Многоъгълник, изпъкнал многоъгълник, четириъгълник. Изпъкнал многоъгълник Какъв многоъгълник се нарича изпъкнал

Концепцията за многоъгълник

Определение 1

многоъгълникнаречена геометрична фигура в равнина, която се състои от свързани по двойки сегменти, съседни от които не лежат на една права линия.

В този случай сегментите се наричат страни на полигона, а краищата им са многоъгълни върхове.

Определение 2

$n$-ъгълник е многоъгълник с $n$ върха.

Видове многоъгълници

Определение 3

Ако многоъгълник винаги лежи от едната страна на която и да е линия, минаваща през страните му, тогава многоъгълникът се нарича изпъкнал(Фиг. 1).

Фигура 1. Изпъкнал многоъгълник

Определение 4

Ако многоъгълникът лежи на противоположните страни на поне една права линия, минаваща през неговите страни, тогава многоъгълникът се нарича неизпъкнал (фиг. 2).

Фигура 2. Неизпъкнал многоъгълник

Сумата от ъглите на многоъгълник

Въвеждаме теоремата за сбора от ъгли на -ъгълник.

Теорема 1

Сумата от ъглите на изпъкнал -ъгълник се определя по следния начин

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Доказателство.

Нека ни е даден изпъкнал многоъгълник $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. Свържете неговия връх $A_1$ с всички останали върхове на дадения многоъгълник (фиг. 3).

Фигура 3

При такава връзка получаваме $n-2$ триъгълника. Сумирайки техните ъгли, получаваме сумата от ъглите на дадения -ъгълник. Тъй като сумата от ъглите на триъгълник е $(180)^0,$ получаваме, че сумата от ъглите на изпъкнал -ъгълник се определя от формулата

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Теоремата е доказана.

Концепцията за четириъгълник

Използвайки дефиницията на $2$, е лесно да се въведе дефиницията на четириъгълник.

Определение 5

Четириъгълник е многоъгълник с $4$ върха (фиг. 4).

Фигура 4. Четириъгълник

За четириъгълник понятията изпъкнал четириъгълник и неизпъкнал четириъгълник са определени по подобен начин. Класически примери за изпъкнали четириъгълници са квадрат, правоъгълник, трапец, ромб, успоредник (фиг. 5).

Фигура 5. Изпъкнали четириъгълници

Теорема 2

Сборът от ъглите на изпъкнал четириъгълник е $(360)^0$

Доказателство.

По теорема $1$ знаем, че сумата от ъглите на изпъкнал -ъгълник се определя от формулата

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Следователно сумата от ъглите на изпъкнал четириъгълник е

\[\left(4-2\right)\cdot (180)^0=(360)^0\]

Теоремата е доказана.

В този урок ще започнем нова тема и ще въведем нова концепция за нас - "многоъгълник". Ще разгледаме основните понятия, свързани с полигоните: страни, върхове, ъгли, изпъкналост и неизпъкналост. След това ще докажем най-важните факти, като теоремата за сумата от вътрешните ъгли на многоъгълник, теоремата за сумата от външните ъгли на многоъгълник. В резултат на това ще се доближим до изучаването на специални случаи на многоъгълници, които ще бъдат разгледани в следващите уроци.

Тема: Четириъгълници

Урок: Многоъгълници

В хода на геометрията изучаваме свойствата на геометричните фигури и вече разгледахме най-простите от тях: триъгълници и кръгове. В същото време обсъдихме и специфични специални случаи на тези фигури, като правоъгълни, равнобедрени и правилни триъгълници. Сега е време да поговорим за по-общи и сложни форми - полигони.

Със специален калъф полигонивече сме запознати - това е триъгълник (виж фиг. 1).

Ориз. 1. Триъгълник

Самото име вече подчертава, че това е фигура, която има три ъгъла. Следователно, в многоъгълникможе да има много от тях, т.е. повече от три. Например, нека начертаем петоъгълник (виж фиг. 2), т.е. фигура с пет ъгъла.

Ориз. 2. Петоъгълник. Изпъкнал многоъгълник

Определение.Многоъгълник- фигура, състояща се от няколко точки (повече от две) и съответния брой сегменти, които ги свързват последователно. Тези точки се наричат върховемногоъгълник и сегменти - партии. В този случай две съседни страни не лежат на една права линия и две несъседни страни не се пресичат.

Определение.правилен многоъгълнике изпъкнал многоъгълник, в който всички страни и ъгли са равни.

Всякакви многоъгълникразделя равнината на две области: вътрешна и външна. Интериорът също се нарича многоъгълник.

С други думи, например, когато говорят за петоъгълник, те имат предвид както цялата му вътрешна област, така и нейната граница. А вътрешната област също включва всички точки, които лежат вътре в многоъгълника, т.е. точката също принадлежи на петоъгълника (виж фиг. 2).

Многоъгълниците понякога се наричат ​​също n-ъгълници, за да се подчертае, че се разглежда общият случай на наличие на някакъв неизвестен брой ъгли (n части).

Определение. Периметър на многоъгълнике сумата от дължините на страните на многоъгълника.

Сега трябва да се запознаем с видовете многоъгълници. Те се делят на изпъкнали неизпъкнал. Например многоъгълникът, показан на фиг. 2 е изпъкнал, а на фиг. 3 не изпъкнали.

Ориз. 3. Неизпъкнал многоъгълник

Определение 1. МногоъгълникНаречен изпъкнал, ако при изчертаване на права линия през някоя от страните му цялата многоъгълниклежи само от едната страна на тази линия. неизпъкналса всички останали полигони.

Лесно е да си представим, че при разширяване на която и да е страна на петоъгълника на фиг. 2 всичко ще бъде от едната страна на тази права линия, т.е. той е изпъкнал. Но когато начертаете права линия през четириъгълника на фиг. 3 вече виждаме, че го разделя на две части, т.е. той е неизпъкнал.

Но има и друга дефиниция на изпъкналостта на многоъгълник.

Определение 2. МногоъгълникНаречен изпъкналако при избора на произволни две от вътрешните му точки и свързването им с отсечка всички точки от отсечката са и вътрешни точки на многоъгълника.

Демонстрация на използването на това определение може да се види в примера за конструиране на сегменти на фиг. 2 и 3.

Определение. ДиагоналМногоъгълник е всеки сегмент, който свързва два несъседни върха.

За да се опишат свойствата на многоъгълниците, има две най-важни теореми за техните ъгли: теорема за сумата на вътрешния ъгъл на изпъкнал многоъгълники теорема за сумата на външния ъгъл на изпъкнал многоъгълник. Нека ги разгледаме.

Теорема. Върху сумата от вътрешни ъгли на изпъкнал многоъгълник (н-гон).

Къде е броят на неговите ъгли (страни).

Доказателство 1. Нека изобразим на фиг. 4 изпъкнал n-ъгълник.

Ориз. 4. Изпъкнал n-ъгълник

Начертайте всички възможни диагонали от върха. Те разделят n-ъгълника на триъгълници, защото всяка от страните на многоъгълника образува триъгълник, с изключение на страните, съседни на върха. Лесно е да се види от фигурата, че сумата от ъглите на всички тези триъгълници ще бъде просто равна на сумата от вътрешните ъгли на n-ъгълника. Тъй като сумата от ъглите на всеки триъгълник е , тогава сумата от вътрешните ъгли на n-gon е:

Q.E.D.

Доказателство 2. Възможно е и друго доказателство на тази теорема. Нека начертаем подобен n-ъгълник на фиг. 5 и свържете която и да е от вътрешните му точки с всички върхове.

Ориз. 5.

Получихме разделяне на n-ъгълник на n триъгълника (колкото страни, толкова триъгълника). Сборът от всичките им ъгли е равен на сбора от вътрешните ъгли на многоъгълника и сбора от ъглите във вътрешната точка и това е ъгълът. Ние имаме:

Q.E.D.

Доказано.

Съгласно доказаната теорема се вижда, че сумата от ъглите на n-ъгълник зависи от броя на неговите страни (върху n). Например в триъгълник и сумата от ъглите е . В четириъгълник, а сборът от ъглите - т.н.

Теорема. Върху сумата от външните ъгли на изпъкнал многоъгълник (н-гон).

Къде е броят на неговите ъгли (страни), а , ..., са външни ъгли.

Доказателство. Нека начертаем изпъкнал n-ъгълник на фиг. 6 и означете неговите вътрешни и външни ъгли.

Ориз. 6. Изпъкнал n-ъгълник с маркирани външни ъгли

защото тогава външният ъгъл е свързан с вътрешния като съседен и по същия начин за други външни ъгли. Тогава:

По време на трансформациите използвахме вече доказаната теорема за сумата от вътрешните ъгли на n-ъгълник.

Доказано.

От доказаната теорема следва интересен факт, че сборът от външните ъгли на изпъкнал n-ъгълник е равен на върху броя на неговите ъгли (страни). Между другото, за разлика от сумата от вътрешни ъгли.

Библиография

1. Александров А.Д. и др. Геометрия 8 клас. - М.: Образование, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия 8 клас. - М.: Образование, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонски В.Б., Якир С.М. Геометрия 8 клас. - М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com().

Домашна работа

Тези геометрични фигури ни заобикалят навсякъде. Изпъкналите многоъгълници са естествени, като пчелни пити, или изкуствени (направени от човека). Тези фигури се използват в производството на различни видове покрития, в живописта, архитектурата, декорациите и др. Изпъкналите многоъгълници имат свойството, че всичките им точки са от една и съща страна на права линия, която минава през двойка съседни върхове на тази геометрична фигура. Има и други определения. Многоъгълник се нарича изпъкнал, ако е разположен в една полуравнина по отношение на права линия, съдържаща една от страните му.

В курса на елементарната геометрия винаги се разглеждат само прости многоъгълници. За да разберете всички свойства на такива, е необходимо да разберете тяхната природа. Като начало трябва да се разбере, че всяка линия се нарича затворена, чиито краища съвпадат. Освен това фигурата, образувана от него, може да има различни конфигурации. Полигонът е проста затворена начупена линия, в която съседните връзки не са разположени на една и съща права линия. Неговите връзки и върхове са съответно страните и върховете на тази геометрична фигура. Една проста полилиния не трябва да има самопресичания.

Върховете на многоъгълник се наричат ​​съседни, ако представляват краищата на една от страните му. Геометрична фигура, която има n-тия брой върхове и следователно n-тия брой страни, се нарича n-ъгълник. Самата начупена линия се нарича граница или контур на тази геометрична фигура. Многоъгълна равнина или плосък многоъгълник се нарича крайната част на всяка равнина, ограничена от нея. Съседните страни на тази геометрична фигура се наричат ​​сегменти на начупена линия, излизаща от един връх. Те няма да са съседни, ако идват от различни върхове на многоъгълника.

Други дефиниции на изпъкнали многоъгълници

В елементарната геометрия има още няколко еквивалентни дефиниции, показващи кой многоъгълник се нарича изпъкнал. Всички тези твърдения са еднакво верни. Изпъкнал многоъгълник е този, който има:

Всеки сегмент от линия, който свързва произволни две точки в него, лежи изцяло в него;

Всичките му диагонали лежат вътре в него;

Всеки вътрешен ъгъл не надвишава 180°.

Многоъгълникът винаги разделя равнината на 2 части. Единият от тях е ограничен (може да бъде ограден в кръг), а другият е неограничен. Първата се нарича вътрешна област, а втората е външната област на тази геометрична фигура. Този многоъгълник е пресечна точка (с други думи, общ компонент) на няколко полуравнини. Освен това всеки сегмент, който има краища в точки, принадлежащи на многоъгълника, изцяло му принадлежи.

Разновидности на изпъкнали многоъгълници

Дефиницията на изпъкнал многоъгълник не означава, че има много видове от тях. И всеки от тях има определени критерии. И така, изпъкнали многоъгълници, които имат вътрешен ъгъл от 180 °, се наричат ​​слабо изпъкнали. Изпъкнала геометрична фигура, която има три върха, се нарича триъгълник, четири - четириъгълник, пет - петоъгълник и т.н. Всеки от изпъкналите n-ъгълници отговаря на следното основно изискване: n трябва да е равно или по-голямо от 3. Всеки от триъгълниците са изпъкнали. Геометрична фигура от този тип, в която всички върхове са разположени на една и съща окръжност, се нарича вписана в окръжност. Изпъкнал многоъгълник се нарича описан, ако всичките му страни в близост до кръга го докосват. Два многоъгълника се наричат ​​равни само ако могат да бъдат насложени чрез суперпозиция. Плосък многоъгълник е многоъгълна равнина (част от равнина), която е ограничена от тази геометрична фигура.

Правилни изпъкнали многоъгълници

Правилните многоъгълници са геометрични фигури с еднакви ъгли и страни. Вътре в тях има точка 0, която е на еднакво разстояние от всеки от върховете му. Нарича се център на тази геометрична фигура. Отсечките, свързващи центъра с върховете на тази геометрична фигура, се наричат ​​апотеми, а тези, които свързват точката 0 със страните, се наричат ​​радиуси.

Правилен четириъгълник е квадрат. Равностранен триъгълник се нарича равностранен триъгълник. За такива фигури има следното правило: всеки ъгъл на изпъкнал многоъгълник е 180° * (n-2)/ n,

където n е броят на върховете на тази изпъкнала геометрична фигура.

Площта на всеки правилен многоъгълник се определя по формулата:

където p е равно на половината от сбора на всички страни на дадения многоъгълник, а h е равно на дължината на апотемата.

Свойства на изпъкнали многоъгълници

Изпъкналите многоъгълници имат определени свойства. Така че в него задължително се намира сегмент, който свързва произволни 2 точки от такава геометрична фигура. Доказателство:

Да предположим, че P е даден изпъкнал многоъгълник. Вземаме 2 произволни точки, например A, B, които принадлежат на P. Съгласно съществуващата дефиниция на изпъкнал многоъгълник тези точки са разположени от една и съща страна на правата, която съдържа всяка страна на P. Следователно AB също има това свойство и се съдържа в P. Изпъкналият многоъгълник винаги е възможно да се разбие на няколко триъгълника по абсолютно всички диагонали, които са изтеглени от един от неговите върхове.

Ъгли на изпъкнали геометрични фигури

Ъглите на изпъкнал многоъгълник са ъглите, образувани от неговите страни. Вътрешните ъгли са разположени във вътрешната област на дадена геометрична фигура. Ъгълът, образуван от неговите страни, които се събират в един връх, се нарича ъгъл на изпъкнал многоъгълник. с вътрешни ъгли на дадена геометрична фигура се наричат ​​външни. Всеки ъгъл на изпъкнал многоъгълник, разположен вътре в него, е равен на:

където x е стойността на външния ъгъл. Тази проста формула се прилага за всякакви геометрични фигури от този тип.

Като цяло за външните ъгли има следното правило: всеки ъгъл на изпъкнал многоъгълник е равен на разликата между 180° и стойността на вътрешния ъгъл. Може да има стойности в диапазона от -180° до 180°. Следователно, когато вътрешният ъгъл е 120°, външният ъгъл ще бъде 60°.

Сума от ъгли на изпъкнали многоъгълници

Сумата от вътрешните ъгли на изпъкнал многоъгълник се определя по формулата:

където n е броят на върховете на n-ъгълника.

Сумата от ъглите на изпъкнал многоъгълник е доста лесна за изчисляване. Помислете за всяка такава геометрична фигура. За да се определи сумата от ъгли вътре в изпъкнал многоъгълник, един от неговите върхове трябва да бъде свързан с други върхове. В резултат на това действие се получават (n-2) триъгълника. Знаем, че сборът от ъглите на всеки триъгълник винаги е 180°. Тъй като броят им във всеки многоъгълник е (n-2), сумата от вътрешните ъгли на такава фигура е 180° x (n-2).

Сумата от ъглите на изпъкнал многоъгълник, а именно всеки два вътрешни и съседни външни ъгъла, за дадена изпъкнала геометрична фигура винаги ще бъде 180°. Въз основа на това можете да определите сумата от всичките му ъгли:

Сумата от вътрешните ъгли е 180° * (n-2). Въз основа на това сумата от всички външни ъгли на дадена фигура се определя по формулата:

180° * n-180°-(n-2)= 360°.

Сумата от външните ъгли на всеки изпъкнал многоъгълник винаги ще бъде 360° (независимо от броя на страните).

Външният ъгъл на изпъкнал многоъгълник обикновено се представя от разликата между 180° и вътрешния ъгъл.

Други свойства на изпъкнал многоъгълник

В допълнение към основните свойства на тези геометрични форми, те имат и други, които възникват при манипулирането им. И така, всеки от многоъгълниците може да бъде разделен на няколко изпъкнали n-ъгълници. За да направите това, е необходимо да продължите всяка от страните му и да изрежете тази геометрична фигура по тези прави линии. Също така е възможно всеки многоъгълник да се раздели на няколко изпъкнали части по такъв начин, че върховете на всяка от частите да съвпадат с всичките му върхове. От такава геометрична фигура могат много лесно да се направят триъгълници, като се изчертаят всички диагонали от един връх. По този начин всеки многоъгълник в крайна сметка може да бъде разделен на определен брой триъгълници, което се оказва много полезно при решаването на различни проблеми, свързани с такива геометрични форми.

Периметър на изпъкнал многоъгълник

Отсечките от начупена линия, наречени страни на многоъгълник, най-често се обозначават със следните букви: ab, bc, cd, de, ea. Това са страните на геометрична фигура с върхове a, b, c, d, e. Сумата от дължините на всички страни на този изпъкнал многоъгълник се нарича негов периметър.

Многоъгълен кръг

Изпъкналите многоъгълници могат да бъдат вписани и описани. Окръжност, която докосва всички страни на тази геометрична фигура, се нарича вписана в нея. Такъв многоъгълник се нарича описан. Центърът на окръжност, вписана в многоъгълник, е пресечната точка на ъглополовящите на всички ъгли в дадена геометрична фигура. Площта на такъв многоъгълник е:

където r е радиусът на вписаната окръжност, а p е полупериметърът на дадения многоъгълник.

Окръжност, съдържаща върховете на многоъгълник, се нарича описана около него. Освен това тази изпъкнала геометрична фигура се нарича вписана. Центърът на окръжността, която е описана около такъв многоъгълник, е пресечната точка на така наречените ъглополовящи на всички страни.

Диагонали на изпъкнали геометрични фигури

Диагоналите на изпъкнал многоъгълник са отсечки, които свързват несъседни върхове. Всеки от тях се намира вътре в тази геометрична фигура. Броят на диагоналите на такъв n-gon се определя по формулата:

N = n (n - 3) / 2.

Броят на диагоналите на изпъкнал многоъгълник играе важна роля в елементарната геометрия. Броят на триъгълниците (K), на които всеки изпъкнал многоъгълник може да бъде разделен, се изчислява по следната формула:

Броят на диагоналите на изпъкнал многоъгълник винаги зависи от броя на неговите върхове.

Разделяне на изпъкнал многоъгълник

В някои случаи за решаване на геометрични задачи е необходимо да се раздели изпъкнал многоъгълник на няколко триъгълника с непресичащи се диагонали. Този проблем може да бъде решен чрез извеждане на конкретна формула.

Дефиниция на проблема: нека наречем правилно разделяне на изпъкнал n-ъгълник на няколко триъгълника с диагонали, които се пресичат само във върховете на тази геометрична фигура.

Решение: Да предположим, че Р1, Р2, Р3 …, Pn са върхове на този n-ъгълник. Числото Xn е броят на неговите дялове. Нека разгледаме внимателно получения диагонал на геометричната фигура Pi Pn. Във всеки от правилните дялове P1 Pn принадлежи на определен триъгълник P1 Pi Pn, който има 1

Нека i = 2 е една група правилни дялове, винаги съдържащи диагонала Р2 Pn. Броят на дяловете, включени в него, съвпада с броя на дяловете на (n-1)-ъгълника Р2 Р3 Р4… Pn. С други думи, това е равно на Xn-1.

Ако i = 3, тогава тази друга група дялове винаги ще съдържа диагоналите P3 P1 и P3 Pn. В този случай броят на правилните дялове, съдържащи се в тази група, ще съвпадне с броя на дяловете на (n-2)-гона Р3 Р4… Pn. С други думи, ще бъде равно на Xn-2.

Нека i = 4, тогава сред триъгълниците правилен дял със сигурност ще съдържа триъгълник P1 P4 Pn, към който ще граничи четириъгълникът P1 P2 P3 P4, (n-3)-ъгъл P4 P5 ... Pn. Броят на правилните дялове на такъв четириъгълник е X4, а броят на дяловете на (n-3)-ъгълник е Xn-3. Въз основа на гореизложеното можем да кажем, че общият брой правилни дялове, съдържащи се в тази група, е Xn-3 X4. Други групи, за които i = 4, 5, 6, 7… ще съдържат Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … обикновени дялове.

Нека i = n-2, тогава броят на правилните дялове в тази група ще бъде същият като броя на дяловете в групата, където i=2 (с други думи, равно на Xn-1).

Тъй като X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2…, тогава броят на всички дялове на изпъкнал многоъгълник е равен на:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Броят на правилните дялове, пресичащи един диагонал вътре

При проверка на специални случаи може да се стигне до предположението, че броят на диагоналите на изпъкнали n-ъгълници е равен на произведението на всички дялове на тази фигура с (n-3).

Доказателство за това предположение: представете си, че P1n = Xn * (n-3), тогава всеки n-гон може да бъде разделен на (n-2)-триъгълници. Освен това от тях може да бъде съставен (n-3)-четириъгълник. Заедно с това всеки четириъгълник ще има диагонал. Тъй като в тази изпъкнала геометрична фигура могат да бъдат начертани два диагонала, това означава, че във всеки (n-3)-четириъгълник е възможно да се начертаят допълнителни диагонали (n-3). Въз основа на това можем да заключим, че във всеки правилен дял е възможно да се начертаят (n-3)-диагонали, които отговарят на условията на тази задача.

Площ на изпъкнали многоъгълници

Често при решаването на различни проблеми на елементарната геометрия става необходимо да се определи площта на изпъкнал многоъгълник. Да приемем, че (Xi. Yi), i = 1,2,3… n е последователността от координати на всички съседни върхове на многоъгълник, който няма самопресичания. В този случай неговата площ се изчислява по следната формула:

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)),

където (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1).

Определяне на изпъкналостта на многоъгълник.

Алгоритъмът Kyrus-Back предполага изпъкнал многоъгълник, който да се използва като прозорец.

На практика обаче доста често възниква проблемът с отрязването от многоъгълник и информацията дали той е изпъкнал или не първоначално не е посочена. В този случай, преди да започнете процедурата за изрязване, е необходимо да определите дали дадения многоъгълник е изпъкнал или не.

Нека дадем някои дефиниции на изпъкналостта на многоъгълник

Многоъгълникът се счита за изпъкнал, ако е изпълнено едно от следните условия:

1) в изпъкнал многоъгълник всички върхове са разположени от едната страна на линията, носеща произволен ръб (от вътрешната страна на дадения ръб);

2) всички вътрешни ъгли на многоъгълника са по-малки от 180o;

3) всички диагонали, свързващи върховете на многоъгълник, лежат вътре в този многоъгълник;

4) всички ъгли на полигона се заобикалят в една и съща посока (фиг. 3.3-1).

За да разработим аналитично представяне на последния критерий за изпъкналост, ние използваме векторния продукт.

векторен продукт У два вектора а и b (Фиг. 3.3-2 а) дефиниран като:

A x, a y, a z и b x, b y, b z аи b,

- аз, й, к– единични вектори по координатните оси X , Y , Z .

Ориз.3.3 ‑ 1

Ориз.3.3 ‑ 2

Ако разгледаме двумерното представяне на многоъгълник като неговото представяне в координатната равнина XY на тримерната координатна система X ,Y ,Z (фиг. 3.3-2 b ), тогава изразът за формирането на кръстосаното произведение на вектори Uи V, където векторите Uи Vса съседни ръбове, които образуват ъгъла на многоъгълника, могат да бъдат записани като детерминанта:

Векторът на кръстосаното произведение е перпендикулярен на равнината, в която са разположени факторните вектори. Посоката на вектора на продукта се определя от правилото на гимлета или от правилото на десния винт.

За случая, показан на фиг. 3.3-2 b ), вектор У, съответстваща на векторното произведение на векторите V, U, ще има същата насоченост като посоката на координатната ос Z.

Като се вземе предвид факта, че проекциите върху оста Z на вектори-фактори в този случай са равни на нула, векторният продукт може да бъде представен като:

(3.3-1)

Единичен вектор квинаги положителен, оттук и знакът на вектора wвекторно произведение ще се определя само от знака на детерминантата D в горния израз. Обърнете внимание, че въз основа на свойството на векторното произведение, когато пренареждате факторните вектори Uи Vвекторен знак wще се промени на обратното.

От това следва, че ако като вектори Vи Uразгледайте два съседни ръба на многоъгълника, тогава редът на изброяване на векторите във векторния продукт може да бъде поставен в съответствие с обхода на разглеждания ъгъл на многоъгълника или ръбовете, образуващи този ъгъл. Това ни позволява да използваме правилото като критерий за определяне на изпъкналостта на многоъгълник:

ако за всички двойки ръбове на многоъгълника е изпълнено следното условие:

Ако знаците на векторните продукти за отделните ъгли не съвпадат, тогава многоъгълникът не е изпъкнал.

Тъй като ръбовете на многоъгълник са посочени като координати на техните крайни точки, по-удобно е да се използва детерминантата за определяне на знака на кръстосано произведение.

Изпъкнало множество от точки на равнината.

Набор от точки в равнина или в триизмерно пространство се нарича изпъкнал, ако всеки две точки от това множество могат да бъдат свързани с отсечка, която лежи изцяло в това множество.

Теорема 1. Пресечната точка на краен брой изпъкнали множества е изпъкнало множество.

Последица.Пресечната точка на краен брой изпъкнали множества е изпъкнало множество.

ъглови точки.

Граничната точка на изпъкнало множество се нарича ъглова, ако през него може да се начертае отсечка, всички точки от която не принадлежат на даденото множество.

Набори от различни форми могат да имат краен или безкраен брой ъглови точки.

Изпъкнал многоъгълник.

МногоъгълникНаречен изпъкнал, ако лежи от едната страна на всяка права, минаваща през нейните два съседни върха.

Теорема: Сборът от ъглите на изпъкнал n-ъгълник е 180˚ *(n-2)

6) Решаване на системи от m линейни неравенства с две променливи

Дадена е система от m линейни неравенства с две променливи

Знаците на някои или всички неравенства могат да бъдат ≥.

Да разгледаме първото неравенство в координатната система X1OX2. Нека изградим права линия

която е граничната линия.

Тази права разделя равнината на две полуравнини 1 и 2 (фиг. 19.4).

Полуравнина 1 съдържа началото, полуравнина 2 не съдържа началото.

За да определите от коя страна на граничната линия се намира дадена полуравнина, трябва да вземете произволна точка от равнината (по-добре началото) и да замените координатите на тази точка в неравенството. Ако неравенството е вярно, тогава полуравнината е обърната към тази точка, ако не е вярно, тогава в обратна посока от точката.

Посоката на полуравнината на фигурите е показана със стрелка.

Определение 15. Решението на всяко неравенство от системата е полуравнина, съдържаща граничната линия и разположена от едната й страна.

Определение 16. Пресечната точка на полуравнините, всяка от които се определя от съответното неравенство на системата, се нарича зоната на решение на системата (SR).

Определение 17. Областта на решение на система, която отговаря на условията за неотрицателност (xj ≥ 0, j =), се нарича област на неотрицателни или допустими решения (ODS).

Ако системата от неравенства е последователна, тогава OP и ODE могат да бъдат полиедър, неограничена многостенна област или една точка.

Ако системата от неравенства е противоречива, тогава OR и ODR са празно множество.

Пример 1

Решение. Нека намерим ИЛИ на първото неравенство: x1 + 3x2 ≥ 3. Да построим граничната линия x1 + 3x2 - 3 = 0 (фиг. 19.5). Заместете координатите на точката (0,0) в неравенството: 1∙0 + 3∙0 > 3; тъй като координатите на точката (0,0) не я удовлетворяват, тогава решението на неравенството (19.1) е полуравнина, която не съдържа точката (0,0).

По същия начин намираме решения на останалите неравенства на системата. Получаваме, че OP и ODE на системата от неравенства е изпъкнал многостен ABCD.

Намерете ъгловите точки на многостена. Точка А се определя като точка на пресичане на прави

Решавайки системата, получаваме A(3/7, 6/7).

Намираме точка B като пресечна точка на прави

От системата получаваме B(5/3, 10/3). По същия начин намираме координатите на точките C и D: C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).

Пример 2. Намерете OR и ODR на системата от неравенства

Решение. Нека да построим прави и да определим решенията на неравенства (19.5)-(19.7). OR и ODR са неограничени полиедрични области съответно ACFM и ABDEKM (фиг. 19.6).

Пример 3. Намерете OR и ODR на системата от неравенства

Решение. Намираме решения на неравенствата (19.8)-(19.10) (фиг. 19.7). OP представлява неограничената полиедрична област ABC; ODR - точка Б.

Пример 4. Намерете OP и ODS на системата от неравенства

Решение. След като построихме прави линии, намираме решения на неравенствата на системата. OR и ODR са несъвместими (фиг. 19.8).

УПРАЖНЕНИЯ

Намерете OR и ODR на системи от неравенства

Теорема. Ако xn ® a, тогава .

Доказателство. От xn ® a следва, че . В същото време:

Тези. , т.е. . Теоремата е доказана.

Теорема. Ако xn ® a, тогава последователността (xn) е ограничена.

Трябва да се отбележи, че обратното твърдение не е вярно, т.е. ограничеността на една последователност не предполага нейната конвергенция.

Например последователността няма ограничение, но

Разгъване на функции в степенни редове.

Разширяването на функциите в степенна серия е от голямо значение за решаването на различни проблеми на изучаване на функции, диференциране, интегриране, решаване на диференциални уравнения, изчисляване на граници, изчисляване на приблизителни стойности на функция.

Общо получаваме:

Помислете за начин за разширяване на функция в серия с помощта на интеграция.

С помощта на интегрирането е възможно да се разшири в редица такава функция, за която разширението в редица на нейната производна е известно или може лесно да бъде намерено.

Намираме диференциала на функцията и го интегрираме в диапазона от 0 до x.