Как да намерите района там са известни три страни. Площ на триъгълник

Понякога в живота има ситуации, когато трябва да се ровите в паметта си в търсене на отдавна забравени училищни знания. Например, трябва да определите площта на парцел с триъгълна форма или е дошло времето за нов ремонт в апартамент или частна къща и трябва да изчислите колко материал ще е необходим за повърхност с триъгълна форма. Имаше време, когато можехте да разрешите такъв проблем за няколко минути, но сега отчаяно се опитвате да си спомните как да определите площта на триъгълник?

Не се тревожи за това! В крайна сметка е съвсем нормално, когато мозъкът на човек реши да прехвърли отдавна неизползвани знания някъде в отдалечен ъгъл, от който понякога не е толкова лесно да ги извлечете. За да не се налага да се мъчите да търсите забравени училищни знания, за да решите такъв проблем, тази статия съдържа различни методи, които улесняват намирането на необходимата площ на триъгълник.

Добре известно е, че триъгълникът е вид многоъгълник, който е ограничен до минималния възможен брой страни. По принцип всеки многоъгълник може да бъде разделен на няколко триъгълника чрез свързване на върховете му с сегменти, които не пресичат страните му. Следователно, знаейки триъгълника, можете да изчислите площта на почти всяка фигура.

Сред всички възможни триъгълници, които се срещат в живота, могат да се разграничат следните конкретни видове: и правоъгълен.

Най-лесният начин да се изчисли площта на триъгълник е, когато един от ъглите му е прав, тоест в случай на правоъгълен триъгълник. Лесно се вижда, че е половин правоъгълник. Следователно неговата площ е равна на половината от произведението на страните, които образуват прав ъгъл една с друга.

Ако знаем височината на триъгълник, спусната от един от върховете му към противоположната страна, и дължината на тази страна, която се нарича основа, тогава площта се изчислява като половината от произведението на височината и основата. Това се записва с помощта на следната формула:

S = 1/2*b*h, в което

S е необходимата площ на триъгълника;

b, h - съответно височината и основата на триъгълника.

Толкова е лесно да се изчисли площта на равнобедрен триъгълник, защото височината ще разполовява противоположната страна и може лесно да бъде измерена. Ако площта е определена, тогава е удобно да се вземе дължината на една от страните, образуващи прав ъгъл като височина.

Всичко това, разбира се, е добре, но как да определим дали един от ъглите на триъгълника е прав или не? Ако размерът на нашата фигура е малък, тогава можем да използваме строителен ъгъл, чертожен триъгълник, пощенска картичка или друг обект с правоъгълна форма.

Но какво ще стане, ако имаме триъгълен парцел? В този случай процедирайте по следния начин: пребройте от върха на предполагаемия прав ъгъл от едната страна разстояние, кратно на 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), а от другата страна измерете разстояние, кратно на 4 в същото пропорция (40 см, 160 см, 4 м). Сега трябва да измерите разстоянието между крайните точки на тези два сегмента. Ако резултатът е кратен на 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), тогава можем да кажем, че ъгълът е прав.

Ако дължината на всяка от трите страни на нашата фигура е известна, тогава площта на триъгълника може да се определи с помощта на формулата на Heron. За да има по-проста форма, се използва нова стойност, която се нарича полупериметър. Това е сборът от всички страни на нашия триъгълник, разделен наполовина. След като полупериметърът е изчислен, можете да започнете да определяте площта, като използвате формулата:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), където

sqrt - квадратен корен;

p - стойност на полупериметъра (p = (a+b+c)/2);

a, b, c - ръбове (страни) на триъгълника.

Но какво ще стане, ако триъгълникът има неправилна форма? Тук има два възможни начина. Първият от тях е да се опитате да разделите такава фигура на два правоъгълни триъгълника, сумата от площите на които се изчислява отделно и след това се добавя. Или, ако ъгълът между двете страни и размерът на тези страни са известни, тогава приложете формулата:

S = 0,5 * ab * sinC, където

a,b - страни на триъгълника;

c е размерът на ъгъла между тези страни.

Последният случай е рядък на практика, но въпреки това всичко е възможно в живота, така че горната формула няма да е излишна. Успех с изчисленията!

За да определите площта на триъгълник, можете да използвате различни формули. От всички методи най-лесният и най-често използваният е височината да се умножи по дължината на основата и резултатът да се раздели на две. Този метод обаче далеч не е единственият. По-долу можете да прочетете как да намерите площта на триъгълник с помощта на различни формули.

Отделно ще разгледаме начините за изчисляване на площта на конкретни видове триъгълници - правоъгълни, равнобедрени и равностранни. Придружаваме всяка формула с кратко обяснение, което ще ви помогне да разберете нейната същност.

Универсални методи за намиране на площта на триъгълник

Формулите по-долу използват специална нотация. Ще дешифрираме всеки от тях:

• a, b, c – дължините на трите страни на фигурата, която разглеждаме;
• r е радиусът на окръжността, която може да бъде вписана в нашия триъгълник;
• R е радиусът на окръжността, която може да бъде описана около него;
• α е големината на ъгъла, образуван от страни b и c;
• β е големината на ъгъла между a и c;
• γ е големината на ъгъла, образуван от страни a и b;
• h е височината на нашия триъгълник, спусната от ъгъл α към страна a;
• p – половината от сбора на страни a, b и c.

Логически е ясно защо можете да намерите площта на триъгълник по този начин. Триъгълникът може лесно да бъде завършен в успоредник, в който едната страна на триъгълника ще действа като диагонал. Площта на успоредник се намира чрез умножаване на дължината на една от страните му по стойността на височината, начертана към нея. Диагоналът разделя този условен паралелограм на 2 еднакви триъгълника. Следователно е съвсем очевидно, че площта на нашия оригинален триъгълник трябва да бъде равна на половината от площта на този спомагателен успоредник.

S=½ a b sin γ

Според тази формула площта на триъгълник се намира чрез умножаване на дължините на двете му страни, тоест a и b, по синуса на ъгъла, образуван от тях. Тази формула логично произтича от предишната. Ако намалим височината от ъгъл β към страна b, тогава, според свойствата на правоъгълен триъгълник, когато умножим дължината на страната a по синуса на ъгъл γ, получаваме височината на триъгълника, тоест h .

Площта на въпросната фигура се намира чрез умножаване на половината радиус на окръжността, която може да бъде вписана в нея, по нейния периметър. С други думи, намираме произведението на полупериметъра и радиуса на споменатата окръжност.

S= a b c/4R

Според тази формула стойността, от която се нуждаем, може да се намери, като се раздели произведението на страните на фигурата на 4 радиуса на описаната около нея окръжност.

Тези формули са универсални, тъй като позволяват да се определи площта на всеки триъгълник (мащабен, равнобедрен, равностранен, правоъгълен). Това може да стане с помощта на по-сложни изчисления, на които няма да се спираме подробно.

Площи на триъгълници със специфични свойства

Как да намерите площта на правоъгълен триъгълник? Особеността на тази фигура е, че двете й страни са едновременно нейни височини. Ако a и b са катети и c става хипотенуза, тогава намираме площта по следния начин:

Как да намерите площта на равнобедрен триъгълник? Има две страни с дължина a и една страна с дължина b. Следователно неговата площ може да се определи чрез разделяне на 2 на произведението на квадрата на страната a на синуса на ъгъл γ.

Как да намерите площта на равностранен триъгълник? В него дължината на всички страни е равна на a, а големината на всички ъгли е α. Височината му е равна на половината от произведението на дължината на страна a и корен квадратен от 3. За да намерите площта на правилен триъгълник, трябва да умножите квадрата на страна a по корен квадратен от 3 и да разделите на 4.

Триъгълникът е една от най-често срещаните геометрични фигури, с които се запознаваме в началното училище. Всеки ученик е изправен пред въпроса как да намери площта на триъгълник в уроците по геометрия. И така, какви характеристики за намиране на площта на дадена фигура могат да бъдат идентифицирани? В тази статия ще разгледаме основните формули, необходими за изпълнение на такава задача, както и ще анализираме видовете триъгълници.

Видове триъгълници

Можете да намерите площта на триъгълник по напълно различни начини, защото в геометрията има повече от един тип фигура, съдържаща три ъгъла. Тези видове включват:

• Тъп.
• Равностранен (правилен).
• Правоъгълен триъгълник.
• Равнобедрен.

Нека разгледаме по-подробно всеки от съществуващите видове триъгълници.

Тази геометрична фигура се счита за най-често срещаната при решаването на геометрични задачи. Когато възникне необходимост от начертаване на произволен триъгълник, тази опция идва на помощ.

В остроъгълен триъгълник, както подсказва името, всички ъгли са остри и сборът им е 180°.

Този тип триъгълник също е много често срещан, но е малко по-рядко срещан от остроъгълния триъгълник. Например, когато решавате триъгълници (т.е. някои от неговите страни и ъгли са известни и трябва да намерите останалите елементи), понякога трябва да определите дали ъгълът е тъп или не. Косинусът е отрицателно число.

B, стойността на един от ъглите надвишава 90 °, така че останалите два ъгъла могат да приемат малки стойности (например 15 ° или дори 3 °).

За да намерите площта на триъгълник от този тип, трябва да знаете някои нюанси, за които ще говорим по-късно.

Правилен и равнобедрен триъгълник

Правилен многоъгълник е фигура, която включва n ъгъла и чиито страни и ъгли са равни. Това е правилният триъгълник. Тъй като сборът от всички ъгли на триъгълник е 180°, тогава всеки от трите ъгъла е 60°.

Правилният триъгълник, поради своето свойство, се нарича още равностранна фигура.

Заслужава да се отбележи също, че в правилен триъгълник може да бъде вписан само един кръг и около него може да бъде описан само един кръг, като центровете им са разположени в една и съща точка.

В допълнение към равностранен тип, може да се разграничи и равнобедрен триъгълник, който е малко по-различен от него. В такъв триъгълник две страни и два ъгъла са равни един на друг, а третата страна (към която са съседни равни ъгли) е основата.

Фигурата показва равнобедрен триъгълник DEF, чиито ъгли D и F са равни, а DF е основата.

Правоъгълен триъгълник

Правоъгълният триъгълник се нарича така, защото един от ъглите му е прав, тоест равен на 90°. Другите два ъгъла дават сбор от 90°.

Най-голямата страна на такъв триъгълник, лежаща срещу ъгъла от 90°, е хипотенузата, докато останалите две страни са краката. За този тип триъгълник се прилага Питагоровата теорема:

Сборът от квадратите на дължините на катетите е равен на квадрата на дължината на хипотенузата.

Фигурата показва правоъгълен триъгълник BAC с хипотенуза AC и катети AB и BC.

За да намерите площта на триъгълник с прав ъгъл, трябва да знаете числените стойности на краката му.

Нека да преминем към формулите за намиране на площта на дадена фигура.

Основни формули за намиране на площ

В геометрията има две формули, които са подходящи за намиране на площта на повечето видове триъгълници, а именно за остри, тъпи, правилни и равнобедрени триъгълници. Нека разгледаме всеки от тях.

По страна и височина

Тази формула е универсална за намиране на площта на фигурата, която разглеждаме. За да направите това, достатъчно е да знаете дължината на страната и дължината на височината, начертана към нея. Самата формула (половината от произведението на основата и височината) е следната:

където A е страната на даден триъгълник, а H е височината на триъгълника.

Например, за да намерите площта на остър триъгълник ACB, трябва да умножите неговата страна AB по височината CD и да разделите получената стойност на две.

Въпреки това, не винаги е лесно да се намери площта на триъгълник по този начин. Например, за да използвате тази формула за тъп триъгълник, трябва да разширите една от страните му и едва след това да начертаете надморска височина към нея.

На практика тази формула се използва по-често от останалите.

От двете страни и ъгъл

Тази формула, както и предишната, е подходяща за повечето триъгълници и по смисъла си е следствие от формулата за намиране на площта на страната и височината на триъгълник. Тоест въпросната формула лесно може да се изведе от предишната. Формулировката му изглежда така:

S = ½*sinO*A*B,

където A и B са страните на триъгълника, а O е ъгълът между страните A и B.

Нека си припомним, че синусът на ъгъл може да се види в специална таблица, наречена на името на изключителния съветски математик В. М. Брадис.

Сега нека да преминем към други формули, които са подходящи само за изключителни видове триъгълници.

Площ на правоъгълен триъгълник

В допълнение към универсалната формула, която включва необходимостта да се намери надморската височина в триъгълник, площта на триъгълник, съдържащ прав ъгъл, може да се намери от неговите крака.

По този начин площта на триъгълник, съдържащ прав ъгъл, е половината от произведението на краката му или:

където a и b са катетите на правоъгълен триъгълник.

Правилен триъгълник

Този тип геометрична фигура е различна по това, че нейната площ може да бъде намерена с посочената стойност само на една от страните (тъй като всички страни на правилния триъгълник са равни). Така че, когато се сблъскате със задачата да „намирате площта на триъгълник, когато страните са равни“, трябва да използвате следната формула:

S = A 2 *√3 / 4,

където А е страната на равностранния триъгълник.

Формулата на Херон

Последният вариант за намиране на площта на триъгълник е формулата на Heron. За да го използвате, трябва да знаете дължините на трите страни на фигурата. Формулата на Heron изглежда така:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

където a, b и c са страните на този триъгълник.

Понякога проблемът се дава: „площта на правилен триъгълник е да се намери дължината на неговата страна.“ В този случай трябва да използваме формулата, която вече знаем, за намиране на площта на правилен триъгълник и да извлечем от нея стойността на страната (или нейния квадрат):

A 2 = 4S / √3.

Изпитни задачи

В задачите на GIA по математика има много формули. Освен това доста често е необходимо да се намери площта на триъгълник върху карирана хартия.

В този случай е най-удобно да начертаете височината до една от страните на фигурата, да определите нейната дължина от клетките и да използвате универсалната формула за намиране на площта:

Така че, след като изучите формулите, представени в статията, няма да имате проблеми с намирането на площта на триъгълник от всякакъв вид.

Училищната програма предвижда обучение на децата по геометрия от най-ранна възраст. Едно от най-основните познания в тази област е намирането на областта на различни форми. В тази статия ще се опитаме да дадем всички възможни начини за получаване на тази стойност, от най-простите до най-сложните.

Основата

Първата формула, която децата учат в училище, включва намирането на площта на триъгълник чрез дължината на неговата височина и основа. Височината е сегмент, изчертан от върха на триъгълника под прав ъгъл към противоположната страна, която ще бъде основата. Как да намерите площта на триъгълник, като използвате тези количества?

Ако V е височината и O е основата, тогава площта е S=V*O:2.

Друг вариант за получаване на желаната стойност изисква да знаем дължините на двете страни, както и големината на ъгъла между тях. Ако имаме L и M - дължините на страните и Q - ъгълът между тях, тогава можете да получите площта, като използвате формулата S=(L*M*sin(Q))/2.

Формулата на Херон

В допълнение към всички останали отговори на въпроса как да изчислим площта на триъгълник, има формула, която ни позволява да получим необходимата стойност, като знаем само дължините на страните. Тоест, ако знаем дължините на всички страни, тогава не е необходимо да чертаем височината и да изчисляваме нейната дължина. Можем да използваме така наречената формула на Херон.

Ако M, N, L са дължините на страните, тогава можем да намерим площта на триъгълника, както следва. P=(M+N+L)/2, тогава стойността, от която се нуждаем, е S 2 =P*(P-M)*(P-L)*(P-N). Накрая всичко, което трябва да направим, е да изчислим корена.

За правоъгълен триъгълник формулата на Херон е леко опростена. Ако M, L са крака, тогава S=(P-M)*(P-L).

Кръгове

Друг начин да намерите площта на триъгълник е да използвате вписани и описани окръжности. За да получим стойността, от която се нуждаем, използвайки вписан кръг, трябва да знаем неговия радиус. Нека го обозначим с "r". Тогава формулата, по която ще извършваме изчисленията, ще приеме следния вид: S=r*P, където P е половината от сбора на дължините на всички страни.

В правоъгълен триъгълник тази формула е леко модифицирана. Разбира се, можете да използвате горния, но е по-добре да използвате различен израз за изчисления. S=E*W, където E и W са дължините на сегментите, на които е разделена хипотенузата от точката на допиране на окръжността.

Говорейки за описания кръг, намирането на площта на триъгълника също не е трудно. Като въведете обозначението R като радиус на описаната окръжност, можете да получите следната формула, необходима за изчисляване на желаната стойност: S= (M*N*L):(4*R). Където първите три количества са страните на триъгълника.

Говорейки за равностранен триъгълник, чрез редица прости математически трансформации можете да получите леко модифицирани формули:

S=(3 1/2 *M 2)/4;

S=(3*3 1/2 *R 2)/4;

S=3*3 1/2 *r 2 .

Във всеки случай всяка формула, която ви позволява да намерите площта на триъгълник, може да бъде променена в съответствие с данните на задачата. Така че всички писмени изрази не са абсолютни. Когато решавате проблеми, размишлявайте, за да намерите най-подходящото решение.

Координати

При изучаването на координатните оси задачите пред учениците се усложняват. Но не чак до паника. За да намерите площта на триъгълник от координатите на върховете, можете да използвате същата, но леко модифицирана формула на Heron. За координати приема следната форма:

S=((x 2 -x 1) 2 *(y 2 -y 1) 2 *(z 2 -z 1) 2) 1/2.

Никой обаче не забранява, използвайки координати, да изчислява дължините на страните на триъгълник и след това, използвайки формулите, написани по-горе, да изчислява площта. За да конвертирате координатите в дължина, използвайте следната формула:

l=((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2) 1/2.

Бележки

Статията използва стандартни обозначения за количества, които се използват в повечето задачи. В този случай степента "1/2" означава, че трябва да извлечете корена на целия израз под скобите.

Бъдете внимателни при избора на формула. Някои от тях губят своята актуалност в зависимост от първоначалните условия. Например формулата за описаната окръжност. Той е в състояние да изчисли резултата за вас във всеки случай, но може да има ситуация, когато триъгълник с дадените параметри може изобщо да не съществува.

Ако си седите у дома и си правите домашна работа, тогава можете да използвате онлайн калкулатор. Много сайтове предоставят възможност за изчисляване на различни количества, като се използват дадени параметри и няма значение кои. Можете просто да въведете първоначалните данни в полетата и компютърът (уебсайтът) ще изчисли резултата вместо вас. По този начин можете да избегнете грешки, допуснати поради небрежност.

Надяваме се, че нашата статия отговори на всички ваши въпроси относно изчисляването на площта на различни триъгълници и няма да се налага да търсите допълнителна информация другаде. Успех с обучението!