Кои трептения се наричат ​​затихващи. Затихващи трептения

1.21. 3ЗАГЛАШАВАНЕ, ПРИНУДИТЕЛНИ ТРЕМБЕНИЯ

Диференциално уравнение затихващи трептенияи неговото решение. Коефициент на затихване. Логаритмична колодавреме на затихване.Качествен фактор на трептениятасистема на тялото.Апериодичен процес. Диференциално уравнение принудени трептенияи неговото решение.Амплитуда и фаза на принудени трептения. Процесът на установяване на трептения. Случаят на резонанс.Самотрептения.

Затихването на трептенията е постепенно намаляване на амплитудата на трептенията с течение на времето, дължащо се на загуба на енергия от осцилаторната система.

Естествените трептения без затихване са идеализация. Причините за отслабването могат да бъдат различни. В една механична система вибрациите се гасят от наличието на триене. Когато цялата енергия, съхранявана в осцилаторната система, се изразходва, трептенията ще спрат. Следователно амплитудата затихващи трептения намалява, докато стане равен на нула.

Затихващите трептения, като собствените трептения, в различни по природа системи, могат да се разглеждат с единична точказрение - общи признаци. Въпреки това, такива характеристики като амплитуда и период изискват предефиниране, а други изискват допълнения и пояснения в сравнение със същите характеристики за техните собствени непрекъснати трептения. Общите признаци и концепции за затихнали трептения са следните:

Диференциалното уравнение трябва да се получи, като се вземе предвид намаляването на вибрационната енергия по време на процеса на трептене.

Уравнението на трептене е решение на диференциално уравнение.

Амплитудата на затихващите трептения зависи от времето.

Честотата и периодът зависят от степента на гасене на вибрациите.

Фазата и началната фаза имат същото значение като за непрекъснатите трептения.

Механични затихващи трептения.

Механична система : пружинно махало, като се вземат предвид силите на триене.

Сили, действащи върху махало :

Еластична сила., където k е коефициентът на твърдост на пружината, x е изместването на махалото от равновесното положение.

Съпротивителна сила. Да разгледаме съпротивителна сила, пропорционална на скоростта v на движение (тази зависимост е типична за голям клас съпротивителни сили): . Знакът минус показва, че посоката на съпротивителната сила е противоположна на посоката на скоростта на тялото. Коефициент на съпротивление r числено равно на силасъпротивление, възникващо при единица скорост на движение на тялото:

Закон за движението пружинно махало - това е вторият закон на Нютон:

м а = Епр. + Есъпротива

Като се има предвид, че и двете , записваме втория закон на Нютон във формата:

. (21.1)

Разделяне на всички членове на уравнението на m, преместване на всички в правилната страна, получаваме диференциално уравнение затихнали трептения:

Нека да посочим къде β – коефициент на затихване , , Където ω 0 – честота на незатихващи свободни трептения при липса на загуби на енергия в трептятелната система.

В новата нотация диференциалното уравнение на затихналите трептения има формата:

. (21.2)

Това е линейно диференциално уравнение от втори ред.

Това линейно диференциално уравнение се решава чрез промяна на променливи. Нека представим функцията x, в зависимост от времето t, във формата:

.

Нека намерим първата и втората производни на тази функция по отношение на времето, като вземем предвид, че функцията z също е функция на времето:

, .

Нека заместим изразите в диференциалното уравнение:

Нека представим подобни членове в уравнението и намалим всеки член с , получаваме уравнението:

.

Нека обозначим количеството .

Решаване на уравнението са функциите , .

Връщайки се към променливата x, получаваме формулите за уравненията на затихналите трептения:

По този начин , уравнение на затихналите трептенияе решение на диференциалното уравнение (21.2):

Затихваща честота :

(следователно само истинският корен има физическо значение).

Период на затихнали трептения :

(21.5)

Значението, вложено в концепцията за период за незатихващи трептения, не е подходящо за затихнали трептения, тъй като осцилаторната система никога не се връща в първоначалното си състояние поради загуби на осцилаторна енергия. При наличие на триене вибрациите са по-бавни: .

Период на затихнали трептения е минималният период от време, през който системата преминава през равновесното положение два пъти в една посока.

За механична система пружинно махалоние имаме:

, .

Амплитуда на затихващите трептения :

За пружинно махало.

Амплитудата на затихващите трептения не е постоянна стойност, а се променя с времето, толкова по-бързо, колкото по-голям е коефициентът β. Следователно определението за амплитуда, дадено по-рано за незатихващи свободни трептения, трябва да бъде променено за затихнали трептения.

За малки затихвания амплитуда на затихнали трептения се нарича най-голямото отклонение от равновесното положение за период.

Графики Графиките на изместването спрямо времето и амплитудата спрямо времето са представени на фигури 21.1 и 21.2.

Фигура 21.1 – Зависимост на преместването от времето за затихващи трептения.

Фигура 21.2 – Зависимост на амплитудата от времето за затихнали трептения

Характеристики на затихващите трептения.

1. Коефициент на затихване β .

Амплитудата на затихналите трептения се променя по експоненциален закон:

Нека амплитудата на трептенията намалее с "e" пъти за време τ ("e" е основата на натуралния логаритъм, e ≈ 2,718). Тогава, от една страна, , а от друга страна, като описа амплитудите А зат. (t) и A zat. (t+τ), имаме . От тези отношения следва βτ = 1, следователно .

Времеви интервал τ , през което амплитудата намалява с “e” пъти, се нарича време на релаксация.

Коефициент на затихване β – величина, обратно пропорционална на времето за релаксация.

2. Логаритмичен декремент на затихване δ - физическа величина, числено равна на натурален логаритъм от отношението на две последователни амплитуди, разделени във времето с период.

Ако затихването е малко, т.е. стойността на β е малка, тогава амплитудата се променя леко през периода и логаритмичният декремент може да се дефинира, както следва:

,

къде е А зат. (t) и A zat. (t+NT) – амплитудите на трептенията във време e и след N периода, т.е. във време (t + NT).

3. Качествен фактор Q осцилаторна система – безразмерна физическа величина, равна на произведението на величината (2π) ν и съотношението на енергията W(t) на системата в произволен момент от време към загубата на енергия за един период на затихнали трептения:

.

Тъй като енергията е пропорционална на квадрата на амплитудата, тогава

За малки стойности на логаритмичния декремент δ, качественият фактор на осцилаторната система е равен на

,

където N e е броят на трептенията, по време на които амплитудата намалява с "e" пъти.

По този начин коефициентът на качество на пружинното махало е по-висок коефициентът на качество на осцилаторната система, толкова по-дълго ще продължи периодичният процес в такава система. Качествен фактор на осцилаторната система -безразмерна величина, която характеризира разсейването на енергия във времето.

4. С увеличаване на коефициента β честотата на затихващите трептения намалява и периодът се увеличава. При ω 0 = β честотата на затихналите трептения става равна на нула ω zat. = 0 и Т зат. = ∞. В този случай трептенията губят своя периодичен характер и се наричат апериодичен.

При ω 0 = β системните параметри, отговорни за намаляването на вибрационната енергия, приемат стойности, наречени критичен . За пружинно махало условието ω 0 = β ще бъде записано по следния начин: откъдето намираме количеството критичен коефициент на съпротивление:

.

Ориз. 21.3. Зависимост на амплитудата на апериодичните трептения от времето

Принудителни вибрации.

Всички реални трептения са затихващи. За да възникнат реални трептения достатъчно дълго, е необходимо периодично да се попълва енергията на осцилаторната система чрез въздействие върху нея с външна периодично променяща се сила

Нека разгледаме явлението трептения, ако външното (форсиране) силата се променя с времето по хармоничен закон. В този случай в системите ще възникнат трептения, чиято природа в една или друга степен ще повтаря природата на движещата сила. Такива трептения се наричат принуден .

Общи признаци на принудителни механични вибрации.

1. Нека разгледаме принудените механични трептения на пружинно махало, което се въздейства от външен (завладяващ ) периодична сила . Силите, които действат върху махалото, веднъж извадено от равновесното му положение, се развиват в самата трептителна система. Това са еластична сила и съпротивителна сила.

Закон за движението (вторият закон на Нютон) ще бъде записан, както следва:

(21.6)

Нека разделим двете страни на уравнението на m, вземем предвид това и ще получим диференциално уравнение принудени трептения:

Нека означим ( β – коефициент на затихване ), (ω 0 – честота на незатихващи свободни трептения), сила, действаща върху единица маса. В тези означения диференциално уравнение принудените трептения ще приемат формата:

(21.7)

Това е диференциално уравнение от втори ред с ненулева дясна страна. Решението на такова уравнение е сумата от две решения

.

– общото решение на хомогенно диференциално уравнение, т.е. диференциално уравнение без дясната страна, когато тя е равна на нула. Ние знаем такова решение - това е уравнението на затихналите трептения, написано с точност до константа, чиято стойност се определя от началните условия на трептящата система:

Където .

По-рано обсъдихме, че решението може да бъде написано чрез синусови функции.

Ако разгледаме процеса на колебание на махалото след достатъчно голям период от време Δt след включване на движещата сила (Фигура 21.2), тогава затихналите колебания в системата практически ще спрат. И след това решаване на диференциалното уравнение с правилната странаще има решение.

Решението е конкретно решение на нехомогенното диференциално уравнение, т.е. уравнения с дясната страна. От теорията на диференциалните уравнения е известно, че когато дясната страна се променя според хармоничен закон, решението ще бъде хармонична функция (sin или cos) с честота на промяна, съответстваща на честотата Ω на промяна на дясната -страна на ръката:

където A ампл. – амплитуда на принудени трептения, φ 0 – фазово изместване , тези. фазовата разлика между фазата на движещата сила и фазата на принудителното трептене. И амплитуда А ампл. , и фазовото отместване φ 0 зависят от системните параметри (β, ω 0) и от честотата на движещата сила Ω.

Период на принудени трептения равно на (21.9)

Графика на принудените вибрации на фигура 4.1.

Фиг.21.3. Графика на принудително трептене

Стационарните принудителни трептения също са хармонични.

Зависимости на амплитудата на принудените трептения и фазовото изместване от честотата на външното въздействие. Резонанс.

1. Нека се върнем към механичната система на пружинно махало, върху което действа външна сила, която се променя според хармоничен закон. За такава система диференциалното уравнение и съответно неговото решение имат формата:

, .

Нека анализираме зависимостта на амплитудата на трептенията и фазовото изместване от честотата на външната движеща сила; за да направим това, ще намерим първата и втората производни на x и ще ги заместим в диференциалното уравнение.

Нека използваме метода векторна диаграма. Уравнението показва, че сумата от трите вибрации от лявата страна на уравнението (Фигура 4.1) трябва да бъде равна на вибрацията от дясната страна. Векторната диаграма се прави за произволен момент от време t. От него можете да определите.

Фигура 21.4.

, (21.10)

. (21.11)

Като вземем предвид стойността на , ,, получаваме формули за φ 0 и A ampl. механична система:

,

.

2. Изследваме зависимостта на амплитудата на принудените трептения от честотата на движещата сила и големината на съпротивителната сила в осцилираща механична система, като използваме тези данни, изграждаме графика . Резултатите от изследването са отразени на фигура 21.5, която показва, че при определена честота на движеща сила амплитудата на трептенията рязко се увеличава. И това увеличение е толкова по-голямо, колкото по-нисък е коефициентът на затихване β. Когато амплитудата на трептенията стане безкрайно голяма.

Феноменът на рязко увеличаване на амплитудата принудени трептения при честота на движещата сила, равна на , се нарича резонанс.

(21.12)

Кривите на фигура 21.5 отразяват връзката и се наричат амплитудни резонансни криви .

Фигура 21.5 – Графики на зависимостта на амплитудата на принудените трептения от честотата на движещата сила.

Амплитудата на резонансните трептения ще приеме формата:

Принудителните вибрации са неамортизиранфлуктуации. Неизбежните загуби на енергия поради триене се компенсират от доставката на енергия от външен източникпериодично действаща сила. Има системи, в които незатихващите колебания възникват не поради периодични външни влияния, а в резултат на способността на такива системи да регулират подаването на енергия от постоянен източник. Такива системи се наричат самоосцилиращ, и процесът на незатихващи трептения в такива системи е собствени трептения.

В една автоколебателна система могат да се разграничат три характерни елемента - трептителна система, източник на енергия и устройство за обратна връзка между трептящата система и източника. Всяка механична система, способна да извършва собствени затихващи трептения (например махалото на стенен часовник), може да се използва като осцилаторна система.

Източникът на енергия може да бъде енергията на деформация на пружината или потенциална енергиянатоварване в полето на гравитацията. Устройството за обратна връзка е механизъм, чрез който самоосцилиращата система регулира потока на енергия от източник. На фиг. Фигура 21.6 показва диаграма на взаимодействието на различни елементи на самоосцилираща система.

Пример за механична самоосцилираща система е часовников механизъм с котванапредък (фиг. 21.7.). Работното колело с наклонени зъби е здраво закрепено към зъбен барабан, през който се хвърля верига с тежест. В горния край на махалото има котва (котва) с две пластини от твърд материал, огънати по дъга от кръг с център върху оста на махалото. В ръчните часовници тежестта е заменена от пружина, а махалото е заменено от балансьор - ръчно колело, свързано със спирална пружина.

Фигура 21.7. Часовников механизъм с махало.

Балансьорът извършва усукващи вибрации около оста си. Осцилаторната система в часовника е махало или балансьор. Източникът на енергия е повдигната тежест или навита пружина. Устройството, с което се извършва Обратна връзка, е котва, която позволява на ходовото колело да завърти един зъб за един полупериод.

Обратната връзка се осигурява от взаимодействието на котвата с движещото се колело. При всяко колебание на махалото зъб на движещото се колело избутва вилицата на котвата в посоката на движение на махалото, като му предава определена част от енергията, която компенсира загубите на енергия поради триене. Така потенциалната енергия на тежестта (или усуканата пружина) постепенно, на отделни порции, се предава на махалото.

Механичните самоосцилиращи системи са широко разпространени в живота около нас и в технологиите. Самотрептения възникват в парни машини, двигатели с вътрешно горене, електрически звънци, струни на лъкови музикални инструменти, въздушни колони в тръбите на духови инструменти, гласни струнипри говорене или пеене и др.

Всички реални трептящи системи са дисипативни. Енергията на механичните трептения на системата се изразходва с времето за работа срещу силите на триене, така че естествените трептения винаги се гасят - амплитудата им постепенно намалява. Загуба на енергия възниква и при деформации на тела, тъй като напълно еластични тела не съществуват, а деформациите на не напълно еластични тела са придружени от частичен преход механична енергияв енергията на хаоса топлинно движениечастици от тези тела.

В много случаи, като първо приближение, можем да приемем, че при ниски скорости на движение силите, причиняващи затихване на механичните вибрации, са пропорционални на големината на скоростта. Ще наричаме тези сили, независимо от техния произход, сили на триене или съпротивление и ще ги изчисляваме по следната формула: . Тук r е коефициентът на съпротивление на средата и е скоростта на тялото. Знакът минус показва, че силите на триене винаги са насочени в посока, обратна на посоката на движение на тялото.

Нека запишем уравнението на втория закон на Нютон за затихнали праволинейни трептения на пружинно махало

Тук: m е масата на товара, k е твърдостта на пружината, е проекцията на скоростта върху оста OX, е проекцията на ускорението върху оста OX. Нека разделим двете страни на уравнение (13) на маса m и го пренапишем във формата:

. (14)

Нека въведем следната нотация:

, (15)

. (16)

Нека го наречем коефициент на затихване, а преди това го нарекохме естествена циклична честота. Като се вземат предвид въведените обозначения (15 и 16), ще бъде написано уравнение (14).

. (17)

Това е диференциално уравнение на затихнали трептения от всякакъв характер. Видът на решението на това линейно диференциално уравнение от втори ред зависи от връзката между величината - собствената честота на незатихващите трептения и коефициента на затихване.

Ако триенето е много голямо (в този случай), тогава системата, извадена от равновесно положение, се връща към него без да осцилира („пълзи“). Това движение (крива 2 на фиг. 3) се нарича апериодично.

Ако в начален моментсистема с голямо триене е в равновесно положение и й се придава определена начална скорост, след което системата достига най-голямото отклонение от равновесното положение, спира и след това преместването асимптотично клони към нула (фиг. 4).

Фиг.3 Фиг.4

Ако системата бъде извадена от равновесно положение при условието и освободена без начална скорост, тогава системата също не преминава равновесното положение. Но в този случай времето за практически подход към него се оказва по-малко, отколкото при високо триене (крива 1 на фиг. 3). Този режим се нарича критичен и се търси при използване на различни измервателни уреди (за най-бързо отчитане).

с ниско триене (в този случай), движението има колебателен характер (фиг. 5) и решението на уравнение (17) има формата:

(19)

описва промяна амплитуди на затихнали трептенияс време. Амплитудата на затихващите колебания намалява с течение на времето (фиг. 5) и колкото по-бързо, толкова по-висок е коефициентът на съпротивление и толкова по-малка е масата на осцилиращото тяло, т.е. толкова по-малка е инерцията на системата.

Фиг.5

Размер

наречена циклична честота на затихващите трептения. Затихващите трептения са непериодични трептения, защото никога не се повтарят, напр. максимални стойностипреместване, скорост и ускорение. Следователно тя може да се нарече честота само условно в смисъл, че показва колко пъти в секунда трептящата система преминава през равновесното положение. По същата причина стойността

(21)

може да се нарече условен период на затихнали трептения.

За да характеризираме затихването, въвеждаме следните величини:

Логаритмичен декремент на затихване;

Време за релаксация;

Добро качество.

Съотношението на всеки две последователни премествания, разделени във времето с един период, се нарича декремент на затихване.

Логаритмичен декремент на затихванее естественият логаритъм от съотношението на стойностите на амплитудата на затихналите трептения в моменти t и t+T (естественият логаритъм от съотношението на всеки две последователни премествания, разделени във времето с един период):

Тъй като и , тогава .

Нека използваме формулата за зависимостта на амплитудата от времето (19) и получаваме

Нека разберем физическия смисъл на количествата и . Нека означим с период от време, през който амплитудата на затихващите трептения намалява с фактор e и го наричаме време за релаксация. Тогава . следва, че

Затихващи трептения

Затихващи трептения на пружинно махало

Затихващи трептения- вибрации, чиято енергия намалява с времето. В природата е невъзможен безкрайно продължителен процес на видовете. Свободните трептения на всеки осцилатор рано или късно избледняват и спират. Следователно на практика обикновено имаме работа със затихнали трептения. Те се характеризират с това, че амплитудата на трептенията Ае намаляваща функция. Обикновено затихването възниква под въздействието на съпротивителните сили на средата, най-често изразени линейна зависимоствърху скоростта на трептене или нейния квадрат.

В акустиката: затихване - намаляване нивото на сигнала до пълна нечуваемост.

Затихващи трептения на пружинно махало

Нека има система, състояща се от пружина (подчинена на закона на Хук), единият край на която е неподвижно фиксиран, а от другата има тяло с маса м. Трептения възникват в среда, където съпротивителната сила е пропорционална на скоростта с коефициент ° С(виж вискозно триене).

Чиито корени се изчисляват по следната формула

Решения

В зависимост от стойността на коефициента на затихване решението е разделено на три възможни варианта.

• Апериодичност

Ако , тогава има два реални корена и решението на диференциалното уравнение приема формата:

В този случай трептенията затихват експоненциално от самото начало.

• Граница на апериодичност

Ако , два реални корена съвпадат и решението на уравнението е:

IN в такъв случайможе да има временно увеличение, но след това експоненциален спад.

• Слабо затихване

Ако , тогава решението характеристично уравнениеса два комплексно спрегнати корена

Тогава решението на първоначалното диференциално уравнение е

Къде е собствената честота на затихналите трептения.

Константите и във всеки случай се определят от началните условия:

Вижте също

• Намаляване на затихването

Литература

Лит.: Савелиев И.В., Курс по обща физика: Механика, 2001 г.

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво са „затихнали трептения“ в други речници:

Затихващи трептения- Затихващи трептения. ЗАГУБЕНИ ВИБРАЦИИ, трептения, чиято амплитуда А намалява с течение на времето поради загуби на енергия: преобразуването на енергията на трептенията в топлина в резултат на триене в механични системи(например в точката на окачване... ... Илюстрован енциклопедичен речник

Собствени трептения, чиято амплитуда A намалява с времето t съгласно закона на експоненциала A(t) = Аоexp (?t) (? индикатор за затихване поради разсейване на енергия поради сили на вискозно триене за механични затихващи трептения и омични. .. ... Голям енциклопедичен речник

Трептения, чиято амплитуда постепенно намалява, напр. трептения на махало, изпитващо въздушно съпротивление и триене в окачването. Всички свободни вибрации, които се срещат в природата, са в по-голяма или по-малка степен Z.K Electrical Z.K.... ...Морски речник

затихващи трептения - Механични вибрациисъс стойности на диапазона на обобщената координата или нейната производна по отношение на времето, намаляващо във времето. [Сборник с препоръчителни термини. Брой 106. Механични вибрации. Академия на науките на СССР. Научно-технически комитет ... ... Ръководство за технически преводач

Затихващи трептения- (ВИБРАЦИЯ) трептения (вибрация) с намаляващи стойности на люлеене... Руска енциклопедия по охрана на труда

Собствени трептения на системата, чиято амплитуда A намалява с времето t съгласно експоненциалния закон A(t) = A0exp(?α t) (α е индексът на затихване) поради разсейване на енергия поради сили на вискозно триене за механично затихване трептения и омични... ... енциклопедичен речник

Затихващи трептения- 31. Затихващи трептения Трептения с намаляващи стойности на люлеене Източник... Речник-справочник на термините на нормативната и техническата документация

Собствени трептения на системата, амплитудата A до ryx намалява с времето t съгласно експоненциалния закон A(t) = = Aoeхр(at) (индекс на затихване) поради разсейване на енергия поради силите на вискозно триене за механично. 3. до и омично съпротивление за електрически ... Естествени науки. енциклопедичен речник

затихващи трептения- silpstantieji virpesiai statusas T sritis automatika atitikmenys: англ. затихнало трептене vok. gedämpfte Schwingung, ф рус. затихващи трептения, n пранц. аморти на трептения, f; осцилации décroissantes, f … Автоматичен терминų žodynas

затихващи трептения- slopinamieji virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: англ. затихващи трептения; гасени вибрации; умиращи трептения vok. abklingende Schwingungen, f; gedämpfte Schwingungen, ф рус. затихващи трептения, n пранц. осцилации amorties, f … Fizikos terminų žodynas