Насочващият вектор на правата lвсеки ненулев вектор ( м, н) успоредна на тази права.

Нека точката М 1 (х 1 , г 1) и вектор на посоката ( м, н), тогава уравнението на правата, минаваща през точката М 1 по посока на вектора има формата: . Това уравнение се нарича канонично уравнениеправ.

Пример.Намерете уравнението на права линия с насочващ вектор (1, -1) и минаваща през точка A(1, 2).

Ще търсим уравнението на желаната права линия във вида: Axe+By+C= 0. Нека напишем каноничното уравнение на правата, трансформираме го. Вземете x + y - 3 = 0

Уравнение на права, минаваща през две точки

Нека на равнината са дадени две точки М 1 (х 1 , г 1) и М 2 (х 2, г 2), тогава уравнението на права линия, минаваща през тези точки, има формата: . Ако някой от знаменателите е равен на нула, съответният числител трябва да бъде равен на нула.

Пример.Намерете уравнението на права линия, минаваща през точките A(1, 2) и B(3, 4).

Прилагайки горната формула, получаваме:

Уравнение на права от точка и наклон

Ако общото уравнение на права линия Ах + Ву + С= 0 доведе до формата: и означете , тогава полученото уравнение се нарича уравнение на права линия с фактор на наклонак.

Уравнение на права линия в отсечки

Ако в общото уравнение линията Ах + Ву + С= 0 коефициент ОТ¹ 0, тогава, разделяйки на C, получаваме: или къде

Геометричният смисъл на коефициентите е, че коефициентът ае координатата на пресечната точка на правата с оста о, а b- координатата на пресечната точка на линията с оста OU.

Пример.Дадено е общото уравнение на права линия х – при+ 1 = 0. Намерете уравнението на тази права линия в сегменти. A = -1, B = 1, C = 1, тогава а = -1, b= 1. Уравнението на права линия в сегменти ще приеме формата .

Пример.Дадени са върховете на триъгълника A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Намерете уравнението за височината, изтеглена от върха C.

Намираме уравнението на страната AB: ;

4х = 6г– 6; 2х – 3г + 3 = 0;

Уравнението на желаната височина има формата: Axe+By+C= 0 или y = kx + b.

к= . Тогава г= . защото височина минава през точка C, тогава нейните координати отговарят на това уравнение: където b= 17. Общо: .

Отговор: 3 х + 2г – 34 = 0.

Практически урок №7

Име на класа: Криви от втори ред.

Цел на урока:Научете как да правите криви от 2-ри ред, да ги изграждате.

Подготовка за урока:Повторете теоретичен материалпо темата "Криви от 2-ри ред"

Литература:

1. Дадаян А.А. "Математика", 2004г

Задача към урока:

Редът на урока:

1. Вземете разрешение за работа
2. Изпълнете задачите
3. Отговори на въпросите за сигурност.

1. Име, цел на урока, задача;
2. Изпълнена задача;
3. Отговори на контролни въпроси.

Контролни въпроси за компенсиране:

1. Дефинирайте криви от втори ред (окръжност, елипса, хипербола, парабола), запишете техните канонични уравнения.
2. Как се нарича ексцентричността на елипса или хипербола? Как да го намерите?
3. Напишете уравнението на равностранна хипербола

ПРИЛОЖЕНИЕ

обиколкае множеството от всички точки на равнината, еднакво отдалечени от една точка, наречена център.

Нека центърът на окръжността е точка О(а; b), и разстоянието до всяка точка М(x;y) кръг е равен на Р. Тогава ( х-а) 2 + (у-б) 2 = Р 2 – канонично уравнение на окръжност с център О(а; b) и радиус Р.

Пример.Намерете координатите на центъра и радиуса на окръжността, ако нейното уравнение е дадено като: 2 х 2 + 2г 2 - 8x + 5 г – 4 = 0.

За да се намерят координатите на центъра и радиуса на окръжността, това уравнение трябва да се сведе до каноничната форма. За да направите това, изберете пълни квадратчета:

х 2 + г 2 – 4х + 2,5г – 2 = 0

х 2 – 4х + 4 – 4 + г 2 + 2,5г + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(х– 2) 2 + (г + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0

(х – 2) 2 + (г + 5/4) 2 = 121/16

От тук намираме координатите на центъра О(2; -5/4); радиус Р = 11/4.

Елипсасе нарича набор от точки в равнина, сумата от разстоянията от всяка от които до две дадени точки (наречени фокуси) е постоянна стойност, по-голяма от разстоянието между фокусите.

Фокусите са обозначени с букви Е 1 , Е с, сумата от разстоянията от всяка точка на елипсата до фокусите е 2 а (2а > 2° С), а- голяма полуос; b- малка полуос.

Каноничното уравнение на елипсата е: , където а, bи ° Ссвързани помежду си с равенства: a 2 - b 2 \u003d c 2 (или b 2 - a 2 \u003d c 2).

Формата на елипсата се определя от характеристика, която е отношението на фокусното разстояние към дължината на голямата ос и се нарича ексцентричност. или .

защото по дефиниция 2 а> 2° С, тогава ексцентричността винаги е изразена правилна дроб, т.е. .

Пример.Напишете уравнение за елипса, ако нейните фокуси са F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), голямата ос е 2.

Уравнението на елипсата има формата: .

Разстояние между фокусите: 2 ° С= , по този начин, а 2 – b 2 = ° С 2 = . По условие 2 а= 2, така че а = 1, b= Желаното уравнение на елипсата ще приеме формата: .

Хиперболанаречен набор от точки в равнината, разликата в разстоянията от всяка от които до две дадени точки, наречени фокуси, е постоянна стойност, по-малка от разстоянието между фокусите.

Каноничното уравнение на хипербола има формата: или , където а, bи ° Ссвързани с равенство a 2 + b 2 = c 2 .Хиперболата е симетрична по отношение на средата на сегмента, свързващ фокусите и по отношение на координатните оси. Фокусите са обозначени с букви Е 1 , Е 2 , разстояние между фокусите - 2 с, разликата в разстоянията от всяка точка на хиперболата до фокусите е 2 а (2а < 2° С). Ос 2 анаречена реална ос на хиперболата, ос 2 bе въображаемата ос на хиперболата. Хиперболата има две асимптоти, чиито уравнения са

Ексцентрицитетът на хипербола е съотношението на разстоянието между фокусите към дължината на реалната ос: или. защото по дефиниция 2 а < 2° С, тогава ексцентричността на хиперболата винаги се изразява като неправилна дроб, т.е. .

Ако дължината на реалната ос е равна на дължината на въображаемата ос, т.е. a = b, ε = , тогава хиперболата се нарича равностранен.

Пример.Напишете каноничното уравнение на хипербола, ако нейният ексцентрицитет е 2 и фокусите съвпадат с фокусите на елипсата с уравнението

Намиране на фокусното разстояние ° С 2 = 25 – 9 = 16.

За хипербола: ° С 2 = а 2 + b 2 = 16, ε = c/a = 2; ° С = 2а; ° С 2 = 4а 2 ; а 2 = 4; b 2 = 16 – 4 = 12.

След това - желаното уравнение на хиперболата.

параболае набор от точки в равнина, еднакво отдалечени от дадена точка, наречена фокус, и дадена права линия, наречена директриса.

Фокусът на парабола се обозначава с буквата Е, директор - д, разстоянието от фокуса до директрисата е Р.

Каноничното уравнение на парабола, чийто фокус е разположен върху оста x, е:

г 2 = 2pxили г 2 = -2px

х = -стр/2, х = стр/2

Каноничното уравнение на парабола, чийто фокус е върху оста y, е:

х 2 = 2pyили х 2 = -2py

Директрисни уравнения, съответно при = -стр/2, при = стр/2

Пример.На парабола при 2 = 8хнамерете точка, чието разстояние от директрисата е 4.

От уравнението на параболата получаваме това Р = 4. r=x + стр/2 = 4; Следователно:

х = 2; г 2 = 16; г= ±4. Точки за търсене: М 1 (2; 4), М 2 (2; -4).

Практика #8

Име на класа: Действията приключиха комплексни числав алгебрична форма. Геометрична интерпретация на комплексни числа.

Цел на урока:Научете как да оперирате с комплексни числа.

Подготовка за урока:Повторете теоретичния материал по темата „Комплексни числа“.

Литература:

1. Григориев В.П., Дубински Ю.А. „Елементи висша математика“, 2008 г

Задача към урока:

1. Изчисли:

1) аз 145 + аз 147 + аз 264 + аз 345 + аз 117 ;

2) (аз 64 + аз 17 + аз 13 + аз 82)( аз 72 – аз 34);

Какво е нормално? С прости думи, нормата е перпендикулярът. Тоест нормалният вектор на права е перпендикулярен на дадената права. Очевидно е, че всяка права линия има безкраен брой от тях (както и насочващи вектори) и всички нормални вектори на правата линия ще бъдат колинеарни (съпосочни или не - няма значение).

Справянето с тях ще бъде дори по-лесно, отколкото с векторите на посоката:

Ако линията е дадена от общото уравнение в правоъгълна системакоординати, тогава векторът е нормалният вектор на дадената права.

Ако координатите на вектора на посоката трябва внимателно да бъдат „извадени“ от уравнението, тогава координатите на нормалния вектор просто се „премахват“.

Нормалният вектор винаги е ортогонален на вектора на посоката на правата. Ще проверим ортогоналността на тези вектори с помощта на точков продукт:

Ще дам примери със същите уравнения като за вектора на посоката:

Възможно ли е да се напише уравнение на права линия, като се знае една точка и нормален вектор? Ако нормалният вектор е известен, тогава посоката на най-правата линия също е еднозначно определена - това е „твърда конструкция“ с ъгъл от 90 градуса.

Как да напиша уравнение на права линия, дадена точка и нормален вектор?

Ако са известни точка, принадлежаща на правата, и нормалният вектор на тази права, тогава уравнението на тази права се изразява с формулата:

Съставете уравнение на права линия, дадена точка и нормален вектор. Намерете вектора на посоката на правата линия.

Решение: Използвайте формулата:

Общото уравнение на правата се получава, нека проверим:

1) "Премахнете" координатите на нормалния вектор от уравнението: - да, наистина, оригиналният вектор се получава от условието (или векторът трябва да е колинеарен на оригиналния вектор).

2) Проверете дали точката удовлетворява уравнението:

Истинско равенство.

След като се убедим, че уравнението е правилно, ще изпълним втората по-лесна част от задачата. Изваждаме вектора на посоката на правата линия:

Отговор:

На чертежа ситуацията е следната:

За тренировъчни цели подобна задача за независимо решение:

Напишете уравнение на права линия, дадена точка и нормален вектор. Намерете вектора на посоката на правата линия.

Последният раздел на урока ще бъде посветен на по-рядко срещаните, но също така важни видовеуравнения на права линия в равнина

Уравнение на права линия в отсечки.
Уравнение на права линия в параметричен вид

Уравнението на права линия в сегменти има формата , където са ненулеви константи. Някои видове уравнения не могат да бъдат представени в тази форма, например пряка пропорционалност (тъй като свободният член е нула и няма начин да се получи едно от дясната страна).

Това е, образно казано, "технически" тип уравнение. Обичайната задача е да се представи общото уравнение на права линия като уравнение на права линия в сегменти. Защо е удобно? Уравнението на права линия в сегменти ви позволява бързо да намерите точките на пресичане на права линия с координатни оси, което е много важно в някои проблеми на висшата математика.

Намерете пресечната точка на правата с оста. Нулираме „y“ и уравнението приема формата . Желаната точка се получава автоматично: .

Същото с оста е точката, в която линията пресича оста y.

Действията, които току-що обясних подробно, се извършват устно.

Дадена е права линия. Съставете уравнението на права линия в сегменти и определете точките на пресичане на графиката с координатните оси.

Решение: Нека приведем уравнението във формата . Първо преместваме свободния термин на правилната страна:

За да получим единица отдясно, разделяме всеки член на уравнението на -11:

Ние правим фракции триетажни:

Точките на пресичане на правата линия с координатните оси са на повърхността:

Отговор:

Остава да прикрепите линийка и да нарисувате права линия.

Лесно е да се види, че тази права линия се определя еднозначно от червените и зелените сегменти, откъдето идва и името - „уравнението на права линия в сегменти“.

Разбира се, точките не са толкова трудни за намиране от уравнението, но задачата все пак е полезна. Разглежданият алгоритъм ще бъде необходим за намиране на точките на пресичане на равнината с координатните оси, за привеждане на уравнението на линията от втори ред до каноничната форма и в някои други проблеми. Следователно, няколко прави линии за независимо решение:

Съставете уравнението на права линия в сегменти и определете точките на нейното пресичане с координатните оси.

Решения и отговори накрая. Не забравяйте, че ако желаете, можете да нарисувате всичко.

Как да напиша параметрични уравнения за права линия?

Параметричните уравнения на права линия са по-подходящи за правите линии в пространството, но без тях нашето резюме ще бъде осиротяло.

Ако са известни някаква точка, принадлежаща на правата, и векторът на посоката на тази права, тогава параметричните уравнения на тази линия се дават от системата:

Съставяне на параметрични уравнения на права чрез точка и насочващ вектор

Решението приключи, преди да започне:

Параметърът "te" може да приеме произволна стойност от "минус безкрайност" до "плюс безкрайност", като всяка стойност на параметъра съответства на определена точка от равнината. Например, ако , тогава получаваме точка .

Обратна задача: как да проверим дали дадена условна точка принадлежи на дадена линия?

Нека заместим координатите на точката в получените параметрични уравнения:

От двете уравнения следва, че , т.е. системата е последователна и има единствено решение.

Нека разгледаме по-смислените задачи:

Съставете параметрични уравнения на права линия

Решение: По условие правата е дадена в общ вид. За да съставите параметричните уравнения на права линия, трябва да знаете нейния насочващ вектор и някаква точка, принадлежаща на тази права линия.

Нека намерим вектора на посоката:

Сега трябва да намерите някаква точка, принадлежаща на линията (всяка ще направи), за тази цел е удобно да пренапишете общото уравнение под формата на уравнение с наклон:

Налага се, разбира се, смисълът

Съставяме параметричните уравнения на правата:

И накрая, една малка творческа задачаза независимо решение.

Съставете параметрични уравнения на права линия, ако са известни принадлежащата й точка и нормалният вектор

Задачата може да бъде изпълнена единствения начин. Една от версиите на решението и отговорът в края.

Решения и отговори:

Пример 2: Решение: Намерете наклона:

Съставяме уравнението на права линия с точка и наклон:

Отговор:

Пример 4: Решение: Ще съставим уравнението на права линия по формулата:

Отговор:

Пример 6: Решение: Използвайте формулата:

Отговор: (у-ос)

Пример 8: Решение: Нека съставим уравнение на права линия в две точки:

Умножете двете страни по -4:

И разделете на 5:

Отговор:

Пример 10: Решение: Използвайте формулата:

Намаляваме с -2:

Директен вектор на посоката:
Отговор:

Пример 12:
а) Решение: Нека трансформираме уравнението:

По този начин:

Отговор:

б) Решение: Нека трансформираме уравнението:

По този начин:

Отговор:

Пример 15: Решение: Първо, записваме общото уравнение на права линия, дадена точка и нормален вектор :

Умножете по 12:

Умножаваме по 2 повече, така че след отваряне на втората скоба да се отървем от фракцията:

Директен вектор на посоката:
Съставяме параметричните уравнения на правата по точката и вектор на посоката :
Отговор:

Най-прости задачи с права на равнина.
Взаимно подреждане на линиите. Ъгъл между линиите

Продължаваме да разглеждаме тези безкрайни-безкрайни линии.

Как да намерим разстоянието от точка до права?
Как да намерим разстоянието между две успоредни прави?
Как да намерим ъгъла между две прави?

Взаимно разположение на две прави линии

Помислете за две прави линии, дадени от уравнения в общ вид:

Случаят, когато залата пее в хор. Два реда могат:

1) мач;

2) да са успоредни: ;

3) или се пресичат в една точка: .

Моля, запомнете математически знакпресичане, ще се случва много често. Записът означава, че правата се пресича с правата в точката.

Как да определим относителната позиция на две линии?

Да започнем с първия случай:

Две прави съвпадат тогава и само ако техните съответни коефициенти са пропорционални, т.е. има такъв брой "ламбда", че равенствата са валидни

Нека разгледаме прави линии и съставим три уравнения от съответните коефициенти: . От всяко уравнение следва, че следователно тези линии съвпадат.

Наистина, ако всички коефициенти на уравнението умножете по -1 (променете знаците) и всички коефициенти на уравнението намалите с 2, получавате същото уравнение: .

Вторият случай, когато линиите са успоредни:

Две прави са успоредни тогава и само ако техните коефициенти при променливите са пропорционални: , но .

Като пример разгледайте две прави линии. Проверяваме пропорционалността на съответните коефициенти за променливите:

Въпреки това е ясно, че.

И третият случай, когато линиите се пресичат:

Две прави се пресичат тогава и само ако техните коефициенти при променливите НЕ са пропорционални, тоест НЯМА такава стойност на "ламбда", че равенствата да са изпълнени

И така, за прави линии ще съставим система:

От първото уравнение следва, че , а от второто уравнение: , което означава, че системата е несъгласувана (няма решения). Следователно коефициентите при променливите не са пропорционални.

Заключение: линиите се пресичат

В практически задачи може да се използва току-що разгледаната схема за решение. Между другото, той е много подобен на алгоритъма за проверка на вектори за колинеарност. Но има по-цивилизован пакет:

Разберете относителната позиция на линиите:

Решението се основава на изследването на насочващите вектори на прави линии:

а) От уравненията намираме насочващите вектори на правите: .

, така че векторите не са колинеарни и правите се пресичат.

б) Намерете насочващите вектори на правите:

Правите имат един и същ вектор на посоката, което означава, че са или успоредни, или еднакви. Тук детерминантата не е необходима.

Очевидно коефициентите на неизвестните са пропорционални, докато .

Нека разберем дали равенството е вярно:

По този начин,

в) Намерете насочващите вектори на правите:

Нека изчислим детерминантата, съставена от координатите на тези вектори:
, следователно векторите на посоката са колинеарни. Правите са или успоредни, или съвпадат.

Коефициентът на пропорционалност "ламбда" може да се намери директно чрез съотношението на колинеарни насочени вектори. Възможно е обаче и чрез коефициентите на самите уравнения: .

Сега нека разберем дали равенството е вярно. И двата безплатни термина са нула, така че:

Получената стойност удовлетворява това уравнение (всяко число обикновено го удовлетворява).

Така линиите съвпадат.

Как да начертаем права, успоредна на дадена?

Правата линия е дадена от уравнението. Напишете уравнение за успоредна права, която минава през точката.

Решение: Означете неизвестната права с буквата . Какво казва условието за това? Правата минава през точката. И ако правите са успоредни, тогава е очевидно, че насочващият вектор на правата "ce" също е подходящ за построяване на правата "de".

Изваждаме вектора на посоката от уравнението:

Геометрията на примера изглежда проста:

Аналитичната проверка се състои от следните стъпки:

1) Проверяваме дали линиите имат еднакъв насочващ вектор (ако уравнението на правата не е правилно опростено, тогава векторите ще бъдат колинеарни).

2) Проверете дали точката удовлетворява полученото уравнение.

Аналитичната проверка в повечето случаи се извършва лесно устно. Погледнете двете уравнения и много от вас бързо ще разберат как линиите са успоредни без никакъв чертеж.

Примерите за самостоятелно решаване днес ще бъдат креативни.

Напишете уравнение за права, минаваща през точка, успоредна на правата, ако

Най-краткият път е накрая.

Как да намерим пресечната точка на две прави?

Ако прав се пресичат в точката , то нейните координати са решението на системата линейни уравнения

Как да намерим пресечната точка на линиите? Решете системата.

Ето за вас геометричен смисълсистеми от две линейни уравнения с две неизвестни са две пресичащи се (най-често) прави в равнината.

Намерете пресечната точка на линиите

Решение: Има два начина за решаване - графичен и аналитичен.

Графичен начине просто да начертаете дадените линии и да намерите пресечната точка директно от чертежа:

Ето нашата гледна точка: . За да проверите, трябва да замените координатите му във всяко уравнение на права линия, те трябва да пасват и там, и там. С други думи, координатите на точка са решението на системата . Всъщност разгледахме графичен метод за решаване на система от линейни уравнения с две уравнения, две неизвестни.

Графичният метод, разбира се, не е лош, но има забележими недостатъци. Не, въпросът не е, че седмокласниците решават така, въпросът е, че ще отнеме време, за да се направи правилен и ТОЧЕН чертеж. Освен това някои линии не са толкова лесни за конструиране, а самата пресечна точка може да бъде някъде в тридесетото царство извън листа на тетрадката.

Следователно е по-целесъобразно да се търси пресечната точка по аналитичния метод. Нека решим системата:

За решаване на системата е използван методът на почленно събиране на уравнения.

Проверката е тривиална - координатите на пресечната точка трябва да удовлетворяват всяко уравнение на системата.

Намерете пресечната точка на правите, ако се пресичат.

Това е пример за „направи си сам“. Удобно е проблемът да се раздели на няколко етапа. Анализът на състоянието предполага, че е необходимо:
1) Напишете уравнението на права линия.
2) Напишете уравнението на права линия.
3) Намерете относителната позиция на линиите.
4) Ако линиите се пресичат, намерете пресечната точка.

Разработването на алгоритъм за действие е типично за много геометрични задачи и аз многократно ще се фокусирам върху това.

Цялостно решениеи отговорът накрая:

Перпендикулярни линии. Разстоянието от точка до права.
Ъгъл между линиите

Как да начертаем права, перпендикулярна на дадена?

Правата линия е дадена от уравнението. Напишете уравнение за перпендикулярна права, минаваща през точка.

Решение: По предположение е известно, че . Би било хубаво да се намери насочващият вектор на правата линия. Тъй като линиите са перпендикулярни, трикът е прост:

От уравнението „премахваме“ нормалния вектор: , който ще бъде насочващият вектор на правата линия.

Съставяме уравнението на права линия от точка и насочващ вектор:

Отговор:

Нека разгънем геометричната скица:

Аналитична проверкарешения:

1) Извлечете векторите на посоката от уравненията и използвайки скаларното произведение на векторите, заключаваме, че линиите наистина са перпендикулярни: .

Между другото, можете да използвате нормални вектори, дори е по-лесно.

2) Проверете дали точката удовлетворява полученото уравнение .

Проверката отново е лесна за вербална.

Намерете пресечната точка на перпендикулярни прави, ако уравнението е известно и точка.

Това е пример за „направи си сам“. В задачата има няколко действия, така че е удобно да подредите решението точка по точка.

Разстояние от точка до линия

Разстоянието в геометрията традиционно се обозначава с гръцката буква "p", например: - разстоянието от точката "m" до правата линия "d".

Разстояние от точка до линия се изразява с формулата

Намерете разстоянието от точка до права

Решение: всичко, което трябва да направите, е внимателно да поставите числата във формулата и да направите изчисленията:

Отговор:

Нека изпълним чертежа:

Намереното разстояние от точката до правата е точно дължината на червения сегмент. Ако направите рисунка върху карирана хартия в мащаб 1 единица. \u003d 1 cm (2 клетки), тогава разстоянието може да се измери с обикновена линийка.

Помислете за друга задача според същия чертеж:

Как да построим точка, симетрична спрямо права?

Задачата е да се намерят координатите на точката, която е симетрична на точката спрямо правата . Предлагам да извършите действията сами, но ще обознача алгоритъма за решение с междинни резултати:

1) Намерете права, която е перпендикулярна на права.

2) Намерете пресечната точка на линиите: .

В геометрията ъгълът между две прави се приема за ПО-МАЛКИ ъгъл, от което автоматично следва, че той не може да бъде тъп. На фигурата ъгълът, обозначен с червената дъга, не се счита за ъгъл между пресичащите се линии. И неговият „зелен“ съсед или противоположно ориентиран „малинов“ ъгъл се счита за такъв.

Ако правите са перпендикулярни, тогава всеки от 4-те ъгъла може да се приеме за ъгъл между тях.

Как се различават ъглите? Ориентация. Първо, посоката на "превъртане" на ъгъла е фундаментално важна. Второ, отрицателно ориентиран ъгъл се записва със знак минус, например, ако .

Защо казах това? Изглежда, че можете да се справите с обичайната концепция за ъгъл. Факт е, че във формулите, по които ще намерим ъглите, лесно може да се окаже отрицателен резултати не трябва да ви изненадва. Ъгъл със знак минус не е по-лош и има много специфично геометрично значение. На чертежа за отрицателен ъгълне забравяйте да посочите ориентацията му (по часовниковата стрелка) със стрелка.

Въз основа на гореизложеното решението е удобно формализирано в две стъпки:

1) Изчислете скаларното произведение на насочващи вектори на прави линии:
така че линиите не са перпендикулярни.

2) Намираме ъгъла между линиите по формулата:

Като се използва обратна функциялесно намиране на самия ъгъл. В този случай използваме нечетността на аркутангенса:

Отговор:

В отговора посочваме точната стойност, както и приблизителната стойност (за предпочитане както в градуси, така и в радиани), изчислена с помощта на калкулатор.

Е, минус, значи минус, всичко е наред. Ето геометрична илюстрация:

Не е изненадващо, че ъгълът се оказа с отрицателна ориентация, тъй като в условието на задачата първото число е права линия и "усукването" на ъгъла започва именно от нея.

Има и трето решение. Идеята е да се изчисли ъгълът между векторите на посоката на линиите:

Тук не говорим за ориентиран ъгъл, а „просто за ъгъл“, тоест резултатът със сигурност ще бъде положителен. Уловката е, че може да се случи тъп ъгъл(не този, който искате). В този случай ще трябва да направите уговорка, че ъгълът между линиите е по-малък ъгъл и да извадите получения арккосинус от "пи" радиани (180 градуса).

Намерете ъгъла между линиите.

Това е пример за „направи си сам“. Опитайте се да го решите по два начина.

Решения и отговори:

Пример 3: Решение: Намерете вектора на посоката на правата линия:

Ще съставим уравнението на желаната права линия, използвайки точката и насочващия вектор

Забележка: тук първото уравнение на системата се умножава по 5, след което второто се изважда член по член от 1-вото уравнение.
Отговор:

Професия 9 . Равнина и права в пространството.

9.1. Общо уравнение на равнината. Нормален вектор.

9.3. Разстоянието от точка до равнина. Взаимно разположение на две равнини, права и равнина на две прави в пространството.

9.1. Общо уравнение на равнината. Нормален вектор.

Общото уравнение на равнина в пространството има формата, където
- числени коефициенти,
- координати произволна точкасамолети.

Това уравнение се получава чрез решаване на следната задача.

Задача 1. Намерете уравнението на равнина, минаваща през дадена точка
перпендикулярен на вектора
.

Решение. Обозначете желаната равнина през
. Използваме следната верига от заключения:

Отбелязваме пълната аналогия между общото уравнение на права линия в равнина
и общото уравнение на равнина в пространството.

От решението на задачата се вижда, че от общото уравнение на равнината веднага може да се намери векторът
перпендикулярна на равнината. Този вектор се нарича нормално(или нормален вектор) до самолета. Например от общото уравнение на равнината
(в това уравнение) получаваме такъв нормален вектор
. Коефициент няма специално семантично натоварване, по отношение на него може да се каже само когато
равнината минава през началото
, и когато
не минава през произхода. Трябва също да се отбележи, че уравнението
се задава в пространството
самолет с норм
, което показва, че дадената равнина е успоредна на оста
. Това е същото уравнение
на повърхността
определя линия.

По същия начин уравнението
в космоса
представлява общото уравнение на координатната равнина
. Нормалата към тази равнина е векторът
- единичен вектор на положителната посока на оста
.

При намиране на уравненията на равнините често се използва условието за ортогоналност на два вектора (както е направено в задача 1) и условието за компланарност на три вектора.

Пример 1. Намерете уравнението на равнина, минаваща през три точки.

Решение. Първо се уверете, че дадените три точки не лежат на една и съща права (ако тези точки лежат на една и съща права, тогава има безкрайно много равнини, съдържащи дадените точки). Нека намерим векторите. Техните координати не са пропорционални. И така точките
не лежат на права линия и през тях минава само една равнина. Намерете тази равнина, която обозначаваме
, два начина.

1) - компланарен
смесено произведение на вектори
нула

Общо уравнение на равнината
.

2)
- нормален вектор към равнината
, защото по дефиниция на кръстосано произведение перпендикулярни на векторите
, успоредно
. По-нататъшните разсъждения повтарят решението на задача 1.

Общо уравнение на равнината
.

Пример 2. Намерете уравнението на равнината
преминаващ през точката
успоредна на равнината
:
.

Решение.
:- нормален вектор на равнина
. Същият вектор служи като нормален вектор към равнината
. Остава да повторим решението на задача 1.

Общо уравнение на равнината
.

Пример 3.Намирам двустенен ъгъл, под които се пресичат равнините
и
.

:
,
:
.

Решение. Двустенен ъгъл (тъп или остър) между равнините е равен на ъгъла между техните нормали.

:,
:.

- тъп ъгъл,

. Остър двустенен ъгъл между
и
се равнява
.

9.2. Права линия в пространството
:канонични, параметрични уравнения.

един). право в космоса
може да се определи като линия на пресичане на две равнини. Следователно системата от две равнинни уравнения
,

(1)

определя линия в пространството
при условие, че нормалните
,
тези равнини не са успоредни. Ако и
са успоредни, тогава равнините
,
са или успоредни, или еднакви. И в двата случая системата (1) вече няма да дава права линия.

Коментирайте. Настройката на директната система (1) не е много удобна, т.к от него не се вижда нито посоката на правата, нито която и да е от точките на тази права линия. Тази информация може да бъде получена от системата (1) само чрез допълнителни изчисления.

По-предпочитани от гледна точка на направената забележка са каноничните и параметричните уравнения на правата в
.

2). Канонични уравнения на права линия в пространството
изглежда като

. (2)

Тук
- дадени числа, те имат следното геометрично значение:
- координати на фиксирана точка
по права линия;

- координати на вектора на посоката прав.

- координати на произволна точка на права линия.

Параметрични уравнения на права линия в
изглежда като

(3)

Геометричният смисъл на величините
и количества
същото като по-горе.

Уравнения (2), (3) се получават чрез решаване на пространствения вариант задачи 2от урок 8.

Коментирайте.Права линия в равнина има нормала, който, подобно на насочващия вектор на права линия, ви позволява да зададете посоката на тази права линия. За права линия в пространството нормалният вектор няма смисъл, защото има безкрайно много вектори, перпендикулярни на пространствената права с различни посоки, и един даден вектор, перпендикулярен на тази права, не дава еднозначен отговор за посоката си.

Пример 4. Намерете каноничните уравнения на правата
, определена като пресечна точка на две равнини
:
и
:
.

Система от уравнения
определя права линия
в космоса, защото нормални вектори към равнини
и
, и това са векторите
и
не са успоредни. Нека намерим две фиксирани точки
на права линия
.

1. Заместете стойността в системата
, получаваме

.

Геометричен смисъл на точката
: това е пресечната точка на линията
със самолет
.

2. Заместете стойността в системата
, получаваме

.

Точка
, е пресечната точка на правата
със самолет
.

3. - насочващ вектор прав
.

4. векторни координати
пропорционален

. Това е каноничното уравнение на правата
.

5. Забележка. Вектор на посоката прав
могат да бъдат намерени чрез вектори
и
. За да направите това, трябва да изчислите кръстосаното произведение.

вектор перпендикулярни на векторите и
едновременно. Следователно, успоредна на права линия
и служи на другите (в сравнение с вектора ) като вектор на посоката на тази линия. Между другото:
, което също показва паралелността на вектора прав
. С този подход каноничните уравнения на правата линия
се получават след изпълнение на точки 1., 4. и 5. от горното решение. Само отговорът вече ще се окаже във формата
.

Пример 5. Намерете параметрични уравнения на права линия
преминаващ през точката
перпендикулярна на равнината
:
.

Решение.
- нормален вектор към равнината
. Този вектор е успореден на правата
и следователно е неговият насочващ вектор. Следователно,

Пример 6. Намерете канонични и параметрични уравнения на права линия
преминаващ през точката
успоредна на права линия
:
.

Решение.
- вектор на посоката прав
. Същият вектор е векторът на посоката на желаната линия
. Следователно,

векторни координати
пропорционален

- канонични уравнения на правата


- параметрични уравнения на правата
.

9.3. Разстоянието от точка до равнина. Взаимното разположение на две равнини, права линия и равнина, две прави линии в пространството.

Разстояние от точката
към равнината се намира по формулата
.

Повечето полезна информацияотносно относителната позиция на две равнини, права и равнина, две линии в пространството могат да бъдат извлечени от насочващите вектори на линиите и нормалите към равнините.

Пример 8. Намерете разстояние от точката
до самолета
.

Решение. .

Пример 9. При каква стойност на параметъра самолет
:
успоредна на равнината
:
?

Решение. Равнините са успоредни тогава и само ако техните нормални вектори са колинеарни
и
, т.е. би трябвало
. Това двойно равенство не важи за никое , защото
. Следователно самолетите
и
не е паралелен за всички стойности на параметрите .

Пример 10. При какви стойности на параметрите
прав
:
лежи в самолета
:
?

Според каноничните уравнения на правата
записваме неговите параметрични уравнения

.

всички точки на линията
удовлетворяват уравнението на равнината

отговор:
.

Можете да разрешите този проблем по различен начин.
- вектор на посоката прав
и
е неподвижна точка на тази линия.
- нормален вектор към равнината
. След това изграждаме такава верига от разсъждения.

Пример 11. Намерете относителната позиция на две линии

:
и
:
.

Решение. Правите в пространството могат да се пресичат, могат да се пресичат в една точка, могат да бъдат успоредни, могат да съвпадат. Нека разберем кой от посочените четири случая е реализиран в този пример.

От уравнението
ние извеждаме: и
.

От уравнението
изход:
и
.

.

Ако прав
и
се пресичат или са успоредни или съвпадат, тогава тройката вектори
- компланарен. Ами ако направо
и
пресичат, тогава тройката вектори
-некомпланарни. Нека намерим смесеното произведение на тези три вектора.

тройка
- некомпланарни

прав
и
кръстосвам се.

Примерите, дадени в уроци 8, ​​9, ясно демонстрират силата на векторните методи и изключителната роля на условията: колинеарност на два вектора; ортогоналност на два вектора; копланарност на три вектора при намиране на уравнения на прави и равнини.

Домашна работа.

1. Намерете общото уравнение на равнина, минаваща през три точки.

2. Намерете каноничните и параметричните уравнения на правата, която е пресечната точка на равнините.

3. Намерете пресечната точка на правата, минаваща през точката
перпендикулярна на равнината
, с този самолет.

Концепцията за неговия насочващ вектор е тясно свързана с концепцията за права линия. Често при проблеми е по-удобно да се разглежда вместо самата директна линия. Като част от този материалще анализираме какво представлява насочващият вектор на права линия в пространството и на равнина и ще ви кажем за какво може да се използва.

Yandex.RTB R-A-339285-1

В първия параграф формулираме определението и показваме основните понятия в илюстрациите, като ги допълваме конкретни примериводещ вектор. След това ще видим как векторите на линията и посоката си взаимодействат в правоъгълна координатна система и как можем да изчислим координатите на този вектор, ако знаем уравнението на правата. Всички правила, както винаги, ще бъдат илюстрирани с примери за решения на проблеми.

За да разберем тази тема, трябва да имаме добра представа какво е права линия като цяло и как може да бъде поставена в пространството и на равнина. Освен това е важно да си припомним вече изучената концепция за вектор. Вече писахме за това в отделна статия. Ако е необходимо, намерете и прочетете отново тези статии.

Нека формулираме какво е насочващ вектор.

Определение 1

водещ векторПрава линия е всеки ненулев вектор, който е поставен върху дадена права или върху права, успоредна на нея.

Оказва се, че всеки ред има безкрайно множествонаправляващи вектори. Освен това всички те ще бъдат колинеарни по силата на изразената дефиниция, тъй като лежат на една или друга права, успоредна на нея. Оказва се, че ако a → е насочващият вектор на правата a , тогава можем да означим другия насочващ вектор като t · a → за всяка стойност на t, съответстваща на реално число.

Също така от дефиницията по-горе можем да заключим, че векторите на посоката на две успоредни прави ще съвпадат: ако правите a и a 1 са успоредни, тогава векторът a → ще бъде посоката както за a, така и за a 1 .

Третият извод следва от определението: ако имаме насочващ вектор на правата a , то той ще бъде перпендикулярен на всеки нормален вектор на същата права.

Нека дадем пример за насочващ вектор: в правоъгълна координатна система за осите O x , O y и O z насочващите вектори ще бъдат i → , j → и k → .

Как да изчислим координатите на вектора на посоката от уравнения на права линия

Да кажем, че имаме права линия с насочващи вектори, лежаща в правоъгълна координатна система. Първо ще разгледаме случая с апартамент Декартова система O x y , а след това със системата O x y z, разположена в триизмерното пространство.

1. Права линия в O x y може да бъде описана с помощта на уравнението на права линия в равнина. В този случай координатите на векторите на посоката ще съответстват на векторите на посоката на оригиналната линия. И ако знаем уравнението на права линия, как да изчислим координатите на нейния насочващ вектор? Това е лесно да се направи, ако имаме работа с канонично или параметрично уравнение.

Да кажем, че имаме каноничния случай на уравнение, което изглежда като x - x 1 a x = y - y 1 a y . С негова помощ върху равнината се задава права с насочващ вектор a → = (a x , a y).

За да изчислим координатите на вектора на посоката, трябва да вземем числата от знаменателя на каноничното уравнение на правата.

Нека дадем пример за задача.

Пример 1

В правоъгълна координатна система е дадена права линия, която може да се опише с уравнението x - 1 4 = y + 1 2 - 3 . Изчислете координатите на един от насочващите вектори на правата.

Решение

От уравнението можем веднага да вземем координатите на вектора на посоката. Взимаме числата в знаменателите и записваме: 4, - 3. Това ще бъде отговорът, от който се нуждаем.

Отговор: 4 , - 3 .

Ако правата линия е описана с уравнение от параметричен тип, тогава трябва да разгледаме коефициентите на параметъра. Те ще съответстват на координатите на вектора на посоката, от който се нуждаем.

Пример 2

Имаме права линия, която може да бъде описана с помощта на система от параметрични уравнения x = - 1 y = 7 - 5 · λ , докато λ ∈ R . Намерете координатите на насочващите вектори.

Решение

Първо, нека пренапишем тези параметрични уравнения във формата x = - 1 + 0 · λ y = 7 - 5 · λ . Нека да разгледаме съотношенията. Те ще ни уведомят желаните координативектор на посоката – a → = (0 , 5) . Като се има предвид, че всички насочващи вектори на една права линия ще бъдат колинеарни, можем да ги зададем във формата t a → или 0 , - 5 t , където t може да бъде всяко реално число. Написахме как да извършваме действия с вектори в координати в отделна статия.

Отговор: 0 , - 5 t , t ∈ R , t ≠ 0

Сега нека да разгледаме случая как да намерим координатите на вектор, ако правата е дадена от общо уравнение от вида A x + B y + C = 0 . Ако A = 0, тогава оригиналното уравнение може да бъде пренаписано като B y + C = 0. Той определя права линия, която ще бъде успоредна на оста x. Така че, като негов насочващ вектор, можем да вземем координатния вектор i → = 1 , 0 .

И ако B \u003d 0, тогава можем да напишем уравнението на права линия като A x + C \u003d 0. Описаната от него права линия ще бъде успоредна на оста y, следователно нейният координатен вектор j → = 0 , 1 също ще бъде насочващ. Нека разгледаме конкретен проблем.

Пример 3

Имаме права линия, дадена от общото уравнение x - 2 = 0 . Намерете координатите на всеки вектор на посоката.

Решение

В правоъгълна координатна система оригиналното уравнение ще съответства на права линия, успоредна на оста y. Така че можем да вземем координатния вектор j → = (0 , 1) . Той ще я води.

Отговор: (0 , 1)

Но какво ще стане, ако нито един от коефициентите в A x + B y + C = 0 не е равен на 0? Тогава можем да използваме няколко различни начина.

1. Можем да пренапишем основното уравнение, така че да стане канонично. Тогава координатите на вектора могат да бъдат взети от неговите стойности.

2. Можете да изчислите началната и крайната точка на вектора на посоката отделно. За да направите това, ще е необходимо да вземете координатите на всеки две несъвпадащи точки от оригиналната линия.

3. Третият начин е да се изчислят координатите на всеки вектор, който ще бъде перпендикулярен на нормалния вектор на тази права n → = A , B .

Най-простият е първият подход. Нека го илюстрираме с пример за проблем.

Пример 4

В самолета има права линия дадено от уравнението 3 x + 2 y - 10 = 0 . Запишете координатите на всеки вектор на посоката.

Решение

Нека пренапишем оригиналното уравнение в каноничната форма. Първо прехвърляме всички членове от лявата страна, с изключение на 3 x, в дясната страна с противоположен знак. Ние ще можем да:

3x + 2y - 10 = 0 ⇔ 3x = - 2y + 10

Преобразуваме полученото равенство и получаваме:

3 x = - 2 y + 10 ⇔ 3 x = - 2 (y - 5) ⇔ x - 2 = y - 5 3

От тук вече можем да извлечем координатите на вектора на посоката, от който се нуждаем: -2, 3

Отговор: -2, 3

Да се общ изгледлесно е да се намалят такива видове уравнения като уравнението на права линия в сегментите x a + y b \u003d 1 и уравнението на права линия с наклон y \u003d k x + b, така че ако сте ги срещнали в проблема за намиране на координатите на вектора на посоката, тогава можете също да използвате този подход.

Определение 2

Векторът a → = (a x, a y, a z) е посоката на правата линия, изразена с:

1) каноничното уравнение на права линия в пространството x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

2) параметрично уравнениелиния в пространството x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

По този начин, за да изчислите координатите на вектора на посоката, трябва да вземете числа от знаменателите или коефициентите на параметъра в съответното уравнение.

Нека разгледаме конкретен проблем.

Пример 5

Права линия в пространството е дадена от уравнение от вида x - 1 4 = y + 1 2 0 = z - 3 . Посочете какви координати ще има векторът на посоката на тази линия.

Решение

В каноничното уравнение необходимите числа се виждат веднага в знаменателите. Оказва се, че отговорът ще бъде вектор с координати 4, 0, -3. Координатите на всички насочващи вектори на дадена права могат да бъдат записани като 4 · t , 0 , - 3 · t при условие, че t е реално число.

Отговор: 4 t , 0 , - 3 t , t ∈ R , t ≠ 0

Пример 6

Изчислете координатите на произволен насочващ вектор за линия, която е дефинирана в пространството с помощта на параметричното уравнение x = 2 y = 1 + 2 · λ z = - 4 - λ.

Решение

Нека пренапишем тези уравнения във формата x = 2 + 0 · λ y = 1 + 2 · λ z = - 4 - 1 · λ .

От този запис можем да изолираме координатите на нужния ни вектор - те ще бъдат коефициентите пред параметъра.

Отговор: 0, 2, - 1

Нека разгледаме още един случай. Как да изчислим необходимите координати, ако правата линия е дадена от уравнение на две пресичащи се равнини от формата A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0?

Има два начина. Можете да напишете това уравнение в параметрична форма, където желаните координати ще бъдат видими. Но можете да използвате друг начин. Нека го обясним.

Припомнете си, че такъв нормален равнинен вектор. По дефиниция тя ще лежи на права линия, перпендикулярна на първоначалната равнина. Това означава, че всеки насочващ вектор на права линия, който е в нея, ще бъде перпендикулярен на всеки неин нормален вектор.

Насочващият вектор на правата линия, образувана от пресичането на две равнини A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, ще бъде перпендикулярен към нормалните вектори n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) и n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) . Тоест, като водещ вектор, можем да вземем произведението на векторите n 1 → = (A 1, B 1, C 1) и n 2 → = (A 2, B 2, C 2) .

n 1 → × n 2 → = i → j → k → A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 - това е насочващият вектор на правата линия, по която се пресичат оригиналните равнини.

Нека решим задача, която използва този подход.

Пример 7

Запишете векторните координати на посоката на правата линия, изразена с помощта на уравнението x + 2 y + 3 z - 1 = 0 2 x + 4 y - 4 z + 5 = 0 .

Решение

Вземете произведението на два нормални равнинни вектора x + 2 y + 3 z - 1 = 0 и 2 x + 4 y - 4 z + 5 = 0 . Те имат следните координати: 1 , 2 , 3 и 2 , 4 , - 4 .

Ние ще можем да:

n 1 → × n 2 → = i → j → k → 1 2 3 2 4 - 4 = i → 2 (- 4) + j → 3 2 + k → 1 4 - - k → 2 2 - i → 3 4 - j → 1 (- 4) = - 20 i → + 10 j → + 0 k →

Оказва се, че векторът n 1 → × n 2 → = - 20 i → + 10 j → + 0 k → ⇔ n 1 → × n 2 → = - 20 , 10 , 0 - това е насочващият вектор, от който се нуждаем права .

Отговор: - 20 , 10 , 0

В края на статията отбелязваме, че възможността за изчисляване на вектора на посоката е полезна за решаване на много проблеми, като сравняване на две прави, доказване на тяхната успоредност и перпендикулярност, изчисляване на ъгъла между пресичащи се или пресичащи се линии и т.н.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Уравнение на права на равнина.
Векторът на посоката е прав. Нормален вектор

Правата линия в равнината е една от най-простите геометрични форми, познат ви от по-ниски оценки, а днес ще научим как да се справяме с него с помощта на методите на аналитичната геометрия. За да овладеете материала, е необходимо да можете да изграждате права линия; знаят кое уравнение определя права линия, по-специално права линия, минаваща през началото и прави линии, успоредни на координатните оси. Тази информацияможете да намерите в ръководството Графики и свойства на елементарни функции, създадох го за matan, но разделът за линейна функциясе оказа много сполучлива и подробна. Затова, скъпи чайници, първо се загрейте там. Освен това трябва да имате основни познанияотносно векторив противен случай разбирането на материала ще бъде непълно.

На този урокще разгледаме начини, по които можете да напишете уравнението на права линия в равнина. Препоръчвам ви да не пренебрегвате практическите примери (дори и да изглеждат много прости), тъй като аз ще ги снабдя с елементарни и важни факти, техники, които ще бъдат необходими в бъдеще, включително и в други раздели на висшата математика.

• Как да напиша уравнението на права линия с наклон?
• Как?
• Как да намерим вектора на посоката по общото уравнение на права линия?
• Как да напиша уравнение на права линия, дадена точка и нормален вектор?

и започваме:

Уравнение на линия с наклон

Известната "училищна" форма на уравнението на права линия се нарича уравнение на права линия с наклон. Например, ако права линия е дадена от уравнението, тогава нейният наклон: . Помислете за геометричното значение даден коефициенти как неговата стойност влияе върху местоположението на линията:

В курса по геометрия се доказва, че наклонът на правата е тангенс на ъгълмежду положителната посока на оси дадена линия: , а ъгълът се „развива“ обратно на часовниковата стрелка.

За да не претрупвам чертежа, начертах ъгли само за две прави линии. Помислете за "червената" права линия и нейния наклон. Съгласно горното: (ъгъл "алфа" е обозначен със зелена дъга). За "синята" права линия с наклона равенството е вярно (ъгълът "бета" е обозначен с кафявата дъга). И ако тангентата на ъгъла е известна, тогава, ако е необходимо, е лесно да се намери и ъгълаизползвайки обратната функция - аркутангенс. Както се казва, тригонометрична таблица или калкулатор в ръка. По този начин, наклонът характеризира степента на наклон на правата спрямо оста x.

В същото време е възможно следните случаи:

1) Ако наклонът е отрицателен: , тогава линията, грубо казано, върви отгоре надолу. Примери са "сини" и "пурпурни" прави линии в чертежа.

2) Ако наклонът е положителен: , тогава линията върви отдолу нагоре. Примери са "черни" и "червени" прави линии в чертежа.

3) Ако наклонът е равен на нула: , тогава уравнението приема формата , а съответната права е успоредна на оста. Пример е "жълтата" линия.

4) За семейство прави линии, успоредни на оста (на чертежа няма пример, освен самата ос), наклонът не съществува (тангенса от 90 градуса не е дефинирана).

Колкото по-голям е наклонът по модул, толкова по-стръмна е линейната графика.

Например, помислете за две прави линии. Тук, така че правата има по-стръмен наклон. Напомням ви, че модулът ви позволява да игнорирате знака, който ни интересува само абсолютни стойности ъглови коефициенти.

На свой ред правата линия е по-стръмна от правите линии. .

Обратно: колкото по-малък е наклонът по модул, толкова правата линия е по-плоска.

За прави линии неравенството е вярно, следователно правата линия е повече от навес. Детска пързалка, за да не се засаждат натъртвания и подутини.

Защо е необходимо това?

Удължете мъченията си Познаването на горните факти ви позволява незабавно да видите грешките си, по-специално грешките при изчертаване на графики - ако чертежът се оказа „явно нещо не е наред“. Желателно е вие незабавнобеше ясно, че например правата е много стръмна и върви отдолу нагоре, а правата е много равна, близо до оста и върви отгоре надолу.

AT геометрични задачичесто се появяват няколко прави линии, така че е удобно да ги обозначите по някакъв начин.

Нотация: правите линии са обозначени с малки с латински букви: . Популярна опция е обозначаването на същата буква с естествени индекси. Например, петте линии, които току-що разгледахме, могат да бъдат обозначени с .

Тъй като всяка права линия се определя еднозначно от две точки, тя може да бъде означена с тези точки: и т.н. Нотацията съвсем очевидно предполага, че точките принадлежат на правата.

Време е да се отпуснем малко:

Как да напиша уравнението на права линия с наклон?

Ако е известна точка, която принадлежи на определена линия, и наклонът на тази линия, тогава уравнението на тази линия се изразява с формулата:

Пример 1

Съставете уравнението на права с наклон, ако е известно, че точката принадлежи на тази права.

Решение: Ще съставим уравнението на права линия по формулата . AT този случай:

Отговор:

Прегледизпълнява елементарно. Първо, разглеждаме полученото уравнение и се уверяваме, че нашият наклон е на мястото си. Второ, координатите на точката трябва да отговарят на даденото уравнение. Нека ги включим в уравнението:

Получава се правилното равенство, което означава, че точката удовлетворява полученото уравнение.

Заключение: Уравнението е намерено правилно.

По-сложен пример за решение „направи си сам“:

Пример 2

Напишете уравнението на права линия, ако е известно, че нейният ъгъл на наклон към положителната посока на оста е , а точката принадлежи на тази права линия.

Ако имате затруднения, прочетете отново теоретичния материал. По-точно, по-практично, пропускам много доказателства.

звънна последно повикване, абитуриентският бал замря, а пред портите домашно училищечакаме, всъщност, аналитична геометрия. Шегите свършиха... Може би едва започва =)

Носталгично размахваме дръжката към познатото и се запознаваме с общото уравнение на права линия. Тъй като в аналитичната геометрия се използва точно това:

Общото уравнение на права линия има формата: , къде са цифрите. В същото време коефициентите едновременноне са равни на нула, тъй като уравнението губи смисъла си.

Да се ​​облечем в костюм и да вържем уравнение с наклон. Първо преместваме всички термини в лявата страна:

Терминът с "x" трябва да бъде поставен на първо място:

По принцип уравнението вече има формата , но според правилата на математическия етикет коефициентът на първия член (в случая ) трябва да е положителен. Сменящи се знаци:

Запомнете тази техническа характеристика!Правим първия коефициент (най-често) положителен!

В аналитичната геометрия уравнението на права линия почти винаги ще бъде дадено обща форма. Е, ако е необходимо, лесно е да го доведете до „училищна“ форма с наклон (с изключение на прави линии, успоредни на оста y).

Да се ​​запитаме какво достатъчнознаете как да построите права линия? Две точки. Но за този случай от детството по-късно, сега правилото на пръчките със стрелките. Всяка права има добре дефиниран наклон, към който лесно се "адаптира" вектор.

Вектор, който е успореден на права, се нарича вектор на посоката на тази права.. Очевидно всяка права линия има безкрайно много насочващи вектори и всички те ще бъдат колинеарни (сънасочени или не - няма значение).

Ще обознача вектора на посоката, както следва: .

Но един вектор не е достатъчен за изграждане на права линия, векторът е свободен и не е прикрепен към никоя точка от равнината. Следователно е необходимо допълнително да се знае някаква точка, която принадлежи на правата.

Как да напиша уравнение на права линия, дадена точка и насочен вектор?

Ако определена точка, принадлежаща на правата, и насочващият вектор на тази права са известни, тогава уравнението на тази линия може да се състави по формулата:

Понякога се нарича канонично уравнение на правата .

Какво да правим, когато една от координатитее нула, ще разгледаме практически примери по-долу. Между другото, забележете - и двете наведнъжкоординатите не могат да бъдат нула, тъй като нулевият вектор не определя конкретна посока.

Пример 3

Напишете уравнение на права линия, дадена точка и насочен вектор

Решение: Ще съставим уравнението на права линия по формулата. В такъв случай:

Използвайки свойствата на пропорцията, ние се отърваваме от дроби:

И привеждаме уравнението в общ вид:

Отговор:

Рисуването в такива примери, като правило, не е необходимо, но в името на разбирането:

На чертежа виждаме началната точка, оригиналния вектор на посоката (може да бъде отложен от всяка точка на равнината) и построената линия. Между другото, в много случаи изграждането на права линия се извършва най-удобно с помощта на уравнението на наклона. Нашето уравнение е лесно да се преобразува във формата и без никакви проблеми да вземете още една точка, за да изградите права линия.

Както беше отбелязано в началото на раздела, една линия има безкрайно много насочващи вектори и всички те са колинеарни. Например, начертах три такива вектора: . Който и насочен вектор да изберем, резултатът винаги ще бъде едно и също уравнение на права линия.

Нека съставим уравнението на права линия от точка и насочващ вектор:

Разбиване на пропорцията:

Разделете двете страни на -2 и получете познатото уравнение:

Желаещите могат по подобен начин да тестват вектори или всеки друг колинеарен вектор.

Сега да решим обратна задача:

Как да намерим вектора на посоката по общото уравнение на права линия?

Много просто:

Ако една права линия е дадена от общо уравнение в правоъгълна координатна система, тогава векторът е векторът на посоката на тази права линия.

Примери за намиране на насочващи вектори на прави линии:

Изявлението ви позволява да намерите само един вектор на посоката от безброенно не ни трябва повече. Въпреки че в някои случаи е препоръчително да се намалят координатите на векторите на посоката:

И така, уравнението определя права линия, която е успоредна на оста и координатите на резултантния управляващ вектор са удобно разделени на -2, получавайки точно базисния вектор като направляващ вектор. Логично.

По подобен начин уравнението определя права линия, успоредна на оста, и като разделим координатите на вектора на 5, получаваме орт като вектор на посоката.

Сега да изпълним проверете пример 3. Примерът се повиши, така че ви напомням, че в него съставихме уравнението на права линия, използвайки точка и вектор на посоката

Първо, съгласно уравнението на права линия, възстановяваме нейния насочващ вектор: - всичко е наред, получихме оригиналния вектор (в някои случаи може да се окаже, че е колинеарен на оригиналния вектор и това обикновено се вижда лесно от пропорционалността на съответните координати).

Второ, координатите на точката трябва да удовлетворяват уравнението . Заместваме ги в уравнението:

Получи се правилното равенство, от което сме много доволни.

Заключение: Работата е изпълнена правилно.

Пример 4

Напишете уравнение на права линия, дадена точка и насочен вектор

Това е пример за „направи си сам“. Решение и отговор в края на урока. Много е желателно да направите проверка според току-що разгледания алгоритъм. Опитайте се винаги (ако е възможно) да проверявате чернова. Глупаво е да се правят грешки там, където те могат да бъдат 100% избегнати.

В случай, че една от координатите на вектора на посоката е нула, това е много лесно да се направи:

Пример 5

Решение: Формулата е невалидна, защото знаменателят от дясната страна е нула. Има изход! Използвайки свойствата на пропорцията, пренаписваме формулата във формата , а останалата част се търкаля по дълбок коловоз:

Отговор:

Преглед:

1) Възстановете вектора на посоката на правата линия:
– полученият вектор е колинеарен на оригиналния насочващ вектор.

2) Заменете координатите на точката в уравнението:

Получава се правилното равенство

Заключение: работата е изпълнена правилно

Възниква въпросът защо да се занимаваме с формулата, ако има универсална версия, която така или иначе ще работи? Има две причини. Първо, дробната формула много по-добре за запомняне. И второ, недостатъкът на универсалната формула е, че значително повишен риск от объркванепри заместване на координати.

Пример 6

Съставете уравнението на права линия, дадена точка и насочващ вектор.

Това е пример за „направи си сам“.

Да се ​​върнем към вездесъщите две точки:

Как да напиша уравнението на права линия с две точки?

Ако са известни две точки, тогава уравнението на права линия, минаваща през тези точки, може да се състави по формулата:

Всъщност това е един вид формула и ето защо: ако са известни две точки, тогава векторът ще бъде векторът на посоката на тази права. На урока Вектори за манекенисмятахме най-простата задача– как да намерим координатите на вектор от две точки. Според тази задача координатите на вектора на посоката:

Забележка : точките могат да се "разменят" и да се използва формулата . Такова решение би било равностойно.

Пример 7

Напишете уравнението на права линия от две точки .

Решение: Използвайте формулата:

Разресваме знаменателите:

И разбъркайте тестето:

Сега е моментът да се отървете от дробни числа. В този случай трябва да умножите двете части по 6:

Отворете скобите и си припомнете уравнението:

Отговор:

Прегледе очевидно - координатите на началните точки трябва да отговарят на полученото уравнение:

1) Заменете координатите на точката:

Истинско равенство.

2) Заменете координатите на точката:

Истинско равенство.

Заключение: уравнението на правата е правилно.

Ако поне единот точки не отговаря на уравнението, потърсете грешка.

Струва си да се отбележи, че графичната проверка в този случай е трудна, тъй като за да се изгради линия и да се види дали точките принадлежат към нея , не е толкова лесно.

Ще отбележа няколко технически точки на решението. Може би в този проблем е по-изгодно да се използва огледалната формула и за същите точки направете уравнение:

Има по-малко дроби. Ако искате, можете да завършите решението до края, резултатът трябва да е същото уравнение.

Втората точка е да погледнете крайния отговор и да видите дали може да бъде допълнително опростен? Например, ако се получи уравнение, тогава е препоръчително да се намали с две: - уравнението ще зададе същата права линия. Това обаче вече е тема за разговор взаимно подреждане на прави линии.

След като получи отговор в пример 7 за всеки случай проверих дали ВСИЧКИ коефициенти на уравнението се делят на 2, 3 или 7. Въпреки че най-често такива редукции се правят по време на решението.

Пример 8

Напишете уравнението на права линия, минаваща през точките .

Това е пример за независимо решение, което само ще ви позволи да разберете по-добре и да изработите техниката на изчисление.

Подобно на предишния параграф: ако във формулата един от знаменателите (координата на вектора на посоката) изчезва, след което го пренаписваме като . И отново, забележете колко неловко и объркана започна да изглежда. Не виждам особен смисъл да довеждам практически примери, тъй като вече сме решили такъв проблем (вижте № 5, 6).

Нормален вектор на права линия (нормален вектор)

Какво е нормално? С прости думи, нормалата е перпендикуляр. Тоест нормалният вектор на права е перпендикулярен на дадената права. Очевидно е, че всяка права линия има безкраен брой от тях (както и насочващи вектори) и всички нормални вектори на правата линия ще бъдат колинеарни (съпосочни или не - няма значение).

Справянето с тях ще бъде дори по-лесно, отколкото с векторите на посоката:

Ако една права линия е дадена чрез общо уравнение в правоъгълна координатна система, тогава векторът е нормалният вектор на тази права линия.

Ако координатите на вектора на посоката трябва внимателно да бъдат „извадени“ от уравнението, тогава координатите на нормалния вектор могат просто да бъдат „премахнати“.

Нормалният вектор винаги е ортогонален на вектора на посоката на правата. Ще проверим ортогоналността на тези вектори с помощта на точков продукт:

Ще дам примери със същите уравнения като за вектора на посоката:

Възможно ли е да се напише уравнение на права линия, като се знае една точка и нормален вектор? Имам чувството, че е възможно. Ако нормалният вектор е известен, тогава посоката на най-правата линия също е еднозначно определена - това е „твърда конструкция“ с ъгъл от 90 градуса.

Как да напиша уравнение на права линия, дадена точка и нормален вектор?

Ако са известни точка, принадлежаща на правата, и нормалният вектор на тази права, тогава уравнението на тази права се изразява с формулата:

Тук всичко мина без дроби и други изненади. Такъв е нашият нормален вектор. Обичам го. И уважение =)

Пример 9

Съставете уравнение на права линия, дадена точка и нормален вектор. Намерете вектора на посоката на правата линия.

Решение: Използвайте формулата:

Общото уравнение на правата се получава, нека проверим:

1) "Премахнете" координатите на нормалния вектор от уравнението: - да, наистина, оригиналният вектор се получава от условието (или векторът трябва да е колинеарен на оригиналния вектор).

2) Проверете дали точката удовлетворява уравнението:

Истинско равенство.

След като се убедим, че уравнението е правилно, ще изпълним втората по-лесна част от задачата. Изваждаме вектора на посоката на правата линия:

Отговор:

На чертежа ситуацията е следната:

За целите на обучението подобна задача за самостоятелно решение:

Пример 10

Съставете уравнение на права линия, дадена точка и нормален вектор. Намерете вектора на посоката на правата линия.

Последният раздел на урока ще бъде посветен на по-рядко срещаните, но също важни видове уравнения на права линия в равнина

Уравнение на права линия в отсечки.
Уравнение на права линия в параметричен вид

Уравнението на права линия в сегменти има формата , където са ненулеви константи. Някои видове уравнения не могат да бъдат представени в тази форма, например пряка пропорционалност (тъй като свободният член е нула и няма начин да се получи едно от дясната страна).

Това е, образно казано, "технически" тип уравнение. Обичайната задача е да се представи общото уравнение на права линия като уравнение на права линия в сегменти. Защо е удобно? Уравнението на права линия в сегменти ви позволява бързо да намерите точките на пресичане на права линия с координатни оси, което е много важно при някои проблеми на висшата математика.

Намерете пресечната точка на правата с оста. Нулираме „y“ и уравнението приема формата . Желаната точка се получава автоматично: .

Същото с оста е точката, в която линията пресича оста y.