Формули за обем на правилна триъгълна пирамида. Примери за решаване на проблеми

Теорема.

Обемът на пирамида е равен на една трета от произведението на площта на основата и височината..

Доказателство:

Първо доказваме теоремата за триъгълна пирамида, след това за произволна.

1. Помислете за триъгълна пирамидаOABCс обем V, оснСи височина ч. Начертайте ос о (OM2- височина), помислете за секциятаA1 B1 C1пирамиди с равнина, перпендикулярна на остаохи следователно успоредна на равнината на основата. Означаваме схточка на абсцисата М1 пресечна точка на тази равнина с оста x и презС(х)- площ на напречното сечение. Експрес С(х)през С, чи х. Обърнете внимание, че триъгълници A1 AT1 ОТ1 и ABC са подобни. Наистина А1 AT1 II AB, значи триъгълникОА 1 AT 1 подобен на триъгълник OAB. ОТследователно, НО1 AT1 : НОB=ОА 1: ОА .

правоъгълни триъгълнициОА 1 AT 1 и OAB също са подобни (имат общ остър ъгъл с върха O). Следователно ОА 1: ОА = О 1 М1 : OM = x: ч. По този начинНО 1 AT 1 : A B = x: ч.По същия начин е доказано, чеB1 C1:слънце = Х: чи A1 C1:AC =Х: ч.Така че триъгълникътA1 B1 C1и ABCподобни с коефициент на подобиеХ: ч.Следователно S(x): S = (x: з)² или S(x) = S x²/ ч².

Нека сега приложим основната формула за изчисляване на обемите на телата приа= 0, b=чполучаваме

2. Нека сега докажем теоремата за произволна пирамида с височина чи базова площ С. Такава пирамида може да бъде разделена на триъгълни пирамиди с обща височина ч.Изразяваме обема на всяка триъгълна пирамида по формулата, която доказахме, и събираме тези обеми. Изваждайки общия множител 1/3h извън скоби, получаваме в скоби сумата от основите на триъгълни пирамиди, т.е. площта S на основите на оригиналната пирамида.

Така обемът на оригиналната пирамида е 1/3Sh. Теоремата е доказана.

Последица:

Обем V на пресечена пирамида с височина h и основни площи S и S1 , се изчисляват по формулата

h - височината на пирамидата

Спри се - площ на горната основа

S по-ниско - площ на долната основа

За да намерите обема на пирамида, трябва да знаете няколко формули. Нека ги разгледаме.

Как да намерим обема на пирамида - 1-ви начин

Обемът на пирамидата може да се намери с помощта на височината и площта на нейната основа. V = 1/3*S*h. Така например, ако височината на пирамидата е 10 cm, а площта на нейната основа е 25 cm 2, тогава обемът ще бъде равен на V \u003d 1/3 * 25 * 10 \u003d 1 /3 * 250 \u003d 83,3 см 3

Как да намерим обема на пирамида - 2-ри метод

Ако правилен многоъгълник лежи в основата на пирамидата, тогава неговият обем може да се намери по следната формула: V \u003d na 2 h / 12 * tg (180 / n), където a е страната на многоъгълника, лежащ на основа, а n е броят на страните му. Например: Основата е правилен шестоъгълник, тоест n = 6. Тъй като е правилен, всичките му страни са равни, тоест всички a са равни. Да кажем a = 10 и h - 15. Вмъкваме числата във формулата и получаваме приблизителен отговор - 1299 cm 3

Как да намерим обема на пирамида - 3-ти начин

Ако равностранен триъгълник лежи в основата на пирамидата, тогава неговият обем може да се намери по следната формула: V = ha 2 /4√3, където a е страната на равностранния триъгълник. Например: височината на пирамидата е 10 см, страната на основата е 5 см. Обемът ще бъде равен на V \u003d 10 * 25 / 4 √ 3 \u003d 250 / 4 √ 3. Обикновено това, което се случи в знаменателят не се изчислява и се оставя в същата форма. Можете също така да умножите числителя и знаменателя по 4√3, за да получите 1000√3/48. Редуцирайки получаваме 125√ 3/6 cm 3.

Как да намерим обема на пирамида - 4-ти начин

Ако в основата на пирамидата лежи квадрат, тогава неговият обем може да се намери по следната формула: V = 1/3*h*a 2, където a са страните на квадрата. Например: височина - 5 см, страна на квадрата - 3 см. V \u003d 1/3 * 5 * 9 \u003d 15 см 3

Как да намерите обема на пирамида - 5-ти начин

Ако пирамидата е тетраедър, т.е. всичките й лица са равностранни триъгълници, можете да намерите обема на пирамидата, като използвате следната формула: V = a 3 √2/12, където a е ръб на тетраедъра. Например: ръб на тетраедър \u003d 7. V \u003d 7 * 7 * 7√2 / 12 \u003d 343 cm 3

Думата "пирамида" неволно се свързва с величествените гиганти в Египет, вярно пазещи мира на фараоните. Може би затова пирамидата се разпознава безпогрешно от всички, дори и от децата.

Нека обаче се опитаме да му дадем геометрична дефиниция. Нека си представим няколко точки (A1, A2,..., An) на равнината и още една (E), която не й принадлежи. Така че, ако точка E (горна част) е свързана с върховете на многоъгълника, образуван от точки A1, A2, ..., An (основа), получавате полиедър, който се нарича пирамида. Очевидно многоъгълникът в основата на пирамидата може да има произволен брой върхове и в зависимост от техния брой пирамидата може да се нарече триъгълна и четириъгълна, петоъгълна и т.н.

Ако се вгледате внимателно в пирамидата, ще стане ясно защо тя също е определена по различен начин - като геометрична фигура с многоъгълник в основата и триъгълници, обединени от общ връх като странични лица.

Тъй като пирамидата е пространствена фигура, тогава тя има и такава количествена характеристика, тъй като се изчислява от добре познатата равна трета от произведението на основата на пирамидата и нейната височина:

Обемът на пирамидата, когато се извежда формулата, първоначално се изчислява за триъгълна, като се взема за основа постоянно съотношение, свързващо тази стойност с обема на триъгълна призма със същата основа и височина, която, както се оказва, е три пъти по-голям от този обем.

И тъй като всяка пирамида е разделена на триъгълници и нейният обем не зависи от конструкциите, извършени в доказателството, валидността на горната формула за обем е очевидна.

Отделно от всички пирамиди се открояват правилните, в които лежи основата, като тя трябва да "завършва" в центъра на основата.

В случай на неправилен многоъгълник в основата, за да изчислите площта на основата, ще ви трябва:

• разбийте го на триъгълници и квадрати;

• изчислете площта на всеки от тях;

• добавете получените данни.

В случай на правилен многоъгълник в основата на пирамидата, неговата площ се изчислява с помощта на готови формули, така че обемът на правилната пирамида се изчислява много просто.

Например, за да се изчисли обемът на четириъгълна пирамида, ако тя е правилна, дължината на страната на правилен четириъгълник (квадрат) в основата се повдига на квадрат и като се умножи по височината на пирамидата, полученият продукт се разделя на три.

Обемът на пирамидата може да се изчисли с други параметри:

• като една трета от произведението на радиуса на топката, вписана в пирамидата, и площта на нейната обща повърхност;

• като две трети от произведението на разстоянието между два произволно взети пресичащи се ръба и площта на успоредника, който образува средните точки на останалите четири ръба.

Обемът на пирамидата също се изчислява просто в случай, че нейната височина съвпада с един от страничните ръбове, т.е. в случай на правоъгълна пирамида.

Говорейки за пирамиди, не можем да пренебрегнем пресечените пирамиди, получени чрез разрязване на пирамидата с равнина, успоредна на основата. Техният обем е почти равен на разликата между обемите на цялата пирамида и отрязания връх.

Първият обем на пирамидата, макар и не съвсем в съвременния си вид, но равен на 1/3 от обема на известната ни призма, е намерен от Демокрит. Архимед нарече метода си за броене „без доказателство“, тъй като Демокрит подходи към пирамидата като фигура, съставена от безкрайно тънки подобни плочи.

Векторната алгебра също „се занимава“ с въпроса за намиране на обема на пирамидата, използвайки за това координатите на нейните върхове. Пирамидата, изградена върху триплета от вектори a,b,c, е равна на една шеста от модула на смесеното произведение на дадените вектори.

Определение. Странично лице- това е триъгълник, в който единият ъгъл лежи на върха на пирамидата, а противоположната му страна съвпада със страната на основата (многоъгълник).

Определение. Странични ребраса общите страни на страничните лица. Една пирамида има толкова ръбове, колкото има ъгли в многоъгълник.

Определение. височина на пирамидатае перпендикуляр, спуснат от върха към основата на пирамидата.

Определение. апотема- това е перпендикулярът на страничната повърхност на пирамидата, спуснат от върха на пирамидата до страната на основата.

Определение. Диагонално сечение- това е сечение на пирамидата с равнина, минаваща през върха на пирамидата и диагонала на основата.

Определение. Правилна пирамида- Това е пирамида, в която основата е правилен многоъгълник, а височината се спуска към центъра на основата.

Обем и повърхност на пирамидата

Формула. обем на пирамидатапрез основна площ и височина:

свойства на пирамидата

Ако всички странични ръбове са равни, тогава около основата на пирамидата може да бъде описана окръжност, а центърът на основата съвпада с центъра на окръжността. Освен това перпендикулярът, пуснат от върха, минава през центъра на основата (окръжност).

Ако всички странични ребра са равни, тогава те са наклонени към основната равнина под същите ъгли.

Страничните ребра са равни, когато образуват равни ъгли с основната равнина или ако около основата на пирамидата може да се опише кръг.

Ако страничните стени са наклонени към равнината на основата под един ъгъл, тогава в основата на пирамидата може да се впише кръг, а върхът на пирамидата се проектира в нейния център.

Ако страничните лица са наклонени към основната равнина под един ъгъл, тогава апотемите на страничните лица са равни.

Свойства на правилната пирамида

1. Върхът на пирамидата е на еднакво разстояние от всички ъгли на основата.

2. Всички странични ръбове са равни.

3. Всички странични ребра са наклонени под еднакви ъгли спрямо основата.

4. Апотемите на всички странични лица са равни.

5. Площите на всички странични лица са равни.

6. Всички лица имат еднакви двустенни (плоски) ъгли.

7. Около пирамидата може да се опише сфера. Центърът на описаната сфера ще бъде пресечната точка на перпендикулярите, които минават през средата на ръбовете.

8. В пирамида може да се впише сфера. Центърът на вписаната сфера ще бъде пресечната точка на ъглополовящите, излизащи от ъгъла между ръба и основата.

9. Ако центърът на вписаната сфера съвпада с центъра на описаната сфера, тогава сумата от плоските ъгли при върха е равна на π или обратно, един ъгъл е равен на π / n, където n е числото на ъглите в основата на пирамидата.

Връзката на пирамидата със сферата

Сфера може да бъде описана около пирамидата, когато в основата на пирамидата лежи многостен, около който може да се опише окръжност (необходимо и достатъчно условие). Центърът на сферата ще бъде точката на пресичане на равнини, минаващи перпендикулярно през средните точки на страничните ръбове на пирамидата.

Около всяка триъгълна или правилна пирамида винаги може да се опише сфера.

Сфера може да бъде вписана в пирамида, ако симетралните равнини на вътрешните двустенни ъгли на пирамидата се пресичат в една точка (необходимо и достатъчно условие). Тази точка ще бъде центърът на сферата.

Връзката на пирамидата с конуса

Конус се нарича вписан в пирамида, ако върховете им съвпадат и основата на конуса е вписана в основата на пирамидата.

В пирамида може да се впише конус, ако апотемите на пирамидата са равни.

Конусът се нарича описан около пирамида, ако върховете им съвпадат и основата на конуса е описана около основата на пирамидата.

Може да се опише конус около пирамида, ако всички странични ръбове на пирамидата са равни помежду си.

Връзка на пирамида с цилиндър

Пирамидата се нарича вписана в цилиндър, ако върхът на пирамидата лежи върху една основа на цилиндъра, а основата на пирамидата е вписана в друга основа на цилиндъра.

Цилиндър може да бъде описан около пирамида, ако около основата на пирамидата може да бъде описана окръжност.

Определение. Пресечена пирамида (пирамидална призма)- Това е многостен, който се намира между основата на пирамидата и секционна равнина, успоредна на основата. Така пирамидата има голяма основа и по-малка основа, която е подобна на по-голямата. Страничните лица са трапецовидни.

Определение. Триъгълна пирамида (тетраедър)- това е пирамида, в която три лица и основа са произволни триъгълници.

Тетраедърът има четири лица и четири върха и шест ръба, където всеки два ръба нямат общи върхове, но не се докосват.

Всеки връх се състои от три лица и ръбове, които се образуват тристенен ъгъл.

Сегментът, свързващ върха на тетраедъра с центъра на срещуположното лице, се нарича медиана на тетраедъра(GM).

Бимедиансе нарича сегмент, свързващ средите на противоположни ръбове, които не се допират (KL).

Всички бимедиани и медиани на тетраедър се пресичат в една точка (S). В този случай бимедианите се разделят наполовина, а медианите в съотношение 3:1, като се започне от върха.

Определение. наклонена пирамидае пирамида, в която един от ръбовете образува тъп ъгъл (β) с основата.

Определение. Правоъгълна пирамидае пирамида, в която едно от страничните лица е перпендикулярно на основата.

Определение. Остроъгълна пирамидае пирамида, в която апотемата е повече от половината от дължината на страната на основата.

Определение. тъпа пирамидае пирамида, в която апотемата е по-малка от половината от дължината на страната на основата.

Определение. правилен тетраедърТетраедър, чиито четири лица са равностранни триъгълници. Той е един от петте правилни многоъгълника. В правилен тетраедър всички двустенни ъгли (между лицата) и тристенни ъгли (при връх) са равни.

Определение. Правоъгълен тетраедъртетраедър се нарича, който има прав ъгъл между три ръба на върха (ръбовете са перпендикулярни). Оформят се три лица правоъгълен тристенен ъгъли лицата са правоъгълни триъгълници, а основата е произволен триъгълник. Апотемата на всяко лице е равна на половината от страната на основата, върху която пада апотемата.

Определение. Изоедърен тетраедърТетраедър се нарича, в който страничните лица са равни една на друга, а основата е правилен триъгълник. Лицата на такъв тетраедър са равнобедрени триъгълници.

Определение. Ортоцентричен тетраедъртетраедър се нарича, в който всички височини (перпендикуляри), които са спуснати от върха към противоположното лице, се пресичат в една точка.

Определение. звездна пирамидаПолиедър, чиято основа е звезда, се нарича.

Определение. Бипирамида- многостен, състоящ се от две различни пирамиди (пирамидите също могат да бъдат отрязани), имащи обща основа, а върховете лежат на противоположните страни на основната равнина.

Една от най-простите обемни фигури е триъгълна пирамида, тъй като се състои от най-малкия брой лица, от които може да се образува фигура в пространството. В тази статия ще разгледаме формули, с които можете да намерите обема на триъгълна правилна пирамида.

триъгълна пирамида

Според общото определение пирамидата е многоъгълник, всички върхове на който са свързани с една точка, която не се намира в равнината на този многоъгълник. Ако последният е триъгълник, тогава цялата фигура се нарича триъгълна пирамида.

Разглежданата пирамида се състои от основа (триъгълник) и три странични лица (триъгълници). Точката, където трите странични лица са свързани, се нарича връх на фигурата. Перпендикулярът, пуснат към основата от този връх, е височината на пирамидата. Ако точката на пресичане на перпендикуляра с основата съвпада с точката на пресичане на медианите на триъгълника в основата, тогава се говори за правилна пирамида. В противен случай тя ще бъде наклонена.

Както беше казано, основата на триъгълна пирамида може да бъде общ триъгълник. Ако обаче е равностранна и самата пирамида е права, тогава те говорят за правилната триизмерна фигура.

Всеки има 4 лица, 6 ръба и 4 върха. Ако дължините на всички ръбове са равни, тогава такава фигура се нарича тетраедър.

общ тип

Преди да запишем правилна триъгълна пирамида, даваме израз за тази физическа величина за пирамида от общ тип. Този израз изглежда така:

Тук S o е площта на основата, h е височината на фигурата. Това равенство ще бъде валидно за всеки тип основа на многоъгълника на пирамидата, както и за конуса. Ако в основата има триъгълник с дължина на страната a и височина h o, спусната до него, тогава формулата за обем ще бъде написана, както следва:

Формули за обем на правилна триъгълна пирамида

Triangular има равностранен триъгълник в основата. Известно е, че височината на този триъгълник е свързана с дължината на страната му по равенството:

Замествайки този израз във формулата за обема на триъгълна пирамида, написана в предишния параграф, получаваме:

V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.

Обемът на правилна пирамида с триъгълна основа е функция на дължината на страната на основата и височината на фигурата.

Тъй като всеки правилен многоъгълник може да бъде вписан в окръжност, чийто радиус еднозначно определя дължината на страната на многоъгълника, тогава тази формула може да бъде записана по отношение на съответния радиус r:

Тази формула е лесна за получаване от предишната, като се има предвид, че радиусът r на описаната окръжност през дължината на страната a на триъгълника се определя от израза:

Задача за определяне на обема на тетраедър

Нека покажем как да използваме горните формули при решаването на конкретни геометрични задачи.

Известно е, че тетраедърът има дължина на ръба 7 см. Намерете обема на правилна триъгълна пирамида-тетраедър.

Спомнете си, че тетраедърът е правилна триъгълна пирамида, в която всички основи са равни една на друга. За да използвате формулата за обема на правилна триъгълна пирамида, трябва да изчислите две количества:

• дължината на страната на триъгълника;
• височина на фигурата.

Първата стойност е известна от условието на задачата:

За да определите височината, вземете предвид фигурата, показана на фигурата.

Отбелязаният триъгълник ABC е правоъгълен триъгълник, където ъгълът ABC е 90o. Страната AC е хипотенузата, чиято дължина е a. Чрез просто геометрично разсъждение може да се покаже, че страната BC има дължина:

Обърнете внимание, че дължината BC е радиусът на описаната окръжност около триъгълника.

h \u003d AB \u003d √ (AC 2 - BC 2) = √ (a 2 - a 2 / 3) \u003d a * √ (2/3).

Сега можете да замените h и a в съответната формула за обем:

V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .

Така получихме формулата за обема на тетраедър. Вижда се, че обемът зависи само от дължината на реброто. Ако заместим стойността от условието на проблема в израза, тогава получаваме отговора:

V \u003d √2 / 12 * 7 3 ≈ 40,42 cm 3.

Ако сравним тази стойност с обема на куб със същия ръб, получаваме, че обемът на тетраедър е 8,5 пъти по-малък. Това показва, че тетраедърът е компактна фигура, която се реализира в някои природни вещества. Например, молекулата на метана е тетраедрична и всеки въглероден атом в диаманта е свързан с четири други атома, за да образува тетраедър.

Проблем с хомотетичните пирамиди

Нека решим една любопитна геометрична задача. Да приемем, че има триъгълна правилна пирамида с някакъв обем V 1 . Колко пъти трябва да се намали размерът на тази фигура, за да се получи хомотетична на нея пирамида с три пъти по-малък обем от първоначалния?

Нека започнем да решаваме проблема, като напишем формулата за оригиналната правилна пирамида:

V 1 \u003d √3 / 12 * a 1 2 * h 1.

Нека обемът на фигурата, изискван от условието на задачата, се получава чрез умножаване на нейните параметри по коефициента k. Ние имаме:

V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 .

Тъй като съотношението на обемите на фигурите е известно от условието, получаваме стойността на коефициента k:

k \u003d ∛ (V 2 / V 1) \u003d ∛ (1/3) ≈ 0,693.

Имайте предвид, че бихме получили подобна стойност на коефициента k за произволен тип пирамида, а не само за правилна триъгълна.