.

От курса по геометрия знаем: две прави линии се считат за перпендикулярни, когато се пресичат под ъгъл от 90 градуса.

Във връзка с

Съученици

Теоретична част

Преминавайки към изучаването на характеристиките на пространствените фигури, ще приложим нова концепция.

определение:

линия ще се нарича перпендикулярна на равнина, когато е перпендикулярна на линия на повърхност, произволно минаваща през точката на пресичане.

С други думи, ако сегментът „AB“ е перпендикулярен на равнината α, тогава ъгълът на пресичане с всеки сегмент, начертан по дадена повърхност през точката „C“ на преминаване на „AB“ през равнината α, ще бъде 90 градуса .

От горното следва теорема за знака за перпендикулярност на права и равнина:

ако права, прекарана през равнина, е перпендикулярна на две прави, прекарани в равнината през точката на пресичане, тогава тя е перпендикулярна на цялата равнина.

С други думи, ако на фигура 1 ъглите ACD и ACE са равни на 90°, тогава ъгълът ACF също ще бъде 90°. Вижте фигура 3.

Доказателство

Съгласно условията на теоремата правата "а" е начертана перпендикулярно на правите ди д. С други думи, ъглите ACD и ACE са равни на 90 градуса. Ще дадем доказателства, базирани на свойствата на равенството на триъгълниците. Вижте фигура 3.

През точка C минава правата аначертайте права през равнината α fвъв всяка посока. Нека докажем, че той ще бъде перпендикулярен на отсечката AB или ъгълът ACF ще бъде 90°.

На права линия аНека отделим отсечки с еднаква дължина AC и AB. На повърхността α начертаваме права хв произволна посока и без преминаване през кръстовището в точка “C”. Правата "x" трябва да пресича линии e, d и f.

Свържете точки F, D и E с прави линии с точки A и B.

Да разгледаме два триъгълника ACE и BCE. Според строителните условия:

1. Има две еднакви страни AC и BC.
2. Те имат обща долна страна CE.
3. Два равни ъгъла ACE и BCE - по 90 градуса всеки.

Следователно, според условията за равенство на триъгълниците, ако имаме две равни страни и еднакъв ъгъл между тях, то тези триъгълници са равни. От равенството на триъгълниците следва, че страните AE и BE са равни.

Съответно се доказва равенството на триъгълниците ACD и BCD, с други думи, равенството на страните AD и BD.

Сега разгледайте два триъгълника AED и BED. От доказаното по-рано равенство на триъгълниците следва, че тези фигури имат еднакви страни AE с BE и AD с BD. Едната страна на ЕД е често срещана. От условието за равенство на триъгълници, определени от три страни, следва, че ъглите ADE и BDE са равни.

Сумата от ъглите ADE и ADF е 180°. Сумата от ъглите BDE и BDF също ще бъде 180°. Тъй като ъглите ADE и BDE са равни, ъглите ADF и BDF са равни.

Да разгледаме два триъгълника ADF и BDF. Те имат две равни страни AD и BD (предварително доказани), обща страна DF и равен ъгъл между тях ADF и BDF. Следователно тези триъгълници имат страни с еднаква дължина. Тоест страната BF има същата дължина като страната AF.

Ако разгледаме триъгълник AFB, тогава той ще бъде равнобедрен (AF е равно на BF), а линията FC е медианата, тъй като според условията на конструкцията страната AC е равна на страната BC. Следователно ъгълът ACF е 90°. Което е трябвало да се докаже.

Важно следствие от горната теорема е следното твърдение:

Ако две успоредни прави пресичат равнина и едната от тях сключва ъгъл 90°, то втората също пресича равнината под ъгъл 90°.

Според условията на задачата a и b са успоредни. Вижте фигура 4. Линията a е перпендикулярна на повърхността α. От това следва, че правата b също ще бъде перпендикулярна на повърхността α.

За да докажете това, през две точки на пресичане на успоредни прави с равнина, начертайте права линия на повърхността ° С. Според теоремата за права, перпендикулярна на равнина, ъгълът DAB ще бъде 90 градуса. От свойствата на успоредните прави следва, че ъгъл ABF също ще бъде 90°. Следователно, по дефиниция, правата линия bще бъде перпендикулярна на повърхността α.

Използване на теоремата за решаване на задачи

За да осигурим материала, използвайки основните условия за перпендикулярност на права линия и равнина, ще решим няколко задачи.

Задача No1

Условия. От точка А построете перпендикуляр на равнина α. Вижте фигура 5.

На повърхността α начертаваме произволна права b. Използвайки права b и точка A, изграждаме повърхност β. От точка A до линия b начертайте отсечка AB. От точка B върху повърхността α начертаваме перпендикулярна права ° С.

От точка А до линия спуснете перпендикуляра AC. Нека докажем, че тази права ще бъде перпендикулярна на равнината.

За да докажем това, през точка C на повърхността α начертаваме права d, успоредна на b и през правата ° Си точка А ще построим равнина. Правата AC е перпендикулярна на правата c по условие на конструкцията и перпендикулярна на правата d, като следствие от две успоредни прави от теоремата за перпендикулярността, тъй като по условие правата b е перпендикулярна на повърхността γ.

Следователно, по определението за перпендикулярност на права и равнина, построеният сегмент AC е перпендикулярен на повърхността α.

Проблем No2

Условия. Отсечката AB е перпендикулярна на равнината α. Триъгълникът BDF е разположен на повърхността α и има следните параметри:

• ъгъл DBF ще бъде 90°
• страна BD=12 см;
• страна BF =16 см;
• BC - медиана.

Вижте фигура 6.

Намерете дължината на отсечката AC, ако AB = 24 cm.

Решение. Според Питагоровата теорема хипотенузата или страната DF е равна на корен квадратен от сбора на квадратите на катетите. Дължината на BD на квадрат е 144 и съответно BC на квадрат ще бъде 256. Общата сума е 400; като вземем корен квадратен, получаваме 20.

Медианата BC в правоъгълен триъгълник разделя хипотенузата на две равни части и е равна по дължина на тези сегменти, тоест BC = DC = CF = 10.

Отново се използва питагоровата теорема и получаваме: хипотенузата C = 26, което е корен квадратен от 675, сумата от квадратите на катетите е 576 (AB = 24 на квадрат) и 100 (BC = 10 на квадрат).

Отговор: Дължината на отсечката AC е 26 cm.

В този урок ще разгледаме перпендикулярността на правите в пространството, перпендикулярността на правата и равнината и успоредните прави, които са перпендикулярни на равнината.
Първо даваме дефиницията на две перпендикулярни линии в пространството и тяхното обозначение. Нека разгледаме и докажем лемата за успоредни прави, перпендикулярни на третата права. След това ще дадем дефиницията на линия, перпендикулярна на равнина, и ще разгледаме свойствата на такава линия, като същевременно помним относителното положение на линията и равнината. След това доказваме пряката и обратната теорема за две успоредни прави, перпендикулярни на равнина.
В края на урока ще решим две задачи за перпендикулярността на правите в паралелепипед и тетраедър.

Тема: Перпендикулярност на права и равнина

Урок: Перпендикулярни прави в пространството. Успоредни прави, перпендикулярни на равнина

В този урок ще разгледаме перпендикулярността на правите в пространството, перпендикулярността на правата и равнината и успоредните прави, които са перпендикулярни на равнината.

Определение. Две прави се наричат ​​перпендикулярни, ако ъгълът между тях е 90°.

Обозначаване. .

Помислете за правите линии АИ b. Линиите могат да се пресичат, пресичат или да са успоредни. За да построите ъгъл между тях, трябва да изберете точка и да прекарате през нея а,и права, успоредна на правата b. Прави и пресичащи се. Ъгълът между тях е ъгълът между правите АИ b.Ако ъгълът е 90 °, тогава прав АИ bперпендикулярен.

Ако една от двете успоредни прави е перпендикулярна на третата права, то другата права е перпендикулярна на тази права.

Доказателство:

Нека са дадени две успоредни прави АИ б,и прав с, и . Необходимо е да се докаже това.

Нека вземем произволна точка М. През точката Мначертайте линия, успоредна на линията Аи права, успоредна на правата ° С(фиг. 2). След това ъгълът AMSе равен на 90°.

Направо bуспоредна на правата Апо условие правата е успоредна на правата Апо конструкция. Това означава прав и bпаралелен.

Имаме, прави и bуспореден, прав си паралелни в конструкцията. И така, ъгълът между линиите bИ с -е ъгълът между прави линии и, т.е. ъгълът AMS, равен на 90°. Така че е направо bИ сса перпендикулярни, както се изисква да се докаже.

Определение. Една права се нарича перпендикулярна на равнина, ако е перпендикулярна на всяка права, лежаща в тази равнина.

Обозначаване. .

1. Геометрия. 10-11 клас: учебник за ученици от общообразователни институции (основни и специализирани нива) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-то издание, коригирано и разширено - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.

Задачи 5, 6, 7 стр

2. Дайте определението за перпендикулярност на правите в пространството.

3. Равни страни ABИ CDчетириъгълник ABCDперпендикулярна на някаква равнина. Определете вида на четириъгълника.

4. Страната на триъгълника е перпендикулярна на някаква права А.Докажете, че една от средните линии на триъгълника е перпендикулярна на правата А.

Назад напред

внимание! Визуализациите на слайдове са само за информационни цели и може да не представят всички характеристики на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Мишена: знае, разбира и може да прилага знака за перпендикулярност на права и равнина.

Задачи:

• повторете определенията за перпендикулярност на прави, прави и равнини.
• повторете твърдения за перпендикулярността на успоредните прави.
• запознайте се със знака за перпендикулярност на права и равнина.
• разбират необходимостта от използване на знака за перпендикулярност на права и равнина.
• да можете да намирате данни, които ви позволяват да приложите знака за перпендикулярност към права линия и равнина.
• тренирайте внимание, точност, логическо мислене, пространствено въображение.
• култивирайте чувство за отговорност.

Оборудване:компютър, проектор, екран.

План на урока

1. Организационен момент. (информирайте темата, мотивация, формулирайте целта на урока)

2. Повторение на предварително изучен материал и теореми (актуализиране на предишните знания на учениците: формулиране на дефиниции и теореми с последващо обяснение или приложение върху готовия чертеж).

3. Изучаване на нов материал като усвояване на нови знания (формулиране, доказателство).

4. Първична консолидация (фронтална работа, самоконтрол).

5. Повторен контрол (работа, последвана от взаимна проверка).

6. Рефлексия.

7. Домашна работа.

8. Обобщаване.

По време на часовете

1. Организационен момент

Докладвайте темата на урока (слайд 1): Знак за перпендикулярност на права и равнина

Мотивация: в последния урок дадохме дефиницията на права линия, перпендикулярна на равнина, но не винаги е удобно да я прилагаме (слайд 2).

Формулиране на целта: да знаете, разбирате и можете да прилагате знака за перпендикулярност към права линия и равнина (слайд 3)

2. Повторение на предварително изучен материал

Учителят: Нека си припомним какво вече знаем за перпендикулярността в пространството.

Математическа диктовка с поетапна самопроверка.

Начертайте куб ABCDA'B'C'D' в тетрадката си.

Всяка задача включва устно формулиране и записване на вашия пример в тетрадка.

1. Формулирайте дефиницията на перпендикулярни прави.

Дайте пример в чертеж на куб (слайд 4).

2. Формулирайте лема за перпендикулярността на две успоредни прави спрямо трета.

Докажете, че AA’ е перпендикулярна на DC (слайд 5).

3. Формулирайте определението за права линия, перпендикулярна на равнина.

Назовете линия, перпендикулярна на равнината на основата на куба. (слайд 6)

4. Формулирайте теореми, установяващи връзката между успоредността на правите и тяхната перпендикулярност спрямо равнината. (слайд 7)

5. Решете задача №1. (слайд 8)

Намерете ъгъла между правите FO и AB, ако ABCDA’B’C’D’ е куб, точка O е пресечната точка на диагоналите на основата, F е средата на A’C.

6. Преглед на задача за домашна работа № 119 (слайд 9) (устно)

Разгледайте различни решения: чрез доказателство за равенство на правоъгълни триъгълници и свойството на равнобедрен триъгълник.

Формулиране на проблема

Помислете за истинността на твърдението:

• Една права е перпендикулярна на равнина, ако е перпендикулярна на която и да е права, лежаща в тази равнина.
• Една права е перпендикулярна на равнина, ако е перпендикулярна на някои успоредни прави, лежащи в тази равнина. (слайд 10-11)

3. Учене на нов материал

Учениците предлагат варианти за знака.

Формулиран е знакът за перпендикулярност на права и равнина (слайд 12).

Ако една права е перпендикулярна на две пресичащи се прави, лежащи в равнина, то тя е перпендикулярна на тази равнина.

Доказателство.

Етап 1(слайд 13).

Нека права a пресича равнината в точката на пресичане на правите p и q. Нека начертаем през точка O права, успоредна на m и произволна права, така че да пресича и трите прави в точки P, Q, L.

APQ = BPQ (слайд 14)

APL= BPL (слайд 15)

Медианата LO е височината (слайд 16)

Поради произволността на избора на права m се доказва, че правата a е перпендикулярна на равнината

Етап 2(слайд 17)

Правата a пресича равнината в точка, различна от точка O.

Нека начертаем права линия a’ така, че a || a’ и преминавайки през точка O,

и тъй като аСпоред предварително доказани

тогава а

Теоремата е доказана

4. Първична консолидация.

И така, за да твърдим, че една права е перпендикулярна на равнина, какво условие е достатъчно?

Очевидно стълбът е перпендикулярен както на траверсите, така и на релсите. (слайд 18)

Да решим задача No128. (слайд 19) (работете в групи, ако могат да го направят сами, тогава доказателството се изговаря устно, за слабите ученици се използва намек на екрана)

5. Повторен контрол.

Установете истинността на твърденията (отговор I (вярно), L (невярно).) (слайд 20)

Линията a минава през центъра на кръга.

Може ли да се каже, че правата a е перпендикулярна на окръжността, ако

• тя е перпендикулярна на диаметъра
• два радиуса
• два диаметъра

6. Рефлексия

Учениците разказват основните етапи на урока: какъв проблем е възникнал, какво решение (знак) е предложено.

Учителят прави коментар относно проверката на вертикалността по време на конструкцията (слайд 21).

7. Домашна работа

С.15-17 № 124, 126 (слайд 23)

8. Обобщаване

• Каква е темата на нашия урок?
• Каква беше целта?
• Постигната ли е целта?

Приложение

Презентацията използва чертежи, направени с помощта на програмата „Математика на живо“, представена в Приложение 1.

Литература

1. Геометрия. 10-11 клас: учебник. за общо образование институции: основни и профилни. нива/P.S. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.
2. СМ. Саакян В.Ф. Бутузов Изучаване на геометрия в 10-11 клас: методически препоръки за обучение: книга. за учителя.
3. Т.В. Валаханович, В.В. Шликов Дидактически материали по геометрия: 11 клас: ръководство за учители по общо образование. институции с рус език обучение с 12-годишен срок на обучение (основно и напреднало ниво) Мн.
4. Разработки на уроци по геометрия: 10. клас / Съст. В.А. Яровенко.

Предварителна информация за директен

Понятието права линия, както и понятието точка, са основните понятия на геометрията. Както знаете, основните понятия не са дефинирани. Това не е изключение от концепцията за права линия. Затова нека разгледаме същността на това понятие чрез неговото изграждане.

Вземете линийка и, без да вдигате молива си, начертайте линия с произволна дължина. Ще наречем получената линия права линия. Тук обаче трябва да се отбележи, че това не е цялата права линия, а само част от нея. Самата права линия е безкрайна в двата си края.

Правите линии ще обозначаваме с малка латинска буква или нейните две точки в скоби (фиг. 1).

Понятията права линия и точка са свързани с три аксиоми на геометрията:

Аксиома 1:За всяка произволна права има поне две точки, които лежат на нея.

Аксиома 2:Можете да намерите поне три точки, които не лежат на една права.

Аксиома 3:Една права линия винаги минава през 2 произволни точки и тази права линия е уникална.

За две прави линии относителната им позиция е от значение. Възможни са три случая:

1. Две прави линии съвпадат. В този случай всяка точка от една права ще бъде и точка от другата права.
2. Две линии се пресичат. В този случай само една точка от една права ще принадлежи и на другата права.
3. Две прави са успоредни. В този случай всяка от тези линии има свой собствен набор от точки, които са различни една от друга.

Перпендикулярност на линиите

Да разгледаме две произволни пресичащи се прави. Очевидно в точката на тяхното пресичане се образуват 4 ъгъла. Тогава

Определение 1

Ще наричаме пресичащите се прави перпендикулярни, ако поне един ъгъл, образуван от тяхното пресичане, е равен на $90^0$ (фиг. 2).

Обозначение: $a⊥b$.

Помислете за следния проблем:

Пример 1

Намерете ъгли 1, 2 и 3 от фигурата по-долу

Следователно ъгъл 2 е вертикален за дадения ни ъгъл

Следователно ъгъл 1 е съседен на ъгъл 2

$∠1=180^0-∠2=180^0-90^0=90^0$

Следователно ъгъл 3 е вертикален спрямо ъгъл 1

$∠3=∠1=90^0$

От този проблем можем да направим следната забележка

Бележка 1

Всички ъгли между перпендикулярни прави са равни на $90^0$.

Основна теорема за перпендикулярните прави

Нека въведем следната теорема:

Теорема 1

Две линии, които са перпендикулярни на третата, ще се разминават.

Доказателство.

Нека да разгледаме фигура 3 според условията на проблема.

Нека мислено разделим тази фигура на две части от правата $(ZP)$. Нека поставим дясната страна върху лявата. Тогава, тъй като правите $(NM)$ и $(XY)$ са перпендикулярни на правата $(PZ)$ и следователно ъглите между тях са прави, лъчът $NP$ ще бъде насложен изцяло върху лъча $ PM$ и лъчът $XZ $ ще бъде насложен изцяло върху лъча $YZ$.

Сега да предположим обратното: нека тези линии се пресичат. Без да губим общост, нека приемем, че те се пресичат от лявата страна, т.е. нека лъчът $NP$ се пресича с лъча $YZ$ в точка $O$. Тогава, съгласно описаната по-горе конструкция, ще получим, че лъчът $PM$ се пресича с лъча $YZ$ в точката $O"$. Но тогава получаваме, че през две точки $O$ и $O"$, има две прави линии $(NM)$ и $(XY)$, което противоречи на аксиомата за 3 прави линии.

Следователно правите $(NM)$ и $(XY)$ не се пресичат.

Теоремата е доказана.

Примерна задача

Пример 2

Дадени са две прави, които имат пресечна точка. През точка, която не принадлежи на никоя от тях, са прекарани две прави, едната от които е перпендикулярна на една от описаните по-горе прави, а другата е перпендикулярна на другата от тях. Докажете, че не са еднакви.

Нека начертаем картина според условията на задачата (фиг. 4).

От условията на задачата ще имаме, че $m⊥k,n⊥l$.

Да приемем обратното, нека правите $k$ и $l$ съвпадат. Нека е прав $l$. Тогава, по условие, $m⊥l$ и $n⊥l$. Следователно, съгласно теорема 1, правите $m$ и $n$ не се пресичат. Получихме противоречие, което означава, че правите $k$ и $l$ не съвпадат.

Много геометрични фигури са образувани от прави линии, пресичащи се под прав ъгъл. Например, това е квадрат, правоъгълник, правоъгълен триъгълник или права четириъгълна призма. В тази статия ще разгледаме въпроса за перпендикулярността на две прави и условията, които трябва да бъдат изпълнени, за да бъде правата перпендикулярна на равнината.

Какви уравнения е важно да знаете?

Условията за перпендикулярност на две прави и права и равнина не се получават трудно, ако са известни съответните уравнения за посочените геометрични обекти.

Уравнението на всяка права, както в равнината, така и в пространството, може да бъде написано в универсална векторна форма. За триизмерния случай изглежда така:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + λ*(a; b; c)

Тук променливите x, z и y са координати в избраната система, λ е всяко реално число, а тройката от числа (a; b; c) определя вектор в пространството, който се нарича направляващ (правата линия е насочена по него, преминавайки през точката с координати (x 0 ; y 0 ; z 0)). Това уравнение може да се трансформира в общ вид, каноничен и параметричен.

Най-удобно е да представим равнината в общ вид, който съответства на уравнението:

A*x + B*y + C*z + D = 0

Главните букви представляват коефициенти. Този израз може също да бъде представен във векторна, параметрична и линейна форма на уравнение. Удобството на тази форма на запис се крие във факта, че първите три коефициента съответстват на координатите на вектор, който е перпендикулярен на тази равнина, т.е.

n¯(A; B; C) - насочващ вектор на равнината

Перпендикулярност на две линии

Условието за перпендикулярност на правите не е трудно да се разбере, достатъчно е да се установи дали векторите им са перпендикулярни. Последното може да се установи чрез изчисляване на скаларното произведение. Да приемем, че v¯ и u¯ са насочващи вектори за две прави линии. Ако последните са перпендикулярни, тогава:

Това условие за перпендикулярност на две линии е задължително. Това обаче ще бъде достатъчно само за случая на двумерно пространство. В триизмерното пространство, освен този израз, трябва да изчислите и разстоянието между линиите. Ако горното равенство е вярно и посоченото разстояние е нула, тогава линиите ще се пресичат под ъгъл 90o, тоест ще са перпендикулярни.

За да изчислите разстоянието d между прави линии в пространството, използвайте израза:

d = ||/|u¯|

Тук M 1 M 2 ¯ е вектор, построен от две точки, всяка от които принадлежи на съответната права (M 1 лежи на първата права, M 2 на втората).

Равен и прав

Условието за перпендикулярност на тези обекти има следната форма:

С други думи, права линия ще пресича равнина под ъгъл 90o само когато е успоредна на нормалата към равнината. Фактът на успоредността означава, че линейният вектор u¯ може да бъде получен чрез умножаване на вектора n¯, нормален към равнината, по някакво конкретно число k.

Има и други начини да разберете дали векторите u¯ и n¯ са успоредни. Например, ако са успоредни, ъгълът между тях трябва да е равен на нула, т.е. косинусът на ъгъла, изчислен чрез скаларното произведение, ще бъде равен на 1. От своя страна векторният продукт на успоредните вектори е равен на нула .

Обърнете внимание, че ако равнината и правата линия не са дадени съответно в общ и векторен вид, тогава те трябва да се редуцират до тези форми и след това да се използват дадените формули за условията на перпендикулярност.