Как да решим дискриминанта на квадратно уравнение. Квадратни уравнения

Дискриминантът, както и квадратните уравнения, започват да се изучават в курса по алгебра в 8 клас. Можете да решите квадратно уравнение чрез дискриминанта и с помощта на теоремата на Vieta. Методологията за изучаване на квадратни уравнения, както и дискриминантната формула, се внушават доста неуспешно на учениците, както много в реалното образование. Следователно минават учебни години, обучението в 9-11 клас замества "висше образование" и всеки отново търси - "Как да решим квадратно уравнение?", "Как да намерим корените на уравнение?", "Как да намерим дискриминанта?" и...

Дискриминантна формула

Дискриминантът D на квадратното уравнение a*x^2+bx+c=0 е D=b^2–4*a*c.
Корените (решенията) на квадратното уравнение зависят от знака на дискриминанта (D):
D>0 - уравнението има 2 различни реални корена;
D=0 - уравнението има 1 корен (2 съвпадащи корена):
д<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Формулата за изчисляване на дискриминанта е доста проста, така че много сайтове предлагат онлайн калкулатор на дискриминанта. Все още не сме измислили този вид скриптове, така че който знае как да приложим това, моля, пишете на пощата Този имейл адрес е защитен от спам ботове. Трябва да имате активиран JavaScript, за да видите. .

Обща формула за намиране на корените на квадратно уравнение:

Корените на уравнението се намират по формулата
Ако коефициентът на променливата в квадрата е сдвоен, тогава е препоръчително да се изчисли не дискриминантът, а неговата четвърта част
В такива случаи корените на уравнението се намират по формулата

Вторият начин за намиране на корени е теоремата на Виета.

Теоремата е формулирана не само за квадратни уравнения, но и за полиноми. Можете да прочетете това в Wikipedia или други електронни ресурси. Въпреки това, за да опростим, разгледайте тази част от него, която се отнася до редуцирани квадратни уравнения, тоест уравнения от вида (a=1)
Същността на формулите на Vieta е, че сумата от корените на уравнението е равна на коефициента на променливата, взета с обратен знак. Произведението на корените на уравнението е равно на свободния член. Формулите на теоремата на Виета имат нотация.
Извеждането на формулата на Vieta е доста просто. Нека напишем квадратното уравнение чрез прости множители
Както можете да видите, всичко гениално е просто в същото време. Ефективно е да се използва формулата на Vieta, когато разликата в модула на корените или разликата в модула на корените е 1, 2. Например следните уравнения, съгласно теоремата на Vieta, имат корени




Анализът на до 4 уравнения трябва да изглежда така. Продуктът на корените на уравнението е 6, така че корените могат да бъдат стойностите (1, 6) и (2, 3) или двойки с противоположен знак. Сумата от корените е 7 (коефициентът на променливата с обратен знак). От тук заключаваме, че решенията на квадратното уравнение са равни на x=2; х=3.
По-лесно е да се изберат корените на уравнението сред делителите на свободния член, като се коригира знакът им, за да се изпълнят формулите на Vieta. В началото това изглежда трудно изпълнимо, но с практика върху редица квадратни уравнения тази техника ще бъде по-ефективна от изчисляването на дискриминанта и намирането на корените на квадратното уравнение по класическия начин.
Както можете да видите, училищната теория за изучаване на дискриминанта и начините за намиране на решения на уравнението е лишена от практическо значение - „Защо учениците имат нужда от квадратно уравнение?“, „Какво е физическото значение на дискриминанта?“.

Нека се опитаме да го разберем какво описва дискриминантът?

В курса по алгебра се изучават функции, схеми за изучаване на функции и начертаване на функции. От всички функции важно място заема парабола, чието уравнение може да бъде написано във формата
Така че физическият смисъл на квадратното уравнение е нулите на параболата, тоест точките на пресичане на графиката на функцията с абсцисната ос Ox
Моля ви да запомните свойствата на параболите, които са описани по-долу. Ще дойде време за полагане на изпити, тестове или приемни изпити и ще бъдете благодарни за справочния материал. Знакът на променливата в квадрата съответства на това дали клоновете на параболата на графиката ще се издигнат нагоре (a>0),

или парабола с клони надолу (а<0) .

Върхът на параболата лежи по средата между корените

Физическото значение на дискриминанта:

Ако дискриминантът е по-голям от нула (D>0), параболата има две точки на пресичане с оста Ox.
Ако дискриминантът е равен на нула (D=0), тогава параболата в горната част докосва оста x.
И последният случай, когато дискриминантът е по-малък от нула (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Непълни квадратни уравнения

Квадратните уравнения се изучават в 8 клас, така че тук няма нищо сложно. Способността да ги решавате е от съществено значение.

Квадратно уравнение е уравнение от вида ax 2 + bx + c = 0, където коефициентите a , b и c са произволни числа и a ≠ 0.

Преди да изучаваме конкретни методи за решаване, отбелязваме, че всички квадратни уравнения могат да бъдат разделени на три класа:

1. Нямат корени;
2. Те имат точно един корен;
3. Те имат два различни корена.

Това е важна разлика между квадратните и линейните уравнения, където коренът винаги съществува и е уникален. Как да определим колко корена има едно уравнение? Има нещо прекрасно за това - дискриминанта.

Дискриминанта

Нека е дадено квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогава дискриминантът е просто числото D = b 2 − 4ac.

Тази формула трябва да се знае наизуст. Сега не е важно откъде идва. Друго нещо е важно: чрез знака на дискриминанта можете да определите колко корена има едно квадратно уравнение. а именно:

1. Ако Д< 0, корней нет;
2. Ако D = 0, има точно един корен;
3. Ако D > 0, ще има два корена.

Моля, обърнете внимание: дискриминантът показва броя на корените, а не изобщо техните знаци, както по някаква причина много хора мислят. Разгледайте примерите и сами ще разберете всичко:

Задача. Колко корена имат квадратните уравнения:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Записваме коефициентите за първото уравнение и намираме дискриминанта:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

И така, дискриминантът е положителен, така че уравнението има два различни корена. Анализираме второто уравнение по същия начин:
а = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Дискриминантът е отрицателен, няма корени. Остава последното уравнение:
а = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминантът е равен на нула - коренът ще бъде единица.

Имайте предвид, че коефициентите са записани за всяко уравнение. Да, дълго е, да, досадно е - но няма да объркате шансовете и да не правите глупави грешки. Изберете сами: скорост или качество.

Между другото, ако „напълните ръката си“, след известно време вече няма да е необходимо да пишете всички коефициенти. Ще извършвате такива операции в главата си. Повечето хора започват да правят това някъде след 50-70 решени уравнения - като цяло не толкова.

Корените на квадратно уравнение

Сега да преминем към решението. Ако дискриминантът D > 0, корените могат да бъдат намерени по формулите:

Основната формула за корените на квадратно уравнение

Когато D = 0, можете да използвате всяка от тези формули - получавате същото число, което ще бъде отговорът. И накрая, ако Д< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Първо уравнение:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; с = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнението има два корена. Нека ги намерим:

Второ уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; с = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнението отново има два корена. Да ги намерим

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \край (подравняване)\]

И накрая, третото уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; с = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнението има един корен. Всяка формула може да се използва. Например първото:

Както можете да видите от примерите, всичко е много просто. Ако знаете формулите и можете да смятате, няма да има проблеми. Най-често възникват грешки, когато във формулата се заменят отрицателни коефициенти. Тук отново ще ви помогне описаната по-горе техника: погледнете формулата буквално, нарисувайте всяка стъпка - и се отървете от грешките много скоро.

Непълни квадратни уравнения

Случва се квадратното уравнение да е малко по-различно от даденото в дефиницията. Например:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Лесно се вижда, че един от членовете липсва в тези уравнения. Такива квадратни уравнения са дори по-лесни за решаване от стандартните: те дори не трябва да изчисляват дискриминанта. Така че нека въведем нова концепция:

Уравнението ax 2 + bx + c = 0 се нарича непълно квадратно уравнение, ако b = 0 или c = 0, т.е. коефициентът на променливата x или свободния елемент е равен на нула.

Разбира се, възможен е много труден случай, когато и двата коефициента са равни на нула: b \u003d c \u003d 0. В този случай уравнението приема формата ax 2 \u003d 0. Очевидно такова уравнение има един корен: x \u003d 0.

Да разгледаме други случаи. Нека b \u003d 0, тогава получаваме непълно квадратно уравнение под формата ax 2 + c \u003d 0. Нека леко го трансформираме:

Тъй като аритметичният квадратен корен съществува само от неотрицателно число, последното равенство има смисъл само когато (−c / a ) ≥ 0. Заключение:

1. Ако непълно квадратно уравнение от формата ax 2 + c = 0 удовлетворява неравенството (−c / a ) ≥ 0, ще има два корена. Формулата е дадена по-горе;
2. Ако (−c / a)< 0, корней нет.

Както можете да видите, дискриминантът не е необходим - изобщо няма сложни изчисления в непълните квадратни уравнения. Всъщност дори не е необходимо да помним неравенството (−c / a ) ≥ 0. Достатъчно е да изразим стойността на x 2 и да видим какво има от другата страна на знака за равенство. Ако има положително число, ще има два корена. Ако е отрицателен, изобщо няма да има корени.

Сега нека разгледаме уравнения от формата ax 2 + bx = 0, в които свободният елемент е равен на нула. Тук всичко е просто: винаги ще има два корена. Достатъчно е да факторизираме полинома:

Изваждане на общия множител от скобата

Произведението е равно на нула, когато поне един от множителите е равен на нула. От тук идват корените. В заключение ще анализираме няколко от тези уравнения:

Задача. Решаване на квадратни уравнения:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Няма корени, т.к квадратът не може да бъде равен на отрицателно число.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Копьевская селска гимназия

10 начина за решаване на квадратни уравнения

Ръководител: Патрикеева Галина Анатолиевна,

учител по математика

с.Копиево, 2007г

1. История на развитието на квадратните уравнения

1.1 Квадратни уравнения в древен Вавилон

1.2 Как Диофант съставя и решава квадратни уравнения

1.3 Квадратни уравнения в Индия

1.4 Квадратни уравнения в ал-Хорезми

1.5 Квадратни уравнения в Европа XIII - XVII век

1.6 За теоремата на Виета

2. Методи за решаване на квадратни уравнения

Заключение

Литература

1. История на развитието на квадратните уравнения

1.1 Квадратни уравнения в древен Вавилон

Необходимостта от решаване на уравнения не само от първа, но и от втора степен в древността е била причинена от необходимостта от решаване на проблеми, свързани с намирането на площи на земя и земни работи от военен характер, както и от развитието на астрономията и самата математика. Квадратните уравнения са били в състояние да решават около 2000 г. пр.н.е. д. вавилонци.

Прилагайки съвременна алгебрична нотация, можем да кажем, че в техните клинописни текстове има, освен непълни, такива, например, пълни квадратни уравнения:

х 2 + х = ¾; х 2 - х = 14,5

Правилото за решаване на тези уравнения, изложено във вавилонските текстове, съвпада по същество със съвременното, но не е известно как вавилонците са стигнали до това правило. Почти всички клинописни текстове, открити досега, дават само задачи с решения, посочени под формата на рецепти, без индикация как са намерени.

Въпреки високото ниво на развитие на алгебрата във Вавилон, в клинописните текстове липсва понятието за отрицателно число и общи методи за решаване на квадратни уравнения.

1.2 Как Диофант съставя и решава квадратни уравнения.

Аритметиката на Диофант не съдържа систематично изложение на алгебрата, но съдържа систематична поредица от задачи, придружени от обяснения и решени чрез съставяне на уравнения от различни степени.

Когато съставя уравнения, Диофант умело избира неизвестни, за да опрости решението.

Ето например една от задачите му.

Задача 11.„Намерете две числа, като знаете, че сборът им е 20, а произведението им е 96“

Диофант аргументира следното: от условието на задачата следва, че желаните числа не са равни, тъй като ако бяха равни, тогава произведението им нямаше да бъде 96, а 100. Така едно от тях ще бъде повече от половината от тяхното сума, т.е. 10+x, другият е по-малък, т.е. 10-те. Разликата между тях 2x .

Следователно уравнението:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - х 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Оттук х = 2. Едно от желаните числа е 12 , друго 8 . Решение х = -2за Диофант не съществува, тъй като гръцката математика познава само положителни числа.

Ако решим тази задача, като изберем едно от желаните числа като неизвестно, тогава ще стигнем до решението на уравнението

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Ясно е, че Диофант опростява решението, като избира полуразликата на желаните числа като неизвестно; той успява да сведе проблема до решаване на непълно квадратно уравнение (1).

1.3 Квадратни уравнения в Индия

Задачи за квадратни уравнения се намират още в астрономическия трактат "Арябхатам", съставен през 499 г. от индийския математик и астроном Арябхатта. Друг индийски учен, Брахмагупта (7 век), очерта общото правило за решаване на квадратни уравнения, сведени до една канонична форма:

ах 2+ b x = c, a > 0. (1)

В уравнение (1) коефициентите, с изключение на а, може да бъде и отрицателен. Правилото на Брахмагупта по същество съвпада с нашето.

В древна Индия публичните състезания в решаването на трудни проблеми са били обичайни. В една от старите индийски книги за подобни състезания се казва следното: „Както слънцето засенчва звездите с блясъка си, така един учен човек ще засенчи славата на друг в публични събрания, предлагайки и решавайки алгебрични задачи.“ Задачите често бяха облечени в поетична форма.

Ето един от проблемите на известния индийски математик от XII век. Бхаскара.

Задача 13.

„Бързо стадо маймуни и дванадесет в лози ...

След като ядохте власт, се забавлявахте. Те започнаха да скачат, да висят ...

Част осма от тях в квадрат Колко маймуни имаше,

Забавление на поляната. Ти ми кажи, в това стадо?

Решението на Бхаскара показва, че той е знаел за двузначността на корените на квадратните уравнения (фиг. 3).

Уравнението, съответстващо на задача 13 е:

( х /8) 2 + 12 = х

Бхаскара пише под прикритието на:

x 2 - 64x = -768

и за да завърши лявата страна на това уравнение до квадрат, той добавя към двете страни 32 2 , получавайки след това:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Квадратни уравнения в ал-Хорезми

Алгебричният трактат на Ал-Хорезми дава класификация на линейни и квадратни уравнения. Авторът изброява 6 вида уравнения, като ги изразява по следния начин:

1) „Квадратите са равни на корени“, т.е. брадва 2 + c = b Х.

2) „Квадратите са равни на число“, т.е. брадва 2 = s.

3) „Корените са равни на числото“, т.е. ах = s.

4) „Квадратите и числата са равни на корени“, т.е. брадва 2 + c = b Х.

5) „Квадратите и корените са равни на числото“, т.е. ах 2+ bx = s.

6) „Корените и числата са равни на квадрати“, т.е. bx + c \u003d брадва 2.

За ал-Хорезми, който избягва използването на отрицателни числа, членовете на всяко от тези уравнения са събираеми, а не изваждания. В този случай уравненията, които нямат положителни решения, очевидно не се вземат предвид. Авторът очертава методите за решаване на тези уравнения, използвайки методите на ал-джабр и ал-мукабала. Неговите решения, разбира се, не съвпадат напълно с нашите. Да не говорим за факта, че е чисто риторично, трябва да се отбележи, например, че при решаване на непълно квадратно уравнение от първи тип

ал-Хорезми, както всички математици преди 17-ти век, не взема предвид нулевото решение, вероятно защото то няма значение в конкретни практически проблеми. При решаването на пълни квадратни уравнения ал-Хорезми излага правилата за решаване и след това геометрични доказателства, използвайки конкретни числени примери.

Задача 14.„Квадратът и числото 21 са равни на 10 корена. Намерете корена" (приемайки корена на уравнението x 2 + 21 = 10x).

Решението на автора е нещо подобно: разделете броя на корените наполовина, получавате 5, умножете 5 по себе си, извадете 21 от продукта, остава 4. Вземете корен от 4, получавате 2. Извадете 2 от 5, вие получите 3, това ще бъде желаният корен. Или добавете 2 към 5, което ще даде 7, това също е корен.

Трактатът ал-Хорезми е първата книга, достигнала до нас, в която систематично е изложена класификацията на квадратните уравнения и са дадени формули за тяхното решаване.

1.5 Квадратни уравнения в Европа XIII - XVII векове

Формулите за решаване на квадратни уравнения по модела на ал-Хорезми в Европа са изложени за първи път в "Книгата на абака", написана през 1202 г. от италианския математик Леонардо Фибоначи. Тази обемна работа, която отразява влиянието на математиката, както на страните на исляма, така и на Древна Гърция, се отличава както с пълнота, така и с яснота на изложението. Авторът самостоятелно разработва някои нови алгебрични примери за решаване на задачи и е първият в Европа, който подходи към въвеждането на отрицателни числа. Книгата му допринася за разпространението на алгебричните знания не само в Италия, но и в Германия, Франция и други европейски страни. Много задачи от "Книгата на абака" са преминали в почти всички европейски учебници от 16-17 век. и отчасти XVIII.

Общото правило за решаване на квадратни уравнения, намалено до една канонична форма:

х 2+ bx = с,

за всички възможни комбинации от знаци на коефициентите b , се формулиран в Европа едва през 1544 г. от M. Stiefel.

Vieta има общо извеждане на формулата за решаване на квадратно уравнение, но Vieta признава само положителни корени. Италианските математици Тарталия, Кардано, Бомбели са сред първите през 16 век. Вземете предвид, в допълнение към положителните, и отрицателните корени. Едва през XVII век. Благодарение на работата на Жирар, Декарт, Нютон и други учени начинът за решаване на квадратни уравнения придобива съвременен вид.

1.6 За теоремата на Виета

Теоремата, изразяваща връзката между коефициентите на квадратно уравнение и неговите корени, носеща името на Виета, е формулирана от него за първи път през 1591 г., както следва: „Ако б + думножено по А - А 2 , се равнява BD, тогава Асе равнява ATи равни д ».

За да разберете Виета, трябва да запомните това НО, като всяка гласна, означаваше за него неизвестното (нашата х), гласните AT, д- коефициенти за неизвестното. На езика на съвременната алгебра горната формулировка на Виета означава: ако

(а + b )x - x 2 = аб ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Изразявайки връзката между корените и коефициентите на уравненията с общи формули, написани с помощта на символи, Виет установи еднаквост в методите за решаване на уравнения. Символиката на Виета обаче все още е далеч от съвременния си вид. Той не признаваше отрицателните числа и затова при решаването на уравнения разглеждаше само случаите, когато всички корени са положителни.

2. Методи за решаване на квадратни уравнения

Квадратните уравнения са основата, върху която се крепи величествената сграда на алгебрата. Квадратните уравнения се използват широко при решаване на тригонометрични, експоненциални, логаритмични, ирационални и трансцендентни уравнения и неравенства. Всички знаем как да решаваме квадратни уравнения от училище (8 клас) до завършването.

Квадратно уравнение е уравнение във формата ax^2 + bx + c = 0, където коефициентите a, b и c са произволни числа и a ≠ 0, в противен случай то вече няма да бъде квадратно уравнение. Квадратните уравнения или нямат корени, или имат точно един корен, или два различни корена. Първата стъпка е да потърсите дискриминанта. Формула: D = b^2 − 4ac. 1. Ако Д< 0, корней нет; 2. Если D = 0, есть ровно один корень; 3. Если D >0, ще има два корена. Първият вариант е ясен, няма корени. Ако дискриминантът D > 0, корените могат да бъдат намерени, както следва: x12 = (-b +- √D) / 2a. Що се отнася до втория вариант, когато D = 0, може да се използва горната формула.

Квадратните уравнения започват да се изучават в училищната програма в курса по математика. Но, за съжаление, не всеки разбира и знае как правилно да реши квадратно уравнение и да изчисли неговите корени. Първо, нека разберем какво е квадратно уравнение.

Какво е квадратно уравнение

Терминът квадратно уравнение обикновено се разбира като алгебрично уравнение от общ вид. Това уравнение има следния вид: ax2 + bx + c = 0, докато a, b и c са определени числа, x е неизвестно. Тези три числа обикновено се наричат ​​коефициенти на квадратното уравнение:

• a - първи коефициент;
• b - втори коефициент;
• c е третият коефициент.

Как да намерим корените на квадратно уравнение

За да се изчисли на какво ще се равняват корените на квадратно уравнение, е необходимо да се намери дискриминантът на уравнението. Дискриминантът на квадратно уравнение е израз, който е равен и се изчислява по формулата b2 - 4ac. Ако дискриминантът е по-голям от нула, коренът се изчислява по формулата: x \u003d -b + - коренът на дискриминанта, разделен на 2 a.

Разгледайте примера на уравнението 5x на квадрат - 8x +3 = 0

Дискриминантът е осем на квадрат, минус четири по пет по три, т.е. = 64 - 4*5*3 = 64-60 = 4

x1 \u003d 8 + - корен от четири делено на две по пет \u003d 8 + 2/10 \u003d 1

x2 = 8-2/10 = 6/10 = 3/5 = 0,6

Съответно, корените на това квадратно уравнение ще бъдат 1 и 0,6.

Формули за корените на квадратно уравнение. Разглеждат се случаите на реални, кратни и комплексни корени. Факторизиране на квадратен тричлен. Геометрична интерпретация. Примери за определяне на корени и разлагане на множители.

Основни формули

Разгледайте квадратното уравнение:
(1) .
Корените на квадратно уравнение(1) се определят по формулите:
; .
Тези формули могат да се комбинират по следния начин:
.
Когато корените на квадратното уравнение са известни, тогава полиномът от втора степен може да бъде представен като произведение на фактори (факторизирани):
.

Освен това приемаме, че това са реални числа.
Обмисли дискриминант на квадратно уравнение:
.
Ако дискриминантът е положителен, тогава квадратното уравнение (1) има два различни реални корена:
; .
Тогава факторизацията на квадратния трином има формата:
.
Ако дискриминантът е нула, тогава квадратното уравнение (1) има два кратни (равни) реални корена:
.
Факторизация:
.
Ако дискриминантът е отрицателен, тогава квадратното уравнение (1) има два комплексно спрегнати корена:
;
.
Ето въображаемата единица, ;
и са реалните и въображаемите части на корените:
; .
Тогава

.

Графична интерпретация

Ако изобразим графика на функцията
,
което е парабола, тогава точките на пресичане на графиката с оста ще бъдат корените на уравнението
.
Когато , графиката пресича абсцисната ос (ос) в две точки.
Когато , графиката докосва оста x в една точка.
Когато , графиката не пресича оста x.

По-долу са дадени примери за такива графики.

Полезни формули, свързани с квадратно уравнение

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Извеждане на формулата за корените на квадратно уравнение

Извършваме трансформации и прилагаме формули (f.1) и (f.3):




,
където
; .

И така, получихме формулата за полинома от втора степен във формата:
.
От това се вижда, че уравнението

извършва при
и .
Това е и са корените на квадратното уравнение
.

Примери за определяне на корените на квадратно уравнение

Пример 1

(1.1) .

Решение

.
Сравнявайки с нашето уравнение (1.1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Намиране на дискриминанта:
.
Тъй като дискриминантът е положителен, уравнението има два реални корена:
;
;
.

От тук получаваме разлагането на квадратния трином на множители:

.

Графика на функцията y = 2 х 2 + 7 х + 3пресича оста x в две точки.

Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Той пресича оста x (ос) в две точки:
и .
Тези точки са корените на първоначалното уравнение (1.1).

Отговор

;
;
.

Пример 2

Намерете корените на квадратно уравнение:
(2.1) .

Решение

Записваме квадратното уравнение в общ вид:
.
Сравнявайки с оригиналното уравнение (2.1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Намиране на дискриминанта:
.
Тъй като дискриминантът е нула, уравнението има два кратни (равни) корена:
;
.

Тогава факторизацията на тринома има формата:
.

Графика на функцията y = x 2 - 4 х + 4докосва оста x в една точка.

Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Той докосва оста x (ос) в една точка:
.
Тази точка е коренът на първоначалното уравнение (2.1). Тъй като този корен се разлага два пъти:
,
тогава такъв корен се нарича кратно. Тоест те считат, че има два равни корена:
.

Отговор

;
.

Пример 3

Намерете корените на квадратно уравнение:
(3.1) .

Решение

Записваме квадратното уравнение в общ вид:
(1) .
Нека пренапишем първоначалното уравнение (3.1):
.
Сравнявайки с (1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Намиране на дискриминанта:
.
Дискриминантът е отрицателен, . Следователно няма истински корени.

Можете да намерите сложни корени:
;
;
.

Тогава


.

Графиката на функцията не пресича оста x. Няма истински корени.

Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Не пресича абсцисата (оста). Следователно няма истински корени.

Отговор

Няма истински корени. Сложни корени:
;
;
.