Метод за запълване на кръгове на Ойлер-Вен. Кръговете на Ойлер са фигури, които условно представляват множества

Кръговете на Ойлер са фигури, които условно представляват множества и визуално илюстрират някои свойства на операциите върху множества. В литературата кръговете на Ойлер понякога се наричат диаграми на Вен (или диаграми на Ойлер-Вен). Кръговете на Ойлер, илюстриращи основните операции върху множества, са представени на фиг. 1.2 (множествата, получени в резултат на тези операции, са маркирани със засенчване). AR 00 ABV Фиг. 1.2 Пример 1.8. Използвайки окръжности на Ойлер, първо установяваме валидността на първото отношение, което изразява разпределителното свойство на операциите обединение и пресичане на множества. 1.3, а кръгът, представляващ множеството A, е вертикално защрихован, а зоната, съответстваща на пресечната точка на множествата B и C, е хоризонтално защрихована. В резултат на това областта, представляваща множеството A U (BPS), е защрихована по един или друг начин. На фиг. 1.3.5, областта, съответстваща на обединението на множествата A и B, е вертикално защрихована, а хоризонтално - обединението на множествата A и C, така че и в двата начина областта, представляваща множеството (A U B) P (A U C) и съвпадаща с зоната, засенчена от всеки метод на фиг. 1.3, а. По този начин кръговете на Ойлер позволяват да се установи валидността на (1.10). Сега разгледайте втория закон на Де Морган (1.7), оцветен на фиг. 1.4, а зоната изобразява множеството от LIV, а незащрихованата част на правоъгълника Q (външна спрямо защрихованата част) съответства на множеството от LIV. На фиг. 1.4,5 части от правоъгълник 12, защриховани вертикално и хоризонтално, съответстват съответно на A и B. Тогава наборът на Лъжа B съответства на зоната, защрихована по поне един от посочените начини. Той съвпада с зоната, която не е защрихована на фиг. 1.4,a и съответстващ на набора от LPB, което установява валидността на (1.11). Въпроси и задачи 1.1. Записът m|n, където m,n € Z, означава, че числото m дели изцяло числото n (тогава то е делител на n). Опишете дадените множества при условие, че x € N: 1.2. Докажете следните отношения и ги илюстрирайте с окръжности на Ойлер: . 1.3. Установете в каква връзка (X C Y, X E Y или X = Y) се намират множествата X и Y, ако: a Използвайте кръгове на Ойлер за илюстрация. 1.4. Нека Aj е множеството от точки, образуващи страните на някакъв триъгълник, вписан в дадена окръжност. Опишете обединението и пресечната точка на всички такива множества, ако триъгълниците са: а) произволни; б) правилно; в) правоъгълна. Намерете IK и flAi ieN i en за дадени семейства от множества: 1.6. Посочете кои от следните връзки са неправилни и обяснете защо: 1. 7. Посочете кои от множествата са равни помежду си: . 1.8. Намерете множествата на Ли B, AG\B, A\B, BA\A и ги изобразете на числовата ос, ако A = (1.0. Считайки отсечката за универсално множество, намерете и изобразете на числовата ос допълненията на набори: 1.10.Според описания по-долу набори изберете подходяща пословица или поговорка на езика на наборите Например, ако Z е набор от хора, които сами не знаят за какво говорят, тогава записът £ Z може да се припише на поговорката „Той чу звън, но не знае къде е, тъй като това е. точно това, което те казват за човек, надарен с посоченото свойство (в този случай, характерно свойство на множеството Z, вижте 1.1 Набори от хора ft - универсалното множество от всички хора, L - вид, 5e B - необикновен,). с големи способности, S - глупави, D - умни, E - действащи по свой начин, не слушащи съвети, F - свързани с егоистични отношения, G - обещаващи много, I - не спазващи обещанията си, J - тези, които злоупотребяват служебното си положение, К - твърде самовлюбени, загрижени, Л - бъркащи се в нещо различно от собствения си бизнес, М - предприемчиви, сръчни, умеещи да подреждат нещата, П - вземащи на няколко неща едновременно, Q - тези, които работят ползотворно, S - тези, които допускат грешки, T - чувство за вина и възможност за възмездие, U - непостигане на резултати, V - предаващи себе си с поведението си, W - недалновидни, X - действат заедно, не се предават, U - опитни, опитни хора. Запис на изрази на езика на множествата heK; xeGnH; xCBCiQ; x£jr\U; xeJ; подгъв; heSPE; xCTnV; xEPDU; xGE; x € FnX; xeYnS; xeDOW. Пословици и поговорки - На жива крава Господ рог не дава. - За голям кораб, дълго пътуване. - Свободна воля. - Гарван на врана око няма да изкълве. - За глупаците закон няма. - Ако гоните два заека, няма да хванете нито един. - Котката знае чие месо е яла. - Щурец познава гнездото ти. - И старицата може да си навлече неприятности. - Пилето не е леля, прасето не е сестра. - Който се осмели, го изяде. - Простотата е достатъчна за всеки мъдър човек. - Синигерът си направи име, но не подпали морето. - Светът не е без добри хора. 1.11. Докажете валидността на отношенията (1.2). 1.12. Докажете валидността на второто от отношенията на разпределителното свойство на операциите обединение и пресичане пряко и от противоречие. 1.13. С помощта на метода на математическата индукция може да се докаже, че за всяко естествено число n са валидни неравенствата n^2n~1 и (l + :r)n ^ 1 + ns, Vs>-1 (неравенството на Бернули). 1.14. Докажете, че средноаритметичното на n положителни реални числа не е по-малко от средното им геометрично, т.е. p 1.15. Браун, Джоунс и Смит са обвинени в съучастие в банков обир. Крадците избягали с чакаща ги кола. По време на разследването Браун свидетелства, че това е син Buick, Джоунс - син Chrysler, а Смит - Ford Mustang, но не и син, какъв цвят е колата и каква е марката, ако се знае, че искат да объркат разследването от тях е посочено правилно или само марката на автомобила, или само неговия цвят 1.1c За полярната експедиция трябва да бъдат избрани шестима специалисти A, B, C, D J5: a. биолог, хидролог, синоптик, радист, Задълженията на биолог могат да се изпълняват от Е и Ж, хидролог - Б и Ж, синоптик - Ж и Ж, радист - В и Г, а механик - C и Z, лекар - A и D, но всеки от тях, ако е на експедиция, ще може да изпълнява само едно задължение, ако F не може да отиде на експедиция - без I и без C, C не може да върви с G, а D не може да върви с B?

Решаване на логически задачи с помощта на кръгове на Ойлер

кръгове на Ойлер– задачи за пресичане или обединение на множества Това е нов тип задача, в която се изисква да се намери пресечна точка на множества или тяхното обединение, като се спазват условията на задачата.

Кръговете на Ойлер са геометрична диаграма, която може да се използва за изобразяване на връзки между подмножества за визуално представяне. Методът на Ойлер е незаменим за решаването на някои проблеми и също така опростява разсъжденията. Въпреки това, преди да започнете да решавате проблема, трябва да анализирате състоянието. Понякога използването на аритметични операции е по-лесно за решаване на проблем.

Задача 1.В класа има 35 ученици. От тях 20 души се занимават с кръжоци по математика, 11 – в кръжоци по биология, а 10 деца не посещават тези кръжоци. Колко биолози се интересуват от математика?

Нека изобразим тези кръгове на фигурата. Можем например да начертаем голям кръг в училищния двор, а в него да има два по-малки. Към левия кръг, обозначен с буквата М,Да сложим всички математици и то в дясната, обозначена с буквата Б,всички биолози. Очевидно в общата част на кръговете, обозначени с буквите MB,ще се окажат същите математически биолози, които ни интересуват. Молим останалите от класа, а те са 10, да не излизат от външния кръг, най-големия. Сега нека преброим: общо в големия кръг има 35 момчета, в двата по-малки 35 - 10 = 25 момчета. Вътре в "математическия" кръг МИма 20 момчета, което означава, че те са в онази част от „биологичния“ кръг, която се намира извън кръга М,Има 25 - 20 = 5 биолози, които не посещават математическия клуб. Останалите биолози, те са 11 - 5 = = 6 души, са в общата част на кръговете MB.Така 6 биолози се интересуват от математика.

Задача 2..В класа има 38 души. От тях 16 играят баскетбол, 17 играят хокей и 18 играят футбол. Четирима обичат два спорта - баскетбол и хокей, трима - баскетбол и футбол, пет - футбол и хокей. Трима не се интересуват от баскетбол, хокей или футбол.

Колко деца се интересуват от три спорта едновременно?

Колко деца се интересуват само от един от тези спортове?

Решение. Нека използваме кръговете на Ойлер. Нека големият кръг представлява всички ученици в класа, а трите по-малки кръга B, X и F представляват съответно баскетболисти, хокеисти и футболисти. След това фигурата Z, общата част на кръговете B, X и F, изобразява деца, които обичат три спорта. От изследването на кръговете на Ойлер става ясно, че само един спорт - баскетбол - се играе от 16 - (4 + z + 3) = 9 - z; хокей сам 17 - (4 + z + 5) = 8 - z;

само футбол 18 - (3 + z + 5) = 10 - z.

Съставяме уравнение, като се възползваме от факта, че класът е разделен на отделни групи деца; На фигурата е ограден броят на децата във всяка група:

3 + (9 - z) + (8 - z) + (10 - z) + 4 + 3 + 5 + z = 38,

Така две момчета обичат и трите спорта.

Събирайки числата 9 - z, 8 - z и 10 - z, където z = 2, намираме броя на децата, които се интересуват само от един спорт: 21 души.

Двама момчета обичат и трите човешки спорта.

Интересуващите се само от един спорт: 21 души.

Проблем 3. Някои момчета от нашия клас обичат да ходят на кино. Известно е, че 15 деца са гледали филма „Обитаем остров“, 11 души са гледали филма „Хипстъри“, от които 6 са гледали „Обитаем остров“ и „Хипстъри“. Колко хора са гледали само филма “Hipsters”?

Нека начертаем два комплекта по този начин:

Поставяме 6 души, които са гледали филмите „Обитаем остров“ и „Хипстъри“ в пресечната точка на декорите.

15 – 6 = 9 – хора, гледали само „Обитаем остров“.

11 – 6 = 5 – хора, които са гледали само „Хипстъри“.

Получаваме:

Отговор. 5 души са гледали само „Хипстъри“.

Задача 4.Беше проведено проучване сред ученици от шести клас за любимите им анимационни филми. Най-популярни бяха три анимационни филма: „Снежанка и седемте джуджета“, „Спондж Боб Квадратни гащи“, „Вълкът и телето“. Общо в класа има 38 души. „Снежанка и седемте джуджета“ беше избран от 21 ученици, сред които трима посочиха и „Вълкът и телето“, шест – „Спондж Боб Квадратни гащи“, а един написа и трите анимационни филма. Анимационният филм „Вълк и теле“ беше кръстен от 13 деца, от които пет избраха две карикатури наведнъж. Колко души избраха анимационния филм "Спондж Боб Квадратни гащи"?

В тази задача има 3 множества, от условията на задачата е ясно, че всички те се пресичат помежду си. Получаваме следния чертеж:

Като се има предвид условието, че сред момчетата, които кръстиха анимационния филм „Вълк и теле“, петима избраха два анимационни филма наведнъж, получаваме:

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – момчетата избраха само „Снежанка и седемте джуджета“.

13 – 3 – 1 – 2 = 7 – момчетата гледат само „Вълкът и телето“.

Получаваме:

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – хората гледат само „Спондж Боб Квадратни гащи“.

Заключаваме, че „Спондж Боб Квадратни гащи“ е избран от 8 + 2 + 1 + 6 = 17 души.

Отговор. 17 души избраха анимационния филм „Спондж Боб Квадратни гащи“.

Проблем 5. 35 клиенти дойдоха в магазина на World of Music. От тях 20 души купиха новия диск на певеца Максим, 11 купиха диска на Земфира, 10 души не купиха нито един диск. Колко души купиха компактдискове на Максим и Земфира?

Нека изобразим тези множества върху окръжности на Ойлер.

Сега нека преброим: общо има 35 купувача в големия кръг и 35–10 = 25 купувача в двата по-малки. Според условията на проблема 20 купувачи са купили новия компактдиск на певеца Максим, следователно 25 – 20 = 5 купувачи са закупили само компактдиска на Земфира. И проблемът гласи, че 11 купувачи са купили компактдиска на Земфира, което означава, че 11 – 5 = 6 купувачи са купили и компактдискове на Максим, и на Земфира:

Отговор: 6 купувачи купиха колела от Максим и Земфира.

Проблем 6. На рафта имаше 26 магически книги за заклинания. 4 от тях са прочетени от Хари Потър и Рон. Хърмаяни прочете 7 книги, които нито Хари Потър, нито Рон бяха чели, и две книги, които Хари Потър беше чел. прочете 11 книги. Колко книги е прочел Рон?

Като се имат предвид условията на проблема, чертежът ще бъде както следва:

https://pandia.ru/text/80/398/images/image010_1.jpg" alt="22.PNG" width="243" height="158">!}

70 – (6 + 8 + 10 + 3 + 13 + 6 + 5) = 19 – момчетата не пеят, не обичат да спортуват и не участват в драматичен клуб. Само 5 души се занимават със спорт.

Отговор. 5 души се занимават само със спорт.

Задача 8.От 100 деца, посещаващи детски оздравителен лагер, 30 деца могат да карат сноуборд, 28 могат да карат ролери, 8 деца могат да карат скейтборд и сноуборд, 10 деца могат да карат скейтборд и ролери – 5, а на трите – 3. Колко момчета не знаят как да карат сноуборд, скейтборд или ролкови кънки?

Трима души притежават и трите спортни екипировки, което означава, че в общата част на кръговете вписваме числото 3. 10 души могат да карат скейтборд и ролери, а 3 от тях и сноуборд. Следователно 10-3=7 момчета могат да карат само скейтборд и ролери. По същия начин откриваме, че само 8-3=5 момчета могат да карат скейтборд и сноуборд и само 5-3=2 души могат да карат сноуборд и ролери. Ние ще въведем тези данни в съответните части. Нека сега да определим колко души могат да карат само едно спортно оборудване. 30 души знаят как да карат сноуборд, но 5+3+2=10 от тях знаят и друго оборудване, следователно 20 души знаят как да карат сноуборд само. По същия начин откриваме, че 13 деца знаят само как да карат скейтборд, а 30 деца знаят как да карат само ролери. Според условията на задачата има само 100 момчета. 20+13+30+5+7+2+3=80 – момчетата знаят как да карат поне една спортна екипировка. Следователно 20 души не знаят как да карат никакво спортно оборудване.

Отговор. 20 човека не знаят как да карат никаква спортна екипировка.

Леонхард Ойлер (1707-1783) - известен швейцарски и руски математик, член на Санкт Петербургската академия на науките, живял по-голямата част от живота си в Русия. Най-известният в статистиката, компютърните науки и логиката е кръгът на Ойлер (диаграма на Ойлер-Вен), използван за указване на обхвата на понятията и наборите от елементи.

Джон Вен (1834-1923) - английски философ и логик, съавтор на диаграмата на Ойлер-Вен.

Съвместими и несъвместими понятия

Понятието в логиката означава форма на мислене, която отразява съществените характеристики на клас от еднородни обекти. Те се обозначават с една или група думи: „карта на света“, „доминантен пети акорд“, „понеделник“ и др.

В случаите, когато елементите от обхвата на едно понятие изцяло или частично принадлежат към обхвата на друго, говорим за съвместими понятия. Ако нито един елемент от обхвата на едно понятие не принадлежи към обхвата на друго, имаме ситуация с несъвместими понятия.

От своя страна, всеки тип концепция има свой собствен набор от възможни връзки. За съвместими концепции това са следните:

идентичност (еквивалентност) на обеми;
пресичане (частично съвпадение) на обеми;
подчинение (подчинение).

За несъвместими:

подчинение (координация);
противоположно (противно);
противоречие (противоречие).

Схематично връзките между понятията в логиката обикновено се обозначават с помощта на кръгове на Ойлер-Вен.

Отношения на еквивалентност

В този случай понятията предполагат един и същи предмет. Съответно обхватът на тези понятия напълно съвпада. Например:

А - Зигмунд Фройд;

Б е основателят на психоанализата.

Квадрат;

B - равностранен правоъгълник;

C е равноъгълен ромб.

За обозначение се използват напълно съвпадащи кръгове на Ойлер.

Пресичане (частично съвпадение)

Учител;

Б е меломан.

Както се вижда от този пример, обхватът на понятията частично съвпада: определена група учители може да се окажат любители на музиката и обратното - сред любителите на музиката може да има представители на учителската професия. Подобна връзка ще възникне в случая, когато А е например „гражданин“, а Б е „шофьор“.

Подчинение (подчинение)

Схематично обозначени като кръгове на Ойлер с различни мащаби. Връзката между понятията в този случай се характеризира с това, че подчиненото понятие (по-малко по обем) се включва изцяло в подчиненото (по-голямо по обем). В същото време подчиненото понятие не изчерпва напълно подчиненото.

Например:

Дърво;

B - бор.

Концепцията B ще бъде подчинена на концепцията A. Тъй като борът принадлежи към дърветата, концепцията A става подчинена в този пример, „поглъщайки“ обема на концепцията B.

Подчинение (координация)

Отношението характеризира две или повече понятия, които се изключват взаимно, но в същото време принадлежат към определен общ родов кръг. Например:

А - кларинет;

B - китара;

C - цигулка;

D - музикален инструмент.

Понятията A, B, C не се припокриват помежду си, но всички те принадлежат към категорията на музикалните инструменти (концепция D).

противоположно (противно)

Противоположните отношения между понятията предполагат, че тези понятия принадлежат към един и същи род. Освен това едно от понятията има определени свойства (признаци), докато другото ги отрича, заменяйки ги с противоположни по природа. Така имаме работа с антоними. Например:

А - джудже;

B е гигант.

С противоположни отношения между понятията кръгът на Ойлер е разделен на три сегмента, първият от които съответства на понятието А, вторият на понятието Б, а третият на всички други възможни понятия.

Противоречие (противоречие)

В този случай и двете концепции представляват видове от един и същи род. Както в предишния пример, едно от понятията показва определени качества (признаци), а другото ги отрича. Въпреки това, за разлика от отношението на противопоставяне, второто, противоположно понятие не замества отречените свойства с други, алтернативни. Например:

А - трудна задача;

B е лесна задача (не-A).

Изразявайки обхвата на понятията от този вид, кръгът на Ойлер е разделен на две части - в този случай няма трета, междинна връзка. Така понятията също са антоними. В този случай един от тях (A) става положителен (потвърждавайки някакъв атрибут), а вторият (B или не-A) става отрицателен (отричащ съответния атрибут): „бяла книга“ - „не бяла книга“, „домашен история” - „чужда история” и др.

По този начин съотношението на обемите на понятията едно спрямо друго е ключовата характеристика, която определя кръговете на Ойлер.

Връзки между множества

Трябва също да правите разлика между понятията елементи и множества, чийто обем се отразява от кръгове на Ойлер. Понятието множество е заимствано от математическата наука и има доста широко значение. Примери в логиката и математиката го показват като определена колекция от обекти. Самите обекти са елементи на това множество. „Множество са много неща, замислени като едно“ (Георг Кантор, основател на теорията на множествата).

Обозначаването на множествата се извършва с A, B, C, D... и т.н., елементите на множествата се обозначават с малки букви: a, b, c, d... и т.н. Примери за множество могат да бъдат учениците в една и съща класна стая, книги, стоящи на определен рафт (или, например, всички книги в определена библиотека), страници в дневник, горски плодове в горска поляна и т.н.

От своя страна, ако определено множество не съдържа нито един елемент, тогава то се нарича празно и се обозначава със знака Ø. Например множеството от пресечни точки е множеството от решения на уравнението x 2 = -5.

Разрешаване на проблем

Кръговете на Ойлер се използват активно за решаване на голям брой проблеми. Примерите в логиката ясно демонстрират връзката с теорията на множествата. В този случай се използват концептуални таблици на истината. Например кръгът, обозначен с името А, представлява областта на истината. Така че областта извън кръга ще представлява лъжа. За да определите областта на диаграмата за логическа операция, трябва да засенчите областите, определящи кръга на Ойлер, в който неговите стойности за елементи A и B ще бъдат верни.

Използването на кръговете на Ойлер намери широко практическо приложение в различни индустрии. Например в ситуация на професионален избор. Ако субектът е загрижен за избора на бъдеща професия, той може да се ръководи от следните критерии:

W - какво обичам да правя?

Д - какво правя?

P - как мога да направя добри пари?

Нека изобразим това под формата на диаграма: в логиката - връзката на пресичане):

Резултатът ще бъдат онези професии, които ще бъдат в пресечната точка на трите кръга.

Окръжностите на Ойлер-Вен заемат специално място в математиката при изчисляване на комбинации и свойства. Кръговете на Ойлер от множеството елементи са затворени в изображението на правоъгълник, обозначаващ универсалното множество (U). Вместо кръгове могат да се използват и други затворени фигури, но същността не се променя. Фигурите се пресичат една с друга, според условията на задачата (в най-общия случай). Освен това тези фигури трябва да бъдат съответно маркирани. Елементите на разглежданите множества могат да бъдат точки, разположени в различни сегменти на диаграмата. Въз основа на него могат да се засенчват определени зони, като по този начин се обозначават новоформирани набори.

С тези набори е възможно да се извършват основни математически операции: събиране (сума от набори от елементи), изваждане (разлика), умножение (произведение). Освен това, благодарение на диаграмите на Ойлер-Вен, е възможно да се сравняват множества по броя на елементите, включени в тях, без да се броят.

При решаването на много проблеми, свързани с множества, техниката, базирана на използването на така наречените „окръжности на Ойлер“, се оказва незаменима. Тези диаграми се появяват за първи път в трудовете на един от най-великите математици в историята, Леонхард Ойлер, който е живял и работил дълго време в Русия и е бил член на Академията на науките в Санкт Петербург. Използването на кръгове на Ойлер добавя яснота при решаването на сложни проблеми, което прави много неща буквално очевидни. Предлагам ви да видите това сами, като използвате примера за решаване на следния проблем.

Пример за решаване на задача с помощта на кръгове на Ойлер

Тук трябва да разберете, че ако се каже, че „42 души използват метрото“, това не означава, че те не използват други видове транспорт освен метрото. Някои от тях може да ги използват. Може да има друг вид транспорт трамвай или автобус. Или може би и двете наведнъж! Въпросът на проблема е именно да се преброят хората, които използват и трите вида транспорт.

На пръв поглед дори не е ясно откъде да започне решението. Но ако помислите малко, става ясно, че трябва да действате според следния алгоритъм. Ще се опитаме да опишем всички хора (58 души), използвайки данните, известни от условието. Знаем, че автобусът се използва от 44 души. Нека добавим към това броя на хората, които използват метрото. Има само 42 от тях. Използвайки кръгове на Ойлер, тази операция може да се визуализира, както следва:

Тоест, засега имаме работа с израза 58 = 44 + 42... Знакът “…” означава, че изразът все още не е завършен. Проблемът е, че преброихме хората в пресечната точка на тези кръгове два пъти. Съответната област на диаграмата е маркирана в тъмнозелено. Следователно те трябва да бъдат извадени веднъж. Това са хора, които използват автобус и метро. Както знаете, има 31 от тях, тоест нашият „незавършен“ израз приема формата: 58 = 44 + 42 - 31... И тъмнозеленият цвят изчезва от диаграмата:

Дотук добре. Сега добавяме хора, които се возят в трамвая. Има 32 такива хора, които приемат формата: 58 = 44 + 42 - 31 + 32... Диаграмата с окръжности на Ойлер от своя страна става следната:

За щастие незащрихованата зона съдържа точно хората, чийто брой трябва да преброим. Наистина, тези бедни хора използват и трите вида транспорт всеки ден, за да стигнат до работа, защото са в пресечната точка и на трите групи. Нека означим броя на тези бедняци като . Тогава диаграмата ще изглежда така:

И уравнението ще стане:

Дадени са изчисления. Това е отговорът на проблема. Толкова много хора използват и трите вида транспорт всеки ден, за да стигнат до работа.

Ето едно просто решение. Всъщност в едно уравнение. Просто невероятно, нали?! Сега си представете как ще трябва да решите този проблем, без да използвате кръгове на Ойлер. Би било истинско мъчение. Така че за пореден път се убеждаваме, че всякакви методи за визуализация са изключително полезни при решаване на задачи по математика. Използвайте ги, това ще ви помогне при решаването на сложни задачи както на олимпиади, така и на приемни изпити по математика в лицеи и университети.

За да проверите дали разбирате добре решението на този проблем, отговорете на следните въпроси:

Колко хора използват само един вид транспорт, за да стигнат до работа?
Колко души използват точно два вида транспорт за това?

Изпратете вашите отговори и решения в коментарите.

Материалът е подготвен от Сергей Валериевич

Всеки обект или явление има определени свойства (признаци).

Оказва се, че формирането на представа за даден обект означава преди всичко способността да се разграничи от други обекти, подобни на него.

Можем да кажем, че понятието е умственото съдържание на една дума.

Концепция -това е форма на мислене, която показва обектите в техните най-общи и съществени характеристики.

Понятието е форма на мисъл, а не форма на дума, тъй като думата е само етикет, с който отбелязваме тази или онази мисъл.

Думите могат да бъдат различни, но да означават една и съща концепция. На руски - "молив", на английски - "молив", на немски - bleistift. Една и съща мисъл има различни словесни изрази на различните езици.

ВРЪЗКИ МЕЖДУ ПОНЯТИЯТА. ОЙЛЕРОВИ КРЪГОВЕ.

Понятията, които имат общи черти в съдържанието си, се наричат СРАВНИМО(„юрист” и „депутат”; „студент” и „спортист”).

Иначе понятията се разглеждат НЕСРАВНИМО(„крокодил” и „бележник”; „човек” и „параход”).

Ако освен общи черти, понятията имат и общи елементи на обем, тогава те се наричат СЪВМЕСТИМ.

Има шест вида връзки между сравними понятия. Удобно е да се означават връзки между обхватите на понятията с помощта на кръгове на Ойлер (кръгови диаграми, където всеки кръг обозначава обхвата на понятието).

ВИД ВРЪЗКА МЕЖДУ ПОНЯТИЯТА	ИЗОБРАЖЕНИЕ С ИЗПОЛЗВАНЕ НА ОЙЛЕРОВИ КРЪГОВЕ
РАВНОСТЪПНОСТ (ИДЕНТИЧНОСТ) Обхватът на понятията напълно съвпада. Тези. Това са различни по съдържание понятия, но в тях се мислят едни и същи обемни елементи.	1) A - Аристотел B - основател на логиката 2) A - квадрат B - равностранен правоъгълник
ПОДЧИНЕНОСТ (ПОДЧИНЕНОСТ) Обхватът на едно понятие се включва изцяло в обхвата на друго, но не го изчерпва.	1) A - човек B - ученик 2) A - животно B - слон
ПРЕСЪЧВАНЕ (ПРЕСЪЧВАНЕ) Обемите на две понятия частично съвпадат. Тоест понятията съдържат общи елементи, но включват и елементи, които принадлежат само на едно от тях.	1) А - адвокат Б - заместник 2) А - студент Б - спортист
КООРДИНАЦИЯ (КООРДИНАЦИЯ) Понятията, които нямат общи елементи, се включват изцяло в обхвата на третото, по-широко понятие.	1) A - животно B - котка; C - куче; D - мишка 2) A - благороден метал B - злато; C - сребро; D - платина
ПРОТИВОПОЛОЖНОСТ (КОНТРАПАРТНОСТ) Понятията А и Б не просто са включени в обхвата на третото понятие, но изглежда са на неговите противоположни полюси. Тоест понятието А има в съдържанието си такъв признак, който в понятието Б е заменен с противоположния.	1) A - бяла котка; B - червена котка (котките са черни и сиви) 2) A - горещ чай; студен чай (чаят може и топъл) т.е. концепциите А и Б не изчерпват целия обхват на концепцията, в която са включени.
ПРОТИВОРЕЧИЕ (КОНТРАДИЦИОННОСТ) Връзката между понятия, едното от които изразява наличието на някои характеристики, а другото - тяхното отсъствие, тоест просто отрича тези характеристики, без да ги заменя с други.	1) A - висока къща B - ниска къща 2) A - печеливш билет B - непечеливш билет Т.е. понятията А и не-А изчерпват целия обхват на понятието, в което са включени, тъй като между тях не може да се постави никакво допълнително понятие.