Корелационна функция.

1. Математическо очакване на неслучаен процес j( T) е равно на самия неслучаен процес:

От израз (1.9) следва, че всяка центрирана неслучайна функция е равна на нула, тъй като

2. Ако случайната величина Y(T) е линейна комбинация от функции X i(T):

, (1.11)

където са неслучайни функции T, Че

. (1.12)

Последната връзка следва от факта, че операцията за определяне математическо очакванелинеен.

3. Корелационната функция на неслучаен процес е идентично равна на нула. Това свойство следва пряко от (1.10).

4. Корелационната функция не се променя, когато се добави към произволна функциявсяка неслучайна функция. Наистина, ако , Че

От това следва, че корелационните функции случайни процесиИ

Съвпада. Следователно, когато определяме корелационните функции, винаги можем да приемем, че разглежданият процес е центриран.

5. Ако случаен процес Y(T) е линейна комбинация от случайни процеси X i(T):

,

къде са неслучайните функции, тогава

, (1.14)

където е правилната корелационна функция на процеса X i(T), е взаимната корелационна функция на процесите и .

Наистина ли:

, =

.

Ако случайните процеси са по двойки некорелирани, тогава

. (1.15)

Приемайки в (1.14), получаваме израз за дисперсията на линейна комбинация от случайни процеси:

В специалния случай на некорелирани случайни процеси

. (1.17)

6. Корелационната функция е неотрицателна определена функция:

. (1.18)

Наистина, нека представим (1.18) във формата:

.

Тъй като интегралът е границата на интегралната сума, последният израз може да бъде представен като граница на сумата от математическите очаквания, която от своя страна е равна на математическото очакване на сумата. Следователно операциите на интегриране и математическо очакване могат да бъдат разменени. В резултат получаваме:

7. Корелационната функция е симетрична по отношение на своите аргументи. Крос-корелационната функция няма това свойство.

Симетрията на корелационната функция следва пряко от нейната дефиниция:

В същото време за кръстосаната корелационна функция имаме:

Функцията на кръстосана корелация отговаря на следната зависимост:

8. Корелационната функция и кръстосаната корелационна функция удовлетворяват следните неравенства:

Често, вместо правилните и кръстосано корелационните функции, ние разглеждаме нормализирани корелационни функции :

, (1.23)

. (1.24)

Въз основа на (1.21) и (1.22) за нормализираните корелационни функции са валидни следните неравенства:

. (1.25)

Пример Даден случаен процес е сумата от случайни и неслучайни процеси: . дадени , дефинирайте

Използвайки (1.9) и (1.12), ще имаме:

Съгласно (1.15)

и накрая, в съответствие с (1.17) .

КЛАСИФИКАЦИЯ НА СЛУЧАЙНИТЕ ПРОЦЕСИ

Стационарни процеси

Случайният процес се нарича стационарен , ако неговият многомерен закон за разпределение зависи само от относителна позициямоменти във времето T 1 , T 2 , . . .тн, т.е. не се променя, когато тези моменти от време се изместят едновременно с същите стойности:

Ако израз (2.1) е изпълнен за всяко н, тогава такъв процес се извиква стационарен в тесен смисъл.

При н=1 израз (2.1) приема формата:

И когато , 2.2)

тези. едномерен закон за разпределение стационарен процесне зависи от времето. Следователно, характеристиките на случайния процес, в зависимост от едномерния закон за разпределение: математическото очакване и дисперсията на случайния процес, няма да зависят от времето:

, . (2.3)

При н=2 израз (2.1) се пренаписва, както следва:

Следователно корелационната функция на стационарен процес, определена от двумерен закон за разпределение, ще зависи само от времевия интервал t

Според дефиницията на А. Я. Хинчин процесът е стационарен в в широк смисъл , ако условието за стационарност (2.1) е изпълнено само за n= 1 и 2.

Следователно условията за стационарност на процеса в широк смисъл могат да бъдат формулирани като:

· математическото очакване и дисперсията на такъв процес не зависят от времето - и D X;

· корелационната функция на процеса зависи само от времевия интервал между участъците - .

KXX(t) е дори функцияна твоя аргумент:

Трябва да се помни, че кръстосаната корелационна функция е странна функция:

, (). (2.7)

Нормални процеси

Случайният процес е нормално , ако някой многоизмерен закон е нормален:

× ), (2.8)

Където (2.9)

Относителни собствени и кръстосани корелационни функции и две стойности на случайна променлива Y–y 1 и г 2. Фигурата показва, че математическото очакване на изпълнение при Y=г 1 е равно на г 1 и при Y=г 2 – г 2 .

Фиг.2.1. Пример за стационарен неергодичен процес

По този начин, въз основа на едно изпълнение на стационарен, но неергодичен процес, не може да се прецени характеристиките на процеса като цяло.

Марковски процеси

Ако вероятностните свойства на случаен процес са напълно определени от стойността на неговата ордината в даден момент от времето и не зависят от стойностите на ординатата на процеса в предишни моменти от времето, тогава такъв случаен процес е Наречен Марковски. Понякога такива процеси се наричат ​​процеси без последействие.

Смущенията в комуникационните системи се описват с методите на теорията на случайните процеси.

Една функция се нарича случайна, ако в резултат на експеримент приеме една или друга форма и не е известно предварително каква. Случайният процес е случайна функция на времето. Специфичната форма, която случаен процес приема в резултат на експеримент, се нарича внедряване на случаен процес.

На фиг. Фигура 1.19 показва набор от няколко (три) реализации на произволния процес , , . Такава колекция се нарича ансамбъл от реализации. При фиксирана стойност на момента от време в първия експеримент получаваме определена стойност, във втория - , в третия - .

Случайният процес е двойствен по природа. От една страна, във всеки конкретен експеримент това е представено от неговата реализация - неслучайна функция на времето. От друга страна, случаен процес се описва от набор случайни променливи.

Наистина, нека разгледаме случаен процес във фиксирана точка във времето, тогава във всеки експеримент той приема една стойност и не е известно предварително коя. По този начин случаен процес, разглеждан във фиксирана точка във времето, е случайна променлива. Ако се запишат два момента от време и , тогава във всеки експеримент ще получим две стойности на и . В този случай съвместното разглеждане на тези стойности води до система от две случайни променливи. Когато анализираме случайни процеси в N точки във времето, стигаме до набор или система от N случайни променливи .

Математическо очакване, дисперсия и корелационна функция на случаен процес Тъй като случаен процес, разглеждан във фиксирана точка във времето, е случайна променлива, можем да говорим за математическо очакване и дисперсия на случаен процес:

, .

Точно както при случайна променлива, дисперсията характеризира разпространението на стойностите на случаен процес спрямо средната стойност. Колкото повече, толкова по-голяма е вероятността от много големи положителни и отрицателни стойностипроцес. По-удобна характеристика е средната стандартно отклонение(RMS), който има същото измерение като самия случаен процес.

Ако случаен процес описва, например, промяна в разстоянието до обект, тогава математическото очакване е средният диапазон в метри; дисперсията се измерва в квадратни метри, а Sco се измерва в метри и характеризира разпространението на възможните стойности на диапазона спрямо средната.

Средната стойност и дисперсията са много важни характеристики, което позволява да се прецени поведението на случаен процес във фиксиран момент от време. Въпреки това, ако е необходимо да се оцени „скоростта“ на промяната в даден процес, тогава наблюденията в даден момент не са достатъчни. За целта се използват две случайни променливи, разглеждани заедно. Точно както при случайните променливи се въвежда характеристика на връзката или зависимостта между и. За случаен процес тази характеристика зависи от два момента във времето и се нарича корелационна функция: .

Стационарни случайни процеси. Много процеси в системите за управление протичат равномерно във времето. Техните основни характеристики не се променят. Такива процеси се наричат ​​стационарни. Точното определение може да се даде по следния начин. Случайният процес се нарича стационарен, ако някоя от неговите вероятностни характеристики не зависи от изместването на началото на времето. За стационарен случаен процес математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение са постоянни: , .

Корелационната функция на стационарен процес не зависи от началото t, т.е. зависи само от разликата във времето:

Корелационната функция на стационарен случаен процес има следните свойства:

1) ; 2) ; 3) .

Често корелационните функции на процесите в комуникационните системи имат формата, показана на фиг. 1.20.

Ориз. 1.20. Корелационни функции на процеси

Интервалът от време, през който корелационната функция, т.е. големината на връзката между стойностите на случаен процес намалява с M пъти, наречен интервал или време на корелация на случайния процес. Обикновено или. Можем да кажем, че стойностите на случаен процес, които се различават във времето с интервала на корелация, са слабо свързани помежду си.

По този начин познаването на корелационната функция позволява да се прецени скоростта на промяна на случаен процес.

Друга важна характеристика е енергийният спектър на случаен процес. Дефинира се като преобразуване на Фурие на корелационната функция:

.

Очевидно е вярно и обратното преобразуване:

.

Енергийният спектър показва разпределението на мощността на случаен процес, като смущение, по честотната ос.

При анализирането на ACS е много важно да се определят характеристиките на произволен процес на изхода на линейна система с известни характеристики на процеса на входа на ACS. Да приемем, че линейната система е дадена от импулсна преходна характеристика. Тогава изходният сигнал в момента се определя от интеграла на Дюамел:

,

къде е процесът на входа на системата. За да намерим корелационната функция, пишем и след умножението намираме математическото очакване

9. Корелационна функция и нейните основни свойства.

За пълно описаниеслучайни процеси се въвежда понятието корелация ф-и.

равно на математическото очакване, дисперсията, стандартното отклонение

Приема се, че законът за разпределение е нормален. Графиките показват рязка разлика между процесите, въпреки еднаквите им вероятностни характеристики.

			(t)m				(T)
			(t)D				(T)
			(T)			(T) .

Например проследяване на самолет. Ако той е в позиция 1 в момент t, тогава възможната му позиция 2 в следващия момент t 2 е ограничена, тоест събитията (x 1 ,t 1 ) и (x 2 ,t 2 ) няма да бъдат независими. Колкото по-инерционен е изследваният обект, толкова по-голяма е тази взаимозависимост или корелация. Функцията Corr математически изразява корелацията на две функции или корелацията на функция със самата себе си (функция за автокорекция). Функцията е описана по следния начин:

където t 1 и t 2 са всякакви моменти от времето, т.е. t 1 и t 2 T

корелация - статистическа връзкадве или повече случайни променливи.

Корелационна функция– такава неслучайна функция R x (t 1,t 2) от два аргумента, която за всяка двойка фиксирани стойности на аргументи t 1 и t 2 е равна на корелационния момент, съответстващ на тези участъци от случайни променливи x (t 1 ) и x (t 2 ).

Корелационната функция е функция на времето, която определя корелацията в системи със случайни процеси.

Когато моментите t 1 и t 2 съвпадат, корелационната функция е равна на дисперсията. Нормализираната корелационна функция се изчислява по формулата:

) 1,

където x (t 1) и x (t 2) r.s.o. произволна функция x (t) с t =t 1 и t =t 2, съответно. Да изчисля

необходима корелационна функция

плътност (двуизмерна)

вероятности

(x,x

; т, т

) dx dx

Свойства на корелационните функции

1. Корелационна функция R x (t 1 ,t 2 ) е симетричен по отношение на своите аргументи:

R x (t 1 ,t 2 ) =R x (t 2 ,t 1 )

в съответствие с дефиницията на корелационната функция X(t).

2. Когато се добави към произволна функция X (t) на произволен неслучаен член

(t), корелационна функция Z (t) X (t) (t),

тогава R z (t 1 ,t 2 ) =R x (t 1 ,t 2 ).

3. При умножаване на произволна функция X (t) с произволен неслучаен фактор ψ(t), корелационната функция R x (t 1,t 2) се умножава по ψ(t 1)ψ(t 2).

При проучване на въпроси зависимост или независимостдве или повече напречни сечения на случайни процеси, познаване само на математическото очакване и дисперсията на r.p. не достатъчно.

За да се определи връзката между различни случайни процеси, се използва концепцията за корелационна функция - аналог на концепцията за ковариация на случайни променливи (виж T.8)

Корелация (ковариация, автоковариация, автокорелация)функция на случаен процес
Наречен неслучайна функция два аргумента

равен на корелационния момент на съответните сечения
И
:

или (като се вземе предвид нотацията на центрирана произволна функция
) ние имаме

Ето основните свойства на корелационната функция
случаен процес
.

1. Корелационната функция за същите стойности на аргументите е равна на дисперсията на r.p.

Наистина ли,

Доказаното свойство позволява да се изчисли м.о. и корелационната функция е основната характеристика на случаен процес, няма нужда да се изчислява дисперсия.

2. Корелационната функция не се променя по отношение на замяната на аргументи, т.е. е симетрична функция по отношение на своите аргументи: .

Това свойство се извлича директно от дефиницията на корелационната функция.

3. Ако към случаен процес се добави неслучайна функция, тогава корелационната функция не се променя, т.е. Ако
, Че. С други думи

е периодична функция по отношение на всяка неслучайна функция.

Наистина, от веригата на разсъжденията

следва това. От тук получаваме необходимото свойство 3.

4. Модулът на корелационната функция не превишава произведението на r.c.o., т.е.

Доказателството за собственост 4. се извършва подобно на параграф 12.2. (Теорема 12..2), като се вземе предвид първото свойство на корелационната функция на р.п.
.

5. При умножаване на с.п.
от неслучаен фактор
неговата корелационна функция ще бъде умножена по произведението
, т.е., ако
, Че

5.1. Нормализирана корелационна функция

Наред с корелационната функция с.п. също се счита нормализирана корелационна функция(или автокорелацияфункция)
определени от равенството

.

Последица.Въз основа на свойство 1 равенството е в сила

.

По смисъла си
подобен на коефициента на корелация за r.v., но не е постоянна стойност, а зависи от аргументите И .

Нека изброим свойства на нормализираната корелационна функция:

1.

2.

3.
.

Пример 4.Нека с.п. се определя по формулата, т.е.
с.в.,

разпределени през нормален законс

Намерете корелационните и нормализирани функции на случайния процес

Решение.По дефиниция имаме

тези.
От тук, като вземем предвид дефиницията на нормализираната корелационна функция и резултатите от решаването на предишните примери, получаваме
=1, т.е.
.

5.2. Корелационна функция на случаен процес

Да се ​​определи степента на зависимост секциидва произволни процеса използват функция на корелационна връзка или функция на кръстосана корелация.

Корелационна функция на два случайни процеса
И
наречена неслучайна функция
два независими аргумента И , което за всяка двойка стойности И равен на корелационния момент на две сечения
И

Две sp.
И
са наречени несвързани,ако тяхната взаимна корелационна функция е идентично равна на нула, т.е. ако има И възниква
Ако за някакви И Оказва се
, след това случайни процеси
И
са наречени корелирани(или свързани).

Нека разгледаме свойствата на кръстосаната корелационна функция, които са пряко извлечени от нейната дефиниция и свойствата на корелационния момент (вижте 12.2):

1. Когато индексите и аргументите се пренареждат едновременно, кръстосаната корелационна функция не се променя, т.е.

2. Модулът на кръстосаната корелационна функция на два случайни процеса не надвишава произведението на стандартните им отклонения, т.е.

3. Корелационната функция няма да се промени при случайни процеси
И
добавяне на неслучайни функции
И
съответно, т.е
, където съответно
И

4. Неслучайни множители
може да се вземе като знак за корелация, т.е. ако
и тогава

5. Ако
, Че.

6. Ако произволни процеси
И
некорелирани, тогава корелационната функция на тяхната сума е равна на сумата от техните корелационни функции, т.е.

За оценка на степента на зависимост на напречните сечения на две с.п. също се използва нормализирана кръстосана корелационна функция
, определени от равенството:

функция
има същите свойства като функцията
, но свойство 2

се заменя със следното двойно неравенство
, т.е. модулът на нормализираната кръстосана корелационна функция не надвишава единица.

Пример 5.Намерете взаимната корелационна функция на две r.p.
И
, Където
случайна променлива, докато

Решение.Защото,.

За да се характеризира до известна степен вътрешната структура на случаен процес, т.е. за да се вземе предвид връзката между стойностите на случаен процес в различни моменти от време или, с други думи, да се вземе предвид степента на променливост на случаен процес, въведете концепцията за корелационна (автокорелационна) функция на случаен процес.

Корелационната (или автокорелационна) функция на случаен процес е неслучайна функция на два аргумента, която за всяка двойка произволно избрани стойности на аргументите (времеви точки) е равна на математическото очакване на произведението на две случайни променливи съответните секции на произволния процес:

Корелационна функция за центрирания случаен компонент се нарича центриран и се определя от релацията

(1.58)

Функцията често се нарича ковариация и – автокорелация .

Различни случайни процеси, в зависимост от това как техните статистически характеристики се променят във времето, се разделят на стационаренИ нестационарни.Прави се разлика между стационарност в тесен смисъл и стационарност в широк смисъл.

Стационарен в тесен смисъл наречен случаен процес, ако нейните -измерни функции на разпределение и плътности на вероятността за всяко не зависятот началната позиция на синхронизирането. Това означава, че два процеса имат еднакви статистически свойства за всеки един, т.е. статистическите характеристики на стационарен случаен процес са постоянни във времето. Стационарният случаен процес е нещо като аналог на процес в стационарно състояние в динамични системи.

Стационарен в широк смисъл наречен случаен процес, чието математическо очакване е постоянно:

и корелационната функция зависи само от една променлива - разликата между аргументите:

Концепцията за случаен процес, стационарен в широк смисъл, се въвежда, когато като статистически характеристики на случаен процес се използват само математическото очакване и корелационната функция. Частта от теорията на случайните процеси, която описва свойствата на случаен процес чрез неговото математическо очакване и корелационна функция, се нарича корелационна теория.

За случаен процес с нормален закон на разпределение, математическото очакване и корелационната функция напълно го определят н-дименсионална плътност на вероятността. Ето защо За нормалните случайни процеси понятията за стационарност в широк и тесен смисъл съвпадат.

Теорията на стационарните процеси е най-пълно развита и позволява сравнително прости изчисления за много практически случаи. Поради това понякога е препоръчително да се направи допускането за стационарност и за онези случаи, когато случайният процес, макар и нестационарен, но по време на разглеждания период на работа на системата, статистическите характеристики на сигналите нямат време да се променят в някакъв значим начин.

В теорията на случайните процеси се използват две концепции за средни стойности. Първото понятие за средно е задайте средно (или математическо очакване), което се определя въз основа на наблюдение на множество изпълнения на случаен процес в един и същи момент от време. Обикновено се отбелязва средната стойност за набора вълнообразен линиянад израз, описващ произволна функция:

Като цяло зададената средна стойност е функция на времето.

Друго понятие за средно е средно за времето , което се определя въз основа на наблюдение на отделна реализация на случаен процес за достатъчно дълго време. Средната времева стойност се означава с прав линиянад съответния израз на случайната функция и се определя по формулата

, (1.62)

ако това ограничение съществува.

Средната времева стойност обикновено е различна за отделните реализации на набора, които определят произволния процес.

По принцип за един и същ случаен процес средната по множеството и средната по време са различни, но за т.нар. ергодични стационарни случайни процеси средната стойност за набора съвпада със средната стойност за времето:

В съответствие с ергодичната теорема за стационарен случаен процес, корелационната функция може да се дефинира като средното време за едно изпълнение

(1.64)

Където - всяка реализация на случаен процес.

Центрирана корелационна функция на ергодичен стационарен случаен процес

От израз (1.65) може да се отбележи, че дисперсията на стационарен случаен процес е равна на първоначална стойностцентрирана корелационна функция: