Как да намерим антипроизводна за примери за функция. Лекция „Изначално

Определение за антипроизводно.

Първоизводна на функция f(x) в интервала (a; b) е функция F(x), така че равенството е в сила за всяко x от дадения интервал.

Ако вземем предвид факта, че производната на константата C е равна на нула, тогава равенството е вярно . По този начин функцията f(x) има набор от първоизводни F(x)+C за произволна константа C и тези антипроизводни се различават една от друга с произволна постоянна стойност.

Дефиниция на неопределен интеграл.

Цялото множество от първоизводни на функцията f(x) се нарича неопределен интеграл на тази функция и се означава .

Изразът се нарича интегранти f(x) – интегрална функция. Интегралната функция представлява диференциала на функцията f(x) .

Действието за намиране на неизвестна функция по нейния диференциал се нарича несигуренинтеграция, тъй като резултатът от интеграцията не е една функция F(x), а набор от нейните първоизводни F(x)+C.

Въз основа на свойствата на производната може да се формулира и докаже свойства на неопределения интеграл(свойства на антипроизводно).

За пояснение са дадени междинни равенства на първо и второ свойство на неопределения интеграл.

За доказване на третото и четвъртото свойство е достатъчно да се намерят производните на десните части на равенствата:

Тези производни са равни на интеграндите, което е доказателство поради първото свойство. Използва се и при последните преходи.

Така възниква проблемът с интеграцията обратна задачадиференциация и между тези проблеми има много тясна връзка:

• първото свойство позволява да се провери интеграцията. За да проверите правилността на извършеното интегриране, е достатъчно да изчислите производната на получения резултат. Ако получената в резултат на диференцирането функция се окаже равна на интегранта, това ще означава, че интегрирането е извършено правилно;
• второто свойство на неопределения интеграл позволява да се намери неговата антипроизводна от известен диференциал на функция. Прякото изчисляване на неопределени интеграли се основава на това свойство.

Нека разгледаме един пример.

Пример.

Намерете първоизводната на функцията, чиято стойност е равна на единица при x = 1.

Решение.

Знаем от диференциално смятане, Какво (просто погледнете таблицата с производни на основния елементарни функции). По този начин, . До втория имот . Тоест имаме много антипроизводни. За x = 1 получаваме стойността . Съгласно условието тази стойност трябва да е равна на единица, следователно C = 1. Желаната антипроизводна ще приеме формата.

Пример.

намирам неопределен интеграл и проверете резултата чрез диференциране.

Решение.

Според формулата на синуса двоен ъгълот тригонометрията , Ето защо

Антипроизводно

Определение противопроизводна функция

• функция y=F(x)се нарича първоизводна на функцията y=f(x)на даден интервал Х,ако за всички х ∈хважи равенството: F′(x) = f(x)

Може да се чете по два начина:

1. f производна на функция Е
2. Е първоизводна на функция f

Свойство на антипроизводните

• Ако F(x)- първоизводна на функция f(x)на даден интервал, тогава функцията f(x) има безкрайно много първоизводни и всички тези производни могат да бъдат записани във формата F(x) + C, където C е произволна константа.

Геометрична интерпретация

• Графики на всички първоизводни на дадена функция f(x)се получават от графиката на всяка една антипроизводна чрез паралелни транслации по оста O при.

Правила за изчисляване на първоизводни

1. Първопроизводната на сбора е равна на сбора на първопроизводните. Ако F(x)- противопроизводно за f(x), а G(x) е антипроизводна за g(x), Че F(x) + G(x)- противопроизводно за f(x) + g(x).
2. Постоянният фактор може да бъде изваден от знака на производната. Ако F(x)- противопроизводно за f(x), И к- тогава постоянно k·F(x)- противопроизводно за k f(x).
3. Ако F(x)- противопроизводно за f(x), И к, б- постоянно и k ≠ 0, Че 1/k F(kx + b)- противопроизводно за f(kx + b).

Помня!

Всяка функция F(x) = x 2 + C , където C е произволна константа и само такава функция е антипроизводна на функцията f(x) = 2x.

• Например:

  F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x,защото F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x,защото F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);

Връзка между графиките на функция и нейната първоизводна:

1. Ако графиката на функция f(x)>0 F(x)се увеличава през този интервал.
2. Ако графиката на функция f(x)<0 на интервала, след това графиката на неговата първоизводна F(x)намалява през този интервал.
3. Ако f(x)=0, след това графиката на неговата първоизводна F(x)в този момент се променя от нарастваща към намаляваща (или обратното).

За обозначаване на първоизводната се използва знакът на неопределения интеграл, т.е. интеграл без посочване на границите на интегриране.

Неопределен интеграл

Определение:

• Неопределеният интеграл на функцията f(x) е изразът F(x) + C, т.е. множеството от всички първообразни на дадена функция f(x). Неопределеният интеграл се означава по следния начин: \int f(x) dx = F(x) + C

• f(x)- наречена интегрална функция;
• f(x) dx- наречен интегрант;
• х- наречена променлива на интегриране;
• F(x)- една от първопроизводните на функцията f(x);
• СЪС- произволна константа.

Свойства на неопределения интеграл

1. Производната на неопределения интеграл е равна на интегранта: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
2. Постоянният фактор на интегранта може да бъде изваден от интегралния знак: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
3. Интегралът на сумата (разликата) на функциите е равен на сумата (разликата) на интегралите на тези функции: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
4. Ако к, бса константи и k ≠ 0, тогава \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.

Таблица на първоизводните и неопределените интеграли

функция f(x)	Антипроизводно F(x) + C	Неопределени интеграли \int f(x) dx = F(x) + C
0	° С	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\not =-1	F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C	\int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C
f(x) = \frac(1)(x)	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e(^x )dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac(a^x)(l na) + C	\int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x) =\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x)	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C
f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x)	F(x) = \tg x + C	\int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C
f(x) = \sqrt(x)	F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(x))	F(x) =2\sqrt(x) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2))	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2))	F(x)=\arctg x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C
f(x)=\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))	F(x)=\arcsin\frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C
f(x)=\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))	F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C
f(x) =\frac(1)( 1+x^2)	F(x)=\arctg + C	\int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0)	F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C	\int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\sin x)	F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C	\int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\cos x)	F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C	\int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C

Формула на Нютон-Лайбниц

Позволявам f(x)тази функция Енеговата произволна антипроизводна.

\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)

Където F(x)- противопроизводно за f(x)

Тоест интегралът на функцията f(x)на интервал е равно на разликата на първоизводните в точки bИ а.

Площ на извит трапец

Криволинеен трапец е фигура, ограничена от графиката на функция, която е неотрицателна и непрекъсната на интервал f, Ох ос и прави линии х = аИ x = b.

Площта на извит трапец се намира с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц:

S= \int_(a)^(b) f(x) dx

Документ

Някакъв интервал X. Ако Завсяко xХ F"(x) = f(x), тогава функцияЕ НареченантипроизводноЗафункции f на интервала X. АнтипроизводноЗафункцииможете да опитате да намерите...

Антипроизводно за функция

Документ

... . функция F(x) НареченантипроизводноЗафункции f(x) на интервала (a;b), ако Завсички x(a;b) е изпълнено равенството F(x) = f(x). Например, Зафункции x2 антипроизводноще функциях3...

Учебно ръководство по Основи на интегралното смятане

Урок

... ; 5. Намерете интеграла. ; Б) ; ° С) ; Д) ; 6. функцияНареченантипроизводноДа се функциина комплект, ако: Завсеки; в някакъв момент; Завсеки; на някакъв... интервал. Определение 1. функцияНареченантипроизводноЗафункциина много...

Първопроизводен Неопределен интеграл

Документ

Интеграция. Антипроизводно. Непрекъснато функция F(x) НареченантипроизводноЗафункции f (x) на интервала X ако Завсяко F’ (x) = f (x). ПРИМЕР функция F(x) = x 3 е антипроизводноЗафункции f(x) = 3x...

СПЕЦИАЛНО ОБРАЗОВАНИЕ НА СССР Одобрено от Учебно-методическата дирекция за висше образование ВИСША МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИ ИНСТРУКЦИИ И КОНТРОЛНИ ЗАДАЧИ (С ПРОГРАМАТА) за задочни студенти по инженерни и технически специалности

Насоки

Въпроси Засамопроверка Определете антипроизводнофункции. Посочете геометричното значение на агрегата примитивенфункции. Какво Нареченнесигурен...

Урок и презентация на тема: "Една първопроизводна функция. Графика на функция"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, пожелания! Всички материали са проверени с антивирусна програма.

Учебни помагала и тренажори в онлайн магазина на Интеграл за 11 клас
Алгебрични задачи с параметри 9–11 клас
"Интерактивни задачи за изграждане в пространството за 10 и 11 клас"

Антипроизводна функция. Въведение

Момчета, знаете как да намирате производни на функции, като използвате различни формули и правила. Днес ще изучаваме обратната операция за изчисляване на производната. Концепцията за производна често се използва в реалния живот. Нека ви напомня: производната е скоростта на промяна на функция в определена точка. Процесите, включващи движение и скорост, са добре описани в тези термини.

Нека разгледаме този проблем: „Скоростта на обект, който се движи по права линия, се описва с формулата $V=gt$. Тя е необходима за възстановяване на закона за движение.
Решение.
Знаем добре формулата: $S"=v(t)$, където S е законът на движението.
Нашата задача се свежда до намиране на функция $S=S(t)$, чиято производна е равна на $gt$. Ако погледнете внимателно, можете да познаете, че $S(t)=\frac(g*t^2)(2)$.
Нека проверим правилността на решението на този проблем: $S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"=\frac(g)(2)*2t=g*t$.
Знаейки производната на функцията, намерихме самата функция, тоест извършихме обратната операция.
Но си струва да обърнете внимание на тази точка. Решението на нашия проблем изисква изясняване; ако добавим произволно число (константа) към намерената функция, тогава стойността на производната няма да се промени: $S(t)=\frac(g*t^2)(2)+ c,c=const$.
$S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"+c"=g*t+0=g*t$.

Момчета, обърнете внимание: нашият проблем има безкраен брой решения!
Ако проблемът не посочва начално или друго условие, не забравяйте да добавите константа към решението. Например нашата задача може да уточни позицията на тялото ни в самото начало на движението. Тогава не е трудно да изчислим константата; като заместим нула в полученото уравнение, получаваме стойността на константата.

Как се нарича тази операция?
Обратната операция на диференцирането се нарича интегриране.
Намиране на функция по дадена производна – интегриране.
Самата функция ще се нарича антипроизводна, тоест изображението, от което е получена производната на функцията.
Прието е първоизводната да се изписва с главна буква $y=F"(x)=f(x)$.

Определение. Функцията $y=F(x)$ се нарича първоизводна на функцията $у=f(x)$ на интервала X, ако за всеки $хϵХ$ е изпълнено равенството $F'(x)=f(x)$ .

Нека направим таблица с антипроизводни за различни функции. Трябва да се разпечата като напомняне и да се запомни.

В нашата таблица не бяха посочени начални условия. Това означава, че трябва да се добави константа към всеки израз от дясната страна на таблицата. Ще изясним това правило по-късно.

Правила за намиране на антипроизводни

Нека напишем няколко правила, които ще ни помогнат в намирането на противопроизводни. Всички те са подобни на правилата за диференциация.

Правило 1. Първопроизводната на сбор е равна на сбора на първопроизводните. $F(x+y)=F(x)+F(y)$.

Пример.
Намерете първоизводната за функцията $y=4x^3+cos(x)$.
Решение.
Първоизводната на сумата е равна на сумата от първоизводните, тогава трябва да намерим първоизводната за всяка от представените функции.
$f(x)=4x^3$ => $F(x)=x^4$.
$f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sin(x)$.
Тогава първоизводната на оригиналната функция ще бъде: $y=x^4+sin(x)$ или която и да е функция от формата $y=x^4+sin(x)+C$.

Правило 2. Ако $F(x)$ е антипроизводна за $f(x)$, тогава $k*F(x)$ е антипроизводна за функцията $k*f(x)$.(Можем лесно да вземем коефициента като функция).

Пример.
Намерете първоизводни на функции:
а) $y=8sin(x)$.
б) $y=-\frac(2)(3)cos(x)$.
в) $y=(3x)^2+4x+5$.
Решение.
а) Първоизводната на $sin(x)$ е минус $cos(x)$. Тогава първоизводната на оригиналната функция ще приеме формата: $y=-8cos(x)$.

B) Първоизводната на $cos(x)$ е $sin(x)$. Тогава антипроизводната на оригиналната функция ще приеме формата: $y=-\frac(2)(3)sin(x)$.

В) Първоизводната за $x^2$ е $\frac(x^3)(3)$. Първоизводната на x е $\frac(x^2)(2)$. Първопроизводната на 1 е x. Тогава антипроизводната на оригиналната функция ще приеме формата: $y=3*\frac(x^3)(3)+4*\frac(x^2)(2)+5*x=x^3+2x ^2+5x$.

Правило 3. Ако $у=F(x)$ е първоизводна за функцията $y=f(x)$, тогава първоизводната за функцията $y=f(kx+m)$ е функцията $y=\frac(1 )(k)* F(kx+m)$.

Пример.
Намерете антипроизводни на следните функции:
а) $y=cos(7x)$.
б) $y=sin(\frac(x)(2))$.
в) $y=(-2x+3)^3$.
d) $y=e^(\frac(2x+1)(5))$.
Решение.
а) Първоизводната на $cos(x)$ е $sin(x)$. Тогава първоизводната за функцията $y=cos(7x)$ ще бъде функцията $y=\frac(1)(7)*sin(7x)=\frac(sin(7x))(7)$.

B) Първоизводната на $sin(x)$ е минус $cos(x)$. Тогава първоизводната за функцията $y=sin(\frac(x)(2))$ ще бъде функцията $y=-\frac(1)(\frac(1)(2))cos(\frac(x )(2) )=-2cos(\frac(x)(2))$.

C) Първоизводната за $x^3$ е $\frac(x^4)(4)$, тогава първоизводната на оригиналната функция $y=-\frac(1)(2)*\frac(((- 2x+3) )^4)(4)=-\frac(((-2x+3))^4)(8)$.

Г) Леко опростете израза на степен $\frac(2x+1)(5)=\frac(2)(5)x+\frac(1)(5)$.
Първоизводната на експоненциална функция е самата експоненциална функция. Производната на оригиналната функция ще бъде $y=\frac(1)(\frac(2)(5))e^(\frac(2)(5)x+\frac(1)(5))=\frac (5)( 2)*e^(\frac(2x+1)(5))$.

Теорема. Ако $y=F(x)$ е първоизводна за функцията $y=f(x)$ на интервала X, тогава функцията $y=f(x)$ има безкрайно много първоизводни и всички те имат форма $y=F( x)+С$.

Ако във всички примери, разгледани по-горе, е било необходимо да се намери множеството от всички антипроизводни, тогава константата C трябва да се добави навсякъде.
За функцията $y=cos(7x)$ всички антипроизводни имат формата: $y=\frac(sin(7x))(7)+C$.
За функцията $y=(-2x+3)^3$ всички антипроизводни имат формата: $y=-\frac(((-2x+3))^4)(8)+C$.

Пример.
Имайки предвид закона за промяна на скоростта на тялото във времето $v=-3sin(4t)$, намерете закона за движение $S=S(t)$, ако в началния момент от време тялото е имало координата, равна на 1,75.
Решение.
Тъй като $v=S’(t)$, трябва да намерим първоизводната за дадена скорост.
$S=-3*\frac(1)(4)(-cos(4t))+C=\frac(3)(4)cos(4t)+C$.
В тази задача е дадено допълнително условие - начален момент от време. Това означава, че $t=0$.
$S(0)=\frac(3)(4)cos(4*0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)cos(0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)*1+C=\frac(7)(4)$.
$C=1$.
Тогава законът на движението се описва с формулата: $S=\frac(3)(4)cos(4t)+1$.

Проблеми за самостоятелно решаване

1. Намерете антипроизводни на функции:
а) $y=-10sin(x)$.
б) $y=\frac(5)(6)cos(x)$.
в) $y=(4x)^5+(3x)^2+5x$.
2. Намерете антипроизводни на следните функции:
a) $y=cos(\frac(3)(4)x)$.
б) $y=sin(8x)$.
в) $y=((7x+4))^4$.
d) $y=e^(\frac(3x+1)(6))$.
3. Съгласно дадения закон за промяна на скоростта на тялото във времето $v=4cos(6t)$, намерете закона за движение $S=S(t)$, ако в началния момент тялото е имало координата равна на 2.

Има три основни правила за намиране на първообразни функции. Те са много подобни на съответните правила за диференциация.

Правило 1

Ако F е антипроизводна за някаква функция f, а G е антипроизводна за някаква функция g, тогава F + G ще бъде антипроизводна за f + g.

По дефиниция на антипроизводно, F’ = f. G' = g. И тъй като тези условия са изпълнени, то според правилото за изчисляване на производната за сумата от функции ще имаме:

(F + G)’ = F’ + G’ = f + g.

Правило 2

Ако F е антипроизводна за някаква функция f и k е някаква константа. Тогава k*F е първоизводната на функцията k*f. Това правило следва от правилото за изчисляване на производната на сложна функция.

Имаме: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Правило 3

Ако F(x) е някаква антипроизводна за функцията f(x) и k и b са някои константи и k не е равно на нула, тогава (1/k)*F*(k*x+b) ще бъде антипроизводна за функцията f (k*x+b).

Това правило следва от правилото за изчисляване на производната на сложна функция:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Нека да разгледаме няколко примера за това как се прилагат тези правила:

Пример 1. Намерете общия вид на първоизводните за функцията f(x) = x^3 +1/x^2. За функцията x^3 една от първопроизводните ще бъде функцията (x^4)/4, а за функцията 1/x^2 една от първопроизводните ще бъде функцията -1/x. Използвайки първото правило, имаме:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

Пример 2. Нека намерим общата форма на първоизводните за функцията f(x) = 5*cos(x). За функцията cos(x) една от първоизводните ще бъде функцията sin(x). Ако сега използваме второто правило, ще имаме:

F(x) = 5*sin(x).

Пример 3.Намерете една от първоизводните за функцията y = sin(3*x-2). За функцията sin(x) една от първоизводните ще бъде функцията -cos(x). Ако сега използваме третото правило, получаваме израз за антипроизводното:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Пример 4. Намерете първоизводната за функцията f(x) = 1/(7-3*x)^5

Първоизводната за функцията 1/x^5 ще бъде функцията (-1/(4*x^4)). Сега, използвайки третото правило, получаваме.