Какви сили действат върху махалото. Математическо махало: период, ускорение и формули

Математическо махало.

Математическото махало е материална точка, окачена на неразтеглива безтегловна нишка, която осцилира в една вертикална равнина под действието на гравитацията.

Такова махало може да се счита за тежка топка с маса m, окачена на тънка нишка, чиято дължина l е много по-голяма от размера на топката. Ако тя се отклони на ъгъл α (фиг. 7.3.) от вертикалната линия, то под въздействието на силата F - една от съставните части на тежестта P, тя ще се колебае. Другият компонент, насочен по нишката, не се взема предвид, т.к балансиран от напрежението в струната. При малки ъгли на изместване и тогава х-координатата може да се преброи в хоризонтална посока. От Фиг. 7.3 може да се види, че тегловният компонент, перпендикулярен на нишката, е равен на

Силовият момент спрямо точката O: , а инерционният момент:
M=FL .
Момент на инерция Джв такъв случай
Ъглово ускорение:

Като вземем предвид тези стойности, имаме:

(7.8)

Неговото решение
,

Както можете да видите, периодът на трептене на математическото махало зависи от неговата дължина и ускорението на гравитацията и не зависи от амплитудата на трептенията.

физическо махало.

Физическото махало е твърдо тяло, фиксирано върху фиксирана хоризонтална ос (ос на окачване), което не минава през центъра на тежестта и се колебае около тази ос под действието на гравитацията. За разлика от математическото махало, масата на такова тяло не може да се счита за точкова маса.

При малки ъгли на отклонение α (фиг. 7.4) физическото махало също извършва хармонични трептения. Ще приемем, че теглото на физическото махало е приложено към неговия център на тежестта в точка C. Силата, която връща махалото в равновесно положение, в този случай ще бъде компонентът на гравитацията - силата F.

Знакът минус от дясната страна означава, че силата F е насочена към намаляване на ъгъла α. Като се има предвид малкостта на ъгъла α

За да изведем закона за движение на математическите и физическите махала, ние използваме основното уравнение за динамиката на въртеливото движение

Силов момент: не може да се определи изрично. Като се вземат предвид всички количества, включени в първоначалното диференциално уравнение на трептенията на физическо махало, то има формата

Математическото махало е модел на обикновено махало. Математическото махало е материална точка, която е окачена на дълга безтегловна и неразтеглива нишка.

Извадете топката от равновесие и я пуснете. Върху топката действат две сили: гравитация и опън в струната. Когато махалото се движи, силата на въздушно триене все още ще действа върху него. Но ще го считаме за много малък.

Нека разделим силата на гравитацията на два компонента: силата, насочена по нишката, и силата, насочена перпендикулярно на допирателната към траекторията на топката.

Тези две сили се добавят към гравитацията. Еластичните сили на нишката и гравитационният компонент Fn придават центростремително ускорение на топката. Работата на тези сили ще бъде равна на нула и следователно те ще променят само посоката на вектора на скоростта. Във всеки момент от времето тя ще бъде допирателна към дъгата на окръжността.

Под действието на гравитационния компонент Fτ топката ще се движи по дъгата на окръжност с нарастваща по абсолютна стойност скорост. Стойността на тази сила винаги се променя по абсолютна стойност, при преминаване през равновесното положение тя е равна на нула.

Динамика на колебателното движение

Уравнението на движение на тяло, което се колебае под действието на еластична сила.

Общо уравнение на движението:

Трептенията в системата възникват под действието на еластична сила, която според закона на Хук е правопропорционална на преместването на товара

Тогава уравнението на движение на топката ще приеме следната форма:

Разделете това уравнение на m, получаваме следната формула:

И тъй като масата и коефициентът на еластичност са постоянни стойности, тогава съотношението (-k / m) също ще бъде постоянно. Получихме уравнение, което описва трептенията на тяло под действието на еластична сила.

Проекцията на ускорението на тялото ще бъде право пропорционална на неговата координата, взета с обратен знак.

Уравнението на движението на математическото махало

Уравнението на движението на математическото махало се описва със следната формула:

Това уравнение има същата форма като уравнението за движение на товар върху пружина. Следователно трептенията на махалото и движението на топката върху пружината се извършват по същия начин.

Преместването на топката върху пружината и изместването на тялото на махалото от равновесното положение се променят с времето по едни и същи закони.

Махало Фуко- махало, което се използва за експериментално демонстриране на дневното въртене на Земята.

Махалото на Фуко е масивна тежест, окачена на тел или конец, чийто горен край е подсилен (например с кардан), така че да позволява на махалото да се люлее във всяка вертикална равнина. Ако махалото на Фуко се отклони от вертикалата и се освободи без начална скорост, тогава силите на тежестта и опъна на нишката, действащи върху тежестта на махалото, ще лежат през цялото време в равнината на люлеенето на махалото и няма да могат да предизвикат неговото въртене по отношение на звездите (към инерционната отправна система, свързана със звездите) . Наблюдател, който е на Земята и се върти заедно с нея (т.е. намиращ се в неинерциална отправна система), ще види, че равнината на люлеене на махалото на Фуко бавно се върти спрямо земната повърхност в посока, обратна на посоката на Въртене на Земята. Това потвърждава факта за ежедневното въртене на Земята.

На северния или южния полюс равнината на люлеене на махалото на Фуко ще се върти на 360° за един звезден ден (15 o за звезден час). В точка от земната повърхност, чиято географска ширина е равна на φ, равнината на хоризонта се върти около вертикалата с ъглова скорост ω 1 = ω sinφ (ω е модулът на ъгловата скорост на Земята), а равнината на люлеене на махалото се върти със същата ъглова скорост. Следователно привидната ъглова скорост на въртене на равнината на трептене на махалото на Фуко на ширина φ, изразена в градуси за звезден час, има стойността rotates). В южното полукълбо въртенето на люлеещата се равнина ще се наблюдава в посока, обратна на тази, наблюдавана в северното полукълбо. Прецизното изчисление дава стойността

ω m = 15 o sinφ

Където А- амплитудата на колебанията на тежестта на махалото, л- дължина на резбата. Допълнителният член, който намалява ъгловата скорост, колкото по-малко, толкова повече л. Затова за демонстриране на опита е препоръчително да използвате махалото на Фуко с възможно най-голяма дължина на нишката (няколко десетки метра).

История

За първи път това устройство е проектирано от френския учен Жан Бернар Леон Фуко.

Това устройство беше петкилограмова месингова топка, окачена на тавана на двуметрова стоманена жица.

Първият опит на Фуко е в мазето на собствената му къща. 8 януари 1851 г. Това е записано в научния дневник на учения.

3 февруари 1851 г Жан Фуко демонстрира своето махало в Парижката обсерватория на академици, които получават писма като това: „Каня ви да проследите въртенето на Земята“.

Първата публична демонстрация на опита се състоя по инициатива на Луи Бонапарт в парижкия Пантеон през април същата година. Под купола на Пантеона беше окачена метална топка. с тегло 28 kg със закрепена върху него точка върху стоманена тел 1,4 mm в диаметър и Дължина 67м.махалото му позволи свободно да се колебае във всички посоки. Подточката на закрепване беше направена кръгла ограда с диаметър 6 метра, по ръба на оградата беше изсипана пясъчна пътека по такъв начин, че махалото в своето движение да може да рисува маркировки върху пясъка, когато го пресича. За да се избегне страничен тласък при стартиране на махалото, той беше отведен настрани и вързан с въже, след което въжето изгорял. Периодът на трептене е 16 секунди.

Експериментът пожъна голям успех и предизвика широк отзвук в научните и обществени среди на Франция и други страни по света. Едва през 1851 г. са създадени други махала по модела на първите, а експериментите на Фуко са проведени в Парижката обсерватория, в катедралата в Реймс, в църквата Св. Игнатий в Рим, в Ливърпул, в Оксфорд, Дъблин, през Рио де Жанейро, град Коломбо в Цейлон, Ню Йорк.

Във всички тези експерименти размерите на топката и дължината на махалото са различни, но всички те потвърждават изводитеЖан Бернар Леон Фуко.

Елементи на махалото, което беше демонстрирано в Пантеона, сега се съхраняват в Парижкия музей на изкуствата и занаятите. А махалата на Фуко сега са на много места по света: в политехнически и природонаучни музеи, научни обсерватории, планетариуми, университетски лаборатории и библиотеки.

В Украйна има три махала на Фуко. Едната се съхранява в Националния технически университет на Украйна „КПИ на името на И. Игор Сикорски“, вторият – в Харковския национален университет. В.Н. Каразин, третият - в планетариума в Харков.

Махалата, показани на фиг. 2, са разширени тела с различни форми и размери, които се люлеят около окачване или опорна точка. Такива системи се наричат ​​физически махала. В състояние на равновесие, когато центърът на тежестта е на вертикалата под точката на окачване (или опора), силата на гравитацията се балансира (чрез еластичните сили на деформираното махало) от реакцията на опората. При отклонение от равновесното положение гравитацията и еластичните сили определят във всеки момент ъгловото ускорение на махалото, т.е. определят характера на неговото движение (колебания). Сега ще разгледаме по-подробно динамиката на трептенията, използвайки най-простия пример за така нареченото математическо махало, което е малко тегло, окачено на дълга тънка нишка.

В математическото махало можем да пренебрегнем масата на нишката и деформацията на тежестта, т.е. можем да приемем, че масата на махалото е концентрирана в тежестта, а еластичните сили са концентрирани в нишката, което се счита неразтеглив. Нека сега да разгледаме под влияние на какви сили трепти нашето махало, след като е изведено от равновесие по някакъв начин (чрез тласък, отклонение).

Когато махалото е в покой в ​​равновесно положение, силата на гравитацията, действаща върху теглото му и насочена вертикално надолу, се балансира от напрежението в нишката. В отклонено положение (фиг. 15) гравитацията действа под ъгъл спрямо силата на опън, насочена по нишката. Разлагаме силата на гравитацията на два компонента: по посока на нишката () и перпендикулярна на нея (). При трептене на махалото силата на опън на нишката леко надвишава компонента - със стойността на центростремителната сила, която кара товара да се движи по дъга. Компонентът винаги е насочен към равновесното положение; тя изглежда се стреми да възстанови тази позиция. Затова често се нарича възстановяваща сила. Модулът е толкова по-голям, колкото повече се отклонява махалото.

Ориз. 15. Възстановяващата сила при отклонение на махалото от равновесното положение

Така че, веднага щом махалото по време на своите трептения започне да се отклонява от равновесното положение, да речем, надясно, се появява сила, която забавя движението му толкова повече, колкото повече се отклонява. В крайна сметка тази сила ще го спре и ще го върне обратно в равновесно положение. Въпреки това, докато се приближаваме до това положение, силата ще става все по-малка и в самото равновесно положение ще се обърне към нула. Така махалото преминава през равновесното положение по инерция. Веднага щом започне да се отклонява наляво, отново ще се появи сила, нарастваща с увеличаване на отклонението, но вече насочена надясно. Движението наляво отново ще се забави, след което махалото ще спре за момент, след което ще започне ускореното движение надясно и т.н.

Какво се случва с енергията на махалото, докато се люлее?

Два пъти през периода - при най-големите отклонения наляво и надясно - махалото спира, тоест в тези моменти скоростта е нула, което означава, че и кинетичната енергия е нула. Но точно в тези моменти центърът на тежестта на махалото се издига на най-голяма височина и следователно потенциалната енергия е най-голяма. Напротив, в моментите на преминаване през равновесното положение потенциалната енергия е най-малка, а скоростта и кинетичната енергия достигат максимална стойност.

Приемаме, че силите на триене на махалото във въздуха и триенето в точката на окачване могат да бъдат пренебрегнати. Тогава, съгласно закона за запазване на енергията, тази максимална кинетична енергия е точно равна на излишъка на потенциалната енергия в позицията на най-голямо отклонение над потенциалната енергия в позицията на равновесие.

Така че, когато махалото се колебае, възниква периодичен преход на кинетичната енергия в потенциална енергия и обратно, като периодът на този процес е наполовина по-дълъг от периода на колебание на самото махало. Въпреки това, общата енергия на махалото (сумата от потенциалната и кинетичната енергия) е постоянна през цялото време. Тя е равна на енергията, която е била предадена на махалото в началото, без значение дали е под формата на потенциална енергия (първоначално отклонение) или под формата на кинетична енергия (първоначален тласък).

Такъв е случаят с всички вибрации при липса на триене или други процеси, които отнемат енергия от осцилиращата система или й предават енергия. Ето защо амплитудата остава непроменена и се определя от първоначалното отклонение или силата на натиска.

Получаваме същите промени във възстановяващата сила и същия преход на енергия, ако вместо да окачим топката на конец, я накараме да се търкаля във вертикална равнина в сферична чаша или в корито, извито около обиколката. В този случай ролята на напрежението на конеца ще се поеме от натиска на стените на чашата или коритото (отново пренебрегваме триенето на топката по стените и въздуха).