Как изглежда графиката на степенна функция? Знаменателят на дробния показател е четен

Нека си припомним свойствата и графиките на степенните функции с цяло число отрицателен показател.

За четно n, :

Примерна функция:

Всички графики на такива функции преминават през две фиксирани точки: (1;1), (-1;1). Особеността на функциите от този тип е тяхната четност; графиките са симетрични спрямо оста на операционния усилвател.

Ориз. 1. Графика на функция

За нечетно n, :

Примерна функция:

Всички графики на такива функции преминават през две фиксирани точки: (1;1), (-1;-1). Особеността на функциите от този тип е, че те са нечетни по отношение на началото.

Ориз. 2. Графика на функция

Нека си припомним основното определение.

Степента на неотрицателно число a с рационален положителен показател се нарича число.

Степен положително числои с рационален отрицателен показател се нарича число.

За равенството:

Например: ; - изразът не съществува по дефиниция на степен с отрицание рационален показател; съществува, защото експонентата е цяло число,

Нека преминем към разглеждане на степенни функции с рационален отрицателен показател.

Например:

За да начертаете графика на тази функция, можете да създадете таблица. Ще го направим по различен начин: първо ще изградим и изучим графиката на знаменателя - тя ни е известна (Фигура 3).

Ориз. 3. Графика на функция

Графиката на функцията знаменател минава през фиксирана точка (1;1). При изчертаване на оригиналната функция дадена точкаостава, когато коренът също клони към нула, функцията клони към безкрайност. И обратно, когато x клони към безкрайност, функцията клони към нула (Фигура 4).

Ориз. 4. Функционална графика

Нека разгледаме друга функция от семейството на изучаваните функции.

Важно е, че по дефиниция

Нека разгледаме графиката на функцията в знаменателя: , графиката на тази функция ни е известна, тя нараства в своята област на дефиниция и преминава през точката (1;1) (Фигура 5).

Ориз. 5. Графика на функция

При начертаване на графиката на оригиналната функция точката (1;1) остава, докато коренът също клони към нула, функцията клони към безкрайност. И обратно, когато x клони към безкрайност, функцията клони към нула (Фигура 6).

Ориз. 6. Графика на функция

Разгледаните примери помагат да се разбере как протича графиката и какви са свойствата на изучаваната функция - функция с отрицателен рационален показател.

Графиките на функциите на това семейство преминават през точката (1;1), функцията намалява по цялата област на дефиниция.

Обхват на дефиницията на функцията:

Функцията не е ограничена отгоре, но е ограничена отдолу. Функцията няма нито най-голямо, нито най-ниска стойност.

Функцията е непрекъсната и приема всички положителни стойности от нула до плюс безкрайност.

Функцията е изпъкнала надолу (Фигура 15.7)

На кривата се вземат точки A и B, през тях се прекарва сегмент, цялата крива е под сегмента, това условие е изпълнено за произволни две точки на кривата, следователно функцията е изпъкнала надолу. Ориз. 7.

Ориз. 7. Изпъкналост на функцията

Важно е да се разбере, че функциите на това семейство са ограничени отдолу с нула, но нямат най-малката стойност.

Пример 1 - намиране на максимума и минимума на функция на интервал и увеличения на интервала)