Първо ниво

Координати и вектори. Изчерпателно ръководство (2019)

В тази статия вие и аз ще започнем обсъждане на една „вълшебна пръчица“, която ще ви позволи да намалите много проблеми в геометрията до проста аритметика. Тази „пръчица” може много да улесни живота ви, особено когато се чувствате несигурни в изграждането на пространствени фигури, сечения и т.н. Всичко това изисква известно въображение и практически умения. Методът, който ще започнем да разглеждаме тук, ще ви позволи да се абстрахирате почти напълно от всички видове геометрични конструкции и разсъждения. Методът се нарича "координативен метод". В тази статия ще разгледаме следните въпроси:

1. Координатна равнина
2. Точки и вектори на равнината
3. Изграждане на вектор от две точки
4. Дължина на вектора (разстояние между две точки).
5. Координати на средната точка
6. Точково произведение на вектори
7. Ъгъл между два вектора

Мисля, че вече се досетихте защо координатният метод се нарича така? Вярно е, че получи такова име, тъй като работи не с геометрични обекти, а с тях числови характеристики(координати). А самата трансформация, която прави възможно преминаването от геометрия към алгебра, се състои във въвеждането на координатна система. Ако оригиналната фигура е плоска, тогава координатите са двуизмерни, а ако фигурата е триизмерна, тогава координатите са триизмерни. В тази статия ще разгледаме само двумерния случай. И основната цел на статията е да ви научи как да използвате някои основни техники на координатния метод (те понякога се оказват полезни при решаване на задачи по планиметрия в част Б на Единния държавен изпит). Следващите два раздела по тази тема са посветени на обсъждането на методите за решаване на задачи C2 (проблемът на стереометрията).

Къде би било логично да започнем обсъждането на метода на координатите? Вероятно с концепцията за координатна система. Спомнете си кога я срещнахте за първи път. Струва ми се, че в 7 клас, когато разбрахте за съществуването линейна функция, например. Нека ви напомня, че го изградихте точка по точка. Помниш ли? Избрахте произволно число, поставихте го във формулата и изчислихте по този начин. Например ако, тогава, ако, тогава и т.н. Какво получихте в резултат? И получихте точки с координати: и. След това начертахте „кръст“ (координатна система), избрахте скала върху него (колко клетки ще имате като един сегмент) и отбелязахте точките, които сте получили върху него, които след това свържете с права линия, полученото линия е графиката на функцията.

Има няколко неща, които трябва да ви бъдат обяснени малко по-подробно:

1. Избирате един сегмент от съображения за удобство, така че всичко да стои красиво и компактно в картината

2. Приема се, че оста върви отляво надясно, а оста върви отдолу нагоре

3. Те се пресичат под прав ъгъл, а точката на тяхното пресичане се нарича начало. Отбелязва се с буква.

4. В записа на координатата на точка например отляво в скоби е координатата на точката по оста, а отдясно по оста. По-специално, просто означава, че точката

5. За да зададете всяка точка на координатна ос, трябва да посочите координатите му (2 числа)

6. За всяка точка, лежаща на оста,

7. За всяка точка, лежаща на оста,

8. Оста се нарича ос x

9. Оста се нарича у-ос

Сега нека направим следващата стъпка с вас: маркирайте две точки. Свържете тези две точки с линия. И нека поставим стрелката, сякаш рисуваме отсечка от точка до точка: тоест ще направим нашата отсечка насочена!

Помните ли какво е другото име за насочен сегмент? Точно така, нарича се вектор!

Така, ако свържем точка с точка, и началото ще бъде точка А, а краят ще бъде точка Б,тогава получаваме вектор. Вие също сте правили тази конструкция в 8 клас, помните ли?

Оказва се, че векторите, подобно на точките, могат да бъдат обозначени с две числа: тези числа се наричат ​​координати на вектора. Въпрос: мислите ли, че е достатъчно да знаем координатите на началото и края на вектора, за да намерим неговите координати? Оказва се, че да! И е много лесно да се направи:

Така, тъй като във вектора точката е началото и краят, векторът има следните координати:

Например, ако, тогава координатите на вектора

Сега нека направим обратното, да намерим координатите на вектора. Какво трябва да променим за това? Да, трябва да размените началото и края: сега началото на вектора ще бъде в точка, а краят в точка. Тогава:

Погледнете внимателно, каква е разликата между векторите и? Единствената им разлика са знаците в координатите. Те са противоположни. Този факт е написан така:

Понякога, ако не е конкретно посочено коя точка е началото на вектора и коя е краят, тогава векторите се означават не с две главни букви, но една малка буква, например: и т.н.

Сега малко практикаи намерете координатите на следните вектори:

Преглед:

Сега решете проблема малко по-трудно:

Векторен тор с on-cha-scrap в точка има co-or-di-on-you. Намерете-ди-те абс-цис-су точки.

Всичко това е доста прозаично: Нека са координатите на точката. Тогава

Компилирах системата, като определих какви са координатите на един вектор. Тогава точката има координати. Интересуваме се от абсцисата. Тогава

Отговор:

Какво друго можете да правите с вектори? Да, почти всичко е същото като при обикновените числа (с изключение на това, че не можете да разделяте, но можете да умножавате по два начина, единият от които ще обсъдим тук малко по-късно)

1. Векторите могат да се подреждат един с друг
2. Векторите могат да се изваждат един от друг
3. Векторите могат да бъдат умножени (или разделени) по произволно различно от нула число
4. Векторите могат да се умножават един с друг

Всички тези операции са доста визуални геометрично представяне. Например правилото на триъгълника (или успоредника) за събиране и изваждане:

Векторът се разтяга, свива или променя посоката си, когато се умножи или раздели на число:

Тук обаче ще ни интересува въпросът какво се случва с координатите.

1. Когато събираме (изваждаме) два вектора, добавяме (изваждаме) техните координати елемент по елемент. Това е:

2. При умножаване (разделяне) на вектор с число, всичките му координати се умножават (разделят) на това число:

Например:

· Намерете-ди-сумата от ко-или-ди-нат век-към-ра.

Нека първо намерим координатите на всеки от векторите. И двете имат един и същ произход - началната точка. Краищата им са различни. Тогава, . Сега изчисляваме координатите на вектора Тогава сумата от координатите на получения вектор е равна на.

Отговор:

Сега решете сами следния проблем:

· Намерете сбора от координатите на вектора

Ние проверяваме:

Нека сега разгледаме следния проблем: имаме две точки координатна равнина. Как да намерим разстоянието между тях? Нека първата точка е и втората. Нека означим разстоянието между тях като . Нека направим следния чертеж за по-голяма яснота:

Какво съм направил? Първо се свързах точки и, асъщо начерта линия, успоредна на оста от точката, и начерта линия, успоредна на оста от точката. Дали са се пресичали в една точка, образувайки чудесна фигура? Защо е прекрасна? Да, вие и аз знаем почти всичко правоъгълен триъгълник. Е, Питагоровата теорема, със сигурност. Желаният сегмент е хипотенузата на този триъгълник, а сегментите са краката. Какви са координатите на точката? Да, те са лесни за намиране от снимката: Тъй като сегментите са успоредни на осите и съответно техните дължини са лесни за намиране: ако означим дължините на сегментите съответно през, тогава

Сега нека използваме Питагоровата теорема. Знаем дължините на краката, ще намерим хипотенузата:

По този начин разстоянието между две точки е корен от сумата на квадратите на разликите от координатите. Или - разстоянието между две точки е дължината на отсечката, която ги свързва. Лесно се вижда, че разстоянието между точките не зависи от посоката. Тогава:

От това правим три извода:

Нека се упражним малко в изчисляването на разстоянието между две точки:

Например, ако, тогава разстоянието между и е

Или да отидем по друг начин: намерете координатите на вектора

И намерете дължината на вектора:

Както виждате, същото е!

Сега практикувайте малко сами:

Задача: намерете разстоянието между дадените точки:

Ние проверяваме:

Ето още няколко задачи за същата формула, макар че звучат малко по-различно:

1. Намерете квадрата на дължината на клепача до ра.

2. Най-ди-те квадрат на дължината на клепача до ра

Предполагам, че можете да се справите лесно с тях? Ние проверяваме:

1. И това е за внимание) Вече намерихме координатите на векторите преди: . Тогава векторът има координати. Квадратът на неговата дължина ще бъде:

2. Намерете координатите на вектора

Тогава квадратът на неговата дължина е

Нищо сложно, нали? Проста аритметика, нищо повече.

Следващите пъзели не могат да бъдат еднозначно класифицирани, те са по-скоро за обща ерудиция и способността да рисувате прости картини.

1. Намерете-ди-тези синус на ъгъла на-кло-на-от-срязване, свържете-една-n-та точка, с абсцисната ос.

и

Как ще го направим тук? Трябва да намерите синуса на ъгъла между и оста. И къде можем да търсим синуса? Точно така, в правоъгълен триъгълник. И така, какво трябва да направим? Изградете този триъгълник!

Тъй като координатите на точката и, тогава сегментът е равен, и сегментът. Трябва да намерим синуса на ъгъла. Нека ви напомня, че тогава синусът е отношението на срещуположния катет към хипотенузата

Какво ни остава да правим? Намерете хипотенузата. Можете да го направите по два начина: като използвате Питагоровата теорема (краката са известни!) или като използвате формулата за разстоянието между две точки (всъщност същото като първия метод!). Ще тръгна по втория път:

Отговор:

Следващата задача ще ви се стори още по-лесна. Тя - на координатите на точката.

Задача 2.От точката per-pen-di-ku-lar се спуска върху абс-цисната ос. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Да направим чертеж:

Основата на перпендикуляра е точката, в която той пресича оста x (ос) за мен това е точка. Фигурата показва, че има координати: . Интересува ни абсцисата - тоест компонентата "X". Тя е равна.

Отговор: .

Задача 3.При условията на предишната задача намерете сумата от разстоянията от точката до координатните оси.

Задачата като цяло е елементарна, ако знаеш какво е разстоянието от точка до осите. Ти знаеш? Надявам се, но все пак напомням:

И така, в моя чертеж, разположен малко по-високо, вече съм изобразил един такъв перпендикуляр? Каква ос е? към оста. И каква е дължината му тогава? Тя е равна. Сега сами начертайте перпендикуляр на оста и намерете дължината му. Ще бъде равно, нали? Тогава сборът им е равен.

Отговор: .

Задача 4.В условията на задача 2 да се намери ординатата на точката, симетрична на точката спрямо оста x.

Мисля, че интуитивно разбирате какво е симетрия? Много обекти го имат: много сгради, маси, самолети, много геометрични фигури: топка, цилиндър, квадрат, ромб и др. Грубо казано, симетрията може да се разбира по следния начин: една фигура се състои от две (или повече) еднакви половини. Тази симетрия се нарича аксиална. Какво тогава е ос? Това е точно линията, по която фигурата може, условно казано, да бъде "нарязана" на еднакви половини (на тази снимка оста на симетрия е права):

Сега да се върнем към нашата задача. Знаем, че търсим точка, която е симетрична спрямо оста. Тогава тази ос е оста на симетрия. И така, трябва да маркираме точка, така че оста да разрязва сегмента на две равни части. Опитайте се сами да маркирате такава точка. Сега сравнете с моето решение:

Вие направихте ли същото? Добре! В намерената точка ни интересува ординатата. Тя е равна

Отговор:

Сега ми кажете, след като помислих за секунда, каква ще бъде абсцисата на точката, симетрична на точка А спрямо оста у? Какъв е отговора ти? Правилен отговор:.

AT общ случайПравилото може да се напише така:

Точка, симетрична на точка спрямо оста x, има координатите:

Точка, симетрична на точка спрямо оста y, има координати:

Е, сега наистина е страшно. задача: Намерете координатите на точка, която е симетрична на точка, спрямо началото. Вие първо помислете за себе си, а след това погледнете моята рисунка!

Отговор:

Сега задача с успоредник:

Задача 5: Точките са ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Намерете-dee-te или-dee-on-tu точки.

Можете да решите този проблем по два начина: логически и координатен метод. Първо ще приложа метода на координатите и след това ще ви кажа как можете да решите друго.

Съвсем ясно е, че абсцисата на точката е равна. (лежи върху перпендикуляра, прекаран от точката към оста x). Трябва да намерим ординатата. Нека се възползваме от факта, че нашата фигура е успоредник, което означава, че. Намерете дължината на отсечката, като използвате формулата за разстоянието между две точки:

Спускаме перпендикуляра, свързващ точката с оста. Пресечната точка е отбелязана с буква.

Дължината на отсечката е равна. (намерете проблема сами, където обсъдихме този момент), тогава ще намерим дължината на сегмента, използвайки теоремата на Питагор:

Дължината на сегмента е точно същата като неговата ордината.

Отговор: .

Друго решение (просто ще дам снимка, която го илюстрира)

Напредък на решението:

1. Харчете

2. Намерете координатите и дължината на точката

3. Докажете това.

Друг проблем с дължината на рязане:

Точките са-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Намерете дължината на неговата средна линия, par-ral-lel-noy.

Помните ли какво е средна линиятриъгълник? Тогава за вас тази задача е елементарна. Ако не помните, тогава ще ви напомня: средната линия на триъгълник е линията, която свързва средните точки противоположни страни. Тя е успоредна на основата и равна на половината от нея.

Основата е сегмент. Трябваше да търсим дължината му по-рано, тя е равна. Тогава дължината на средната линия е наполовина по-малка и равна.

Отговор: .

Коментар: Този проблем може да се реши по друг начин, на който ще се спрем малко по-късно.

Междувременно, ето няколко задачи за вас, практикувайте върху тях, те са доста прости, но помагат да „напълните ръката си“, като използвате метода на координатите!

1. Точките се появяват-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Намерете дължината на средната му линия.

2. Точки и yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Намерете-dee-te или-dee-on-tu точки.

3. Намерете дължината от разреза, свържете втората точка и

4. Намерете-ди-те зоната за-червения-шен-ной фи-гу-ри на равнината ко-или-ди-нат-ной.

5. Окръжност с център na-cha-le ko-or-di-nat минава през точка. Намерете нейните ра-ди-мустаци.

6. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, describe-san-noy близо до правия ъгъл-no-ka, върховете-shi-ny на нещо-ro-go имат co-or - ди-на-ти ко-от-отговор-но

Решения:

1. Известно е, че средната линия на трапец е равна на половината от сбора на неговите основи. Основата е равна, но основата. Тогава

Отговор:

2. Най-лесният начин да решите тази задача е да забележите това (правило на успоредник). Изчислете координатите на векторите и не е трудно: . При добавяне на вектори се добавят координатите. Тогава има координати. Точката има същите координати, тъй като началото на вектора е точка с координати. Интересуваме се от ординатата. Тя е равна.

Отговор:

3. Действаме веднага по формулата за разстоянието между две точки:

Отговор:

4. Погледнете картината и кажете между кои две фигури е „притисната“ защрихованата област? Той е притиснат между два квадрата. Тогава площта на желаната фигура е равна на площта на големия квадрат минус площта на малкия. Страната на малкия квадрат е сегмент, свързващ точките, а дължината му е

Тогава площта на малкия квадрат е

Правим същото с голям квадрат: страната му е сегмент, свързващ точките, а дължината му е равна на

Тогава площта на големия квадрат е

Площта на желаната фигура се намира по формулата:

Отговор:

5. Ако окръжността има началото като център и минава през точка, тогава нейният радиус ще бъде точно равен на дължинатасегмент (направете чертеж и ще разберете защо това е очевидно). Намерете дължината на този сегмент:

Отговор:

6. Известно е, че радиусът на окръжност, описана около правоъгълник, е равен на половината от неговия диагонал. Нека намерим дължината на всеки от двата диагонала (все пак в правоъгълник те са равни!)

Отговор:

Е, успя ли всичко? Не беше толкова трудно да го разбера, нали? Тук има само едно правило - да можете да направите визуална картина и просто да "четете" всички данни от нея.

Остава ни много малко. Има буквално още две точки, които бих искал да обсъдя.

Нека се опитаме да разрешим този прост проблем. Нека две точки и да бъдат дадени. Намерете координатите на средата на сегмента. Решението на този проблем е следното: нека точката е желаната среда, тогава тя има координати:

Това е: координати на средата на отсечката = средноаритметично от съответните координати на краищата на отсечката.

Това правило е много просто и обикновено не създава затруднения на учениците. Нека да видим при какви проблеми и как се използва:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-us from-cut, connect-nya-yu-th-th-th точка и

2. Точките са yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Find-di-te or-di-na-tu точки на re-re-se-che-niya на неговия dia-go-on-lei.

3. Намерете-di-te abs-cis-su на центъра на кръга, опишете-san-noy близо до правоъгълника-no-ka, върховете-shi-имаме нещо-ro-go co-or-di- на-ти ко-от-вет-ственно-но.

Решения:

1. Първата задача е просто класика. Действаме незабавно, като определяме средата на сегмента. Тя има координати. Ординатата е равна.

Отговор:

2. Лесно се вижда, че дадения четириъгълник е успоредник (дори ромб!). Можете да го докажете сами, като изчислите дължините на страните и ги сравните една с друга. Какво знам за успоредник? Диагоналите му се разполовяват от пресечната точка! Аха! Коя е пресечната точка на диагоналите? Това е средата на някой от диагоналите! Ще избера по-специално диагонала. Тогава точката има координати.Ординатата на точката е равна на.

Отговор:

3. Какъв е центърът на окръжността, описана около правоъгълника? Тя съвпада с пресечната точка на неговите диагонали. Какво знаете за диагоналите на правоъгълник? Те са равни и пресечната точка е разделена наполовина. Задачата е намалена до предишната. Вземете например диагонала. Тогава, ако е центърът на описаната окръжност, тогава е средата. Търся координати: Абсцисата е равна.

Отговор:

Сега се упражнявайте малко сами, аз ще дам само отговорите на всеки проблем, за да можете да проверите сами.

1. Nai-di-te ra-di-us кръг-но-сти, опишете-сан-ной близо до триъгълника-но-ка, върховете на някой-ро-го имат ко-или-ди -не господари

2. Намерете-di-te или-di-na-tu центъра на кръга, опишете san-noy близо до триъгълника-no-ka, върховете-shi-имаме нещо-ro-go координати

3. Какъв вид ra-di-y-sa трябва да има кръг с център в точка, така че да докосва абс-цисната ос?

4. Find-di-te or-di-on-that point of re-re-se-che-ing на оста и от-изрязване, свържете-ня-ю-та точка и

Отговори:

Всичко получи ли се? Силно се надявам на това! Сега - последния тласък. Сега бъдете особено внимателни. Материалът, който сега ще обясня, е подходящ не само за задачите с прости координатни методи в част B, но също така се намира в задача C2.

Кое от обещанията си все още не съм спазил? Помните ли какви операции върху вектори обещах да въведа и кои в крайна сметка въведох? Сигурен ли съм, че не съм забравил нещо? забравих! Забравих да обясня какво означава умножение на вектори.

Има два начина за умножаване на вектор по вектор. В зависимост от избрания метод ще получим обекти от различен характер:

Векторният продукт е доста сложен. Как да го направите и защо е необходимо, ще обсъдим с вас в следващата статия. И тук ще се съсредоточим върху скаларното произведение.

Вече има два начина, които ни позволяват да го изчислим:

Както се досещате, резултатът трябва да е същият! Така че нека първо разгледаме първия начин:

Точково произведение чрез координати

Намерете: - обща нотация за точково произведение

Формулата за изчисление е следната:

Това е скаларно произведение= сбор от произведенията на векторните координати!

Пример:

Намери-ди-те

Решение:

Намерете координатите на всеки от векторите:

Изчисляваме скаларното произведение по формулата:

Отговор:

Виждате ли, абсолютно нищо сложно!

Е, сега опитайте сами:

Find-di-te scalar-noe pro-from-ve-de-nie century-to-ditch и

успяхте ли Може би е забелязал малък трик? Да проверим:

Векторни координати, както в предната задача! Отговор: .

В допълнение към координатата има друг начин за изчисляване на скаларния продукт, а именно чрез дължините на векторите и косинуса на ъгъла между тях:

Означава ъгъла между векторите и.

Тоест скаларното произведение е равно на произведението от дължините на векторите и косинуса на ъгъла между тях.

Защо ни трябва тази втора формула, ако имаме първата, която е много по-проста, поне няма косинуси в нея. И ни трябва, за да можем от първата и втората формула да изведем как да намерим ъгъла между векторите!

Нека тогава си спомнете формулата за дължината на вектор!

След това, ако включа тези данни във формулата за точков продукт, получавам:

Но от другата страна:

И така, какво имаме? Вече имаме формула за изчисляване на ъгъла между два вектора! Понякога за краткост се пише и така:

Тоест алгоритъмът за изчисляване на ъгъла между векторите е следният:

1. Изчисляваме скаларното произведение чрез координатите
2. Намерете дължините на векторите и ги умножете
3. Разделете резултата от точка 1 на резултата от точка 2

Нека практикуваме с примери:

1. Намерете ъгъла между клепачите-to-ra-mi и. Дайте отговора си в градуси.

2. При условията на предишната задача намерете косинуса между векторите

Нека направим това: аз ще ви помогна да решите първия проблем, а вторият се опитайте да решите сами! Съгласен съм? Тогава да започваме!

1. Тези вектори са наши стари приятели. Вече разгледахме тяхното скаларно произведение и то беше равно. Техните координати са: , . След това намираме техните дължини:

След това търсим косинуса между векторите:

Колко е косинусът на ъгъла? Това е ъгълът.

Отговор:

Е, сега решете втората задача сами и след това сравнете! Ще дам само едно много кратко решение:

2. има координати, има координати.

Нека е ъгълът между векторите и, тогава

Отговор:

Трябва да се отбележи, че задачите директно върху векторите и метода на координатите в част Б изпитна работадоста рядко. Въпреки това, по-голямата част от проблемите на C2 могат лесно да бъдат решени чрез въвеждане на координатна система. Така че можете да разглеждате тази статия като основа, на базата на която ще направим доста трудни конструкции, които трябва да решим предизвикателни задачи.

КООРДИНАТИ И ВЕКТОРИ. СРЕДНО НИВО

Вие и аз продължаваме да изучаваме метода на координатите. В последната част изведехме серия важни формули, които позволяват:

1. Намерете векторни координати
2. Намерете дължината на вектор (алтернативно: разстоянието между две точки)
3. Добавяне, изваждане на вектори. умножете ги по реално число
4. Намерете средата на отсечка
5. Изчислете точково произведение на вектори
6. Намерете ъгъла между векторите

Разбира се, целият метод на координатите не се вписва в тези 6 точки. Той е в основата на такава наука като аналитичната геометрия, с която ще се запознаете в университета. Просто искам да изградя основа, която ще ви позволи да решавате проблеми в една държава. изпит. Разбрахме задачите на част Б в Сега е време да преминем към качеството ново ниво! Тази статия ще бъде посветена на метод за решаване на тези задачи C2, при които би било разумно да се премине към метода на координатите. Тази разумност се определя от това какво трябва да се намери в проблема и каква цифра е дадена. Така че бих използвал метода на координатите, ако въпросите са:

1. Намерете ъгъла между две равнини
2. Намерете ъгъла между права и равнина
3. Намерете ъгъла между две прави
4. Намерете разстоянието от точка до равнина
5. Намерете разстоянието от точка до права
6. Намерете разстоянието от права до равнина
7. Намерете разстоянието между две линии

Ако фигурата, дадена в условието на задачата, е въртеливо тяло (топка, цилиндър, конус ...)

Подходящи цифри за метода на координатите са:

1. кубоид
2. Пирамида (триъгълна, четириъгълна, шестоъгълна)

Също според моя опит не е подходящо да се използва методът на координатите за:

1. Намиране на площите на сеченията
2. Изчисляване на обеми на тела

Трябва обаче веднага да се отбележи, че три „неблагоприятни“ ситуации за метода на координатите са доста редки на практика. В повечето задачи може да стане ваш спасител, особено ако не сте много силни в триизмерните конструкции (които понякога са доста сложни).

Какви са всички цифри, които изброих по-горе? Те вече не са плоски, като квадрат, триъгълник, кръг, а обемни! Съответно трябва да разгледаме не двумерна, а триизмерна координатна система. Построява се доста лесно: просто в допълнение към абсцисата и ординатите ще въведем още една ос, апликативната ос. Фигурата показва схематично тяхното взаимно разположение:

Всички те са взаимно перпендикулярни, пресичат се в една точка, която ще наречем начало. Абсцисната ос, както и преди, ще бъде означена, ординатната ос - , а въведената приложна ос - .

Ако по-рано всяка точка от равнината се характеризираше с две числа - абсцисата и ординатата, то всяка точка в пространството вече се описваше с три числа - абсцисата, ординатата, апликацията. Например:

Съответно абсцисата на точката е равна, ординатата е , а апликата е .

Понякога абсцисата на точка се нарича още проекцията на точката върху абсцисната ос, ординатата е проекцията на точката върху ординатната ос, а апликацията е проекцията на точката върху апликативната ос. Съответно, ако е дадена точка, точка с координати:

наречена проекция на точка върху равнина

наречена проекция на точка върху равнина

Възниква естествен въпрос: дали всички формули, получени за двумерния случай, са валидни в пространството? Отговорът е да, те са справедливи и имат еднакъв вид. За една малка подробност. Мисля, че вече се досетихте кой. Във всички формули ще трябва да добавим още един член, отговарящ за оста на приложението. А именно.

1. Ако са дадени две точки: , тогава:

• векторни координати:
• Разстояние между две точки (или дължина на вектора)
• Средата на сегмента има координати

2. Ако са дадени два вектора: и, тогава:

• Техният точков продукт е:
• Косинусът на ъгъла между векторите е:

Космосът обаче не е толкова прост. Както разбирате, добавянето на още една координата внася значително разнообразие в спектъра от фигури, "живеещи" в това пространство. И за по-нататъшно разказване трябва да въведа някакво, грубо казано, "обобщение" на правата линия. Това "обобщение" ще бъде самолет. Какво знаете за самолета? Опитайте се да отговорите на въпроса какво е самолет? Много е трудно да се каже. Всички ние обаче интуитивно си представяме как изглежда:

Грубо казано, това е един вид безкраен „лист“, избутан в космоса. Под безкрайност трябва да се разбира, че равнината се простира във всички посоки, тоест нейната площ е равна на безкрайност. Това обяснение "на пръсти" обаче не дава ни най-малка представа за структурата на самолета. И ще ни е интересно.

Нека си припомним една от основните аксиоми на геометрията:

• на две различни точкив равнината минава права линия, освен това само една:

Или негов аналог в космоса:

Разбира се, помните как да изведете уравнението на права линия от две дадени точки, това изобщо не е трудно: ако първата точка има координати: и втората, тогава уравнението на правата линия ще бъде както следва:

Ти си минал през това в 7 клас. В пространството уравнението на права линия изглежда така: нека имаме две точки с координати: , тогава уравнението на права линия, минаваща през тях, има формата:

Например, линия минава през точки:

Как трябва да се разбира това? Това трябва да се разбира по следния начин: точка лежи на права, ако нейните координати отговарят на следната система:

Няма да се интересуваме много от уравнението на права линия, но трябва да обърнем внимание на много важната концепция за насочващия вектор на права линия. - всеки ненулев вектор, лежащ на дадена права или успореден на нея.

Например и двата вектора са насочващи вектори на права линия. Нека е точка, разположена на права линия, и е нейният насочващ вектор. Тогава уравнението на права линия може да се напише в следния вид:

Още веднъж, няма да се интересувам много от уравнението на правата линия, но наистина трябва да запомните какво е вектор на посоката! Отново: това е ВСЕКИ ненулев вектор, лежащ на права или успореден на нея.

Оттегляне триточково уравнение на равнинавече не е толкова тривиален и обикновено този въпрос не се разглежда в курса гимназия. Но напразно! Тази техника е жизненоважна, когато прибягваме до метода на координатите за решаване на сложни проблеми. Предполагам обаче, че сте изпълнени с желание да научите нещо ново? Освен това ще можете да впечатлите преподавателя си в университета, когато се окаже, че вече знаете как да използвате техниката, която обикновено се изучава в курса по аналитична геометрия. Така че да започваме.

Уравнението на равнина не се различава много от уравнението на права линия в равнина, а именно има формата:

някои числа (не всички равни на нула), но променливи, например: и т.н. Както можете да видите, уравнението на равнина не се различава много от уравнението на права линия (линейна функция). Спомняте ли си обаче за какво спорихме с вас? Казахме, че ако имаме три точки, които не лежат на една права, то уравнението на равнината се възстановява еднозначно от тях. Но как? Ще се опитам да ти обясня.

Тъй като уравнението на равнината е:

И точките принадлежат на тази равнина, тогава, когато заместваме координатите на всяка точка в уравнението на равнината, трябва да получим правилната идентичност:

Следователно има нужда да се решат три уравнения вече с неизвестни! Дилема! Винаги обаче можем да приемем, че (за това трябва да разделим на). Така получаваме три уравнения с три неизвестни:

Ние обаче няма да решаваме такава система, а ще напишем загадъчния израз, който следва от нея:

Уравнение на равнина, минаваща през дадени три точки

\[\ляво| (\begin(масив)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(масив)) \right| = 0\]

Спри се! какво друго е това Някакъв много необичаен модул! Но обектът, който виждате пред себе си, няма нищо общо с модула. Този обект се нарича детерминанта от трети ред. Отсега нататък, когато се занимавате с метода на координатите в равнина, често ще срещате точно тези детерминанти. Какво е детерминанта от трети ред? Колкото и да е странно, това е просто число. Остава да разберем какво конкретно число ще сравним с определителя.

Нека първо напишем детерминанта от трети ред в more общ изглед:

Къде са малко числата. Освен това под първия индекс разбираме номера на реда, а под индекса - номера на колоната. Например означава това дадено числостои в пресечната точка на втория ред и третата колона. Да сложим следващ въпрос: как точно ще изчислим такава детерминанта? Тоест с кое конкретно число ще го съпоставим? За детерминантата точно от трети ред има евристично (визуално) триъгълно правило, то изглежда така:

1. Произведението на елементите на главния диагонал (от горния ляв до долния десен) произведението на елементите, които образуват първия триъгълник, "перпендикулярен" на главния диагонал, произведението на елементите, които образуват втория триъгълник, "перпендикулярен" на главния диагонал
2. Произведението на елементите на вторичния диагонал (от горния десен до долния ляв) произведението на елементите, които образуват първия триъгълник, "перпендикулярен" на вторичния диагонал, произведението на елементите, които образуват втория триъгълник, "перпендикулярен" на вторичен диагонал
3. Тогава детерминантата е равна на разликата между стойностите, получени на стъпката и

Ако напишем всичко това в числа, тогава получаваме следния израз:

Въпреки това, не е необходимо да запомняте метода на изчисление в тази форма, достатъчно е просто да запазите триъгълниците в главата си и самата идея какво се добавя към какво и какво след това се изважда от какво).

Нека илюстрираме метода на триъгълника с пример:

1. Изчислете детерминантата:

Нека разберем какво добавяме и какво изваждаме:

Условия, които идват с "плюс":

Това е главният диагонал: произведението на елементите е

Първият триъгълник, "перпендикулярен на главния диагонал: произведението на елементите е

Вторият триъгълник, "перпендикулярен на главния диагонал: произведението на елементите е

Събираме три числа:

Условия, които идват с "минус"

Това е страничен диагонал: произведението на елементите е

Първият триъгълник, "перпендикулярен на вторичния диагонал: произведението на елементите е

Вторият триъгълник, "перпендикулярен на вторичния диагонал: произведението на елементите е

Събираме три числа:

Всичко, което остава да се направи, е да се извади от сумата на плюсовите членове сумата на минусовите членове:

По този начин,

Както можете да видите, няма нищо сложно и свръхестествено в изчисляването на детерминанти от трети ред. Просто е важно да запомните триъгълниците и да не правите аритметични грешки. Сега се опитайте да изчислите сами:

Ние проверяваме:

1. Първият триъгълник, перпендикулярен на главния диагонал:
2. Вторият триъгълник, перпендикулярен на главния диагонал:
3. Сумата от плюсовете:
4. Първи триъгълник, перпендикулярен на страничния диагонал:
5. Вторият триъгълник, перпендикулярен на страничния диагонал:
6. Сумата от членовете с минус:
7. Сбор от плюс членове минус сбор от минус членове:

Ето още няколко детерминанти за вас, изчислете сами техните стойности и сравнете с отговорите:

Отговори:

Е, всичко съвпадна ли? Чудесно, тогава можете да продължите! Ако има затруднения, тогава моят съвет е следният: в интернет има куп програми за изчисляване на детерминанта онлайн. Всичко, от което се нуждаете, е да измислите своя собствена детерминанта, да я изчислите сами и след това да я сравните с това, което програмата изчислява. И така докато резултатите започнат да съвпадат. Сигурен съм, че този момент няма да закъснее!

Сега нека се върнем към детерминантата, която написах, когато говорих за уравнението на равнина, минаваща през три дадени точки:

Всичко, което трябва да направите, е да изчислите стойността му директно (като използвате метода на триъгълника) и да зададете резултата равен на нула. Естествено, тъй като те са променливи, ще получите някакъв израз, който зависи от тях. Именно този израз ще бъде уравнението на равнина, минаваща през три дадени точки, които не лежат на една права!

Нека илюстрираме това с прост пример:

1. Съставете уравнението на равнината, минаваща през точките

Ние съставяме детерминанта за тези три точки:

Опростяване:

Сега го изчисляваме директно според правилото на триъгълниците:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ дясно| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Така уравнението на равнината, минаваща през точките, е:

Сега опитайте сами да разрешите един проблем и след това ще го обсъдим:

2. Намерете уравнението на равнината, минаваща през точките

Е, нека обсъдим решението сега:

Ние правим детерминанта:

И изчислете стойността му:

Тогава уравнението на равнината има формата:

Или, намалявайки с, получаваме:

Сега две задачи за самоконтрол:

1. Съставете уравнението на равнина, минаваща през три точки:

Отговори:

Всичко съвпадна ли? Отново, ако има определени трудности, тогава моят съвет е следният: вземете три точки от главата си (с голяма степен на вероятност те няма да лежат на една права линия), изградете равнина върху тях. И след това проверете себе си онлайн. Например на сайта:

С помощта на детерминанти обаче ще изградим не само уравнението на равнината. Спомнете си, казах ви, че за векторите не е дефинирано само точковото произведение. Има и вектор, както и смесен продукт. И ако скаларното произведение на два вектора ще бъде число, тогава векторното произведение на два вектора ще бъде вектор и този вектор ще бъде перпендикулярен на дадените:

И модулът му ще бъде равна на площуспоредник, изграден от вектори и. Този вектортрябва да изчислим разстоянието от точка до права. Как можем да изчислим кръстосаното произведение на вектори и дали техните координати са дадени? На помощ отново ни идва детерминантата от трети ред. Въпреки това, преди да премина към алгоритъма за изчисляване на кръстосаното произведение, трябва да направя малко лирично отклонение.

Това отклонение се отнася до базисните вектори.

Схематично те са показани на фигурата:

Защо мислите, че се наричат ​​основни? Факт е, че:

Или на снимката:

Валидността на тази формула е очевидна, защото:

векторен продукт

Сега мога да започна да въвеждам кръстосания продукт:

Векторното произведение на два вектора е вектор, който се изчислява съгласно следното правило:

Сега нека дадем няколко примера за изчисляване на кръстосаното произведение:

Пример 1: Намерете кръстосаното произведение на вектори:

Решение: Правя детерминанта:

И го изчислявам:

Сега, от писане чрез базисни вектори, ще се върна към обичайната векторна нотация:

По този начин:

Сега опитайте.

Готов? Ние проверяваме:

И по традиция две задачи за контрол:

1. Намерете кръстосаното произведение на следните вектори:
2. Намерете кръстосаното произведение на следните вектори:

Отговори:

Смесен продукт на три вектора

Последната конструкция, от която се нуждая, е смесеното произведение на три вектора. То, подобно на скалара, е число. Има два начина да го изчислите. - чрез определителя, - чрез смесения продукт.

А именно, да кажем, че имаме три вектора:

Тогава смесеният продукт на три вектора, означен с може да се изчисли като:

1. - т.е. смесеното произведение е скаларното произведение на вектор и векторното произведение на два други вектора

Например, смесеният продукт на три вектора е:

Опитайте се да го изчислите сами, като използвате векторното произведение и се уверете, че резултатите съвпадат!

Отново два примера независимо решение:

Отговори:

Избор на координатна система

Е, сега имаме цялата необходима основа от знания за решаване на сложни стереометрични задачи в геометрията. Въпреки това, преди да пристъпим директно към примерите и алгоритмите за решаването им, смятам, че ще бъде полезно да се спрем на следния въпрос: как точно изберете координатна система за определена фигура.В крайна сметка изборът на относителната позиция на координатната система и фигурата в пространството в крайна сметка ще определи колко тромави ще бъдат изчисленията.

Напомням ви, че в този раздел разглеждаме следните цифри:

1. кубоид
2. Права призма (триъгълна, шестоъгълна...)
3. Пирамида (триъгълна, четириъгълна)
4. Тетраедър (същото като триъгълна пирамида)

За кубоид или куб препоръчвам следната конструкция:

Тоест ще поставя фигурата „в ъгъла“. Кубчето и кутията са много добри фигури. За тях винаги можете лесно да намерите координатите на неговите върхове. Например, ако (както е показано на снимката)

тогава координатите на върха са:

Разбира се, не е нужно да помните това, но помнете как най-добре да позиционирате куба или кубоид- желателно.

права призма

Призмата е по-вредна фигура. Можете да го подредите в пространството по различни начини. Мисля обаче, че следният е най-добрият вариант:

Триъгълна призма:

Тоест, поставяме една от страните на триъгълника изцяло върху оста и един от върховете съвпада с началото.

Шестоъгълна призма:

Тоест, един от върховете съвпада с началото, а една от страните лежи на оста.

Четириъгълна и шестоъгълна пирамида:

Ситуация, подобна на куб: комбинираме две страни на основата с координатните оси, комбинираме един от върховете с началото. Единствената малка трудност ще бъде да се изчислят координатите на точката.

За шестоъгълна пирамида - същото като за шестоъгълна призма. Основната задача отново ще бъде намирането на координатите на върха.

Тетраедър (триъгълна пирамида)

Ситуацията е много подобна на тази, която дадох за триъгълната призма: единият връх съвпада с началото, едната страна лежи на координатната ос.

Е, сега ти и аз най-накрая сме близо до това да започнем да решаваме проблеми. От това, което казах в самото начало на статията, можете да направите следното заключение: повечето задачи на C2 попадат в 2 категории: задачи за ъгъла и задачи за разстоянието. Първо ще разгледаме задачи за намиране на ъгъл. Те от своя страна се разделят на следните категории (с нарастване на сложността):

Задачи за намиране на ъгли

1. Намиране на ъгъла между две прави
2. Намиране на ъгъл между две равнини

Нека разгледаме тези задачи последователно: нека започнем с намирането на ъгъла между две прави линии. Хайде, помни, ние с теб не решихме подобни примерипреди? Спомняте си, защото вече имахме нещо подобно ... Търсихме ъгъл между два вектора. Напомням ви, ако са дадени два вектора: и, тогава ъгълът между тях се намира от връзката:

Сега имаме цел - да намерим ъгъла между две прави линии. Нека се обърнем към "плоската картина":

Колко ъгли получаваме, когато две прави се пресичат? Вече неща. Вярно, само две от тях не са равни, докато други са вертикални спрямо тях (и следователно съвпадат с тях). И така, какъв ъгъл трябва да считаме за ъгъла между две прави линии: или? Тук правилото е: ъгълът между две прави линии винаги е не повече от градуси. Тоест от два ъгъла винаги ще избираме ъгъла с най-малък степенна мярка. Тоест на тази снимка ъгълът между двете прави е равен. За да не се занимавате всеки път с намирането на най-малкия от двата ъгъла, хитри математици предложиха да използвате модула. Така ъгълът между две прави линии се определя по формулата:

Вие, като внимателен читател, трябваше да имате въпрос: откъде всъщност получаваме тези числа, които са ни необходими, за да изчислим косинуса на ъгъл? Отговор: ще ги вземем от векторите на посоката на правите! По този начин алгоритъмът за намиране на ъгъла между две линии е следният:

1. Прилагаме формула 1.

Или по-подробно:

1. Търсим координатите на вектора на посоката на първата права линия
2. Търсим координатите на вектора на посоката на втората линия
3. Изчислете модула на тяхното скаларно произведение
4. Търсим дължината на първия вектор
5. Търсим дължината на втория вектор
6. Умножете резултатите от точка 4 по резултатите от точка 5
7. Разделяме резултата от точка 3 на резултата от точка 6. Получаваме косинуса на ъгъла между линиите
8. Ако даден резултатви позволява точно да изчислите ъгъла, ние го търсим
9. В противен случай пишем през аркосинус

Е, сега е време да преминем към задачите: ще демонстрирам решението на първите две подробно, ще представя решението на още една в резюме, а за последните две задачи ще дам само отговори, трябва да извършите сами всички изчисления за тях.

Задачи:

1. В десния tet-ra-ed-re намерете-di-te ъгъла между you-so-that tet-ra-ed-ra и me-di-a-noy bo-ko-how страна.

2. В дясно-напред шест въглища-pi-ra-mi-de, сто-ro-na-os-no-va-niya са някак равни, а страничните ребра са равни, намерете ъгъла между правите линии и.

3. Дължините на всички ръбове на дясната четири-ти-реч-въглища-ной пи-ра-ми-ди са равни една на друга. Намерете ъгъла между правите линии и ако от-re-zok - вие-така че като се има предвид pi-ra-mi-dy, точката е se-re-di-на нейното bo-ko- ребро

4. На ръба на куба от-me-che-до точка, така че Find-di-te ъгъла между правите линии и

5. Точка - se-re-di-на ръбовете на куба Nai-di-te ъгълът между правите линии и.

Неслучайно подредих задачите в този ред. Докато все още не сте имали време да започнете да се ориентирате в метода на координатите, аз самият ще анализирам най-„проблемните“ фигури и ще ви оставя да се справите с най-простия куб! Постепенно трябва да се научите как да работите с всички фигури, ще увеличавам сложността на задачите от тема на тема.

Нека започнем да решаваме проблеми:

1. Начертайте тетраедър, поставете го в координатната система, както предложих по-рано. Тъй като тетраедърът е правилен, тогава всички негови лица (включително основата) са правилни триъгълници. Тъй като не ни е дадена дължината на страната, мога да я приема за равна. Мисля, че разбирате, че ъгълът всъщност няма да зависи от това колко ще бъде "разтегнат" нашият тетраедър?. Ще начертая също височината и медианата в тетраедъра. Пътьом ще му нарисувам основата (ще ни е полезна и тя).

Трябва да намеря ъгъла между и. какво знаем Знаем само координатите на точката. И така, трябва да намерим още координати на точките. Сега мислим: точка е пресечна точка на височини (или ъглополовящи или медиани) на триъгълник. Точката е издигната точка. Точката е средата на отсечката. След това накрая трябва да намерим: координатите на точките: .

Нека започнем с най-простото: координатите на точката. Вижте фигурата: Ясно е, че апликацията на точка е равна на нула (точката лежи в равнина). Неговата ордината е равна (защото е медианата). По-трудно е да се намери абсцисата му. Това обаче се прави лесно въз основа на Питагоровата теорема: разгледайте триъгълник. Хипотенузата му е равна и единият катет е равен. Тогава:

Накрая имаме:

Сега нека намерим координатите на точката. Ясно е, че апликатът му отново е равен на нула, а ординатата му е същата като тази на точка, т.е. Нека намерим абсцисата му. Това се прави доста тривиално, ако човек помни това височини равностранен триъгълникпресечната точка е разделена пропорционалнокато се брои отгоре. Тъй като: , тогава желаната абциса на точката, равна на дължинатасегмент е равен на: . Така координатите на точката са:

Нека намерим координатите на точката. Ясно е, че нейните абциса и ордината съвпадат с абсцисата и ординатата на точката. А апликацията е равна на дължината на сегмента. - това е един от катетите на триъгълника. Хипотенузата на триъгълник е сегмент - катет. Търси се по причините, които подчертах с удебелен шрифт:

Точката е средата на отсечката. След това трябва да запомним формулата за координатите на средата на сегмента:

Това е всичко, сега можем да търсим координатите на векторите на посоката:

Е, всичко е готово: заместваме всички данни във формулата:

По този начин,

Отговор:

Не бива да се страхувате от такива "ужасни" отговори: за задачи C2 това е обичайна практика. По-скоро бих се изненадал от "красивия" отговор в тази част. Освен това, както отбелязахте, на практика не прибягвах до нищо друго освен до Питагоровата теорема и свойството на височините на равностранен триъгълник. Тоест, за да реша стереометричния проблем, използвах минималната стереометрия. Печалбата от това е частично "погасена" от доста тромави изчисления. Но те са доста алгоритмични!

2. Начертайте правилна шестоъгълна пирамида заедно с координатната система, както и нейната основа:

Трябва да намерим ъгъла между линиите и. Така нашата задача се свежда до намиране на координатите на точки: . Ще намерим координатите на последните три от малкия чертеж, а координатата на върха ще намерим чрез координатата на точката. Много работа, но трябва да започнем!

а) Координата: ясно е, че апликата и ординатата са нула. Нека намерим абсцисата. За да направите това, помислете за правоъгълен триъгълник. Уви, в него знаем само хипотенузата, която е равна на. Ще се опитаме да намерим катета (защото е ясно, че удвоената дължина на катета ще ни даде абсцисата на точката). Как да го търсим? Нека си припомним каква фигура имаме в основата на пирамидата? Това е правилен шестоъгълник. Какво означава? Това означава, че всички страни и всички ъгли са равни. Трябва да намерим едно такова кътче. Някакви идеи? Има много идеи, но има формула:

Сума от ъгли правилен n-ъгълнике равно на .

Така сумата от ъглите на правилен шестоъгълник е градуси. Тогава всеки от ъглите е равен на:

Нека отново да погледнем снимката. Ясно е, че сегментът е ъглополовяща на ъгъла. След това ъгълът равно на градуси. Тогава:

Тогава къде.

Така че има координати

б) Сега можем лесно да намерим координатата на точката: .

в) Намерете координатите на точката. Тъй като абсцисата му съвпада с дължината на отсечката, тя е равна. Намирането на ординатата също не е много трудно: ако свържем точките и и обозначим пресечната точка на правата, да речем за. (направи си сам проста конструкция). Тогава По този начин ординатата на точка B е равна на сумата от дължините на сегментите. Нека отново да погледнем триъгълника. Тогава

След това от Тогава точката има координати

г) Сега намерете координатите на точката. Помислете за правоъгълник и докажете, че По този начин координатите на точката са:

д) Остава да се намерят координатите на върха. Ясно е, че нейните абциса и ордината съвпадат с абсцисата и ординатата на точката. Да намерим приложение. От тогава. Да разгледаме правоъгълен триъгълник. Според условието на проблема, страничният ръб. Това е хипотенузата на моя триъгълник. Тогава височината на пирамидата е кракът.

Тогава точката има координати:

Това е, имам координатите на всички точки, които ме интересуват. Търся координатите на насочващите вектори на правите линии:

Търсим ъгъла между тези вектори:

Отговор:

Отново, когато решавах тази задача, не използвах никакви сложни трикове, с изключение на формулата за сумата от ъглите на правилен n-ъгълник, както и дефиницията на косинус и синус на правоъгълен триъгълник.

3. Тъй като отново не са ни дадени дължините на ръбовете в пирамидата, ще ги преброя равно на едно. Така, тъй като ВСИЧКИ ръбове, а не само страничните, са равни един на друг, тогава в основата на пирамидата и me лежи квадрат, и странични лицаса правоъгълни триъгълници. Нека изобразим такава пирамида, както и нейната основа върху равнина, като маркираме всички данни, дадени в текста на задачата:

Търсим ъгъла между и. Ще направя много кратки изчисления, когато търся координатите на точки. Ще трябва да ги "дешифрирате":

б) - средата на сегмента. Нейните координати:

в) Ще намеря дължината на отсечката с помощта на Питагоровата теорема в триъгълник. Ще намеря по Питагоровата теорема в триъгълник.

Координати:

г) - средата на сегмента. Координатите му са

д) векторни координати

е) векторни координати

g) Търсене на ъгъл:

куб - най-простата фигура. Сигурен съм, че можете да го разберете сами. Отговорите на задачи 4 и 5 са ​​следните:

Намиране на ъгъл между права и равнина

Е, времето за прости пъзели свърши! Сега примерите ще бъдат още по-трудни. За да намерим ъгъла между права и равнина, ще процедираме по следния начин:

1. Използвайки три точки, изграждаме уравнението на равнината
   ,
   използвайки детерминанта от трети ред.
2. По две точки търсим координатите на насочващия вектор на правата:
3. Прилагаме формулата за изчисляване на ъгъла между права линия и равнина:

Както можете да видите, тази формула е много подобна на тази, която използвахме, за да намерим ъглите между две прави. Структурата на дясната страна е същата, а от лявата вече търсим синус, а не косинус, както преди. Е, беше добавено едно неприятно действие - търсенето на уравнението на равнината.

Нека не отлагаме примери за решаване:

1. Os-no-va-ni-em straight-my prize-we are-la-et-xia equal-but-poor-ren-ny triangle-nick you-with-that prize-we are equal. Намерете ъгъла между правата и равнината

2. В правоъгълен пара-рал-ле-ле-пи-пе-де от Запада Най-ди-те ъгълът между правата и равнината

3. В дясната призма с шест въглища всички ръбове са равни. Намерете ъгъла между правата и равнината.

4. В десния триъгълен pi-ra-mi-de с os-but-va-ni-em от запад на реброто Nai-di-te ъгъл, ob-ra-zo-van -ny равнина на os -no-va-niya и straight-my, преминавайки през se-re-di-na на ребрата и

5. Дължините на всички ръбове на правилния четириъгълен pi-ra-mi-dy с върха са равни една на друга. Намерете ъгъла между правата линия и равнината, ако точката е se-re-di-на bo-ko-in-th ръб на pi-ra-mi-dy.

Отново ще реша подробно първите две задачи, третата - накратко, а последните две оставям да решите сами. Освен това вече трябваше да се справите с триъгълни и четириъгълни пирамиди, но с призми - още не.

Решения:

1. Начертайте призма, както и нейната основа. Нека го комбинираме с координатната система и да маркираме всички данни, които са дадени в изложението на проблема:

Извинявам се за известно неспазване на пропорциите, но за решаването на проблема това всъщност не е толкова важно. Равнината е само "задната стена" на моята призма. Достатъчно е просто да познаете, че уравнението на такава равнина има формата:

Това обаче може да се покаже и директно:

Избираме произволни три точки на тази равнина: например .

Нека съставим уравнението на равнината:

Упражнение за вас: изчислете сами този фактор. Успяхте ли Тогава уравнението на равнината има формата:

Или просто

По този начин,

За да реша примера, трябва да намеря координатите на насочващия вектор на правата линия. Тъй като точката съвпадна с началото, координатите на вектора просто ще съвпаднат с координатите на точката.За да направите това, първо намираме координатите на точката.

За да направите това, помислете за триъгълник. Нека начертаем височина (тя също е медиана и ъглополовяща) от върха. Тъй като тогава ординатата на точката е равна. За да намерим абсцисата на тази точка, трябва да изчислим дължината на отсечката. По теоремата на Питагор имаме:

Тогава точката има координати:

Точката е "повдигнато" върху точка:

Тогава координатите на вектора:

Отговор:

Както можете да видите, няма нищо фундаментално трудно при решаването на такива проблеми. Всъщност „изправеността“ на фигура като призма опростява процеса още малко. Сега да преминем към следващия пример:

2. Начертаваме паралелепипед, начертаваме равнина и права линия в нея и отделно начертаваме долната му основа:

Първо намираме уравнението на равнината: Координатите на трите точки, лежащи в нея:

(първите две координати се получават по очевиден начин, а последната координата можете лесно да намерите от снимката от точката). След това съставяме уравнението на равнината:

Изчисляваме:

Търсим координатите на насочващия вектор: Ясно е, че координатите му съвпадат с координатите на точката, нали? Как да намеря координати? Това са координатите на точката, повдигнати по приложната ос с единица! . След това търсим желания ъгъл:

Отговор:

3. Начертайте правилна шестоъгълна пирамида, а след това начертайте равнина и права линия в нея.

Тук дори е проблематично да се начертае равнина, да не говорим за решението на тази задача, но методът на координатите не го интересува! Именно в неговата универсалност се крие основното му предимство!

Равнината преминава през три точки: . Търсим техните координати:

един) . Покажете сами координатите на последните две точки. За това ще трябва да решите проблема с шестоъгълна пирамида!

2) Изграждаме уравнението на равнината:

Търсим координатите на вектора: . (Вижте отново проблема с триъгълната пирамида!)

3) Търсим ъгъл:

Отговор:

Както можете да видите, в тези задачи няма нищо свръхестествено трудно. Просто трябва да сте много внимателни с корените. На последните два проблема ще дам само отговори:

Както можете да видите, техниката за решаване на проблеми е една и съща навсякъде: основната задача е да намерите координатите на върховете и да ги замените в някои формули. Остава да разгледаме още един клас задачи за изчисляване на ъгли, а именно:

Изчисляване на ъгли между две равнини

Алгоритъмът за решение ще бъде както следва:

1. За три точки търсим уравнението на първата равнина:
2. За останалите три точки търсим уравнението на втората равнина:
3. Прилагаме формулата:

Както можете да видите, формулата е много подобна на предишните две, с помощта на които търсихме ъгли между прави и между права и равнина. Така че да запомните този няма да ви е трудно. Да преминем направо към проблема:

1. Сто-ро-на основата на правилната триъгълна призма е равна, а диа-гоналът на страничната повърхност е равен. Намерете ъгъла между равнината и равнината на основата на наградата.

2. В дясно-напред четири-ти-ре-въглища-ной пи-ра-ми-де, всички ръбове на някой са равни, намерете синуса на ъгъла между равнината и равнината Ко-Сту, минаваща през точката на per-pen-di-ku-lyar-но straight-my.

3. В правилната призма с четири въглища страните на ос-но-ва-ния са равни, а страничните ръбове са равни. На ръба от-me-che-до точката, така че. Намерете ъгъла между равнините и

4. В правилната четириъгълна призма страните на основите са равни, а страничните ръбове са равни. На ръба от-ме-че-до точка, така че Намерете ъгъла между равнините и.

5. В куба намерете ко-синуса на ъгъла между равнините и

Решения на проблеми:

1. Чертая правилния (в основата е равностранен триъгълник) триъгълна призмаи маркирам върху него равнините, които се появяват в условието на задачата:

Трябва да намерим уравненията на две равнини: Базовото уравнение се получава тривиално: можете да направите съответния детерминант за три точки, но аз ще направя уравнението веднага:

Сега нека намерим уравнението Точката има координати Точката - Тъй като - медианата и височината на триъгълника, е лесно да се намери чрез Питагоровата теорема в триъгълник. Тогава точката има координати: Намерете приложението на точката За да направите това, помислете за правоъгълен триъгълник

Тогава получаваме следните координати: Съставяме уравнението на равнината.

Изчисляваме ъгъла между равнините:

Отговор:

2. Изготвяне на чертеж:

Най-трудното е да се разбере какъв мистериозен самолет е, минаващ перпендикулярно през точка. Е, основното е какво е? Основното нещо е вниманието! Наистина правата е перпендикулярна. Линията също е перпендикулярна. Тогава равнината, минаваща през тези две прави, ще бъде перпендикулярна на правата и, между другото, ще минава през точката. Тази равнина също минава през върха на пирамидата. След това желаният самолет - И самолетът вече ни е даден. Търсим координати на точки.

Намираме координатата на точката през точката. Лесно е да се заключи от малък чертеж, че координатите на точката ще бъдат както следва: Какво остава сега да се намери, за да се намерят координатите на върха на пирамидата? Все още трябва да се изчисли височината му. Това се прави с помощта на същата Питагорова теорема: първо, докажете това (тривиално от малки триъгълници, образуващи квадрат в основата). Тъй като по условие имаме:

Сега всичко е готово: координати на върха:

Съставяме уравнението на равнината:

Вие вече сте експерт в изчисляването на детерминанти. Лесно ще получите:

Или иначе (ако умножим двете части по корен от две)

Сега нека намерим уравнението на равнината:

(Не сте забравили как получаваме уравнението на равнината, нали? Ако не разбирате откъде идва това минус едно, тогава се върнете към дефиницията на уравнението на равнината! Винаги се оказва, че моето самолетът е принадлежал на произхода!)

Изчисляваме детерминантата:

(Може да забележите, че уравнението на равнината съвпада с уравнението на правата, минаваща през точките и! Помислете защо!)

Сега изчисляваме ъгъла:

Трябва да намерим синуса:

Отговор:

3. Сложен въпрос: какво е правоъгълна призма, как смятате? Това е просто добре познат паралелепипед за вас! Рисуване веднага! Можете дори да не изобразявате отделно основата, тук няма голяма полза от нея:

Равнината, както отбелязахме по-рано, е записана като уравнение:

Сега правим самолет

Веднага съставяме уравнението на равнината:

Търся ъгъл

Сега отговорите на последните два проблема:

Е, сега е моментът да си починем, защото ние с теб сме страхотни и сме свършили чудесна работа!

Координати и вектори. Напреднало ниво

В тази статия ще обсъдим с вас друг клас проблеми, които могат да бъдат решени с помощта на метода на координатите: проблеми с разстоянието. А именно ще разгледаме следните случаи:

1. Изчисляване на разстоянието между косите линии.

Дадените задачи съм подредил с нарастване на сложността им. Най-лесното е да се намери разстояние от точка до равнинаи най-трудната част е намирането разстояние между пресичащите се линии. Въпреки че, разбира се, нищо не е невъзможно! Нека не отлагаме и веднага да преминем към разглеждането на първия клас проблеми:

Изчисляване на разстоянието от точка до равнина

Какво ни трябва, за да решим този проблем?

1. Координати на точки

Така че, веднага щом получим всички необходими данни, прилагаме формулата:

Вече трябва да знаете как изграждаме уравнението на равнината от предишните задачи, които анализирах в последната част. Нека да се заемем веднага с работата. Схемата е следната: 1, 2 - помагам ви да решите и по-подробно, 3, 4 - само отговорът, вие сами решавате и сравнявате. започна!

Задачи:

1. Даден е куб. Дължината на ръба на куба е Намерете разстоянието от se-re-di-ny от разреза до плоскостта

2. Като се има предвид дясно-vil-naya четири-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe ръб сто-ro-на os-no-va-nia е равен. Намерете-ди-тези разстояния от точка до равнина, където - се-ре-ди-по ръбовете.

3. В правилния триъгълен pi-ra-mi-de с os-but-va-ni-em, другият ръб е равен, а сто-ro-on os-no-va-niya е равен. Намерете-ди-тези разстояния от върха до равнината.

4. В дясната призма с шест въглища всички ръбове са равни. Намерете-ди-тези разстояния от точка до равнина.

Решения:

1. Начертайте куб с единични ръбове, изградете сегмент и равнина, означете средата на сегмента с буквата

.

Първо, нека започнем с един лесен: намерете координатите на точка. Оттогава (запомнете координатите на средата на сегмента!)

Сега съставяме уравнението на равнината върху три точки

\[\ляво| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Сега мога да започна да намирам разстоянието:

2. Започваме отново с чертеж, на който отбелязваме всички данни!

За пирамида би било полезно основата й да се начертае отделно.

Дори фактът, че рисувам като пилешка лапа, няма да ни попречи лесно да решим този проблем!

Сега е лесно да намерите координатите на точка

Тъй като координатите на точката

2. Тъй като координатите на точката a са средата на отсечката, то

Лесно можем да намерим координатите на още две точки от равнината.Съставяме уравнението на равнината и го опростяваме:

\[\ляво| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\край (масив)) \right|) \right| = 0\]

Тъй като точката има координати: , тогава изчисляваме разстоянието:

Отговор (много рядко!):

Е, разбрахте ли? Струва ми се, че всичко тук е точно толкова техническо, колкото и в примерите, които разгледахме с вас в предишната част. Така че съм сигурен, че ако сте усвоили този материал, тогава няма да ви е трудно да решите останалите две задачи. Просто ще ви дам отговорите:

Изчисляване на разстоянието от права до равнина

Всъщност тук няма нищо ново. Как могат да бъдат разположени права и равнина една спрямо друга? Те имат всички възможности: да се пресичат или права линия да е успоредна на равнината. Какво според вас е разстоянието от правата до равнината, с която се пресича дадената права? Струва ми се, че е ясно, че такова разстояние е равно на нула. Безинтересен случай.

Вторият случай е по-сложен: тук разстоянието вече е различно от нула. Въпреки това, тъй като правата е успоредна на равнината, тогава всяка точка от правата е на еднакво разстояние от тази равнина:

По този начин:

И това означава, че моята задача е сведена до предишната: търсим координатите на всяка точка от правата, търсим уравнението на равнината, изчисляваме разстоянието от точката до равнината. Всъщност такива задачи на изпита са изключително редки. Успях да намеря само един проблем и то данните в него бяха такива, че координатният метод не беше много приложим за него!

Сега нека да преминем към друг, много по-важен клас проблеми:

Изчисляване на разстоянието от точка до права

Какво ще ни трябва?

1. Координатите на точката, от която търсим разстоянието:

2. Координати на всяка точка, лежаща на права линия

3. Координати на вектора на посоката на правата

Каква формула използваме?

Какво означава за вас знаменателят на тази дроб и така трябва да е ясно: това е дължината на насочващия вектор на правата линия. Ето един много труден числител! Изразът означава модула (дължината) на векторното произведение на векторите и Как да изчислим векторното произведение, проучихме в предишната част на работата. Опреснете знанията си, сега ще ни бъдат много полезни!

По този начин алгоритъмът за решаване на проблеми ще бъде както следва:

1. Търсим координатите на точката, от която търсим разстоянието:

2. Търсим координатите на всяка точка от линията, до която търсим разстоянието:

3. Изграждане на вектор

4. Изграждаме вектора на посоката на правата линия

5. Изчислете кръстосаното произведение

6. Търсим дължината на резултантния вектор:

7. Изчислете разстоянието:

Имаме много работа, а примерите ще са доста сложни! Така че сега съсредоточете цялото си внимание!

1. Дана е дясна триъгълна пи-ра-ми-да с връх. Сто-ро-на os-no-va-niya pi-ra-mi-dy е равно, you-so-ta е равно. Намерете тези разстояния от se-re-di-ny на bo-ko-th ръб до правата линия, където точките и са se-re-di-ny на ребрата и co-from- vet -ствен-но.

2. Дължините на ребрата и правия ъгъл-no-para-ral-le-le-pi-pe-da са равни, съответно, и Find-di-te разстояние от top-shi-ny до straight-my

3. В дясната призма с шест въглища всички ръбове на рояк са равни намерете-ди-онези разстояние от точка до права линия

Решения:

1. Правим чист чертеж, върху който отбелязваме всички данни:

Имаме много работа за вас! Първо бих искал да опиша с думи какво ще търсим и в какъв ред:

1. Координати на точки и

2. Координати на точки

3. Координати на точки и

4. Координати на вектори и

5. Тяхното кръстосано произведение

6. Дължина на вектора

7. Дължината на векторното произведение

8. Разстояние от до

Е, имаме много работа! Да запретнем ръкави!

1. За да намерим координатите на височината на пирамидата, трябва да знаем координатите на точката, чиято апликация е нула, а ординатата е равна на нейната абциса. Най-накрая получихме координатите:

Координати на точки

2. - средата на сегмента

3. - средата на сегмента

средна точка

4.Координати

Векторни координати

5. Изчислете векторното произведение:

6. Дължината на вектора: най-лесният начин е да замените, че сегментът е средната линия на триъгълника, което означава, че е равен на половината от основата. Така че.

7. Разглеждаме дължината на векторния продукт:

8. Накрая намерете разстоянието:

Фу, това е всичко! Ще ви кажа честно: решението на този проблем традиционни методи(чрез компилации) би било много по-бързо. Но тук сведох всичко до готов алгоритъм! Мисля, че алгоритъмът за решение ви е ясен? Затова ще ви помоля да решите сами останалите два проблема. Сравнете отговорите?

Отново повтарям: по-лесно (по-бързо) е да се решат тези проблеми чрез конструкции, вместо да се прибягва до тях координатен метод. Демонстрирах това решение само за да ви покажа универсален метод, което позволява „нищо да не бъде завършено“.

И накрая, помислете последен класзадачи:

Изчисляване на разстоянието между косите линии

Тук алгоритъмът за решаване на проблеми ще бъде подобен на предишния. Какво имаме:

3. Всеки вектор, свързващ точките на първата и втората линия:

Как намираме разстоянието между линиите?

Формулата е:

Числителят е модулът на смесеното произведение (въведехме го в предишната част), а знаменателят е същият като в предишната формула (модулът на векторното произведение на насочващите вектори на правите, разстоянието между които търсят).

Ще ви напомня това

тогава формулата за разстояние може да бъде пренаписана като:

Разделете тази детерминанта на детерминантата! Въпреки че, честно казано, тук не съм в настроение за шеги! Тази формулавсъщност е много тромаво и води до доста сложни изчисления. На твое място щях да го използвам само в краен случай!

Нека се опитаме да разрешим няколко проблема, като използваме горния метод:

1. В правилната триъгълна призма всички ръбове са някак равни, намерете разстоянието между правите линии и.

2. Като се има предвид триъгълна призма с правилна форма, всички ръбове на os-no-va-niya на някого са равни на Se-che-tion, преминавайки през другото ребро и se-re-di-nu ребра са yav-la-et-sya square-ra-tom. Find-di-te dis-sto-I-nie между straight-we-mi и

Аз решавам първото, а на базата на него вие решавате второто!

1. Чертая призма и маркирам линиите и

Координати на точка С: тогава

Координати на точки

Векторни координати

Координати на точки

Векторни координати

Векторни координати

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(масив)(*(20)(l))(\begin(масив)(*(20)(c))0&1&0\end(масив))\\(\begin(масив)(*(20) (c))0&0&1\end(масив))\\(\begin(масив)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\край (масив))\край (масив)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Разглеждаме кръстосаното произведение между векторите и

\[\стрелка надясно (A(A_1)) \cdot \стрелка надясно (B(C_1)) = \наляво| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(масив)\\\begin(масив)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\край (масив)\край (масив) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\стрелка надясно k + \frac(1)(2)\стрелка надясно i \]

Сега разглеждаме неговата дължина:

Отговор:

Сега се опитайте внимателно да изпълните втората задача. Отговорът на него ще бъде:.

Координати и вектори. Кратко описание и основни формули

Векторът е насочен сегмент. - началото на вектора, - края на вектора.
Векторът се означава с или.

Абсолютна стойноствектор - дължината на сегмента, представляващ вектора. Обозначен като.

векторни координати:

,
къде са краищата на вектора \displaystyle a .

Сума от вектори: .

Продуктът на векторите:

Точково произведение на вектори:

Разстоянието от точка до права е дължината на перпендикуляра от точката до правата. AT дескриптивна геометриято е определено графичноспоред алгоритъма по-долу.

Алгоритъм

1. Правата линия се прехвърля в позиция, в която ще бъде успоредна на всяка проекционна равнина. За да направите това, приложете методите за трансформация на ортогонални проекции.
2. Начертайте перпендикуляр от точка към права. В основата тази конструкцияе теорема за проекцията под прав ъгъл.
3. Дължината на перпендикуляра се определя чрез преобразуване на неговите проекции или чрез използване на метода на правоъгълния триъгълник.

Следващата фигура е сложен чертеж на точка M и линия b, даден от сегмента CD. Трябва да намерите разстоянието между тях.

Според нашия алгоритъм, първото нещо, което трябва да направите, е да преместите линията в позиция, успоредна на проекционната равнина. Важно е да разберете, че след трансформациите действителното разстояние между точката и линията не трябва да се променя. Ето защо тук е удобно да се използва методът за заместване на равнината, който не включва движещи се фигури в пространството.

Резултатите от първия етап от строителството са показани по-долу. Фигурата показва как се въвежда допълнителна фронтална равнина P 4, успоредна на b. AT нова система(P 1 , P 4) точките C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 са на същото разстояние от оста X 1 като C"", D"", M"" от оста X.

Изпълнявайки втората част от алгоритъма, от M"" 1 спускаме перпендикуляра M"" 1 N"" 1 към правата b"" 1, тъй като правият ъгъл MND между b и MN се проектира върху равнината P 4 в цял размер. Определяме позицията на точка N" по линията на комуникация и чертаем проекцията M"N" на отсечката MN.

На финален етапнеобходимо е да се определи стойността на сегмента MN чрез неговите проекции M"N" и M"" 1 N"" 1 . За да направим това, изграждаме правоъгълен триъгълник M"" 1 N"" 1 N 0, в който кракът N"" 1 N 0 е равен на разликата (Y M 1 - Y N 1) на премахването на точки M " и N" от оста X 1. Дължината на хипотенузата M"" 1 N 0 на триъгълника M"" 1 N"" 1 N 0 съответства на желаното разстояние от M до b.

Вторият начин за решаване

• Успоредно на CD въвеждаме нова фронтална равнина П 4 . Тя пресича P 1 по оста X 1 и X 1 ∥C"D". В съответствие с метода на замяна на равнини, ние определяме проекциите на точките C "" 1, D"" 1 и M"" 1, както е показано на фигурата.
• Перпендикулярно на C"" 1 D"" 1 изграждаме допълнителна хоризонтална равнина P 5, на която правата b се проектира към точката C "2 = b" 2.
• Разстоянието между точка M и правата b се определя от дължината на сегмента M "2 C" 2, маркиран в червено.

Свързани задачи:

О-о-о-о-о-о ... е, тенекиен е, сякаш си прочете изречението =) Но тогава релаксът ще помогне, особено след като днес купих подходящи аксесоари. Затова нека да продължим към първия раздел, надявам се, че до края на статията ще запазя весело настроение.

Взаимно разположение на две прави линии

Случаят, когато залата пее в хор. Две линии могат:

1) мач;

2) да са успоредни: ;

3) или се пресичат в една точка: .

Помощ за манекени : моля, запомнете математически знакпресичане, ще се случва много често. Записът означава, че правата се пресича с правата в точката.

Как да определим относителната позиция на две линии?

Да започнем с първия случай:

Две прави съвпадат тогава и само тогава, когато съответните им коефициенти са пропорционални, тоест има такова число "ламбда", че равенствата

Нека разгледаме прави линии и съставим три уравнения от съответните коефициенти: . От всяко уравнение следва, че следователно тези линии съвпадат.

Наистина, ако всички коефициенти на уравнението умножете по -1 (променете знаците) и всички коефициенти на уравнението намалите с 2, получавате същото уравнение: .

Вторият случай, когато линиите са успоредни:

Две прави са успоредни тогава и само ако техните коефициенти при променливите са пропорционални: , но.

Като пример разгледайте две прави линии. Проверяваме пропорционалността на съответните коефициенти за променливите:

Въпреки това е ясно, че.

И третият случай, когато линиите се пресичат:

Две прави се пресичат тогава и само ако техните коефициенти на променливите НЕ са пропорционални, тоест НЯМА такава стойност на "ламбда", че равенствата да са изпълнени

И така, за прави линии ще съставим система:

От първото уравнение следва, че , а от второто уравнение: , следователно, системата е непоследователна(няма решения). Следователно коефициентите при променливите не са пропорционални.

Заключение: линиите се пресичат

В практически задачи може да се използва току-що разгледаната схема за решение. Между другото, той е много подобен на алгоритъма за проверка на вектори за колинеарност, който разгледахме в урока. Концепцията за линейна (не) зависимост на векторите. Векторна основа. Но има по-цивилизован пакет:

Пример 1

Разберете относителната позиция на линиите:

Решениевъз основа на изследването на насочващите вектори на прави линии:

а) От уравненията намираме насочващите вектори на правите: .

, така че векторите не са колинеарни и правите се пресичат.

За всеки случай ще сложа камък с указатели на кръстопътя:

Останалите прескачат камъка и го следват, право към Кашчей Безсмъртния =)

б) Намерете насочващите вектори на правите:

Правите имат един и същ вектор на посоката, което означава, че са или успоредни, или еднакви. Тук детерминантата не е необходима.

Очевидно коефициентите на неизвестните са пропорционални, докато .

Нека разберем дали равенството е вярно:

По този начин,

в) Намерете насочващите вектори на правите:

Нека изчислим детерминантата, съставена от координатите на тези вектори:
, следователно векторите на посоката са колинеарни. Правите са или успоредни, или съвпадат.

Коефициентът на пропорционалност "ламбда" е лесно да се види директно от съотношението на векторите на колинеарна посока. Но може да се намери и чрез коефициентите на самите уравнения: .

Сега нека разберем дали равенството е вярно. И двата безплатни термина са нула, така че:

Получената стойност удовлетворява това уравнение(по принцип подхожда на всяко число).

Така линиите съвпадат.

Отговор:

Много скоро ще се научите (или дори вече сте се научили) да решавате разглеждания проблем устно буквално за секунди. В тази връзка не виждам причина да предлагам нещо за независимо решение, по-добре е да поставите още една важна тухла в геометричната основа:

Как да начертаем права, успоредна на дадена?

Заради невежеството на това най-простата задачанаказва сурово Славея Разбойника.

Пример 2

Правата линия е дадена от уравнението. Напишете уравнение за успоредна права, която минава през точката.

Решение: Означете непознатия ред с буквата . Какво казва условието за това? Правата минава през точката. И ако правите са успоредни, тогава е очевидно, че насочващият вектор на правата "ce" също е подходящ за построяване на правата "de".

Изваждаме вектора на посоката от уравнението:

Отговор:

Геометрията на примера изглежда проста:

Аналитичната проверка се състои от следните стъпки:

1) Проверяваме дали линиите имат еднакъв насочващ вектор (ако уравнението на правата не е правилно опростено, тогава векторите ще бъдат колинеарни).

2) Проверете дали точката удовлетворява полученото уравнение.

Аналитичната проверка в повечето случаи се извършва лесно устно. Погледнете двете уравнения и много от вас бързо ще разберат как линиите са успоредни без никакъв чертеж.

Примерите за самостоятелно решаване днес ще бъдат креативни. Защото все още трябва да се състезавате с Баба Яга, а тя, знаете, е любител на всякакви гатанки.

Пример 3

Напишете уравнение за права, минаваща през точка, успоредна на правата, ако

Има рационален и не много рационален начин за решаване. Най-краткият път е в края на урока.

Поработихме малко с успоредни прави и ще се върнем към тях по-късно. Случаят на съвпадащи линии не представлява голям интерес, така че помислете за проблем, който ви е добре познат от училищна програма:

Как да намерим пресечната точка на две прави?

Ако прав се пресичат в точката , тогава нейните координати са решението системи от линейни уравнения

Как да намерим пресечната точка на линиите? Решете системата.

Ето за вас геометричен смисълдве линейни уравненияс две неизвестниса две пресичащи се (най-често) прави в равнина.

Пример 4

Намерете пресечната точка на линиите

Решение: Има два начина за решаване - графичен и аналитичен.

Графичен начине просто да начертаете дадените линии и да намерите пресечната точка директно от чертежа:

Ето нашата гледна точка: . За да проверите, трябва да замените координатите му във всяко уравнение на права линия, те трябва да пасват и там, и там. С други думи, координатите на точка са решението на системата . Всъщност обмислихме графичен начин за решаване системи от линейни уравненияс две уравнения, две неизвестни.

Графичният метод, разбира се, не е лош, но има забележими недостатъци. Не, въпросът не е, че седмокласниците решават така, въпросът е, че ще отнеме време, за да се направи правилен и ТОЧЕН чертеж. Освен това някои линии не са толкова лесни за конструиране, а самата пресечна точка може да бъде някъде в тридесетото царство извън листа на тетрадката.

Следователно е по-целесъобразно да се търси пресечната точка аналитичен метод. Нека решим системата:

За решаване на системата е използван методът на почленно събиране на уравнения. За да развиете съответните умения, посетете урока Как се решава система от уравнения?

Отговор:

Проверката е тривиална - координатите на пресечната точка трябва да удовлетворяват всяко уравнение на системата.

Пример 5

Намерете пресечната точка на правите, ако се пресичат.

Това е пример за „направи си сам“. Удобно е проблемът да се раздели на няколко етапа. Анализът на състоянието предполага, че е необходимо:
1) Напишете уравнението на права линия.
2) Напишете уравнението на права линия.
3) Намерете относителната позиция на линиите.
4) Ако линиите се пресичат, намерете пресечната точка.

Разработването на алгоритъм за действие е типично за мнозина геометрични задачи, и ще се съсредоточа върху това многократно.

Цялостно решениеи отговорът в края на урока:

Чифт обувки все още не е износен, тъй като стигнахме до втория раздел на урока:

Перпендикулярни линии. Разстоянието от точка до права.
Ъгъл между линиите

Да започнем с типичен и много важна задача. В първата част научихме как да изградим права линия, успоредна на дадената, а сега колибата на пилешките крака ще се обърне на 90 градуса:

Как да начертаем права, перпендикулярна на дадена?

Пример 6

Правата линия е дадена от уравнението. Напишете уравнение за перпендикулярна права, минаваща през точка.

Решение: По предположение е известно, че . Би било хубаво да се намери насочващият вектор на правата линия. Тъй като линиите са перпендикулярни, трикът е прост:

От уравнението „премахваме“ нормалния вектор: , който ще бъде насочващият вектор на правата линия.

Съставяме уравнението на права линия от точка и насочващ вектор:

Отговор:

Нека разгънем геометричната скица:

Хммм... Оранжево небе, оранжево море, оранжева камила.

Аналитична проверка на решението:

1) Извлечете векторите на посоката от уравненията и с помощта точково произведение на векторизаключаваме, че правите наистина са перпендикулярни: .

Между другото, можете да използвате нормални вектори, дори е по-лесно.

2) Проверете дали точката удовлетворява полученото уравнение .

Проверката отново е лесна за вербална.

Пример 7

Намерете пресечната точка на перпендикулярни прави, ако уравнението е известно и точка.

Това е пример за „направи си сам“. В задачата има няколко действия, така че е удобно да подредите решението точка по точка.

Нашите забавно пътуванепродължава:

Разстояние от точка до линия

Пред нас е права ивица от реката и нашата задача е да я достигнем по най-краткия път. Няма препятствия, а най-оптималният маршрут ще бъде движението по перпендикуляра. Тоест разстоянието от точка до права е дължината на перпендикулярния сегмент.

Разстоянието в геометрията традиционно се обозначава с гръцката буква "ro", например: - разстоянието от точката "em" до правата линия "de".

Разстояние от точка до линия се изразява с формулата

Пример 8

Намерете разстоянието от точка до права

Решение: всичко, от което се нуждаете, е внимателно да замените числата във формулата и да направите изчисленията:

Отговор:

Нека изпълним чертежа:

Намереното разстояние от точката до правата е точно дължината на червения сегмент. Ако направите рисунка върху карирана хартия в мащаб 1 единица. \u003d 1 cm (2 клетки), тогава разстоянието може да се измери с обикновена линийка.

Помислете за друга задача според същия чертеж:

Задачата е да се намерят координатите на точката, която е симетрична на точката спрямо правата . Предлагам да извършите действията сами, но ще обознача алгоритъма за решение с междинни резултати:

1) Намерете права, която е перпендикулярна на права.

2) Намерете пресечната точка на линиите: .

И двете действия са разгледани подробно в този урок.

3) Точката е средата на отсечката. Знаем координатите на средата и единия от краищата. от формули за координатите на средата на сегментанамирам .

Няма да е излишно да проверите дали разстоянието също е равно на 2,2 единици.

Тук могат да възникнат трудности при изчисленията, но в кулата микрокалкулаторът помага много, позволявайки ви да броите обикновени дроби. Съветвал съм много пъти и ще препоръчам отново.

Как да намерим разстоянието между две успоредни прави?

Пример 9

Намерете разстоянието между две успоредни прави

Това е още един пример за независимо решение. Малък съвет: има безкрайно много начини за решаване. Разбор в края на урока, но по-добре се опитайте да познаете сами, мисля, че успяхте да разпръснете изобретателността си добре.

Ъгъл между две прави

Какъвто и да е ъгълът, тогава джамът:


В геометрията ъгълът между две прави се приема за ПО-МАЛКИ ъгъл, от което автоматично следва, че той не може да бъде тъп. На фигурата ъгълът, обозначен с червената дъга, не се счита за ъгъл между пресичащите се линии. И неговият „зелен“ съсед или противоположно ориентиранипурпурен ъгъл.

Ако правите са перпендикулярни, тогава всеки от 4-те ъгъла може да се приеме за ъгъл между тях.

Как се различават ъглите? Ориентация. Първо, посоката на "превъртане" на ъгъла е фундаментално важна. Второ, отрицателно ориентиран ъгъл се записва със знак минус, например, ако .

Защо казах това? Изглежда, че можете да се справите с обичайната концепция за ъгъл. Факт е, че във формулите, по които ще намерим ъглите, лесно може да се окаже отрицателен резултати не трябва да ви изненадва. Ъгъл със знак минус не е по-лош и има много специфично геометрично значение. На чертежа за отрицателен ъгълне забравяйте да посочите ориентацията му (по часовниковата стрелка) със стрелка.

Как да намерим ъгъла между две прави?Има две работни формули:

Пример 10

Намерете ъгъла между линиите

Решениеи Метод първи

Помислете за два реда дадени чрез уравненияобщо взето:

Ако прав не перпендикулярно, тогава ориентиранаъгълът между тях може да се изчисли по формулата:

Повечето внимателно вниманиеобърнете се към знаменателя - това е точно скаларно произведениенасочващи вектори на прави линии:

Ако , тогава знаменателят на формулата изчезва и векторите ще бъдат ортогонални и линиите ще бъдат перпендикулярни. Ето защо е направена уговорка за неперпендикулярността на линиите във формулировката.

Въз основа на гореизложеното решението е удобно формализирано в две стъпки:

1) Изчислете скаларното произведение на насочващи вектори на прави линии:
така че линиите не са перпендикулярни.

2) Намираме ъгъла между линиите по формулата:

Като се използва обратна функциялесно намиране на самия ъгъл. В този случай използваме нечетността на аркутангенса (виж Фиг. Графики и свойства на елементарни функции):

Отговор:

В отговора посочваме точната стойност, както и приблизителната стойност (за предпочитане както в градуси, така и в радиани), изчислена с помощта на калкулатор.

Е, минус, значи минус, всичко е наред. Ето геометрична илюстрация:

Не е изненадващо, че ъгълът се оказа с отрицателна ориентация, тъй като в условието на задачата първото число е права линия и "усукването" на ъгъла започва именно от нея.

Ако наистина искате да получите положителен ъгъл, трябва да размените правите линии, тоест да вземете коефициентите от второто уравнение и вземете коефициентите от първото уравнение. Накратко, трябва да започнете с директен .

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебен ред, в съдебни производства и/или въз основа на публични искания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други цели от обществен интерес.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.