Крайни векторни пространства, техните свойства и примери. векторно пространство

От Уикипедия, свободната енциклопедия

вектор(или линеен) пространство- математическа структура, която представлява набор от елементи, наречени вектори, за които са дефинирани операциите събиране помежду си и умножение с число - скалар. Тези операции са предмет на осем аксиоми. Скаларите могат да бъдат елементи на реално, комплексно или друго числово поле. Специален случай на такова пространство е обичайното триизмерно евклидово пространство, чиито вектори се използват например за представяне на физически сили. В същото време трябва да се отбележи, че векторът като елемент на векторно пространство не трябва да бъде посочен под формата на насочен сегмент. Обобщението на понятието „вектор“ към елемент от векторно пространство от всякакво естество не само не предизвиква объркване на термините, но също така ни позволява да разберем или дори да предвидим редица резултати, които са валидни за пространства от произволен характер .

Векторните пространства са обект на изучаване в линейната алгебра. Една от основните характеристики на векторното пространство е неговата размерност. Измерението е максималният брой линейно независими елементи на пространството, тоест, чрез прибягване до грубо геометрично описание, броят на посоките, които са неизразими по отношение една на друга само чрез операциите събиране и умножение със скалар. Векторното пространство може да бъде снабдено с допълнителни структури, като норма или точков продукт. Такива пространства се появяват естествено в смятането, предимно като безкрайномерни функционални пространства ( Английски), където векторите са функциите . Много проблеми в анализа изискват да се установи дали последователност от вектори се сближава с даден вектор. Разглеждането на такива въпроси е възможно във векторни пространства с допълнителна структура, в повечето случаи подходяща топология, която позволява да се дефинират понятията за близост и непрекъснатост. Такива топологични векторни пространства, по-специално пространствата на Банах и Хилберт, позволяват по-задълбочено изследване.

В допълнение към векторите, линейната алгебра също изучава тензори от по-висок ранг (скаларът се счита за тензор от ранг 0, векторът се счита за тензор от ранг 1).

Първите произведения, които предвиждат въвеждането на концепцията за векторно пространство, датират от 17 век. Тогава получиха своето развитие аналитичната геометрия, учението за матриците, системите от линейни уравнения и евклидовите вектори.

Определение

Линеен, или векторно пространство $V\backslash ляво(F\backslash дясно)$над полето $Е$е подредена четворка $(V,F,+,\backslash cdot)$, където

• $V$- непразно множество от елементи с произволен характер, които се наричат вектори;
• $Е$- (алгебрично) поле, чиито елементи се наричат скалари;
• Дефинирана операция допълнениявектори $V\backslash пъти\; V\backslash до\; V$, съответстващи на всяка двойка елементи $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)$комплекти $V$ $V$викайки ги сумаи означено $\backslash mathbf(x)\; +\; \backslash mathbf(y)$;
• Дефинирана операция умножение на вектори със скалари $F\backslash пъти\; V\backslash до\; V$, което съответства на всеки елемент $\backslash ламбда$полета $Е$и всеки елемент $\backslash mathbf(x)$комплекти $V$единственият елемент от комплекта $V$, означено $\backslash lambda\backslash cdot\; \backslash mathbf(x)$или $\backslash lambda\backslash mathbf(x)$;

Векторните пространства, дефинирани на един и същи набор от елементи, но над различни полета, ще бъдат различни векторни пространства (например набор от двойки реални числа $\backslash mathbb(R)^2$може да бъде двумерно векторно пространство над полето на реалните числа или едномерно - над полето на комплексните числа).

Най-простите свойства

1. Векторното пространство е абелева група чрез добавяне.
2. неутрален елемент $\backslash mathbf(0)\; \backslash in\; V$
3. $0\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(0)$за всеки $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
4. За всеки $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$противоположен елемент $-\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$е единственото, което следва от груповите свойства.
5. $1\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(x)$за всеки $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
6. $(-\backslash alpha)\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\backslash cdot(-\backslash mathbf(x))\; =\; -(\backslash alpha\backslash mathbf(x))$за всякакви $\backslash alpha\; \backslash in\; F$и $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
7. $\backslash alpha\backslash cdot\; \backslash mathbf(0)\; =\; \backslash mathbf(0)$за всеки $\backslash alpha\; \backslash in\; F$.

Свързани определения и свойства

подпространство

Алгебрична дефиниция: Линейно подпространствоили векторно подпространствое непразно подмножество $К$линейно пространство $V$такова, че $К$само по себе си е линейно пространство по отношение на тези, дефинирани в $V$операции събиране и умножение със скалар. Множеството от всички подпространства обикновено се означава като $\backslash mathrm(Lat)(V)$. За да бъде едно подмножество подпространство, е необходимо и достатъчно, че

1. за всеки вектор $\backslash mathbf(x)\backslash в\; К$, вектор $\backslash alpha\backslash mathbf(x)$също принадлежеше $К$, за всякакви $\backslash alpha\backslash in\; F$;
2. за всякакви вектори $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash in\; K$, вектор $\backslash mathbf(x)+\backslash mathbf(y)$също принадлежеше $К$.

Последните две твърдения са еквивалентни на следното:

За всякакви вектори $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash in\; K$, вектор $\backslash alpha\backslash mathbf(x)+\backslash beta\backslash mathbf(y)$също принадлежеше $К$за всякакви $\backslash alpha,\; \backslash beta\; \backslash in\; F$.

По-специално, векторно пространство, състоящо се само от един нулев вектор, е подпространство на всяко пространство; всяко пространство е подпространство на себе си. Подпространствата, които не съвпадат с тези две, се наричат собственили нетривиален.

Свойства на подпространството

• Пресечната точка на всяко семейство подпространства отново е подпространство;
• Сума от подпространства $\backslash (K\_i\backslash quad|\backslash quad\; i\; \backslash in\; 1\backslash ldots\; N\backslash )$дефиниран като набор, съдържащ всички възможни суми от елементи $K\_i$: $\backslash sum\_(i=1)^N\; (K\_i):=\; \backslash (\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash mathbf(x)\_N\backslash quad|\backslash quad\; \backslash mathbf(x)\_i\; \backslash in\; K\_i\backslash quad\; (i\backslash in\; 1\backslash ldots\; N)\backslash )$.
  • Сборът от крайно семейство подпространства отново е подпространство.

Линейни комбинации

Крайна сума на изгледа

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$

Линейната комбинация се нарича:

Основа. Измерение

Вектори $\backslash mathbf(x)\_1,\; \backslash mathbf(x)\_2,\; \backslash ldots,\; \backslash mathbf(x)\_n$Наречен линейно зависими, ако има нетривиална линейна комбинация от тях, равна на нула:

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n\; =\; \backslash mathbf(0),\; \backslash quad\; \backslash \; |\backslash alpha\_1|\; +\; |\backslash alpha\_2|\; +\; \backslash ldots\; +\; |\backslash alpha\_n|\; \backslash neq\; 0.$

В противен случай тези вектори се наричат линейно независими.

Тази дефиниция позволява следното обобщение: безкраен набор от вектори от $V$Наречен линейно зависими, ако някои финалнеговото подмножество и линейно независими, Ако някой финалподмножеството е линейно независимо.

Основни свойства:

• Всякакви $н$линейно независими елементи $н$-дименсионална пространствена форма базатова пространство.
• Всеки вектор $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$може да бъде представен (уникално) като крайна линейна комбинация от основни елементи:

$\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$.

Линейна обвивка

Линейна обвивка $\backslash mathcal\; V(X)$подмножества $х$линейно пространство $V$- пресичане на всички подпространства $V$съдържащи $х$.

Линейната обвивка е подпространство $V$.

Линейна обвивка също се нарича генерирано подпространство $х$. Също така се казва, че линейният участък $\backslash mathcal\; V(X)$- пространство, опъната надМного $х$.

Линейна обвивка $\backslash mathcal\; V(X)$се състои от всички възможни линейни комбинации от различни крайни подсистеми от елементи от $х$. По-специално, ако $х$тогава е крайно множество $\backslash mathcal\; V(X)$се състои от всички линейни комбинации от елементи $х$. По този начин нулевият вектор винаги принадлежи на линейния участък.

Ако $х$е линейно независимо множество, тогава е базис $\backslash mathcal\; V(X)$и по този начин определя нейното измерение.

Примери

• Нулево пространство, чийто единствен елемент е нула.
• Пространството на всички функции $X\backslash до\; F$с краен носител образува векторно пространство с размерност, равна на $х$.
• Полето от реални числа може да се разглежда като векторно пространство с непрекъснато измерение върху полето от рационални числа.
• Всяко поле е едномерно пространство над себе си.

Допълнителни структури

Вижте също

Напишете отзив за статията "Векторно пространство"

Бележки

Литература

• Гелфанд И. М.Лекции по линейна алгебра. - 5-ти. - М .: Добросвет, МЦНМО, 1998. - 319 с. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Гелфанд И. М.Лекции по линейна алгебра. 5-то изд. - М .: Добросвет, МЦНМО, 1998. - 320 с. - ISBN 5-7913-0016-6.
• Кострикин А.И., Манин Ю.И.Линейна алгебра и геометрия. 2-ро изд. - М .: Наука, 1986. - 304 с.
• Кострикин А.И.Въведение в алгебрата. Част 2: Линейна алгебра. - 3-то. - М .: Наука ., 2004. - 368 с. - (Учебник за университет).
• Малцев А.И.Основи на линейната алгебра. - 3-то. - М .: Наука, 1970. - 400 с.

• Постников М. М.Линейна алгебра (Лекции по геометрия. II семестър). - 2-ро. - М .: Наука, 1986. - 400 с.
• Странг Г.Линейна алгебра и нейните приложения = Линейна алгебра и нейните приложения. - М .: Мир, 1980. - 454 с.
• Илин В. А., Позняк Е. Г.Линейна алгебра. 6-то изд. - М .: Физматлит, 2010. - 280 с. - ISBN 978-5-9221-0481-4.
• Халмош П.Крайномерни векторни пространства = Крайномерни векторни пространства. - М .: Физматгиз, 1963. - 263 с.
• Фаддеев Д.К.Лекции по алгебра. - 5-ти. - Санкт Петербург. : Lan, 2007. - 416 с.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О.Линейна алгебра и геометрия. - 1-ви. - М .: Физматлит, 2009. - 511 с.
• Шрайер О., Шпернер Г.Въведение в линейната алгебра в геометрично представяне = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Olshansky G. (превод от немски). - М.–Л.: ОНТИ, 1934. - 210 с.

Вектори и матрици Вектори Основни понятия Видове вектори Операции с вектори Видове пространство матрици Основни понятия други

Откъс, характеризиращ векторното пространство

Кутузов вървеше през строя, като от време на време се спираше и казваше няколко добри думи на офицерите, които познаваше от турската война, а понякога и на войниците. Като погледна обувките, той тъжно поклати глава няколко пъти и ги посочи на австрийския генерал с такова изражение, че сякаш не упрекваше никого за това, но не можеше да не види колко лошо беше. Командирът на полка тичаше всеки път напред, страхувайки се да не пропусне думата на главнокомандващия за полка. Зад Кутузов, на такова разстояние, че да може да се чуе всяка слабо изречена дума, вървеше човек от 20 свита. Господата от свитата разговаряха помежду си и понякога се смееха. Най-близо до главнокомандващия беше красив адютант. Беше княз Болконски. До него вървеше неговият другар Несвицки, висок щабен офицер, изключително едър, с мило и усмихнато красиво лице и влажни очи; Несвицки едва се сдържа да не се разсмее, събуден от черния хусарски офицер, който вървеше до него. Хусарският офицер, без да се усмихва, без да променя изражението на втренчените си очи, гледаше със сериозно лице в гърба на командира на полка и имитираше всяко негово движение. Всеки път, когато командирът на полка потръпваше и се навеждаше напред, точно по същия начин, точно по същия начин, хусарският офицер потръпваше и се навеждаше напред. Несвицки се засмя и накара останалите да погледнат смешния човек.
Кутузов вървеше бавно и апатично покрай хиляди очи, които се търкулнаха от орбитите си, следвайки шефа. След като се изравни с 3-та рота, той внезапно спря. Свитата, без да предвиди тази спирка, неволно се насочи към него.
- Ах, Тимохин! - каза главнокомандващият, като разпозна капитана с червен нос, който страдаше за синьо палто.
Изглежда, че е невъзможно да се простира повече, отколкото Тимохин се протегна, докато командирът на полка го смъмри. Но в този момент главнокомандващият се обърна към него, капитанът се изправи така, че изглеждаше, че ако главнокомандващият го беше погледнал още малко, капитанът нямаше да издържи ; и затова Кутузов, очевидно разбирайки позицията си и желаейки, напротив, всичко най-добро за капитана, бързо се обърна. Едва забележима усмивка пробяга по пълното, наранено лице на Кутузов.
„Още един другар Измайловски“, каза той. — Смел офицер! Доволен ли си от него? — попита Кутузов командира на полка.
И командирът на полка, сякаш отразен в огледало, невидим за себе си, в хусарския офицер, потръпна, отиде напред и отговори:
„Много се радвам, Ваше превъзходителство.
„Ние всички не сме лишени от слабости“, каза Кутузов, като се усмихна и се отдалечи от него. „Той имаше привързаност към Бакхус.
Командирът на полка се уплаши да не е той виновен за това и не отговори. В този момент офицерът забеляза лицето на капитана с червен нос и прибран стомах и имитира лицето и позата му толкова подобно, че Несвицки не можа да сдържи смеха си.
Кутузов се обърна. Беше очевидно, че офицерът можеше да контролира лицето си както иска: в момента, в който Кутузов се обърна, офицерът успя да направи гримаса и след това да приеме най-сериозното, почтително и невинно изражение.
Третата рота беше последна и Кутузов се замисли, явно си спомняше нещо. Княз Андрей излезе от свитата и тихо каза на френски:
- Вие наредихте да ви напомнят за понижения Долохов в този полк.
- Къде е Долохов? — попита Кутузов.
Долохов, вече облечен във войнишко сиво палто, не дочака да го повикат. Отпред излезе стройната фигура на рус войник с ясни сини очи. Той се приближи до главнокомандващия и направи караул.
– Претенция? – леко намръщено попита Кутузов.
— Това е Долохов — каза княз Андрей.
– А! каза Кутузов. – Надявам се, че този урок ще ви коригира, служи добре. Императорът е милостив. И няма да те забравя, ако го заслужаваш.
Ясните сини очи гледаха главнокомандващия също толкова смело, колкото и командира на полка, сякаш с изражението си разкъсваха завесата на условността, която отделяше главнокомандващия от войника толкова далеч.
— Искам да ви попитам за едно нещо, ваше превъзходителство — каза той с звучния си, твърд и бавен глас. „Моля ви да ми дадете възможност да поправя вината си и да докажа своята преданост към императора и Русия.
Кутузов се обърна. Същата усмивка на очите му блесна по лицето му, както тогава, когато се обърна към капитан Тимохин. Той се извърна и направи гримаса, сякаш искаше да изрази с това, че всичко, което Долохов му каза и всичко, което можеше да му каже, той знаеше отдавна, много време, че всичко това вече му е отегчено и че всичко това е изобщо не е това, от което се нуждаеше.. Той се обърна и тръгна към каретата.
Полкът се разпредели по роти и се насочи към определените апартаменти недалеч от Браунау, където се надяваха да се обуят, облекат и починат след трудни преходи.
- Не ми се преструваш, Прохор Игнатич? - каза командирът на полка, обикаляйки 3-та рота, движеща се към мястото и карайки към капитан Тимохин, който вървеше пред него. Лицето на командира на полка, след щастливо заминал преглед, изразяваше неудържима радост. - Кралската служба ... не можете ... друг път ще отрежете отпред ... аз ще бъда първият, който ще се извини, вие ме познавате ... Благодаря ви много! И протегна ръка към командира.
— Извинете, генерале, смея ли! - отговори капитанът, почервеня с носа си, усмихвайки се и разкривайки с усмивка липсата на два предни зъба, избити с приклад близо до Исмаил.
- Да, кажете на господин Долохов, че няма да го забравя, за да е спокоен. Да, моля те, кажи ми, все исках да попитам, какъв е той, как се държи? И всичко...
„Той е много полезен в службата си, ваше превъзходителство... но карахтерът...“ каза Тимохин.
- И какво, какъв е характерът? — попита командирът на полка.
„Той намира, ваше превъзходителство, в продължение на дни“, каза капитанът, „той е умен, учен и мил. И това е звяр. В Полша той уби евреин, ако знаете...
- Е, да, добре, да - каза командирът на полка, - все пак трябва да съжалявате за младежа в нещастието. В края на краищата страхотни връзки ... Така че вие ​​...
„Слушам, ваше превъзходителство“, каза Тимохин с усмивка, която даваше чувството, че разбира желанията на шефа.
- Да да.
Командирът на полка намери Долохов в редиците и овладя коня му.
„Преди първия случай, еполети“, каза му той.
Долохов се огледа, не каза нищо и не промени израза на подигравателно усмихната си уста.
— Е, това е добре — продължи командирът на полка. „Хората получават чаша водка от мен“, добави той, за да могат войниците да чуят. - Благодаря на всички ви! Слава Богу! - И той, като изпревари една компания, се приближи до друга.
„Е, той наистина е добър човек; Можеш да служиш с него — каза младшият Тимохин на офицера, който вървеше до него.
- Една дума, червен!... (командирът на полка беше наречен червеният цар) - каза през смях младшият офицер.
Радостното настроение на властите след прегледа премина и към войниците. Рота се забавляваше. Гласове на войници говореха от всички страни.
- Как казаха, Кутузов криво, за едното око?
- Но не! Съвсем криво.
- Не... брат, по-едроок от теб. Ботуши и яки - огледах всичко ...
- Как той, брат ми, гледа краката ми ... бе! мисля…
- А другият е австриец, беше с него, като с тебешир измазан. Като брашно, бяло. Аз съм чай, как чистят боеприпаси!
- Какво, Федешоу! ... каза той, може би, когато охраната започне, застанахте ли по-близо? Казаха всичко, самият Бунапарте стои в Брунов.
- Бунапарте стои! лъжеш, глупако! Какво не знае! Сега прусакът е на бунт. Следователно австриецът го умиротворява. Веднага щом се примири, войната ще започне с Бунапарт. И тогава, казва той, в Брунов стои Бунапарт! Очевидно е, че е идиот. Слушайте повече.
„Вижте, проклети наематели! Петата дружина, вижте, вече завива към селото, ще варят качамак, а ние още няма да стигнем до мястото.
- Дай ми един крекер, по дяволите.
„Дадохте ли тютюн вчера?“ Това е, братко. Е, Бог е с теб.
- Само ако са спрели, иначе няма да ядете още пет мили пропрем.
- Хубаво беше как германците ни подариха колички. Върви, знай: важно е!
- И тука, братко, народът съвсем се побесня. Там всичко изглеждаше като поляк, всичко беше от руската корона; а сега брат си отиде солиден германец.
- Авторите на песни напред! - чух вика на капитана.
И двайсетина души изтичаха пред компанията от различни чинове. Барабанистът пее се обърна с лице към песничките и, като махна с ръка, започна провлачена войнишка песен, започваща: „Не е ли зора, слънцето изгряваше...“ и завършваше с думите: „Това , братя, ще ни бъде слава с баща Каменски ..." в Турция и сега се пееше в Австрия, само с промяната, че на мястото на "баща Каменски" бяха вмъкнати думите: "Бащата на Кутузов".
Като откъсна тези последни думи като войник и размаха ръце, сякаш хвърляше нещо на земята, барабанистът, сух и красив войник на около четиридесет години, огледа строго войниците автори на песни и затвори очи. След това, като се увери, че всички погледи са приковани в него, той сякаш внимателно вдигна с две ръце някакво невидимо, скъпоценно нещо над главата си, задържа го така няколко секунди и изведнъж го хвърли отчаяно:
О, ти, мой балдахин, мой балдахин!
„Канопи моето ново...“, подхванаха двайсетина гласа и лъжичарят, въпреки тежестта на амунициите, скочи бързо напред и тръгна назад пред компанията, като мърдаше рамене и заплашваше някого с лъжици. Войниците, размахвайки ръце в ритъма на песента, вървяха с просторна стъпка, неволно удряйки крака. Зад компанията се чуха звуци на колела, скърцане на пружини и тропот на коне.
Кутузов със свитата си се връщаше в града. Главнокомандващият даде знак, че хората трябва да продължат да се разхождат свободно и на лицето му и на всички лица от свитата му се изписа задоволство при звука на песента, при вида на танцуващия войник и веселите и бодри маршируващи войници от ротата. Във втория ред, от десния фланг, откъдето каретата изпреварваше ротите, неволно привлече вниманието синеокият войник Долохов, който вървеше особено бодро и грациозно в такта на песента и гледаше лицата на минувачите с такова изражение, сякаш съжаляваше всеки, който не отиде по това време с компания. Хусарски корнет от свитата на Кутузов, имитирайки командира на полка, изостана от каретата и се приближи до Долохов.
Хусарският корнет Жерков по едно време в Санкт Петербург принадлежеше към онова буйно общество, ръководено от Долохов. Жерков се запознава с Долохов в чужбина като военен, но не смята за необходимо да го признае. Сега, след разговора на Кутузов с понижения, той се обърна към него с радостта на стар приятел:
- Скъпи приятелю, как си? - каза той под звуците на песента, изравнявайки стъпката на коня си със стъпката на дружината.
- Аз съм като? - студено отговори Долохов, - както виждате.
Живата песен придаваше особено значение на тона на нахално веселие, с който говореше Жерков, и нарочната студенина в отговорите на Долохов.
- Е, как се разбирате с властите? – попита Жерков.
Нищо, добри хора. Как попаднахте в щаба?
- Командирован, дежурен съм.
Мълчаха.
„Изпуснах сокола от десния си ръкав“, гласеше песента, събуждайки неволно весело, жизнерадостно чувство. Разговорът им вероятно щеше да бъде различен, ако не бяха говорили под звуците на песен.
- Кое е вярно, австрийците бяха бити? — попита Долохов.
„Дявол знае, казват.
„Радвам се“, отговори Долохов кратко и ясно, както изискваше песента.
- Ами елате при нас, когато вечерта, фараонът ще заложи - каза Жерков.
Или имате много пари?
- Идвам.
- Забранено е. Той даде обет. Не пия и не играя, докато не свърши.
Е, преди първото нещо...
- Ще го видиш там.
Отново мълчаха.
„Заповядайте, ако имате нужда от нещо, всички от щаба ще помогнат…“, каза Жерков.
Долохов се засмя.
„По-добре не се притеснявай. Каквото ми трябва, няма да питам, сам ще си го взема.
„Да, добре, аз съм толкова...
- Е, аз също.
- Довиждане.
- Бъдете здрави…
... и високо и далече,
От страната на домакините...
Жерков докосна с шпорите коня си, който три пъти, въодушевен, ритна, без да знае откъде да тръгне, се справи и препусна, изпреварвайки компанията и настигайки файтона, също в такт с песента.

Връщайки се от прегледа, Кутузов, придружен от австрийски генерал, отиде в кабинета си и, като повика адютанта, нареди да му даде някои документи, свързани със състоянието на пристигащите войски, и писма, получени от ерцхерцог Фердинанд, който командваше предната армия . Княз Андрей Болконски с необходимите документи влезе в кабинета на главнокомандващия. Пред плана, изложен на масата, седяха Кутузов и един австрийски член на Hofkriegsrat.
- Ах ... - каза Кутузов, поглеждайки назад към Болконски, сякаш с тази дума приканвайки адютанта да изчака, и продължи разговора, започнат на френски.
„Казвам само едно, генерале“, каза Кутузов с приятна елегантност на израза и интонацията, принуждавайки човек да се вслушва във всяка небрежно изречена дума. Личеше си, че Кутузов се слушаше с удоволствие. - Само едно казвам, генерале, че ако работата зависеше от моето лично желание, то волята на негово величество император Франц отдавна щеше да е изпълнена. Бих се присъединил към ерцхерцога отдавна. И повярвайте на честта ми, че за мен лично да прехвърля висшето командване на армията повече от себе си на знаещ и умел генерал, какъвто е Австрия, е толкова много, и да натоваря цялата тази тежка отговорност лично за мен би било радост . Но обстоятелствата са по-силни от нас, генерале.
И Кутузов се усмихна с такова изражение, сякаш казваше: „Вие имате пълното право да не ми вярвате и дори мен не ме интересува дали ми вярвате или не, но нямате причина да ми го казвате. И това е целият смисъл."
Австрийският генерал изглеждаше недоволен, но не можа да отговори на Кутузов със същия тон.
„Напротив“, каза той с мърморлив и ядосан тон, толкова противно на ласкателното значение на изречените думи, „напротив, участието на Ваше Превъзходителство в общата кауза е високо ценено от Негово Величество; но ние вярваме, че истинското забавяне лишава славните руски войски и техните командири от онези лаври, които те са свикнали да жънат в битка “, завърши той очевидно подготвената фраза.
Кутузов се поклони, без да промени усмивката си.
- И аз съм толкова убеден и въз основа на последното писмо, с което Негово Височество ерцхерцог Фердинанд ме удостои, предполагам, че австрийските войски, под командването на такъв умел помощник като генерал Мак, вече са спечелили решителна победа и вече не нужда от нашата помощ, - каза Кутузов.
Генералът се намръщи. Въпреки че нямаше положителни новини за поражението на австрийците, имаше твърде много обстоятелства, потвърждаващи общите неблагоприятни слухове; и следователно предположението на Кутузов за победата на австрийците беше много подобно на подигравка. Но Кутузов се усмихна кротко, все със същото изражение, което казваше, че има право да предполага това. И наистина, последното писмо, което получава от армията на Мак, го информира за победата и най-изгодната стратегическа позиция на армията.
„Дайте ми това писмо тук“, каза Кутузов, обръщайки се към княз Андрей. - Ето ви, ако искате да го видите. - И Кутузов с подигравателна усмивка на краищата на устните си прочете следния пасаж от писмото на ерцхерцог Фердинанд от германо-австрийския генерал: „Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70 000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirte mit ganzer Macht wenden wollte, seine Absicht alabald vereitelien. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzubereiten, so er verdient.“ [Имаме напълно концентрирани сили, около 70 000 души, така че да можем да атакуваме и победим врага, ако пресече Лех. Тъй като вече притежаваме Улм, можем да запазим предимството да командваме и двата бряга на Дунав, следователно всяка минута, ако врагът не пресече Лех, пресечете Дунава, бързайте към неговата комуникационна линия, пресечете Дунав по-ниско и врагът , ако реши да насочи всичките си сили срещу нашите верни съюзници, да попречи на намерението си да се изпълни. Така ние бодро ще дочакаме времето, когато руската имперска армия е напълно готова, и тогава заедно лесно ще намерим възможност да подготвим врага за съдбата, която заслужава.

Головизин В.В. Лекции по алгебра и геометрия. четири

Лекции по алгебра и геометрия. Семестър 2.

Лекция 22. Векторни пространства.

Кратко съдържание: определение на векторно пространство, неговите най-прости свойства, системи от вектори, линейна комбинация от система от вектори, тривиална и нетривиална линейна комбинация, линейно зависими и независими системи от вектори, условия за линейна зависимост или независимост на система на вектори, подсистеми на система от вектори, системи от колони на аритметично векторно пространство.

т.1. Дефиниция на векторно пространство и неговите най-прости свойства.

Тук, за удобство на читателя, повтаряме съдържанието на параграф 13 от лекция 1.

Определение. Нека е произволно непразно множество, чиито елементи ще наричаме вектори, K-поле, чиито елементи ще наричаме скалари. Нека върху множеството е дефинирана вътрешна двоична алгебрична операция, която ще обозначим със знака + и ще наречем събиране на вектори. Нека върху множеството е дефинирана и външна двоична алгебрична операция, която ще наричаме умножение на вектор по скала и ще означаваме със знака за умножение. С други думи, дефинирани са две съпоставяния:

Набор заедно с тези две алгебрични операции се нарича векторно пространство над поле K, ако са валидни следните аксиоми:

1. Събирането е асоциативно, т.е.

2. Има нулев вектор, т.е.

3. За всеки вектор има противоположен:

Векторът y, противоположен на вектора x, обикновено се означава с -x, така че

4. Събирането е комутативно, т.е. .

5. Умножението на вектор със скала се подчинява на закона за асоциативността, т.е.

където произведението е произведение на скалари, дефинирани в полето K.

6. , където 1 е единицата на полето K.

7. Умножението на вектор със скала е разпределително по отношение на събирането на вектори:

8. Умножението на вектор със скалар е разпределително по отношение на събирането на скалари: .

Определение. Векторното пространство над полето от реални числа се нарича реално векторно пространство.

Теорема. (Най-простите свойства на векторните пространства.)

1. Има само един нулев вектор във векторно пространство.

2. Във векторно пространство всеки вектор има уникална противоположност.

3. или
.

4. .

Доказателство. 1) Уникалността на нулевия вектор се доказва по същия начин като уникалността на единичната матрица и като цяло като уникалността на неутралния елемент на всяка вътрешна двоична алгебрична операция.

Нека 0 е нулевият вектор на векторното пространство V. Тогава. Позволявам
е друг нулев вектор. Тогава. Да вземем първия случай
, а във втория
. Тогава
и
, откъдето следва, че
и т.н.

2a) Първо доказваме, че произведението на нулев скалар и всеки вектор е равно на нулев вектор.

Позволявам
. Тогава, прилагайки аксиомите на векторното пространство, получаваме:

По отношение на добавянето, векторното пространство е абелева група и законът за отмяна е валиден във всяка група. Прилагайки закона за редукция, последното равенство предполага

.

2b) Сега нека докажем твърдение 4). Позволявам
е произволен вектор. Тогава

От това веднага следва, че векторът
е обратното на x.

2c) Нека сега
. След това, прилагайки аксиомите на векторното пространство,
и
получаваме:

2г) Нека
и нека приемем, че
. защото
, където K е поле, тогава съществува
. Нека умножим равенството
оставен на
:
, откъдето следва
или
или
.

Теоремата е доказана.

т.2. Примери за векторни пространства.

1) Набор от числови реални функции на една променлива, непрекъснати в интервала (0; 1) по отношение на обичайните операции за добавяне на функции и умножаване на функция по число.

2) Множеството от полиноми от една буква с коефициенти от полето K по отношение на събиране на полиноми и умножение на полиноми по скалар.

3) Множеството от комплексни числа по отношение на събиране на комплексни числа и умножение с реално число.

4) Множество от матрици с еднакъв размер с елементи от полето K по отношение на събиране на матрици и умножение на матрици по скалар.

Следващият пример е важен специален случай на Пример 4.

5) Нека е произволно естествено число. Означаваме с набор от всички колони с височина n, т.е. набор от матрици над поле с размер K
.

Множеството е векторно пространство над полето K и се нарича аритметично векторно пространство от колони с височина n над полето K.

По-специално, ако вместо произволно поле K вземем полето от реални числа, тогава векторното пространство
се нарича реално аритметично векторно пространство на колони с височина n.

По подобен начин наборът от матрици над поле K с размер също е векторно пространство
или, в противен случай, низове с дължина n. Означава се също с и се нарича още аритметично векторно пространство от низове с дължина n върху поле K.

т.3. Системи от вектори на векторно пространство.

Определение. Система от вектори на векторно пространство е всяко крайно непразно множество от вектори на това пространство.

Обозначаване:
.

Определение. Изразяване

, (1)

където са скаларите на полето K, са векторите на векторното пространство V, се нарича линейна комбинация от системата от вектори
. Скаларите се наричат ​​коефициенти на тази линейна комбинация.

Определение. Ако всички коефициенти на линейната комбинация (1) са равни на нула, тогава такава линейна комбинация се нарича тривиална, в противен случай тя е нетривиална.

Пример. Позволявам
система от три вектора във векторно пространство V. Тогава

е тривиална линейна комбинация от дадена система от вектори;

е нетривиална линейна комбинация от дадена система от вектори, тъй като първият коефициент на тази комбинация
.

Определение. Ако всеки вектор x от векторното пространство V може да бъде представен като:

тогава казваме, че векторът x е линейно изразен чрез векторите на системата
. В този случай казваме също, че системата
линейно представя вектора x.

Коментирайте. В тази и предишната дефиниция думата "линеен" често се пропуска и се казва, че системата представлява вектор или векторът се изразява чрез векторите на системата и т.н.

Пример. Позволявам
е система от две колони в аритметичното реално векторно пространство от колони с височина 2. Тогава колоната
изразено линейно по отношение на колоните на системата, или дадената колонна система линейно представя колона x. Наистина ли,

т.4. Линейно зависими и линейно независими системи от вектори във векторно пространство.

Тъй като произведението на нулев скалар от всеки вектор е нулев вектор и сумата от нулеви вектори е равна на нулев вектор, тогава за всяка система от вектори равенството

От това следва, че нулевият вектор е линейно изразен чрез векторите на всяка система от вектори или, с други думи, всяка система от вектори линейно представя нулевия вектор.

Пример. Позволявам
. В този случай нулевата колона може да се изрази линейно по отношение на колоните на системата по повече от един начин:

или

За да разграничим тези методи за линейно представяне на нулевия вектор, въвеждаме следната дефиниция.

Определение. Ако равенството

и всички коефициенти , тогава казваме, че системата
представлява тривиално нулевия вектор. Ако в равенството (3) поне един от коефициентите
не е равно на нула, тогава казваме, че системата от вектори
представлява нулевия вектор по нетривиален начин.

От последния пример виждаме, че има системи от вектори, които могат да представят нулевия вектор по нетривиален начин. От следващия пример ще видим, че има системи от вектори, които не могат да представят нетривиално нулевия вектор.

Пример. Позволявам
е система от две колони от векторно пространство. Помислете за равенството:

,

където
неизвестни коефициенти. Използвайки правилата за умножаване на колона по скалар (число) и добавяне на колони, получаваме равенството:

.

От определението за матрично равенство следва, че
и
.

По този начин дадената система не може да представи нулевата колона по нетривиален начин.

От горните примери следва, че има два вида векторни системи. Някои системи представят нулевия вектор по нетривиален начин, докато други не. Обърнете внимание още веднъж, че всяка система от вектори представя нулевия вектор тривиално.

Определение. За векторна пространствена векторна система, която представя нулевия вектор САМО тривиално, се казва, че е линейно независима.

Определение. Система от вектори във векторно пространство, която може нетривиално да представи нулев вектор, се нарича линейно зависима.

Последното определение може да бъде дадено в по-подробна форма.

Определение. Векторна система
векторното пространство V се нарича линейно зависимо, ако има такова ненулево множество от скалари на полето K

Коментирайте. Всяка система от вектори
може да представи нулевия вектор тривиално:

Но това не е достатъчно, за да разберем дали дадена система от вектори е линейно зависима или линейно независима. От дефиницията следва, че линейно независима система от вектори не може да представи нулевия вектор по нетривиален начин, а само по тривиален начин. Следователно, за да се провери линейната независимост на дадена система от вектори, е необходимо да се разгледа представянето на нула чрез произволна линейна комбинация от тази система от вектори:

Ако това равенство е невъзможно, при условие че поне един коефициент на тази линейна комбинация е различен от нула, тогава тази система по дефиниция е линейно независима.

Така че в примерите от предишния параграф, колонната система
е линейно независима, а колонната система
е линейно зависим.

По подобен начин се доказва линейната независимост на системата от колони ,, ... ,

от пространството , където K е произволно поле, n е произволно естествено число.

Следващите теореми дават няколко критерия за линейна зависимост и, съответно, линейна независимост на системи от вектори.

Теорема. (Необходимо и достатъчно условие за линейна зависимост на система от вектори.)

Система от вектори във векторно пространство е линейно зависима тогава и само ако един от векторите на системата е линейно изразен чрез другите вектори на тази система.

Доказателство. Трябва. Нека системата
линейно зависими. Тогава, по дефиниция, той представя нулевия вектор по нетривиален начин, т.е. има нетривиална линейна комбинация от тази система от вектори, равна на нулевия вектор:

където поне един от коефициентите на тази линейна комбинация не е равен на нула. Позволявам
,
.

Разделете двете части на предишното равенство на този ненулев коефициент (т.е. умножете по :

Означават:
, където.

тези. един от векторите на системата е линейно изразен чрез други вектори на тази система и т.н.

Адекватност. Нека един от векторите на системата е линейно изразен чрез други вектори на тази система:

Нека преместим вектора в дясната страна на това уравнение:

Тъй като коефициентът при вектора се равнява
, тогава имаме нетривиално представяне на нула чрез система от вектори
, което означава, че тази система от вектори е линейно зависима и т.н.

Теоремата е доказана.

Последица.

1. Система от вектори във векторно пространство е линейно независима тогава и само ако нито един от векторите на системата не е линейно изразен чрез други вектори на тази система.

2. Система от вектори, съдържаща нулев вектор или два равни вектора, е линейно зависима.

Доказателство.

1) Необходимост. Нека системата е линейно независима. Да предположим обратното и има системен вектор, който е линейно изразен чрез други вектори на тази система. Тогава по теоремата системата е линейно зависима и стигаме до противоречие.

Адекватност. Нека никой от векторите на системата не е изразен чрез други. Да приемем обратното. Нека системата е линейно зависима, но тогава от теоремата следва, че има системен вектор, който се изразява линейно чрез други вектори на тази система и отново стигаме до противоречие.

2a) Нека системата съдържа нулев вектор. Да приемем за категоричност, че векторът
:. След това равенството

тези. един от векторите на системата е линейно изразен чрез другите вектори на тази система. От теоремата следва, че такава система от вектори е линейно зависима, т.н.

Обърнете внимание, че този факт може да се докаже директно от дефиницията на линейно зависима система от вектори.

защото
, то следното равенство е очевидно

Това е нетривиално представяне на нулевия вектор, което означава, че системата
е линейно зависим.

2b) Нека системата има два равни вектора. Нека за категоричност
. След това равенството

Тези. първият вектор е линейно изразен чрез другите вектори на същата система. От теоремата следва, че дадената система е линейно зависима и т.н.

Подобно на предходното, това твърдение може да се докаже директно от дефиницията на линейно зависима система.

Наистина, тъй като
, тогава равенството

тези. имаме нетривиално представяне на нулевия вектор.

Последствието е доказано.

Теорема (За линейната зависимост на система от един вектор.

Система, състояща се от един вектор, е линейно зависима тогава и само ако този вектор е нула.

Доказателство.

Трябва. Нека системата
линейно зависими, т.е. съществува нетривиално представяне на нулевия вектор

,

където
и
. От най-простите свойства на векторното пространство следва, че тогава
.

Адекватност. Нека системата се състои от един нулев вектор
. Тогава тази система представя нулевия вектор нетривиално

,

откъдето следва линейната зависимост на системата
.

Теоремата е доказана.

Последица. Система, състояща се от един вектор, е линейно независима тогава и само ако този вектор е различен от нула.

Доказателството е оставено на читателя като упражнение.

Лекция 6. Векторно пространство.

Основни въпроси.

1. Векторно линейно пространство.

2. Основа и измерение на пространството.

3. Ориентация на пространството.

4. Разлагане на вектор по базис.

5. Векторни координати.

1. Векторно линейно пространство.

Множество, състоящо се от елементи от произволно естество, в което са дефинирани линейни операции: добавяне на два елемента и умножение на елемент по число се наричат пространства, а техните елементи са векторитова пространство и се означават по същия начин като векторните величини в геометрията: . Векторитакива абстрактни пространства като правило нямат нищо общо с обикновените геометрични вектори. Елементите на абстрактните пространства могат да бъдат функции, система от числа, матрици и др., а в конкретен случай и обикновени вектори. Следователно такива пространства се наричат векторни пространства .

Векторните пространства са, например, набор от колинеарни вектори, означен с V1 , набор от копланарни вектори V2 , набор от обикновени (реални пространствени) вектори V3 .

За този конкретен случай можем да дадем следната дефиниция на векторно пространство.

Определение 1.Наборът от вектори се нарича векторно пространство, ако линейната комбинация от произволни вектори от множеството също е вектор на това множество. Самите вектори се наричат елементивекторно пространство.

По-важно както теоретично, така и приложно е общото (абстрактно) понятие за векторно пространство.

Определение 2.Много Релементи , в който за всеки два елемента и сумата е дефинирана и за всеки елемент https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> извик. вектор(или линеен) пространство, а неговите елементи са вектори, ако операциите за добавяне на вектори и умножаване на вектор по число отговарят на следните условия ( аксиоми) :

1) събирането е комутативно, т.е..gif" width="184" height="25">;

3) има такъв елемент (нулев вектор), който за всеки https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99"height="27">;

5) за произволни вектори и произволно число λ равенството е в сила;

6) за всякакви вектори и всякакви числа λ и µ равенството е валидно https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> и всякакви числа λ и µ справедлив ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20"> .

От аксиомите, които определят векторното пространство, следват най-простите последствия :

1. Във векторно пространство има само една нула - елемент - нулев вектор.

2. Във векторно пространство всеки вектор има уникален противоположен вектор.

3. За всеки елемент равенството е изпълнено.

4. За всяко реално число λ и нулев вектор https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> е вектор, който удовлетворява равенството https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Така че, наистина, множеството от всички геометрични вектори също е линейно (векторно) пространство, тъй като за елементите на това множество са определени действията на събиране и умножение с число, които удовлетворяват формулираните аксиоми.

2. Основа и измерение на пространството.

Основните понятия на векторното пространство са понятията за база и измерение.

Определение.Множеството от линейно независими вектори, взети в определен ред, чрез които всеки вектор на пространството се изразява линейно, се нарича базатова пространство. Вектори. Пространствата, които съставляват основата, се наричат основен .

Основата на набора от вектори, разположени на произволна права, може да се счита за колинеарен на тази права вектор.

База на самолетанека наречем два неколинеарни вектора в тази равнина, взети в определен ред https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24"> .

Ако базисните вектори са по двойки перпендикулярни (ортогонални), тогава основата се нарича ортогонален, и ако тези вектори имат дължина, равна на единица, тогава базата се нарича ортонормална .

Най-големият брой линейно независими вектори в пространството се нарича измерениетова пространство, т.е. размерът на пространството съвпада с броя на базисните вектори на това пространство.

И така, според тези определения:

1. Едномерно пространство V1 е права линия, а основата се състои от един колинеаренвектор https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .

3. Обикновеното пространство е триизмерно пространство V3 , чиято основа се състои от три некомпланарнивектори.

Оттук виждаме, че броят на базисните вектори на права линия, на равнина, в реално пространство съвпада с това, което в геометрията обикновено се нарича брой на измеренията (измерение) на права линия, равнина, пространство. Затова е естествено да се въведе по-общо определение.

Определение.векторно пространство РНаречен н- размерен, ако съдържа най-много нлинейно независими вектори и се обозначава Р н. Номер нНаречен измерениепространство.

В съответствие с размерите на пространството се разделят на крайномерени безкрайно-измерен. Измерението на нулево пространство по дефиниция се приема за нула.

Забележка 1.Във всяко пространство можете да зададете толкова бази, колкото искате, но всички бази на това пространство се състоят от еднакъв брой вектори.

Забележка 2. AT н- в пространствено векторно пространство база е всяка подредена колекция нлинейно независими вектори.

3. Ориентация на пространството.

Нека базисните вектори в пространството V3 имат общо началои поръчан, т.е. посочва се кой вектор се счита за първи, кой за втори и кой за трети. Например, в базис, векторите са подредени според индексирането.

За за да се ориентира пространството, е необходимо да се постави някаква основа и да се обяви за положителна .

Може да се покаже, че множеството от всички основи на едно пространство попада в два класа, тоест в две непресичащи се подмножества.

а) всички бази, принадлежащи към едно подмножество (клас), имат същотоориентация (основи със същото име);

б) произволни две основи, принадлежащи на различниподмножества (класове), имат противоположносториентация, ( различни именабази).

Ако единият от двата класа основи на едно пространство е обявен за положителен, а другият е отрицателен, тогава казваме, че това пространство ориентирана .

Често при ориентиране на пространството се наричат ​​някои основи точно, докато други са левичари .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> наречен точно, ако при наблюдение от края на третия вектор най-краткото завъртане на първия вектор https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23"> се извършва обратно на часовниковата стрелка(Фиг. 1.8, а).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Ориз. 1.8. Дясна основа (a) и лява основа (b)

Обикновено дясната основа на пространството се обявява за положителна основа

Дясната (лявата) основа на пространството също може да бъде определена с помощта на правилото на "десния" ("левия") винт или гимлет.

По аналогия с това понятието дясно и ляво тризнацинекомплементарни вектори, които трябва да бъдат подредени (фиг. 1.8).

Така в общия случай две подредени тройки от некомпланарни вектори имат еднаква ориентация (имат едно и също име) в пространството V3 ако и двете са десни или и двете леви, и - противоположна ориентация (срещу), ако единият от тях е десен, а другият е ляв.

Същото се прави и в случай на пространство V2 (самолети).

4. Разлагане на вектор по базис.

За простота на разсъжденията ще разгледаме този въпрос, използвайки примера на триизмерно векторно пространство Р3 .

Нека https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> е произволен вектор на това пространство.

4.3.1 Дефиниция на линейно пространство

Позволявам ā , , - елементи на някакво множество ā , , Земя λ , μ - реални числа, λ , μ Р..

Множеството L се наричалинеен иливекторно пространство, ако са дефинирани две операции:

1 0 . Допълнение. Всяка двойка елементи от това множество е свързана с елемент от същото множество, наречен тяхна сума

ā + =

2°.Умножение с число. Всяко реално число λ и елемент ā Ле присвоен елемент от същото множество λ ā Ли са изпълнени следните свойства:

1. ā+= + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. съществува нулев елемент
, така че ā +=ā ;

4. съществува противоположен елемент -
такова, че ā +(-ā )=.

Ако λ , μ - реални числа, тогава:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

Елементи на линейното пространство ā, , ... се наричат ​​вектори.

Упражнение.Покажете сами, че тези множества образуват линейни пространства:

1) Наборът от геометрични вектори на равнината;

2) Набор от геометрични вектори в тримерното пространство;

3) Набор от полиноми от някаква степен;

4) Набор от матрици с еднаква размерност.

4.3.2 Линейно зависими и независими вектори. Измерение и основа на пространството

Линейна комбинация вектори ā 1 , ā 2 , …, ā н Лсе нарича вектор от същото пространство от вида:

,

където λ i - реални числа.

Вектори ā 1 , .. , ā н Нареченлинейно независими, ако тяхната линейна комбинация е нулев вектор тогава и само ако всички λаз са равни на нула,това е

λ i=0

Ако линейната комбинация е нулев вектор и поне един от λ азе различен от нула, тогава тези вектори се наричат ​​линейно зависими. Последното означава, че поне един от векторите може да бъде представен като линейна комбинация от други вектори. Наистина, нека и, например,
. тогава,
, където

.

Максимално линейно независимата подредена система от вектори се нарича база пространство Л. Броят на базисните вектори се нарича измерение пространство.

Да приемем, че има нлинейно независими вектори, тогава пространството се нарича н-измерителен. Други пространствени вектори могат да бъдат представени като линейна комбинация нбазисни вектори. на основа н- може да се вземе пространствено пространство всякакви нлинейно независими вектори на това пространство.

Пример 17.Намерете основата и размерността на дадени линейни пространства:

а) набори от вектори, лежащи на права (колинеарни на някаква права)

б) множеството от вектори, принадлежащи на равнината

в) набор от вектори на тримерното пространство

г) множеството от полиноми от степен най-много две.

Решение.

а)Всеки два вектора, лежащи на права, ще бъдат линейно зависими, тъй като векторите са колинеарни
, тогава
, λ - скаларни. Следователно основата на това пространство е само един (всеки) вектор, различен от нула.

Обикновено това пространство е Р, измерението му е 1.

б)всеки два неколинеарни вектора
са линейно независими и всеки три вектора в равнината са линейно зависими. За всеки вектор , има цифри  и  такова, че
. Пространството се нарича двумерно, означ Р 2 .

Основата на двумерното пространство се формира от всеки два неколинеарни вектора.

в)Всеки три некомпланарни вектора ще бъдат линейно независими, те формират основата на триизмерно пространство Р 3 .

G)Като основа за пространството на полиномите със степен най-много две могат да се изберат следните три вектора: ē 1 = х 2 ; ē 2 = х; ē 3 =1 .

(1 е полином, идентично равен на единица). Това пространство ще бъде триизмерно.