Математическо градинарство. Математически анализ - Начален курс с примери и задачи - Гурова З.И

Име: Математически анализ - Начален курсс примери и задачи. 2002 г.

Основната информация от начални разделикурс по математически анализ за висши учебни заведения - "Въведение в анализа", "Основи на диференциалното смятане на функция на една променлива", "Методи за интегриране на функции на една променлива", "Числени серии".
дадени кратка теория, типични примери и задачи за независимо решение. Предложени са алгоритми за методи за решаване на различни класове задачи.

Помагалото може да се използва както като учебно помагало, така и като задачник от учениците. технически специалности, кадети от военни училища, ученици от техникуми и средни училища.

СЪДЪРЖАНИЕ
Предговор на редактора на поредицата. 7
Предговор 8
Глава I. Въведение в анализа. 10
§ 1. Някои факти от теорията на множествата 10
1.1. Основни понятия (10). 1.2. Операции върху множества. (10)
§ 2. Цифрови последователности. Ограничение на последователността. шестнадесет
2.1. Основни определения (16). 2.2. Граница на последователността (18). 2.3. Свойства на конвергентни последователности (21). 2.4. Типични примери (23). 2.5. Задачи за самостоятелно решаване (23).
§ 3. Функции. Ограничение на функцията 24
3.1. Основни определения. Методи за задаване на функции (24). 3.2. Комплексни, обратни и параметрично дефинирани функции (25). 3.3. Елементарни функции (27). 3.4. Монотонни функции (29). 3.5. Ограничени функции(29). 3.6. Граница на функцията (30). 3.7. Едностранни граници на функцията (36). 3.8. Типични примери (38). 3.9. Задачи за самостоятелно решаване. (39)
§ 4. Теореми за граници на функции. 39
4.1. Основни теореми за границите на функции (39). 4.2. Безкрайно малки и безкрайно големи функции и техните свойства (41). 4.3. Теореми за граници на функции, свързани с аритметични операции (45). 4.4. Теореми за граници на функции, свързани с неравенства (47). 4.5. Типични примери (50). 4.6. Задачи за самостоятелно решаване (54).
§ 5. Забележителни граници. Сравнение на безкрайно малки функции 54
5.1. Забележителни граници (54). 5.2. Сравнение на безкрайно малки функции (58). 5.3. Свойства на еквивалентни безкрайно малки функции (60). 5.4. Типични примери (63). 5.5. Задачи за самостоятелно решаване (70).
§ 6. Непрекъснатост на функциите 71
6.1. Основни определения (71). 6.2. Свойства на непрекъснати в точка функции (73). 6.3. Непрекъснатост на функции на интервал, полуинтервал, отсечка (77). 6.4. Свойства на функции, непрекъснати на интервал (78). 6.5. Точки на прекъсване на функции и тяхната класификация (78). 6.6. Типични примери (80). 6.7. Задачи за самостоятелно решаване (85).
Глава II. Основи на диференциалното смятане на функциите на една променлива. 87
§ 7. Производна на функция, нейните свойства и приложения 87
7.1. Определяне на производната на функция в точка (87). 7.2. Таблична диференциация. Производни на осн елементарни функции(89). 7.3. Свойства на производната (92). 7.4. Геометрични и механичен смисълпроизводна (94). 7.5. Уравнения на допирателната и нормалата към графиката на функцията (96). 7.6. Типични примери (97). 7.7. Задачи за самостоятелно решаване (101).
§ 8. Диференциация сложна функция, обратна функцияи параметрично дадена функция 102
8.1. Производна на сложна функция. Логаритмична производна (102). 8.2. Производна на обратната функция. Обратни производни тригонометрични функции(105). 8.3. Производна на параметрично зададена функция (107). 8.4. Типични примери (109). 8.5. Задачи за самостоятелно решаване (111).
§ 9. Функционален диференциал, неговите свойства и приложения .... 112
9.1. Диференцируемост на функцията. Диференциал (112). 9.2. Свойства на диференциала (114). 9.3. геометричен смисълдиференциал. Изчисляване на приблизителни стойности на функции с помощта на диференциал (115). 9.4. Инвариантност на диференциалната нотация (116). 9.5. Типични примери (117). 9.6. Задачи за самостоятелно решаване (119).
§ 10. Производни и диференциали от по-високи разряди 120
10.1. Производни от по-високи разряди (120). 10.2. Формула на Лайбниц (122). 10.3. Диференциали от по-висок порядък (124). 10.4. Типични примери (126). 10.5. Задачи за самостоятелно решаване (129).
§единадесет. Основни теореми на диференциалното смятане. Разкриване на несигурности 130
11.1. Теорема на Рол (теорема за нулева производна) (130). 11.2. Теорема на Лагранж. Формула на крайните нараствания (131). 11.3. Теорема на Коши. Обобщена формула за крайни нараствания (133). 11.4. Разкриване на несигурности. Правилото на L'Hopital (134). 11.5. Типични примери (141). 11.6. Задачи за самостоятелно решаване (145).
§ 12. Формула на Тейлър 146
12.1. Формула на Тейлър с остатъчен член във формата на Пеано (146). 12.2. Формула на Тейлър за някои основни елементарни функции (150). 12.3. Различни формиостатъкът (152). 12.4. Типични примери (155). 12.5. Задачи за самостоятелно решаване (159).
§ 13. Нарастване, намаляване, екстремум на функция 160
13.1. Увеличаване и намаляване на функцията (160). 13.2. Екстремум на функцията (163). 13.3. Най-великият и най-малка стойностфункции (168). 13.4. Типични примери (172). 13.5. Задачи за самостоятелно решаване (175).
§ 14. Изпъкналост, вдлъбнатост, инфлексни точки на крива. Асимптоти на крива 176
14.1. Изпъкналост, вдлъбнатост, точки на инфлексия на кривата (176). 14.2. Асимптоти на кривата (180). 14.3. Типични примери (183). 14.4. Задачи за самостоятелно решаване (185).
§ 15. Изучаване на функции и построяване на техните графики 186
15.1. Схема за изследване на функцията (186). 15.2. Типични примери (186). 15.3. Задачи за самостоятелно решаване (195).
Глава III. Методи за интегриране на функции на една променлива. 196
§ 16. Първопроизводна на функция и неопределен интеграл. 196
16.1. Определение и свойства на неопределения интеграл (196). 16.2. Основни методи на интегриране (198). 16.3. Типични примери (207). 16.4. Задачи за самостоятелно решаване (210).
§ 17. Интегриране на рационални дроби. 211
17.1. Кратка информацияот алгебрата на полиномите (211). 17.2. Интегриране на елементарни дроби (214). 17.3. Интегриране на рационални дроби (218). 17.4. Типични примери (220). 17.5. Задачи за самостоятелно решаване (227).
§ 18. Интегриране на тригонометрични функции. 227
18.1. Универсално тригонометрично заместване (227). 18.2. Интегриране на нечетни функции по отношение на sin x или cos x (230). 18.3. Интегриране на четни функции по отношение на sin x и cos x (232). 18.4. Интегриране на произведения от синуси и косинуси на различни аргументи (234). 18.5. Типични примери (235). 18.6. Задачи за самостоятелно решаване (239).
§ 19. Интегриране на някои ирационални функции. 240
19.1. Интегриране на функции, които са рационални по отношение на аргумента и корена на линейна дробна функция(240). 19.2. Интегриране на функции, които са рационални по отношение на аргумента и корен квадратенот квадратен тричлен(241). 19.3. Типични примери (248). 19.4. Задачи за самостоятелно решаване (258).
Глава IV. Числови редове. 260
§ 20. Основни определения и свойства на числови редове. 260
20.1. Основни определения (260). 20.2. Основни свойстваредове (265). 20.3. Критерий на Коши за сходимост на редицата (270). 20.4. Типични примери (271). 20.5. Задачи за самостоятелно решаване (274).
§ 21. Фиксирани серии. 275
21.1. Критерий за сходимост на редица с постоянен знак (275). 21.2. Достатъчни тестове за сходимост и дивергенция на редове с неотрицателни членове (277). 21.3. Типични примери (289). 21.4. Задачи за самостоятелно решаване. (297).
§ 22. Редуващи се серии. 298
22.1. Редуващи се редове (298). 22.2. Абсолютно и условно сходящи се редове (302). 22.3. тестове на д'Аламбер и Коши за редуващи се серии (303). 22.4. Свойства на абсолютно и условно сходни редове (305). 22.5. Типични примери (307). 22.6. Задачи за самостоятелно решаване (312).
§ 23. Редици и серии със сложни членове 313
23.1. Кратка информация за комплексни числа(313). 23.2. Поредици със сложни членове (318). 23.3. Серии със сложни членове (321). 23.4. Типични примери (324). 23.5. Задачи за самостоятелно решаване. (329)
Приложение. 331
§ 24. Кратка информация за интегралите с безкрайни граници. 331
Отговори на проблеми за самостоятелно решение. 336
Библиография. 343
Материал за справка. 344
Предметен индекс.

Някои определения:

Графичен метод за определяне на функция е този, при който съответствието между набора от стойности на аргумента и набора от стойности на функцията се установява графично.
Например, барограма, записана от барограф, дефинира графично Атмосферно наляганекато функция на времето.

Методът за дефиниране на функция се нарича табличен, ако е дадена таблица със стойности на аргументи и съответните стойности на функцията.
Например, зависимостта на температурата на въздуха от времето може да се настрои с помощта на таблица с експериментални данни.

В допълнение към тези методи за определяне на функция има и други. Например, когато се извършват числени изчисления на компютри, функциите се задават по алгоритмичен начин, т.е. с помощта на програма за изчисляване на техните стойности за необходимите стойности на аргумента. Функцията също може да бъде зададена словесно описаниесъответствия между стойностите на аргументите и стойностите на функциите. Например, "на всяко рационално число ще бъде присвоено числото 1, а на всяко ирационално 0 ...". Дефинираната по този начин функция се нарича функция на Дирихле.

Част 2. - Продължение на курса.

СЪДЪРЖАНИЕ
Предговор 5
ГЛАВА 1. ЧИСЛОВА ПОРЕДИЦА 7
§ 1. Понятие числова серия 7
1. Конвергентни и дивергентни редове (7). 2. Критерий на Коши за сходимост на редове (10)
§ 2. Редица с неотрицателни членове 12"
1. Необходими и достатъчно условиесходимост на редицата с неотрицателни членове (12). 2. Знаци за сравнение (13). 3. Знаци на д'Аламбер и Коши (16). 4. Интегрален знак на Коши-Маклорен (21). 5, Знак на Раабе (24). 6. Липса на универсална серия за сравнение (27)
§ 3. Абсолютно и условно сходни редове 28
1. Понятията абсолютно и условно сходни редове (28). 2. За пермутацията на членовете на условно сходящия се ред (30). 3. Относно пермутацията на членовете на абсолютно конвергентен ред (33)
§ 4. Критерии за сходимост на произволни редове 35
§ 5. Аритметични действия върху сходни редове 41
§ 6. Безкрайни произведения 44
1. Основни понятия (44). 2. Връзка между сходимостта на безкрайни произведения и редове (47). 3. Разлагане грях функции x към безкраен продукт (51)
§ 7. Обобщени методи за сумиране на дивергентни редове .... 55
1. Метод на Чезаро (метод на средните аритметични) (56). 2. Метод на сумиране на Поасон - Абел (57)
§ 8. елементарна теорияудвоете и повторете редове 59
ГЛАВА 2. ФУНКЦИОНАЛНИ ПОСЛЕДОВАТЕЛНОСТИ И СЕРИИ 67
§ 1. Понятията за сходимост в точка и равномерна сходимост върху множество 67
1. Понятията функционална последователност и функционален диапазон(67). 2. Сходимост на функционална последователност (функционална серия) в точка и на множество (69). 3. Равномерна сходимост на множеството (70). 4. Критерий на Коши за равномерна конвергенция на последователност (серия) (72)
§ 2. Достатъчни критерии за равномерна сходимост на функционални последователности и серии 74
§ 3. Посрочно преминаване на границата 83
§ 4. Посрочно интегриране и почленно диференциране на функционални последователности и серии 87
1. Посрочна интеграция (87). 2. Посрочно диференциране (90). 3. Средна конвергенция (94)
§ 5. Равнопостоянност на последователност от функции... 97
§ 6. Степенен ред 102
1. Степенен ред и областта на неговата конвергенция (102). 2. Непрекъснатост на сумата на степенния ред (105). 3. Интегриране член по член и диференциране член по член на степенен ред (105)
§ 7. Разлагане на функции в степенен ред 107
1. Разлагане на функция в степенни редове(107). 2. Разлагане на някои елементарни функции в ред на Тейлър (108). 3. Елементарни представиотносно функциите на комплексна променлива (CP). 4. Теоремата на Вайерщрас за равномерното приближение непрекъсната функцияполиноми (112)
ГЛАВА 3. ДВОЙНИ И n-КРАТНИ ИНТЕГРАЛИ 117
§ 1. Определение и условия за съществуване на двоен интеграл. . . 117
1. Дефиниция на двоен интеграл за правоъгълник (117).
2. Условия за съществуване на двоен интеграл за правоъгълник (119). 3. Определение и условия за съществуването на двоен интеграл за произволна област (121). четири. Обща дефинициядвоен интеграл (123)
"§ 2. Основни свойства на двойния интеграл 127
§ 3. Редукция на двоен интеграл до повторен единичен. . . 129 1. Случаят на правоъгълник (129). 2. Случаят на произволен регион (130)
§ 4. Тройни и n-кратни интеграли 133
§ 5. Смяна на променливи в n-кратния интеграл 138
§ 6. Изчисляване на обеми на n-мерни тела 152
§ 7. Теорема за почленно интегриране на функционални редици и серии 157
$ 8. Множество неправилни интеграли 159
1. Понятието кратни неправилни интеграли(159). 2. Два критерия за сходимост на несобствени интеграли на неотрицателни функции (160). 3. Неправилни интеграли на знакопроменящи функции (161). 4. Главна стойност на множество неправилни интеграли (165)
ГЛАВА 4. КРИВОЛИНЕЙНИ ИНТЕГРАЛИ 167
§ 1. Понятия за криволинейни интеграли от първи и втори род. . . 167
§ 2. Условия за съществуване на криволинейни интеграли 169
ГЛАВА 5. ПОВЪРХНОСТНИ ИНТЕГРАЛИ 175
§ 1. Понятия за повърхнина и нейната площ 175
1. Концепцията за повърхност (175). 2. Помощни леми (179).
3. Площ (181)
§ 2. Повърхностни интеграли 185
ГЛАВА 6. ТЕОРИЯ НА ПОЛЕТО. ОСНОВНА ИНТЕГРАЛНА ФОРМУЛА ЗА АНАЛИЗ 190
§ 1. Нотация. Биортогонални основи. Инварианти на линейни оператори 190
1. Нотация (190). 2. Биортогонални бази в пространството E" (191). 3. Трансформации на бази. Ковариантни и контравариантни координати на вектор (192). 4. Инварианти на линеен оператор. Дивергенция и навиване (195). 5. Изрази за дивергенция и извиване на линеен оператор в ортонормална база (Sch8)
§ 2. Скаларни и векторни полета. Диференциални оператори векторен анализ 198
!. Скаларни и векторни полета (198). 2. Дивергенция, ротор и производна по посока векторно поле(203). 3. Някои други формули за векторен анализ (204). четири. Заключителни бележки (206)
§ 3. Основни интегрални формули за анализ 207
1. Формула на Грийн (207). 2. Формула на Остроградски - Гаус (211). 3. Формула на Стокс (214)
§ 4. Условия за независимост на криволинейния интеграл в равнината от пътя на интегриране 218
§ 5. Някои примери за приложения на теория на полето 222
1. Изразяване на площта на плоска област по отношение на криволинейни интеграли(222). 2. Изразяване на обема чрез повърхностен интеграл (223)
Допълнение към глава 6. Диференциални форми в евклидовото пространство 225
§ 1. Редуващи се полилинейни форми 225
1. Линейни форми (225). 2. Билинейни форми (226). 3. Полилинейни форми (227). 4. Редуващи се многолинейни форми (228). 5. Външен продукт на редуващи се форми (228). 6. Свойства на външния продукт на редуващи се форми (231). 7. Основа в пространството на редуващи се форми (233)
§ 2. Различни форми 235
1. Основна нотация (235). 2. Външен диференциал (236). 3. Свойства на външния диференциал (237;)
§ 3. Диференцируеми преобразувания 2391
1. Дефиниция на диференцируеми преобразувания (239). 2. Свойства на преобразуването φ* (240)
§ 4. Интеграция диференциални форми 243
1. Дефиниции (243). 2. Диференцируеми вериги (245). 3. Формула на Стокс (248). 4. Примери (250)
ГЛАВА 7. ИНТЕГРАЛИ В ЗАВИСИМОСТ ОТ ПАРАМЕТРИ 252
§ 1. Равномерно по една променлива клонене на функция от две променливи към границата по друга променлива 252
1. Връзка между равномерното в една променлива тенденция на функция от две променливи към границата в друга променлива с равномерното сближаване на функционалната последователност (252). 2. Критерият на Коши за равномерна тенденция на функция към границата (254). 3. Приложения на концепцията за равномерна конвергенция към граничната функция (254)
§ 2. Собствени интеграли в зависимост от параметъра 256
1. Свойства на интеграл в зависимост от параметър (256). 2. Случаят, когато границите на интегриране зависят от параметъра (257)
§ 3. Неправилни интеграли в зависимост от параметъра 259
1. Неправилни интеграли от първи род в зависимост от параметъра (260). 2. Неправилни интеграли от втори род в зависимост от параметъра (266)
§ 4. Приложение на теорията на интегралите в зависимост от параметър към изчисляването на някои несобствени интеграли 267
§ 5. Интеграли на Ойлер 271
към Γ-функцията (272). 2. B-функция (275). 3. Връзка между интегралите на Ойлер (277). 4. Примери (279)
§ 6. Формула на Стърлинг 280
§ 7. Кратни интеграли в зависимост от параметри 282
1. Собствени множество интеграли в зависимост от параметрите (282).
2. Неправилни множествени интеграли в зависимост от параметъра (283)
ГЛАВА 8. РЕД НА ФУРИЕ 287
§ 1. Ортонормирани системи и общи редове на Фурие 287
1. Ортонормални системи (287). 2. Концепцията за общ ред на Фурие (292)
§ 2. Затворени и пълни ортонормирани системи 295
§ 3. Закриване тригонометрична системаи последствията от него. . 298 1. Равномерно приближение на непрекъсната функция чрез тригонометрични полиноми (298). 2. Доказателство за затвореността на тригонометричната система (301). 3. Последици от затвореността на тригонометричната система (303)
§ 4. Най-простите условия за равномерна сходимост и почленно диференциране на тригонометричен ред на Фурие 304
1. Уводни бележки (304). 2. Най-простите условия за абсолютна и равномерна сходимост на тригонометричния ред на Фурие (306).
3. Най-простите условия за почленно диференциране на тригонометричен ред на Фурие (308)
§ 5. По-точни условия за равномерна конвергенция и условия за сходимост в дадена точка
1. Модул на непрекъснатост на функция. Класове по Хьолдер (309). 2. Израз за частичната сума на тригонометричния ред на Фурие (311). 3. Помощни предложения(314). 4. Принцип на локализация 317 5. Равномерна сходимост на тригонометричния ред на Фурие за функция от класа на Хьолдер (319). 6. Относно сходимостта на тригонометричния ред на Фурие на частична функция на Хьолдер (325). 7. Сумируемост на тригонометричен ред на Фурие на непрекъсната функция по метода на средните аритметични (329). 8. Заключителни бележки (331)
§ 6. Кратни тригонометрични редове на Фурие 332
1. Понятия за многократен тригонометричен ред на Фурие и неговите правоъгълни и сферични частични суми (332). 2. Модул на непрекъснатост и класове на Хьолдер за функция от N променливи (334). 3. Условия за абсолютна конвергенция на множество тригонометрични редове на Фурие (335)
ГЛАВА 9. ТРАНСФОРМАЦИЯ НА ФУРИЕ 33»
§ 1. Представяне на функция чрез интеграл на Фурие 339
1. Спомагателни твърдения (340). 2. Основна теорема. Формула за обръщане (342). 3. Примери (347)
§ 2. Някои свойства на преобразуването на Фурие 34&
§ 3. Кратен интеграл на Фурие 352

М.: Издателство на Московския държавен университет. Част 1: 2-ро изд., Rev., 1985. - 662s.; Част 2- 1987. - 358s.

Част 1. - Начален курс.

Учебникът е първа част от курса по математически анализ за вис образователни институцииСССР, България и Унгария, написани в съответствие с договора за сътрудничество между Московския, Софийския и Будапещенския университети. Книгата включва теория реални числа, теорията на границите, теорията за непрекъснатостта на функциите, диференциалното и интегралното смятане на функциите на една променлива и техните приложения, диференциалното смятане на функциите на много променливи и теорията на неявните функции.

Част 2. - Продължение на курса.

Учебникът е втора част (част 1 - 1985 г.) от курса по математически анализ, написан в съответствие с единната програма, приета в СССР и НРБ. Книгата се занимава с теорията на числовите и функционалните редове, теорията на многократните, криволинейните и повърхностните интеграли, теорията на полето (включително диференциалните форми), теорията на интегралите в зависимост от параметър и теорията на редовете и интегралите на Фурие. Особеността на книгата е три нива на представяне, които са ясно разделени едно от друго: леко, основно и напреднало, което позволява да се използва както от студенти технически университетисъс задълбочено изучаване на математически анализ и студенти от факултетите по механика и математика на университетите.

Част 1. - Начален курс.

формат: pdf

Размерът: 10,5 MB

Гледайте, изтеглете:drive.google

формат: djvu/zip

Размерът: 5,5 MB

/ Свали файл

Част 2. - Продължение на курса.

формат: pdf

Размерът: 14,8 MB

Гледайте, изтеглете:drive.google

формат: djvu/zip

Размерът: 3,1 MB

/ Свали файл

Част 1. - Начален курс.

СЪДЪРЖАНИЕ
Предговор на редактора на заглавието.... 5
Предговор към второто издание 6
Предговор към първото издание 6
Глава 1. ОСНОВНИ КОНЦЕПЦИИ НА МАТЕМАТИЧЕСКИЯ АНАЛИЗ 10
Глава 2. РЕАЛНИ ЧИСЛА 29
§ 1. Множеството от числа, представими чрез infinite десетични знаци, и поръчването му 29
1. Свойства на рационалните числа (29). 2. Недостатъчност на рационални числа за измерване на сегменти от числовата ос (31). 3. Подреждане на множеството от безкрайни десетични знаци
дроби (34)
§ 2. Ограничени отгоре (или отдолу) множества от числа, представими с безкрайни десетични дроби.... 40 1. Основни понятия (40). 2. Наличие на точни лица (41).
§ 3. Приближаване на числа, представими с безкрайни десетични дроби, рационални числа 44
§ 4. Операции събиране и умножение. Описание на множеството от реални числа 46
1. Определение на операции събиране и умножение. Описание на понятието реални числа (46). 2. Съществуване и единственост на сбора и произведението на реални числа (47).
§ 5. Свойства на реалните числа 50
1. Свойства на реалните числа (50). 2. Някои често използвани отношения (52). 3. Някои конкретни набори от реални числа (52).
§6. Допълнителни въпроситеория на реалните числа. .54 1. Пълнота на множеството от реални числа (54). 2. Аксиоматично въвеждане на множеството от реални числа (57).
§ 7. Елементи на теорията на множествата. 59
1. Концепцията за множество (59). 2. Операции върху множества (60). 3. Изброими и неизброими множества. Неизброим сегмент. Мощността на множеството (61). 4. Свойства на операциите върху множества. Задайте картографиране (65).
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ ЗА ГРАНИЦИТЕ. 68
§ 1. Последователност и нейната граница 68.
1. Понятието последователност. Аритметични операции върху редица (68). 2. Ограничени, неограничени, безкрайно малки и безкрайно големи последователности (69). 3. Основни свойства на безкрайно малките последователности (73). 4. Конвергентни последователности и техните свойства (75).
§ 2. Монотонни редици 83
1. Концепцията за монотонна последователност (83). 2. Теорема за сходимостта на монотонна ограничена редица (84). 3. Числото e (86). 4. Примери за конвергентни монотонни последователности (88).
§ 3. Произволни последователности 92
1. Гранични точки, горна и долна граница на последователността (92). 2. Разширяване на понятията за гранична точка и горна и долна граница (99). 3. Критерий на Коши за сходимост на последователност (102).
§ 4. Предел (или гранична стойност) на функция 105
1. Понятия променливаи функции (105). 2. Предел на функция по Хайне и по Коши (109). 3. Критерий на Коши за съществуване на граница на функцията (115). 4. Аритметични операции върху функции, които имат граница (118). 5. Безкрайно малки и безкрайно големи функции (119).
§ 5. Обща дефиниция на границата на функция по отношение на основата .... 122
Глава 4. ПРОДЪЛЖАЕМОСТ НА ФУНКЦИЯТА 127
§ 1. Понятие за непрекъснатост на функция 127
1. Дефиниция на непрекъснатостта на функцията (127). 2. Аритметични операции върху непрекъснати функции (131). 3. Комплексна функция и нейната непрекъснатост (132).
§ 2. Свойства на монотонни функции 132
1. Монотонни функции (132). 2. Концепцията за обратна функция (133).
§ 3. Най-простите елементарни функции 138
1. Експоненциална функция(138). 2. Логаритмична функция (145). 3. Степенна функция (146). 4. Тригонометрични функции (147). 5. Обратни тригонометрични функции (154). 6. Хиперболични функции (156).
§ 4. Две забележителни граници 158
1. Първо прекрасен лимит(158). 2. Втората забележителна граница (159).
§ 5. Точки на прекъсване на функция и тяхната класификация. . . . 162 1. Класификация на точките на прекъсване на функция (162). 2. Точки на прекъсване на монотонна функция (166).
§ 6. Локални и глобални свойства на непрекъснати функции. 167 1. Локални свойства на непрекъснати функции (167). 2. Глобални свойства на непрекъснати функции (170). 3. Концепцията за равномерна непрекъснатост на функция (176). 4. Концепцията за модула на непрекъснатост на функция (181).
§ 7. Понятието за компактност на множество 184
1. Отворени и затворени множества (184). 2. Покрития на множество от система от отворени множества (184). 3. Концепцията за компактност на множество (186).
ГЛАВА 5. ДИФЕРЕНЦИАЛНО ИЗЧИСЛЯВАНЕ 189
§ 1. Понятие за производна 189
1. Увеличаване на функцията. Разностна форма на условието за непрекъснатост (189). 2. Дефиниция на производната (190). 3. Геометричен смисъл на производната (192).
§ 2. Понятието за диференцируемост на функция 193
1. Определение за диференцируемост на функция (193). 2. Диференцируемост и непрекъснатост (195). 3. Понятието диференциал на функция (196).
§ 3. Диференциране на комплексна функция и обратна функция 197 1. Диференциране на комплексна функция (197). 2. Диференциране на обратната функция (199). 3. Инвариантност на формата на първия диференциал (200). 4. Приложение на диференциала за установяване на приближени формули (201).
§ 4. Диференциране на функции сбор, разлика, произведение и частно 202
§ 5. Производни на най-простите елементарни функции. . . 205 1. Производни на тригонометрични функции (205). 2. Производна логаритмична функция(207). 3. Производни на експоненциални и обратни тригонометрични функции (208). 4. Производна степенна функция(210). 5. Таблица с производни на най-простите елементарни функции (210). 6. Таблица на диференциалите на най-простите елементарни функции (212). 7. Логаритмична производна. Производна на експоненциална функция (212).
§ 6. Производни и диференциали от по-високи разряди. . . 215 1. Концепцията за производна от n-ти ред (213). 2. n-ти производни на някои функции (214). 3. Формула на Лайбниц за i-та производнапродукти на две функции (216). 4. Диференциали от по-високи разряди (218).
§ 7. Диференциране на функция, дефинирана параметрично. 220*
§ 8. Производна векторна функция 222
Глава 6. ОСНОВНИ ТЕОРЕМИ ЗА ДИФЕРЕНЦИРУЕМИТЕ ФУНКЦИИ 224
§ 1. Нарастване (намаляване) на функция в точка. Местен екстремен 224
§ 2. Теорема за нулева производна 226
§ 3. Формула на крайните нараствания (формула на Лагранж). . 227 § 4. Някои следствия от формулата на Лагранж.... 229» 1. Постоянството на функция, която има производна равна на нула на интервал (229). 2. Условия за монотонност на функция върху интервала (230). 3. Липса на прекъсвания от първи род и отстраними прекъсвания на производната (231). 4. Извеждане на някои неравенства (233). § 5. Обобщена формула за крайни нараствания (формула на Коши). . 234
§ 6. Разкриване на несигурности (правило на L'Hopital). . . 235
1. Разкриване на несигурност на формата (235). Разкриване на несигурност на формата - (240). 3. Оповестяване на несигурност от друг вид (243).
!§ 7. Формулата на Тейлър „245
§ 8. Различни форми на остатъка. Маклорен формула 248
1. Остатъчен член във формата на Лагранж, Коши и Пеано (248).
2. Друга форма на формулата на Тейлър (250). 3. Формула на Маклорен (251).
§ 9. Оценка на остатъка от срока. Разлагане на някои елементарни функции. . . . . 251
1. Оценка на остатъчния член за произволна функция (251). 2. Разширение на Маклорен на някои елементарни функции (252).
1 § 10. Примери за приложения на формулата на Маклорен 256.
1. Изчисляване на числото e на компютър (256). 2. Доказателство за ирационалността на числото e (257). 3. Изчисляване на стойностите на тригонометрични функции (258). 4. Асимптотична оценка на елементарни функции и изчисляване на граници (259).
Глава 7
§ 1. Търсене стационарни точки 262
1. Критерии за монотонност на функция (262). 2. Намиране на стационарни точки (262). 3. Първо достатъчно условие за екстремум (264). 4. Второто достатъчно условие за екстремум "(265). 5. Третото достатъчно условие за екстремум (267). 6. Екстремумът на функция, която не е диференцируема в дадена точка (268). 7. Обща схеманамиране на екстремуми (270).
§ 2. Изпъкналост на графиката на функция 271
§ 3. Инфлексни точки 273
1. Определяне на инфлексната точка. Необходимо условиеинфлексия (273). 2. Първо достатъчно условие за флексия (276). 3. Някои обобщения на първото достатъчно условие за инфлексия (276). 4. Второ достатъчно условие за флексия (277). 5. Трето достатъчно условие за флексия (278).
§ 4. Асимптоти на графиката на функция 279
§ 5. Графика на функция 281
§ 6. Глобален максимум и минимум на функция върху отсечка.
Edge extreme 284
1. Намиране на максимума и минимални стойностифункция, дефинирана в сегмента (284). 2. Краен екстремум (286). 3. Теорема на Дарбу (287). Допълнение. Алгоритъм за намиране на екстремни стойности на функция, който използва само стойностите на тази функция. . . 288
Глава 8
§ 1. Понятие противопроизводна функцияи неопределен интеграл 291 1. Концепцията за първоизводна функция (291). 2. Неопределен интеграл (292). 3. "Основни свойства на неопределения интеграл (293). 4. Таблица на основния неопределен определени интеграли (294).
§ 2. Основни методи на интегриране 297
1, Интегриране на промяна на променлива (заместване) (297).
2. Интегриране по части (300).
§ 3. Класове функции, интегрируеми в елементарни функции. 303 1. Кратка информация за комплексните числа (304). 2. Кратка информация за корените на алгебрични полиноми (307). 3. Разлагане на алгебричен полином с реални коефициенти в произведение на несъкратими множители (311). 4. Разлагане на правилното рационална дробкъм сбора на простите дроби (312). 5. Интегрируемост на рационална дроб в елементарни функции (318). 6. Интегрируемост в елементарни функции на някои тригонометрични и ирационални изрази (321).
§ 4. Елиптични интеграли, 327
Глава 9
§ 1. Дефиниция на интеграл. Интегрируемост. . . . . 330 § 2. Горни и долни събираеми и техните свойства. . . . . 334 1. Определяне на горната и долната сума (334). 2. Основни свойства на горните и долните суми (335). § 3. Теореми за необходими и достатъчни условия за интегрируемост на функции. Класове интегрируеми функции. . . 339
1. Необходими и достатъчни условия за интегрируемост (339).
2. Класове интегрируеми функции (341).
"§ 4. Свойства на определен интеграл. Оценки на интеграли. Теореми за средна стойност. 347
1. Свойства на интеграла (347). 2. Оценки на интеграли (350).
§ 5. Първопроизводна на непрекъсната функция. Правила за интегриране на функции 357
1. Антипроизводно (357). 2. Основна формула интегрално смятане (359). 3. Важни правила, което позволява да се изчислят определени интеграли (360). 4. Остатъчен член на формулата на Тейлър в интегрална форма (362).
§ 6. Неравенство за сборове и интеграли 365
1. Неравенство на Юнг (365). 2. Неравенство на Хьолдер за суми (366). 3. Неравенство на Минковски за суми (367). 4. Неравенство на Хьолдер за интеграли (367). 5. Неравенство на Минковски за интеграли (368).
§ 7. Допълнителна информация за определения интеграл на Риман 369
1. Граница на интегралните суми върху основата на филтъра (369).
2. Критерий за интегрируемост на Лебег (370).
Приложение 1 Неправилни интеграли 370
§ 1. Несобствени интеграли от първи род 371
1. Концепцията за несобствен интеграл от първи род (371).
2. Критерий на Коши за сходимост на несобствен интеграл от първи род. Достатъчни условия за сходимост (373). 3. Абсолютна и условна сходимост на несобствени интеграли (375). 4. Смяна на променливи под неправилен знак за интеграл и формула за интегриране по части (378).
§ 2. Несобствени интеграли от втори род 379
§ 3. Главна стойност на несобствения интеграл.. 382
Приложение 2. Интегралът на Stieltjes 384
1. Определение на интеграла на Стилтьес и условията за неговото съществуване (384). 2. Свойства на интеграла на Стилтьес (389).
Глава 10. ГЕОМЕТРИЧНИ ПРИЛОЖЕНИЯ НА ОПРЕДЕЛЕН ИНТЕГРАЛ
§ 1. Дължина на дъгата на крива 391
1. Концепцията за проста крива (391). 2. Концепцията за параметризирана крива (392). 3. Дължината на дъгата на кривата. Концепцията за коригираща крива (394). 4. Критерий за праволинейност на крива. Изчислете дължината на дъгата на крива (397). 5. Дъгов диференциал (402). 6. Примери (403).
!§ 2. Площ плоска фигура 405
1. Понятието за граница на множество и равнинна фигура (405).
2. Площта на плоска фигура (406). 3. Криволинейна област
трапец и криволинеен сектор (414). 4. Примери за изчисляване на площи (416).
§ 3. Обем на тяло в пространството 418
1. Обем на тялото (418). 2. Някои класове кубични тела (419). 3. Примери (421).
Глава 11
§ 1. Приблизителни методи за изчисляване на корените на уравнения. . 422 1. Метод на вилицата (422). 2. Метод на повторенията (423). 3. Методи на хордите и допирателните 426
§ 2. Приближени методи за изчисляване на определени интеграли 431 1. Уводни бележки (431). 2. Метод на правоъгълниците (434).
3. Метод на трапеца (436). 4. Метод на параболите (438).
Глава 12
§ 1. Понятие за функция от m променливи 442
1. Концепцията за m-мерни координатни и игрови евклидови пространства (442). 2. Набори от точки в m-мерно евклидово пространство (445). 3. Концепцията за функция от m променливи (449).
§ 2. Предел на функция от m променливи 451
1. Поредици от точки в пространството Em (451). 2. Свойство на ограничена последователност от точки Em (454). 3. Граница на функция от m променливи (455). 4. Безкрайно малки функции на m променливи (458). 5. Повтарящи се ограничения (459).
§ 3. Непрекъснатост на функция от m променливи 460
1. Понятието за непрекъснатост на функция от m променливи (460).
2. Непрекъснатост на функция от m променливи по отношение на една променлива (462). 3. Основни свойства на непрекъснатите функции на много променливи (465).
§ 4. Производни и диференциали на функция на много променливи 469
1. Частни производни на функции на няколко променливи (469). 2. Диференцируемост на функция на няколко променливи (470). 3. Геометричен смисъл на условието за диференцируема функция на две променливи (473). 4. Достатъчни условия за диференцируемост 5. Диференциал на функция на няколко променливи (476). 6. Диференциране на сложна функция (476). 7. Инвариантност на формата на първия диференциал (480). 8. Производна по посока. Градиент (481).
§ 5. Частни производни и диференциали от по-високи разряди 485 1. Частни производни от по-високи разряди (485). 2. Диференциали от по-високи разряди (490). 3. Формула на Тейлър с остатъчен член във формата на Лагранж и в интегрална форма (497) 4. Формула на Тейлър с остатъчен член във формата на Пеано (500).
6. Локален екстремум на функция от m променливи.... 504 1. Понятие за екстремум на функция от m променливи. Необходими условия за екстремум (504). 2. Достатъчни условия локален екстремумфункции на m променливи (506). 3. Случай на функция на две променливи (512).
Допълнение 1. градиентен методтърсене на екстремума на силно изпъкнала функция 514
1. Изпъкнали множестваи изпъкнали функции (515). 2. Съществуване на минимум за силно изпъкнала функция и единственост на минимум за строго изпъкнала функция (521).
3. Намиране на минимума на силно изпъкнала функция (526).
Приложение 2. Метрични нормирани пространства. . 535
Метрични пространства. 1. Дефиниция на метрично пространство. Примери (535). 2. Отворени и затворени множества (538). 3. Директно произведение на метрични пространства (540). 4. Навсякъде плътен и перфектни комплекти(541). 5. Конвергенция. Непрекъснати съпоставяния (543). 6. Компактност 545 7. Основа на пространството (548).
Свойства на метричните пространства 550
Топологични пространства 558
1. Дефиниция на топологично пространство. Хаусдорфово топологично пространство. Примери (558). 2. Забележка за топологичните пространства (562).
Линейни нормирани пространства, линейни оператори 564
1. Дефиниция на линейно пространство. Примери (564).
2. Нормирани пространства. Банахови пространства.
Примери (566). 3. Оператори в линейни и нормирани пространства (568). 4. Пространство от оператори
5. Норма на оператора (569). 6. Концепцията за хилбертово пространство 572
Приложение 3. Диференциално смятане в нормирани линейни пространства. 574
1. Понятието е диференцируемо. Силна и слаба диференцируемост в нормирани линейни пространства (575).
2. Формулата на Лагранж за крайни нараствания (581).
3. Връзка между слаба и силна диференцируемост 584 4. Диференцируемост на функционали (587). 5. Интеграл на абстрактни функции (587). 6. Формула на Нютон-Лайбниц за абстрактни функции (589). 7. Производни от втори ред 592 8. Преобразуване на m-мерно евклидово пространство в t-мерно пространство (595). 9. Производни и диференциали от по-високи разряди 598 10. Формула на Тейлър за преобразуване на едно нормирано пространство в друго (599).
Изследване за екстремум на функционали в нормал
пространства. 602
1. Необходимо условие за екстремум (602). 2. Достатъчни условия за екстремум 605
Глава 13 НЕЯВНИ ФУНКЦИИ 609
§ 1. Съществуване и диференцируемост на неявно зададена функция 610
1. Теорема за съществуване и диференцируемост неявна функция(610). 2. Изчисляване на частни производни на неявно зададена функция (615). 3. Особени точкиповърхност и плоска крива (617). 4. Условия, осигуряващи съществуването на функцията y=)(x) на обратната функция (618).
§ 2. Неявни функции, определени от система от функционални
уравнения 619
1. Теорема за разрешимостта на система от функционални уравнения (619). 2. Изчисляване на частни производни на функции, имплицитно определени посредством система от функционални уравнения (624). 3. Преобразуване едно към едно на две множества m-измерно пространство (625).
§ 3. Зависимост на функциите 626
1. Концепцията за зависимост на функциите. Достатъчно условие за независимост (626). 2. Функционални матрици и техните приложения (628).
§ четири. Условен екстремум. 632
1. Концепцията за условен екстремум (632). 2. Метод неопределени множителиЛагранж (635). 3. Достатъчно. условия (636). 4. Пример (637).
Приложение 1. Преобразувания на банахови пространства. Аналог на теоремата 638 за неявната функция
1. Теорема за съществуването и диференцируемостта на неявна функция (638). 2. Случаят на крайномерните пространства (644). 3. Особени точки на повърхност в пространството от n измерения. Обратно картографиране (647). 4. Условен екстремум в случай на преобразуване на нормирани пространства (651).

Част 2. - Продължение на курса.

СЪДЪРЖАНИЕ
Предговор 5
ГЛАВА 1. ЧИСЛОВА ПОРЕДИЦА 7
§ 1. Концепцията за числова серия 7
1. Конвергентни и дивергентни редове (7). 2. Критерий на Коши за сходимост на редове (10)
§ 2. Редица с неотрицателни членове 12"
1. Необходимо и достатъчно условие за сходимост на ред с неотрицателни членове (12). 2. Знаци за сравнение (13). 3. Знаци на д'Аламбер и Коши (16). 4. Интегрален знак на Коши-Маклорен (21). 5, Знак на Раабе (24). 6. Липса на универсална серия за сравнение (27)
§ 3. Абсолютно и условно сходни редове 28
1. Понятията абсолютно и условно сходни редове (28). 2. За пермутацията на членовете на условно сходящия се ред (30). 3. Относно пермутацията на членовете на абсолютно конвергентен ред (33)
§ 4. Критерии за сходимост на произволни редове 35
§ 5. Аритметични действия върху сходни редове 41
§ 6. Безкрайни произведения 44
1. Основни понятия (44). 2. Връзка между сходимостта на безкрайни произведения и редове (47). 3. Разлагане на функцията sin x в безкраен продукт (51)
§ 7. Обобщени методи за сумиране на дивергентни редове .... 55
1. Метод на Чезаро (метод на средните аритметични) (56). 2. Метод на сумиране на Поасон - Абел (57)
§ 8. Елементарна теория на двойните и повторните серии 59
ГЛАВА 2. ФУНКЦИОНАЛНИ ПОСЛЕДОВАТЕЛНОСТИ И СЕРИИ 67
§ 1. Понятията за сходимост в точка и равномерна сходимост върху множество 67
1. Понятията функционална последователност и функционална серия (67). 2. Сходимост на функционална последователност (функционална серия) в точка и на множество (69). 3. Равномерна сходимост на множеството (70). 4. Критерий на Коши за равномерна конвергенция на последователност (серия) (72)
§ 2. Достатъчни критерии за равномерна сходимост на функционални последователности и серии 74
§ 3. Посрочно преминаване на границата 83
§ 4. Посрочно интегриране и почленно диференциране на функционални последователности и серии 87
1. Посрочна интеграция (87). 2. Посрочно диференциране (90). 3. Средна конвергенция (94)
§ 5. Равнопостоянност на последователност от функции... 97
§ 6. Степенен ред 102
1. Степенен ред и областта на неговата конвергенция (102). 2. Непрекъснатост на сумата на степенния ред (105). 3. Интегриране член по член и диференциране член по член на степенен ред (105)
§ 7. Разлагане на функции в степенен ред 107
1. Разлагане на функция в степенен ред (107). 2. Разлагане на някои елементарни функции в ред на Тейлър (108). 3. Елементарни представи за функциите на комплексна променлива (ПО). 4. Теоремата на Вайерщрас за равномерното приближение на непрекъсната функция чрез полиноми (112)
ГЛАВА 3. ДВОЙНИ И n-КРАТНИ ИНТЕГРАЛИ 117
§ 1. Определение и условия за съществуване на двоен интеграл. . . 117
1. Дефиниция на двоен интеграл за правоъгълник (117).
2. Условия за съществуване на двоен интеграл за правоъгълник (119). 3. Определение и условия за съществуването на двоен интеграл за произволна област (121). 4. Обща дефиниция на двойния интеграл (123)
"§ 2. Основни свойства на двойния интеграл 127
§ 3. Редукция на двоен интеграл до повторен единичен. . . 129 1. Случаят на правоъгълник (129). 2. Случаят на произволен регион (130)
§ 4. Тройни и n-кратни интеграли 133
§ 5. Смяна на променливи в n-кратен интеграл 138
§ 6. Изчисляване на обеми на n-мерни тела 152
§ 7. Теорема за почленно интегриране на функционални редици и серии 157
$ 8. Множество неправилни интеграли 159
1. Концепцията за множество неправилни интеграли (159). 2. Два критерия за сходимост на несобствени интеграли на неотрицателни функции (160). 3. Неправилни интеграли на знакопроменящи функции (161). 4. Главна стойност на множество неправилни интеграли (165)
ГЛАВА 4. КРИВОЛИНЕЙНИ ИНТЕГРАЛИ 167
§ 1. Понятия за криволинейни интеграли от първи и втори род. . . 167
§ 2. Условия за съществуване на криволинейни интеграли 169
ГЛАВА 5. ПОВЪРХНОСТНИ ИНТЕГРАЛИ 175
§ 1. Понятия за повърхнина и нейната площ 175
1. Концепцията за повърхност (175). 2. Помощни леми (179).
3. Площ (181)
§ 2. Повърхностни интеграли 185
ГЛАВА 6. ТЕОРИЯ НА ПОЛЕТО. ОСНОВНА ИНТЕГРАЛНА ФОРМУЛА ЗА АНАЛИЗ 190
§ 1. Нотация. Биортогонални основи. Инварианти на линейни оператори 190
1. Нотация (190). 2. Биортогонални бази в пространството E" (191). 3. Трансформации на бази. Ковариантни и контравариантни координати на вектор (192). 4. Инварианти на линеен оператор. Дивергенция и навиване (195). 5. Изрази за дивергенция и извиване на линеен оператор в ортонормална база (Sch8)
§ 2. Скаларни и векторни полета. Диференциални оператори на векторен анализ 198
!. Скаларни и векторни полета (198). 2. Дивергенция, навиване и производна по отношение на посоката на векторно поле (203). 3. Някои други формули за векторен анализ (204). 4. Заключителни бележки (206)
§ 3. Основни интегрални формули за анализ 207
1. Формула на Грийн (207). 2. Формула на Остроградски - Гаус (211). 3. Формула на Стокс (214)
§ 4. Условия за независимост на криволинейния интеграл в равнината от пътя на интегриране 218
§ 5. Някои примери за приложения на теория на полето 222
1. Изразяване на площта на плоска област по отношение на криволинейния интеграл (222). 2. Изразяване на обема по отношение на повърхностния интеграл (223)
Допълнение към глава 6. Диференциални форми в евклидовото пространство 225
§ 1. Редуващи се полилинейни форми 225
1. Линейни форми (225). 2. Билинейни форми (226). 3. Полилинейни форми (227). 4. Редуващи се многолинейни форми (228). 5. Външен продукт на редуващи се форми (228). 6. Свойства на външния продукт на редуващи се форми (231). 7. Основа в пространството на редуващи се форми (233)
§ 2. Различни форми 235
1. Основна нотация (235). 2. Външен диференциал (236). 3. Свойства на външния диференциал (237;)
§ 3. Диференцируеми преобразувания 2391
1. Дефиниция на диференцируеми преобразувания (239). 2. Свойства на преобразуването φ* (240)
§ 4. Интегриране на диференциални форми 243
1. Дефиниции (243). 2. Диференцируеми вериги (245). 3. Формула на Стокс (248). 4. Примери (250)
ГЛАВА 7. ИНТЕГРАЛИ В ЗАВИСИМОСТ ОТ ПАРАМЕТРИ 252
§ 1. Равномерно по една променлива клонене на функция от две променливи към границата по друга променлива 252
1. Връзка между равномерното в една променлива тенденция на функция от две променливи към границата в друга променлива с равномерното сближаване на функционалната последователност (252). 2. Критерият на Коши за равномерна тенденция на функция към границата (254). 3. Приложения на концепцията за равномерна конвергенция към граничната функция (254)
§ 2. Собствени интеграли в зависимост от параметъра 256
1. Свойства на интеграл в зависимост от параметър (256). 2. Случаят, когато границите на интегриране зависят от параметъра (257)
§ 3. Неправилни интеграли в зависимост от параметъра 259
1. Неправилни интеграли от първи род в зависимост от параметъра (260). 2. Неправилни интеграли от втори род в зависимост от параметъра (266)
§ 4. Приложение на теорията на интегралите в зависимост от параметър към изчисляването на някои несобствени интеграли 267
§ 5. Интеграли на Ойлер 271
към Γ-функцията (272). 2. B-функция (275). 3. Връзка между интегралите на Ойлер (277). 4. Примери (279)
§ 6. Формула на Стърлинг 280
§ 7. Кратни интеграли в зависимост от параметри 282
1. Собствени множество интеграли в зависимост от параметрите (282).
2. Неправилни множествени интеграли в зависимост от параметъра (283)
ГЛАВА 8. РЕД НА ФУРИЕ 287
§ 1. Ортонормирани системи и общи редове на Фурие 287
1. Ортонормални системи (287). 2. Концепцията за общ ред на Фурие (292)
§ 2. Затворени и пълни ортонормирани системи 295
§ 3. Затвореност на тригонометричната система и последици от това. . 298 1. Равномерно приближение на непрекъсната функция чрез тригонометрични полиноми (298). 2. Доказателство за затвореността на тригонометричната система (301). 3. Последици от затвореността на тригонометричната система (303)
§ 4. Най-простите условия за равномерна сходимост и почленно диференциране на тригонометричен ред на Фурие 304
1. Уводни бележки (304). 2. Най-простите условия за абсолютна и равномерна сходимост на тригонометричния ред на Фурие (306).
3. Най-простите условия за почленно диференциране на тригонометричен ред на Фурие (308)
§ 5. По-точни условия за равномерна конвергенция и условия за сходимост в дадена точка
1. Модул на непрекъснатост на функция. Класове по Хьолдер (309). 2. Израз за частичната сума на тригонометричния ред на Фурие (311). 3. Помощни изречения (314). 4. Принцип на локализация 317 5. Равномерна сходимост на тригонометричния ред на Фурие за функция от класа на Хьолдер (319). 6. Относно сходимостта на тригонометричния ред на Фурие на частична функция на Хьолдер (325). 7. Сумируемост на тригонометричен ред на Фурие на непрекъсната функция по метода на средните аритметични (329). 8. Заключителни бележки (331)
§ 6. Кратни тригонометрични редове на Фурие 332
1. Понятия за многократен тригонометричен ред на Фурие и неговите правоъгълни и сферични частични суми (332). 2. Модул на непрекъснатост и класове на Хьолдер за функция от N променливи (334). 3. Условия за абсолютна конвергенция на множество тригонометрични редове на Фурие (335)
ГЛАВА 9. ТРАНСФОРМАЦИЯ НА ФУРИЕ 33»
§ 1. Представяне на функция чрез интеграл на Фурие 339
1. Спомагателни твърдения (340). 2. Основна теорема. Формула за обръщане (342). 3. Примери (347)
§ 2. Някои свойства на преобразуването на Фурие 34&
§ 3. Кратен интеграл на Фурие 352

М.: Издателство на Московския държавен университет. Част 1: 2-ро издание, Rev., 1985. - 662s.; Част 2 - 1987. - 358s. Част 1. - Начален курс.

Учебникът е първа част от курса по математически анализ за висшите учебни заведения на СССР, България и Унгария, написан в съответствие със споразумението за сътрудничество между Московския, Софийския и Будапещенския университети. Книгата включва теорията на реалните числа, теорията на границите, теорията за непрекъснатостта на функциите, диференциалното и интегралното смятане на функциите на една променлива и техните приложения, диференциалното смятане на функциите на много променливи и теорията на неявните функции .

Част 2. - Продължение на курса.

Учебникът е втора част (част 1 - 1985 г.) от курса по математически анализ, написан в съответствие с единната програма, приета в СССР и НРБ. Книгата се занимава с теорията на числовите и функционалните редове, теорията на многократните, криволинейните и повърхностните интеграли, теорията на полето (включително диференциалните форми), теорията на интегралите в зависимост от параметър и теорията на редовете и интегралите на Фурие. Особеността на книгата е три ясно разделени нива на представяне: леко, основно и напреднало, което позволява да се използва от студенти от технически университети с задълбочено проучванематематически анализ и студенти от факултетите по механика и математика на университетите.

СЪДЪРЖАНИЕ
Предговор на редактора на заглавието.... 5
Предговор към второто издание 6
Предговор към първото издание 6
Глава 1. ОСНОВНИ КОНЦЕПЦИИ НА МАТЕМАТИЧЕСКИЯ АНАЛИЗ 10
Глава 2. РЕАЛНИ ЧИСЛА 29
§ 1. Множеството от числа, представими с безкрайни десетични дроби и неговото подреждане 29
1. Свойства на рационалните числа (29). 2. Недостатъчност на рационални числа за измерване на сегменти от числовата ос (31). 3. Подреждане на множеството от безкрайни десетични знаци
дроби (34)
§ 2. Ограничени отгоре (или отдолу) множества от числа, представими с безкрайни десетични дроби.... 40 1. Основни понятия (40). 2. Съществуване точни ръбове (41).
§ 3. Приближаване на числа, представими с безкрайни десетични дроби, с рационални числа 44
§ 4. Операции събиране и умножение. Описание на множеството от реални числа 46
1. Определение на операции събиране и умножение. Описание на понятието реални числа (46). 2. Съществуване и единственост на сбора и произведението на реални числа (47).
§ 5. Свойства на реалните числа 50
1. Свойства на реалните числа (50). 2. Някои често използвани отношения (52). 3. Някои конкретни набори от реални числа (52).
§ 6. Допълнителни въпроси по теория на реалните числа. .54 1. Пълнота на множеството от реални числа (54). 2. Аксиоматично въвеждане на множеството от реални числа (57).
§ 7. Елементи на теорията на множествата. 59
1. Концепцията за множество (59). 2. Операции върху множества (60). 3. Изброими и неизброими множества. Неизброим сегмент. Мощността на множеството (61). 4. Свойства на операциите върху множества. Задайте картографиране (65).
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ ЗА ГРАНИЦИТЕ. 68
§ 1. Последователност и нейната граница 68.
1. Понятието последователност. Аритметични операции върху редица (68). 2. Ограничени, неограничени, безкрайно малки и безкрайно големи последователности (69). 3. Основни свойства на безкрайно малките последователности (73). 4. Конвергентни последователности и техните свойства (75).
§ 2. Монотонни редици 83
1. Концепцията за монотонна последователност (83). 2. Теорема за сходимостта на монотонна ограничена редица (84). 3. Числото e (86). 4. Примери за конвергентни монотонни последователности (88).
§ 3. Произволни последователности 92
1. Гранични точки, горна и долна граница на последователността (92). 2. Разширяване на понятията за гранична точка и горна и долна граница (99). 3. Критерий на Коши за сходимост на последователност (102).
§ 4. Предел (или гранична стойност) на функция 105
1. Понятия за променливо количество и функция (105). 2. Предел на функция по Хайне и по Коши (109). 3. Критерий на Коши за съществуване на граница на функцията (115). 4. Аритметични операции върху функции, които имат граница (118). 5. Безкрайно малки и безкрайно големи функции (119).
§ 5. Обща дефиниция на границата на функция по отношение на основата .... 122
Глава 4. ПРОДЪЛЖАЕМОСТ НА ФУНКЦИЯТА 127
§ 1. Понятие за непрекъснатост на функция 127
1. Дефиниция на непрекъснатостта на функцията (127). 2. Аритметични операции върху непрекъснати функции (131). 3. Комплексна функция и нейната непрекъснатост (132).
§ 2. Свойства на монотонни функции 132
1. Монотонни функции (132). 2. Концепцията за обратна функция (133).
§ 3. Най-простите елементарни функции 138
1. Експоненциалната функция (138). 2. Логаритмична функция (145). 3. Степенна функция (146). 4. Тригонометрични функции (147). 5. Обратни тригонометрични функции (154). 6. Хиперболични функции (156).
§ 4. Две забележителни граници 158
1. Първата забележителна граница (158). 2. Втората забележителна граница (159).
§ 5. Точки на прекъсване на функция и тяхната класификация. . . . 162 1. Класификация на точките на прекъсване на функция (162). 2. Точки на прекъсване на монотонна функция (166).
§ 6. Локални и глобални свойства на непрекъснати функции. 167 1. Локални свойства на непрекъснати функции (167). 2. Глобални свойства на непрекъснати функции (170). 3. Концепцията за равномерна непрекъснатост на функция (176). 4. Концепцията за модула на непрекъснатост на функция (181).
§ 7. Понятието за компактност на множество 184
1. Отворени и затворени множества (184). 2. Покрития на множество от система от отворени множества (184). 3. Концепцията за компактност на множество (186).
ГЛАВА 5. ДИФЕРЕНЦИАЛНО ИЗЧИСЛЯВАНЕ 189
§ 1. Понятие за производна 189
1. Увеличаване на функцията. Разностна форма на условието за непрекъснатост (189). 2. Дефиниция на производната (190). 3. Геометричен смисъл на производната (192).
§ 2. Понятието за диференцируемост на функция 193
1. Определение за диференцируемост на функция (193). 2. Диференцируемост и непрекъснатост (195). 3. Понятието диференциал на функция (196).
§ 3. Диференциране на комплексна функция и обратна функция 197 1. Диференциране на комплексна функция (197). 2. Диференциране на обратната функция (199). 3. Инвариантност на формата на първия диференциал (200). 4. Приложение на диференциала за установяване на приближени формули (201).
§ 4. Диференциране на функции сбор, разлика, произведение и частно 202
§ 5. Производни на най-простите елементарни функции. . . 205 1. Производни на тригонометрични функции (205). 2. Производна на логаритмична функция (207). 3. Производни на експоненциални и обратни тригонометрични функции (208). 4. Производна на степенната функция (210). 5. Таблица с производни на най-простите елементарни функции (210). 6. Таблица на диференциалите на най-простите елементарни функции (212). 7. Логаритмична производна. Производна на експоненциална функция (212).
§ 6. Производни и диференциали от по-високи разряди. . . 215 1. Концепцията за производна от n-ти ред (213). 2. n-ти производни на някои функции (214). 3. Формулата на Лайбниц за n-тата производна на произведението на две функции (216). 4. Диференциали от по-високи разряди (218).
§ 7. Диференциране на функция, дефинирана параметрично. 220*
§ 8. Производна на вектор-функция 222
Глава 6. ОСНОВНИ ТЕОРЕМИ ЗА ДИФЕРЕНЦИРУЕМИТЕ ФУНКЦИИ 224
§ 1. Нарастване (намаляване) на функция в точка. Местен екстремен 224
§ 2. Теорема за нулева производна 226
§ 3. Формула на крайните нараствания (формула на Лагранж). . 227 § 4. Някои следствия от формулата на Лагранж.... 229» 1. Постоянството на функция, която има производна равна на нула на интервал (229). 2. Условия за монотонност на функция върху интервала (230). 3. Липса на прекъсвания от първи род и отстраними прекъсвания на производната (231). 4. Извеждане на някои неравенства (233). § 5. Обобщена формула за крайни нараствания (формула на Коши). . 234
§ 6. Разкриване на несигурности (правило на L'Hopital). . . 235
1. Разкриване на несигурност на формата (235). Разкриване на несигурност на формата - (240). 3. Оповестяване на несигурност от друг вид (243).
!§ 7. Формулата на Тейлър „245
§ 8. Различни форми на остатъка. Маклорен формула 248
1. Остатъчен член във формата на Лагранж, Коши и Пеано (248).
2. Друга форма на формулата на Тейлър (250). 3. Формула на Маклорен (251).
§ 9. Оценка на остатъка от срока. Разлагане на някои елементарни функции. . . . . 251
1. Оценка на остатъчния член за произволна функция (251). 2. Разширение на Маклорен на някои елементарни функции (252).
1 § 10. Примери за приложения на формулата на Маклорен 256.
1. Изчисляване на числото e на компютър (256). 2. Доказателство за ирационалността на числото e (257). 3. Изчисляване на стойностите на тригонометрични функции (258). 4. Асимптотична оценка на елементарни функции и изчисляване на граници (259).
Глава 7
§ 1. Намиране на стационарни точки 262
1. Критерии за монотонност на функция (262). 2. Намиране на стационарни точки (262). 3. Първо достатъчно условие за екстремум (264). 4. Второто достатъчно условие за екстремум "(265). 5. Третото достатъчно условие за екстремум (267). 6. Екстремумът на функция, която не е диференцируема в дадена точка (268). 7. Общото схема за намиране на екстремуми (270).
§ 2. Изпъкналост на графиката на функция 271
§ 3. Инфлексни точки 273
1. Определяне на инфлексната точка. Необходимо условие за флексия (273). 2. Първо достатъчно условие за флексия (276). 3. Някои обобщения на първото достатъчно условие за инфлексия (276). 4. Второ достатъчно условие за флексия (277). 5. Трето достатъчно условие за флексия (278).
§ 4. Асимптоти на графиката на функция 279
§ 5. Графика на функция 281
§ 6. Глобален максимум и минимум на функция върху отсечка.
Edge extreme 284
1. Намиране на максималните и минималните стойности на функция, дефинирана на сегмент (284). 2. Краен екстремум (286). 3. Теорема на Дарбу (287). Допълнение. Алгоритъм за намиране на екстремни стойности на функция, който използва само стойностите на тази функция. . . 288
Глава 8
§ 1. Понятие за първоизводна функция и неопределен интеграл 291 1. Понятие за първоизводна функция (291). 2. Неопределен интеграл (292). 3. „Основни свойства на неопределения интеграл (293). 4. Таблица на осн неопределени интеграли (294).
§ 2. Основни методи на интегриране 297
1, Интегриране на промяна на променлива (заместване) (297).
2. Интегриране по части (300).
§ 3. Класове функции, интегрируеми в елементарни функции. 303 1. Кратка информация за комплексните числа (304). 2. Кратка информация за корените на алгебрични полиноми (307). 3. Разлагане на алгебричен полином с реални коефициенти в произведение на несъкратими множители (311). 4. Разлагане на правилна рационална дроб в сбор от прости дроби (312). 5. Интегрируемост на рационална дроб в елементарни функции (318). 6. Интегрируемост в елементарни функции на някои тригонометрични и ирационални изрази (321).
§ 4. Елиптични интеграли, 327
Глава 9
§ 1. Дефиниция на интеграл. Интегрируемост. . . . . 330 § 2. Горни и долни събираеми и техните свойства. . . . . 334 1. Определяне на горната и долната сума (334). 2. Основни свойства на горните и долните суми (335). § 3. Теореми за необходими и достатъчни условия за интегрируемост на функции. Класове интегрируеми функции. . . 339
1. Необходими и достатъчни условия за интегрируемост (339).
2. Класове интегрируеми функции (341).
"§ 4. Свойства на определен интеграл. Оценки на интеграли. Теореми за средна стойност. 347
1. Свойства на интеграла (347). 2. Оценки на интеграли (350).
§ 5. Първопроизводна на непрекъсната функция. Правила за интегриране на функции 357
1. Антипроизводно (357). 2. Основна формула на интегралното смятане (359). 3. Важни правила за изчисляване на определени интеграли (360). 4. Остатъчен член на формулата на Тейлър в интегрална форма (362).
§ 6. Неравенство за сборове и интеграли 365
1. Неравенство на Юнг (365). 2. Неравенство на Хьолдер за суми (366). 3. Неравенство на Минковски за суми (367). 4. Неравенство на Хьолдер за интеграли (367). 5. Неравенство на Минковски за интеграли (368).
§ 7. Допълнителна информация за определения интеграл на Риман 369
1. Граница на интегралните суми върху основата на филтъра (369).
2. Критерий за интегрируемост на Лебег (370).
Приложение 1 Неправилни интеграли 370
§ 1. Несобствени интеграли от първи род 371
1. Концепцията за несобствен интеграл от първи род (371).
2. Критерий на Коши за сходимост на несобствен интеграл от първи род. Достатъчни условия за сходимост (373). 3. Абсолютна и условна сходимост на несобствени интеграли (375). 4. Смяна на променливи под неправилен знак за интеграл и формула за интегриране по части (378).
§ 2. Несобствени интеграли от втори род 379
§ 3. Главна стойност на несобствения интеграл.. 382
Приложение 2. Интегралът на Stieltjes 384
1. Определение на интеграла на Стилтьес и условията за неговото съществуване (384). 2. Свойства на интеграла на Стилтьес (389).
Глава 10. ГЕОМЕТРИЧНИ ПРИЛОЖЕНИЯ НА ОПРЕДЕЛЕН ИНТЕГРАЛ
§ 1. Дължина на дъгата на крива 391
1. Концепцията за проста крива (391). 2. Концепцията за параметризирана крива (392). 3. Дължината на дъгата на кривата. Концепцията за коригираща крива (394). 4. Критерий за праволинейност на крива. Изчислете дължината на дъгата на крива (397). 5. Дъгов диференциал (402). 6. Примери (403).
!§ 2. Площта на равнинна фигура 405
1. Понятието за граница на множество и равнинна фигура (405).
2. Площта на плоска фигура (406). 3. Криволинейна област
трапец и криволинеен сектор (414). 4. Примери за изчисляване на площи (416).
§ 3. Обем на тяло в пространството 418
1. Обем на тялото (418). 2. Някои класове кубични тела (419). 3. Примери (421).
Глава 11
§ 1. Приблизителни методи за изчисляване на корените на уравнения. . 422 1. Метод на вилицата (422). 2. Метод на повторенията (423). 3. Методи на хордите и допирателните 426
§ 2. Приближени методи за изчисляване на определени интеграли 431 1. Уводни бележки (431). 2. Метод на правоъгълниците (434).
3. Метод на трапеца (436). 4. Метод на параболите (438).
Глава 12
§ 1. Понятие за функция от m променливи 442
1. Концепцията за m-мерни координатни и игрови евклидови пространства (442). 2. Набори от точки в m-мерно евклидово пространство (445). 3. Концепцията за функция от m променливи (449).
§ 2. Предел на функция от m променливи 451
1. Поредици от точки в пространството Em (451). 2. Свойство на ограничена последователност от точки Em (454). 3. Граница на функция от m променливи (455). 4. Безкрайно малки функции на m променливи (458). 5. Повтарящи се ограничения (459).
§ 3. Непрекъснатост на функция от m променливи 460
1. Понятието за непрекъснатост на функция от m променливи (460).
2. Непрекъснатост на функция от m променливи по отношение на една променлива (462). 3. Основни свойства на непрекъснатите функции на много променливи (465).
§ 4. Производни и диференциали на функция на много променливи 469
1. Частни производни на функции на няколко променливи (469). 2. Диференцируемост на функция на няколко променливи (470). 3. Геометричен смисъл на условието за диференцируема функция на две променливи (473). 4. Достатъчни условия за диференцируемост 5. Диференциал на функция на няколко променливи (476). 6. Диференциране на сложна функция (476). 7. Инвариантност на формата на първия диференциал (480). 8. Производна по посока. Градиент (481).
§ 5. Частни производни и диференциали от по-високи разряди 485 1. Частни производни от по-високи разряди (485). 2. Диференциали от по-високи разряди (490). 3. Формула на Тейлър с остатъчен член във формата на Лагранж и в интегрална форма (497) 4. Формула на Тейлър с остатъчен член във формата на Пеано (500).
6. Локален екстремум на функция от m променливи.... 504 1. Понятие за екстремум на функция от m променливи. Необходими условия за екстремум (504). 2. Достатъчни условия за локален екстремум на функция от m променливи (506). 3. Случай на функция на две променливи (512).
Приложение 1. Градиентен метод за намиране на екстремума на силно изпъкнала функция 514
1. Изпъкнали множества и изпъкнали функции (515). 2. Съществуване на минимум за силно изпъкнала функция и единственост на минимум за строго изпъкнала функция (521).
3. Намиране на минимума на силно изпъкнала функция (526).
Приложение 2. Метрични нормирани пространства. . 535
Метрични пространства. 1. Дефиниция на метрично пространство. Примери (535). 2. Отворени и затворени множества (538). 3. Директно произведение на метрични пространства (540). 4. Навсякъде плътни и перфектни комплекти (541). 5. Конвергенция. Непрекъснати съпоставяния (543). 6. Компактност 545 7. Основа на пространството (548).
Свойства на метричните пространства 550
Топологични пространства 558
1. Дефиниция на топологично пространство. Хаусдорфово топологично пространство. Примери (558). 2. Забележка за топологичните пространства (562).
Линейни нормирани пространства, линейни оператори 564
1. Дефиниция на линейно пространство. Примери (564).
2. Нормирани пространства. Банахови пространства.
Примери (566). 3. Оператори в линейни и нормирани пространства (568). 4. Пространство от оператори
5. Норма на оператора (569). 6. Концепцията за хилбертово пространство 572
Приложение 3. Диференциално смятане в нормирани линейни пространства. 574
1. Понятието е диференцируемо. Силна и слаба диференцируемост в нормирани линейни пространства (575).
2. Формулата на Лагранж за крайни нараствания (581).
3. Връзка между слаба и силна диференцируемост 584 4. Диференцируемост на функционали (587). 5. Интеграл на абстрактни функции (587). 6. Формула на Нютон-Лайбниц за абстрактни функции (589). 7. Производни от втори ред 592 8. Преобразуване на m-мерно евклидово пространство в t-мерно пространство (595). 9. Производни и диференциали от по-високи разряди 598 10. Формула на Тейлър за преобразуване на едно нормирано пространство в друго (599).
Изследване за екстремум на функционали в нормал
пространства. 602
1. Необходимо условие за екстремум (602). 2. Достатъчни условия за екстремум 605
Глава 13 НЕЯВНИ ФУНКЦИИ 609
§ 1. Съществуване и диференцируемост на неявно зададена функция 610
1. Теорема за съществуването и диференцируемостта на неявна функция (610). 2. Изчисляване на частни производни на неявно зададена функция (615). 3. Особени точки на повърхнина и равнинна крива 617 4. Условия, осигуряващи съществуването на функцията y=)(x) на обратната функция (618).
§ 2. Неявни функции, определени от система от функционални
уравнения 619
1. Теорема за разрешимостта на система от функционални уравнения (619). 2. Изчисляване на частни производни на функции, имплицитно определени посредством система от функционални уравнения (624). 3. Картографиране едно към едно на два набора от m-измерно пространство (625).
§ 3. Зависимост на функциите 626
1. Концепцията за зависимост на функциите. Достатъчно условие за независимост (626). 2. Функционални матрици и техните приложения (628).
§ 4. Условен екстремум. 632
1. Концепцията за условен екстремум (632). 2. Метод на неопределените множители на Лагранж (635). 3. Достатъчно. условия (636). 4. Пример (637).
Приложение 1. Преобразувания на банахови пространства. Аналог на теоремата 638 за неявната функция
1. Теорема за съществуването и диференцируемостта на неявна функция (638). 2. Случаят на крайномерните пространства (644). 3. Особени точки на повърхност в пространството от n измерения. Обратно картографиране (647). 4. Условен екстремум в случай на преобразуване на нормирани пространства (651).
Част 2. - Продължение на курса.
СЪДЪРЖАНИЕ
Предговор 5
ГЛАВА 1. ЧИСЛОВА ПОРЕДИЦА 7
§ 1. Концепцията за числова серия 7
1. Конвергентни и дивергентни редове (7). 2. Критерий на Коши за сходимост на редове (10)
§ 2. Редица с неотрицателни членове 12"
1. Необходимо и достатъчно условие за сходимост на ред с неотрицателни членове (12). 2. Знаци за сравнение (13). 3. Знаци на д'Аламбер и Коши (16). 4. Интегрален знак на Коши-Маклорен (21). 5, Знак на Раабе (24). 6. Липса на универсална серия за сравнение (27)
§ 3. Абсолютно и условно сходни редове 28
1. Понятията абсолютно и условно сходни редове (28). 2. За пермутацията на членовете на условно сходящия се ред (30). 3. Относно пермутацията на членовете на абсолютно конвергентен ред (33)
§ 4. Критерии за сходимост на произволни редове 35
§ 5. Аритметични действия върху сходни редове 41
§ 6. Безкрайни произведения 44
1. Основни понятия (44). 2. Връзка между сходимостта на безкрайни произведения и редове (47). 3. Разлагане на функцията sin x в безкраен продукт (51)
§ 7. Обобщени методи за сумиране на дивергентни редове .... 55
1. Метод на Чезаро (метод на средните аритметични) (56). 2. Метод на сумиране на Поасон - Абел (57)
§ 8. Елементарна теория на двойните и повторните серии 59
ГЛАВА 2. ФУНКЦИОНАЛНИ ПОСЛЕДОВАТЕЛНОСТИ И СЕРИИ 67
§ 1. Понятията за сходимост в точка и равномерна сходимост върху множество 67
1. Понятията функционална последователност и функционална серия (67). 2. Сходимост на функционална последователност (функционална серия) в точка и на множество (69). 3. Равномерна сходимост на множеството (70). 4. Критерий на Коши за равномерна конвергенция на последователност (серия) (72)
§ 2. Достатъчни критерии за равномерна сходимост на функционални последователности и серии 74
§ 3. Посрочно преминаване на границата 83
§ 4. Посрочно интегриране и почленно диференциране на функционални последователности и серии 87
1. Посрочна интеграция (87). 2. Посрочно диференциране (90). 3. Средна конвергенция (94)
§ 5. Равнопостоянност на последователност от функции... 97
§ 6. Степенен ред 102
1. Степенен ред и областта на неговата конвергенция (102). 2. Непрекъснатост на сумата на степенния ред (105). 3. Интегриране член по член и диференциране член по член на степенен ред (105)
§ 7. Разлагане на функции в степенен ред 107
1. Разлагане на функция в степенен ред (107). 2. Разлагане на някои елементарни функции в ред на Тейлър (108). 3. Елементарни представи за функциите на комплексна променлива (ПО). 4. Теоремата на Вайерщрас за равномерното приближение на непрекъсната функция чрез полиноми (112)
ГЛАВА 3. ДВОЙНИ И n-КРАТНИ ИНТЕГРАЛИ 117
§ 1. Определение и условия за съществуване на двоен интеграл. . . 117
1. Дефиниция на двоен интеграл за правоъгълник (117).
2. Условия за съществуване на двоен интеграл за правоъгълник (119). 3. Определение и условия за съществуването на двоен интеграл за произволна област (121). 4. Обща дефиниция на двойния интеграл (123)
"§ 2. Основни свойства на двойния интеграл 127
§ 3. Редукция на двоен интеграл до повторен единичен. . . 129 1. Случаят на правоъгълник (129). 2. Случаят на произволен регион (130)
§ 4. Тройни и n-кратни интеграли 133
§ 5. Смяна на променливи в n-кратния интеграл 138
§ 6. Изчисляване на обеми на n-мерни тела 152
§ 7. Теорема за почленно интегриране на функционални редици и серии 157
$ 8. Множество неправилни интеграли 159
1. Концепцията за множество неправилни интеграли (159). 2. Два критерия за сходимост на несобствени интеграли на неотрицателни функции (160). 3. Неправилни интеграли на знакопроменящи функции (161). 4. Главна стойност на множество неправилни интеграли (165)
ГЛАВА 4. КРИВОЛИНЕЙНИ ИНТЕГРАЛИ 167
§ 1. Понятия за криволинейни интеграли от първи и втори род. . . 167
§ 2. Условия за съществуване на криволинейни интеграли 169
ГЛАВА 5. ПОВЪРХНОСТНИ ИНТЕГРАЛИ 175
§ 1. Понятия за повърхнина и нейната площ 175
1. Концепцията за повърхност (175). 2. Помощни леми (179).
3. Площ (181)
§ 2. Повърхностни интеграли 185
ГЛАВА 6. ТЕОРИЯ НА ПОЛЕТО. ОСНОВНА ИНТЕГРАЛНА ФОРМУЛА ЗА АНАЛИЗ 190
§ 1. Нотация. Биортогонални основи. Инварианти на линейни оператори 190
1. Нотация (190). 2. Биортогонални бази в пространството E" (191). 3. Трансформации на бази. Ковариантни и контравариантни координати на вектор (192). 4. Инварианти на линеен оператор. Дивергенция и навиване (195). 5. Изрази за дивергенция и извиване на линеен оператор в ортонормална база (Sch8)
§ 2. Скаларни и векторни полета. Диференциални оператори на векторен анализ 198
!. Скаларни и векторни полета (198). 2. Дивергенция, навиване и производна по отношение на посоката на векторно поле (203). 3. Някои други формули за векторен анализ (204). 4. Заключителни бележки (206)
§ 3. Основни интегрални формули за анализ 207
1. Формула на Грийн (207). 2. Формула на Остроградски - Гаус (211). 3. Формула на Стокс (214)
§ 4. Условия за независимост на криволинейния интеграл в равнина от пътя на интегриране 218
§ 5. Някои примери за приложения на теория на полето 222
1. Изразяване на площта на плоска област по отношение на криволинейния интеграл (222). 2. Изразяване на обема по отношение на повърхностния интеграл (223)
Допълнение към глава 6. Диференциални форми в евклидовото пространство 225
§ 1. Редуващи се полилинейни форми 225
1. Линейни форми (225). 2. Билинейни форми (226). 3. Полилинейни форми (227). 4. Редуващи се многолинейни форми (228). 5. Външен продукт на редуващи се форми (228). 6. Свойства на външния продукт на редуващи се форми (231). 7. Основа в пространството на редуващи се форми (233)
§ 2. Различни форми 235
1. Основна нотация (235). 2. Външен диференциал (236). 3. Свойства на външния диференциал (237;)
§ 3. Диференцируеми преобразувания 2391
1. Дефиниция на диференцируеми преобразувания (239). 2. Свойства на преобразуването φ* (240)
§ 4. Интегриране на диференциални форми 243
1. Дефиниции (243). 2. Диференцируеми вериги (245). 3. Формула на Стокс (248). 4. Примери (250)
ГЛАВА 7. ИНТЕГРАЛИ В ЗАВИСИМОСТ ОТ ПАРАМЕТРИ 252
§ 1. Равномерно по една променлива клонене на функция от две променливи към границата по друга променлива 252
1. Връзка между равномерното в една променлива тенденция на функция от две променливи към границата в друга променлива с равномерното сближаване на функционалната последователност (252). 2. Критерият на Коши за равномерна тенденция на функция към границата (254). 3. Приложения на концепцията за равномерна конвергенция към граничната функция (254)
§ 2. Собствени интеграли в зависимост от параметъра 256
1. Свойства на интеграл в зависимост от параметър (256). 2. Случаят, когато границите на интегриране зависят от параметъра (257)
§ 3. Неправилни интеграли в зависимост от параметъра 259
1. Неправилни интеграли от първи род в зависимост от параметъра (260). 2. Неправилни интеграли от втори род в зависимост от параметъра (266)
§ 4. Приложение на теорията на интегралите в зависимост от параметър към изчисляването на някои несобствени интеграли 267
§ 5. Интеграли на Ойлер 271
към Γ-функцията (272). 2. B-функция (275). 3. Връзка между интегралите на Ойлер (277). 4. Примери (279)
§ 6. Формула на Стърлинг 280
§ 7. Кратни интеграли в зависимост от параметри 282
1. Собствени множество интеграли в зависимост от параметрите (282).
2. Неправилни множествени интеграли в зависимост от параметъра (283)
ГЛАВА 8. РЕД НА ФУРИЕ 287
§ 1. Ортонормирани системи и общи редове на Фурие 287
1. Ортонормални системи (287). 2. Концепцията за общ ред на Фурие (292)
§ 2. Затворени и пълни ортонормирани системи 295
§ 3. Затвореност на тригонометричната система и последици от това. . 298 1. Равномерно приближение на непрекъсната функция чрез тригонометрични полиноми (298). 2. Доказателство за затвореността на тригонометричната система (301). 3. Последици от затвореността на тригонометричната система (303)
§ 4. Най-простите условия за равномерна сходимост и почленно диференциране на тригонометричен ред на Фурие 304
1. Уводни бележки (304). 2. Най-простите условия за абсолютна и равномерна сходимост на тригонометричния ред на Фурие (306).
3. Най-простите условия за почленно диференциране на тригонометричен ред на Фурие (308)
§ 5. По-точни условия за равномерна конвергенция и условия за сходимост в дадена точка
1. Модул на непрекъснатост на функция. Класове по Хьолдер (309). 2. Израз за частичната сума на тригонометричния ред на Фурие (311). 3. Помощни изречения (314). 4. Принцип на локализация 317 5. Равномерна сходимост на тригонометричния ред на Фурие за функция от класа на Хьолдер (319). 6. Относно сходимостта на тригонометричния ред на Фурие на частична функция на Хьолдер (325). 7. Сумируемост на тригонометричен ред на Фурие на непрекъсната функция по метода на средните аритметични (329). 8. Заключителни бележки (331)
§ 6. Кратни тригонометрични редове на Фурие 332
1. Понятия за многократен тригонометричен ред на Фурие и неговите правоъгълни и сферични частични суми (332). 2. Модул на непрекъснатост и класове на Хьолдер за функция от N променливи (334). 3. Условия за абсолютна конвергенция на множество тригонометрични редове на Фурие (335)
ГЛАВА 9. ТРАНСФОРМАЦИЯ НА ФУРИЕ 33»
§ 1. Представяне на функция чрез интеграл на Фурие 339
1. Спомагателни твърдения (340). 2. Основна теорема. Формула за обръщане (342). 3. Примери (347)
§ 2. Някои свойства на преобразуването на Фурие 34&
§ 3. Кратен интеграл на Фурие 352