Как да намерим делителя на геометрична прогресия. Концепцията за геометрична прогресия

Геометрична прогресия, заедно с аритметиката, е важен числени сериикойто се изучава в училищен курсалгебра в 9 клас. В тази статия ще разгледаме знаменателя на геометрична прогресия и как стойността му влияе върху свойствата му.

Дефиниция на геометричната прогресия

Първо, нека дефинираме това числова серия. Геометричната прогресия е редица рационални числа, което се формира чрез последователно умножаване на първия му елемент по постоянно число, което се нарича знаменател.

Например числата в редицата 3, 6, 12, 24, ... са геометрична прогресия, защото ако умножим 3 (първия елемент) по 2, получаваме 6. Ако умножим 6 по 2, получаваме 12 и така нататък.

Членовете на разглежданата редица обикновено се означават със символа ai, където i е цяло число, указващо номера на елемента в серията.

Горната дефиниция на прогресия може да бъде написана на езика на математиката, както следва: an = bn-1 * a1, където b е знаменателят. Лесно е да проверите тази формула: ако n = 1, тогава b1-1 = 1 и получаваме a1 = a1. Ако n = 2, тогава an = b * a1 и отново стигаме до дефиницията на разглежданата серия от числа. Подобни разсъждения могат да бъдат продължени за големи стойностин.

Знаменателят на геометрична прогресия

Числото b напълно определя какъв характер ще има цялата редица от числа. Знаменателят b може да бъде положителен, отрицателен или по-голям или по-малък от едно. Всички горепосочени опции водят до различни последователности:

• b > 1. Има нарастваща серия от рационални числа. Например 1, 2, 4, 8, ... Ако елементът a1 е отрицателен, тогава цялата последователност ще се увеличи само по модул, но ще се намали, като се вземе предвид знакът на числата.
• b = 1. Често такъв случай не се нарича прогресия, тъй като има обикновена поредица от еднакви рационални числа. Например -4, -4, -4.

Формула за сбор

Преди да пристъпите към разглеждане на конкретни проблеми, като използвате знаменателя на разглеждания тип прогресия, трябва да донесете важна формулаза сумата от първите n елемента. Формулата е: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Можете сами да получите този израз, ако разгледате рекурсивна последователност от членове на прогресията. Също така имайте предвид, че в горната формула е достатъчно да знаете само първия елемент и знаменателя, за да намерите сумата на произволен брой членове.

Безкрайно намаляваща последователност

По-горе имаше обяснение какво представлява. Сега, знаейки формулата за Sn, нека я приложим към тази редица от числа. Тъй като всяко число, чийто модул не надвишава 1, когато е повишено до страхотни степениклони към нула, т.е. b∞ => 0, ако е -1

Тъй като разликата (1 - b) винаги ще бъде положителна, независимо от стойността на знаменателя, знакът на сумата на безкрайно намаляваща геометрична прогресия S∞ се определя еднозначно от знака на нейния първи елемент a1.

Сега ще разгледаме няколко задачи, където ще покажем как да приложим придобитите знания към конкретни числа.

Задача номер 1. Изчисляване на неизвестни елементи на прогресията и сумата

Дадена е геометрична прогресия, знаменателят на прогресията е 2, а нейният първи елемент е 3. Какви ще бъдат нейните 7-ми и 10-ти членове и каква е сумата от седемте й начални елемента?

Условието на задачата е съвсем просто и включва директното използване на горните формули. И така, за да изчислим елемента с номер n, използваме израза an = bn-1 * a1. За 7-ия елемент имаме: a7 = b6 * a1, замествайки известните данни, получаваме: a7 = 26 * 3 = 192. Правим същото за 10-ия член: a10 = 29 * 3 = 1536.

Използваме добре познатата формула за сумата и определяме тази стойност за първите 7 елемента от редицата. Имаме: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Задача номер 2. Определяне на сумата от произволни елементи на прогресията

Нека -2 е знаменателят на експоненциалната прогресия bn-1 * 4, където n е цяло число. Необходимо е да се определи сумата от 5-ти до 10-ти елемент от тази серия включително.

Въпросният проблем не може да бъде разрешен директно с помощта на известни формули. Можете да го решите с 2 различни методи. За пълнота представяме и двете.

Метод 1. Идеята му е проста: трябва да изчислите двете съответстващи суми на първите членове и след това да извадите другата от една. Изчислете по-малката сума: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Сега изчисляваме голямата сума: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Обърнете внимание, че в последния израз бяха сумирани само 4 члена, тъй като 5-ият вече е включен в сумата, която трябва да се изчисли според условието на проблема. Накрая вземаме разликата: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Метод 2. Преди да заместите числата и да броите, можете да получите формула за сумата между членовете m и n на въпросната серия. Действаме по абсолютно същия начин както в метод 1, само че първо работим със символното представяне на сумата. Имаме: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . В получения израз можете да замените известни числаи изчислете крайния резултат: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Задача номер 3. Какъв е знаменателят?

Нека a1 = 2, намерете знаменателя на геометричната прогресия, при условие че нейният безкраен сбор е 3, а е известно, че това е намаляваща редица от числа.

Според условието на задачата не е трудно да се познае коя формула трябва да се използва за нейното решаване. Разбира се, за сумата от безкрайно намаляваща прогресия. Имаме: S∞ = a1 / (1 - b). Откъдето изразяваме знаменателя: b = 1 - a1 / S∞. Остава да се замени известни стойностии вземете необходимото число: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 или -0,333(3). Можем да проверим този резултат качествено, ако помним, че за този тип последователност модулът b не трябва да надхвърля 1. Както можете да видите, |-1 / 3|

Задача номер 4. Възстановяване на поредица от числа

Нека са дадени 2 елемента от числова серия, например 5-ият е равен на 30, а 10-ият е равен на 60. Необходимо е да се възстанови цялата серия от тези данни, като се знае, че тя отговаря на свойствата на геометрична прогресия.

За да разрешите задачата, първо трябва да запишете съответния израз за всеки известен член. Имаме: a5 = b4 * a1 и a10 = b9 * a1. Сега разделяме втория израз на първия, получаваме: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Оттук определяме знаменателя, като вземаме корен от пета степен от съотношението на членовете, известно от условието на проблема, b = 1,148698. Заместваме полученото число в един от изразите за известен елемент, получаваме: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Така открихме какъв е знаменателят на прогресията bn и геометричната прогресия bn-1 * 17.2304966 = an, където b = 1.148698.

Къде се използват геометричните прогресии?

Ако нямаше приложение на тази числова редица на практика, тогава нейното изучаване би се свело до чисто теоретичен интерес. Но има такова приложение.

3-те най-известни примера са изброени по-долу:

• Парадоксът на Зенон, в който пъргавият Ахил не може да настигне бавната костенурка, е разрешен с помощта на концепцията за безкрайно намаляваща редица от числа.
• Ако на всяка клетка на шахматната дъска се поставят пшенични зърна, така че 1 зърно да се постави на 1-ва клетка, 2 - на 2-ра, 3 - на 3-та и т.н., тогава ще са необходими 18446744073709551615 зърна, за да запълнят всички клетки на дъската!
• В играта "Кулата на Ханой", за да пренаредите дискове от една пръчка на друга, е необходимо да извършите 2n - 1 операции, тоест техният брой нараства експоненциално от броя на използваните дискове n.

Ако всяко естествено число н поставям в ред реално число a n , тогава те казват, че дадено числова последователност :

а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n , . . . .

И така, числовата последователност е функция на естествен аргумент.

Номер а 1 Наречен първия член на редицата , номер а 2 — вторият член на редицата , номер а 3 — трети и така нататък. Номер a n Наречен n-ти членпоследователности , а естествено число н — номера му .

От два съседни члена a n и a n +1 членни последователности a n +1 Наречен последващи (към a n ), а a n — предишен (към a n +1 ).

За да посочите последователност, трябва да посочите метод, който ви позволява да намерите член на последователност с произволен номер.

Често последователността се дава с n-ти член формули , тоест формула, която ви позволява да определите член на последователност по неговия номер.

Например,

последователността от положителни нечетни числа може да бъде дадена с формулата

a n= 2н- 1,

и последователността на редуване 1 и -1 - формула

bн = (-1)н +1 . ◄

Последователността може да се определи повтаряща се формула, това е формула, която изразява всеки член на последователността, започвайки с някои, през предходните (един или повече) членове.

Например,

ако а 1 = 1 , а a n +1 = a n + 5

а 1 = 1,

а 2 = а 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

а 3 = а 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

а 4 = а 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

а 5 = а 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ако а 1= 1, а 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , след това първите седем члена числова последователностзадайте както следва:

а 1 = 1,

а 2 = 1,

а 3 = а 1 + а 2 = 1 + 1 = 2,

а 4 = а 2 + а 3 = 1 + 2 = 3,

а 5 = а 3 + а 4 = 2 + 3 = 5,

а 6 = а 4 + а 5 = 3 + 5 = 8,

а 7 = а 5 + а 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Последователностите могат да бъдат финал и безкраен .

Последователността се нарича крайна ако има крайно числочленове. Последователността се нарича безкраен ако има безкрайно много членове.

Например,

поредица от двуцифрени естествени числа:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

финал.

Поредица от прости числа:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

безкраен. ◄

Последователността се нарича повишаване на , ако всеки от неговите членове, започвайки от втория, е по-голям от предходния.

Последователността се нарича намаляващ , ако всеки от неговите членове, започвайки от втория, е по-малък от предходния.

Например,

2, 4, 6, 8, . . . , 2н, . . . е възходяща последователност;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /н, . . . е низходяща последователност. ◄

Нарича се последователност, чиито елементи не намаляват с увеличаване на броя или, обратно, не се увеличават монотонна последователност .

Монотонните последователности, по-специално, са нарастващи последователности и намаляващи последователности.

Аритметична прогресия

Аритметична прогресия извиква се редица, всеки член на която, започвайки от втория, е равен на предходния, към който се добавя същото число.

а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n, . . .

е аритметична прогресия, ако за всяко естествено число н условието е изпълнено:

a n +1 = a n + д,

където д - някакво число.

По този начин разликата между следващите и предходните членове на дадена аритметична прогресия е винаги постоянна:

а 2 - а 1 = а 3 - а 2 = . . . = a n +1 - a n = д.

Номер д Наречен разликата на аритметична прогресия.

За да зададете аритметична прогресия, достатъчно е да посочите нейния първи член и разлика.

Например,

ако а 1 = 3, д = 4 , тогава първите пет члена на редицата се намират, както следва:

а 1 =3,

а 2 = а 1 + д = 3 + 4 = 7,

а 3 = а 2 + д= 7 + 4 = 11,

а 4 = а 3 + д= 11 + 4 = 15,

а 5 = а 4 + д= 15 + 4 = 19. ◄

За аритметична прогресия с първия член а 1 и разлика д нея н

a n = а 1 + (н- 1)д.

Например,

намерете тридесетия член на аритметичната прогресия

1, 4, 7, 10, . . .

а 1 =1, д = 3,

а 30 = а 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = а 1 + (н- 2)д,

a n= а 1 + (н- 1)д,

a n +1 = а 1 + nd,

тогава очевидно

a n=	a n-1 + a n+1
	2

всеки член на аритметичната прогресия, започвайки от втория, е равен на средноаритметичното на предходния и следващите членове.

числата a, b и c са последователни членове на някаква аритметична прогресия тогава и само ако едно от тях е равно на средното аритметично на другите две.

Например,

a n = 2н- 7 , е аритметична прогресия.

Нека използваме твърдението по-горе. Ние имаме:

a n = 2н- 7,

n-1 = 2(н- 1) - 7 = 2н- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2н- 5.

Следователно,

a n+1 + a n-1	=	2н- 5 + 2н- 9	= 2н- 7 = a n,
2		2

◄

Забележи, че н -тият член на аритметичната прогресия може да бъде намерен не само чрез а 1 , но и всички предишни a k

a n = a k + (н- к)д.

Например,

за а 5 може да се напише

а 5 = а 1 + 4д,

а 5 = а 2 + 3д,

а 5 = а 3 + 2д,

а 5 = а 4 + д. ◄

a n = един н-к + kd,

a n = a n+k - kd,

тогава очевидно

a n=	а н-к +a n+k
	2

всеки член на аритметична прогресия, започвайки от втория, е равен на половината от сбора на членовете на тази аритметична прогресия, разположени на еднакво разстояние от нея.

В допълнение, за всяка аритметична прогресия е вярно равенството:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Например,

в аритметична прогресия

1) а 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (а 9 + а 11 )/2;

2) 28 = а 10 = а 3 + 7д= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) а 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, защото

а 2 + а 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

първи н членове на аритметична прогресия е равно на произведението на половината от сумата на екстремните членове по броя на членовете:

От това по-специално следва, че ако е необходимо да се сумират условията

a k, a k +1 , . . . , a n,

тогава предишната формула запазва своята структура:

Например,

в аритметична прогресия 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

С 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = С 10 - С 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ако се даде аритметична прогресия, след това количествата а 1 , a n, д, ниС н свързани с две формули:

Следователно, ако триот тези количества са дадени, тогава съответните стойности на другите две количества се определят от тези формули, комбинирани в система от две уравнения с две неизвестни.

Аритметичната прогресия е монотонна последователност. при което:

• ако д > 0 , след това се увеличава;
• ако д < 0 , тогава намалява;
• ако д = 0 , тогава последователността ще бъде неподвижна.

Геометрична прогресия

геометрична прогресия се нарича редица, всеки член от която, започвайки от втория, е равен на предходния, умножен по същото число.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

е геометрична прогресия, ако за всяко естествено число н условието е изпълнено:

b n +1 = b n · р,

където р ≠ 0 - някакво число.

По този начин съотношението на следващия член на тази геометрична прогресия към предишния е постоянно число:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = р.

Номер р Наречен знаменател на геометрична прогресия.

За да зададете геометрична прогресия, достатъчно е да посочите нейния първи член и знаменател.

Например,

ако b 1 = 1, р = -3 , тогава първите пет члена на редицата се намират, както следва:

b 1 = 1,

б 2 = b 1 · р = 1 · (-3) = -3,

б 3 = б 2 · р= -3 · (-3) = 9,

b 4 = б 3 · р= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · р= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 и знаменател р нея н -ти член може да се намери по формулата:

b n = b 1 · q n -1 .

Например,

намерете седмия член на геометрична прогресия 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, р = 2,

b 7 = b 1 · р 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

тогава очевидно

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

всеки член на геометричната прогресия, започвайки от втория, е равен на средното геометрично (пропорционално) на предходния и следващите членове.

Тъй като обратното също е вярно, важи следното твърдение:

числата a, b и c са последователни членове на някаква геометрична прогресия тогава и само ако квадратът на едно от тях е равно на произведениетодругите две, тоест едно от числата е средно геометрично на другите две.

Например,

нека докажем, че последователността, дадена от формулата b n= -3 2 н , е геометрична прогресия. Нека използваме твърдението по-горе. Ние имаме:

b n= -3 2 н,

b n -1 = -3 2 н -1 ,

b n +1 = -3 2 н +1 .

Следователно,

b n 2 = (-3 2 н) 2 = (-3 2 н -1 ) (-3 2 н +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

което доказва търсеното твърдение. ◄

Забележи, че н членът на геометричната прогресия може да се намери не само чрез b 1 , но и всеки предишен мандат b k , за което е достатъчно да се използва формулата

b n = b k · q n - к.

Например,

за b 5 може да се напише

б 5 = b 1 · р 4 ,

б 5 = б 2 · р 3,

б 5 = б 3 · q2,

б 5 = b 4 · р. ◄

b n = b k · q n - к,

b n = b n - к · q k,

тогава очевидно

b n 2 = b n - к· b n + к

квадратът на всеки член на геометрична прогресия, започвайки от втория, е равен на произведението на членовете на тази прогресия, равноотдалечени от нея.

В допълнение, за всяка геометрична прогресия е вярно равенството:

b m· b n= b k· b l,

м+ н= к+ л.

Например,

експоненциално

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · р 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , защото

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

първи н членове на геометрична прогресия със знаменател р ≠ 0 изчислено по формулата:

И когато р = 1 - по формулата

S n= n.b. 1

Имайте предвид, че ако трябва да сумираме членовете

b k, b k +1 , . . . , b n,

тогава се използва формулата:

S n- ск -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - к +1	.
	1 - р

Например,

експоненциално 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

С 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = С 10 - С 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ако е дадена геометрична прогресия, тогава количествата b 1 , b n, р, ни S n свързани с две формули:

Следователно, ако са дадени стойностите на всеки три от тези количества, тогава съответните стойности на другите две количества се определят от тези формули, комбинирани в система от две уравнения с две неизвестни.

За геометрична прогресия с първия член b 1 и знаменател р се случва следното свойства на монотонност :

• прогресията се увеличава, ако е изпълнено едно от следните условия:

b 1 > 0 и р> 1;

b 1 < 0 и 0 < р< 1;

• Прогресията намалява, ако е изпълнено едно от следните условия:

b 1 > 0 и 0 < р< 1;

b 1 < 0 и р> 1.

Ако р< 0 , тогава геометричната прогресия е знакоредуваща: нейните нечетни членове имат същия знак като първия член, а четните имат противоположен знак. Ясно е, че променливата геометрична прогресия не е монотонна.

Продукт на първия н членовете на геометрична прогресия могат да се изчислят по формулата:

P n= b 1 · б 2 · б 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) н / 2 .

Например,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Безкрайно намаляваща геометрична прогресия

Безкрайно намаляваща геометрична прогресия се нарича безкрайна геометрична прогресия, чийто модул на знаменателя е по-малък от 1 , това е

|р| < 1 .

Имайте предвид, че една безкрайно намаляваща геометрична прогресия може да не е намаляваща последователност. Това отговаря на случая

1 < р< 0 .

С такъв знаменател последователността е знакоредуваща се. Например,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия назовете числото, на което е сумата от първото н условия на прогресията с неограничено увеличение на броя н . Това число винаги е крайно и се изразява с формулата

С= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - р

Например,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Връзка между аритметична и геометрична прогресии

Аритметичната и геометричната прогресия са тясно свързани. Нека разгледаме само два примера.

а 1 , а 2 , а 3 , . . . д , тогава

б а 1 , б а 2 , б а 3 , . . . b d .

Например,

1, 3, 5, . . . — аритметична прогресия с разлика 2 и

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . е геометрична прогресия със знаменател 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . е геометрична прогресия със знаменател р , тогава

дневник a b 1, дневник a b 2, дневник a b 3, . . . — аритметична прогресия с разлика дневник ар .

Например,

2, 12, 72, . . . е геометрична прогресия със знаменател 6 и

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — аритметична прогресия с разлика lg 6 . ◄

Инструкция

10, 30, 90, 270...

Необходимо е да се намери знаменателят на геометрична прогресия.
Решение:

1 вариант. Нека вземем произволен член на прогресията (например 90) и го разделим на предишния (30): 90/30=3.

Ако е известна сумата от няколко члена на геометрична прогресия или сумата от всички членове на намаляваща геометрична прогресия, тогава за да намерите знаменателя на прогресията, използвайте подходящите формули:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), където Sn е сумата от първите n члена на геометричната прогресия и
S = b1/(1-q), където S е сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия (сумата от всички членове на прогресията със знаменател по-малък от единица).
Пример.

Първи член на намаляваща геометрична прогресия равно на едно, а сборът от всички негови членове е равен на две.

Необходимо е да се определи знаменателят на тази прогресия.
Решение:

Заместете данните от задачата във формулата. Вземете:
2=1/(1-q), откъдето – q=1/2.

Прогресията е поредица от числа. В геометричната прогресия всеки следващ член се получава чрез умножаване на предишния по определено число q, наречено знаменател на прогресията.

Инструкция

Ако са известни два съседни члена на геометрията b(n+1) и b(n), за да се получи знаменателят, е необходимо числото с голямо число да се раздели на предходното: q=b(n +1)/b(n). Това следва от дефиницията на прогресията и нейния знаменател. Важно условиее неравенството нула на първия член и знаменател на прогресията, в противен случай се счита за неопределено.

Така се установяват следните отношения между членовете на прогресията: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. По формулата b(n)=b1 q^(n-1) може да се изчисли всеки член на геометрична прогресия, в която знаменателят q и членът b1 са известни. Също така, всяка от прогресията по модул е ​​равна на средната стойност на нейните съседни членове: |b(n)|=√, следователно прогресията получава своето .

Аналогът на геометричната прогресия е най-простият експоненциална функция y=a^x, където x е в степента, a е някакво число. В този случай знаменателят на прогресията е същият като първия член и е равно на числотоа. Стойността на функцията y може да се разбира като n-ти членпрогресии, ако аргументът x се приеме като естествено число n (брояч).

Съществува за сумата от първите n членове на геометрична прогресия: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Тази формулавалиден за q≠1. Ако q=1, тогава сумата от първите n члена се изчислява по формулата S(n)=n b1. Между другото, прогресията ще се нарича нарастваща за q по-голямо от едно и положително b1. Когато знаменателят на прогресията, по модул не надвишава единица, прогресията ще се нарича намаляваща.

специален случайгеометрична прогресия - безкрайно намаляваща геометрична прогресия (b.u.g.p.). Факт е, че членовете на една намаляваща геометрична прогресия ще намаляват отново и отново, но никога няма да достигнат нула. Въпреки това е възможно да се намери сумата от всички членове на такава прогресия. Определя се по формулата S=b1/(1-q). Обща сума n членове са безкрайни.

За да си представите как можете да добавите безкраен брой числа и да не получите безкрайност, изпечете торта. Отрежете половината. След това отрежете 1/2 от половината и т.н. Частите, които ще получите, не са нищо повече от членове на безкрайно намаляваща геометрична прогресия със знаменател 1/2. Ако съберете всички тези парчета заедно, ще получите оригиналната торта.

Проблемите с геометрията са специален сортупражнения, които изискват пространствено мислене. Ако не можете да решите геометричния задачаопитайте се да следвате правилата по-долу.

Инструкция

Прочетете условието на проблема много внимателно, ако не си спомняте или не разбирате нещо, прочетете го отново.

Опитайте се да разберете какъв вид геометрични задачитова е например: изчислителни, когато трябва да откриете някаква стойност, задачи, които изискват логическа верига от разсъждения, задачи за изграждане с помощта на пергел и линийка. Още задачи смесен тип. След като разберете вида на проблема, опитайте се да мислите логично.

Приложете необходимата теорема за този проблем, ако има съмнения или изобщо няма опции, опитайте се да си спомните теорията, която сте изучавали по съответната тема.

Направете и чернова на проблема. Опитайте да приложите известни начинипроверка на правилността на вашето решение.

Завършете решението на проблема спретнато в тетрадка, без петна и зачертания и най-важното - Може би ще отнеме време и усилия за решаване на първите геометрични проблеми. Въпреки това, след като овладеете този процес, ще започнете да кликвате върху задачи като ядки и да се забавлявате, докато го правите!

Геометричната прогресия е поредица от числа b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n), така че b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. С други думи, всеки член на прогресията се получава от предишния чрез умножаването му по някакъв различен от нула знаменател на прогресията q.

Инструкция

Задачите върху прогресия най-често се решават чрез съставяне и следване на система по отношение на първия член на прогресията b1 и знаменателя на прогресията q. За да напишете уравнения, е полезно да запомните някои формули.

Как да изразим n-тия член на прогресията чрез първия член на прогресията и знаменателя на прогресията: b(n)=b1*q^(n-1).

Разгледайте отделно случая |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Нека разгледаме серия.

7 28 112 448 1792...

Абсолютно ясно е, че стойността на всеки от неговите елементи е точно четири пъти по-голяма от предишната. Така че тази серия е прогресия.

Геометричната прогресия е безкрайна последователност от числа, чиято основна характеристика е, че следващото число се получава от предишното чрез умножаване по определено число. Това се изразява със следната формула.

a z +1 =a z q, където z е номерът на избрания елемент.

Съответно z ∈ N.

Периодът, в който се изучава геометрична прогресия в училище, е 9 клас. Примерите ще ви помогнат да разберете концепцията:

0.25 0.125 0.0625...

Въз основа на тази формула знаменателят на прогресията може да се намери, както следва:

Нито q, нито b z могат да бъдат нула. Освен това всеки от елементите на прогресията не трябва да е равен на нула.

Съответно, за да разберете следващото число в серията, трябва да умножите последното по q.

За да посочите тази прогресия, трябва да посочите нейния първи елемент и знаменател. След това е възможно да се намери всеки от следващите членове и тяхната сума.

Разновидности

В зависимост от q и a 1 тази прогресия се разделя на няколко вида:

• Ако и 1, и q са по-големи от едно, тогава такава последователност е геометрична прогресия, нарастваща с всеки следващ елемент. Пример за такъв е представен по-долу.

Пример: a 1 =3, q=2 - и двата параметъра са по-големи от единица.

Тогава числовата последователност може да бъде записана така:

3 6 12 24 48 ...

• Ако |q| по-малко от едно, тоест умножението по него е еквивалентно на деление, тогава прогресия с подобни условия е намаляваща геометрична прогресия. Пример за такъв е представен по-долу.

Пример: a 1 =6, q=1/3 - a 1 е по-голямо от едно, q е по-малко.

Тогава числовата последователност може да бъде записана по следния начин:

6 2 2/3 ... - всеки елемент е 3 пъти по-голям от елемента след него.

• Знак-променлива. Ако q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Пример: a 1 = -3 , q = -2 - и двата параметъра са по-малки от нула.

Тогава последователността може да се напише така:

3, 6, -12, 24,...

Формули

За удобно използване на геометричните прогресии има много формули:

• Формула на z-тия член. Позволява ви да изчислите елемента под определено число, без да изчислявате предишните числа.

Пример:р = 3, а 1 = 4. Необходимо е да се изчисли четвъртият елемент от прогресията.

Решение:а 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Сумата от първите елементи, чийто номер е z. Позволява ви да изчислите сумата от всички елементи на последователност доa zвключително.

Тъй като (1-р) е в знаменателя, тогава (1 - q)≠ 0, следователно q не е равно на 1.

Забележка: ако q=1, тогава прогресията ще бъде поредица от безкрайно повтарящи се числа.

Сумата от геометрична прогресия, примери:а 1 = 2, р= -2. Изчислете S 5 .

Решение:С 5 = 22 - изчисление по формула.

• Сума, ако |р| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Пример:а 1 = 2 , р= 0,5. Намерете сумата.

Решение:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Някои свойства:

• характерно свойство. Ако е налице следното условие извършвани за всякаквиz, тогава дадената редица от числа е геометрична прогресия:

a z 2 = a z -1 · аz+1

• Също така, квадратът на което и да е число от геометрична прогресия се намира чрез добавяне на квадратите на други две числа в дадена серия, ако те са на еднакво разстояние от този елемент.

a z 2 = a z - T 2 + a z + T 2 , къдетоTе разстоянието между тези числа.

• Елементиразличават се по qведнъж.
• Логаритмите на елементите на прогресията също образуват прогресия, но вече аритметична, т.е. всеки от тях е по-голям от предишния с определено число.

Примери за някои класически задачи

За да разберете по-добре какво е геометрична прогресия, примерите с решение за 9 клас могат да помогнат.

• Условия:а 1 = 3, а 3 = 48. Намеретер.

Решение: всеки следващ елемент е по-голям от предишния вр веднъж.Необходимо е да изразите някои елементи чрез други, като използвате знаменател.

Следователно,а 3 = р 2 · а 1

При заместванер= 4

• Условия:а 2 = 6, а 3 = 12. Изчислете S 6 .

Решение:За да направите това, достатъчно е да намерите q, първия елемент и да го замените във формулата.

а 3 = р· а 2 , следователно,р= 2

a 2 = q а 1,Ето защо a 1 = 3

S 6 = 189

• · а 1 = 10, р= -2. Намерете четвъртия елемент от прогресията.

Решение: за да направите това, достатъчно е да изразите четвъртия елемент през първия и през знаменателя.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Пример за приложение:

• Клиентът на банката направи депозит в размер на 10 000 рубли, при условията на който всяка година клиентът добавя 6% от него към главницата. Колко пари ще има в сметката след 4 години?

Решение: Първоначалната сума е 10 хиляди рубли. Така една година след инвестицията в сметката ще има сума равна на 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10000 1,06

Съответно сумата в сметката след още една година ще бъде изразена, както следва:

(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000

Тоест всяка година сумата се увеличава с 1,06 пъти. Това означава, че за да се намери сумата на средствата по сметката след 4 години, е достатъчно да се намери четвъртият елемент от прогресията, който се дава от първия елемент, равен на 10 хиляди, и знаменателя, равен на 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Примерни задачи за пресмятане на сбора:

В различни задачи се използва геометрична прогресия. Пример за намиране на сумата може да бъде даден по следния начин:

а 1 = 4, р= 2, изчислиS5.

Решение: всички данни, необходими за изчислението, са известни, просто трябва да ги замените във формулата.

С 5 = 124

• а 2 = 6, а 3 = 18. Изчислете сбора на първите шест елемента.

Решение:

Geom. прогресия, всеки следващ елемент е q пъти по-голям от предходния, тоест, за да изчислите сумата, трябва да знаете елементаа 1 и знаменателр.

а 2 · р = а 3

р = 3

По същия начин трябва да намерима 1 , знаейкиа 2 ир.

а 1 · р = а 2

a 1 =2

С 6 = 728.

ЧИСЛОВИ ПОРЕДИЦИ VI

§ l48. Сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия

Досега, говорейки за суми, винаги сме приемали, че броят на членовете в тези суми е краен (например 2, 15, 1000 и т.н.). Но при решаването на някои задачи (особено висшата математика) трябва да се работи със сумите на безкраен брой членове

S= а 1 + а 2 + ... + а н + ... . (1)

Какви са тези суми? По дефиниция сумата от безкраен брой членове а 1 , а 2 , ..., а н , ... се нарича граница на сумата S н първи П числа, когато П -> ∞ :

S=S н = (а 1 + а 2 + ... + а н ). (2)

Ограничение (2), разбира се, може или не може да съществува. Съответно се казва, че сумата (1) съществува или не съществува.

Как да разберем дали сумата (1) съществува във всеки отделен случай? Общото решение на този въпрос далеч надхвърля обхвата на нашата програма. Има обаче един важен специален случай, който трябва да разгледаме сега. Ще говорим за сумирането на членовете на безкрайно намаляваща геометрична прогресия.

Позволявам а 1 , а 1 р , а 1 р 2 , ... е безкрайно намаляваща геометрична прогресия. Това означава, че | р |< 1. Сумма первых П членове на тази прогресия е равно на

От основните теореми за границите на променливите (виж § 136) получаваме:

Но 1 = 1, а q n = 0. Следователно

И така, сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия е равна на първия член на тази прогресия, делено на едно минус знаменателя на тази прогресия.

1) Сумата от геометричната прогресия 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... е

а сумата от геометрична прогресия е 12; -6; 3; - 3/2 , ... е равно

2) Проста периодична дроб 0,454545 ... се превръща в обикновена.

За да решим този проблем, представяме тази дроб като безкрайна сума:

Дясната страна на това равенство е сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия, чийто първи член е 45/100, а знаменателят е 1/100. Ето защо

По описания начин може да се получи и общото правило за преобразуване на прости периодични дроби в обикновени дроби (вижте глава II, § 38):

За да преобразувате проста периодична дроб в обикновена, трябва да постъпите по следния начин: поставете периода на десетичната дроб в числителя, а в знаменателя - число, състоящо се от деветки, взети толкова пъти, колкото има цифри в периода от десетичната дроб.

3) Смесена периодична дроб 0,58333 .... се превръща в обикновена дроб.

Нека представим тази дроб като безкрайна сума:

От дясната страна на това равенство всички членове, започващи от 3/1000, образуват безкрайно намаляваща геометрична прогресия, чийто първи член е 3/1000, а знаменателят е 1/10. Ето защо

По описания начин може да се получи и общото правило за преобразуване на смесени периодични дроби в обикновени дроби (виж глава II, § 38). Съзнателно не го включваме тук. Няма нужда да запомняте това тромаво правило. Много по-полезно е да се знае, че всяка смесена периодична дроб може да бъде представена като сбор от безкрайно намаляваща геометрична прогресия и някакво число. И формулата

за сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия, трябва, разбира се, да се помни.

Като упражнение ви каним, в допълнение към задачите № 995-1000 по-долу, да се обърнете отново към задача № 301 § 38.

Упражнения

995. Какво се нарича сбор от безкрайно намаляваща геометрична прогресия?

996. Намерете суми от безкрайно намаляващи геометрични прогресии:

997. За какви стойности х прогресия

безкрайно намалява? Намерете сумата на такава прогресия.

998. В равностранен триъгълник със страна а нов триъгълник е вписан чрез свързване на средните точки на страните му; нов триъгълник се вписва в този триъгълник по същия начин и така нататък до безкрайност.

а) сумата от периметрите на всички тези триъгълници;

б) сумата от техните площи.

999. В квадрат със страна а нов квадрат е вписан чрез свързване на средните точки на страните му; квадрат е вписан в този квадрат по същия начин и така нататък до безкрайност. Намерете сумата от периметрите на всички тези квадрати и сумата от техните площи.

1000. Направете безкрайно намаляваща геометрична прогресия, така че сумата й да е равна на 25/4, а сумата от квадратите на членовете й да е равна на 625/24.