Как да определите кой знак за равенство на триъгълници. Третият знак за равенство на триъгълниците

За мнозина, които учат руски, истинският препъни камък е правопис “не” с прилагателни - сборно или разделно. Невъзможно е просто да запомните как се пише всяка дума. Но има няколко прости правила, и те ще помогнат да се определи редът на писане във всеки конкретен случай.

Разделно използване - като отрицателна частица

„Не“ се поставя отделно, като самостоятелна частица, в следните случаи:

• Когато се използва в изречение с други частици или думи, изразяващи отрицание. Например – никак интересна книга, незабележително лице, изобщо не е вълнуващ филм.
• Когато се използва заедно с качествени прилагателни в сравнителна степен. Например, не по-твърд от лед, не по-сладък от захар, не по-смел от лъв.
• Ако във фраза има някаква опозиция, най-често се предава с помощта на частицата „а“. Например, човек не е зъл, а мил, времето не е слънчево, а облачно, учителят не е стар, а млад.
• Ако има отрицание по отношение на някое качествено, притежателно или родствено имеприлагателно Например - „това не са очилата на баба“, „това не са зелена книга", "тези мебели не са дървени."

Кога „не“ служи като префикс и се поставя заедно с дума?

Правилата за непрекъснато писане също са доста лесни за запомняне.

• Някои думи могат да се използват само с този префикс. Например, човек може да бъде „невзрачен“, но думата „отвратителен“ не съществува в природата. Денят може да е „неблагоприятен“, но ако премахнете префикса „не“, думата ще престане да съществува отново.
• Фразата, в която се използва прилагателното, не съдържа контраст, а самото прилагателно може да бъде заменено със синоним без префикса „не“. Например - „късо дърво растеше на хълм“. Ако фразата не съдържа допълнително споменаване, че дървото е било „ниско“, тогава няма противопоставяне - обаче думата „ниско“ остава синоним. В този случай „не“ ще бъде префикс.
• Прилагателно с префикс „не“ участва в изброяването на всякакви характеристики без противопоставяне. Например „дървото не беше високо, но разперено“.
• Прилагателното се използва заедно с наречия като „много“, „изключително“, „изключително“. Например - „къщата беше много неудобна“, „времето беше изключително неприветливо“.

Удобно е, че тези правила се прилагат еднакво както за пълните, така и за кратките форми на прилагателните.

1. Прилагателни имена, които не се употребяват без, се пишат заедно със съществителни, например: небрежен, домашен, враждебен.

2. Пишат се заедно с неприлагателни, които в съчетание с не придобиват противоположно значение; Обикновено такива думи могат да бъдат заменени със синоними без не. Например: малък (срв.: малък), неженен (срв.: неженен), нереален (срв.: фалшив, престорен).

Забележка. Не винаги е възможно да се намери такъв синоним, но утвърдителната конотация на значението, съдържаща се в прилагателното, служи като основа за непрекъснато писане, например: Някой не оттук седи на камък в параклиса (Жуковски); Геруиг притежаваше някаква не-мъжествена женственост (Херцен); Младите му лудории... се определят от детска замисленост (Леонов).

3. Пишат се отделно от неприлагателните, ако има или се подразбира противопоставяне, напр.: проблемът не е прост, а е сложен; отношенията не са враждебни, светлината не е сурова, млякото не е кисело, месото не е прясно, погледът не е мил, задачата не е спешна; Не много от присъстващите подкрепиха оратора (мисли си: ... но малко).

4. По правило не се пише отделно от относителни прилагателни, даващи отрицание на признака, който изразяват, например: часовникът не е златен, медът не е липов, небето тук не е южно. От качествените прилагателни тук спадат прилагателните, които обозначават цвят и които в комбинация с не образуват думи с обратно значение, например: боята не е синя, подвързията не е жълта, нюансът не е сив.

Това взема предвид синтактична функцияприлагателно: правилото обикновено се прилага за прилагателни в ролята на предикат, тъй като предвидената опозиция придава на изявлението характера на общо отрицателно съждение, изразено от частицата not, но може да не се прилага за прилагателни в ролята на определител. Ср: тези хора не са оттук – да блестят с неземна красота; хартия, която не е бяла – небели граждани (цветни); логиката не е женска - момичето разсъждаваше с неженска логика; формата не е кръгла - сметката е за некръгла сума от 119 рубли ( преносен смисълдуми).

Забележка. В някои случаи е възможно двойно тълкуване и, като следствие, двойно изписване; срв.: тази задача не е трудна (утвърждава се „лекота”) – тази задача не е трудна („трудността” се отрича); не пред нас често срещано явление(т.е. рядко) – това, което имаме пред себе си, не е обикновено явление (мислим за контраст: ... но изключително, необичайно). Когато се пише разделно логическо ударениепада върху частица не. При разглеждането на такива проблеми е необходим по-широк контекст.

5. Различават се противопоставянето, изразено със съюза а, и противопоставянето, изразено със съюза но. В първия се отрича единият от двата противоположни признака, а се утвърждава другият, например: реката не е дълбока, а плитка; при второто няма понятия, които да са противоположни едно на друго, те са напълно съвместими, т.е. два атрибута се приписват едновременно на обект, без да се отрича един от тях, например: реката е плитка, но студена. В първия случай не се пише разделно, във втория се пише слято.

6. Наличието на обяснителни думи, като правило, не засяга непрекъснатото писане не с прилагателни (срв.: писане не с причастия, §70, параграф 2), например: непознат за нас автор, факти, неизвестни на науката , неуместна в дадените условия забележка, невидима на пръв поглед грешка, неразбираеми за ученика думи, ненужни за случая детайли, неверни в много отношения заключения; случай за разлика от другите; поведение, недостойно за достоен човек; обект негоден за строителство; езеро, невидимо зад гората (навсякъде се утвърждава отрицателен знак, а положителен не се отрича).

Забележка 1. Намерено е отделно писане не с прилагателно, което има обяснителни думи:

1) с прилагателни, които имат пълна и кратка форма различен смисъл(виж точка 8 по-долу), например: актьор, който не е готов да излиза, дете, което не е склонно към настинки;

2) ако има отрицателни местоимения и наречия (започващи с нито) или комбинации като обяснителни думи, далеч от, изобщо не, изобщо, например: неизвестен адрес, невинни хора, неразбираем израз, съвсем не вредна напитка , далеч не е просто решение, изобщо не е безплодно търсене, съвсем не нова история; Ср: по непознати за мен пътища - по неизвестни никому пътища; но: В живота няма нищо невъзможно; Няма нищо незаконно в това, в което е обвинен съседът ми (отрицателното местоимение не зависи от прилагателните, а самото се пояснява от тях);

3) понякога при поставяне на прилагателно със зависими думи след определеното съществително, например: предприятия, които не са подчинени на тръста (в условия на изолация конструкцията с прилагателното се доближава по смисъл до причастна фраза); cf: шахматистът играеше в необичаен за него стил - черти, които не са характерни за нашата младеж.

Забележка 2. Ако пояснителната дума е наречие за мярка и степен (много, изключително, много, почти, наречно израз в най-висока степени др.), тогава не се пише заедно с прилагателно, например: много грозна постъпка, изключително неуместна атака, много несполучливо изпълнение, почти непознат текст, изключително нечетлив почерк.

Забележка 3. Ако има наречие като поясняваща дума, напълно е възможно да се напише както заедно, така и поотделно не с прилагателни, което се свързва с две значения, в които се използва посоченото наречие:

1) „напълно, много“;

2) „в никакъв случай“, „по никакъв начин“;

срв.: напълно ненужна среща (напълно ненужна, излишна) - никак случайна среща(съвсем не произволно, логическият ударение не пада върху него). В някои случаи са възможни и двете интерпретации и в резултат на това и двете изписвания, например: много малки постижения (малки, скромни) - изобщо не са големи постижения (изобщо не са големи). В тези случаи не е необходим по-широк контекст за разрешаване на проблема с писмеността (вижте също бележката към параграф 4). Продължителното писане е характерно за информационните текстове, разделното писане е типично за полемичните текстове.

Самото наречие позволява двойно тълкуване:

1) „съвсем не“;

2) “съвсем, напълно” – в разговорен стилречи;

срв.: Срещу възраждането се изказваше непоследователно, объркваше се и привеждаше съвсем неубедителни аргументи. – Авторите на тези трудове са по-малко популярни или напълно неизвестни учени. Както е в случая с напълно, окончателно решениезависи от характера на текста.

7. В кратки прилагателниотрицанието не се пише основно по същия начин, както при пълните: заедно при липса на противопоставяне и поотделно при наличието му, например: стаята не е висока - стаята не е висока, въпросът е неясен - въпросът е не е ясна, недействителна сделка - сделката е недействителна в нарушение на закона; романът не е интересен, а скучен; Заливът е плитък, но удобен за плаване с моторна лодка.

ср. писане при наличието на различни обяснителни думи: Търсенето на материали по избраната тема не е трудно за него; Хората бяха твърде несигурни за бъдещето; Той е напълно непознат най-новите постиженияв областта на науката за животните. – Тук вече не е възможен контрол; Не си приличат по нищо. ср. също: Тази река винаги е неспокойна. – Тази река никога не е спокойна.

8. Пише се отделно от кратките прилагателни, които не са употребени в пълна форма или имат различно значение в пълна форма, например: не е готов да тръгне, не трябва да прави това, не възнамерява да мълчи, не е длъжен да помага, е не се радва да се запознаем, не е склонен да вярва, не е в настроение за разговор.

Забележка. В зависимост от значението не с кратките прилагателни, както с пълните, се пише слято или разделно; сравнете: нашето семейство не е богато (приблизително същото като бедно) - нашето семейство не е богато (т.е. със среден доход); това момиче е грозно (потвърждава се отрицателен атрибут) - това момиче не е красиво (отрича се положителен атрибут), адресът е неизвестен (потвърждава се "неизвестен") - адресът е неизвестен (отрича се "слава"). ср. Вижте още: Не е голям проблем. – Изглежда, че това разстояние не е голямо за оставащите.

По-често се среща разделното писане по двойки: ненужен – ненужен, неправилен – грешен, несъгласен – несъгласен, неспособен – неспособен (обикновено в тези случаи отрицанието на положителен признак се усеща повече от утвърждаването на отрицателен).

9. Двоен правопис се среща и в комбинации, които не са със сравнителна степен на прилагателни, например: Този скрийнсейвър е по-грозен от този (по-грозен). – Този скрийнсейвър не е по-красив от този (няма по-голяма красота); Тази нощ сънят на пациента беше по-неспокоен от предишната (беше още по-неспокоен). – Тази нощ сънят на пациента не беше по-спокоен от предишната (не беше по-спокоен).

Пише се отделно: не по-ниско, не по-високо, не по-добро, не по-лошо, не по-близо, не по-бедно и т.н. ( частна форманаписани не със сравнителна степен на прилагателните).

Разделно се пише не с формите по-голям, по-малък, по-добър, по-лош, например: с не по-малък успех, с не по-добри шансове.

10. Правописът не се различава от отглаголни прилагателнина -мой и с причастия на -мой; ако има обяснителни думи, първите се пишат слято (както наименуваните прилагателни), вторите се пишат отделно, например:

а) остров, необитаем от дълго време, кристали, неразтворими във вода, фигури на хора, неразличими в тъмното;

б) резервати непосещавани от ловци, нечетени списания от неспециалисти, дете необичано от майката.

Прилагателните на -my включват думи, образувани от not преходни глаголи(например: независим, водоустойчив, огнеупорен) или от глаголи перфектна форма(например: непоправим, непрактичен, неразрушим). Тези думи се прилагат Общи правилаизписвания не с прилагателни, т.е. те се пишат слято и с пояснителни думи (виж примерите по-горе), както и в кратка форма (например: островът е необитаем, болестта е нелечима, тези страни са икономически независими). Правилото обаче остава в сила разделно писанеприлагателни с не, ако пояснителните думи са местоимения и наречия, започващи с нито, или комбинации далеч от, изобщо не, изобщо (виж по-горе, параграф 6, бележка 1, подпараграф 2), например: с нищо несравнимо впечатление , държави независещи от никого, изобщо не разтворими кристали; Това явление не може да бъде премахнато нито от живота, нито от изкуството. Изключение правят думите, които не се използват без значение, например: от никого непобедима армия, неразбираем случай за никого, уникален експеримент при никакви обстоятелства.

Забележка. Необходимо е да се прави разлика между правописа не с думи на -my, образувани от преходни глаголи несъвършена форма: такива думи могат да бъдат като страдателни причастиясегашно време и прилагателни (в първия случай правописът с не е отделен, във втория - продължителен). Те са причастия, ако се използват като обяснителна дума инструментален падеж актьор, по-рядко творчески инструмент (т.нар. инструментал); при наличието на други поясняващи думи се превръщат в прилагателни (губят значението на пасивност и значението на време и придобиват качествена стойност). Сравнете: дете, което не е обичано от майката - необичани игри в детството (във втория случай думата необичан показва постоянен знак, означава приблизително същото като „неприятно“, „нежелателно“); движение, което не е възпрепятствано от въздуха - страната на Луната, невидима от Земята.

Прилагателните от този тип включват: невидим, безотговорен, възпламеним, неугасим, неподвижен, неделим, незабравим, невидим, непроменим, необичан, немислим, необложен, неотчуждаем, непреводим, непрехвърляем, непознаваем, непроверяем, неконюгиран, нетолерантен и т.н. Вж. писането им при наличието на обяснителни думи: число, неделимо на три, незабравими срещи за нас, през сълзи, невидими за света, записи, немислими в близкото минало, неописуеми с прости думичувства, непроверени сметки от дълго време, непроходима мръсотия през пролетта, несклоняеми съществителни в руския език, нетолерантно поведение в нашето общество и др.

11. Пише се разделно не с прилагателно в въпросително изречение, ако отричането е логично подчертано, например: Тази позиция не е ли ясна без никакви доказателства? Кой не знае имената на нашите космонавти?

Забележка. Ако отрицанието не е подчертано, тогава се използва продължителен правопис, например: Неясна ли е тази позиция? Грешно ли е това твърдение? (възможна е замяна: грешно ли е това твърдение?)

Комбинирано и разделно изписване на частици и представки „не“ с в различни частиречта винаги създава трудности. Някои хора разчитат на принципа: „Ако можете да вмъкнете дума, напишете я отделно“, други се опитват да избегнат спорни въпроси, като предпочитат да използват синоними „не“ с прилагателни е една от най-простите теми за разбиране е да обясните правилно материала.

Структура на правилата

Правописът на „не“ с прилагателни е правило, което напълно съвпада с изписването на същата частица и префикс със съществителни и наречия, завършващи на „о“. Трябва да запомните само осем точки от правилото, шест от които са за раздяла, а останалите две са за непрекъснато писанеотрицателна представка-частица.

„Не“ заедно

В никакъв случай не трябва да забравяме, че има думи, с които "не" винаги се пише заедно - това е част от корена, която не може да бъде отделена от думата. Така „не“ с прилагателни, които не се използват без него, винаги се пише заедно. Например: небрежен, нещастен, тромав - думите „небрежен“, „нещастен“ и „тромав“ не съществуват в руския език, така че „не“ не може да бъде отделено от тях при никакви обстоятелства. Обикновено никой не изпитва затруднения с тази част от правилото.

Вторият случай, когато „не“ се пише заедно с прилагателни, е възможността прилагателното да се замени със синоним без отрицателен префикс. Например: плитък - плитък, лош - лош, доста голям - голям. Важно е да запомните, че това правило работи само с качествени прилагателни(именно те имат синоними и антоними и образуват степени на сравнение).

"Не" отделно - общи точки

Разделянето на „не“ с прилагателни е по-обемно правило, но не по-сложно. Разбира се, можете да отидете от обратното: ако не е заменен със синоним без „не“ и се използва без „не“ - пишете отделно, но такова универсални техниките не винаги работят и освен това понякога трябва да можете да обясните защо е написано по този начин, а не по друг начин.

Първо, частицата „не“ се пише отделно от прилагателното, ако има контраст със съюза „а“. Например: не голям, а малък; не широк, а тесен. Важно е да запомните, че „не“ с прилагателни, последвано от съюза „но“ се пише заедно (ако думата отговаря на правилото за писане на „не“ заедно): тясна, но дълбока река; грозно, но мил човек; ирационално, но правилно решение.

Второ, руският е един от малкото езици, където съществуват двойни отрицания. Именно с него „не“ се пише отделно: не е интересно за никого, изобщо не е смешно, не е тайно за никого.

Трето, има някои правила за комбинирано и отделно изписване на „не“, които са универсални за всички части на речта. Такъв е случаят с „изобщо“, „изобщо“, „далеч от“, с които тази частица винаги се пише отделно. Например: никак не е весело, никак не е просторно, далеч не е щастливо. Тук, между другото, има и своя собствена сложност: много често те в никакъв случай не се бъркат с наречия за мярка и степен, като „перфектно“ и „абсолютно“. Когато присъстват, „не“ се пише заедно, например: абсолютно не студено, напълно тесногръдо.

"Не" отделно - функции

Отделна част от правилото се състои от точки, за които „не“ и прилагателните винаги се пишат отделно. Тук няма изключения, просто трябва да запомните три кратки твърдения:

Първо.Думите, които са написани с тире и „не“, винаги се разделят: не по другарски начин, не на руски.

Второ.Относителни (означават характеристика, която не може да бъде притежавана в по-голяма или по-малка степен) и притежателни (принадлежащи на някого) прилагателни, прилагателнивкус (кисел) и цвят (розов) се пишат отделно от „не“: не зимен, не майчин, не горчив, не черен. Между другото, за да разграничите категориите прилагателни, можете да спорите от противоречие: ако едно прилагателно няма степени на сравнение, синоними и антоними, то определено е относително или притежателно и отговаря на това правило.

трето.Сравнителните прилагателни също се пишат отделно: не по-добре, не по-свободно, не по-оригинално.

Консолидация с упражнения

В редица случаи учебниците предоставят много оскъдни примери за изписване на представката „не“ с прилагателни заедно и поотделно. Най-често се дават правила, но има малко упражнения, които действително могат да помогнат за запомнянето на тези правила. В уроците учителите обикновено просто дават поредица от думи и ученикът трябва да реши дали "не" ще стане частица или префикс за всеки случай. Запознаването с правилото и последващата практика определено ще помогнат за по-добро консолидиране на обхванатия материал.

Първото упражнение е идентифициране на правописа на „не“ с прилагателни. Примери: (не) красива; абсолютно (не)смешно; (не) широк, но дълъг; (не) стена; далеч (не) весел; (не по-добре; (не) синьо; (не) по приятелски начин; (не)интересен за никого; (не) дълбоко, но плитко.

Тази проста задача ще ви даде възможност или да запомните правилата, или да тествате интуицията си - във всеки случай такива упражнения се считат за най-често срещаните при практикуването на това правило.

Второто упражнение обяснява „не“ с прилагателни. Примери за „отделно“: не синьо; не по-красив; изобщо не е мека; не е дървена; не прясно, а остаряло; не е сладко; не на турски; изобщо не е голям; не е на майка ми; изобщо не е привлекателен. Примери за „заедно“: не грубо; без късмет; не широк, но дълбок; тъжен; небрежен; безинтересен; грозен; предизвикателство, но вълнуващо; не се ядосвам; нестудено.

Отговорите на упражненията можете да намерите в самите правила.

Заключение

Писането на „не“ с прилагателни не е никак трудна тема. Въпреки това е много важно да му се обърне нужното внимание. Основното тук е да запомните точките от правилата, които отговарят за писането на „не“ с прилагателни заедно и отделно. Примерите и практиката ще ви помогнат да разберете по-добре и да консолидирате преминатия материал.

Теорема

Доказателство

Да разгледаме триъгълници ABC и A 1 B 1 C 1, в които AB = A 1 B 1, ∠A = ∠A 1, ∠B = ∠B 1 (фиг. 68). Нека докажем, че Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Ориз. 68

Нека насложим триъгълник ABC върху триъгълник A 1 B 1 C 1 така, че върхът A да е подравнен с върха A 1, страната AB да е подравнена със страната AjBj, равна на нея, а върховете C и C 1 да са от една и съща страна на правата A 1 Б 1.

Тъй като ∠A = ∠A 1 и ∠B = ∠B 1, тогава страната AC ще се припокрива с лъч A 1 C 1, а страната BC ще се припокрива с лъч B 1 C 1. Следователно върхът C - общата точка на страните AC и BC - ще се окаже, че лежи както на лъч A 1 C 1, така и на лъч B 1 C 1 и следователно съвпада с обща точкаот тези лъчи - връх C 1. Това означава, че страните AC и A 1 C 1, BC и B 1 C 1 ще съвпадат.

И така, триъгълниците ABC и A 1 B 1 C 1 са напълно съвместими, така че са равни. Теоремата е доказана.

Третият знак за равенство на триъгълниците

Теорема

Доказателство

Разгледайте триъгълници ABC и A 1 B 1 C 1, в които AB = A 1 B 1, BC = B 1 C 1, CA = C 1 A 1 (фиг. 69).

Ориз. 69

Нека докажем, че Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 . Нека приложим триъгълник ABC към триъгълник A 1 B 1 C 1, така че връх A да е подравнен с връх A 1, връх B да е подравнен с връх B 1, а върховете C и C 1 да са подравнени различни страниот права линия A 1 B 1 (фиг. 70).

Ориз. 70

Възможни са три случая: лъчът C 1 C преминава в ъгъла A 1 C 1 B 1 (фиг. 70, а); лъч C 1 C съвпада с една от страните на този ъгъл (фиг. 70, b); лъч C 1 C минава извън ъгъла A 1 C 1 B 1 (фиг. 70, c). Нека разгледаме първия случай (разгледайте останалите случаи сами).

Тъй като според условията на теоремата страните AC и A 1 C 1, BC и B 1 C 1 са равни, тогава триъгълниците A 1 C 1 C и B 1 C 1 C са равнобедрени (виж фиг. 70, а). По теоремата за свойството на ъглите на равнобедрен триъгълник ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, следователно ∠A 1 CB 1 = ∠A 1 C 1 B 1 . И така, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1, ∠C = ∠C 1.

Следователно триъгълниците ABC и A 1 B 1 C 1 са равни според първия знак за равенство на триъгълниците. Теоремата е доказана.

От третия критерий за равенство на триъгълниците следва, че триъгълник - твърда фигура. Нека обясним какво означава това.

Да си представим две летви, двата края на които са закрепени с пирон (фиг. 71, а). Този дизайн не е твърд: чрез преместване или разпръскване на свободните краища на ламелите можем да променим ъгъла между тях. Сега нека вземем друга летва и затегнем краищата й със свободните краища на първите две летви (фиг. 71, b).

Ориз. 71

Получената структура - триъгълник - вече ще бъде твърда. Невъзможно е да се преместят или раздалечат две страни, т.е. нито един ъгъл не може да бъде променен. Наистина, ако това беше възможно, тогава щяхме да получим нов триъгълник, не равен на оригиналния. Но това е невъзможно, тъй като новият триъгълник трябва да бъде равен на оригиналния според третия критерий за равенство на триъгълниците.

Това свойство - твърдостта на триъгълника - се използва широко в практиката. Така че, за да се закрепи стълбът във вертикално положение, върху него се поставя опора (фиг. 72, а); същият принцип се използва при монтиране на скобата (фиг. 72, b).

Ориз. 72

Задачи

121. Отсечките AB и CD се пресичат в средата O на отсечката AB, ∠OAD = ∠OBC.

а) Докажете, че Δ SBO = Δ DAO;
б) намерете BC и CO, ако CD = 26 cm, AD = 15 cm.

122. На фигура 53 (виж стр. 31) ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4.

а) Докажете, че Δ ABC = Δ CDA;
б) намерете AB и BC, ако AO = 19 cm, CD = 11 cm.

123. Точка D е взета върху ъглополовящата на ъгъл A, а точките B и C са взети от страните на този ъгъл така, че ∠ADB = ∠ADC. Докажете, че BD = CD.

124. Въз основа на данните от фигура 73 докажете, че OP = OT, ∠P = ∠T.

Ориз. 73

125. На фигура 74 ∠DAC = ∠DBC, AO = VO. Докажете, че ∠C = ∠D и AC = BD.

Ориз. 74

126. На фигура 74 ∠DAB = ∠CBA, ∠CAB = ∠DBA, AC =13 cm Намерете BD.

127. В триъгълници ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1, BC = B 1 C 1, ∠B - ∠B 1. Върху страните AB и A 1 B 1 са отбелязани точки D и D 1 така, че ∠ACO = ∠A 1 C 1 D 1 . Докажете, че Δ BCD = Δ B 1 C 1 D 1 .

128. Докажете, че в равни триъгълнициъглополовящи, начертани съответно равни страни, са равни.

129. Отсечките AC и BD се пресичат в средата O на отсечката AC, ∠BCO = ∠DAO. Докажете, че Δ BOA = Δ DOC.

130. В триъгълниците ABC и A 1 B 1 C 1 отсечките CO и C 1 O 1 са медиани, BC = B 1 C 1, ∠B - ∠B 1 и ∠C = ∠C 1. Докажи това:

а) Δ ASO = Δ A 1 C 1 O 1;
б) Δ BCO = Δ B 1 C 1 O.

131. В триъгълници DEF и MNP, EF - NP, DF = MP и ∠F = ∠P. Симетралите на ъгли E и D се пресичат в точка O, а ъглополовящите на ъгли M и N се пресичат в точка K. Докажете, че ∠DOE = ∠MKN.

132. Права, перпендикулярна на ъглополовящата на ъгъл A, пресича страните на ъгъла в точки M и N. Докажете, че триъгълникът AMN е равнобедрен.

133. Докажете, че ако ъглополовящата на триъгълник е неговата надморска височина, то триъгълникът е равнобедрен.

134. Докажете, че равнобедрените триъгълници са еднакви, ако основата и прилежащият ъгъл на единия триъгълник са съответно равни на основата и прилежащия ъгъл на другия триъгълник.

135. Докажете, че ако страната на една равностранен триъгълнике равно на страната на друг равностранен триъгълник, тогава триъгълниците са еднакви.

136. На фигура 52 (виж стр. 31) AB-AC, BD = DC и ∠BAC = 50°. Намерете ∠CAD.

137. На фигура 53 (виж стр. 31) BC = AD, AB = CD. Докажете, че ∠B = ∠D.

138. На фигура 75 AB = CD и BD = AC. Докажете, че: а) ∠CAD = ∠ADB; б) ∠BAC = ∠CDB.

Ориз. 75

139. На фигура 76 AB = CD, AD = BC, BE е ъглополовящата на ъгъл ABC, а DF е ъглополовящата на ъгъл ADC. Докажи това:

а) ∠ABE = ∠ADF;
б) Δ ABE = Δ CDF.

Ориз. 76

140. В триъгълници ABC и A 1 B 1 C 1 медианите BM и B 1 M 1 са равни, AB = A 1 B 1 AC = A 1 C 1. Докажете, че Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

141. В триъгълниците ABC и A 1 B 1 C 1 отсечките AD и A 1 D 1 са ъглополовящи, AB = A 1 B 1, BD = B 1 D 1 и AD = A 1 D 1. Докажете, че Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

142. Равнобедрени триъгълници ADC и BCD имат общо основание DC. Правата AB пресича отсечката CD в точка O. Докажете, че: а) ∠ADB = ∠ACB; б) DO = OC.

Отговори на проблеми

121. б) BC = 15 cm, CO = 13 cm.

122. б) AB = 11 cm, BC = 19 cm.

142. Инструкция. Разгледайте два случая. Точка B лежи: а) на лъча AO; б) върху продължението на лъча AO.