N-та степен от реално число, те отбелязаха, че от всяко неотрицателно число можете да извлечете корена на всяка степен (втора, трета, четвърта и т.н.), а от отрицателно число можете да извлечете корена на всяка нечетна степен. Но тогава трябва да помислите за функция на формата, за нейната графика, за нейните свойства. Това е, което ще направим в този параграф. Първо нека поговорим за функцията в случай на неотрицателни стойности аргумент.

Да започнем със случая, който знаете, когато n = 2, т.е. от функцията На фиг. 166 е показана графиката на функцията и графиката на функцията y = x 2, x>0. И двете графики представляват една и съща крива - разклонение на парабола, само разположено по различен начин в координатната равнина. Нека изясним: тези графики са симетрични спрямо правата линия y = x, тъй като се състоят от точки, които са симетрични една спрямо друга спрямо посочената права линия. Вижте: на разглеждания клон на параболата y = x 2 има точки (0; 0), (1; 1), (2; 4), (3; 9), (4; 16), а на функцията на графиката има точки (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), (16; 4).

Точките (2; 4) и (4; 2), (3; 9) и (9; 3), (4; 16) и (16; 4) са симетрични спрямо правата y = x, (и точките (0 ; 0 ) и (1; 1) лежат на тази права). И като цяло, за всяка точка (a; a 2) на функционална графика y = x 2 е точка (a 2 ; a), симетрична на нея по отношение на правата y = x върху графиката на функцията и обратно. Следната теорема е вярна.

Доказателство.За категоричност приемаме, че a и b са положителни числа. Разгледайте триъгълниците OAM и OVR (фиг. 167). Те са равни, което означава OP = OM и . Но след това тъй като правата y = x е ъглополовяща на ъгъла AOB. И така, триъгълникът ROM е равнобедрен, OH е неговата ъглополовяща и следователно оста на симетрия. Точките M и P са симетрични спрямо правата OH, което трябваше да се докаже.
И така, графиката на функцията може да се получи от графиката на функцията y = x 2, x>0, като се използва трансформация на симетрия спрямо правата линия y = x. По същия начин, графиката на функция може да бъде получена от графиката на функцията y = x 3, x> 0, като се използва трансформация на симетрия спрямо правата линия y = x; графиката на функция може да се получи от графиката на функция с помощта на трансформация на симетрия относно правата линия y = x и т.н. Нека си припомним, че графиката на функция прилича на клон на парабола, колкото по-голямо е n, толкова по-стръмен е този клон нагоре в интервала и толкова по-близо до оста x в близост до точката x = 0 (фиг. 168).

Нека формулираме общо заключение: графиката на функцията е симетрична на графиката на функцията спрямо правата линия y = x (фиг. 169).

Функционални свойства

1)
2) функцията не е нито четна, нито нечетна;
3) се увеличава с
4) неограничен отгоре, ограничен отдолу;
5) няма най-голямо значение;
6) непрекъснато;
7)

Обърнете внимание на едно любопитно обстоятелство. Нека разгледаме две функции, чиито графики са показани на фиг. 169: Току-що изброихме седем свойства за първата функция, но втората функция има абсолютно същите свойства. Вербалните „портрети” на две различни функции са еднакви. Но нека изясним, те все още са същите.

Математиците не можеха да понесат такава несправедливост, когато различни функции с различни графики се описват вербално по един и същи начин и въведоха концепциите за изпъкналост нагоре и изпъкналост надолу. Графиката на функцията е изпъкнала нагоре, докато графиката на функцията y = x n е изпъкнала надолу.

Обикновено се казва, че една непрекъсната функция е изпъкнала надолу, ако чрез свързване на произволни две точки от нейната графика с прав сегмент се установи, че съответната част от графиката лежи под начертания сегмент (фиг. 170); непрекъсната функция е изпъкнала нагоре, ако чрез свързване на произволни две точки от нейната графика с прав сегмент се установи, че съответната част от графиката лежи над начертания сегмент (фиг. 171).

Освен това ще включим свойството за изпъкналост в процедурата за четене на графика. Нека го отбележим" (продължавайки номерирането на свойствата, описани по-рано) за разглежданата функция:

8) функцията е изпъкнала нагоре върху лъча
В предишната глава се запознахме с още едно свойство на функция - диференцируемост. Видяхме, че функцията y = x n е диференцируема във всяка точка, нейната производна е равна на nx n-1; Геометрично това означава, че във всяка точка от графиката на функцията y = x n към нея може да бъде начертана допирателна. Графиката на функция също има същото свойство: във всяка точка е възможно да се начертае допирателна към графиката. Така можем да отбележим още едно свойство на функцията
9) функцията е диференцируема във всяка точка x > 0.
Моля, обърнете внимание: не говорим за диференцируемостта на функцията в точката x = 0 - в тази точка допирателната към графиката на функцията съвпада с оста y, т.е. перпендикулярно на оста x.
Пример 1. Графика на функция
Решение. 1) Да преминем към спомагателна координатна система с начало в точка (-1; -4) - пунктирани линии x = -1 и y = -4 на фиг. 172.
2) „Свържете“ функцията към новата координатна система. Това ще бъде необходимият график.
Пример 2.Решете уравнението

Решение. Първи начин. 1) Нека въведем две функции
2) Нека начертаем функцията

3) Да построим графика на линейната функция y=2-x (виж фиг. 173).

4) Построените графики се пресичат в една точка А, като от графиката можем да направим предположението, че координатите на точка А са както следва: (1; 1). Проверката показва, че всъщност точката (1; 1) принадлежи както на графиката на функцията, така и на графиката на функцията y=2-x. Това означава, че нашето уравнение има един корен: x = 1 - абсцисата на точка A.

Втори начин.
Геометричният модел, представен на фиг. 173, е ясно илюстрирано от следното твърдение, което понякога ви позволява да решите уравнението много елегантно (и което вече използвахме в § 35 при решаването на Пример 2):

Ако функцията y=f(x) нараства, а функцията y=g(x) намалява и ако уравнението f(x)=g(x) има корен, тогава има само един.

Ето как, въз основа на това твърдение, можем да решим даденото уравнение:

1) отбележете, че за x = 1 равенството е в сила, което означава, че x = 1 е коренът на уравнението (познахме този корен);
2) функцията y=2-x намалява, а функцията нараства; Това означава, че даденото уравнение има само един корен и този корен е стойността x = 1, намерена по-горе.

Отговор: x = 1.

Досега говорихме за функцията само за неотрицателни стойности на аргумент. Но ако n е нечетно число, изразът също има смисъл за x<0. Значит, есть смысл поговорить о функции в случае нечетного п для любых значений х.

В интерес на истината само едно свойство ще бъде добавено към изброените:

ако n е нечетно число (n = 3,5, 7,...), тогава това е нечетна функция.

Всъщност нека такива трансформации са верни за нечетен показател n. И така, f(-x) = -f(x) и това означава, че функцията е странна.

Как изглежда графиката на функция в случай на нечетен показател n? Когато, както е показано на фиг. 169, е клон на желаната графика. Добавяйки към него клон, който е симетричен към него спрямо началото на координатите (което, припомнете си, е типично за всяка нечетна функция), получаваме графика на функцията (фиг. 174). Обърнете внимание, че оста y е допирателна към графиката при x = 0.
Така че нека го повторим отново:
ако n е четно число, тогава графиката на функцията има формата, показана на фиг. 169;
ако n е нечетно число, тогава графиката на функцията има формата, показана на фиг. 174.

Пример 3.Постройте и прочетете графика на функцията y = f(x), където
Решение.Първо, нека изградим графика на функцията и да маркираме част от нея върху лъча (фиг. 175).
След това ще построим графика на функцията и ще изберем нейната част върху отворения лъч (фиг. 176). Накрая ще изобразим и двете „парчета“ в една и съща координатна система - това ще бъде графиката на функцията y = f(x) (фиг. 177).
Нека изброим (въз основа на начертаната графика) свойствата на функцията y = f(x):

1)
2) нито четно, нито нечетно;
3) намалява на лъча, увеличава се на лъча
4) неограничен отдолу, ограничен отгоре;
5) няма минимална стойност, a (постигната в точка x = 1);
6) непрекъснато;
7)
8) изпъкнал надолу при , изпъкнал нагоре на сегмента , изпъкнал надолу при
9) функцията е диференцируема навсякъде с изключение на точките x = 0 и x = 1.
10) графиката на функцията има хоризонтална асимптота, което означава, припомнете си това

Пример 4.Намерете домейна на функция:

Решение,а) Под знака на корена на четната степен трябва да има неотрицателно число, което означава, че задачата се свежда до решаване на неравенството
б) Всяко число може да бъде под знака на нечетен корен, което означава, че тук не се налагат ограничения върху x, т.е. D(f) = R.
в) Изразът има смисъл, при условие че изразът означава, че две неравенства трябва да бъдат изпълнени едновременно: тези. задачата се свежда до решаване на системата от неравенства:

Решаване на неравенства
Нека решим неравенството. Нека разложим лявата страна на неравенството на множители: Лявата страна на неравенството се превръща в 0 в точки -4 и 4. Нека отбележим тези точки на числовата права (фиг. 178). Числовата линия е разделена от посочените точки на три интервала, като във всеки интервал изразът p(x) = (4-x)(4 + x) запазва постоянен знак (знаците са посочени на фиг. 178). Интервалът, в който е валидно неравенството p(x)>0, е защрихован на фиг. 178. Съгласно условията на задачата ни интересуват и онези точки x, в които е изпълнено равенството p(x) = 0. Има две такива точки: x = -4, x = 4 - те са отбелязани на фиг . 178 тъмни кръгове. Така на фиг. 178 е представен геометричен модел за решаване на второто неравенство на системата.

Нека отбележим намерените решения на първото и второто неравенство на системата на една и съща координатна права, като използваме горната щриховка за първото и долната щриховка за второто (фиг. 179). Решението на системата от неравенства ще бъде пресечната точка на решенията на неравенствата на системата, т.е. интервалът, където двете щриховки съвпадат. Такава празнина е сегментът [-1, 4].

Отговор. D(f) = [-1,4].

А.Г. Мордкович алгебра 10 клас

Календарно-тематично планиране по математика, видеопо математика онлайн, Математика в училище

Дадени са основните свойства на степенната функция, включително формули и свойства на корените. Представени са производна, интеграл, разширение в степенни редове и комплексно числово представяне на степенна функция.

Съдържание

Степенна функция, y = x p, с показател p има следните свойства:
(1.1) определени и непрекъснати на множеството
в ,
в ;
(1.2) има много значения
в ,
в ;
(1.3) стриктно нараства с ,
строго намалява при ;
(1.4) в ;
в ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Доказателство за свойства е дадено на страницата „Степенна функция (доказателство за непрекъснатост и свойства)“

Корени - определение, формули, свойства

Корен от число x на степен n е число, което, когато е повдигнато на степен n, дава x:
.
Тук n = 2, 3, 4, ... - естествено число, по-голямо от едно.

Можете също така да кажете, че коренът на число x от степен n е коренът (т.е. решението) на уравнението
.
Обърнете внимание, че функцията е обратна на функцията.

Корен квадратен от x е корен 2: .
Корен кубичен от x е корен 3-ти: .

Равномерна степен

За четни степени n = 2 м, коренът е дефиниран за x ≥ 0 . Една често използвана формула е валидна както за положителен, така и за отрицателен x:
.
За корен квадратен:
.

Редът, в който се извършват операциите, е важен тук - тоест първо се извършва квадратът, което води до неотрицателно число, а след това се взема корен от него (квадратният корен може да се вземе от неотрицателно число ). Ако променим реда: , тогава за отрицателно x коренът ще бъде недефиниран, а с него и целият израз ще бъде недефиниран.

Странна степен

За нечетни степени коренът е дефиниран за всички x:
;
.

Свойства и формули на корените

Коренът на x е степенна функция:
.
Когато x ≥ 0 се прилагат следните формули:
;
;
, ;
.

Тези формули могат да се прилагат и за отрицателни стойности на променливи. Просто трябва да се уверите, че радикалният израз на четните степени не е отрицателен.

Частни ценности

Коренът на 0 е 0: .
Корен 1 е равен на 1: .
Корен квадратен от 0 е 0: .
Корен квадратен от 1 е 1: .

Пример. Корен на корените

Нека да разгледаме пример за квадратен корен от корени:
.
Нека трансформираме вътрешния квадратен корен, използвайки формулите по-горе:
.
Сега нека трансформираме оригиналния корен:
.
Така,
.

y = x p за различни стойности на експонента p.

Ето графики на функцията за неотрицателни стойности на аргумента x. Графиките на степенна функция, дефинирана за отрицателни стойности на x, са дадени на страницата „Степенна функция, нейните свойства и графики“

Обратна функция

Обратната на степенна функция с показател p е степенна функция с показател 1/p.

Ако, тогава.

Производна на степенна функция

Производна от n-ти ред:
;

Извличане на формули >>>

Интеграл на степенна функция

P ≠ - 1 ;
.

Разширение на степенни редове

в - 1 < x < 1 се извършва следното разлагане:

Изрази с комплексни числа

Разгледайте функцията на комплексната променлива z:
f (z) = z t.
Нека изразим комплексната променлива z по отношение на модула r и аргумента φ (r = |z|):
z = r e i φ.
Представяме комплексното число t под формата на реални и имагинерни части:
t = p + i q .
Ние имаме:

След това вземаме предвид, че аргументът φ не е еднозначно дефиниран:
,

Нека разгледаме случая, когато q = 0 , тоест показателят е реално число, t = p. Тогава
.

Ако p е цяло число, тогава kp е цяло число. Тогава, поради периодичността на тригонометричните функции:
.
Това означава, че експоненциалната функция с цяло число за даден z има само една стойност и следователно е недвусмислена.

Ако p е ирационално, тогава продуктите kp за всяко k не произвеждат цяло число. Тъй като k преминава през безкрайна серия от стойности k = 0, 1, 2, 3, ..., тогава функцията z p има безкрайно много стойности. Всеки път, когато аргументът z се увеличава 2π(един ход), преминаваме към нов клон на функцията.

Ако p е рационално, то може да бъде представено като:
, Където м, н- цели числа, които не съдържат общи делители. Тогава
.
Първи n стойности, с k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, дайте n различни стойности на kp:
.
Следващите стойности обаче дават стойности, които се различават от предишните с цяло число. Например, когато k = k 0+nние имаме:
.
Тригонометрични функции, чиито аргументи се различават с кратни 2π, имат равни стойности. Следователно, с по-нататъшно увеличаване на k, получаваме същите стойности на z p, както за k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

По този начин експоненциална функция с рационален показател е многозначна и има n стойности (клонове). Всеки път, когато аргументът z се увеличава 2π(един ход), преминаваме към нов клон на функцията. След n такива оборота се връщаме към първия клон, от който е започнало обратното броене.

По-специално, корен от степен n има n стойности. Като пример, разгледайте n-тия корен от реално положително число z = x. В този случай φ 0 = 0, z = r = |z| = х, .
.
И така, за квадратен корен, n = 2 ,
.
За дори k, (- 1) k = 1. За нечетно k, (- 1) k = - 1.
Тоест квадратният корен има две значения: + и -.

Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти, “Лан”, 2009 г.

Вижте също:

8 клас

Учител: Мелникова Т.В.

Цели на урока:

Оборудване:

Компютър, интерактивна дъска, листовки.

Презентация към урока.

ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА

План на урока.

Встъпително слово на учителя.

Повторение на предварително изучен материал.

Учене на нов материал (групова работа).

Функционално изследване. Свойства на диаграмата.

Обсъждане на графика (предна работа).

Игра на математически карти.

Обобщение на урока.

I. Актуализиране на опорни знания.

Поздрав от учителя.

Учител :

Зависимостта на една променлива от друга се нарича функция. Досега сте изучавали функциите y = kx + b; y =k/x, y=x 2. Днес ще продължим да изучаваме функциите. В днешния урок ще научите как изглежда графика на функция на корен квадратен и как сами да изграждате графики на функции на корен квадратен.

Запишете темата на урока (слайд1).

2. Повторение на изучения материал.

1. Как се наричат ​​функциите, зададени от формулите:

а) y=2x+3; б) у=5/х; в) у = -1/2х+4; г) у=2х; д) y = -6/x f) y = x 2?

2. Каква е тяхната графика? Как се намира? Посочете домейна на дефиниция и домейна на стойност на всяка от тези функции ( на фиг. за всяка функция са показани графики на функции, дадени от тези формули, посочете нейния тип) (слайд2).

3. Каква е графиката на всяка функция, как се изграждат тези графики?

(Слайд 3, построени са схематични графики на функции).

3. Изучаване на нов материал.

Учител:

Така че днес изучаваме функцията
и нейния график.

Знаем, че графиката на функцията y=x2 е парабола. Каква ще бъде графиката на функцията y=x2, ако вземем само x ≥ 0? Част от параболата е нейният десен клон. Нека сега начертаем функцията
.

Нека повторим алгоритъма за конструиране на графики на функции ( слайд 4, с алгоритъм)

Въпрос : Като гледаме аналитичната нотация на функцията, мислите ли, че можем да кажем какви стойности хприемливо? (Да, x≥0). Тъй като изразът
има смисъл за всички x, по-големи или равни на 0.

Учител: В природните явления и човешката дейност често се срещат зависимости между две величини. Как тази връзка може да бъде представена с графика? ( групова работа)

Класът е разделен на групи. Всяка група получава задача: построи графика на функцията
на милиметрова хартия, изпълнявайки всички точки от алгоритъма. След това излиза представител от всяка група и показва работата на групата. (Slad 5 се отваря, извършва се проверка, след което графикът се изгражда в тетрадки)

4. Изучаване на функцията (продължава работата по групи)

Учител:

намерете домейна на функцията;

намерете диапазона на функцията;

определяне на интервалите на намаляване (нарастване) на функцията;

y>0, y<0.

Запишете резултатите вместо вас (слайд 6).

Учител: Нека анализираме графиката. Графиката на функция е разклонение на парабола.

Въпрос : Кажете ми, виждали ли сте тази графика някъде преди?

Погледнете графиката и ми кажете дали тя пресича правата OX? (Не) OU? (Не). Погледнете графиката и ми кажете дали графиката има център на симетрия? Ос на симетрия?

Нека да обобщим:

Сега нека видим как научихме нова тема и повторихме материала, който покрихме. Игра с математически карти (правила на играта: на всяка група от 5 души се предлага набор от карти (25 карти). Всеки играч получава 5 карти с написани върху тях въпроси. Първият ученик дава една от картите на втория. ученик, който трябва да отговори на въпроса от картата. Ако ученикът отговори на въпроса, тогава картата се счупва, ако не, тогава ученикът взема картата за себе си и предава хода и т.н., за общо 5 хода. Ако ученикът няма останали карти, резултатът е -5, остава 1 карта – резултат 4, 2 карти – резултат 3, 3 карти – резултат 2)

5. Обобщение на урока.(учениците се оценяват на контролни списъци)

Домашна работа.

Проучете параграф 8.

Решете № 172, № 179, № 183.

Подгответе доклади по темата „Приложение на функции в различни области на науката и литературата“.

Отражение.

Покажете настроението си със снимки на бюрото си.

Днешният урок

Харесва ми.

не ми хареса.

Урочен материал I ( разбрах, не разбрах).

Да разгледаме функцията y=√x. Графиката на тази функция е показана на фигурата по-долу.

Графика на функцията y=√x

Както можете да видите, графиката прилича на завъртяна парабола или по-скоро на един от нейните клонове. Получаваме разклонение на параболата x=y^2. От фигурата се вижда, че графиката докосва оста Oy само веднъж, в точката с координати (0;0).
Сега си струва да се отбележат основните свойства на тази функция.

Свойства на функцията y=√x

1. Областта на дефиниране на функция е лъч)