Как да докажа, че прогресията е аритметична. Как да намерим разликата на аритметична прогресия

И. В. Яковлев | Материали по математика | MathUs.ru

Аритметична прогресия

Аритметичната прогресия е специален типподпоследователност. Следователно, преди да дефинираме аритметичната (и след това геометричната) прогресия, трябва накратко да обсъдим важната концепция за числовата последователност.

Последователност

Представете си устройство, на екрана на което се показват едно след друго определени числа. Да кажем 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Този набор от числа е точно пример за последователност.

Определение. Числовата последователност е набор от числа, в който на всяко число може да бъде присвоено уникално число (т.е. свързано с едно естествено число)1. Числото с номер n се нарича n-ти членпоследователности.

И така, в горния пример първото число е 2, това е първият член на редицата, който може да бъде означен с a1; номер пет има номер 6 е петият член на редицата, който може да бъде означен с a5. Изобщо, n-ти членпоследователностите се означават с (или bn, cn и т.н.).

Много удобна ситуация е, когато n-тият член на редицата може да бъде определен с някаква формула. Например формулата an = 2n 3 определя последователността: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Формулата an = (1)n определя последователността: 1; 1; 1; 1; : : :

Не всеки набор от числа е последователност. Следователно сегментът не е последователност; съдържа „твърде много“ числа за преномериране. Множеството R на всички реални числасъщо не е последователност. Тези факти се доказват в хода на математически анализ.

Аритметична прогресия: основни определения

Сега сме готови да дефинираме аритметична прогресия.

Определение. Аритметичната прогресия е последователност, в която всеки член (започвайки от втория) равно на суматапредишния член и някакво фиксирано число (наречено разлика на аритметична прогресия).

Например последователност 2; 5; 8; единадесет; : : : е аритметична прогресия с първи член 2 и разлика 3. Последователност 7; 2; 3; 8; : : : е аритметична прогресия с първи член 7 и разлика 5. Последователност 3; 3; 3; : : : е аритметична прогресия с разлика равна на нула.

Еквивалентна дефиниция: последователността an се нарича аритметична прогресия, ако разликата an+1 an е постоянна стойност (независима от n).

Аритметичната прогресия се нарича нарастваща, ако нейната разлика е положителна, и намаляваща, ако нейната разлика е отрицателна.

1 Ето едно по-кратко определение: последователност е функция, дефинирана в набор естествени числа. Например, поредица от реални числа е функция f: N ! Р.

По подразбиране последователностите се считат за безкрайни, т.е. съдържащи безкрайно множествочисла. Но никой не ни притеснява да разглеждаме крайни последователности; всъщност всеки краен набор от числа може да се нарече крайна последователност. Например, крайната последователност е 1; 2; 3; 4; 5 се състои от пет числа.

Формула за n-тия член на аритметична прогресия

Лесно е да се разбере, че една аритметична прогресия се определя изцяло от две числа: първият член и разликата. Следователно възниква въпросът: как, знаейки първия член и разликата, да намерим произволен член на аритметична прогресия?

Не е трудно да се получи необходимата формула за n-тия член на аритметичната прогресия. Нека един

аритметична прогресия с разлика d. Ние имаме:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :):
По-специално, ние пишем:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
и сега става ясно, че формулата за е:
an = a1 + (n 1)d:

Задача 1. В аритметична прогресия 2; 5; 8; единадесет; : : : намерете формулата за n-тия член и изчислете стотния член.

Решение. Съгласно формула (1) имаме:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Свойство и знак на аритметичната прогресия

Свойство на аритметичната прогресия. В аритметична прогресия за всяко

С други думи, всеки член на аритметична прогресия (започвайки от втория) е средноаритметичното на съседните членове.

	Доказателство. Ние имаме:
	a n 1+ a n+1		(an d) + (an + d)

което се изискваше.

| Повече ▼ по общ начин, аритметичната прогресия an удовлетворява равенството

a n = a n k+ a n+k

за всяко n > 2 и всяко естествено k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Оказва се, че формула (2) е не само необходима, но и достатъчно условиече последователността е аритметична прогресия.

Знак за аритметична прогресия. Ако равенството (2) е в сила за всички n > 2, тогава последователността an е аритметична прогресия.

Доказателство. Нека пренапишем формула (2), както следва:

a na n 1= a n+1a n:

От това можем да видим, че разликата an+1 an не зависи от n, а това точно означава, че редицата an е аритметична прогресия.

Свойството и знакът на аритметичната прогресия могат да бъдат формулирани под формата на едно твърдение; За удобство ще направим това за три числа (това е ситуацията, която често се среща при проблеми).

Характеризиране на аритметична прогресия. Три числа a, b, c образуват аритметична прогресия тогава и само ако 2b = a + c.

Задача 2. (MSU, Стопански факултет, 2007 г.) Три числа 8x, 3 x2 и 4 в посочения ред образуват намаляваща аритметична прогресия. Намерете x и посочете разликата на тази прогресия.

Решение. По свойството на аритметичната прогресия имаме:

2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x = 5:

Ако x = 1, тогава получаваме намаляваща прогресия от 8, 2, 4 с разлика от 6. Ако x = 5, тогава получаваме нарастваща прогресия от 40, 22, 4; този случай не е подходящ.

Отговор: x = 1, разликата е 6.

Сумата от първите n членове на аритметична прогресия

Легендата разказва, че един ден учителят казал на децата да намерят сбора на числата от 1 до 100 и седнал тихо да чете вестника. Не минаха обаче и няколко минути, когато едно момче каза, че е решило проблема. Това беше 9-годишният Карл Фридрих Гаус, по-късно един от най-великите математицив историята.

Идеята на малкия Гаус беше следната. Позволявам

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Нека го запишем тази сумав обратен ред:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

и добавете тези две формули:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Всеки член в скобите е равен на 101 и има общо 100 такива члена

2S = 101 100 = 10100;

Използваме тази идея, за да изведем формулата за сумата

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Полезна модификация на формула (3) се получава, ако заместим формулата на n-тия член an = a1 + (n 1)d в нея:

		2a1 + (n 1)d

Задача 3. Намерете сбора на всички положителни трицифрени числа, делими на 13.

Решение. Трицифрени числа, кратни на 13, образуват аритметична прогресия с първи член 104 и разлика 13; N-тият член на тази прогресия има формата:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Нека разберем колко члена съдържа нашата прогресия. За да направим това, нека решим неравенството:

6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

И така, има 69 членове в нашата прогресия. Използвайки формула (4), намираме необходимото количество:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Инструкции

Аритметичната прогресия е последователност от формата a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Номер d стъпка прогресия.Очевидно е, че генералът на произволен n-ти член от аритметиката прогресияима формата: An = A1+(n-1)d. Тогава познаването на един от членовете прогресия, член прогресияи стъпка прогресия, можете, тоест номерът на члена на прогреса. Очевидно тя ще се определя по формулата n = (An-A1+d)/d.

Нека сега е известен m-тият член прогресияи друг член прогресия- nth, но n , както в предишния случай, но е известно, че n и m не съвпадат прогресияможе да се изчисли по формулата: d = (An-Am)/(n-m). Тогава n = (An-Am+md)/d.

Ако е известна сумата от няколко елемента на едно аритметично уравнение прогресия, както и неговият първи и последен, тогава може да се определи и сумата на тези елементи прогресияще бъде равно на: S = ((A1+An)/2)n. Тогава n = 2S/(A1+An) - чденов прогресия. Използвайки факта, че An = A1+(n-1)d, тази формула може да бъде пренаписана като: n = 2S/(2A1+(n-1)d). От това можем да изразим n чрез решаване квадратно уравнение.

Аритметичната последователност е подреден набор от числа, всеки член на който, с изключение на първия, се различава от предходния с една и съща сума. Това постояненсе нарича разлика на прогресията или нейната стъпка и може да се изчисли от известните членове на аритметичната прогресия.

Инструкции

Ако стойностите на първия и втория или всяка друга двойка съседни термини са известни от условията на проблема, за да изчислите разликата (d), просто извадете предишния от следващия член. Получената стойност може да бъде положително или отрицателно число - зависи от това дали прогресията се увеличава. IN обща форманапишете решението за произволно избрана двойка (aᵢ и aᵢ₊₁) от съседни членове на прогресията, както следва: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

За двойка членове на такава прогресия, единият от които е първият (a₁), а другият е всеки друг произволно избран, също е възможно да се създаде формула за намиране на разликата (d). В този случай обаче трябва да се знае сериен номер(i) произволно избран член на последователността. За да изчислите разликата, добавете двете числа и разделете получения резултат на поредния номер на произволен член, намален с единица. IN общ изгледнапишете тази формула по следния начин: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Ако в допълнение към произволен член на аритметична прогресия с пореден номер i е известен друг член с пореден номер u, променете съответно формулата от предишната стъпка. В този случай разликата (d) на прогресията ще бъде сумата от тези два члена, разделена на разликата на техните поредни номера: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Формулата за изчисляване на разликата (d) ще стане малко по-сложна, ако условията на проблема дават стойността на нейния първи член (a₁) и сумата (Sᵢ) на дадено число (i) от първите членове аритметична редица. За да получите желаната стойност, разделете сумата на броя членове, които я съставят, извадете стойността на първото число в редицата и удвоете резултата. Разделете получената стойност на броя членове, които съставляват сумата, намалена с единица. Като цяло, напишете формулата за изчисляване на дискриминанта, както следва: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)

Аритметичната прогресия е поредица от числа, в която всяко число е по-голямо (или по-малко) от предишното с еднаква стойност.

Тази тема често изглежда сложна и неразбираема. Индексите на буквите, n-тият член на прогресията, разликата на прогресията - всичко това е някак объркващо, да... Нека разберем значението на аритметичната прогресия и всичко веднага ще се оправи.)

Концепцията за аритметична прогресия.

Аритметичната прогресия е много проста и ясна концепция. Имате ли съмнения? Напразно.) Вижте сами.

Ще напиша незавършена поредица от числа:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Можете ли да разширите тази серия? Кои числа ще дойдат следващите след петицата? Всички... ъъъ..., накратко, всички ще разберат, че следват числата 6, 7, 8, 9 и т.н.

Нека усложним задачата. Давам ви незавършена поредица от числа:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Ще можете да уловите модела, да разширите серията и да дадете име седмономер на ред?

Ако сте разбрали, че това число е 20, поздравления! Не само се чувстваше ключови точки на аритметичната прогресия,но и успешно ги използва в бизнеса! Ако не сте го разбрали, прочетете нататък.

Сега нека преведем ключовите моменти от усещанията в математика.)

Първата ключова точка.

Аритметичната прогресия се занимава с серии от числа.Това е объркващо в началото. Свикнали сме да решаваме уравнения, да чертаем графики и всичко това... Но тук разширяваме серията, намираме номера на серията...

Всичко е наред. Просто прогресиите са първото запознанство с нов клон на математиката. Разделът се нарича "Поредици" и работи специално с поредици от числа и изрази. Свиквай.)

Втора ключова точка.

В аритметичната прогресия всяко число е различно от предишното със същата сума.

В първия пример тази разлика е една. Което и число да вземете, то е с едно повече от предишното. Във втория - три. Всяко число е с три повече от предишното. Всъщност именно този момент ни дава възможност да схванем модела и да изчислим следващите числа.

Трети ключов момент.

Този момент не е фрапантен, да... Но е много, много важен. Ето го: всеки номер на прогресиятастои на мястото си.Има първото число, има седмото, има четиридесет и петото и т.н. Ако ги смесите на случаен принцип, моделът ще изчезне. Аритметичната прогресия също ще изчезне. Това, което остава, е просто поредица от числа.

Това е целият смисъл.

Разбира се, в нова темапоявяват се нови термини и обозначения. Трябва да ги познавате. В противен случай няма да разберете задачата. Например, ще трябва да решите нещо като:

Запишете първите шест члена на аритметичната прогресия (a n), ако a 2 = 5, d = -2,5.

Вдъхновяващо?) Букви, малко индекси... И задачата, между другото, не може да бъде по-проста. Просто трябва да разберете значението на термините и обозначенията. Сега ще овладеем този въпрос и ще се върнем към задачата.

Термини и обозначения.

Аритметична прогресияе поредица от числа, в която всяко число е различно от предишното със същата сума.

Това количество се нарича . Нека разгледаме тази концепция по-подробно.

Разлика в аритметична прогресия.

Разлика в аритметична прогресияе сумата, с която всяко прогресивно число Повече ▼предишното.

един важен момент. Моля, обърнете внимание на думата "Повече ▼".Математически това означава, че всяко число на прогресията е добавяйкиразлика в аритметичната прогресия спрямо предходното число.

Да изчислим, да речем второномера на серията, трябва да първиномер добавететочно тази разлика на аритметична прогресия. За изчисление пети- разликата е необходима добаветеДа се четвърто,добре и т.н.

Разлика в аритметична прогресияМоже би положителен,тогава всяко число от поредицата ще се окаже истинско повече от предишния.Тази прогресия се нарича повишаване на.Например:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Тук се получава всяко число добавяйки положително число, +5 към предишния.

Разликата може да е отрицателен,тогава всяко число в серията ще бъде по-малко от предишния.Тази прогресия се нарича (няма да повярвате!) намаляващи.

Например:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Тук също се получава всяко число добавяйкикъм предишния, но вече отрицателно число, -5.

Между другото, когато работите с прогресия, е много полезно веднага да определите нейния характер - дали е нарастваща или намаляваща. Това помага много да вземете решение, да забележите грешките си и да ги коригирате, преди да е станало твърде късно.

Разлика в аритметична прогресияобикновено се обозначава с буквата д.

Как да намеря д? Много просто. Необходимо е да се извади от всяко число в серията предишенномер. Извадете. Между другото, резултатът от изваждането се нарича "разлика".)

Нека дефинираме напр. дза увеличаване на аритметичната прогресия:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Взимаме произволно число от серията, което искаме, например 11. Изваждаме от него предишен номертези. 8:

Това е правилният отговор. За тази аритметична прогресия разликата е три.

Можете да го вземете всяко число на прогресията,защото за конкретна прогресия д-винаги същото.Поне някъде в началото на редицата, поне в средата, поне навсякъде. Не можете да вземете само първото число. Просто защото първото число няма предишен.)

Между другото, знаейки това d=3, намирането на седмото число от тази прогресия е много лесно. Да добавим 3 към петото число – получаваме шестото, то ще бъде 17. Да добавим три към шестото число, получаваме седмото число – двадесет.

Да дефинираме дза низходяща аритметична прогресия:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Напомням ви, че независимо от знаците, за да определите днужда от произволен номер отнеме предишния.Изберете произволно число на прогресията, например -7. Предишното му число е -2. Тогава:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Разликата на аритметичната прогресия може да бъде произволно число: цяло число, дробно, ирационално, всяко число.

Други термини и обозначения.

Всяко число от серията се нарича член на аритметична прогресия.

Всеки член на прогресията има собствен номер.Цифрите са строго подредени, без уловки. Първо, второ, трето, четвърто и т.н. Например, в прогресията 2, 5, 8, 11, 14, ... две е първият член, пет е вторият, единадесет е четвъртият, добре, разбирате...) Моля, разберете ясно - самите числаможе да бъде абсолютно всичко, цяло, дробно, отрицателно, каквото и да е, но номерация на числата- строго по ред!

Как да напиша прогресията в общ вид? Няма проблем! Всяко число в серия се изписва като буква. За означаване на аритметична прогресия обикновено се използва буквата а. Членският номер се обозначава с индекс долу вдясно. Пишем термини, разделени със запетаи (или точка и запетая), както следва:

1, 2, 3, 4, 5, .....

а 1- това е първото число, а 3- трети и т.н. Нищо изискано. Тази серия може да бъде написана накратко така: (a n).

Случват се прогресии краен и безкраен.

Ultimateпрогресията има ограничен брой членове. Пет, трийсет и осем, каквото и да е. Но това е краен брой.

Безкраенпрогресия - има безкраен брой членове, както можете да предположите.)

Записвам крайна прогресияможете да преминете през поредица като тази, всички термини и точка в края:

1, 2, 3, 4, 5.

Или така, ако има много членове:

1, 2, ... 14, 15.

IN кратка бележкаще трябва допълнително да посочите броя на членовете. Например (за двадесет членове), така:

(a n), n = 20

Една безкрайна прогресия може да бъде разпозната по многоточието в края на реда, както в примерите в този урок.

Сега можете да решите задачите. Задачите са прости, чисто за разбиране на значението на аритметична прогресия.

Примери за задачи за аритметична прогресия.

Нека разгледаме дадената по-горе задача в детайли:

1. Напишете първите шест члена на аритметичната прогресия (a n), ако a 2 = 5, d = -2,5.

Превеждаме задачата на разбираем език. Дадена е безкрайна аритметична прогресия. Второто число на тази прогресия е известно: а 2 = 5.Разликата в прогресията е известна: d = -2,5.Трябва да намерим първия, третия, четвъртия, петия и шестия член на тази прогресия.

За по-голяма яснота ще запиша серия според условията на задачата. Първите шест термина, където вторият член е пет:

1, 5, 3, 4, 5, 6,...

а 3 = а 2 + д

Заместете в израз а 2 = 5И d = -2,5. Не забравяйте за минуса!

а 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Третият член се оказа по-малък от втория. Всичко е логично. Ако числото е по-голямо от предишното отрицателенстойност, което означава, че самото число ще бъде по-малко от предишното. Прогресията намалява. Добре, нека го вземем предвид.) Отчитаме четвъртия член от нашата серия:

а 4 = а 3 + д

а 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

а 5 = а 4 + д

а 5=0+(-2,5)= - 2,5

а 6 = а 5 + д

а 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Така бяха изчислени термини от трети до шести. Резултатът е следната серия:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Остава да намерим първия член а 1според известното второ. Това е стъпка в другата посока, наляво.) И така, разликата в аритметичната прогресия дне трябва да се добавя към а 2, А за вкъщи:

а 1 = а 2 - д

а 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Това е. Отговор на задачата:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Между другото бих искал да отбележа, че решихме тази задача рецидивиращначин. Тази ужасна дума означава само търсене на член на прогресията според предходния (съседен) номер.По-долу ще разгледаме други начини за работа с прогресия.

От тази проста задача може да се направи един важен извод.

Помня:

Ако знаем поне един член и разликата на аритметична прогресия, можем да намерим всеки член на тази прогресия.

Помниш ли? Това просто заключение ви позволява да разрешите повечето от проблемите на училищния курс по тази тема. Всички задачи се въртят наоколо три основнипараметри: член на аритметична прогресия, разлика на прогресия, номер на член на прогресия.Всичко.

Разбира се, цялата предишна алгебра не е отменена.) Неравенствата, уравненията и други неща са свързани с прогресията. Но според самата прогресия- всичко се върти около три параметъра.

Като пример, нека разгледаме някои популярни задачи по тази тема.

2. Запишете крайната аритметична прогресия като серия, ако n=5, d = 0,4 и a 1 = 3,6.

Тук всичко е просто. Всичко вече е дадено. Трябва да запомните как се броят членовете на една аритметична прогресия, да ги преброите и да ги запишете. Препоръчително е да не пропускате думите в условията на задачата: „окончателен“ и „ n=5". За да не броите, докато не сте напълно посинели.) Има само 5 (пет) члена в тази прогресия:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

а 4 = а 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

а 5 = а 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Остава да напиша отговора:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Друга задача:

3. Определете дали числото 7 ще бъде член на аритметичната прогресия (a n), ако a 1 = 4,1; d = 1,2.

Хм... Кой знае? Как да определим нещо?

Как-как... Запишете прогресията под формата на серия и вижте дали там ще има седем или не! Ние броим:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

а 4 = а 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Сега ясно се вижда, че сме само седем се промъкнамежду 6.5 и 7.7! Седем не попада в нашата серия от числа и следователно седем няма да бъде член на дадената прогресия.

Отговор: не.

Ето един проблем, базиран на реален вариант GIA:

4. Изписани са няколко последователни членове на аритметичната прогресия:

...; 15; Х; 9; 6; ...

Ето една поредица, написана без край и начало. Няма номера на членове, няма разлика д. Всичко е наред. За да разрешите проблема, е достатъчно да разберете значението на аритметичната прогресия. Нека да погледнем и да видим какво е възможно да знамот този сериал? Кои са трите основни параметъра?

Членски номера? Тук няма нито едно число.

Но има три числа и - внимание! - дума "последователен"в състояние. Това означава, че числата са строго подредени, без пропуски. Има ли двама в този ред? съседни известни числа? Да, имам! Това са 9 и 6. Следователно можем да изчислим разликата на аритметичната прогресия! Извадете от шест предишенномер, т.е. девет:

Остават само дреболии. Кое число ще бъде предишното за X? Петнадесет. Това означава, че X може лесно да бъде намерен просто добавяне. Добавете разликата на аритметичната прогресия към 15:

Това е всичко. Отговор: х=12

Ние решаваме следните проблеми сами. Забележка: тези проблеми не се основават на формули. Чисто, за да разберем значението на аритметичната прогресия.) Просто записваме поредица от цифри и букви, гледаме и я намираме.

5. Намерете първия положителен член на аритметичната прогресия, ако a 5 = -3; d = 1,1.

6. Известно е, че числото 5,5 е член на аритметичната прогресия (a n), където a 1 = 1,6; d = 1,3. Определете числото n на този член.

7. Известно е, че в аритметичната прогресия a 2 = 4; а 5 = 15,1. Намерете 3.

8. Изписани са няколко последователни членове на аритметичната прогресия:

...; 15,6; Х; 3.4; ...

Намерете члена на прогресията, обозначен с буквата x.

9. Влакът започна да се движи от гарата, като равномерно увеличаваше скоростта си с 30 метра в минута. Каква ще бъде скоростта на влака след пет минути? Дайте своя отговор в км/час.

10. Известно е, че в аритметичната прогресия a 2 = 5; а 6 = -5. Намерете 1.

Отговори (в безпорядък): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Всичко се получи? невероятно! Можете да овладеете аритметичната прогресия за повече високо ниво, в следващите уроци.

Не се ли получи всичко? Няма проблем. В специален раздел 555 всички тези проблеми са разбити част по част.) И, разбира се, прост практическа техника, което веднага подчертава решението на подобни задачи ясно, ясно, с един поглед!

Между другото, в пъзела с влака има два проблема, в които хората често се спъват. Единият е само по отношение на прогресията, а вторият е общ за всякакви задачи по математика, а също и по физика. Това е превод на измеренията от един към друг. Показва как трябва да се решават тези проблеми.

В този урок разгледахме елементарното значение на аритметичната прогресия и нейните основни параметри. Това е достатъчно за решаване на почти всички проблеми по тази тема. Добавете дкъм числата, напишете серия, всичко ще бъде решено.

Решението с пръст работи добре за много къси части от ред, както в примерите в този урок. Ако серията е по-дълга, изчисленията стават по-сложни. Например, ако в задача 9 във въпроса сменим "пет минути"На "тридесет и пет минути"проблемът ще се влоши значително.)

А има и задачи, които са прости по същество, но абсурдни по отношение на изчисленията, например:

Дадена е аритметична прогресия (a n). Намерете 121, ако a 1 =3 и d=1/6.

И какво, ще добавяме 1/6 много, много пъти?! Можеш да се самоубиеш!?

Можете.) Ако не знаете проста формула, което ви позволява да решавате такива задачи за минута. Тази формула ще бъде в следващия урок. И този проблем там е решен. След минутка.)

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

Концепцията за числова последователност предполага, че всяко естествено число съответства на някаква реална стойност. Такава поредица от числа може да бъде произволна или да има определени свойства - прогресия. IN последният случайвсеки следващ елемент (член) на редицата може да бъде изчислен с помощта на предишния.

Аритметична прогресия - последователност числови стойности, в което съседните му членове се различават един от друг по същия номер(всички елементи от серията, започвайки от 2-ри, имат подобно свойство). Този номер– разликата между предишния и следващия член е постоянна и се нарича прогресивна разлика.

Разлика в прогресията: определение

Помислете за последователност, състояща се от j стойности A = a (1), a (2), a (3), a (4) ... a (j), j принадлежи към набора от естествени числа N. Аритметика прогресията, според нейната дефиниция, е последователност, в която a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Стойността d е желаната разлика на тази прогресия.

d = a(j) – a(j-1).

Акцент:

• Нарастваща прогресия, в който случай d > 0. Пример: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Намаляваща прогресия, след това d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Прогресия на разликата и нейните произволни елементи

Ако са известни 2 произволни члена на прогресията (i-ти, k-ти), тогава разликата за дадена последователност може да се определи въз основа на връзката:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, което означава d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Разлика в прогресията и нейния първи член

Този израз ще помогне да се определи неизвестна стойност само в случаите, когато номерът на елемента на последователността е известен.

Прогресивна разлика и нейната сума

Сумата на една прогресия е сумата от нейните членове. Да изчисля обща стойностот първите j елемента, използвайте подходящата формула:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, но тъй като a(j) = a(1) + d(j – 1), тогава S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Или аритметиката е вид подредена числова последователност, чиито свойства се изучават училищен курсалгебра. Тази статия разглежда подробно въпроса как да се намери сумата на аритметична прогресия.

Що за прогресия е това?

Преди да преминете към въпроса (как да намерите сумата от аритметична прогресия), си струва да разберете за какво говорим.

Всяка поредица от реални числа, която се получава чрез добавяне (изваждане) на някаква стойност от всяко предходна дата, се нарича алгебрична (аритметична) прогресия. Това определение, когато се преведе на математически език, приема формата:

Тук i е поредният номер на елемента от ред a i. По този начин, знаейки само едно начално число, можете лесно да възстановите цялата серия. Параметърът d във формулата се нарича прогресивна разлика.

Може лесно да се покаже, че за разглежданата редица от числа е валидно следното равенство:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Тоест, за да намерите стойността на n-тия елемент по ред, трябва да добавите разликата d към първия елемент a 1 n-1 пъти.

Каква е сумата на аритметична прогресия: формула

Преди да дадете формулата за посочената сума, струва си да разгледате проста специален случай. Дадена е прогресия на естествените числа от 1 до 10, трябва да намерите тяхната сума. Тъй като има малко членове в прогресията (10), е възможно да се реши задачата директно, т.е. да се сумират всички елементи по ред.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Струва си да се има предвид едно интересно нещо: тъй като всеки член се различава от следващия с една и съща стойност d = 1, тогава сумирането по двойки на първия с десетия, втория с деветия и т.н. ще даде същия резултат. Наистина ли:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Както можете да видите, има само 5 от тези суми, тоест точно два пъти по-малко от броя на елементите на серията. След това, като умножите броя на сумите (5) по резултата от всяка сума (11), ще стигнете до резултата, получен в първия пример.

Ако обобщим тези аргументи, можем да напишем следващ израз:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Този израз показва, че изобщо не е необходимо да се сумират всички елементи подред, достатъчно е да се знае стойността на първия a 1 и последния a n, както и общ брой n условия.

Смята се, че Гаус е първият, който се е сетил за това равенство, когато е търсил решение на дадена задача. учител в училищезадача: сумирайте първите 100 цели числа.

Сума от елементи от m до n: формула

Формулата, дадена в предишния параграф, отговаря на въпроса как да се намери сумата от аритметична прогресия (първите елементи), но често при задачи е необходимо да се сумира поредица от числа в средата на прогресията. Как да го направим?

Най-лесният начин да отговорите на този въпрос е като разгледате следния пример: нека е необходимо да се намери сумата от членовете от m-то до n-то. За да разрешите проблема, трябва да си представите даден сегмент m към n прогресия като нов числова серия. По такъв m-то представянечленът a m ще бъде първият, а a n ще бъде номериран с n-(m-1). В този случай, прилагайки стандартната формула за сумата, ще се получи следният израз:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Пример за използване на формули

Знаейки как да намерите сумата на аритметичната прогресия, струва си да разгледате прост пример за използване на горните формули.

По-долу е дадено числова последователност, трябва да намерите сумата от членовете му, започвайки от 5-то и завършвайки с 12-то:

Дадените числа показват, че разликата d е равна на 3. Използвайки израза за n-тия елемент, можете да намерите стойностите на 5-ия и 12-ия член на прогресията. Оказва се:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Познаване на стойностите на числата в края на даденото алгебрична прогресия, а също така знаейки кои числа в реда заемат, можете да използвате формулата за сумата, получена в предишния параграф. Ще се окаже:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Струва си да се отбележи, че тази стойност може да се получи по различен начин: първо намерете сумата от първите 12 елемента чрез стандартна формула, след това изчислете сбора на първите 4 елемента, като използвате същата формула, след което извадете втория от първия сбор.