Неравенство, определящо числова интервална таблица. Числен интервал

Числен интервал

Интервал, отворен участък, интервал- множеството точки на числовата права между две дадени числа аИ b, тоест набор от числа х, отговарящи на условието: а < х < b . Интервалът не включва краища и се означава с ( а,b) (Понякога ] а,b[ ), за разлика от сегмента [ а,b] (затворен интервал), включително краищата, тоест състоящ се от точки.

В записа ( а,b), числа аИ bсе наричат ​​краища на интервала. Интервалът включва всички реални числа, интервалът включва всички по-малки числа аи интервала - всички числа са големи а .

Срок интервализползвани в сложни термини:

• при интеграция - интеграционен интервал,
• при изясняване на корените на уравнението - изолационен обхват
• при определяне на сходимостта на степенните редове - интервал на сходимост на степенни редове.

Между другото, в английски езикс една дума интервалнаречен сегмент. И за обозначаване на понятието интервал се използва терминът отворен интервал.

Литература

• Вигодски М. Я. Справочник висша математика. М.: "Астрел", "АСТ", 2002 г

Вижте също

Връзки

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво е „числов интервал“ в други речници:

От лат. intervallum интервал, разстояние: В музиката: Интервалът е отношението на височините на два тона; поведение аудио честотитези тонове. В математиката: Интервал (геометрия) е набор от точки на права, съдържаща се между точки A и B, ... ... Wikipedia

< x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия

Интервал, отворен интервал, интервал е набор от точки на числова права, затворени между две дадени числа a и b, тоест набор от числа x, които отговарят на условието: a< x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия

Интервал или по-точно интервал от числова ос е множество реални числа, което има свойството, че заедно с произволни две числа съдържа всяко число, лежащо между тях. Използвайки логически символи, това определение... ... Wikipedia

Нека си припомним дефинициите на някои основни подмножества от реални числа. Ако, тогава множеството се нарича сегмент от разширената числова линия R и се означава с, т.е. в случай на сегмент ... Wikipedia

Последователност Числова последователносттова е последователност от елементи на числовото пространство. Числови числа... Уикипедия

МИКРОСКОП- (от гръцки mikros малък и skopeo гледам), оптичен инструмент за изучаване на малки обекти, които не са пряко видими с просто око. Има прости микроскопи, или лупи, и сложни микроскопи, или микроскопи в правилния смисъл. Лупа... ... Голяма медицинска енциклопедия

GOST R 53187-2008: Акустика. Мониторинг на шума в населените места- Терминология GOST R 53187 2008: Акустика. Мониторинг на шума в градските зони оригинален документ: 1 Ежедневно прогнозно ниво на звука. 2 Очаквано вечерно максимално ниво на звука. 3 Приблизително ниво на звуково налягане през нощта... Речник-справочник на термините на нормативната и техническата документация

Сегментът може да се нарече едно от две подобни понятия в геометрията и математически анализ. Отсечката е набор от точки, към ... Wikipedia

Коефициент на корелация- (Коефициент на корелация) Коефициентът на корелация е статистически показателзависимости на две случайни променливиОпределение на коефициента на корелация, видове коефициенти на корелация, свойства на коефициента на корелация, изчисляване и приложение... ... Енциклопедия на инвеститора

Числовите интервали включват лъчи, сегменти, интервали и полуинтервали.

Видове числови интервали

Име	Изображение	Неравенство	Обозначаване
Отворена греда		х > а	(а; +∞)
		х < а	(-∞; а)
Затворена греда		х ⩾ а	[а; +∞)
		х ⩽ а	(-∞; а]
Линеен сегмент		а ⩽ х ⩽ b	[а; b]
Интервал		а < х < b	(а; b)
Полуинтервал		а < х ⩽ b	(а; b]
		а ⩽ х < b	[а; b)

На масата аИ bса гранични точки и х- променлива, която може да вземе координатата на всяка точка, принадлежаща на числов интервал.

Гранична точка- това е точката, която определя границата на числовия интервал. Една гранична точка може или не може да принадлежи на числов интервал. На чертежите граничните точки, които не принадлежат към разглеждания цифров интервал, са обозначени с празен кръг, а тези, които принадлежат към тях, са обозначени със запълнен кръг.

Отворена и затворена греда

Отворена гредае набор от точки на линия, лежаща от едната страна на гранична точка, която не е включена в този набор. Лъчът се нарича отворен именно поради граничната точка, която не му принадлежи.

Нека разгледаме набор от точки на координатната линия, които имат координата по-голяма от 2 и следователно разположени вдясно от точка 2:

Такова множество може да бъде определено от неравенството х> 2. Отворените лъчи се означават с помощта на скоби - (2; +∞), този запис се чете така: отворен цифров лъч от две до плюс безкрайност.

Множеството, на което отговаря неравенството х < 2, можно обозначить (-∞; 2) или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:

Затворена гредае набор от точки на линия, лежаща от едната страна на граничната точка, принадлежаща на този комплект. На чертежите граничните точки, принадлежащи към разглежданото множество, са обозначени със запълнен кръг.

Затворените числови лъчи се определят от нестроги неравенства. Например неравенствата х 2 и х 2 може да се изобрази така:

Тези затворени лъчи се означават по следния начин: , чете се така: цифров лъч от две до плюс безкрайност и цифров лъч от минус безкрайност до две. Квадратната скоба в обозначението показва, че точка 2 принадлежи на числовия интервал.

Линеен сегмент

Линеен сегменте множеството от точки на права, лежаща между две гранични точки, принадлежащи на дадено множество. Такива множества се определят от двойни нестроги неравенства.

Помислете за сегмент от координатна линия с краища в точки -2 и 3:

Множеството от точки, които съставляват дадена отсечка, може да бъде определено с двойното неравенство -2 х 3 или обозначете [-2; 3], такъв запис се чете така: сегмент от минус две до три.

Интервал и полуинтервал

Интервал- това е множеството точки на права, лежаща между две гранични точки, които не принадлежат на това множество. Такива множества се определят от двойни строги неравенства.

Помислете за сегмент от координатна линия с краища в точки -2 и 3:

Множеството от точки, които съставляват даден интервал, може да бъде определено чрез двойното неравенство -2< х < 3 или обозначить (-2; 3), такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх.

Полуинтервале множеството от точки на линия, лежаща между две гранични точки, едната от които принадлежи на множеството, а другата не. Такива множества се определят от двойни неравенства:

Тези полуинтервали се означават по следния начин: (-2; 3] и [-2; 3), чете се така: полуинтервал от минус две до три, включително 3, и полуинтервал от минус две до три , включително минус две.

Между набори от числа, това е комплекти, чиито обекти са числата, има т.нар числови интервали. Тяхната стойност е, че е много лесно да си представим набор, съответстващ на определен числов интервал, и обратно. Следователно с тяхна помощ е удобно да се запишат много решения на неравенство.

В тази статия ще разгледаме всички видове числови интервали. Тук ще дадем имената им, ще въведем обозначения, ще изобразим цифрови интервали върху координатната линия и ще покажем какви прости неравенства им съответстват. В заключение, нека визуално представим цялата информация под формата на таблица с числови интервали.

Навигация в страницата.

Видове числови интервали

Всеки числов интервал има четири неразривно свързани неща:

• име на числовия интервал,
• съответно неравенство или двойно неравенство,
• обозначаване,
• и неговия геометричен образ под формата на изображение върху координатна права.

Всеки числов интервал може да бъде определен чрез всеки от последните три метода в списъка: или неравенство, или нотация, или неговото изображение върху координатна линия. Освен това, според този методзадачи, например за неравенство, други могат лесно да бъдат възстановени (в нашия случай нотация и геометрично изображение).

Да преминем към конкретика. Нека опишем всички цифрови интервали от четирите страни, посочени по-горе.

Нека започнем с описание на числовия интервал, наречен отворен номер лъч. Имайте предвид, че често прилагателното „отворено“ се пропуска, оставяйки името отворена греда.

Този числов интервал съответства на най-простите неравенства с единица променлива на форматах a , където a е някакво реално число. Тоест, според смисъла на написаните неравенства, отвореният числов лъч се състои от всичко това по-малко число a (в случай на неравенство x а).

Наборът от числа, удовлетворяващи неравенството x a като (a, +∞) .

Остава да покажем геометричния образ на отворения лъч; от него ще стане ясно, че въпросният числов интервал не е получил това име случайно. Да се ​​обърнем към. Известно е, че между неговите точки и реални числаима взаимно еднозначно съответствие, което позволява координатната права да се нарича числова права. И когато говорим за сравняване на числаотбелязахме това по-голям бройсе намира на координатната линия вдясно от по-малката, а по-малката е вляво от по-голямата. Въз основа на тези съображения неравенството x a – точките, разположени вдясно от точка a. Самото число a не удовлетворява тези неравенства, подчертавайки това, то е изобразено на чертежа като точка с празен център. Над точките, които съответстват на числа, които отговарят на неравенството, е изобразено наклонено засенчване:

От дадените чертежи става ясно, че тези числови интервали съответстват на части от числовата ос, които са лъчизапочвайки от точка а, но изключвайки самата точка а. С други думи, това са лъчи без начало. Оттук и името - отворен номер лъч.

Ето няколко конкретни примериотворени числови лъчи. По този начин строгото неравенство x>−3 дефинира отворен числов лъч. Задава се също чрез нотацията (−3, ∞). И на координатната права този числов интервал е набор от точки, разположени вдясно от точката с координата −3, без самата тази точка. Друг пример: неравенство x<2,3 , как и запись (−∞, 2,3) , задает открытый числовой луч, который следующим образом изображается на координатной прямой


Нека да преминем към числови интервали от следния тип - числови лъчи. В геометрично отношение тяхната разлика от отворените греди е, че началото на гредата не се изхвърля. С други думи, геометричният образ на числови интервали от този тип е пълноценен лъч.

Що се отнася до определянето на числови лъчи с помощта на неравенства, на тях отговарят нестрогите неравенства x≤a или x≥a. За тях са приети следните означения: (−∞, a] и . А геометричният образ на числова отсечка е отсечка заедно с нейните краища:


Например, числов сегмент, който е даден от двойно неравенство, може да бъде означен като , на координатната права съответства на сегмент с краища в точки с координати корен от две и корен от три.

Остава само да кажем за наречените числови интервали полуинтервали. Те представляват, така да се каже, междинна опция между интервал и сегмент, тъй като включват една от граничните точки. Полуинтервалите се задават с двойни неравенства a

Таблица с числови интервали

И така, в предишния параграф дефинирахме и описахме следните цифрови интервали:

• отворен номер лъч;
• номер лъч;
• интервал;
• полуинтервал

За удобство обобщаваме всички данни за числови интервали в таблица. Нека въведем в него името на числовия интервал, съответното неравенство, обозначение и изображение върху координатната линия. Получаваме следното таблица с числови интервали:

Библиография.

• Алгебра:учебник за 8 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г.Алгебра. 9 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.

Сред наборите от числа има набори, където обектите са числови интервали. При посочване на набор е по-лесно да се определи чрез интервала. Следователно, ние записваме набори от решения, използвайки числови интервали.

Тази статия дава отговори на въпроси относно числови интервали, имена, обозначения, изображения на интервали върху координатна линия и съответствие на неравенства. Накрая ще бъде обсъдена таблицата на пропуските.

Определение 1

Всеки числов интервал се характеризира с:

• име;
• наличие на обичайни или двойно неравенство;
• обозначаване;
• геометрично изображение върху права линия с координати.

Цифровият интервал се определя с помощта на всеки 3 метода от списъка по-горе. Тоест, когато се използва неравенство, нотация, изображение на координатната линия. Този метод е най-приложим.

Нека опишем числовите интервали с горепосочените страни:

Определение 2

• Отворен номер лъч.Името идва от факта, че е пропуснато, оставяйки го отворено.

Този интервал има съответните неравенства x< a или x >a , където a е някакво реално число. Тоест на такъв лъч има всички реални числа, които са по-малки от a - (x< a) или больше a - (x >а) .

Наборът от числа, които ще удовлетворят неравенство от вида x< a обозначается виде промежутка (− ∞ , a) , а для x >a като (a , + ∞) .

Геометричното значение на отворен лъч отчита наличието на числов интервал. Между точките на координатната права и нейните номера има съответствие, поради което правата се нарича координатна права. Ако трябва да сравните числа, тогава на координатната линия по-голямото число е вдясно. Тогава неравенство от вида x< a включает в себя точки, которые расположены левее, а для x >a – точки, които са вдясно. Самото число не е подходящо за решението, затова е обозначено на чертежа с пунктирана точка. Необходимата празнина се подчертава със засенчване. Разгледайте фигурата по-долу.

От горната фигура става ясно, че цифровите интервали съответстват на части от линията, тоест лъчи с начало a. С други думи, те се наричат ​​лъчи без начало. Ето защо получи името отворен номер лъч.

Нека да разгледаме няколко примера.

Пример 1

За дадено строго неравенство x > − 3 е зададен отворен лъч. Този запис може да бъде представен под формата на координати (− 3, ∞). Тоест, това са всички точки, лежащи вдясно от -3.

Пример 2

Ако имаме неравенство от вида x< 2 , 3 , то запись (− ∞ , 2 , 3) является аналогичной при задании открытого числового луча.

Определение 3

• Цифров лъч.Геометричният смисъл е, че началото не се изхвърля, с други думи, лъчът запазва своята полезност.

Задачата му се изпълнява с помощта на нестроги неравенства от вида x ≤ a или x ≥ a. За този тип се приемат специални означения от вида (− ∞, a ] и [ a , + ∞), а наличието на квадратна скоба означава, че точката е включена в решението или в множеството. Разгледайте фигурата по-долу.

За ясен примернека дефинираме числов лъч.

Пример 3

Неравенство от формата x ≥ 5 съответства на записа [ 5 , + ∞), тогава получаваме лъч със следната форма:

Определение 4

• Интервал.Изявление, използващо интервали, се записва с помощта на двойни неравенства a< x < b , где а и b являются некоторыми действительными числами, где a меньше b , а x является переменной. На таком интервале имеется множество точек и чисел, которые больше a , но меньше b . Обозначение такого интервала принято записывать в виде (a , b) . Наличие круглых скобок говорит о том, что число a и b не включены в это множество. Координатная прямая при изображении получает 2 выколотые точки.

Разгледайте фигурата по-долу.

Пример 4

Пример за интервал − 1< x < 3 , 5 говорит о том, что его можно записать в виде интервала (− 1 , 3 , 5) . Изобразим на координатной прямой и рассмотрим.

Определение 5

• Числен сегмент.Този интервал се различава по това, че включва гранични точки, тогава има формата a ≤ x ≤ b. Такова нестрого неравенство предполага, че когато пишете под формата на цифров сегмент, използвайте квадратни скоби[a, b] означава, че точките са включени в набора и са изобразени като защриховани.

Пример 5

След като разгледахме сегмента, откриваме, че неговото определение е възможно с помощта на двойното неравенство 2 ≤ x ≤ 3, което представяме във формата 2, 3. На координатната линия дадена точкаще бъдат включени в разтвора и засенчени.

Дефиниция 6 Пример 6

Ако има полуинтервал (1, 3], тогава неговото обозначение може да бъде под формата на двойното неравенство 1< x ≤ 3 , при чем на координатной прямой изобразится с точками 1 и 3 , где 1 будет исключена, то есть выколота на прямой.

Определение 7

Интервалите могат да бъдат изобразени като:

• отворен номер лъч;
• номер лъч;
• интервал;
• числова линия;
• полуинтервал

За да опростите процеса на изчисление, трябва да използвате специална таблица, която съдържа обозначения за всички видове цифрови интервали на линия.

Име	Неравенство	Обозначаване	Изображение
Отворен номер лъч	х< a	- ∞ , а
	x>a	a , + ∞
Цифров лъч	x ≤ a	(- ∞, a]
	x ≥ a	[a, + ∞)
Интервал	а< x < b	а, б
Числен сегмент	a ≤ x ≤ b	а, б
Полуинтервал