Най-голямата и най-малката стойност на функция на две променливи в затворена област. Най-голямата и най-малката стойност на функцията

Нека функцията $z=f(x,y)$ е дефинирана и непрекъсната в някаква ограничена затворена област $D$. Нека дадената функция има крайни частични производни от първи ред в тази област (с възможното изключение на краен брой точки). За да се намерят най-големите и най-малките стойности на функция от две променливи в дадена затворена област, са необходими три стъпки от прост алгоритъм.

Алгоритъм за намиране на най-голямата и най-малката стойност на функцията $z=f(x,y)$ в затворената област $D$.

1. Намерете критичните точки на функцията $z=f(x,y)$, които принадлежат на областта $D$. Изчислете стойностите на функцията в критични точки.
2. Изследвайте поведението на функцията $z=f(x,y)$ на границата на област $D$, като намерите точките на възможните максимални и минимални стойности. Изчислете стойностите на функцията в получените точки.
3. От стойностите на функцията, получени в предишните два параграфа, изберете най-голямата и най-малката.

Какво представляват критичните точки? Покажи скрий

Под критични точкипредполагат точки, в които и двете частични производни от първи ред са равни на нула (т.е. $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ и $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) или поне една частична производна не съществува.

Често се наричат ​​точките, в които частните производни от първи ред са равни на нула стационарни точки. По този начин стационарните точки са подмножество от критични точки.

Пример #1

Намерете максималните и минималните стойности на функцията $z=x^2+2xy-y^2-4x$ в затворената област, ограничена от линиите $x=3$, $y=0$ и $y=x +1$.

Ще следваме горното, но първо ще се заемем с изчертаването на дадена област, която ще обозначим с буквата $D$. Дадени са уравненията на три прави линии, които ограничават тази област. Правата $x=3$ минава през точката $(3;0)$ успоредно на оста y (ос Oy). Правата $y=0$ е уравнението на абсцисната ос (ос Ox). Е, за да построим права линия $y=x+1$, нека намерим две точки, през които да начертаем тази права линия. Можете, разбира се, да замените няколко произволни стойности вместо $x$. Например, замествайки $x=10$, получаваме: $y=x+1=10+1=11$. Намерихме точката $(10;11)$, лежаща на правата $y=x+1$. Въпреки това е по-добре да намерите тези точки, където правата $y=x+1$ се пресича с правите $x=3$ и $y=0$. Защо е по-добре? Тъй като ще хвърлим няколко зайци с един камък: ще получим две точки за построяване на правата линия $y=x+1$ и в същото време ще разберем в кои точки тази права линия пресича други линии, които ограничават дадената ■ площ. Правата $y=x+1$ пресича правата $x=3$ в точката $(3;4)$, а правата $y=0$ - в точката $(-1;0)$. За да не затрупвам хода на решението със спомагателни обяснения, ще поставя въпроса за получаването на тези две точки в бележка.

Как са получени точките $(3;4)$ и $(-1;0)$? Покажи скрий

Да започнем от пресечната точка на правите $y=x+1$ и $x=3$. Координатите на желаната точка принадлежат както на първия, така и на втория ред, така че за да намерите неизвестни координати, трябва да решите системата от уравнения:

$$ \left \( \begin(подравнено) & y=x+1;\\ & x=3. \end(подравнено) \right. $$

Решението на такава система е тривиално: замествайки $x=3$ в първото уравнение, ще имаме: $y=3+1=4$. Точката $(3;4)$ е желаната пресечна точка на правите $y=x+1$ и $x=3$.

Сега нека намерим пресечната точка на правите $y=x+1$ и $y=0$. Отново съставяме и решаваме системата от уравнения:

$$ \left \( \begin(подравнено) & y=x+1;\\ & y=0. \end(подравнено) \right. $$

Като заместим $y=0$ в първото уравнение, получаваме: $0=x+1$, $x=-1$. Точката $(-1;0)$ е желаната пресечна точка на правите $y=x+1$ и $y=0$ (абсцисната ос).

Всичко е готово за изграждане на чертеж, който ще изглежда така:

Въпросът за бележката изглежда очевиден, защото всичко може да се види от фигурата. Въпреки това си струва да запомните, че рисунката не може да служи като доказателство. Фигурата е само илюстрация за по-голяма яснота.

Нашата област беше зададена с помощта на уравненията на линиите, които я ограничават. Очевидно е, че тези линии определят триъгълник, нали? Или не съвсем очевидно? Или може би ни е дадена различна област, ограничена от същите линии:

Разбира се, условието гласи, че зоната е затворена, така че показаната снимка е грешна. Но за да се избегнат подобни неясноти, е по-добре да се дефинират регионите чрез неравенства. Интересуваме се от частта от равнината, която се намира под правата $y=x+1$? Добре, значи $y ≤ x+1$. Нашата област трябва да се намира над линията $y=0$? Страхотно, така че $y ≥ 0$. Между другото, последните две неравенства лесно се комбинират в едно: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$

Тези неравенства дефинират домейна $D$ и го дефинират уникално, без никакви двусмислия. Но как това ни помага във въпроса в началото на бележката под линия? Това също ще помогне :) Трябва да проверим дали точката $M_1(1;1)$ принадлежи към областта $D$. Нека заместим $x=1$ и $y=1$ в системата от неравенства, които определят тази област. Ако и двете неравенства са изпълнени, тогава точката е вътре в областта. Ако поне едно от неравенствата не е изпълнено, тогава точката не принадлежи на областта. Така:

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right.$$

И двете неравенства са верни. Точката $M_1(1;1)$ принадлежи на областта $D$.

Сега е ред да изследваме поведението на функцията на границата на домейна, т.е. отидете на. Нека започнем с правата $y=0$.

Правата $y=0$ (абсцисната ос) ограничава областта $D$ при условие $-1 ≤ x ≤ 3$. Заместете $y=0$ в дадената функция $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Получената заместваща функция на една променлива $x$ ще бъде означена като $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Сега за функцията $f_1(x)$ трябва да намерим най-голямата и най-малката стойност в интервала $-1 ≤ x ≤ 3$. Намерете производната на тази функция и я приравнете на нула:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Стойността $x=2$ принадлежи към сегмента $-1 ≤ x ≤ 3$, така че ние също добавяме $M_2(2;0)$ към списъка с точки. Освен това изчисляваме стойностите на функцията $z$ в краищата на сегмента $-1 ≤ x ≤ 3$, т.е. в точките $M_3(-1;0)$ и $M_4(3;0)$. Между другото, ако точката $M_2$ не принадлежи на разглеждания сегмент, тогава, разбира се, няма да има нужда да се изчислява стойността на функцията $z$ в нея.

И така, нека изчислим стойностите на функцията $z$ в точките $M_2$, $M_3$, $M_4$. Можете, разбира се, да замените координатите на тези точки в оригиналния израз $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Например за точка $M_2$ получаваме:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Изчисленията обаче могат да бъдат малко опростени. За да направите това, си струва да запомните, че на сегмента $M_3M_4$ имаме $z(x,y)=f_1(x)$. Ще го опиша подробно:

\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \край (подравнено)

Разбира се, обикновено няма нужда от толкова подробни записи и в бъдеще ще започнем да записваме всички изчисления по по-кратък начин:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Сега нека се обърнем към правата $x=3$. Тази линия ограничава областта $D$ при условие $0 ≤ y ≤ 4$. Заместете $x=3$ в дадената функция $z$. В резултат на такова заместване получаваме функцията $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

За функцията $f_2(y)$ трябва да намерите най-голямата и най-малката стойност на интервала $0 ≤ y ≤ 4$. Намерете производната на тази функция и я приравнете на нула:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Стойността $y=3$ принадлежи на сегмента $0 ≤ y ≤ 4$, така че добавяме $M_5(3;3)$ към точките, намерени по-рано. Освен това е необходимо да се изчисли стойността на функцията $z$ в точките в краищата на отсечката $0 ≤ y ≤ 4$, т.е. в точките $M_4(3;0)$ и $M_6(3;4)$. В точка $M_4(3;0)$ вече сме изчислили стойността на $z$. Нека изчислим стойността на функцията $z$ в точките $M_5$ и $M_6$. Нека ви напомня, че на отсечката $M_4M_6$ имаме $z(x,y)=f_2(y)$, следователно:

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \край (подравнено)

И накрая, разгледайте последната граница на $D$, т.е. ред $y=x+1$. Тази линия ограничава областта $D$ при условие $-1 ≤ x ≤ 3$. Замествайки $y=x+1$ във функцията $z$, ще имаме:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Отново имаме функция на една променлива $x$. И отново, трябва да намерите най-голямата и най-малката стойност на тази функция на сегмента $-1 ≤ x ≤ 3$. Намерете производната на функцията $f_(3)(x)$ и я приравнете на нула:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Стойността $x=1$ принадлежи на интервала $-1 ≤ x ≤ 3$. Ако $x=1$, тогава $y=x+1=2$. Нека добавим $M_7(1;2)$ към списъка с точки и да разберем каква е стойността на функцията $z$ в тази точка. Точките в краищата на отсечката $-1 ≤ x ≤ 3$, т.е. точки $M_3(-1;0)$ и $M_6(3;4)$ бяха разгледани по-рано, ние вече намерихме стойността на функцията в тях.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Втората стъпка от решението е завършена. Имаме седем стойности:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Да се ​​обърнем към. Избирайки най-големите и най-малките стойности от числата, получени в третия параграф, ще имаме:

$$z_(мин)=-4; \; z_(макс.)=6.$$

Задачата е решена, остава само да запишете отговора.

Отговор: $z_(мин)=-4; \; z_(max)=6$.

Пример #2

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията $z=x^2+y^2-12x+16y$ в областта $x^2+y^2 ≤ 25$.

Нека първо изградим чертеж. Уравнението $x^2+y^2=25$ (това е граничната линия на дадената област) определя окръжност с център в началото (т.е. в точката $(0;0)$) и радиус от 5. Неравенството $x^2 +y^2 ≤ 25$ удовлетворява всички точки вътре и върху споменатата окръжност.

Ще действаме по. Нека намерим частни производни и да открием критичните точки.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Няма точки, в които намерените частни производни да не съществуват. Нека разберем в кои точки и двете частни производни са едновременно равни на нула, т.е. намерете стационарни точки.

$$ \left \( \begin(подравнено) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8.\end(подравнено) \right.$$

Имаме неподвижна точка $(6;-8)$. Намерената точка обаче не принадлежи към областта $D$. Това е лесно да се покаже, без дори да се прибягва до рисуване. Нека проверим дали неравенството $x^2+y^2 ≤ 25$, което определя нашата област $D$, е в сила. Ако $x=6$, $y=-8$, тогава $x^2+y^2=36+64=100$, т.е. неравенството $x^2+y^2 ≤ 25$ не е изпълнено. Извод: точката $(6;-8)$ не принадлежи на областта $D$.

По този начин няма критични точки вътре в $D$. Да продължим, към. Трябва да изследваме поведението на функцията на границата на дадената област, т.е. върху окръжността $x^2+y^2=25$. Можете, разбира се, да изразите $y$ чрез $x$ и след това да заместите получения израз в нашата функция $z$. От уравнението на кръга получаваме: $y=\sqrt(25-x^2)$ или $y=-\sqrt(25-x^2)$. Като заместим например $y=\sqrt(25-x^2)$ в дадената функция, ще имаме:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

По-нататъшното решение ще бъде напълно идентично с изследването на поведението на функцията на границата на областта в предишния пример № 1. Струва ми се обаче по-разумно в тази ситуация да се приложи методът на Лагранж. Ние се интересуваме само от първата част на този метод. След прилагане на първата част от метода на Лагранж ще получим точки, в които ще изследваме функцията $z$ за минималните и максималните стойности.

Съставяме функцията на Лагранж:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Намираме частните производни на функцията на Лагранж и съставяме съответната система от уравнения:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (подравнено) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(подравнено) \ вдясно. \;\; \наляво \( \begin(подравнено) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( подравнено)\дясно.$$

За да разрешим тази система, нека незабавно посочим, че $\lambda\neq -1$. Защо $\lambda\neq -1$? Нека се опитаме да заместим $\lambda=-1$ в първото уравнение:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; х-х=6; \; 0=6. $$

Полученото противоречие $0=6$ казва, че стойността $\lambda=-1$ е невалидна. Изход: $\lambda\neq -1$. Нека изразим $x$ и $y$ чрез $\lambda$:

\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\ламбда)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \край (подравнено)

Вярвам, че тук става очевидно защо изрично поставихме условието $\lambda\neq -1$. Това беше направено, за да се побере изразът $1+\lambda$ в знаменателите без намеса. Тоест, за да сте сигурни, че знаменателят е $1+\lambda\neq 0$.

Нека заместим получените изрази за $x$ и $y$ в третото уравнение на системата, т.е. в $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\ламбда)^2=4. $$

От полученото равенство следва, че $1+\lambda=2$ или $1+\lambda=-2$. Следователно имаме две стойности на параметъра $\lambda$, а именно: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Съответно получаваме две двойки стойности $x$ и $y$:

\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \край (подравнено)

И така, получихме две точки от възможен условен екстремум, т.е. $M_1(3;-4)$ и $M_2(-3;4)$. Намерете стойностите на функцията $z$ в точките $M_1$ и $M_2$:

\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \край (подравнено)

Трябва да изберем най-голямата и най-малката стойност от тези, които сме получили в първата и втората стъпка. Но в този случай изборът е малък :) Имаме:

$$z_(мин)=-75; \; z_(max)=125. $$

Отговор: $z_(мин)=-75; \; z_(макс.)=125$.

Урок по темата: "Намиране на най-големите и най-малките стойности на непрекъсната функция на сегмент"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, предложения! Всички материали се проверяват с антивирусна програма.

Наръчници и симулатори в онлайн магазина "Интеграл" за 10 клас от 1C
Решаваме задачи по геометрия. Интерактивни конструиращи задачи за 7-10 клас
Решаваме задачи по геометрия. Интерактивни задачи за изграждане в пространството

Какво ще изучаваме:

1. Намиране на най-големите и най-малките стойности според графиката на функцията.
2. Намиране на най-голямата и най-малката стойност с помощта на производната.
3. Алгоритъм за намиране на най-голямата и най-малката стойност на непрекъсната функция y=f(x) върху отсечката .
4. Най-голямата и най-малката стойност на функция на отворен интервал.
5. Примери.

Намиране на най-голямата и най-малката стойност от графиката на функция

Момчета, намерихме най-голямата и най-малката стойност на функцията преди. Разгледахме графиката на функция и заключихме къде функцията достига максималната си стойност и къде достига минималната си стойност.
Да повторим:

Графиката на нашата функция показва, че най-голямата стойност се достига в точката x= 1, тя е равна на 2. Най-малката стойност се достига в точката x= -1 и тя е равна на -2. По този начин е доста лесно да се намерят най-голямата и най-малката стойност, но не винаги е възможно да се начертае графика на функция.

Намиране на най-голямата и най-малката стойност с помощта на производната

Момчета, какво мислите, как можете да намерите най-голямата и най-малката стойност, като използвате производната?

Отговорът може да се намери в темата екстремуми на функцията. Там с теб намерихме максималните и минималните точки, нали термините са подобни. Въпреки това, не трябва да се бъркат максималните и минималните стойности с максимума и минимума на функцията, това са различни понятия.

Така че нека представим правилата:
а) Ако една функция е непрекъсната на интервал, тогава тя достига своите максимални и минимални стойности на този интервал.
б) Функцията може да достигне максималните и минималните стойности както в краищата на сегментите, така и вътре в тях. Нека разгледаме този момент по-подробно.

На фигура а функцията достига своите максимални и минимални стойности в краищата на сегментите.
На фигура b функцията достига своите максимални и минимални стойности в интервала. На фигура c минималната точка е вътре в сегмента, а максималната точка е в края на сегмента, в точка b.
в) Ако най-големите и най-малките стойности са достигнати вътре в сегмента, тогава само в стационарни или критични точки.

Алгоритъм за намиране на най-голямата и най-малката стойност на непрекъсната функция y= f(x) върху отсечка

• Намерете производната f "(x).
• Намерете стационарни и критични точки вътре в сегмента.
• Изчислете стойността на функцията в стационарни и критични точки, както и при f(a) и f(b). Изберете най-малката и най-голямата стойност, това ще бъдат точките на най-малката и най-голямата стойност на функцията.

Най-голямата и най-малката стойност на функция на отворен интервал

Момчета, как да намеря най-голямата и най-малката стойност на функция на отворен интервал? За целта използваме важна теорема, която се доказва в курса на висшата математика.

Теорема. Нека функцията y= f(x) е непрекъсната в интервала x и има вътре в този интервал единствената стационарна или критична точка x= x0, тогава:
а) ако x= x0 е максималната точка, тогава y е max. = f(x0).
б) ако x= x0 е минималната точка, тогава y min. = f(x0).

Пример

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията y= $\frac(x^3)(3)$ + 2x 2 + 4x - 5 върху отсечката
а) [-9;-1], б) [-3; 3], в) .
Решение: Намерете производната: y "= x 2 + 4x + 4.
Производната съществува в цялата област на дефиниция, тогава трябва да намерим стационарни точки.
y"= 0, с x= -2.
Ще бъдат извършени допълнителни изчисления за необходимите сегменти.
а) Намерете стойностите на функцията в краищата на сегмента и в стационарната точка.
Тогава y nam. = -122, при х = -9; y макс. = y = -7$\frac(1)(3)$, за x= -1.
б) Намерете стойностите на функцията в краищата на сегмента и в стационарната точка. Най-голямата и най-малката стойност се достигат в края на сегмента.
Тогава y nam. = -8, при x = -3, y макс. = 34, при x = 3.
в) Стационарната точка не попада в нашия сегмент, намираме стойностите в краищата на сегмента.
Тогава y nam. = 34, при x = 3, y макс. = 436, при x = 9.

Пример

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията y= x 2 - 3x + 5 + |1-x| на сегмента.
Решение: Разширете модула и трансформирайте нашата функция:
y= x 2 - 3x + 5 + 1 - x, за x ≤ 1.
y= x 2 - 3x + 5 - 1 + x, за x ≥ 1.

Тогава нашата функция ще приеме формата:
\begin(equation*)f(x)= \begin(cases) x^2 - 4x + 6,\quad if\quad x ≤ 1 \\ x^2 - 2x + 4,\quad if\quad x ≥ 1 \end(cases) \end(equation*) Намерете критични точки: \begin(equation*)f"(x)= \begin(cases) 2x - 4,\quad за \quad x ≤ 1 \\ 2x - 2, \quad when\quad x ≥ 1 \end(cases) \end(equation*) \begin(equation*)f"(x)=0,\quad when\quad x= \begin(cases) 2,\quad when \quad x ≤ 1 \\ 1,\quad за \quad x ≥ 1 \end(cases) \end(equation*) И така, имаме две стационарни точки и нека не забравяме, че нашата функция се състои от две функции за различни x.
Нека намерим най-големите и най-малките стойности на функцията, за това изчисляваме стойностите на функцията в стационарни точки и в краищата на сегмента:
Отговор: Функцията достига минималната си стойност в стационарната точка x= 1, поне y. = 3. Функцията достига максималната си стойност в края на отсечката в точката x= 4, y max. = 12.

Пример

Намерете максималната стойност на функцията y= $\frac(3x)(x^2 + 3)$ върху лъча: , b) , c) [-4;7].
б) Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията y= x 2 - 6x + 8 + |x - 2| на интервала [-1;5].
в) Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията y= $-2x-\frac(1)(2x)$ върху лъча (0;+∞).

От практическа гледна точка най-интересно е използването на производната за намиране на най-голямата и най-малката стойност на функция. С какво е свързано? Максимизиране на печалбите, минимизиране на разходите, определяне на оптималното натоварване на оборудването... С други думи, в много области на живота трябва да се реши проблемът с оптимизирането на някои параметри. И това е проблемът за намиране на най-големите и най-малките стойности на функцията.

Трябва да се отбележи, че най-голямата и най-малката стойност на функция обикновено се търсят на някакъв интервал X , който е или цялата област на функцията, или част от домейна. Самият интервал X може да бъде отсечка, отворен интервал , безкраен интервал.

В тази статия ще говорим за намирането на най-голямата и най-малката стойност на изрично дадена функция на една променлива y=f(x).

Навигация в страницата.

Най-голяма и най-малка стойност на функция - определения, илюстрации.

Нека се спрем накратко на основните определения.

Най-голямата стойност на функцията , което за всякакви неравенството е вярно.

Най-малката стойност на функцията y=f(x) на интервала X се нарича такава стойност , което за всякакви неравенството е вярно.

Тези дефиниции са интуитивни: най-голямата (най-малката) стойност на функция е най-голямата (най-малката) стойност, приета на разглеждания интервал с абсцисата.

Стационарни точкиса стойностите на аргумента, при които производната на функцията изчезва.

Защо се нуждаем от стационарни точки, когато намираме най-големите и най-малките стойности? Отговор на този въпрос дава теоремата на Ферма. От тази теорема следва, че ако диференцируема функция има екстремум (локален минимум или локален максимум) в дадена точка, тогава тази точка е неподвижна. По този начин функцията често приема своята максимална (най-малка) стойност на интервала X в една от стационарните точки от този интервал.

Също така, функция често може да приеме най-големите и най-малките стойности в точки, където първата производна на тази функция не съществува, а самата функция е дефинирана.

Нека веднага да отговорим на един от най-често срещаните въпроси по тази тема: „Винаги ли е възможно да се определи най-голямата (най-малката) стойност на функция“? Не винаги. Понякога границите на интервала X съвпадат с границите на областта на функцията или интервалът X е безкраен. А някои функции в безкрайност и на границите на областта на дефиницията могат да приемат както безкрайно големи, така и безкрайно малки стойности. В тези случаи не може да се каже нищо за най-голямата и най-малката стойност на функцията.

За яснота даваме графична илюстрация. Вижте снимките - и много ще стане ясно.

На сегмента

На първата фигура функцията приема най-големите (max y) и най-малките (min y) стойности в стационарни точки вътре в сегмента [-6;6].

Разгледайте случая, показан на втората фигура. Променете сегмента на . В този пример най-малката стойност на функцията се постига в стационарна точка, а най-голямата - в точка с абциса, съответстваща на дясната граница на интервала.

На фигура №3 граничните точки на отсечката [-3;2] са абсцисите на точките, съответстващи на най-голямата и най-малката стойност на функцията.

В открит диапазон

На четвъртата фигура функцията приема най-големите (max y) и най-малките (min y) стойности в стационарни точки в рамките на отворения интервал (-6;6).

На интервала не могат да се направят изводи за най-голямата стойност.

В безкрайност

В примера, показан на седмата фигура, функцията приема най-голямата стойност (max y ) в стационарна точка с x=1 абциса, а най-малката стойност (min y ) се достига на дясната граница на интервала. При минус безкрайност стойностите на функцията асимптотично се доближават до y=3 .

На интервала функцията не достига нито най-малката, нито най-голямата стойност. Тъй като x=2 клони надясно, стойностите на функцията клонят към минус безкрайност (правата x=2 е вертикална асимптота), а когато абсцисата клони към плюс безкрайност, стойностите на функцията асимптотично се доближават до y=3 . Графична илюстрация на този пример е показана на фигура 8.

Алгоритъм за намиране на най-голямата и най-малката стойност на непрекъсната функция върху отсечката.

Ние пишем алгоритъм, който ни позволява да намерим най-голямата и най-малката стойност на функция в сегмент.

1. Намираме домейна на функцията и проверяваме дали съдържа целия сегмент.
2. Намираме всички точки, в които първата производна не съществува и които се съдържат в отсечката (обикновено такива точки се срещат във функции с аргумент под знака на модула и в степенни функции с дробно-рационален показател). Ако няма такива точки, преминете към следващата точка.
3. Определяме всички неподвижни точки, които попадат в сегмента. За да направим това, ние го приравняваме към нула, решаваме полученото уравнение и избираме подходящите корени. Ако няма стационарни точки или нито една от тях не попада в сегмента, преминете към следващата стъпка.
4. Изчисляваме стойностите на функцията в избраните стационарни точки (ако има такива), в точки, където първата производна не съществува (ако има), а също и при x=a и x=b.
5. От получените стойности на функцията избираме най-голямата и най-малката - те ще бъдат съответно желаните максимална и най-малка стойност на функцията.

Нека анализираме алгоритъма при решаване на пример за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция в сегмент.

Пример.

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция

• на сегмента;
• на интервала [-4;-1] .

Решение.

Домейнът на функцията е цялото множество от реални числа, с изключение на нула, т.е. И двата сегмента попадат в областта на дефиницията.

Намираме производната на функцията по отношение на:

Очевидно производната на функцията съществува във всички точки на отсечките и [-4;-1] .

Стационарните точки се определят от уравнението . Единственият истински корен е x=2. Тази неподвижна точка попада в първия сегмент.

За първия случай изчисляваме стойностите на функцията в краищата на сегмента и в стационарна точка, т.е. за x=1 , x=2 и x=4 :

Следователно най-голямата стойност на функцията се достига при x=1 и най-малката стойност – при x=2 .

За втория случай изчисляваме стойностите на функцията само в краищата на сегмента [-4;-1] (тъй като не съдържа нито една стационарна точка):

Нека функцията y=f(Х)непрекъснат на сегмента [ а, б]. Както е известно, такава функция достига своите максимални и минимални стойности на този интервал. Функцията може да приема тези стойности или във вътрешна точка на сегмента [ а, б] или на границата на сегмента.

За да намерите най-голямата и най-малката стойност на функция в интервала [ а, б] необходимо:

1) намерете критичните точки на функцията в интервала ( а, б);

2) изчисляване на стойностите на функцията в откритите критични точки;

3) изчислете стойностите на функцията в краищата на сегмента, т.е х=аи x = b;

4) от всички изчислени стойности на функцията изберете най-голямата и най-малката.

Пример.Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция

на сегмента.

Намиране на критични точки:

Тези точки лежат вътре в сегмента; г(1) = ‒ 3; г(2) = ‒ 4; г(0) = ‒ 8; г(3) = 1;

в точката х= 3 и в точката х= 0.

Изследване на функция за изпъкналост и инфлексна точка.

функция г = f (х) Наречен изпъкналмежду (а, b) , ако неговата графика лежи под допирателна, начертана във всяка точка от този интервал, и се нарича изпъкнал надолу (вдлъбнат)ако нейната графика лежи над тангентата.

Нарича се точката на прехода, през която изпъкналостта се заменя с вдлъбнатост или обратно инфлексна точка.

Алгоритъм за изследване на изпъкналост и инфлексна точка:

1. Намерете критичните точки от втори род, т.е. точките, в които втората производна е равна на нула или не съществува.

2. Поставете критични точки на числовата права, като я разделите на интервали. Намерете знака на втората производна на всеки интервал; ако , то функцията е изпъкнала нагоре, ако, то функцията е изпъкнала надолу.

3. Ако при преминаване през критична точка от втори род тя смени знака и в тази точка втората производна е равна на нула, то тази точка е абсцисата на инфлексната точка. Намерете ординатата му.

Асимптоти на графиката на функция. Изследване на функция в асимптоти.

Определение.Асимптотата на графиката на функция се нарича прав, което има свойството, че разстоянието от всяка точка на графиката до тази линия клони към нула с неограничено премахване на точката на графиката от началото.

Има три вида асимптоти: вертикални, хоризонтални и наклонени.

Определение.Директно обаждане вертикална асимптотафункционална графика y = f(x), ако поне една от едностранните граници на функцията в тази точка е равна на безкрайност, т.е.

където е точката на прекъсване на функцията, тоест тя не принадлежи към областта на дефиниция.

Пример.

Д( г) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

х= 2 - точка на счупване.

Определение.Направо y=АНаречен хоризонтална асимптотафункционална графика y = f(x)при , ако

Пример.

х
г

Определение.Направо y=кx +b (к≠ 0) се извиква наклонена асимптотафункционална графика y = f(x)в , къде

Обща схема за изследване на функции и чертане.

Алгоритъм за изследване на функциятаy = f(x) :

1. Намерете домейна на функцията д (г).

2. Намерете (ако е възможно) точките на пресичане на графиката с координатните оси (с х= 0 и при г = 0).

3. Проучете за четни и нечетни функции ( г (‒ х) = г (х) ‒ паритет; г(‒ х) = ‒ г (х) ‒ странно).

4. Намерете асимптотите на графиката на функцията.

5. Намерете интервали на монотонност на функцията.

6. Намерете екстремумите на функцията.

7. Намерете интервалите на изпъкналост (вдлъбнатост) и точки на инфлексия на графиката на функцията.

8. Въз основа на проведеното изследване постройте графика на функцията.

Пример.Изследвайте функцията и начертайте нейната графика.

1) д (г) =

х= 4 - точка на счупване.

2) Кога х = 0,

(0; – 5) – точка на пресичане с ой.

При г = 0,

3) г(‒ х)= обща функция (нито четно, нито нечетно).

4) Изследваме за асимптоти.

а) вертикална

б) хоризонтална

в) намерете наклонени асимптоти, където

‒уравнение на наклонена асимптота

5) В това уравнение не се изисква да се намират интервали на монотонност на функцията.

6)

Тези критични точки разделят цялата област на функцията на интервала (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) и (10; +∞). Удобно е получените резултати да бъдат представени под формата на следната таблица.