Линеаризация (моделиране) на функциите на преобразуване на средства за измерване

Въведение

Развитието на науката и технологиите, нарастващите изисквания към качеството на продуктите и ефективността на производството доведоха до радикална промяна в изискванията за измерване. Един от основните аспекти на тези изисквания е да се осигури възможност за достатъчно надеждна оценка на грешката при измерване. Липсата на данни за точността на измерванията или недостатъчно надеждни оценки напълно или значително обезценяват информацията за свойствата на обектите и процесите, качеството на продукта и ефективността технологични процеси, за количеството суровини, продукти и др., получени в резултат на измерванията. Неправилната оценка на грешката при измерване е изпълнена с големи икономически загуби, а понякога и с технически последици. Подценяването на грешката при измерване води до увеличаване на дефектите на продукта, неикономично или неправилно отчитане на потреблението на материални ресурси и неправилни заключения при научно изследване, грешни решенияпо време на разработването и тестването на образци нова технология. Надценяването на грешката на измерване, което като правило води до погрешно заключение за необходимостта от използване на по-точни измервателни уреди (MI), причинява непродуктивни разходи за разработване, промишлено производство и експлоатация на MI. Стремежът оценката на грешката на измерване да се доближи възможно най-близо до нейната действителна стойност, така че да остане във вероятностния смисъл „горна оценка“ е една от характерните тенденции в развитието на съвременните практическа метрология. Тази тенденция става особено важна практическо значениекъдето изискваната точност на измерване се доближава до точността, която стандартните измервателни уреди могат да осигурят и където повишаването на коректността на оценките за точност на измерване е по същество един от резервите за увеличаване на точността на измерване. Грешката в измерването се дължи на общ случай, редица фактори. Зависи от свойствата на използваните средства за измерване, методите за използване на средствата за измерване (методи за измерване), правилността на калибрирането и проверката на средствата за измерване, условията, при които се извършват измерванията, скоростта (честотата) на промени в измерваните величини, изчислителни алгоритми и грешка, въведена от оператора. Следователно задачата за оценка на грешката при измерване в съвременни условия, по-специално, техническите измервания са сложна, комплексна задача.

Уманская А.К. Линеаризация (симулация)

функции за преобразуване на измервателния уред. -

Челябинск: SUSU, PS; 2012.18стр.4ил.,

библиогр. списък - 1 име

Въз основа на изходните данни е линеаризирана (моделирана) трансформационната функция на измервателния уред и са изчислени грешките.

Задачи

ЗАДАЧА 1.

SI чувствителност и изключителна нестабилност на чувствителността. SI чувствителност:

Максимална нестабилност на чувствителността:

ЗАДАЧА 2.

Ограничете относителните грешки, намалени до изхода и входа на SI

Нека намерим грешката на изходния сигнал.

A-приори:

Нека намерим грешката на изходния сигнал, намалена до SI изхода.

A-приори:

Да дефинираме стойностите относителна грешкапри стойностите на входната измерена стойност:

ЗАДАЧА 3.

Определете абсолютните, относителните и намалените грешки на нелинейността при апроксимиране на функцията на трансформация SI под формата на допирателна в началната точка.

Определете най-голямата грешка на нелинейността. Уравнението на допирателната е:

Точката, през която минава допирателната

Тангентен ъгъл:

Нека определим грешките на линеаризацията:

Абсолютна грешка:

Относителна грешка:

Намалена стойност на грешката (в точка х=х н):

Графика на апроксимация на функцията на трансформация под формата на допирателна в началната точка:

ЗАДАЧА 4

Определете относително и абсолютна грешканелинейност при апроксимиране на функцията на трансформация SI под формата на хорда, преминаваща през началната и крайната точка на диапазона на измерване. Определете най-голямата грешка на нелинейността.

Уравнението на акорда е:

Точки, през които минава хордата:

Линеаризиращата функция приема формата:

Нека определим грешките на линеаризацията.

Абсолютна грешка:

Относителна грешка:

Максимална грешка на нелинейността при х ъъъ :

Да намерим грешката:

Графика на апроксимация на функцията на трансформация под формата на хорда, минаваща през началната и крайната точка на нашия диапазон.

ЗАДАЧА 5.

Приближете функцията на SI трансформация на интервала: линейна функцияна формата: , така че най-голямата грешка при линеаризация да е минимална: . Определете максималните относителни и намалени грешки на линеаризация. апроксимационна функция.

Абсолютна грешка при линеаризация.

грешка на измервателния уред нелинейност

Нека запишем условието за оптимизация на системата:

грешка в края на обхвата на измерване:

грешка в крайна точка:

Нека разширим модулите и напишем уравнението:

Нека определим грешката в

ЗАДАЧА 6.

Апроксимирайте функцията на SI трансформация на интервала: с линейна функция от вида: , така че най-голямата грешка при линеаризация да е минимална: .

Определете максималните относителни и намалени грешки на линеаризация.

апроксимационна функция.

Абсолютна грешка при линеаризация.

Грешката се приема най-малка стойноств точката, където:

Условие за оптимизация на системата:

Нека създадем система:

От решението на системата получаваме:

Функцията за приближение има формата:

Да определим грешките.

Максималната намалена грешка при линеаризация е:

Графика на апроксимация на функцията на трансформация с линейна функция на формата с минимална максимална грешка.

Заключение

Като построи линейни моделифункции за преобразуване на измервателния уред различни начини, ние сме убедени, че методът за моделиране на трансформационната функция с линейна функция от вида: , така че най-голямата грешка при линеаризация да е минимална, е най-ефективен, т.к. имаше най-малката грешка и постоянна чувствителност.

Библиография

1. Аксенова, Е.Н. Елементарни методи за оценка на грешките на резултатите от преки и косвени измервания / урокза университети. - М .: Издателство Логос; Университетска книга, 2007.

chx=(e x +e - x)/2

shx=(e x -e -x)/2

chx 2 +shx 2 =ch2x

° С
thx=chx/shx

Лекция No12

Тема: “Линеаризация”

Геометричен смисъл на диференциала на функция и уравнението на допирателната.

уравнение на права линия: Y=kx+b

y 0 =f(x 0)=kx 0 +b

k-наклон на права линия

k=tg=f’(x 0)

Y=f(x 0)+f(x 0)-f’(x 0)x 0

Y=f(x)+f’(x 0)(x-x 0)

∆f(x 0)=f’(x 0)∆x+(∆x)∆x за ∆х0  в някои

O(x 0) f(x 0)=f’(x 0)+f’(x 0)∆x+(∆x)∆x при ∆х0

Y 1 =f(x 0)+f’(x 0)(x-x 0) a =f’(x 0)+f’(x 0)∆x

df(x 0)=f’(x 0)∆x

Геометрично значение на диференциала:

df(x 0) е увеличението на ординатата при движение по допирателна към функцията, начертана на графиката в точки (x 0 ;f(x 0).

Коментирайте: Те често говорят за допирателната, начертана в точката x 0.

Линеаризация на функция.

Определение: Заместването на функция в околността на дадена точка от линейна функция се нарича линеаризация на функцията, по-точно в O(x 0) тя се заменя с допирателна отсечка в точката x 0.

(
*)f(x)-Y=(∆x)∆x-o(∆x)

Ако в равенството (*) изхвърлим дясната страна, тогава ние

получаваме приблизително равенство:

f(x)f(x 0)+f’(x 0)(x-x 0), xx 0

Y=f(x 0)+f’(x 0)(x-x 0) – уравнение на допирателната в точка x 0

Формулата се получава от дефиницията на диференциала в точката x 0 на функцията

f(x)=f(x 0)+f(x 0)∆x+o∆x при ∆x0 – нарича се критерий за диференциалната функция в точка x 0.

Приблизителни изчисления и оценка на изчислителната грешка.

Можете приблизително да изчислите стойността на функцията в точки, близки до дадена точка.

Нека линеаризираме избрания корен.

f’(x) x=8 =(3 x)’ x =8 =1/3x -2/3  x =8 =1/12

3 x2+1/12(x-8), x8

3 x2+0,001/12

Y cas =2+1/12(x-8)

3 x=2+1/12(x-8)+o(x-8) при x8

Грешки в изчисленията.

f(x)-f(x 0)=df(x 0)+o(x-x 0) при xx 0

∆f(x 0)df(x 0), xx 0

∆ 1 =∆f(x 0)df(x 0)

f(x)=10 x в точка x 0 =4, ако ∆x=0,001 x=40,001

10 4 ∆=10 4 23

f’(x)=10 x ln10; f’(4)=10 4 ln10=23000; ln102.2

∆230000,001=23

Изучаване на поведението на функция с помощта на първата производна.

Вляво от M 0 tg >0; Вдясно от M 0 tg <0

tg f’(x)>0 вляво от M 0

tg f’(x)<0 справа от М 0

Теорема: Нека y=f(x) е диференцируемо  x(a,b) и f’(x)>0 (f’(x)<0), тогда f(x) возрастает (убывает) на (а,b)

A(|x1|x2)b

x 1 ,x 2 (a,b) x 1

Трябва да докажем: f(x 1)

Нека приложим теоремата на Langrange върху сегмента (x 1 ,x 2) T теорема.

f(x 2)-f(x 1)=f’(c)(x 2 -x 1), където c(x 1,x 2)

f(x 2)-f(x 1)>0  f(x 2)>f(x 1)

Екстремуми на функция.

М Можете да посочите O(x 1), в който всички стойности на функцията

f(x)

f(x)>f(x 1) b и О  2 (x 1). Значими функции в точка M 1, M 3 и M 5 –

макс. M 2 и M 4 – min – такива точки се наричат точки

екстремумили местни макс. и мин. точки.

Определение: (екстремни точки)

Нека функцията f(x) е дефинирана в някои O(x 0) и f(x)>f(x 0) в

O(x 0) или f(x)

З Забележка:

f(x)f(x 1) в O  1 (x 1)

f(x)f(x 2) в O  2 (x 2)

те казват, че точките x 1 и x 2 са точки, които не са строго локални

екстремум.

Теорема: (Ферма) (за необходимостта от условието за екстремум за диференцируема функция)

Нека y=f(x) е диференцируем в точката x 0 и точката x 0 е точка на екстремум, тогава f(x 0)=0

Доказателство: Обърнете внимание, че x 0 е точка на екстремум, тогава в нейната близост f(x) – f(x 0) запазва знака. Нека запишем условието ∆f(x 0)=f(x)-f(x 0)(x-x 0)+o(x-x 0)

f(x)-f(x 0)=(x-x 0) тогава за x – достатъчно близо до x 0 знакът на израза в квадратни скоби съвпада със знака на f'(x 0)0 (x-x 0) – променя знака при преминаване през точката x 0  f'(x 0)=0

Лекция No13

Водещ: Голубева Зоя Николаевна

Тема: "Екстрема"

коментар:

ОТНОСНО твърдението на брата е невярно. Само защото продуктът е нула в дадена точка, не означава, че това е екстремум.

xO -  (1)f(x)<0

xO +  (1)f(x)<0

x=1 не е екстремна точка.

Теорема (Рол):

Нека функцията y=f(x) е непрекъсната на интервала и диференцируема на (a,b). Освен това в краищата на интервала приема равни стойности f(a)=f(b), тогава  с(a,b): f(c)=0

Доказателство: Тъй като функцията е непрекъсната на сегмента , тогава според втората теорема на Вайстрас има най-голямата и най-малката стойност (m,M), ако m=M, тогава f(x)const (x) (const)' =0.

Нека m

коментар:условието за диференцируемост не може да бъде отхвърлено.

непрекъснат на сегмента

Геометрично значение.

f’(x)=0, тогава тангентата  на оста x. Теоремата не твърди, че това е една точка.

Теорема на Лангранж:

Нека функцията y=f(x) е непрекъсната на интервала и диференцируема на интервала (a,b), тогавас(a,b): f(b)-f(a)=f(c)( б-а)

Доказателство :

F(x)=f(x)+x, където  е все още неизвестно число.

F(x) – непрекъсната на интервал като сума от непрекъсната функция

f(x) е диференцируема на интервал като сума от диференцируема функция.

Нека изберем числото  така, че на отсечката F(x) да приема еднаква стойност.

F(a)=F(b)  f(a)-f(b)=(a-b)  =/

F(x) – удовлетворява условията на теоремата на Ролер върху отсечката c(a,b):F’(c)=0, т.е. F’(x)=f’(x)+

0=f’(c)+  f’(c)=-=/

Тоест на крива, която е наклонена

към оста x под същия ъгъл като секанса

/=tg=f(x)  c(a,b)

коментар:

Често точката c може да бъде представена в

необходима форма:

с=х 0 +∆х

0<(c-x 0)/(x-x 0)=<1

c-x 0 =(x-x 0)

c=x 0 +(x-x 0) 1

f(x)-f(x 0)=f’(x 0 +∆x)(x-x 0)

∆f(x 0)=f’(x 0 +∆x)∆x

Теорема: (за необходимите и достатъчни условия за екстремум в първата производна)

Нека y=f(x) е непрекъснат на интервала и диференцируем в O(x 0). Ако f’(x) променя знака при преминаване през точка x 0, тогава точката x 0 е точка на екстремум. Ако знакът се промени:

от + до – тогава това е максималната точка

от – до + тогава това е минималната точка

Доказателство :х 1 О - (x 0) върху ;c 1 (x 1 ,x 0)f(x 0)-f(x 1)=f'(c 1)(x 0 -x 1) f(x 0)>f(x 1)x 1 O - (x 0)

 x 2 О + (x 0) върху ;c 2 (x 0 ,x 2)f(x 2)-f(x 0)=f'(c 2)(x 2 -x 0) f(x 2)

f(x 0)>f(x)xO(x 0)точка x максимална точка.

Ако в точката x 0 има производна, то тя задължително е равна на 0 по теоремата на Ферма. Но може да има точки, в които f(x) съществува, но f’(x) не съществува.

Принципът за решаване на такива проблеми:

Условие: намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията върху отсечката.

Напредък на решението:

Намираме точки, в които производната или е равна на 0, или не съществува f’(x)=0 или f’(x)  x 1 ,x n

Изчисляваме знака на функцията в краищата на сегмента и в тези точки f(a),f(b),f(x 1)….f(x n)

Изберете най-голямото и най-малкото mf(x)

Определение: Точките, в които функцията е дефинирана и производната е нула или не съществува, се наричат ​​критични точки.

Обикновено автоматичните системи се описват с нелинейни диференциални уравнения. Но в много случаи е възможно да ги линеаризираме, тоест да заменим оригиналните нелинейни уравнения с линейни, които приблизително описват процесите в системата. Процесът на преобразуване на нелинейни уравнения в линейни се нарича линеаризация.

В автоматичните системи трябва да се поддържа определен определен режим. В този режим входните и изходните величини на връзките на системата се променят по определен закон. По-специално, в системите за стабилизиране те приемат определени постоянни стойности. Но поради различни смущаващи фактори действителният режим се различава от необходимия (посочен), поради което текущите стойности на входните и изходните количества не са равни на стойностите, съответстващи на зададения режим. В нормално функционираща автоматична система действителният режим се различава леко от необходимия режим и отклоненията на входните и изходните стойности на неговите компоненти от изискваните стойности са малки. Това позволява линеаризация чрез разширяване на нелинейните функции, включени в уравненията, в серия на Тейлър. Линеаризацията може да се извърши чрез връзки.

Пример 2.1. Нека илюстрираме горното, използвайки примера на връзка, описана от уравнение (2.1). Нека даденият режим съответства

Нека обозначим отклоненията на действителните стойности на u и y от изискваните стойности с . След това и Нека заместим тези изрази в (2.1) и, разглеждайки като функция на независими променливи, да го разширим в серия на Тейлър в точка (2.3) и да отхвърлим малки членове от по-висок порядък от отклоненията. Тогава (2.1) ще приеме формата

Тук звездичката отгоре означава, че съответните функции и производни се изчисляват за стойностите на аргумента, определени от отношения (2.3). При установяване на даден режим в системата уравнението (2.1) приема вида . Изваждайки това уравнение от (2.4), получаваме желаното уравнение на връзката в отклонения:

Ако времето t не е изрично включено в първоначалното уравнение (2.1) и освен това даденият режим е статичен - величините не зависят от времето, тогава коефициентите на линеаризираното уравнение (2.5) са постоянни.

Връзките и системите, които се описват с линейни уравнения, се наричат ​​съответно линейни връзки и линейни системи.

Уравнение (2.5) е получено при следните допускания: 1) отклоненията на изходните и входните величини са доста малки; 2) функцията има непрекъснати частни производни по отношение на всички свои аргументи в близост до точки, съответстващи на даден режим. Ако поне едно от тези условия не е изпълнено, линеаризацията не може да бъде извършена. По отношение на първото условие е необходимо да се отбележи следното: невъзможно е веднъж завинаги да се установи кои отклонения се считат за малки. Зависи от вида на нелинейността.

Често нелинейната връзка между отделните променливи, включени в уравнението на връзката, се определя под формата на крива. В тези случаи линеаризацията може да се извърши графично.

Геометрично линеаризирането на нелинейна връзка между две променливи (фиг. 2.2) означава замяна на оригиналната крива A B с сегмент от нейната допирателна в точка O, съответстващ на даден режим, и паралелно прехвърляне на началото на координатите към тази точка.

В зависимост от това дали времето е изрично включено в уравнението или не, системите се делят на стационарни и нестационарни.

Системите за автоматично управление (връзки) се наричат ​​стационарни, ако при постоянни външни влияния те се описват с уравнения, които не зависят изрично от времето. Това означава, че свойствата на системата не се променят с времето. В противен случай системата се нарича нестационарна. За линейните системи може да се даде и следната дефиниция: стационарни линейни системи (връзки) са системи (връзки), които се описват с линейни уравнения с постоянни коефициенти; нестационарни линейни системи (връзки) или системи с променливи параметри - системи (връзки), които се описват с линейни уравнения с променливи коефициенти.

Цел на услугата. Онлайн калкулатор, използван за намиране минимум на функция на две променливипо метода на директната линеаризация.

Брой нелинейни ограничения, (g i (x), h i (x))без ограничения 1 2 3 4
Брой линейни ограничениябез ограничения 1 2 3 4

Правила за въвеждане на функции:

1. Всички променливи се изразяват чрез x 1 , x 2
2. Всички математически операции се изразяват чрез общоприети символи (+,-,*,/,^). Например x 1 2 + x 1 x 2, запишете го като x1^2+x1*x2.

Всички методи, разгледани по-долу, се основават на разширяването на нелинейна функция от общ вид f(x) в серия на Тейлър до членове от първи ред в близост до някаква точка x 0:

Където – изхвърлен термин от втори ред на малостност.
Така функцията f(x) се апроксимира в точката x 0 с линейна функция:
,
където x 0 е точката на линеаризация.
Коментирайте. Линеаризацията трябва да се използва много внимателно, защото понякога дава много грубо приближение.

Обща задача за нелинейно програмиране

Помислете за общ проблем с нелинейно програмиране:

Нека x t е някаква дадена оценка на решението. Използването на директна линеаризация води до следния проблем:

Тази задача е PLP. Решавайки го, намираме ново приближение x t +1, което може да не принадлежи към допустимата област на решение S.
Ако , тогава оптималната стойност на линеаризираната целева функция, удовлетворяваща неравенството:

може да не е точна оценка на истинската стойност на оптимума.
За конвергенция към екстремум е достатъчно за последователността от точки ( x t), получена в резултат на решаване на последователност от подзадачи на LP, да е изпълнено следното условие:
стойността на целевата функция и несъответствието на ограничението в точка x t +1 трябва да бъдат по-малки от техните стойности в точка x t.

Пример №1.

Нека построим допустима област S (виж фигурата).


Осъществимата област S се състои от точки на кривата h(x)=0, разположени между точката (2;0), дефинирана от ограничението x 2 ≥0, и точката (1;1), дефинирана от ограничението g( x) ≥0.
В резултат на линеаризацията на проблема в точката x 0 =(2;1) получаваме следния ZLP:

Тук това е права линия, ограничена от точки (2,5; 0,25) и (11/9; 8/9). Линиите на нивото на линеаризираната целева функция са прави линии с наклон -2, докато линиите на нивото на оригиналната целева функция са кръгове, центрирани в точката (0;0). Ясно е, че решението на линеаризираната задача е точката x 1 = (11/9; 8/9). В този момент имаме:

така че ограничението за равенство е нарушено. След като извършихме нова линеаризация в точка x 1, получаваме нов проблем:


Новото решение се намира в пресечната точка на линиите и и има координати x 2 = (1,0187; 0,9965). Ограничение – равенство ( ) все още се нарушава, но в по-малка степен. Ако извършим още две итерации, ще получим много добро приближение на решението x * =(1;1), f(x *)=2

Таблица - Стойности на обективната функция за някои повторения:

Повторение	f	ж	ч
0	5	3	–1
1	2,284	0,605	–0,0123
3	2,00015	3,44×10 -4	–1,18×10 -5
Оптимално	2	0	0

Таблицата показва, че стойностите на f, g и h се подобряват монотонно. Такава монотонност обаче е характерна за проблеми, чиито функции са „умерено“ нелинейни. При функции с изразена нелинейност се нарушава монотонността на подобрението и алгоритъмът престава да се сближава.
Има три начина за подобряване на методите за директна линеаризация:
1. Използване на линейна апроксимация за намиране на посоката на спускане.
2. Глобална апроксимация на нелинейната функция на задачата с помощта на частично линейна функция.
3. Прилагане на последователни линеаризации при всяка итерация за изясняване на допустимата област S.

Линеаризация

За да се оценят неизвестни параметри β 0 , … , β nнелинеен регресионен модел, е необходимо да се доведе до линеен вид. Същността линеаризацияРегресионните модели, които са нелинейни в независими променливи, се състоят в замяна на нелинейни факторни променливи с линейни. В общия случай на полиномна регресия, процесът на заместване на нелинейни променливи на функция n-тоРедът изглежда така: x = с 1, ; x 2 = c 2; x Z = s 3; ... ; x p = c p.

Тогава уравнението на множествената нелинейна регресия може да бъде написано като уравнение на линейна множествена регресия

y i = β 0 + β 1 x i + β 2 x 2 i + … +β n x n i + ε i =>

=> y i = β 0 + β 1 c 1i + β 2 c 2i + … +β n c ni + ε i

Хиперболичната функция може също да бъде приведена до линейна форма чрез замяна на нелинейна факторна променлива с линейна. Нека 1/ х= s. Тогава първоначалното уравнение на хиперболичната функция може да бъде написано в трансформирана форма:

y i = β 0 + β 1 / x i + ε i => y i = β 0 + β 1 с i + ε i

По този начин както полиномна функция от всякаква степен, така и хиперболоид могат да бъдат сведени до линеен регресионен модел, което прави възможно прилагането на традиционни методи за намиране на неизвестни параметри на регресионното уравнение (например класически OLS) и стандартни методи за тестване на различни хипотези към трансформирания модел.

Co. втори класнелинейните модели включват регресионни модели, при които променливата резултат y iе нелинейно свързано с параметрите на уравнението β 0 ,…, β n. Този тип регресионни модели включва:

1) степенна функция

y i = β 0 · x i β 1 · ε i

2) експоненциална функция

y i = β 0 · β 1 x i · ε i

3) логаритмична парабола

y i = β 0 · β 1 x i · β 2 x i · ε i 2

4) експоненциална функция

y i = e β 0 + β 1 x i · ε i

5) обратна функция

и други.

Нелинейните по параметри регресионни модели от своя страна се разделят на модели подлежи на линеаризация (присъщо линейни функции) и не подлежи на линеаризация (присъщо нелинейни функции). Пример за модели, които могат да бъдат редуцирани до линейна форма, е експоненциална функция на формата y i = β 0 · β 1 x i · ε i, където е случайната грешка ε iмултипликативно свързани с факторната характеристика x i . дТози модел е нелинеен по параметъра β 1. За да го линеаризираме, първо извършваме процеса на логаритъм:

ln y i = ln β 0 + x i ln β 1 + ln ε i

Тогава ще използваме метода на заместване. Позволявам ln y i= Y i; ln β 0= А; ln β 1 =IN; ln ε i =E i.

Тогава трансформираната експоненциална функция има следния вид:

Y i = А+ В x i+ E i.

Следователно, експоненциалната функция y i = β 0 · β 1 x i · ε iе вътрешно линеен и оценките на неговите параметри могат да бъдат намерени с помощта на традиционния метод на най-малките квадрати.

Ако вземем експоненциална функция, която включва случайна грешка ε iадитивно, т.е. y i = β 0 · β 1 x i + ε i, тогава този модел вече не може да бъде приведен в линейна форма с помощта на логаритъм. Той е вътрешно нелинеен.

Нека е дадена степенна функция на формата y i = β 0 · x i β 1 · ε i. Нека вземем логаритми от двете страни на уравнението:

ln y i = ln β 0 + β 1 ln x i + ln ε i

Сега нека използваме метода за заместване: ln y i= Y i; ln β 0= А; ln x i =X i; ln ε i = E i.