Справочни данни за експоненциална функция - основни свойства, графики и формули. Разглеждан следващи въпроси: област на дефиниция, набор от стойности, монотонност, обратна функция, производна, интеграл, разширение в степенни редовеи представяне чрез комплексни числа.

Определение

Експоненциална функцияе обобщение на произведението на n числа, равно на a:
г (n) = a n = a a a a,
към множеството от реални числа x:
г (x) = x.
Тук a е фиксирано реално число, което се нарича основата на експоненциалната функция.
Експоненциална функция с основа а също се нарича експоненциална към основа а.

Обобщението се извършва по следния начин.
За естествено x = 1, 2, 3,... , експоненциалната функция е произведение на х фактори:
.
Освен това той има свойствата (1.5-8) (), които следват от правилата за умножаване на числа. При нулеви и отрицателни стойности на цели числа, експоненциалната функция се определя по формули (1.9-10). При дробни стойности x = m/n рационални числа, , се определя по формула (1.11). За реално, експоненциалната функция се дефинира като ограничение на последователността:
,
където е произволна последователност от рационални числа, сходни към x : .
С тази дефиниция експоненциалната функция е дефинирана за всички , и удовлетворява свойствата (1.5-8), както и за естествено x .

Строга математическа формулировка на дефиницията на експоненциална функция и доказателство за нейните свойства е дадена на страницата "Дефиниция и доказателство на свойствата на експоненциална функция".

Свойства на експоненциалната функция

Експоненциалната функция y = a x , има следните свойствавърху набор от реални числа () :
(1.1) е дефиниран и непрекъснат, за , за всички ;
(1.2) когато a ≠ 1 има много значения;
(1.3) стриктно нараства при , стриктно намалява при ,
е постоянна при ;
(1.4) в ;
в ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Други полезни формули
.
Формулата за преобразуване в експоненциална функция с различна степенна база:

За b = e получаваме израза на експоненциалната функция по отношение на експонентата:

Частни ценности

, , , , .

Фигурата показва графики на експоненциалната функция
г (x) = x
за четири стойности степени основи:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 и а = 1/8 . Вижда се, че за a > 1 експоненциалната функция е монотонно нарастваща. Колкото по-голяма е основата на степента a, толкова по-силен е растежът. При 0 < a < 1 експоненциалната функция е монотонно намаляваща. Колкото по-малък е показателят a, толкова по-силно е намалението.

Възходящо, низходящо

Експоненциалната функция при е строго монотонна, така че няма екстремуми. Основните му свойства са представени в таблицата.

	y = a x , a > 1	y = x, 0 < a < 1
Домейн	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Диапазон от стойности	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Монотонен	нараства монотонно	намалява монотонно
Нули, y= 0	Не	Не
Точки на пресичане с оста y, x = 0	y= 1	y= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Обратна функция

Реципрочната стойност на експоненциална функция с основа от степен a е логаритъм при основа a.

Ако , тогава
.
Ако , тогава
.

Диференциране на експоненциалната функция

За да се диференцира експоненциална функция, нейната основа трябва да се редуцира до числото e, да се приложи таблицата с производни и правилото за диференциране сложна функция.

За да направите това, трябва да използвате свойството на логаритмите
и формулата от таблицата с производни:
.

Нека е дадена експоненциална функция:
.
Пренасяме го в базата e:

Прилагаме правилото за диференциране на сложна функция. За да направим това, въвеждаме променлива

Тогава

От таблицата с производни имаме (заменете променливата x с z ):
.
Тъй като е константа, производната на z по отношение на x е
.
Според правилото за диференциране на сложна функция:
.

Производна на експоненциална функция

.
Производна от n-ти ред:
.
Извеждане на формули >>>

Пример за диференциране на експоненциална функция

Намерете производната на функция
y= 35 х

Решение

Изразяваме основата на експоненциалната функция чрез числото e.
3 = дневник 3
Тогава
.
Въвеждаме променлива
.
Тогава

От таблицата на производните намираме:
.
Тъй като 5ln 3е константа, тогава производната на z по отношение на x е:
.
Според правилото за диференциране на сложна функция имаме:
.

Отговор

Интеграл

Изрази чрез комплексни числа

Помислете за функцията комплексно число z:
f (z) = az
където z = x + iy; аз 2 = - 1 .
Изразяваме комплексната константа a чрез модула r и аргумента φ:
a = r e i φ
Тогава


.
Аргументът φ не е еднозначно дефиниран. Общо взето
φ = φ 0 + 2 пн,
където n е цяло число. Следователно функцията f (z)също е двусмислено. Често се счита за основното му значение
.

Разширение в серия

.

Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти от висши учебни заведения, Lan, 2009.

Функцията y=x^2 се нарича квадратна функция. Графиката на квадратична функция е парабола. Общият изглед на параболата е показан на фигурата по-долу.

квадратична функция

Фиг. 1. Общ изглед на параболата

Както се вижда от графиката, тя е симетрична спрямо оста Oy. Оста Oy се нарича ос на симетрия на параболата. Това означава, че ако начертаете права линия, успоредна на оста Ox над тази ос на диаграмата. След това пресича параболата в две точки. Разстоянието от тези точки до оста y ще бъде същото.

Оста на симетрия разделя графиката на параболата, така да се каже, на две части. Тези части се наричат ​​клонове на параболата. А точката на параболата, която лежи на оста на симетрия, се нарича връх на параболата. Тоест, оста на симетрия минава през върха на параболата. Координатите на тази точка са (0;0).

Основни свойства на квадратична функция

1. За x=0, y=0 и y>0 за x0

2. Минимална стойност квадратична функциядостига своя връх. Ymin при х=0; Трябва също така да се отбележи, че максимална стойностфункцията не съществува.

3. Функцията намалява на интервала (-∞; 0] и расте на интервала .

Обхватът на функцията yavl. интервал [ 1; 3].

1. При x = -3, x = - 1, x = 1,5, x = 4,5 стойността на функцията е нула.

Стойността на аргумента, при която стойността на функцията е нула, се нарича нула на функцията.

//тези. за тази функция числата -3;-1;1.5; 4,5 са нули.

2. На интервалите [ 4.5; 3) и (1; 1.5) и (4.5; 5.5] графиката на функцията f е разположена над абсцисната ос, а на интервали (-3; -1) и (1.5; 4.5) под абсцисната ос, това е обяснено по следния начин - на интервали[4,5; 3) и (1; 1.5) и (4.5; 5.5] функцията взема положителни стойности, а на интервалите (-3; -1) и (1.5; 4.5) са отрицателни.

Всеки от посочените интервали (където функцията приема стойности с един и същи знак) се нарича интервал на постоянен знак на функцията f.//т.е. например, ако вземем интервала (0; 3), тогава той не е интервал с постоянен знак на дадената функция.

В математиката, когато се търсят интервали на постоянство на знака на функция, е обичайно да се посочват интервали максимална дължина. //Тези. интервал (2; 3) е интервал на постоянствофункция f, но отговорът трябва да включва интервала [ 4,5; 3), съдържащи интервала (2; 3).

3. Ако се движите по оста x от 4,5 до 2, ще забележите, че графиката на функцията отива надолу, тоест стойностите на функцията намаляват. //В математиката е прието да се казва, че на интервала [ 4,5; 2] функцията е намаляваща.

Когато х нараства от 2 до 0, графиката на функцията върви нагоре, т.е. стойностите на функциите се увеличават. //В математиката е прието да се казва, че на интервала [ 2; 0] функцията нараства.

Функцията f се извиква, ако за всеки две стойности на аргумента x1 и x2 от този интервал, така че x2 > x1, неравенството f (x2) > f (x1) е изпълнено. // или Функцията се извиква нараства през определен интервал, ако за всякакви стойности на аргумента от този интервал по-голяма стойностаргумент съответства на по-голямата стойност на функцията.//т.е. колкото повече x, толкова повече y.

Извиква се функцията f намаляващи през определен интервал, ако за всеки две стойности на аргумента x1 и x2 от този интервал, така че x2 > x1, е изпълнено неравенството f(x2), намаляващо на някакъв интервал, ако за всякакви стойности на аргумента от този интервал е изпълнено по-голямо стойността на аргумента съответства на по-малка стойност на функцията. //тези. колкото повече x, толкова по-малко y.

Ако дадена функция нараства по цялата област на дефиниция, тогава тя се извиква повишаване на.

Ако дадена функция е намаляваща по цялата област на дефиниция, тогава тя се извиква намаляващ.

Пример 1графика съответно на нарастващи и намаляващи функции.

Пример 2

Определете yavl. линейната функция f(x) = 3x + 5 нараства или намалява?

Доказателство. Нека използваме дефинициите. Нека x1 и x2 са произволни стойности на аргумента и x1< x2., например х1=1, х2=7

Функции и техните свойства

Функцията е едно от най-важните математически понятия.функция е такава зависимост на променливата y от променливата x, при която всяка стойност на променливата x съответства на една единствена стойност на променливата y.

променлива хНаречен независима променлива или аргумент.променлива приНаречен зависима променлива. Те също така казватпроменлива y е функция на променлива x. Стойностите на зависимата променлива се наричатстойности на функцията.

Ако променливата зависимостпри от променливах е функция, може да се запише по следния начин:г= f( х ). (Прочети:при равно наf отх .) Символf( х) обозначават стойността на функцията, съответстваща на стойността на аргумента, равен нах .

Всички стойности на независимата променлива формафункционален обхват . Всички стойности, които зависимата променлива приемафункционален диапазон .

Ако дадена функция е дадена с формула и нейният домейн на дефиниция не е посочен, тогава се счита, че домейнът на функцията се състои от всички стойности на аргумента, за които формулата има смисъл.

Начини за задаване на функция:

1. аналитичен метод (функцията се задава с помощта на математическа формула;

2. табличен начин (функцията се задава с помощта на таблицата)

3.описателен начин (функцията е зададена словесно описание)

4.графичен метод (функцията се задава с помощта на графика).

Функционална графика наричаме множеството от всички точки на координатната равнина, чиито абсциси са равни на стойностите на аргумента и ординатите - съответните функционални стойности.

ОСНОВНИ СВОЙСТВА НА ФУНКЦИИТЕ

1. Функционални нули

Функция нула е стойността на аргумента, при която стойността на функцията е равна на нула.

2. Функционални интервали

Интервалите на постоянен знак на функция са такива набори от стойности на аргументи, при които стойностите на функцията са само положителни или само отрицателни.

3. Нарастваща (намаляваща) функция.

Повишаване на в определен интервал, функция е функция, при която по-голямата стойност на аргумента от този интервал съответства на по-голямата стойност на функцията.

функция y= f ( х ) Наречен повишаване на на интервала (A; b ), ако има х 1 И х 2 от този интервал, така чех 1 < х 2 , неравенствотоf ( х 1 )< f ( х 2 ).

намаляващ в определен интервал, функция е функция, чиято по-голяма стойност на аргумента от този интервал съответства на по-малка стойност на функцията.

функция при = f ( х ) Наречен намаляващна интервала (A; b ) , ако има такива х 1 И х 2 от този интервал, така че х 1 < х 2 , неравенствотоf ( х 1 )> f ( х 2 ).

4. Четни (нечетни) функции

Равномерна функция - функция, чиято област на дефиниция е симетрична по отношение на произхода и за всеких от областта на дефиницията равенствотоf (- х ) = f ( х ) . Графиката на четната функция е симетрична спрямо оста y.

Например y = x 2 е четна функция.

странна функция- функция, чиято област на дефиниция е симетрична по отношение на произхода и за всеки хот областта на дефиницията равенството f (- х ) = - f (х ). Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото.

Например: y = x 3 - странна функция .

функция общ изгледне е четен или нечетен (y = x 2 +x ).

Свойства на някои функции и техните графики

1. Линейна функция се нарича функция на формата , Където к И b - числа.

Домейн линейна функция- няколкоР реални числа.

Графика на линейна функцияпри = kx + b ( к ≠ 0) е права линия, минаваща през точката (0;b ) и успоредна на праватапри = kx .

Прав, не успореден на остаOU, е графиката на линейна функция.

Свойства на линейна функция.

1. Кога к > 0 функция при = kx + b

2. Кога к < 0 функция y= kx + b намаляващи в областта на дефиницията.

г = kx + b ( к ≠ 0 ) е цялата числова ос, т.е. няколкоР реални числа.

При к = 0 набор от функционални стойностиy= kx + b се състои от едно числоb .

3. Кога b = 0 и к = 0 функцията не е нито четна, нито нечетна.

При к = 0 линейната функция има форматаy= b и при b ≠ 0 равно е.

При к = 0 и b = 0 линейната функция има форматаy= 0 и са четни и нечетни едновременно.

Графика на линейна функцияy= b е права, минаваща през точката (0; b ) и успоредна на остаоИмайте предвид, че когато b = 0 графика на функциятаy= b съвпадат с оста о .

5. Кога к > 0 имаме това при> 0 ако и при< 0 ако . При к < 0 имаме, че y > 0 акои при< 0, если .

2. Функция г = х 2

Рреални числа.

Чрез даване на променливах множество стойности от обхвата на функцията и изчисляване на съответните стойностиприспоред формулата г = х 2 , начертайте графика на функцията.

Функционална графика г = х 2 Наречен парабола.

Свойства на функцията y = x 2 .

1. Ако х= 0, тогава y= 0, т.е. парабола има с координатни оси обща точка(0; 0) - произход.

2. Ако x ≠ 0 , Че при > 0, т.е. всички точки на параболата, с изключение на началото, лежат над оста x.

3. Набор от функционални стойностипри = х 2 е функцията за обхватпри = х 2 намалява.

х

3.Функция

Обхватът на тази функция е функцията spanг = | х | намалява.

7. Най-ниска стойностфункция приема в точкаХ,то е равно на 0. Най-голяма стойностне съществува.

6. функция

Обхват на функцията: .

Функционален диапазон: .

Графиката е хипербола.

1. Функционални нули.

y ≠ 0, без нули.

2. Интервали на постоянство на знака,

Ако к > 0, тогава при> 0 при х > 0; при < 0 при х < О.

Ако к < 0, то при < 0 при х > 0; при> 0 при х < 0.

3. Интервали на нарастване и намаляване.

Ако к > 0, тогава функцията намалява, когато .

Ако к < 0, то функция возрастает при .

4. Четни (нечетни) функции.

Функцията е странна.

Квадрат тричлен

Типово уравнение брадва 2 + bx + ° С = 0, където а , bИ с - някои числа иа≠ 0, наречено квадрат.

В квадратно уравнениебрадва 2 + bx + ° С = 0 коефициент АНаречен първият коефициент b - втори коефициенти, с - безплатен член.

Формула на корена квадратно уравнениеизглежда като:

.

Изразът се нарича дискриминанта квадратно уравнение и се означава сд .

Ако д = 0, тогава има само едно число, което удовлетворява уравнението брадва 2 + bx + ° С = 0. Въпреки това се съгласихме да кажем, че в този случай квадратното уравнение има два равни реални корена и самото число Наречен двоен корен.

Ако д < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ако д > 0, тогава квадратното уравнение има два различни реални корена.

Нека квадратното уравнениебрадва 2 + bx + ° С = 0. Тъй като а≠ 0, след това разделяне на двете части дадено уравнениеНаа, получаваме уравнението . Ако приемем И , стигаме до уравнението , в която първият коефициент е равен на 1. Такова уравнение се наричададено.

Формулата за корените на горното квадратно уравнение е:

.

Уравнения на формата

А х 2 + bx = 0, брадва 2 + с = 0, А х 2 = 0

Наречен непълни квадратни уравнения. Непълните квадратни уравнения се решават чрез разлагане на лявата страна на уравнението.

Теорема на Виета .

Сумата от корените на квадратното уравнение е равна на съотношението на втория коефициент към първия, взето с обратен знак, а произведението на корените е отношението на свободния член към първия коефициент, т.е.

Обратна теорема.

Ако сумата от произволни две числах 1 И х 2 е равно на , а техният продукт е, тогава тези числа са корените на квадратното уравнениео 2 + b x + c = 0.

функция за преглед о 2 + b x + cНаречен квадратен тричлен. Корените на тази функция са корените на съответното квадратно уравнениео 2 + b x + c = 0.

Ако дискриминантът квадратен тричлен Над нулата, тогава този трином може да бъде представен като:

о 2 + b x + c \u003d a (x-x 1 )(x-x 2 )

Където х 1 И х 2 - тричленни корени

Ако дискриминантът на квадратен трином е нула, тогава този трином може да бъде представен като:

о 2 + b x + c \u003d a (x-x 1 ) 2

Където х 1 е корен на тричлен.

Например, 3x 2 - 12x + 12 = 3 (x - 2) 2 .

Типово уравнение о 4 + b х 2 + с= 0 се извиква би-квадрат. Чрез промяна на променливата според формулатах 2 = г тя се свежда до квадратното уравнениеА г 2 + от + с = 0.

квадратична функция

квадратична функция е функция, която може да бъде написана като формулаг = брадва 2 + bx + ° С , Където х е независима променлива,а , b И ° С са някои числа иа ≠ 0.

Свойствата на функцията и вида на нейната графика се определят главно от стойностите на коефициентаа и дискриминант.

Свойства на квадратична функция

Домейн:Р;

Диапазон от стойности:

при А > 0 [- д/(4 а); ∞)

при А < 0 (-∞; - д/(4 а)];

Дори странно:

при b = 0 функцията е четна

при b ≠ 0 функцията не е нито четна, нито нечетна

при д> 0 две нули: ,

при д= 0 една нула:

при д < 0 нулей нет

Интервали на постоянство:

ако a > 0, д> 0, тогава

ако a > 0, д= 0, тогава

дако a > 0, д < 0, то

ако< 0, д> 0, тогава

ако< 0, д= 0, тогава

ако< 0, д < 0, то

- Интервали на монотонност

за a > 0

при а< 0

Графиката на квадратичната функция епарабола - крива, симетрична спрямо права линия минаваща през върха на параболата (върхът на параболата е пресечната точка на параболата с оста на симетрия).

За да начертаете квадратична функция, трябва:

1) намерете координатите на върха на параболата и я маркирайте в координатната равнина;

2) изградете още няколко точки, принадлежащи на параболата;

3) свържете маркираните точки с гладка линия.

Координатите на върха на параболата се определят по формулите:

; .

Преобразуване на графики на функции

1. разтягане графични изкустваy = x 2 по остапри V|а| пъти (когато|а| < 1 е компресия в 1/|а| веднъж).

Ако< 0, произвести, кроме того, огледално отражениеосеви графиких (клоновете на параболата ще бъдат насочени надолу).

Резултат: функционална графикаy=ах 2 .

2. Паралелен трансфер функционална графикаy=ах 2 по остах На| м | (вдясно при

м > 0 и наляво приT< 0).

Резултат: функционална графикаy \u003d a (x - t) 2 .

3. Паралелен трансфер функционална графика по остапри На| н | (нагоре къмn> 0 и надолу приП< 0).

Резултат: функционална графикаy \u003d a (x - t) 2 + стр.

Квадратни неравенства

Неравенства на форматао 2 + b x + c > 0 ио 2 + bx + c< 0, къдетох - променлива,а , b Ис - някои числа и,а≠ 0 се наричат ​​неравенства от втора степен с една променлива.

Решаването на неравенство от втора степен с една променлива може да се разглежда като намиране на интервалите, в които съответната квадратична функция приема положителни или отрицателни стойности.

Да се ​​решават неравенства от видао 2 + bx + c > 0 ио 2 + bx + c< 0 направете следното:

1) намерете дискриминанта на квадратен тричлен и разберете дали триномът има корени;

2) ако тричленът има корени, тогава ги маркирайте на остах и през отбелязаните точки схематично е начертана парабола, чиито клонове са насочени нагоре къмА > 0 или надолу приА< 0; ако триномът няма корени, тогава схематично изобразете парабола, разположена в горната полуравнина наА > 0 или в долната част, когатоА < 0;

3) намерете по остах интервали, за които точките на параболата са разположени над остах (ако решат неравенствотоо 2 + bx + c > 0) или под остах (ако решат неравенствотоо 2 + bx + c < 0).

Пример:

Нека решим неравенството .

Помислете за функцията

Неговата графика е парабола, чиито клонове са насочени надолу (защото ).

Разберете как е разположена графиката спрямо остаХ. Нека решим уравнението за това . Разбираме товаx = 4. Уравнението има един корен. Така че параболата докосва остаХ.

След като схематично изобразихме парабола, откриваме, че функцията приема отрицателни стойности за всякаХ, освен 4.

Отговорът може да бъде написан така:х - всяко число, което не е равно на 4.

Решаване на неравенства по интервалния метод

схема на решение

1. Намерете нули функция от лявата страна на неравенството.

2. Маркирайте позицията на нулите върху числовата ос и определете тяхната кратност (Акок аз четен, тогава нула от четна кратност, акок аз нечетен - след това нечетен).

3. Намерете признаци на функция в интервалите между неговите нули, започвайки от най-десния интервал: в този интервал функцията от лявата страна на неравенството винаги е положителна за редуцираната форма на неравенствата. При преминаване от дясно на ляво през нулата на функция от един интервал към съседен, трябва да се вземе предвид:

ако нулата е нечетна кратност, знакът на функцията се променя,

ако нулата е четна кратност, знакът на функцията се запазва.

4. Запишете отговора.

Пример:

(x + 6) (x + 1) (Х - 4) < 0.

Намерени нули на функцията. Те са равни:х 1 = -6; х 2 = -1; х 3 = 4.

Маркираме нулите на функцията върху координатната праваf ( х ) = (x + 6) (x + 1) (Х - 4).

Намерете знаците на тази функция във всеки от интервалите (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4) и

От фигурата се вижда, че множеството от решения на неравенството е обединението на интервалите (-∞; -6) и (-1; 4).

Отговор: (-∞ ; -6) и (-1; 4).

Разглежданият метод за решаване на неравенства се наричаинтервален метод.

Функционални нули
Нулата на функцията е стойността х, при което функцията става 0, тоест f(x)=0.

Нулите са точките на пресичане на графиката на функцията с оста о

Функционален паритет
Функция се извиква дори и за всяка хот областта на дефиницията, равенството f(-x) = f(x)

Четната функция е симетрична спрямо оста OU

Странна функция
Една функция се нарича нечетна, ако за всяка хот областта на дефиницията е изпълнено равенството f(-x) = -f(x).

Нечетната функция е симетрична по отношение на началото.
Функция, която не е нито четна, нито нечетна, се нарича обща функция.

Увеличение на функцията
Функцията f(x) се нарича нарастваща, ако по-голямата стойност на аргумента съответства на по-голямата стойност на функцията, т.е.

Намаляваща функция
Функцията f(x) се нарича намаляваща, ако на по-голямата стойност на аргумента съответства по-малката стойност на функцията, т.е.

Извикват се интервалите, на които функцията или само намалява, или само нараства интервали на монотонност. Функцията f(x) има 3 интервала на монотонност:

Намерете интервали на монотонност, като използвате услугата Интервали на нарастващи и намаляващи функции

Местен максимум
Точка х 0наречена точка локален максимум, ако има такива хот съседство на точка х 0важи следното неравенство: f(x 0) > f(x)

Местен минимум
Точка х 0наречена точка местен минимум, ако има такива хот съседство на точка х 0важи следното неравенство: f(x 0)< f(x).

Локалните максимални точки и локалните минимални точки се наричат ​​локални екстремни точки.

локални екстремни точки.

Функция Периодичност
Функцията f(x) се нарича периодична, с период T, ако има такива х f(x+T) = f(x) .

Интервали на постоянство
Интервалите, на които функцията е или само положителна, или само отрицателна, се наричат ​​интервали с постоянен знак.

Непрекъснатост на функцията
Функция f(x) се нарича непрекъсната в точка x 0, ако границата на функцията при x → x 0 е равно на стойносттафункции в този момент, т.е. .

точки на прекъсване
Точките, в които се нарушава условието за непрекъснатост, се наричат ​​точки на прекъсване на функцията.

x0- до точката на пречупване.

Обща схема за изобразяване на функции

1. Намерете домейна на функцията D(y).

2. Намерете пресечните точки на графиката на функциите с координатните оси.

3. Проучете функцията за четно или нечетно.

4. Изследвайте функцията за периодичност.

5. Намерете интервали на монотонност и точки на екстремум на функцията.

6. Намерете интервали на изпъкналост и точки на инфлексия на функцията.

7. Намерете асимптотите на функцията.

8. Въз основа на резултатите от изследването изградете графика.

Пример:Разгледайте функцията и изградете нейната графика: y = x 3 - 3x

1) Функцията е дефинирана върху цялата реална ос, т.е. нейната област на дефиниране е D(y) = (-∞; +∞).

2) Намерете точките на пресичане с координатните оси:

с оста OX: решете уравнението x 3 - 3x \u003d 0

с ос ОY: y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

3) Разберете дали функцията е четна или нечетна:

y(-x) = (-x) 3 - 3(-x) = -x 3 + 3x = - (x 3 - 3x) = -y(x)

От това следва, че функцията е нечетна.

4) Функцията е непериодична.

5) Намерете интервалите на монотонност и точките на екстремум на функцията: y’ = 3x 2 - 3.

Критични точки: 3x 2 - 3 = 0, x 2 =1, x= ±1.

y(-1) = (-1) 3 – 3(-1) = 2

y(1) = 1 3 – 3*1 = -2

6) Намерете интервалите на изпъкналост и инфлексните точки на функцията: y'' = 6x

Критични точки: 6x = 0, x = 0.

y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

7) Функцията е непрекъсната, няма асимптоти.

8) Въз основа на резултатите от изследването ще построим графика на функцията.