Как да определим d от f. Обратни тригонометрични функции

Много задачи ни карат да търсим набор от функционални стойности в определен сегмент или в цялата област на дефиниция. Такива задачи включват различни оценки на изрази, решаване на неравенства.

В тази статия ще дефинираме обхвата на функция, ще разгледаме методите за намирането й и ще анализираме подробно решението на примери от прости до по-сложни. Всички материали ще бъдат снабдени с графични илюстрации за яснота. Така че тази статия е подробен отговор на въпроса как да намерите диапазона на функция.

Определение.

Наборът от стойности на функцията y = f(x) на интервала Xнаречен набор от всички стойности на функцията, които приема, когато итерира всички.

Определение.

Обхватът на функцията y = f(x)се нарича набор от всички стойности на функцията, които тя приема, когато итерира всички x от домейна на дефиницията.

Диапазонът на функцията се обозначава като E(f).

Диапазонът на функция и наборът от стойности на функция не са едно и също нещо. Тези понятия ще се считат за еквивалентни, ако интервалът X при намиране на набора от стойности на функцията y = f (x) съвпада с домейна на функцията.

Освен това не бъркайте обхвата на функцията с променливата x за израза от дясната страна на уравнението y=f(x). Областта на разрешените стойности на променливата x за израза f(x) е областта на дефиницията на функцията y=f(x).

Фигурата показва няколко примера.

Функционалните графики са показани с удебелени сини линии, тънките червени линии са асимптоти, червените точки и линиите на оста Oy показват диапазона на съответната функция.

Както можете да видите, диапазонът на функцията се получава чрез проектиране на графиката на функцията върху оста y. Тя може да бъде тази единствено число(първи случай), набор от числа (втори случай), сегмент (трети случай), интервал (четвърти случай), отворена греда (пети случай), съюз (шести случай) и др.

И така, какво трябва да направите, за да намерите диапазона на функцията.

Да започнем от самото прост случай: покажете как да дефинирате набор от стойности непрекъсната функция y = f(x) на отсечката .

Известно е, че функция, непрекъсната на сегмент, достига своите максимални и минимални стойности върху него. По този начин наборът от стойности на оригиналната функция на сегмента ще бъде сегментът . Следователно нашата задача се свежда до намиране на най-големите и най-малките стойности на функцията на интервала.

Например, нека намерим диапазона на функцията арксинус.

Пример.

Посочете диапазона на функцията y = arcsinx .

Решение.

Областта на дефиниране на арксинуса е сегментът [-1; 1] . Намерете най-големия и най-малка стойностфункции в този сегмент.

Производната е положителна за всички x от интервала (-1; 1), т.е. функцията арксинус нараства в цялата област на дефиниране. Следователно, той приема най-малката стойност при x = -1 и най-голямата при x = 1.

Получихме диапазона на функцията арксинус .

Пример.

Намерете набора от стойности на функцията на сегмента.

Решение.

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията върху дадения сегмент.

Нека дефинираме екстремалните точки, принадлежащи на сегмента:

Изчисляваме стойностите на оригиналната функция в краищата на сегмента и в точки :

Следователно наборът от стойности на функцията в сегмента е сегментът .

Сега ще покажем как да намерим множеството от стойности на непрекъсната функция y = f(x) в интервалите (a; b) , .

Първо, определяме точките на екстремума, екстремумите на функцията, интервалите на нарастване и намаляване на функцията на даден интервал. След това изчисляваме в краищата на интервала и (или) границите в безкрайността (т.е. изучаваме поведението на функцията в границите на интервала или в безкрайността). Тази информация е достатъчна, за да намерите набора от стойности на функцията на такива интервали.

Пример.

Определете набора от стойности на функцията на интервала (-2; 2) .

Решение.

Нека намерим точките на екстремума на функцията, попадащи в интервала (-2; 2):

Точка x = 0 е максималната точка, тъй като производната променя знака от плюс на минус, когато преминава през нея, а графиката на функцията преминава от нарастваща към намаляваща.

е съответният максимум на функцията.

Нека разберем поведението на функцията, когато x клони към -2 отдясно и когато x клони към 2 отляво, тоест намираме едностранни граници:

Какво имаме: когато аргументът се промени от -2 на нула, стойностите на функцията се увеличават от минус безкрайност до минус една четвърт (максимумът на функцията при x = 0), когато аргументът се промени от нула на 2, функцията стойностите намаляват до минус безкрайност. По този начин наборът от стойности на функцията в интервала (-2; 2) е .

Пример.

Посочете набора от стойности на допирателната функция y = tgx на интервала.

Решение.

Производната на функцията тангенс върху интервала е положителна , което показва увеличение на функцията. Изследваме поведението на функцията на границите на интервала:

По този начин, когато аргументът се промени от до, стойностите на функцията се увеличават от минус безкрайност до плюс безкрайност, т.е. наборът от допирателни стойности в този интервал е наборът от всички реални числа.

Пример.

Намерете диапазона на функция натурален логаритъм y = lnx.

Решение.

Функцията натурален логаритъм е дефинирана за положителни стойностиаргумент . На този интервал производната е положителна , това показва увеличение на функцията върху него. Нека намерим едностранната граница на функцията, когато аргументът клони към нула отдясно, и границата, когато x клони към плюс безкрайност:

Виждаме, че когато x се променя от нула до плюс безкрайност, стойностите на функцията нарастват от минус безкрайност до плюс безкрайност. Следователно диапазонът на функцията натурален логаритъм е целият набор от реални числа.

Пример.

Решение.

Тази функция е дефинирана за всички реални x стойности. Нека да определим точките на екстремума, както и интервалите на нарастване и намаляване на функцията.

Следователно функцията намалява при , нараства при , x = 0 е максималната точка, съответния максимум на функцията.

Нека да разгледаме поведението на функцията в безкрайност:

Така в безкрайност стойностите на функцията асимптотично се доближават до нула.

Открихме, че когато аргументът се промени от минус безкрайност до нула (максимална точка), стойностите на функцията нарастват от нула до девет (до максимума на функцията), а когато x се промени от нула до плюс безкрайност, стойностите на функцията намаляват от девет до нула.

Вижте схематичния чертеж.

Сега ясно се вижда, че диапазонът на функцията е .

Намирането на набор от стойности на функцията y = f(x) на интервали изисква подобни изследвания. Сега няма да се спираме подробно на тези случаи. Ще ги видим в примерите по-долу.

Нека домейнът на функцията y = f(x) е обединението на няколко интервала. При намиране на обхвата на такава функция се определят наборите от стойности на всеки интервал и се взема тяхното обединение.

Пример.

Намерете диапазона на функцията.

Решение.

Знаменателят на нашата функция не трябва да отива на нула, т.е.

Първо, нека намерим набора от стойности на функцията на отворения лъч.

Производна на функция е отрицателна на този интервал, т.е. функцията намалява на него.

Открихме, че тъй като аргументът клони към минус безкрайност, стойностите на функцията асимптотично се доближават до единица. Когато x се промени от минус безкрайност до две, стойностите на функцията намаляват от една до минус безкрайност, т.е. в разглеждания интервал функцията приема набор от стойности. Не включваме единството, тъй като стойностите на функцията не го достигат, а само асимптотично се стремят към него при минус безкрайност.

Ние действаме по подобен начин за отворена греда.

Функцията също намалява на този интервал.

Наборът от функционални стойности на този интервал е наборът.

По този начин желаният диапазон от стойности на функцията е обединението на множествата и .

Графична илюстрация.

Отделно трябва да се спрем на периодичните функции. Диапазон от стойности периодични функциисъвпада с набора от стойности на интервала, съответстващ на периода на тази функция.

Пример.

Намерете диапазона на функцията синус y = sinx.

Решение.

Тази функция е периодична с период две пи. Нека вземем сегмент и дефинираме набора от стойности върху него.

Отсечката съдържа две екстремни точки и .

Изчисляваме стойностите на функцията в тези точки и на границите на сегмента, избираме най-малката и най-висока стойност:

следователно .

Пример.

Намерете диапазона на функция .

Решение.

Знаем, че обхватът на аркосинуса е сегментът от нула до пи, т.е. или в друг пост. функция може да се получи от arccosx чрез преместване и разтягане по оста x. Такива трансформации не влияят на обхвата, следователно, . функция идва от разтягане три пъти по оста Oy, т.е. . И последният етап от трансформациите е изместване с четири единици надолу по оста y. Това ни води до двойно неравенство

По този начин желаният диапазон от стойности е .

Нека дадем решение на друг пример, но без обяснения (те не са задължителни, тъй като са напълно сходни).

Пример.

Определете обхвата на функцията .

Решение.

Записваме оригиналната функция във формата . Обхватът на експоненциалната функция е интервалът. Това е, . Тогава

следователно .

За да завършим картината, трябва да говорим за намиране на обхвата на функция, която не е непрекъсната в областта на дефиниция. В този случай областта на дефиниция е разделена от точки на прекъсване на интервали и ние намираме наборите от стойности на всеки от тях. Комбинирайки получените набори от стойности, получаваме диапазона от стойности на оригиналната функция. Препоръчваме да запомните

Научихме, че има х- набор, на който формулата, която е дадена на функцията, има смисъл. IN математически анализтози набор често се нарича д (функционален обхват ). На свой ред мн Yозначен като д (функционален диапазон ) и при което дИ днаречени подмножества Р(набори от реални числа).

Ако функцията е дадена с формула, тогава, при липса на специални резерви, нейната област на дефиниране е най-големият набор, върху който тази формула има смисъл, тоест най-големият набор от стойности на аргументи, който води до реални стойности на функцията . С други думи, наборът от стойности на аргументи, върху които "функцията работи".

За общо разбиранепример без формула. Функцията е дадена като двойки отношения:

{(2, 1), (4, 2), (6, -6), (5, -1), (7, 10)} .

Намерете домейна на тази функция.

Отговор. Първият елемент от двойките е променлива х. Тъй като вторите елементи на двойките също са дадени в дефиницията на функцията - стойностите на променливата г, тогава функцията има смисъл само за тези стойности на x, които съответстват на определена стойностигра. Тоест, ние вземаме всички x от тези двойки във възходящ ред и получаваме от тях домейна на функцията:

{2, 4, 5, 6, 7} .

Същата логика работи, ако функцията е дадена с формула. Само вторите елементи по двойки (т.е. стойностите на y) се получават чрез заместване на определени стойности на x във формулата. Въпреки това, за да намерим домейна на функцията, не е необходимо да обикаляме всички двойки x и y.

Пример 0.Как да намерим домейна на функцията y е равна на корен квадратен от x минус пет (радикален израз x минус пет) ()? Просто трябва да решите неравенството

х - 5 ≥ 0 ,

тъй като, за да получим реалната стойност на y, радикалният израз трябва да е по-голям или равен на нула. Получаваме решението: домейнът на функцията е всички стойности на x, по-големи или равни на пет (или x принадлежи към интервала от пет включително до плюс безкрайност).

На чертежа по-горе - фрагмент от цифровата ос. Върху него се щрихова областта на дефиниране на разглежданата функция, а в посока "плюс" щриховката продължава неограничено по самата ос.

Ако използвате компютърни програми, които въз основа на въведените данни дават някакъв отговор, може да забележите, че за някои стойности на въведените данни програмата извежда съобщение за грешка, тоест, че отговорът не може да бъде изчислен с такива данни. Такова съобщение се предоставя от авторите на програмата, ако изразът за изчисляване на отговора е доста сложен или засяга някои тесни предметна област, или предоставени от авторите на езика за програмиране, когато става дума за общоприети норми, например, че не можете да разделите на нула.

Но и в двата случая отговорът (стойността на някакъв израз) не може да бъде изчислен поради причината, че изразът няма смисъл за някои стойности на данни.

Пример (все още не съвсем математически): ако програмата даде името на месеца по номера на месеца в годината, тогава при въвеждане на "15" ще получите съобщение за грешка.

Най-често изчисленият израз е просто функция. Следователно тези не са позволени стойностиданните не са включени в функционален обхват . И при изчисления на свободна ръка е също толкова важно да се представи домейнът на функция. Например изчислявате определен параметър на определен продукт, като използвате формула, която е функция. С някои стойности на входния аргумент няма да получите нищо на изхода.

Област на дефиниране на константата

Дефинирана е константа (константа). за всякакви реални стойности х Р реални числа. Това може да се запише и по следния начин: областта на тази функция е цялата реална права ]- ∞; +∞[ .

Пример 1. Намерете обхвата на функция г = 2 .

Решение. Обхватът на функцията не е посочен, което означава, че по силата на горната дефиниция се има предвид естествената област на дефиницията. Изразяване f(х) = 2 е дефинирано за всякакви реални стойности х, следователно, дадена функцияопределени за цялото множество Р реални числа.

Следователно на горния чертеж числовата линия е защрихована по целия път от минус безкрайност до плюс безкрайност.

Обхват на корена нта степен

В случая, когато функцията е дадена с формулата и н- естествено число:

Пример 2. Намерете обхвата на функция .

Решение. Както следва от определението, коренът от четна степен има смисъл, ако радикалният израз е неотрицателен, т.е. ако - 1 ≤ х≤ 1. Следователно обхватът на тази функция е [- 1; 1] .

Защрихованата област на числовата линия на чертежа по-горе е зоната на дефиниране на тази функция.

Област на степенна функция

Област на степенна функция с цяло число

Ако а- положителен, тогава домейнът на функцията е множеството от всички реални числа, т.е. ]- ∞; + ∞[ ;

Ако а- отрицателни, тогава областта на дефиниране на функцията е множеството ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , тоест цялата числова линия с изключение на нулата.

В съответния чертеж цялата цифрова линия е защрихована отгоре и точката, съответстваща на нулата, е изчертана (не е включена в областта за дефиниране на функцията).

Пример 3. Намерете обхвата на функция .

Решение. Първи семестър цяла степен x е равно на 3, а степента на x във втория член може да бъде представена като единица - също цяло число. Следователно областта на тази функция е цялата числова ос, т.е. ]- ∞; +∞[ .

Област на степенна функция с дробен показател

В случай, че функцията е дадена по формулата:

ако - е положителен, то домейнът на функцията е множеството 0; +∞[ .

Пример 4. Намерете обхвата на функция .

Решение. И двата термина в израза на функцията - мощностни функциис положителни дробни показатели. Следователно областта на тази функция е множеството - ∞; +∞[ .

Област на дефиниране на експоненциални и логаритмични функции

Област на експоненциалната функция

В случай, че функцията е дадена с формулата, домейнът на функцията е цялата числова ос, т.е. ]- ∞; +∞[ .

Областта на логаритмичната функция

Логаритмичната функция е дефинирана при условие, че нейният аргумент е положителен, т.е. нейната област на дефиниране е множеството ]0; +∞[ .

Намерете сами обхвата на функцията и след това вижте решението

Област на дефиниране на тригонометрични функции

Обхват на функцията г= cos( х) също е набор Р реални числа.

Обхват на функцията г= tg( х) - няколко Р реални числа, различни от числа .

Обхват на функцията г=ctg( х) - няколко Р реални числа, различни от числа.

Пример 8. Намерете обхвата на функция .

Решение. Външна функция - десетичен логаритъми домейнът на неговата дефиниция е предмет на условията на домейна на дефиницията логаритмична функцияизобщо. Тоест аргументът му трябва да е положителен. Аргументът тук е синус от "х". Завъртайки въображаем компас около кръг, виждаме, че условието sin х> 0 се нарушава, когато "x" е равно на нула, "pi", две, умножено по "pi" и изобщо равно на произведениеточислото "пи" и всяко четно или нечетно цяло число.

По този начин областта на дефиниране на тази функция е дадена от израза

,

Където ке цяло число.

Област на обратни тригонометрични функции

Обхват на функцията г= arcsin( х) - набор [-1; 1] .

Обхват на функцията г= arccos( х) - също множеството [-1; 1] .

Обхват на функцията г= арктан( х) - няколко Р реални числа.

Обхват на функцията г= arcctg( х) също е набор Р реални числа.

Пример 9. Намерете обхвата на функция .

Решение. Да решим неравенството:

Така получаваме областта на дефиниция на тази функция - отсечката [- 4; 4] .

Пример 10. Намерете обхвата на функция .

Решение. Нека да решим две неравенства:

Решение на първото неравенство:

Решение на второто неравенство:

Така получаваме областта на дефиниране на тази функция - сегмента.

Дробен домейн

Ако функцията е дадена дробен израз, в която променливата е в знаменателя на дробта, тогава домейнът на функцията е множеството Р реални числа, различни от хза които знаменателят на дробта е нулев.

Пример 11. Намерете обхвата на функция .

Решение. Решавайки равенството на нула на знаменателя на дробта, намираме областта на дефиниране на тази функция - множеството] - ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .

функция y=f(x) е такава зависимост на променливата y от променливата x, когато всяка валидна стойност на променливата x съответства на една единствена стойност на променливата y.

Обхват на функцията D(f) е множеството от всички възможни стойности на променливата x.

Функционален диапазон E(f) е множеството от всички валидни стойности на променливата y.

Функционална графика y=f(x) е набор от равнинни точки, чиито координати отговарят на дадената функционална зависимост, тоест точки от вида M (x; f(x)) . Графиката на функция е права върху равнина.

Ако b=0, тогава функцията ще приеме формата y=kx и ще бъде извикана пряка пропорционалност.

D(f) : x \in R;\enинтервал E(f) : y \in R

Графиката на линейна функция е права линия.

Наклонът k на правата линия y=kx+b се изчислява по следната формула:

k= tg \alpha , където \alpha е ъгълът на наклон на правата спрямо положителната посока на оста Ox.

1) Функцията нараства монотонно за k > 0 .

Например: y=x+1

2) Функцията монотонно намалява като k< 0 .

Например: y=-x+1

3) Ако k=0, тогава давайки b произволни стойности, получаваме семейство прави линии, успоредни на оста Ox.

Например: y=-1

Обратна пропорционалност

Обратна пропорционалностсе нарича функция на формата y=\frac (k)(x), където k е ненулево реално число

D(f): x \in \left \( R/x \neq 0 \right \); \: E(f) : y \in \left \(R/y \neq 0 \right \).

Функционална графика y=\frac (k)(x)е хипербола.

1) Ако k > 0, тогава графиката на функцията ще бъде разположена в първата и третата четвърт на координатната равнина.

Например: y=\frac(1)(x)

2) Ако k< 0 , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.

Например: y=-\frac(1)(x)

Силова функция

Силова функцияе функция от формата y=x^n, където n е ненулево реално число

1) Ако n=2, тогава y=x^2. D(f): x \in R; \: E(f) : y \in; основен период на функцията T=2 \pi

Всяка функция има две променливи - независима променлива и зависима променлива, чиито стойности зависят от стойностите на независимата променлива. Например във функцията г = f(х) = 2х + гнезависимата променлива е "x", а зависимата променлива е "y" (с други думи, "y" е функция на "x"). Валидните стойности на независимата променлива "x" се наричат ​​домейн на функцията, а валидните стойности на зависимата променлива "y" се наричат ​​домейн на функцията.

стъпки

Част 1

Намиране на обхвата на функция

Определете вида на предоставената ви функция.Диапазонът от стойности на функцията са всички валидни x стойности (нанесени по хоризонталната ос), които съответстват на валидни y стойности. Функцията може да бъде квадратна или да съдържа дроби или корени. За да намерите обхвата на функция, първо трябва да определите типа на функцията.

1. Изберете подходящия запис за обхвата на функцията.Областта на дефиниция се записва в квадратни и/или кръгли скоби. Квадратна скобаприлага се, когато стойността е в обхвата на функцията; ако стойността е извън обхвата, се използва скоба. Ако функцията има няколко несъседни домейна, между тях се поставя знак "U".

   • Например обхватът на [-2,10) U(10,2] включва стойностите -2 и 2, но не включва стойността 10.

2. Парцел квадратична функция. Графиката на такава функция е парабола, чиито клонове са насочени нагоре или надолу. Тъй като параболата нараства или намалява по цялата ос X, домейнът на квадратичната функция е всички реални числа. С други думи, домейнът на такава функция е множеството R (R означава всички реални числа).

   • За по-добро разбиране на концепцията за функция изберете произволна стойност на "x", заменете я във функцията и намерете стойността на "y". Двойката стойности "x" и "y" представлява точка с координати (x, y), която лежи върху графиката на функцията.
   • Начертайте тази точка върху координатната равнина и направете описания процес с различна стойност на x.
   • Поставяйки няколко точки в координатната равнина, получавате Главна идеяотносно формата на графиката на функцията.

3. Ако функцията съдържа дроб, задайте нейния знаменател на нула.Не забравяйте, че не можете да делите на нула. Следователно, като приравните знаменателя на нула, ще намерите стойностите на "x", които не са включени в обхвата на функцията.

   • Например, намерете домейна на функцията f(x) = (x + 1) / (x - 1) .
   • Тук знаменателят е: (x - 1).
   • Приравнете знаменателя на нула и намерете "x": x - 1 = 0; х = 1.
   • Запишете обхвата на функцията. Домейнът на дефиниция не включва 1, т.е. включва всички реални числа с изключение на 1. Така домейнът на функцията е: (-∞,1) U (1,∞).
   • Означението (-∞,1) U (1,∞) се чете по следния начин: множеството от всички реални числа с изключение на 1. Символът за безкрайност ∞ означава всички реални числа. В нашия пример всички реални числа, които са по-големи от 1 и по-малки от 1, са включени в обхвата.

4. Ако функцията съдържа Корен квадратен, тогава коренният израз трябва да е по-голям или равен на нула.Не забравяйте, че корен квадратен от отрицателни числа не се взема. Следователно всяка стойност на "x", при която радикалният израз става отрицателен, трябва да бъде изключена от обхвата на функцията.

   • Например, намерете домейна на функцията f(x) = √(x + 3).
   • Радикален израз: (x + 3).
   • Коренният израз трябва да е по-голям или равен на нула: (x + 3) ≥ 0.
   • Намерете "x": x ≥ -3.
   • Домейнът на тази функция включва множеството от всички реални числа, които са по-големи или равни на -3. Така дефиниционната област е: [-3,∞).

   Част 2

   Намиране на диапазона на квадратична функция

   1. Уверете се, че ви е дадена квадратична функция.Квадратната функция има формата: ax 2 + bx + c: f(x) = 2x 2 + 3x + 4. Графиката на такава функция е парабола, чиито клонове са насочени нагоре или надолу. Съществуват различни методинамиране на диапазона на квадратичната функция.

      • Най-лесният начин да намерите диапазона на функция, съдържаща корен или дроб, е да начертаете такава функция с помощта на графичен калкулатор.

   2. Намерете х-координатата на върха на графиката на функцията.В случай на квадратична функция, намерете x-координатата на върха на параболата. Запомнете, че квадратичната функция е: ax 2 + bx + c. За да изчислите координатата "x", използвайте следното уравнение: x = -b/2a. Това уравнение е производна на основната квадратична функция и описва тангенса, наклонкоято е равна на нула (допирателната към върха на параболата е успоредна на оста X).

      • Например, намерете диапазона на функцията 3x 2 + 6x -2.
      • Изчислете координатата "x" на върха на параболата: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1

   3. Намерете y-координатата на върха на графиката на функцията.За да направите това, заменете намерената x-координата във функцията. Координата за търсене"y" представлява граничната стойност на диапазона на функцията.

      • Изчислете y координатата: y = 3x 2 + 6x - 2 = 3(-1) 2 + 6(-1) -2 = -5
      • Координати на върха на парабола на тази функция: (-1,-5).

   4. Определете посоката на параболата, като включите поне една x стойност във функцията.Изберете всяка друга стойност на x и я включете във функцията, за да изчислите съответната стойност на y. Ако намерената стойност "y" е по-голяма от координатата "y" на върха на параболата, тогава параболата е насочена нагоре. Ако намерената стойност "y" е по-малка от координатата "y" на върха на параболата, тогава параболата е насочена надолу.

      • Заместете x = -2 във функцията: y = 3x 2 + 6x - 2 = y = 3(-2) 2 + 6(-2) - 2 = 12 -12 -2 = -2.
      • Координати на точка, лежаща върху парабола: (-2,-2).
      • Намерените координати показват, че клоновете на параболата са насочени нагоре. По този начин диапазонът на функцията включва всички стойности на "y", които са по-големи или равни на -5.
      • Обхват на тази функция: [-5, ∞)

   5. Обхватът на функция се записва подобно на обхвата на функция.Квадратната скоба се използва, когато стойността е в обхвата на функцията; ако стойността е извън диапазона, се използва скоба. Ако функцията има няколко несъседни диапазона, между тях се поставя знак "U".

      • Например диапазонът [-2,10) U(10,2] включва стойностите -2 и 2, но не включва стойността 10.
      • Скобите винаги се използват със символа за безкрайност ∞.

В математиката има доста елементарни функции, чиято област на дефиниране е ограничена. Всички останали "сложни" функции са просто техните комбинации и комбинации.

1. Дробна функция - ограничение на знаменателя.

2. Коренът на четна степен е ограничение на радикалния израз.

3. Логаритми - ограничение върху основата на логаритъм и сублогаритмичен израз.

3. Тригонометрични tg(x) и ctg(x) - ограничение на аргумента.

За допирателна:

4. Обратни тригонометрични функции.

Арксинус	Аркосинус	Арктангенс, Арктангенс

Освен това се решават следните примери по темата "Обхватът на функциите".

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Пример 5

Пример 6

Пример 7

Пример 8

Пример 9

Пример 10

Пример 11

Пример 12

Пример 13

Пример 14

Пример 15

Пример 16

Пример за намиране на обхвата на функция №1

Намиране на домейна на всяка линейна функция, т.е. функции от първа степен:

y=2x+3 - уравнението определя права линия в равнината.

Нека да разгледаме отблизо функцията и да помислим какви числови стойности можем да заместим в уравнението вместо променливата x?

Нека се опитаме да заместим стойността x=0

Тъй като y = 2 0 + 3 = 3 - получихме числова стойност, следователно функцията съществува за дадената стойност на променливатах=0.

Нека се опитаме да заместим стойността x=10

тъй като y \u003d 2 10 + 3 \u003d 23 - функцията съществува, когато се вземе стойността на променливата x \u003d 10.

Нека се опитаме да заместим стойността x=-10

тъй като y \u003d 2 (-10) + 3 \u003d -17 - функцията съществува, когато се вземе стойността на променливата x \u003d -10.

Уравнението определя права линия в равнина, а правата линия няма начало или край, така че съществува за всяка стойност на x.

Обърнете внимание, че без значение какви числови стойности заместваме в дадената функция вместо x, винаги ще получим числената стойност на променливата y.

Следователно функцията съществува за всяка стойност x ∈ R или я записваме по следния начин: D(f) = R

Форми на отговор: D(f)=R или D(f)=(-∞:+∞)или x∈R или x∈(-∞:+∞)

Нека заключим:

За всяка функция от вида y = ax + b, домейнът на дефиниция е множеството от реални числа.

Пример за намиране на обхвата на функция № 2

Дадена е функция на формата:

y = 10/(x + 5) - уравнение на хипербола

Когато работите с дробна функция, не забравяйте, че не можете да делите на нула. Следователно функцията ще съществува за всички стойности на x, които не са

задайте знаменателя на нула. Нека се опитаме да заместим някои произволни x стойности.

За x = 0 имаме y = 10/(0 + 5) = 2 - функцията съществува.

За x = 10 имаме y = 10/(10 + 5) = 10/15 = 2/3- функцията съществува.

За x = -5 имаме y = 10/(-5 + 5) = 10/0 - функцията не съществува в този момент.

Тези. Ако дадена функциядробна, тогава е необходимо знаменателят да се приравни на нула и да се намери точка, в която функцията не съществува.

В нашия случай:

x + 5 = 0 → x = -5 - в този момент дадената функция не съществува.

x + 5 ≠ 0 → x ≠ -5

Нека го начертаем за по-голяма яснота:

На графиката виждаме също, че хиперболата се доближава до правата линия x = -5 възможно най-близо, но не достига самата стойност -5.

Виждаме, че дадената функция съществува във всички точки на реалната ос, с изключение на точката x = -5

Формуляри за записване на отговорите: D(f)=R\(-5)или D(f)=(-∞;-5) ∪ (-5;+∞) или х ∈ R\(-5)или х ∈ (-∞;-5) ∪ (-5;+∞)

Ако дадената функция е дробна, тогава наличието на знаменател налага условието знаменателят да не е равен на нула.

Пример за намиране на обхвата на функция №3

Помислете за пример за намиране на домейна на функция с корен от четна степен:

Тъй като можем да извлечем квадратния корен само от неотрицателно число, следователно функцията под корена е неотрицателна.

2x - 8 ≥ 0

Нека решим едно просто неравенство:

2x - 8 ≥ 0 → 2x ≥ 8 → x ≥ 4

Дадената функция съществува само за намерените стойности x ≥ 4 или D(f)=)