Видео курсът "Get an A" включва всички теми, необходими за успешен преминаване на изпитапо математика за 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 профилен изпитматематика. Подходящ и за преминаване на Basic USE по математика. Ако искате да издържите изпита с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за изпита за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от изпита по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със сто точки, нито хуманист не могат без тях.

Цялата необходима теория. Бързи начиниразтвори, капани и ИЗПОЛЗВАЙТЕ тайни. Всички съответни задачи от част 1 от задачите на Банката на FIPI са анализирани. Курсът напълно отговаря на изискванията на USE-2018.

Курсът съдържа 5 големи теми, по 2,5 часа. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.

Стотици изпитни задачи. Текстови проблемии теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. теория, материал за справка, анализ на всички видове USE задачи. Стереометрия. Хитри решения, полезни измамни листове, развитие пространствено въображение. Тригонометрия от нулата - към задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Визуално обяснение на сложни понятия. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. Основа за решение предизвикателни задачи 2 части на изпита.

Паралелограмът е четириъгълник, в който противоположните страни са по двойки успоредни.

Успоредникът има всички свойства на четириъгълниците, но има и свои собствени отличителни черти. Познавайки ги, можем лесно да намерим двете страни и ъгли на успоредник.

Свойства на успоредник

1. Сборът от ъглите във всеки успоредник, както във всеки четириъгълник, е 360°.
2. Средните линии на успоредник и неговите диагонали се пресичат в една точка и го разполовяват. Тази точка се нарича център на симетрия на успоредника.
3. Противоположните страни на успоредник винаги са равни.
4. Освен това тази фигура винаги има равни противоположни ъгли.
5. Сумата от ъглите, съседни на всяка страна на успоредник, винаги е 180°.
6. Сборът от квадратите на диагоналите на успоредника е равен на удвоения сбор от квадратите на двете му съседни страни. Това се изразява с формулата:
   • d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2), където d 1 и d 2 са диагонали, a и b са съседни страни.
7. Косинусът на тъпия ъгъл винаги е по-малък от нула.

Как да намерим ъглите на даден успоредник, прилагайки тези свойства на практика? И какви други формули могат да ни помогнат за това? Обмислете конкретни задачи, които изискват: намерете ъглите на успоредника.

Намиране на ъглите на успоредник

Случай 1. Мярката на тъп ъгъл е известна, необходимо е да се намери остър ъгъл.

Пример: В успоредника ABCD ъгъл A е 120°. Намерете мярката на останалите ъгли.

Решение: Използвайки свойство № 5, можем да намерим мярката на ъгъл B, съседен на дадения в задачата ъгъл. Тя ще бъде равна на:

• 180°-120°= 60°

И сега, използвайки свойство #4, ние определяме, че двата останали ъгъла C и D са противоположни на ъглите, които вече намерихме. Ъгъл C е противоположен на ъгъл A, ъгъл D е противоположен на ъгъл B. Следователно те са равни по двойки.

• Отговор: B=60°, C=120°, D=60°

Случай 2. Известни са дължините на страните и диагоналът

В този случай трябва да използваме косинусовата теорема.

Първо можем да използваме формулата, за да изчислим косинуса на ъгъла, от който се нуждаем, и след това да използваме специална таблица, за да намерим на какво е равен самият ъгъл.

За остър ъгъл формулата е:

• cosa \u003d (A² + B² - d²) / (2 * A * B), където
• a е желаното остър ъгъл,
• A и B са страни на успоредник
• d - по-малък диагонал

За тъп ъгъл формулата се променя леко:

• cosß \u003d (A² + B² - D²) / (2 * A * B), където
• ß е тъп ъгъл,
• A и B са страни
• D - голям диагонал

Пример: трябва да намерите острия ъгъл на успоредник, чиито страни са 6 cm и 3 cm, а по-малкият диагонал е 5,2 cm

Заместваме стойностите във формулата за намиране на остър ъгъл:

• cosa = (6 2 + 3 2 - 5,2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27,04) / (2 * 18) = 17,96/36 ~ 18/36 ~1/2
• cosa = 1/2. Според таблицата откриваме, че желаният ъгъл е 60 °.

Успоредникът е четириъгълник, чиито срещуположни страни са по двойки успоредни. Освен това паралелограмът има такива свойства като противоположните страни са равни, противоположните ъгли са равни, сборът от всички ъгли е 360 градуса.

Ще имаш нужда

• Знания по геометрия.

Инструкция

1. Представете си, че един от ъглите на успоредника е равен на A. Намерете стойностите на останалите 3. По свойството на успоредника противоположните ъгли са равни. Така че ъгълът, лежащ срещу дадения, е равен на дадения и неговата стойност е равна на А.

2. Намерете останалите два ъгъла. Тъй като сборът от всички ъгли в успоредник е 360 градуса, а противоположните ъгли са равни, се оказва, че ъгълът, принадлежащ на една и съща страна с дадената, е равен на (360 - 2A) / 2. Е, или след реформиране получаваме 180 - A. Така в успоредник два ъгъла са равни на A, а другите два ъгъла са равни на 180 - A.

Забележка!
Стойността на един ъгъл не може да надвишава 180 градуса. Получените стойности на ъглите могат лесно да бъдат проверени. За целта ги съберете и ако сумата е 360, всичко е изчислено правилно.

Полезен съвет
Правоъгълникът и ромбът са частен случай на успоредник, така че всички свойства и методи за изчисляване на ъгли се отнасят и за тях.

Средно ниво

Успоредник, правоъгълник, ромб, квадрат (2019)

1. Успоредник

Сложна дума "успоредник"? А зад него стои много проста фигура.

Е, това означава, че взехме две успоредни линии:

Пресечен от още две:

А вътре - успоредник!

Какви са свойствата на успоредник?

Свойства на успоредник.

Тоест, какво може да се използва, ако в задачата е даден успоредник?

На този въпрос отговаря следната теорема:

Нека нарисуваме всичко подробно.

Какво прави първа точка от теоремата? И фактът, че ако ИМАТЕ успоредник, тогава със сигурност

Вторият параграф означава, че ако има успоредник, тогава, отново, непременно:

Е, и накрая, третата точка означава, че ако ИМАТЕ успоредник, тогава бъдете сигурни:

Вижте какво богатство на избор? Какво да използвате в задачата? Опитайте се да се съсредоточите върху въпроса за задачата или просто опитайте всичко на свой ред - някакъв „ключ“ ще свърши работа.

А сега нека си зададем още един въпрос: как да разпознаем успоредник "в лицето"? Какво трябва да се случи с един четириъгълник, за да имаме право да му дадем „титлата“ на успоредник?

На този въпрос отговарят няколко признака на успоредник.

Характеристики на успоредник.

внимание! Започнете.

Успоредник.

Обърнете внимание: ако сте намерили поне един знак в проблема си, тогава имате точно успоредник и можете да използвате всички свойства на успоредник.

2. Правоъгълник

Мисля, че изобщо няма да е новина за вас.

Първият въпрос е: успоредник ли е правоъгълникът?

Разбира се, че е! В края на краищата той има - помните ли, нашия знак 3?

И от тук, разбира се, следва, че за правоъгълник, както за всеки успоредник, и, и диагоналите са разделени от пресечната точка наполовина.

Но има правоъгълник и едно отличително свойство.

Свойство правоъгълник

Защо това свойство е отличително? Защото никой друг успоредник няма равни диагонали. Нека го формулираме по-ясно.

Обърнете внимание: за да стане правоъгълник, четириъгълникът трябва първо да се превърне в успоредник и след това да представи равенството на диагоналите.

3. Диамант

И отново въпросът е: ромбът успоредник ли е или не?

С пълно право - успоредник, защото има и (помнете нашия знак 2).

И отново, тъй като ромбът е успоредник, тогава той трябва да има всички свойства на успоредник. Това означава, че ромбът има равни противоположни ъгли, противоположните страни са успоредни и диагоналите се разделят на две от точката на пресичане.

Свойства на ромб

Погледни снимката:

Както в случая с правоъгълник, тези свойства са отличителни, тоест за всяко от тези свойства можем да заключим, че имаме не просто успоредник, а ромб.

Знаци на ромб

И отново обърнете внимание: трябва да има не просто четириъгълник с перпендикулярни диагонали, а успоредник. Уверете се, че:

Не, разбира се, че не, въпреки че неговите диагонали и са перпендикулярни, а диагоналът е ъглополовяща на ъгли u. Но ... диагоналите не се разделят, пресечната точка наполовина, следователно - НЕ е успоредник и следователно НЕ е ромб.

Тоест, квадратът е правоъгълник и ромб едновременно. Да видим какво ще излезе от това.

Ясно ли е защо? - ромб - ъглополовящата на ъгъл А, която е равна на. Така че той се разделя (и също) на два ъгъла.

Е, съвсем ясно е: диагоналите на правоъгълника са равни; диагоналите на ромба са перпендикулярни и като цяло - диагоналите на паралелограма се разделят от пресечната точка наполовина.

СРЕДНО НИВО

Свойства на четириъгълниците. Успоредник

Свойства на успоредник

внимание! думи " свойства на успоредник» означава, че ако имате задача Имауспоредник, тогава всички от следните могат да бъдат използвани.

Теорема за свойствата на успоредник.

Във всеки успоредник:

Нека да видим защо това е вярно, с други думи ЩЕ ДОКАЖЕМтеорема.

Така че защо 1) е вярно?

Тъй като е успоредник, тогава:

• като лежане на кръст
• като легнал напречно.

Следователно (на основание II: и - общо.)

Е, веднъж, тогава - това е! - доказано.

Но между другото! Ние също доказахме 2)!

Защо? Но в края на краищата (вижте снимката), това е, именно защото.

Остават само 3).

За да направите това, все още трябва да нарисувате втори диагонал.

И сега виждаме това - според знака II (ъгълът и страната "между" тях).

Доказани свойства! Да преминем към знаците.

Характеристики на успоредник

Спомнете си, че знакът на успоредник отговаря на въпроса "как да разберете?" Че фигурата е успоредник.

В иконите е така:

Защо? Би било хубаво да разберете защо - това е достатъчно. Но вижте:

Е, разбрахме защо знак 1 е верен.

Е, това е още по-лесно! Нека отново начертаем диагонал.

Което означава:

Исъщо е лесно. Но… различно!

Означава,. Еха! Но и - вътрешно едностранно при секуща!

Следователно фактът, който означава това.

И ако погледнете от другата страна, тогава те са вътрешни едностранни при секуща! И следователно.

Вижте колко е страхотно?!

И пак просто:

Абсолютно същото и.

Обърни внимание:ако сте намерили понеедин знак за успоредник във вашия проблем, значи имате точноуспоредник и можете да използвате всекисвойства на успоредник.

За пълна яснота вижте диаграмата:

Свойства на четириъгълниците. Правоъгълник.

Свойства на правоъгълника:

Точка 1) е съвсем очевидна - в крайна сметка знак 3 () е просто изпълнен

И точка 2) - много важно. Така че нека докажем това

И така, на два крака (и - общо).

Е, тъй като триъгълниците са равни, тогава техните хипотенузи също са равни.

Доказа това!

И представете си, равенството на диагоналите е отличително свойство на правоъгълника сред всички успоредници. Тоест вярно е следното твърдение

Да видим защо?

И така, (което означава ъглите на успоредника). Но още веднъж, запомнете това - успоредник, и следователно.

Означава,. И, разбира се, от това следва, че всеки от тях В крайна сметка в количеството, което трябва да дадат!

Тук доказахме, че ако успоредникизведнъж (!) ще бъдат равни диагонали, тогава това точно правоъгълник.

Но! Обърни внимание!Става въпрос за успоредници! Не всекичетириъгълник с равни диагонали е правоъгълник и самоуспоредник!

Свойства на четириъгълниците. Ромб

И отново въпросът е: ромбът успоредник ли е или не?

С пълно право - успоредник, защото има и (Запомнете нашия знак 2).

И отново, тъй като ромбът е успоредник, той трябва да има всички свойства на успоредник. Това означава, че ромбът има равни противоположни ъгли, противоположните страни са успоредни и диагоналите се разделят на две от точката на пресичане.

Но има и специални свойства. Ние формулираме.

Свойства на ромб

Защо? Е, тъй като ромбът е успоредник, тогава неговите диагонали са разделени наполовина.

Защо? Да, точно затова!

С други думи, диагоналите и се оказаха ъглополовящи на ъглите на ромба.

Както в случая с правоъгълник, тези свойства са отличителен, всеки от тях също е знак на ромб.

Ромбови знаци.

Защо така? И виж

Следователно и и двететези триъгълници са равнобедрени.

За да бъде ромб, четириъгълникът трябва първо да "стане" успоредник и след това вече да демонстрира характеристика 1 или характеристика 2.

Свойства на четириъгълниците. Квадрат

Тоест, квадратът е правоъгълник и ромб едновременно. Да видим какво ще излезе от това.

Ясно ли е защо? Квадрат - ромб - ъглополовяща на ъгъла, който е равен на. Така че той се разделя (и също) на два ъгъла.

Е, съвсем ясно е: диагоналите на правоъгълника са равни; диагоналите на ромба са перпендикулярни и като цяло - диагоналите на паралелограма се разделят от пресечната точка наполовина.

Защо? Е, просто приложете Питагоровата теорема към.

ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНА ФОРМУЛА

Свойства на паралелограма:

1. Противоположните страни са равни: , .
2. Противоположните ъгли са: , .
3. Ъглите при едната страна се събират до: , .
4. Диагоналите са разделени от пресечната точка наполовина: .

Свойства на правоъгълника:

1. Диагоналите на правоъгълник са: .
2. Правоъгълникът е успоредник (всички свойства на успоредник са изпълнени за правоъгълник).

Свойства на ромб:

1. Диагоналите на ромба са перпендикулярни: .
2. Диагоналите на ромба са ъглополовящи на неговите ъгли: ; ; ; .
3. Ромбът е успоредник (всички свойства на успоредник са изпълнени за ромб).

Квадратни свойства:

Квадратът е едновременно ромб и правоъгълник, следователно за квадрата са изпълнени всички свойства на правоъгълник и ромб. И.

ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ.

§43. ПАРАЛЕЛОГРАМ.

1. Дефиниция на успоредник.

Ако пресечем двойка успоредни прави с друга двойка успоредни прави, получаваме четириъгълник, чиито срещуположни страни са по двойки успоредни.

В четириъгълниците ABDC и EFNM (фиг. 224) BD || AC и AB || CD;
EF || MN и EM || F.N.

Четириъгълник, чиито срещуположни страни са по двойки успоредни, се нарича успоредник.

2. Свойства на успоредник.

Теорема. Диагоналът на успоредника го разделя на два равни триъгълника.

Нека има успоредник ABDC (фиг. 225), в който AB || CD и AC || BD.

Необходимо е да се докаже, че диагоналът го разделя на два равни триъгълника.

Начертайте диагонал CB в успоредник ABDC. Нека докажем това /\ КАБИНА= /\ CDB.

NE страната е обща за тези триъгълници; / ABC = / BCD, като вътрешни напречни ъгли с успоредни AB и CD и секуща CB; / DIA = / CBD, също като вътрешни напречни ъгли с успоредни AC и BD и секуща CB (§ 38).

Оттук /\ КАБИНА = /\ CDB.

По същия начин може да се докаже, че диагоналът AD разделя успоредника на два равни триъгълника ACD и ABD.

Последствия. 1 . Противоположните ъгли на успоредник са равни.

/ А = / D, това следва от равенството на триъгълниците CAB и CDB.
По същия начин, / C = / IN.

2. Противоположните страни на успоредник са равни.

AB \u003d CD и AC \u003d BD, тъй като това са страни на равни триъгълници и лежат срещу равни ъгли.

Теорема 2. Диагоналите на успоредник се разполовяват в точката на тяхното пресичане.

Нека BC и AD са диагоналите на успоредника ABDC (фиг. 226). Нека докажем, че AO = OD и CO = OB.

За да направите това, сравнете двойка противоположни триъгълници, например /\ AOB и /\ COD.

В тези триъгълници AB = CD, като срещуположни страни на успоредник;
/ 1 = / 2, като вътрешни ъгли напречно лежащи на успоредни AB и CD и секуща AD;
/ 3 = / 4 по същата причина, тъй като AB || CD и CB са техният секанс (§ 38).

Оттук следва, че /\ AOB = /\ COD. А в равните триъгълници срещу равните ъгли има равни страни. Следователно AO = OD и CO = OB.

Теорема 3. Сумата от ъглите, съседни на едната страна на успоредника, е равна на 2 д .

Докажете себе си.

3. Признаци на успоредник.

Теорема. Ако противоположните страни на четириъгълник са равни по двойки, тогава четириъгълникът е успоредник.

Нека в четириъгълника ABDC (фиг. 227) AB = CD и AC = BD. Нека докажем, че при това условие AB || CD и AC || BD, т.е. четириъгълникът ABDC е успоредник.
Нека свържем с отсечка два противоположни върха на този четириъгълник, например C и B. Четириъгълникът ABDC е разделен на два равни триъгълника: /\ КАБИНА и /\ CDB. Наистина, те имат обща страна CB, AB \u003d CD и AC \u003d BD по условие. Така трите страни на единия триъгълник са съответно равни на трите страни на другия, така че /\ КАБИНА = /\ CDB.

В равни триъгълници vs. равни странилъжа равни ъгли, Ето защо
/ 1 = / 2 и / 3 = / 4.

Ъгли 1-ви и 2-ри са вътрешни напречни ъгли при пресичането на правите AB и CD с правата CB. Следователно AB || CD.

По същия начин ъглите 3-ти и 4-ти са вътрешни кръстосани ъгли при пресичането на правите CA и BD с правата CB, следователно CA || BD (§ 35).

По този начин противоположните страни на четириъгълника ABDC са по двойки успоредни, следователно той е успоредник, което трябваше да се докаже.

Теорема 2. Ако две срещуположни страни на четириъгълник са равни и успоредни, тогава четириъгълникът е успоредник.

Нека в четириъгълника ABDC AB = CD и AB || CD. Нека докажем, че при тези условия четириъгълникът ABDC е успоредник (фиг. 228).

С отсечка CB свързваме върховете C и B. Поради успоредността на правите AB и CD ъглите 1 и 2 като вътрешни напречни ъгли са равни (§ 38).
След това триъгълника CAB равно на триъгълникСDВ, тъй като имат обща страна CB,
AB \u003d CD по условието на теоремата и / 1 = / 2 като доказано. От равенството на тези триъгълници следва равенството на ъглите 3 и 4, тъй като те лежат срещу равни страни в равни триъгълници.

Но ъгли 3 и 4 са вътрешни напречни ъгли, образувани при пресичането на правите AC и BD от правата CB, следователно AC || BD (§ 35), т.е. четириъгълник
ABDC е успоредник.

Упражнения.

1. Докажете, че ако диагоналите на четириъгълник в точката на тяхното взаимно пресичане са разделени наполовина, то този четириъгълник е успоредник.

2. Докажете, че четириъгълник, чиято сума вътрешни ъгли, съседна на всяка от двете съседни страни, е равно на 2 д, е успоредник.

3. Постройте успоредник от двете страни и ъгъл между тях:

а) използване на паралелизъм противоположни страниуспоредник;
б) използвайки равенството на противоположните страни на успоредника.

4. Построете успоредник по две съседни странии диагонали.

5. Построете успоредник по двата му диагонала и ъгъла между тях.

6. Постройте успоредник по неговата страна и два диагонала.