Как да намерим знаменателя на геометрична прогресия. Безкрайно намаляваща геометрична прогресия

ЧИСЛОВИ ПОРЕДИЦИ VI

§ l48. Сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия

Досега, говорейки за суми, винаги сме приемали, че броят на членовете в тези суми е краен (например 2, 15, 1000 и т.н.). Но при решаването на някои задачи (особено висшата математика) трябва да се работи със сумите на безкраен брой членове

S= а 1 + а 2 + ... + а н + ... . (1)

Какви са тези суми? По дефиниция сумата от безкраен брой членове а 1 , а 2 , ..., а н , ... се нарича граница на сумата S н първи П числа, когато П -> ∞ :

S=S н = (а 1 + а 2 + ... + а н ). (2)

Ограничение (2), разбира се, може или не може да съществува. Съответно се казва, че сумата (1) съществува или не съществува.

Как да разберем дали сумата (1) съществува във всеки отделен случай? Общото решение на този въпрос далеч надхвърля обхвата на нашата програма. Има обаче един важен специален случай, който трябва да разгледаме сега. Ще говорим за сумирането на членовете на безкрайно намаляваща геометрична прогресия.

Позволявам а 1 , а 1 р , а 1 р 2 , ... е безкрайно намаляваща геометрична прогресия. Това означава, че | р |< 1. Сумма первых П членове на тази прогресия е равно на

От основните теореми за границите на променливите (виж § 136) получаваме:

Но 1 = 1, а q n = 0. Следователно

И така, сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия е равна на първия член на тази прогресия, делено на едно минус знаменателя на тази прогресия.

1) Сумата от геометричната прогресия 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... е

а сумата от геометрична прогресия е 12; -6; 3; - 3/2 , ... е равно

2) Проста периодична дроб 0,454545 ... се превръща в обикновена.

За да решим този проблем, представяме тази дроб като безкрайна сума:

Дясната страна на това равенство е сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия, чийто първи член е 45/100, а знаменателят е 1/100. Ето защо

По описания начин може да се получи и общото правило за преобразуване на прости периодични дроби в обикновени дроби (вижте глава II, § 38):

За да преобразувате проста периодична дроб в обикновена, трябва да постъпите по следния начин: поставете периода на десетичната дроб в числителя, а в знаменателя - число, състоящо се от деветки, взети толкова пъти, колкото има цифри в периода от десетичната дроб.

3) Смесена периодична дроб 0,58333 .... се превръща в обикновена дроб.

Нека представим тази дроб като безкрайна сума:

От дясната страна на това равенство всички членове, започващи от 3/1000, образуват безкрайно намаляваща геометрична прогресия, чийто първи член е 3/1000, а знаменателят е 1/10. Ето защо

По описания начин може да се получи и общото правило за преобразуване на смесени периодични дроби в обикновени дроби (виж глава II, § 38). Съзнателно не го включваме тук. Няма нужда да запомняте това тромаво правило. Много по-полезно е да се знае, че всяка смесена периодична дроб може да бъде представена като сбор от безкрайно намаляваща геометрична прогресия и някакво число. И формулата

за сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия, трябва, разбира се, да се помни.

Като упражнение ви каним, в допълнение към задачите № 995-1000 по-долу, да се обърнете отново към задача № 301 § 38.

Упражнения

995. Какво се нарича сбор от безкрайно намаляваща геометрична прогресия?

996. Намерете суми от безкрайно намаляващи геометрични прогресии:

997. За какви стойности х прогресия

безкрайно намалява? Намерете сумата на такава прогресия.

998. В равностранен триъгълник със страна а нов триъгълник е вписан чрез свързване на средните точки на страните му; нов триъгълник се вписва в този триъгълник по същия начин и така нататък до безкрайност.

а) сумата от периметрите на всички тези триъгълници;

б) сумата от техните площи.

999. В квадрат със страна а нов квадрат е вписан чрез свързване на средните точки на страните му; квадрат е вписан в този квадрат по същия начин и така нататък до безкрайност. Намерете сумата от периметрите на всички тези квадрати и сумата от техните площи.

1000. Направете безкрайно намаляваща геометрична прогресия, така че сумата й да е равна на 25/4, а сумата от квадратите на членовете й да е равна на 625/24.

Това число се нарича знаменател на геометрична прогресия, т.е. всеки член се различава от предходния с q пъти. (Ще приемем, че q ≠ 1, иначе всичко е твърде тривиално). Лесно се вижда, че общата формула на n-тия член на геометричната прогресия е b n = b 1 q n – 1 ; членове с числа b n и b m се различават с q n – m пъти.

Още в древен Египет са знаели не само аритметиката, но и геометричната прогресия. Ето например една задача от папируса на Райнд: „Седем лица имат седем котки; всяка котка изяжда седем мишки, всяка мишка изяжда седем кочана царевица, от всяко ухо могат да растат седем мери ечемик. Колко големи са числата в тази серия и тяхната сума?

Ориз. 1. Задача на древноегипетската геометрична прогресия

Тази задача се повтаря много пъти с различни вариации сред други народи в други моменти. Например, в писмена през XIII век. В „Книгата за сметалото“ на Леонардо от Пиза (Фибоначи) има проблем, в който се появяват 7 стари жени на път за Рим (очевидно поклонници), всяка от които има 7 мулета, всяка от които има 7 чанти, всяка от които има 7 хляба, всеки от които има 7 ножа, всеки от които е в 7 ножници. Проблемът пита колко елемента има.

Сумата от първите n члена на геометричната прогресия S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Тази формула може да бъде доказана, например, както следва: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

Нека добавим числото b 1 q n към S n и получаваме:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

Оттук S n (q - 1) = b 1 (q n - 1) и получаваме необходимата формула.

Вече върху една от глинените плочки на Древен Вавилон, датираща от VI век. пр.н.е д., съдържа сумата 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Вярно е, че както в редица други случаи, ние не знаем къде този факт е бил известен на вавилонците .

Бързият растеж на геометричната прогресия в редица култури, по-специално в Индия, многократно се използва като ясен символ на необятността на Вселената. В известната легенда за появата на шаха владетелят дава възможност на техния изобретател сам да избере награда и иска такъв брой житни зърна, колкото ще се получи, ако едно се постави на първата клетка на шахматна дъска, две на втората, четири на третата, осем на четвъртата и т.н., като всеки път числото се удвоява. Владика смяташе, че това са най-много няколко чувала, но се обърка. Лесно е да се види, че за всичките 64 квадрата на шахматната дъска изобретателят трябва да е получил (2 64 - 1) зърно, което е изразено като 20-цифрено число; дори цялата повърхност на Земята да бъде засята, ще са необходими поне 8 години, за да се съберат необходимия брой зърна. Тази легенда понякога се тълкува като препратка към почти неограничените възможности, скрити в играта на шах.

Фактът, че това число наистина е 20-цифрено, е лесно да се види:

2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1,6 10 19 (по-точно изчисление дава 1,84 10 19). Но се чудя дали можете да разберете с коя цифра завършва това число?

Геометричната прогресия е нарастваща, ако знаменателят е по-голям от 1 по абсолютна стойност, или намаляваща, ако е по-малка от единица. В последния случай числото q n може да стане произволно малко за достатъчно голямо n. Докато нарастващата експоненциала се увеличава неочаквано бързо, намаляващата експоненциала намалява също толкова бързо.

Колкото по-голямо е n, толкова по-слабо числото q n се различава от нула и колкото по-близо е сумата от n членове на геометричната прогресия S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) до числото S \u003d b 1 / (1 - q) . (Така аргументирано, например, F. Viet). Числото S се нарича сбор от безкрайно намаляваща геометрична прогресия. Въпреки това, в продължение на много векове въпросът какво е значението на сумирането на ЦЯЛАТА геометрична прогресия, с нейния безкраен брой членове, не беше достатъчно ясен за математиците.

Намаляваща геометрична прогресия може да се види например в апориите на Зенон „Ухапване“ и „Ахил и костенурката“. В първия случай е ясно показано, че целият път (приемаме дължина 1) е сбор от безкраен брой сегменти 1/2, 1/4, 1/8 и т.н. Това, разбира се, е случаят от гледната точка на идеите за крайната сума безкрайна геометрична прогресия. И все пак - как е възможно това?

Ориз. 2. Прогресия с коефициент 1/2

В апорията за Ахил ситуацията е малко по-сложна, защото тук знаменателят на прогресията не е равен на 1/2, а на някакво друго число. Нека например Ахил тича със скорост v, костенурката се движи със скорост u и началното разстояние между тях е l. Ахил ще измине това разстояние за времето l/v, костенурката ще измине разстояние lu/v през това време. Когато Ахил премине през този сегмент, разстоянието между него и костенурката ще стане равно на l (u / v) 2 и т.н. Оказва се, че настигането на костенурката означава намиране на сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия с първата член l и знаменател u / v. Тази сума - отсечката, която Ахил в крайна сметка ще измине до точката на среща с костенурката - е равна на l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . Но, отново, как трябва да се тълкува този резултат и защо изобщо има смисъл, дълго време не беше много ясно.

Ориз. 3. Геометрична прогресия с коефициент 2/3

Сумата от геометрична прогресия е използвана от Архимед при определяне на площта на сегмент от парабола. Нека дадената отсечка от параболата е ограничена от хордата AB и нека допирателната в точка D на параболата е успоредна на AB. Нека C е средата на AB, E е средата на AC, F е средата на CB. Начертайте прави, успоредни на DC през точки A, E, F, B; нека допирателната, начертана в точка D, тези прави се пресичат в точки K, L, M, N. Нека начертаем и сегменти AD и DB. Нека правата EL пресича правата AD в точка G, а параболата в точка H; правата FM пресича правата DB в точка Q и параболата в точка R. Според общата теория на коничните сечения DC е диаметърът на парабола (т.е. сегмент, успореден на нейната ос); тя и допирателната в точка D могат да служат като координатни оси x и y, в които уравнението на параболата е написано като y 2 \u003d 2px (x е разстоянието от D до всяка точка с даден диаметър, y е дължината на a сегмент, успореден на дадена допирателна от тази точка на диаметъра до някаква точка на самата парабола).

По силата на уравнението на параболата DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA и тъй като DK = 2DL , тогава KA = 4LH . Тъй като KA = 2LG, LH = HG. Площта на сегмента ADB на параболата е равна на площта на триъгълника ΔADB и площите на сегментите AHD и DRB, взети заедно. От своя страна, площта на сегмента AHD е аналогично равна на площта на триъгълника AHD и останалите сегменти AH и HD, с всеки от които може да се извърши същата операция - разделяне на триъгълник (Δ) и двата останали сегмента () и т.н.:

Площта на триъгълника ΔAHD е равна на половината от площта на триъгълника ΔALD (те имат обща основа AD, а височините се различават 2 пъти), което от своя страна е равно на половината от площта на ​​триъгълника ΔAKD и следователно половината от площта на триъгълника ΔACD. Така площта на триъгълника ΔAHD е равна на една четвърт от площта на триъгълника ΔACD. По същия начин площта на триъгълника ΔDRB е равна на една четвърт от площта на триъгълника ΔDFB. И така, площите на триъгълниците ∆AHD и ∆DRB, взети заедно, са равни на една четвърт от площта на триъгълника ∆ADB. Повтарянето на тази операция, приложена към отсечките AH, HD, DR и RB, също ще избере триъгълници от тях, чиято площ, взета заедно, ще бъде 4 пъти по-малка от площта на триъгълниците ΔAHD и ΔDRB, взети заедно и следователно 16 пъти по-малко от площта на триъгълника ΔADB. И така нататък:

Така Архимед доказва, че „всеки сегмент, ограден между права линия и парабола, е четири трети от триъгълник, който има еднаква основа и еднаква височина с нея“.

>>Математика: Геометрична прогресия

За удобство на читателя този раздел следва абсолютно същия план, както следвахме в предишния раздел.

1. Основни понятия.

Определение.Числова редица, всички членове на която са различни от 0 и всеки член на която, започвайки от втория, се получава от предишния член чрез умножаването му по същото число, се нарича геометрична прогресия. В този случай числото 5 се нарича знаменател на геометрична прогресия.

По този начин, геометрична прогресия е числова последователност (b n), дадена рекурсивно от отношенията

Възможно ли е чрез разглеждане на числова редица да се определи дали тя е геометрична прогресия? Мога. Ако сте убедени, че съотношението на който и да е член на редицата към предишния член е постоянно, тогава имате геометрична прогресия.
Пример 1

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Пример 2

Това е геометрична прогресия, която
Пример 3

Това е геометрична прогресия, която
Пример 4

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Това е геометрична прогресия, където b 1 - 8, q = 1.

Обърнете внимание, че тази редица също е аритметична прогресия (вижте Пример 3 от § 15).

Пример 5

2,-2,2,-2,2,-2.....

Това е геометрична прогресия, в която b 1 \u003d 2, q \u003d -1.

Очевидно геометричната прогресия е нарастваща последователност, ако b 1 > 0, q > 1 (вижте пример 1), и намаляваща последователност, ако b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

За да се покаже, че последователността (b n) е геометрична прогресия, понякога е удобно следното обозначение:

Иконата замества фразата "геометрична прогресия".
Отбелязваме едно любопитно и в същото време доста очевидно свойство на геометричната прогресия:
Ако последователността е геометрична прогресия, тогава последователността от квадрати, т.е. е геометрична прогресия.
Във втората геометрична прогресия първият член е равен на a равно на q 2.
Ако изхвърлим всички членове след b n експоненциално, тогава получаваме крайна геометрична прогресия
В следващите параграфи на този раздел ще разгледаме най-важните свойства на геометричната прогресия.

2. Формула на n-тия член на геометрична прогресия.

Помислете за геометрична прогресия знаменател q. Ние имаме:

Не е трудно да се досетите, че за всяко число n равенството

Това е формулата за n-тия член на геометрична прогресия.

Коментирайте.

Ако сте прочели важната забележка от предишния абзац и сте я разбрали, опитайте се да докажете формула (1) чрез математическа индукция, точно както беше направено за формулата на n-тия член на аритметична прогресия.

Нека пренапишем формулата на n-тия член на геометричната прогресия

и въвеждаме нотацията: Получаваме y \u003d mq 2, или по-подробно,
Аргументът x се съдържа в експонентата, така че такава функция се нарича експоненциална функция. Това означава, че една геометрична прогресия може да се разглежда като експоненциална функция, дадена в множеството N от естествени числа. На фиг. 96а показва графика на функцията от фиг. 966 - функционална графика И в двата случая имаме изолирани точки (с абсцисите x = 1, x = 2, x = 3 и т.н.), лежащи на някаква крива (и двете фигури показват една и съща крива, само различно разположена и изобразена в различни мащаби). Тази крива се нарича експонента. Повече за показателната функция и нейната графика ще разгледаме в курса по алгебра за 11. клас.

Да се ​​върнем към примери 1-5 от предишния параграф.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Това е геометрична прогресия, в която b 1 \u003d 1, q \u003d 3. Нека направим формула за n-тия член
2) Това е геометрична прогресия, в която нека формулираме n-тия член

Това е геометрична прогресия, която Съставете формулата за n-тия член
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Това е геометрична прогресия, в която b 1 \u003d 8, q \u003d 1. Нека направим формула за n-тия член
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Това е геометрична прогресия, в която b 1 = 2, q = -1. Съставете формулата за n-тия член

Пример 6

Като се има предвид геометрична прогресия

Във всички случаи решението се основава на формулата на n-тия член на геометрична прогресия

а) Поставяйки n = 6 във формулата на n-тия член на геометричната прогресия, получаваме

б) Имаме

Тъй като 512 \u003d 2 9, получаваме n - 1 \u003d 9, n \u003d 10.

г) Имаме

Пример 7

Разликата между седмия и петия член на геометричната прогресия е 48, сборът на петия и шестия член на прогресията също е 48. Намерете дванадесетия член на тази прогресия.

Първи етап.Изготвяне на математически модел.

Условията на задачата могат да бъдат накратко записани по следния начин:

Използвайки формулата на n-тия член на геометрична прогресия, получаваме:
Тогава второто условие на проблема (b 7 - b 5 = 48) може да бъде записано като

Третото условие на задачата (b 5 +b 6 = 48) може да бъде записано като

В резултат на това получаваме система от две уравнения с две променливи b 1 и q:

което, в комбинация с условие 1), написано по-горе, е математическият модел на проблема.

Втора фаза.

Работа с компилирания модел. Приравнявайки левите части на двете уравнения на системата, получаваме:

(разделихме двете страни на уравнението в израза b 1 q 4 , който е различен от нула).

От уравнението q 2 - q - 2 = 0 намираме q 1 = 2, q 2 = -1. Замествайки стойността q = 2 във второто уравнение на системата, получаваме
Замествайки стойността q = -1 във второто уравнение на системата, получаваме b 1 1 0 = 48; това уравнение няма решения.

И така, b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - тази двойка е решението на компилираната система от уравнения.

Сега можем да запишем въпросната геометрична прогресия: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Трети етап.

Отговорът на проблемния въпрос. Необходимо е да се изчисли b 12 . Ние имаме

Отговор: b 12 = 2048.

3. Формулата за сумата на членовете на крайна геометрична прогресия.

Нека има крайна геометрична прогресия

Означаваме със S n сумата от неговите членове, т.е.

Нека изведем формула за намиране на тази сума.

Да започнем с най-простия случай, когато q = 1. Тогава геометричната прогресия b 1 ,b 2 , b 3 ,..., bn се състои от n числа, равни на b 1 , т.е. прогресията е b 1 , b 2 , b 3 , ..., b 4 . Сумата от тези числа е nb 1 .

Нека сега q = 1 За да намерим S n използваме изкуствен метод: нека извършим някои трансформации на израза S n q. Ние имаме:

Извършвайки трансформации, ние, първо, използвахме дефиницията на геометрична прогресия, според която (виж третия ред на разсъждение); второ, те добавиха и извадиха защо значението на израза, разбира се, не се промени (вижте четвъртия ред на разсъждение); трето, използвахме формулата на n-тия член на геометрична прогресия:

От формула (1) намираме:

Това е формулата за сумата от n члена на геометрична прогресия (за случая, когато q = 1).

Пример 8

Дадена е крайна геометрична прогресия

а) сумата от членовете на прогресията; б) сумата от квадратите на неговите членове.

б) По-горе (виж стр. 132) вече отбелязахме, че ако всички членове на една геометрична прогресия се повдигнат на квадрат, тогава ще се получи геометрична прогресия с първи член b 2 и знаменател q 2. След това сумата от шестте члена на новата прогресия ще бъде изчислена от

Пример 9

Намерете 8-ия член на геометрична прогресия, за който

Всъщност ние доказахме следната теорема.

Числовата последователност е геометрична прогресия тогава и само ако квадратът на всеки от нейните членове, с изключение на първия (и последния, в случай на крайна последователност), е равен на произведението на предишния и следващите членове (характерно свойство на геометрична прогресия).

Разгледайте сега въпроса за сумирането на безкрайна геометрична прогресия. Нека наречем частичната сума на дадена безкрайна прогресия сумата от нейните първи членове. Частичната сума се означава със символа

За всяка безкрайна прогресия

може да се състави (също безкрайна) поредица от неговите частични суми

Нека редица с неограничено нарастване има граница

В този случай числото S, т.е. границата на частичните суми на прогресията, се нарича сума на безкрайна прогресия. Ще докажем, че една безкрайна намаляваща геометрична прогресия винаги има сума и ще изведем формула за тази сума (можем също така да покажем, че за една безкрайна прогресия няма сума, не съществува).

Записваме израза за частичната сума като сумата от членовете на прогресията съгласно формула (91.1) и разглеждаме границата на частичната сума при

От теоремата на т. 89 е известно, че за намаляваща прогресия ; следователно, прилагайки теоремата за границата на разликата, намираме

(тук също се използва правилото: постоянният фактор се изважда от знака на границата). Съществуването е доказано и в същото време е получена формулата за сумата на безкрайно намаляваща геометрична прогресия:

Равенството (92.1) може също да бъде записано като

Тук може да изглежда парадоксално, че добре дефинирана крайна стойност се приписва на сумата от безкраен набор от членове.

Може да се даде ясна илюстрация, за да се обясни тази ситуация. Да разгледаме квадрат със страна равна на едно (фиг. 72). Нека разделим този квадрат с хоризонтална линия на две равни части и приложим горната към долната, така че да се получи правоъгълник със страни 2 и . След това отново разделяме дясната половина на този правоъгълник наполовина с хоризонтална линия и прикрепяме горната част към долната (както е показано на фиг. 72). Продължавайки този процес, ние непрекъснато трансформираме оригиналния квадрат с площ, равна на 1, във фигури с еднакъв размер (под формата на стълбище с изтънени стъпала).

С безкрайно продължаване на този процес, цялата площ на квадрата се разлага на безкраен брой членове - площите на правоъгълници с основи равни на 1 и височини. Площите на правоъгълниците просто образуват безкрайна намаляваща прогресия, неговата сума

т.е., както се очаква, е равна на площта на квадрата.

Пример. Намерете сумите на следните безкрайни прогресии:

Решение, а) Отбелязваме, че тази прогресия. Следователно по формулата (92.2) намираме

б) Тук това означава, че по същата формула (92.2) имаме

c) Откриваме, че тази прогресия Следователно тази прогресия няма сбор.

В раздел 5 беше показано приложението на формулата за сумата от членовете на безкрайно намаляваща прогресия към преобразуването на периодична десетична дроб в обикновена дроб.

Упражнения

1. Сборът на безкрайно намаляваща геометрична прогресия е 3/5, а сборът на първите четири члена е 13/27. Намерете първия член и знаменателя на прогресията.

2. Намерете четири числа, които образуват променлива геометрична прогресия, в която вторият член е по-малък от първия с 35, а третият е по-голям от четвъртия с 560.

3. Покажете какво, ако последователност

образува безкрайно намаляваща геометрична прогресия, след това последователността

за всяка форма безкрайно намаляваща геометрична прогресия. Важи ли това твърдение за

Изведете формула за произведението на членовете на геометрична прогресия.

Математиката е каквохората контролират природата и себе си.

Съветският математик, академик А.Н. Колмогоров

Геометрична прогресия.

Наред със задачите за аритметични прогресии, в приемните тестове по математика се срещат и задачи, свързани с понятието геометрична прогресия. За да разрешите успешно такива задачи, трябва да знаете свойствата на геометричната прогресия и да имате добри умения да ги използвате.

Тази статия е посветена на представянето на основните свойства на геометричната прогресия. Той също така предоставя примери за решаване на типични проблеми, заимствани от задачите на приемните тестове по математика.

Нека предварително да отбележим основните свойства на геометричната прогресия и да си припомним най-важните формули и твърдения, свързани с това понятие.

Определение.Числовата редица се нарича геометрична прогресия, ако всяко нейно число, започвайки от второто, е равно на предишното, умножено по същото число. Числото се нарича знаменател на геометрична прогресия.

За геометрична прогресияформулите са валидни

, (1)

където . Формула (1) се нарича формула на общия член на геометрична прогресия, а формула (2) е основното свойство на геометрична прогресия: всеки член на прогресията съвпада със средното геометрично на съседните й членове и .

Забележка, че именно поради това свойство въпросната прогресия се нарича „геометрична“.

Формули (1) и (2) по-горе са обобщени, както следва:

, (3)

За изчисляване на суматапърви членове на геометрична прогресияважи формулата

Ако обозначим

където . Тъй като , формула (6) е обобщение на формула (5).

В случай, когато и геометрична прогресиябезкрайно намалява. За изчисляване на суматана всички членове на безкрайно намаляваща геометрична прогресия се използва формулата

. (7)

Например , използвайки формула (7), може да се покаже, Какво

където . Тези равенства се получават от формула (7) при условие, че , (първото равенство) и , (второто равенство).

Теорема.Ако , тогава

Доказателство. Ако, тогава,

Теоремата е доказана.

Нека да преминем към разглеждане на примери за решаване на задачи по темата "Геометрична прогресия".

Пример 1Дадено е: , и . Намирам .

Решение.Ако се приложи формула (5), тогава

Отговор: .

Пример 2Нека и . Намирам .

Решение.Тъй като и , използваме формули (5), (6) и получаваме системата от уравнения

Ако второто уравнение на системата (9) се раздели на първото, тогава или . От това следва . Нека разгледаме два случая.

1. Ако , тогава от първото уравнение на системата (9) имаме.

2. Ако , то .

Пример 3Нека и . Намирам .

Решение.От формула (2) следва, че или . Тъй като , тогава или .

По условие. Въпреки това, следователно. защото и, тогава тук имаме система от уравнения

Ако второто уравнение на системата се раздели на първото, тогава или .

Тъй като , уравнението има единствен подходящ корен . В този случай първото уравнение на системата предполага .

Като вземем предвид формула (7), получаваме.

Отговор: .

Пример 4Дадено: и . Намирам .

Решение.От тогава .

Защото тогава или

Съгласно формула (2) имаме . В тази връзка от равенството (10) получаваме или .

Въпреки това, по условие, следователно.

Пример 5Известно е, че. Намирам .

Решение. Според теоремата имаме две равенства

Тъй като , тогава или . Защото тогава.

Отговор: .

Пример 6Дадено: и . Намирам .

Решение.Като вземем предвид формула (5), получаваме

От тогава . Тъй като , и , тогава .

Пример 7Нека и . Намирам .

Решение.Според формула (1) можем да запишем

Следователно имаме или . Известно е, че и , следователно и .

Отговор: .

Пример 8Намерете знаменателя на безкрайна намаляваща геометрична прогресия, ако

и .

Решение. От формула (7) следваи . От тук и от условието на задачата получаваме системата от уравнения

Ако първото уравнение на системата е повдигнато на квадрат, и след това разделете полученото уравнение на второто уравнение, тогава получаваме

Или .

Отговор: .

Пример 9Намерете всички стойности, за които последователността , , е геометрична прогресия.

Решение.Нека и . Съгласно формула (2), която определя основното свойство на геометрична прогресия, можем да напишем или .

От тук получаваме квадратното уравнение, чиито корени саи .

Да проверим: дали, след това и ; ако , тогава и .

В първия случай имамеи , а във втория - и .

Отговор: , .

Пример 10реши уравнението

, (11)

където и .

Решение. Лявата страна на уравнение (11) е сумата от безкрайна намаляваща геометрична прогресия, в която и , при условие: и .

От формула (7) следва, Какво . В тази връзка уравнение (11) приема форматаили . подходящ корен квадратното уравнение е

Отговор: .

Пример 11.П последователност от положителни числаобразува аритметична прогресия, а - геометрична прогресия, какво общо има с . Намирам .

Решение.защото аритметична редица, тогава (основното свойство на аритметичната прогресия). Тъй като, тогава или . Това предполага , че геометричната прогресия е. По формула (2), тогава пишем, че .

Тъй като и , тогава . В такъв случай изразътприема формата или . По условие, така че от уравнениетополучаваме уникалното решение на разглеждания проблем, т.е. .

Отговор: .

Пример 12.Изчислете сумата

. (12)

Решение. Умножете двете страни на равенството (12) по 5 и получете

Ако извадим (12) от получения израз, тогава

или .

За да изчислим, заместваме стойностите във формула (7) и получаваме. От тогава .

Отговор: .

Дадените тук примери за решаване на задачи ще бъдат полезни на кандидатите при подготовката им за приемни изпити. За по-задълбочено изучаване на методите за решаване на проблеми, свързани с геометрична прогресия, можете да използвате уроците от списъка с препоръчителна литература.

1. Сборник от задачи по математика за кандидати в технически университети / Изд. M.I. Сканави. – М.: Мир и Образование, 2013. – 608 с.

2. Супрун В.П. Математика за гимназисти: допълнителни раздели от училищната програма. – М.: Lenand / URSS, 2014. - 216 с.

3. Медински М.М. Пълен курс по начална математика в задачи и упражнения. Книга 2: Числови последователности и прогресии. – М.: Едитус, 2015. - 208 с.

Имате ли някакви въпроси?

За да получите помощта на преподавател - регистрирайте се.

сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.