Нормален закон за разпределение на вероятностите

Без преувеличение може да се нарече философски закон. Наблюдавайки различни обекти и процеси от света около нас, често се сблъскваме с факта, че нещо не е достатъчно и че има норма:


Ето един основен изглед функции на плътностнормално разпределение на вероятностите и ви приветствам с добре дошли в този най-интересен урок.

Какви примери могат да се дадат? Те са просто мрак. Това например е височината, теглото на хората (и не само), тяхната физическа сила, умствени способности и др. Има "маса" (по един или друг начин)и има отклонения и в двете посоки.

Това са различни характеристики на неодушевените предмети (еднакви размери, тегло). Това е произволна продължителност на процесите, например времето на стометровото състезание или превръщането на смолата в кехлибар. От физиката се сетих за въздушни молекули: сред тях има бавни, има бързи, но повечето от тях се движат със „стандартни“ скорости.

След това се отклоняваме от центъра с още едно стандартно отклонение и изчисляваме височината:

Маркиране на точки върху чертежа (зелен цвят)и виждаме, че това е напълно достатъчно.

На последния етап внимателно рисуваме графика и особено внимателноотразяват го изпъкналост / вдлъбнатост! Е, вероятно отдавна сте разбрали, че абсцисната ос е хоризонтална асимптота, и е абсолютно невъзможно да се „изкачите“ за него!

С електронния дизайн на решението, графиката се изгражда лесно в Excel и неочаквано за мен самия дори записах кратко видео по тази тема. Но първо, нека поговорим за това как се променя формата на нормалната крива в зависимост от стойностите на и .

При увеличаване или намаляване на "а" (с непроменена "сигма")графиката запазва формата си и се движи надясно/налявосъответно. Така например, когато функцията приеме формата и нашата графика се "премества" с 3 единици наляво - точно до началото:


Нормално разпределена величина с нулево математическо очакване получи напълно естествено име - центриран; неговата функция на плътност – дории графиката е симетрична спрямо оста y.

В случай на промяна на "сигма" (с постоянно "а"), графиката "остава на мястото си", но променя формата си. Когато се увеличи, тя става по-ниска и удължена, като октопод, протягащ пипалата си. И обратно, при намаляване на графиката става по-тесен и по-висок- оказва се "изненадан октопод". Да, при намаляване"сигма" два пъти: предишната диаграма се стеснява и разтяга нагоре два пъти:

Всичко е в пълно съответствие с геометрични трансформации на графики.

Нормалното разпределение с единична стойност "сигма" се нарича нормализиран, и ако е също центриран(нашият случай), тогава такова разпределение се нарича стандартен. Той има още по-проста функция за плътност, която вече е срещана в локална теорема на Лаплас: . Стандартната дистрибуция намери широко приложение в практиката и много скоро най-накрая ще разберем нейната цел.

Сега да гледаме филм:

Да, съвсем правилно - някак си незаслужено останахме в сянка функция на разпределение на вероятностите. Помним я определение:
- вероятността случайна променлива да приеме стойност ПО-МАЛКА от променливата , която "протича" всички реални стойности до "плюс" безкрайност.

Вътре в интеграла обикновено се използва различна буква, така че да няма "наслагвания" с нотацията, тъй като тук всяка стойност е присвоена неправилен интеграл , което е равно на някои номерот интервала.

Почти всички стойности не могат да бъдат точно изчислени, но както току-що видяхме, със съвременната изчислителна мощност това не е трудно. И така, за функцията на стандартното разпределение, съответната функция на Excel обикновено съдържа един аргумент:

=NORMSDIST(з)

Едно, две - и готово:

Чертежът ясно показва изпълнението на всички свойства на функцията на разпределение, и от техническите нюанси тук трябва да обърнете внимание хоризонтални асимптотии инфлексна точка.

Сега нека си припомним една от ключовите задачи на темата, а именно да разберем как да намерим - вероятността нормална случайна променлива ще вземе стойност от интервала. Геометрично тази вероятност е равна на ■ площмежду нормалната крива и оста x в съответния участък:

но всеки път смилайте приблизителна стойност е неразумно и затова е по-рационално да се използва "лесна" формула:
.

! също помни , Какво

Тук можете да използвате Excel отново, но има няколко съществени „но“: първо, той не винаги е под ръка, и второ, „готовите“ стойности най-вероятно ще предизвикат въпроси от учителя. Защо?

Многократно съм говорил за това преди: едно време (и не много отдавна) обикновеният калкулатор беше лукс, а „ръчният“ начин за решаване на разглеждания проблем все още е запазен в образователната литература. Нейната същност е да стандартизирамстойностите "алфа" и "бета", тоест намаляват решението до стандартното разпределение:

Забележка : функцията се получава лесно от общия случайс помощта на линеен замествания. Тогава и:

и от замяната просто следва формулата преход от стойностите на произволно разпределение към съответните стойности на стандартното разпределение.

Защо е необходимо това? Факт е, че стойностите са били стриктно изчислени от нашите предци и обобщени в специална таблица, която е в много книги за тервер. Но още по-разпространена е таблицата със стойности, с която вече се занимавахме Интегрална теорема на Лаплас:

Ако имаме на наше разположение таблица със стойности на функцията на Лаплас , тогава решаваме чрез него:

Дробните стойности традиционно се закръглят до 4 знака след десетичната запетая, както се прави в стандартната таблица. И за контрол Точка 5 оформление.

Напомням ви това , и за да избегнете объркване винаги контролирайте, таблица на КАКВА функция пред очите ви.

Отговорсе изисква да се даде като процент, така че изчислената вероятност трябва да се умножи по 100 и да предостави резултата със смислен коментар:

- при полет от 5 до 70 м ще паднат приблизително 15,87% от снарядите

Тренираме сами:

Пример 3

Диаметърът на лагерите, произведени във фабриката, е случайна променлива, нормално разпределена с очакване от 1,5 см и стандартно отклонение от 0,04 см. Намерете вероятността размерът на произволно взет лагер да варира от 1,4 до 1,6 см.

В примерното решение и по-долу ще използвам функцията на Лаплас като най-често срещаната опция. Между другото, имайте предвид, че според формулировката тук можете да включите краищата на интервала в разглеждането. Това обаче не е критично.

И вече в този пример срещнахме специален случай - когато интервалът е симетричен по отношение на математическото очакване. В такава ситуация може да се напише във формата и, използвайки странността на функцията на Лаплас, да се опрости работната формула:

Делта параметърът се извиква отклонениеот математическото очакване, а двойното неравенство може да бъде „опаковано“ с помощта на модул:

е вероятността стойността на случайна променлива да се отклонява от математическото очакване с по-малко от .

Е, решението, което се побира в един ред :)
е вероятността диаметърът на случайно взет лагер да се различава от 1,5 cm с не повече от 0,1 cm.

Резултатът от тази задача се оказа близък до единица, но бих искал още повече надеждност - а именно да открия границите, в които е диаметърът почти всекилагери. Има ли някакъв критерий за това? Съществува! На въпроса отговаря т.нар

правило три сигма

Същността му е в това практически надежден е фактът, че нормално разпределена случайна променлива ще приеме стойност от интервала .

Наистина, вероятността за отклонение от очакваното е по-малка от:
или 99.73%

По отношение на "лагери" - това са 9973 броя с диаметър от 1,38 до 1,62 см и само 27 "некачествени" екземпляра.

В практическите изследвания правилото на „трите сигми“ обикновено се прилага в обратната посока: ако статистическиустанови, че почти всички стойности изследвана случайна променливасе вписват в интервал от 6 стандартни отклонения, тогава има основателни причини да се смята, че тази стойност е разпределена според нормалния закон. Проверката се извършва с помощта на теорията статистически хипотези.

Продължаваме да решаваме суровите съветски задачи:

Пример 4

Случайната стойност на грешката при претегляне се разпределя по нормалния закон с нулево математическо очакване и стандартно отклонение от 3 грама. Намерете вероятността следващото претегляне да бъде извършено с грешка, която не надвишава 5 грама по абсолютна стойност.

Решениемного просто. По условие и веднага отбелязваме, че при следващото претегляне (нещо или някой)почти 100% ще получим резултата с точност до 9 грама. Но в задачата има по-тясно отклонение и според формулата :

- вероятността следващото претегляне да бъде извършено с грешка, не по-голяма от 5 грама.

Отговор:

Решеният проблем е коренно различен от привидно подобен. Пример 3урок за равномерно разпределение. имаше грешка закръгляванерезултати от измерване, тук говорим за случайната грешка на самите измервания. Такива грешки възникват поради техническите характеристики на самото устройство. (обхватът на допустимите грешки, като правило, е посочен в неговия паспорт), а също и по вина на експериментатора - когато например "на око" вземаме показания от стрелката на същите везни.

Между другото има и т.нар систематиченгрешки при измерване. Вече е неслучаенгрешки, които възникват поради неправилна настройка или работа на устройството. Така например ненастроените подови везни могат постоянно да „добавят“ килограм, а продавачът систематично да подценява купувачите. Или не систематично, защото можете да намалите. Във всеки случай обаче такава грешка няма да е случайна и нейното очакване е различно от нула.

…Спешно разработвам курс за обучение по продажби =)

Нека решим проблема сами:

Пример 5

Диаметърът на ролката е произволна нормално разпределена случайна променлива, нейното стандартно отклонение е mm. Намерете дължината на интервала, симетричен спрямо математическото очакване, в който с вероятност ще попадне дължината на диаметъра на зърното.

Артикул 5* дизайнерско оформлениеда помогна. Моля, имайте предвид, че тук математическото очакване не е известно, но това ни най-малко не пречи на решаването на задачата.

И изпитната задача, която силно препоръчвам за затвърдяване на материала:

Пример 6

Случайна променлива с нормално разпределение се дава от нейните параметри (математическо очакване) и (стандартно отклонение). Задължително:

а) запишете плътността на вероятността и изобразете схематично нейната графика;
б) намерете вероятността да приеме стойност от интервала ;
в) намерете вероятността модулът да се отклонява от не повече от ;
г) прилагайки правилото на "три сигма", намерете стойностите на случайната променлива.

Такива задачи се предлагат навсякъде и през годините практика съм успял да реша стотици и стотици от тях. Уверете се, че практикувате рисуване на ръка и използване на хартиени електронни таблици ;)

Е, ще анализирам пример с повишена сложност:

Пример 7

Плътността на разпределение на вероятността на случайна променлива има формата . Намиране, математическо очакване, дисперсия, функция на разпределение, плътност на графиката и функции на разпределение, намиране.

Решение: първо, нека обърнем внимание, че условието не казва нищо за природата на случайната променлива. Само по себе си присъствието на изложителя не означава нищо: то може да бъде напр. демонстративенили като цяло произволно непрекъснато разпространение. И следователно „нормалността“ на разпределението все още трябва да бъде обоснована:

Тъй като функцията определен при всякаквиреална стойност и може да се сведе до формата , тогава случайната променлива се разпределя по нормалния закон.

Ние представяме. За това изберете цял квадрати организирайте триетажна фракция:


Не забравяйте да извършите проверка, връщайки индикатора в оригиналната му форма:

което искахме да видим.

По този начин:
- На властово правило"отщипване". И тук можете веднага да запишете очевидните числени характеристики:

Сега нека намерим стойността на параметъра. Тъй като множителят на нормалното разпределение има формата и , тогава:
, от което изразяваме и заместваме в нашата функция:
, след което отново ще прегледаме записа с очите си и ще се уверим, че получената функция има формата .

Нека начертаем плътността:

и графиката на функцията на разпределение :

Ако няма Excel и дори обикновен калкулатор под ръка, тогава последната диаграма лесно се изгражда ръчно! В точката функцията на разпределение приема стойност и ето го

Определение. нормалносе нарича вероятностно разпределение на непрекъсната случайна променлива, което се описва от вероятностната плътност

Нормалното разпределение се нарича още Закон на Гаус.

Законът за нормалното разпределение е централен за теорията на вероятностите. Това се дължи на факта, че този закон се проявява във всички случаи, когато една случайна величина е резултат от действието на голям брой различни фактори. Всички други закони за разпределение се доближават до нормалния закон.

Може лесно да се покаже, че параметрите и , включени в плътността на разпределението, са съответно математическото очакване и стандартното отклонение на случайната променлива х.

Нека намерим функцията на разпределение Е(х) .

Диаграмата на плътността на нормалното разпределение се нарича нормална криваили Гаусова крива.

Нормалната крива има следните свойства:

1) Функцията е дефинирана върху цялата числова ос.

2) За всички хфункцията на разпределение приема само положителни стойности.

3) Оста OX е хоризонталната асимптота на графиката на плътността на вероятността, тъй като с неограничено нарастване на абсолютната стойност на аргумента х, стойността на функцията клони към нула.

4) Намерете екстремума на функцията.

защото при г’ > 0 при х < ми г’ < 0 при х > м, след това в точката x = tфункция има максимум равен на
.

5) Функцията е симетрична спрямо права линия х = а, защото разлика

(х - а) влиза във функцията за плътност на разпределение на квадрат.

6) За да намерим точките на инфлексия на графиката, намираме втората производна на функцията на плътността.

При х = м+  и х = м-  втората производна е равна на нула и при преминаване през тези точки променя знака, т.е. в тези точки функцията има инфлексия.

В тези точки стойността на функцията е
.

Нека построим графика на функцията на плътността на разпределението (фиг. 5).

Графиките са построени за T=0 и три възможни стойности на стандартното отклонение  = 1,  = 2 и  = 7. Както можете да видите, когато стойността на стандартното отклонение се увеличава, графиката става по-плоска и максималната стойност намалява.

Ако а> 0, тогава графиката ще се измести в положителна посока, ако а < 0 – в отрицательном.

При а= 0 и  = 1 се нарича кривата нормализиран. Нормализирано уравнение на кривата:

Функция на Лаплас

Намерете вероятността случайна променлива, разпределена според нормалния закон, да попадне в даден интервал.

Обозначете

защото интегрална
не се изразява чрез елементарни функции, тогава функцията

,

което се нарича Функция на Лапласили вероятностен интеграл.

Стойностите на тази функция за различни стойности хизчислени и представени в специални таблици.

На фиг. 6 показва графика на функцията на Лаплас.

Функцията на Лаплас има следните свойства:

1) F(0) = 0;

2) F(-x) = - F(x);

3) F( ) = 1.

Функцията на Лаплас също се нарича функция за грешкаи обозначават erf х.

Все още се използва нормализиранфункцията на Лаплас, която е свързана с функцията на Лаплас чрез връзката:

На фиг. 7 показва диаграма на нормализираната функция на Лаплас.

П правило три сигма

Когато се разглежда нормалното разпределение, се разграничава важен специален случай, известен като правило три сигма.

Нека запишем вероятността отклонението на нормално разпределена случайна променлива от математическото очакване да е по-малко от дадена стойност :

Ако приемем  = 3, тогава получаваме с помощта на таблиците със стойности на функцията на Лаплас:

Тези. вероятността една случайна променлива да се отклони от своето математическо очакване със стойност, по-голяма от три пъти стандартното отклонение, е практически нула.

Това правило се нарича правило три сигма.

На практика се счита, че ако за произволна променлива правилото на трите сигми е изпълнено, тогава тази случайна променлива има нормално разпределение.

Заключение на лекцията:

В лекцията разгледахме законите за разпределение на непрекъснати количества.При подготовката за следващата лекция и практическите упражнения трябва самостоятелно да допълните бележките си от лекцията с задълбочено изучаване на препоръчаната литература и решаване на предложените проблеми.

Кратка теория

Нормално е вероятностното разпределение на непрекъсната случайна променлива, чиято плътност има формата:

където е математическото очакване, е стандартното отклонение.

Вероятността да приеме стойност, принадлежаща на интервала:

където е функцията на Лаплас:

Вероятността абсолютната стойност на отклонението да е по-малка от положително число:

По-специално, за , следва равенството:

При решаването на проблеми, които практиката поставя, трябва да се работи с различни разпределения на непрекъснати случайни променливи.

В допълнение към нормалното разпределение, основните закони за разпределение на непрекъснатите случайни променливи са:

Пример за решение на проблем

Частта е изработена на машината. Дължината му е случайна променлива, разпределена по нормалния закон с параметри , . Намерете вероятността дължината на частта да бъде между 22 и 24,2 см. От какво отклонение на дължината на частта може да се гарантира с вероятност 0,92; 0,98? В какви граници, симетрични спрямо , ще лежат практически всички размери на частите?

присъединете се към VK групата.

Решение:

Вероятността случайна променлива, разпределена по нормалния закон, да бъде в интервала:

Получаваме:

Вероятността случайна променлива, разпределена според нормалния закон, да се отклонява от средната стойност с не повече от:

По условие

:

Ако не се нуждаете от помощ сега, но може да се нуждаете от нея в бъдеще, тогава, за да не загубите връзка,

Ще има и задачи за самостоятелно решение, на които можете да видите отговорите.

Нормално разпределение: теоретични основи

Примери за случайни променливи, разпределени по нормалния закон, са ръстът на човек, масата на уловената риба от същия вид. Нормалното разпределение означава следното : има стойности на човешкия ръст, масата на рибите от един и същи вид, които на интуитивно ниво се възприемат като "нормални" (а всъщност - осреднени), и те се срещат много по-често в достатъчно големи проба от тези, които се различават нагоре или надолу.

Нормалното вероятностно разпределение на непрекъсната случайна променлива (понякога разпределението на Гаус) може да се нарече камбанообразно поради факта, че функцията на плътността на това разпределение, която е симетрична спрямо средната стойност, е много подобна на разреза на камбана ( червена крива на фигурата по-горе).

Вероятността за постигане на определени стойности в извадката е равна на площта на фигурата под кривата, а в случай на нормално разпределение виждаме, че под върха на "камбаната", което съответства до стойности, клонящи към средната, площта, а оттам и вероятността, е по-голяма, отколкото под ръбовете. По този начин получаваме същото нещо, което вече беше казано: вероятността да срещнете човек с „нормален“ ръст, да хванете риба с „нормално“ тегло, е по-висока, отколкото за стойности, които се различават нагоре или надолу. В много случаи от практиката грешките при измерване се разпределят по закон, близък до нормалния.

Нека отново се спрем на фигурата в началото на урока, която показва функцията на плътност на нормалното разпределение. Графиката на тази функция е получена чрез изчисляване на някаква извадка от данни в софтуерния пакет СТАТИСТИКА. На него колоните на хистограмата представляват интервали от примерни стойности, чието разпределение е близко (или, както се казва в статистиката, не се различава значително от) до самата графика на нормалната функция на плътността на разпределението, която е червена крива. Графиката показва, че тази крива наистина има формата на камбана.

Нормалното разпределение е ценно по много начини, защото като знаете само средната стойност на непрекъсната случайна променлива и стандартното отклонение, можете да изчислите всяка вероятност, свързана с тази променлива.

Нормалното разпределение има допълнителното предимство, че е едно от най-лесните за използване статистически критерии, използвани за проверка на статистически хипотези – t-тест на Стюдънт- може да се използва само в случай, че извадковите данни се подчиняват на нормалния закон за разпределение.

Функция на плътност на нормалното разпределение на непрекъсната случайна променливаможе да се намери с помощта на формулата:

,

където х- стойност на променливата, - средна стойност, - стандартно отклонение, д\u003d 2,71828 ... - основата на естествения логаритъм, \u003d 3,1416 ...

Свойства на функцията за плътност на нормалното разпределение

Промените в средната стойност преместват камбанообразната крива по посока на оста вол. Ако се увеличи, кривата се премества надясно, ако намалява, след това наляво.

Ако стандартното отклонение се промени, тогава височината на върха на кривата се променя. Когато стандартното отклонение нараства, върхът на кривата е по-висок, когато намалява, е по-нисък.

Вероятността стойността на нормално разпределена случайна променлива да попадне в даден интервал

Още в този параграф ще започнем да решаваме практически проблеми, чието значение е посочено в заглавието. Нека анализираме какви възможности предлага теорията за решаване на проблеми. Изходната концепция за изчисляване на вероятността нормално разпределена случайна променлива да попадне в даден интервал е интегралната функция на нормалното разпределение.

Интегрална функция на нормалното разпределение:

.

Въпреки това е проблематично да се получат таблици за всяка възможна комбинация от средно и стандартно отклонение. Следователно, един от простите начини за изчисляване на вероятността случайна променлива с нормално разпределение да попадне в даден интервал е да се използват таблици с вероятности за стандартизирано нормално разпределение.

Нормалното разпределение се нарича стандартизирано или нормализирано разпределение., чиято средна стойност е , а стандартното отклонение е .

Функция на плътността на стандартизираното нормално разпределение:

.

Кумулативна функция на стандартизираното нормално разпределение:

.

Фигурата по-долу показва интегралната функция на стандартизираното нормално разпределение, чиято графика е получена чрез изчисляване на някои извадки от данни в софтуерния пакет СТАТИСТИКА. Самата графика е червена крива, а примерните стойности се доближават до нея.

За да увеличите снимката, можете да щракнете върху нея с левия бутон на мишката.

Стандартизирането на случайна променлива означава преминаване от оригиналните единици, използвани в задачата, към стандартизирани единици. Стандартизацията се извършва по формулата

На практика всички възможни стойности на случайна променлива често не са известни, така че стойностите на средното и стандартното отклонение не могат да бъдат точно определени. Те се заменят със средноаритметичната стойност на наблюденията и стандартното отклонение с. Стойност zизразява отклоненията на стойностите на случайна променлива от средната аритметична стойност при измерване на стандартните отклонения.

Отворен интервал

Вероятностната таблица за стандартизираното нормално разпределение, която е достъпна в почти всяка книга по статистика, съдържа вероятностите случайна променлива със стандартно нормално разпределение Зприема стойност, по-малка от определено число z. Тоест ще попадне в отворения интервал от минус безкрайност до z. Например вероятността стойността Зпо-малко от 1,5 е равно на 0,93319.

Пример 1Компанията произвежда части, които имат нормално разпределен живот със средна стойност от 1000 и стандартно отклонение от 200 часа.

За произволно избрана част изчислете вероятността животът й да бъде най-малко 900 часа.

Решение. Нека въведем първата нотация:

Желаната вероятност.

Стойностите на случайната променлива са в отворения интервал. Но можем да изчислим вероятността една случайна променлива да приеме стойност, по-малка от дадена стойност, и според условието на задачата се изисква да се намери равна или по-голяма стойност от дадена. Това е другата част от пространството под кривата на камбаната. Следователно, за да се намери желаната вероятност, е необходимо да се извади от единица споменатата вероятност случайната променлива да приеме стойност, по-малка от зададените 900:

Сега случайната променлива трябва да бъде стандартизирана.

Продължаваме да въвеждаме нотацията:

z = (х ≤ 900) ;

х= 900 - зададена стойност на случайна величина;

μ = 1000 - средна стойност;

σ = 200 - стандартно отклонение.

Въз основа на тези данни получаваме условията на проблема:

.

Според таблиците на стандартизирана случайна променлива (граница на интервал) z= −0,5 съответства на вероятността 0,30854. Извадете го от единицата и получете това, което се изисква в условието на проблема:

Така че вероятността животът на частта да бъде поне 900 часа е 69%.

Тази вероятност може да се получи с помощта на функцията на MS Excel NORM.DIST (стойността на интегралната стойност е 1):

П(х≥900) = 1 - П(х≤900) = 1 - NORM.DIST(900; 1000; 200; 1) = 1 - 0,3085 = 0,6915.

За изчисленията в MS Excel - в един от следващите параграфи на този урок.

Пример 2В някои градове средният годишен семеен доход е нормално разпределена случайна променлива със средна стойност 300 000 и стандартно отклонение 50 000. Известно е, че доходът на 40% от семействата е по-малък от стойността А. Намерете стойност А.

Решение. В този проблем 40% не е нищо повече от вероятността случайна променлива да вземе стойност от отворен интервал, която е по-малка от определена стойност, обозначена с буквата А.

За да намерите стойността А, първо съставяме интегралната функция:

Според задачата

μ = 300000 - средна стойност;

σ = 50000 - стандартно отклонение;

х = Ае стойността, която трябва да се намери.

Измисляне на равенство

.

Според статистическите таблици откриваме, че вероятността от 0,40 съответства на стойността на границата на интервала z = −0,25 .

Следователно, ние правим равенството

и намерете решението му:

А = 287300 .

Отговор: доходът на 40% от семействата е под 287300.

Затворен интервал

В много задачи се изисква да се намери вероятността нормално разпределена случайна променлива да приеме стойност в интервала от z 1 към z 2. Тоест ще попадне в затворения интервал. За да се решат такива проблеми, е необходимо да се намерят в таблицата вероятностите, съответстващи на границите на интервала, и след това да се намери разликата между тези вероятности. Това изисква изваждане на по-малката стойност от по-голямата. Примери за решаване на тези общи проблеми са както следва и се предлага да ги решите сами, след което можете да видите правилните решения и отговори.

Пример 3Печалбата на предприятието за определен период е случайна величина, подчинена на нормалния закон за разпределение със средна стойност 0,5 милиона у.е. и стандартно отклонение от 0,354. Определете с точност до два знака след десетичната запетая вероятността печалбата на предприятието да бъде от 0,4 до 0,6 c.u.

Пример 4Дължината на изработения детайл е случайна величина, разпределена по нормалния закон с параметри μ =10 и σ =0,071. Намерете с точност до два знака след десетичната запетая вероятността за брак, ако допустимите размери на детайла трябва да бъдат 10 ± 0,05.

Съвет: в тази задача, в допълнение към намирането на вероятността случайна променлива да попадне в затворен интервал (вероятността да се получи недефектна част), е необходимо още едно действие.

ви позволява да определите вероятността стандартизираната стойност Зне по-малко -zи не повече +z, където z- произволно избрана стойност на стандартизирана случайна променлива.

Приблизителен метод за проверка на нормалността на разпределението

Приблизителен метод за проверка на нормалността на разпределението на пробните стойности се основава на следното свойство на нормално разпределение: асиметрия β 1 и коефициент на ексцес β 2 нула.

Коефициент на асиметрия β 1 числено характеризира симетрията на емпиричното разпределение по отношение на средната стойност. Ако асиметрията е равна на нула, тогава средноаритметричната стойност, медианата и модата са равни: и кривата на плътността на разпределението е симетрична спрямо средната стойност. Ако коефициентът на асиметрия е по-малък от нула (β 1 < 0 ), тогава средноаритметичната стойност е по-малка от медианата, а медианата от своя страна е по-малка от режима () и кривата е изместена надясно (в сравнение с нормалното разпределение). Ако коефициентът на асиметрия е по-голям от нула (β 1 > 0 ), тогава средноаритметичната стойност е по-голяма от медианата, а медианата от своя страна е по-голяма от режима () и кривата е изместена наляво (в сравнение с нормалното разпределение).

Коефициент на ексцесия β 2 характеризира концентрацията на емпиричното разпределение около средноаритметичното по посока на оста Ойи степента на пик на кривата на плътността на разпределението. Ако коефициентът на ексцес е по-голям от нула, тогава кривата е по-удължена (в сравнение с нормалното разпределение)по оста Ой(графиката е по-заострена). Ако коефициентът на ексцес е по-малък от нула, тогава кривата е по-плоска (в сравнение с нормално разпределение)по оста Ой(графиката е по-тъпа).

Коефициентът на изкривяване може да се изчисли с помощта на функцията SKRS на MS Excel. Ако проверявате един масив от данни, тогава трябва да въведете диапазон от данни в едно поле „Число“.

Коефициентът на ексцес може да се изчисли с помощта на функцията ексцес на MS Excel. При проверка на един масив от данни е достатъчно също да въведете диапазона от данни в едно поле "Число".

И така, както вече знаем, при нормално разпределение коефициентите на изкривяване и ексцес са равни на нула. Но какво ще стане, ако получим коефициенти на изкривяване, равни на -0,14, 0,22, 0,43, и коефициенти на ексцес, равни на 0,17, -0,31, 0,55? Въпросът е съвсем справедлив, тъй като на практика имаме работа само с приблизителни, селективни стойности на асиметрия и ексцес, които са обект на някакво неизбежно, неконтролируемо разсейване. Следователно е невъзможно да се изисква строго равенство на тези коефициенти на нула, те трябва да бъдат само достатъчно близки до нула. Но какво означава достатъчно?

Необходимо е да се сравнят получените емпирични стойности с допустимите стойности. За да направите това, трябва да проверите следните неравенства (сравнете стойностите на коефициентите по модул с критичните стойности - границите на зоната за тестване на хипотезата).

За коефициента на асиметрия β 1 .

Определение. нормалносе нарича вероятностно разпределение на непрекъсната случайна променлива, което се описва от вероятностната плътност

Нормалното разпределение се нарича още Закон на Гаус.

Законът за нормалното разпределение е централен за теорията на вероятностите. Това се дължи на факта, че този закон се проявява във всички случаи, когато една случайна величина е резултат от действието на голям брой различни фактори. Всички други закони за разпределение се доближават до нормалния закон.

Може лесно да се покаже, че параметрите и , включени в плътността на разпределението, са съответно математическото очакване и стандартното отклонение на случайната променлива х.

Нека намерим функцията на разпределение Е(х) .

Диаграмата на плътността на нормалното разпределение се нарича нормална криваили Гаусова крива.

Нормалната крива има следните свойства:

1) Функцията е дефинирана върху цялата числова ос.

2) За всички хфункцията на разпределение приема само положителни стойности.

3) Оста OX е хоризонталната асимптота на графиката на плътността на вероятността, тъй като с неограничено нарастване на абсолютната стойност на аргумента х, стойността на функцията клони към нула.

4) Намерете екстремума на функцията.

защото при г’ > 0 при х < ми г’ < 0 при х > м, след това в точката x = tфункция има максимум равен на
.

5) Функцията е симетрична спрямо права линия х = а, защото разлика

(х - а) влиза във функцията за плътност на разпределение на квадрат.

6) За да намерим точките на инфлексия на графиката, намираме втората производна на функцията на плътността.

При х = м+  и х = м-  втората производна е равна на нула и при преминаване през тези точки променя знака, т.е. в тези точки функцията има инфлексия.

В тези точки стойността на функцията е
.

Нека построим графика на функцията на плътността на разпределението (фиг. 5).

Графиките са построени за T=0 и три възможни стойности на стандартното отклонение  = 1,  = 2 и  = 7. Както можете да видите, когато стойността на стандартното отклонение се увеличава, графиката става по-плоска и максималната стойност намалява.

Ако а> 0, тогава графиката ще се измести в положителна посока, ако а < 0 – в отрицательном.

При а= 0 и  = 1 се нарича кривата нормализиран. Нормализирано уравнение на кривата:

Функция на Лаплас

Намерете вероятността случайна променлива, разпределена според нормалния закон, да попадне в даден интервал.

Обозначете

защото интегрална
не се изразява чрез елементарни функции, тогава функцията

,

което се нарича Функция на Лапласили вероятностен интеграл.

Стойностите на тази функция за различни стойности хизчислени и представени в специални таблици.

На фиг. 6 показва графика на функцията на Лаплас.

Функцията на Лаплас има следните свойства:

1) F(0) = 0;

2) F(-x) = - F(x);

3) F( ) = 1.

Функцията на Лаплас също се нарича функция за грешкаи обозначават erf х.

Все още се използва нормализиранфункцията на Лаплас, която е свързана с функцията на Лаплас чрез връзката:

На фиг. 7 показва диаграма на нормализираната функция на Лаплас.

П правило три сигма

Когато се разглежда нормалното разпределение, се разграничава важен специален случай, известен като правило три сигма.

Нека запишем вероятността отклонението на нормално разпределена случайна променлива от математическото очакване да е по-малко от дадена стойност :

Ако приемем  = 3, тогава получаваме с помощта на таблиците със стойности на функцията на Лаплас:

Тези. вероятността една случайна променлива да се отклони от своето математическо очакване със стойност, по-голяма от три пъти стандартното отклонение, е практически нула.

Това правило се нарича правило три сигма.

На практика се счита, че ако за произволна променлива правилото на трите сигми е изпълнено, тогава тази случайна променлива има нормално разпределение.

Заключение на лекцията:

В лекцията разгледахме законите за разпределение на непрекъснати количества.При подготовката за следващата лекция и практическите упражнения трябва самостоятелно да допълните бележките си от лекцията с задълбочено изучаване на препоръчаната литература и решаване на предложените проблеми.