Определение на уравнението на права от две точки. Уравнение на права, минаваща през точка, уравнение на права, минаваща през две точки, ъгъл между две прави, наклон на права

Урок от поредицата "Геометрични алгоритми"

Здравей скъпи читателю!

Днес ще започнем да учим алгоритми, свързани с геометрията. Факт е, че има доста олимпиадни задачи по информатика, свързани с изчислителната геометрия, и решаването на такива задачи често създава трудности.

В няколко урока ще разгледаме редица елементарни подзадачи, на които се основава решаването на повечето задачи на изчислителната геометрия.

В този урок ще напишем програма за намиране на уравнението на права линияпреминавайки през даденото две точки. За да решаваме геометрични проблеми, се нуждаем от познания по изчислителна геометрия. Ще посветим част от урока на опознаването им.

Информация от изчислителната геометрия

Изчислителната геометрия е дял от компютърните науки, който изучава алгоритми за решаване на геометрични проблеми.

Първоначалните данни за такива задачи могат да бъдат набор от точки на равнината, набор от сегменти, многоъгълник (даден например чрез списък на неговите върхове в ред на часовниковата стрелка) и т.н.

Резултатът може да бъде или отговор на някакъв въпрос (като точка принадлежи ли на отсечка, пресичат ли се две отсечки, ...), или някакъв геометричен обект (например най-малкият изпъкнал многоъгълник, свързващ дадени точки, площта на многоъгълник и т.н.).

Ще разглеждаме проблемите на изчислителната геометрия само на равнината и само в декартовата координатна система.

Вектори и координати

За да се приложат методите на изчислителната геометрия, е необходимо геометричните изображения да се преведат на езика на числата. Ще приемем, че на равнината е дадена декартова координатна система, в която посоката на въртене обратно на часовниковата стрелка се нарича положителна.

Сега геометричните обекти получават аналитичен израз. Така че, за да зададете точка, достатъчно е да посочите нейните координати: двойка числа (x; y). Отсечка може да бъде определена чрез указване на координатите на краищата му, права линия може да бъде уточнена чрез указване на координатите на двойка нейни точки.

Но основният инструмент за решаване на проблеми ще бъдат векторите. Затова нека ви напомня малко информация за тях.

Линеен сегмент AB, което има точка НОсчита се за начало (точка на приложение), а точката AT- краят се нарича вектор ABи се обозначава например с , или удебелена малка буква а .

За да обозначим дължината на вектор (т.е. дължината на съответния сегмент), ще използваме символа за модул (например ).

Произволен вектор ще има координати, равни на разликата между съответните координати на неговия край и начало:

,

точки тук Аи б имат координати съответно.

За изчисления ще използваме концепцията ориентиран ъгъл, тоест ъгъл, който взема предвид относителната позиция на векторите.

Ориентиран ъгъл между векторите а и b положителен, ако въртенето е далеч от вектора а към вектора b се извършва в положителна посока (обратно на часовниковата стрелка) и отрицателна в другия случай. Вижте фиг.1а, фиг.1б. Също така се казва, че двойка вектори а и b позитивно (негативно) ориентиран.

По този начин стойността на ориентирания ъгъл зависи от реда на изброяване на векторите и може да приема стойности в интервала.

Много задачи с изчислителна геометрия използват концепцията за векторни (изкривени или псевдоскаларни) произведения на вектори.

Векторното произведение на векторите a и b е произведението на дължините на тези вектори и синуса на ъгъла между тях:

.

Векторно произведение на вектори в координати:

Изразът вдясно е детерминанта от втори ред:

За разлика от определението, дадено в аналитичната геометрия, това е скалар.

Знакът на кръстосаното произведение определя позицията на векторите един спрямо друг:

а и b позитивно ориентирани.

Ако стойността е , тогава двойката вектори а и b негативно ориентирани.

Кръстосаното произведение на ненулеви вектори е нула тогава и само ако те са колинеарни ( ). Това означава, че те лежат на една права или на успоредни прави.

Нека разгледаме някои прости задачи, необходими за решаване на по-сложни.

Нека дефинираме уравнението на права линия с координатите на две точки.

Уравнението на права линия, минаваща през две различни точки, дадени от техните координати.

Нека на правата са дадени две несъвпадащи точки: с координати (x1;y1) и с координати (x2; y2). Съответно векторът с начало в точката и край в точката има координати (x2-x1, y2-y1). Ако P(x, y) е произволна точка от нашата линия, тогава координатите на вектора са (x-x1, y - y1).

С помощта на кръстосаното произведение условието за колинеарност на векторите и може да се запише по следния начин:

Тези. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Пренаписваме последното уравнение, както следва:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

И така, правата линия може да бъде дадена чрез уравнение от вида (1).

Задача 1. Дадени са координатите на две точки. Намерете неговото представяне във формата ax + by + c = 0.

В този урок се запознахме с малко информация от изчислителната геометрия. Решихме задачата за намиране на уравнението на правата по координатите на две точки.

В следващия урок ще напишем програма за намиране на пресечната точка на две прави, дадени от нашите уравнения.

В тази статия ще разгледаме общото уравнение на права линия в равнина. Нека дадем примери за построяване на общото уравнение на права линия, ако са известни две точки от тази права линия или ако са известни една точка и нормалният вектор на тази права линия. Нека представим методи за трансформиране на уравнение в общ вид в канонични и параметрични форми.

Нека е дадена произволна декартова правоъгълна координатна система Окси. Помислете за уравнение от първа степен или линейно уравнение:

Axe+By+C=0,

(1)

където А, Б, Вса някои константи и поне един от елементите Аи бразличен от нула.

Ще покажем, че линейно уравнение в равнината определя права линия. Нека докажем следната теорема.

Теорема 1. В произволна декартова правоъгълна координатна система върху равнина всяка права линия може да бъде дадена с линейно уравнение. Обратно, всяко линейно уравнение (1) в произволна декартова правоъгълна координатна система в равнината определя права линия.

Доказателство. Достатъчно е да се докаже, че линията Лсе определя от линейно уравнение за всяка една декартова правоъгълна координатна система, тъй като тогава ще се определя от линейно уравнение и за всеки избор на декартова правоъгълна координатна система.

Нека на равнината е дадена права линия Л. Избираме координатна система, така че оста волподравнени с линията Л, и оста Ойбеше перпендикулярно на него. След това уравнението на правата Лще приеме следната форма:

y=0.

(2)

Всички точки на права Лще отговарят на линейното уравнение (2) и всички точки извън тази права линия няма да удовлетворяват уравнението (2). Първата част на теоремата е доказана.

Нека е дадена декартова правоъгълна координатна система и е дадено линейно уравнение (1), където поне един от елементите Аи бразличен от нула. Намерете геометричното място на точките, чиито координати отговарят на уравнение (1). Тъй като поне един от коефициентите Аи бе различно от нула, тогава уравнение (1) има поне едно решение М(х 0 ,г 0). (Например, когато А≠0, точка М 0 (−C/A, 0) принадлежи на даденото геометрично място от точки). Замествайки тези координати в (1), получаваме идентичността

брадва 0 +от 0 +° С=0.

(3)

Нека извадим идентичността (3) от (1):

А(х−х 0)+б(г−г 0)=0.

(4)

Очевидно уравнение (4) е еквивалентно на уравнение (1). Следователно е достатъчно да се докаже, че (4) дефинира някаква права.

Тъй като разглеждаме декартова правоъгълна координатна система, от равенството (4) следва, че векторът с компоненти ( x−x 0 , y−y 0 ) е ортогонален на вектора нс координати ( А, Б}.

Помислете за някаква линия Лпреминаващ през точката М 0 (х 0 , г 0) и перпендикулярна на вектора н(Фиг. 1). Нека точката М(х,y) принадлежи на линията Л. След това векторът с координати x−x 0 , y−y 0 перпендикулярно ни уравнение (4) е изпълнено (скаларен продукт на вектори ни е равно на нула). Обратно, ако точката М(х,y) не лежи на права Л, след това вектора с координати x−x 0 , y−y 0 не е ортогонален на вектора ни уравнение (4) не е изпълнено. Теоремата е доказана.

Доказателство. Тъй като линии (5) и (6) определят една и съща линия, нормалните вектори н 1 ={А 1 ,б 1) и н 2 ={А 2 ,б 2) са колинеарни. Тъй като векторите н 1 ≠0, н 2 ≠ 0, тогава има число λ , Какво н 2 =н 1 λ . Следователно имаме: А 2 =А 1 λ , б 2 =б 1 λ . Нека докажем това ° С 2 =° С 1 λ . Очевидно е, че съвпадащите прави имат обща точка М 0 (х 0 , г 0). Умножавайки уравнение (5) по λ и като извадим уравнение (6) от него, получаваме:

Тъй като първите две равенства от изразите (7) са изпълнени, то ° С 1 λ −° С 2=0. Тези. ° С 2 =° С 1 λ . Забележката е доказана.

Обърнете внимание, че уравнение (4) дефинира уравнението на права линия, минаваща през точката М 0 (х 0 , г 0) и има нормален вектор н={А, Б). Следователно, ако нормалният вектор на правата и точката, принадлежаща на тази права, са известни, тогава общото уравнение на правата може да бъде конструирано с помощта на уравнение (4).

Пример 1. Права минава през точка М=(4,−1) и има нормален вектор н=(3, 5). Съставете общото уравнение на права линия.

Решение. Ние имаме: х 0 =4, г 0 =−1, А=3, б=5. За да изградим общото уравнение на права линия, заместваме тези стойности в уравнение (4):

Отговор:

Вектор, успореден на линия Ли следователно е перпендикулярна на нормалния вектор на правата Л. Нека построим нормален вектор Л, като се има предвид, че скаларното произведение на векторите ни е равно на нула. Можем да напишем, например, н={1,−3}.

За да съставим общото уравнение на права линия, използваме формула (4). Нека заместим в (4) координатите на точката М 1 (можем също да вземем координатите на точката М 2) и нормалния вектор н:

Заместване на координатите на точките М 1 и М 2 в (9) можем да се уверим, че правата, дадена от уравнение (9), минава през тези точки.

Отговор:

Извадете (10) от (1):

Получихме каноничното уравнение на права линия. вектор р={−б, А) е насочващият вектор на правата (12).

Вижте обратна трансформация.

Пример 3. Права линия в равнина се представя със следното общо уравнение:

Преместете втория член надясно и разделете двете страни на уравнението на 2 5.

Каноничните уравнения на права линия в пространството са уравнения, които определят права линия, минаваща през дадена точка колинеарно на насочващ вектор.

Нека са дадени точка и насочващ вектор. Произволна точка лежи на права лсамо ако векторите и са колинеарни, т.е. те отговарят на условието:

.

Горните уравнения са каноничните уравнения на правата.

Числа м , ни стрса проекции на вектора на посоката върху координатните оси. Тъй като векторът е различен от нула, тогава всички числа м , ни стрне може да бъде нула в същото време. Но една или две от тях може да са нула. В аналитичната геометрия например е разрешена следната нотация:

,

което означава, че проекциите на вектора върху осите Ойи Озса равни на нула. Следователно както векторът, така и правата, дадени от каноничните уравнения, са перпендикулярни на осите Ойи Оз, тоест самолети yOz .

Пример 1Съставете уравнения на права линия в пространството, перпендикулярна на равнина и минаваща през пресечната точка на тази равнина с оста Оз .

Решение. Намерете пресечната точка на дадената равнина с оста Оз. Тъй като всяка точка от оста Оз, има координати , тогава, приемайки в даденото уравнение на равнината x=y= 0, получаваме 4 z- 8 = 0 или z= 2. Следователно пресечната точка на дадената равнина с оста Озима координати (0; 0; 2) . Тъй като желаната права е перпендикулярна на равнината, тя е успоредна на нейния нормален вектор. Следователно нормалният вектор може да служи като насочващ вектор на правата линия дадена равнина.

Сега пишем желаните уравнения на правата линия, минаваща през точката А= (0; 0; 2) по посока на вектора:

Уравнения на права, минаваща през две дадени точки

Една права линия може да бъде определена от две точки, лежащи върху нея и В този случай насочващият вектор на правата може да бъде векторът . Тогава каноничните уравнения на правата приемат формата

.

Горните уравнения определят права линия, минаваща през две дадени точки.

Пример 2Напишете уравнението на права линия в пространството, минаваща през точките и .

Решение. Записваме желаните уравнения на правата линия във формата, дадена по-горе в теоретичната справка:

.

Тъй като , тогава желаната линия е перпендикулярна на оста Ой .

Права като линия на пресичане на равнини

Правата линия в пространството може да се дефинира като пресечна линия на две неуспоредни равнини и т.е. като набор от точки, които удовлетворяват система от две линейни уравнения

Уравненията на системата се наричат ​​още общи уравнения на права линия в пространството.

Пример 3Съставете канонични уравнения на права линия в пространството, дадено от общи уравнения

Решение. За да напишете каноничните уравнения на права линия или, което е същото, уравнението на права линия, минаваща през две дадени точки, трябва да намерите координатите на произволни две точки на правата линия. Те могат да бъдат точките на пресичане на права линия с произволни две координатни равнини, например yOzи xOz .

Пресечна точка на права с равнина yOzима абсциса х= 0 . Следователно, приемайки в тази система от уравнения х= 0, получаваме система с две променливи:

Нейното решение г = 2 , z= 6 заедно с х= 0 дефинира точка А(0; 2; 6) от желания ред. Приемайки тогава в дадената система от уравнения г= 0, получаваме системата

Нейното решение х = -2 , z= 0 заедно с г= 0 дефинира точка б(-2; 0; 0) пресечна точка на права с равнина xOz .

Сега записваме уравненията на права линия, минаваща през точките А(0; 2; 6) и б (-2; 0; 0) :

,

или след разделяне на знаменателите на -2:

,

Определение.Всяка права в равнината може да бъде дадена чрез уравнение от първи ред

Ah + Wu + C = 0,

и константите A, B не са равни на нула едновременно. Това уравнение от първи ред се нарича общото уравнение на права линия.В зависимост от стойностите на константите A, B и C са възможни следните специални случаи:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - линията минава през началото

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - линията е успоредна на оста Ox

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - правата е успоредна на оста Oy

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - правата линия съвпада с оста Oy

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - правата линия съвпада с оста Ox

Уравнението на права линия може да бъде представено в различни форми в зависимост от дадени начални условия.

Уравнение на права чрез точка и нормален вектор

Определение.В декартова правоъгълна координатна система вектор с компоненти (A, B) е перпендикулярен на правата, дадена от уравнението Ax + By + C = 0.

Пример. Намерете уравнението на права линия, минаваща през точката A(1, 2), перпендикулярна на (3, -1).

Решение. При A = 3 и B = -1 съставяме уравнението на права линия: 3x - y + C = 0. За да намерим коефициента C, заместваме координатите на дадената точка A в получения израз.Получаваме: 3 - 2 + C = 0, следователно C = -1 . Общо: желаното уравнение: 3x - y - 1 \u003d 0.

Уравнение на права, минаваща през две точки

Нека две точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2) са дадени в пространството, тогава уравнението на права линия, минаваща през тези точки:

Ако някой от знаменателите е равен на нула, съответният числител трябва да бъде зададен равен на 0. На равнината уравнението на права линия, написано по-горе, е опростено:

ако x 1 ≠ x 2 и x = x 1, ако x 1 = x 2.

Извиква се дроб = k фактор на наклонаправ.

Пример. Намерете уравнението на права линия, минаваща през точките A(1, 2) и B(3, 4).

Решение.Прилагайки горната формула, получаваме:

Уравнение на права от точка и наклон

Ако общият Ax + Wu + C = 0 води до формата:

и посочете , тогава полученото уравнение се нарича уравнение на права линия с наклонк.

Уравнение на права линия с точка и насочен вектор

По аналогия с точката, разглеждаща уравнението на права линия през нормалния вектор, можете да въведете задаването на права линия през точка и насочващ вектор на права линия.

Определение.Всеки ненулев вектор (α 1, α 2), компонентите на който отговарят на условието A α 1 + B α 2 = 0, се нарича насочващ вектор на правата.

Ah + Wu + C = 0.

Пример. Намерете уравнението на права линия с насочващ вектор (1, -1) и минаваща през точка A(1, 2).

Решение.Ще търсим уравнението на желаната права линия във формата: Ax + By + C = 0. В съответствие с дефиницията коефициентите трябва да отговарят на условията:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = Б.

Тогава уравнението на права линия има формата: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0. за x = 1, y = 2 получаваме C / A = -3, т.е. желано уравнение:

Уравнение на права линия в отсечки

Ако в общото уравнение на правата Ah + Wu + C = 0 C≠0, тогава, разделяйки на –C, получаваме: или

Геометричният смисъл на коефициентите е, че коефициентът ае координатата на пресечната точка на правата с оста x, и b- координатата на пресечната точка на правата с оста Oy.

Пример.Дадено е общото уравнение на правата x - y + 1 = 0. Намерете уравнението на тази права в сегментите.

C \u003d 1, , a = -1, b \u003d 1.

Нормално уравнение на права линия

Ако двете страни на уравнението Ax + Vy + C = 0 се умножат по числото , което се нарича нормализиращ фактор, тогава получаваме

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

нормално уравнение на права линия. Знакът ± на нормализиращия коефициент трябва да бъде избран така, че μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Пример. Дадено е общото уравнение на правата 12x - 5y - 65 = 0. Необходимо е да се напишат различни видове уравнения за тази линия.

уравнението на тази права линия в сегменти:

уравнението на тази права с наклона: (разделете на 5)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; р=5.

Трябва да се отбележи, че не всяка права линия може да бъде представена чрез уравнение в сегменти, например прави линии, успоредни на осите или минаващи през началото.

Пример. Правата линия отрязва равни положителни отсечки по координатните оси. Напишете уравнението на права линия, ако площта на триъгълника, образуван от тези сегменти, е 8 cm 2.

Решение.Уравнението на правата има вида: , ab /2 = 8; ab=16; а=4, а=-4. а = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Пример. Напишете уравнението на права линия, минаваща през точка A (-2, -3) и началото.

Решение. Уравнението на права линия има формата: , където x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Ъгъл между прави в равнина

Определение.Ако са дадени две прави y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , тогава острия ъгъл между тези линии ще се дефинира като

.

Две прави са успоредни, ако k 1 = k 2 . Две прави са перпендикулярни, ако k 1 = -1/ k 2 .

Теорема.Правите Ax + Vy + C \u003d 0 и A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 са успоредни, когато коефициентите A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB са пропорционални. Ако също С 1 = λС, то линиите съвпадат. Координатите на пресечната точка на две прави се намират като решение на системата от уравнения на тези прави.

Уравнение на права, минаваща през дадена точка перпендикулярно на дадена права

Определение.Линията, минаваща през точката M 1 (x 1, y 1) и перпендикулярна на правата y \u003d kx + b, е представена от уравнението:

Разстояние от точка до линия

Теорема.Ако е дадена точка M(x 0, y 0), тогава разстоянието до правата Ax + Vy + C \u003d 0 се определя като

.

Доказателство.Нека точката M 1 (x 1, y 1) е основата на перпендикуляра, пуснат от точката M към дадената права. Тогава разстоянието между точките M и M 1:

(1)

Координатите x 1 и y 1 могат да бъдат намерени като решение на системата от уравнения:

Второто уравнение на системата е уравнението на права линия, минаваща през дадена точка M 0 перпендикулярна на дадена права линия. Ако трансформираме първото уравнение на системата във вида:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

тогава, решавайки, получаваме:

Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:

Теоремата е доказана.

Пример. Определете ъгъла между правите: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Пример. Покажете, че правите 3x - 5y + 7 = 0 и 10x + 6y - 3 = 0 са перпендикулярни.

Решение. Намираме: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, следователно линиите са перпендикулярни.

Пример. Дадени са върховете на триъгълника A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Намерете уравнението за височината, изтеглена от върха C.

Решение. Намираме уравнението на страната AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Желаното уравнение за височина е: Ax + By + C = 0 или y = kx + b. k = . Тогава y = . защото височината минава през точка С, тогава нейните координати удовлетворяват това уравнение: откъдето b = 17. Общо: .

Отговор: 3x + 2y - 34 = 0.

Свойства на права линия в евклидовата геометрия.

Има безкрайно много прави, които могат да бъдат начертани през всяка точка.

През всеки две несъвпадащи точки има само една права линия.

Две несъвпадащи прави в равнината или се пресичат в една точка, или се пресичат

паралелен (следва от предишния).

В триизмерното пространство има три варианта за взаимното разположение на две линии:

• линиите се пресичат;

• правите линии са успоредни;

• пресичат се прави линии.

Направо линия- алгебрична крива от първи ред: в декартова координатна система, права линия

се дава на равнината чрез уравнение от първа степен (линейно уравнение).

Общо уравнение на права линия.

Определение. Всяка права в равнината може да бъде дадена чрез уравнение от първи ред

Ah + Wu + C = 0,

и постоянна А, Бне е равно на нула в същото време. Това уравнение от първи ред се нарича общ

уравнение на права линия.В зависимост от стойностите на константите А, Би ОТВъзможни са следните специални случаи:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- линията минава през началото

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( Чрез + C = 0)- права линия, успоредна на оста о

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- права линия, успоредна на оста OU

. B = C = 0, A ≠ 0- линията съвпада с оста OU

. A = C = 0, B ≠ 0- линията съвпада с оста о

Уравнението на права линия може да бъде представено в различни форми в зависимост от всяка даденост

начални условия.

Уравнение на права чрез точка и нормален вектор.

Определение. В декартова правоъгълна координатна система вектор с компоненти (A, B)

перпендикулярна на правата, дадена от уравнението

Ah + Wu + C = 0.

Пример. Намерете уравнението на права линия, минаваща през точка A(1, 2)перпендикулярен на вектора (3, -1).

Решение. Нека съставим при A \u003d 3 и B \u003d -1 уравнението на правата линия: 3x - y + C \u003d 0. За да намерим коефициента C

заместваме в получения израз координатите на дадената точка А. Получаваме: 3 - 2 + C = 0, следователно

C = -1. Общо: желаното уравнение: 3x - y - 1 \u003d 0.

Уравнение на права линия, минаваща през две точки.

Нека в пространството са дадени две точки M 1 (x 1, y 1, z 1)и M2 (x 2, y 2, z 2),тогава уравнение на права линия,

преминавайки през тези точки:

Ако някой от знаменателите е равен на нула, съответният числител трябва да бъде равен на нула. На

равнина, уравнението на права линия, написано по-горе, е опростено:

ако x 1 ≠ x 2и x = x 1, ако x 1 = x 2 .

Фракция = kНаречен фактор на наклона прав.

Пример. Намерете уравнението на права линия, минаваща през точките A(1, 2) и B(3, 4).

Решение. Прилагайки горната формула, получаваме:

Уравнение на права чрез точка и наклон.

Ако общото уравнение на права линия Ah + Wu + C = 0доведе до формата:

и посочете , тогава полученото уравнение се нарича

уравнение на права линия с наклон k.

Уравнение на права линия върху точка и насочващ вектор.

По аналогия с точката, разглеждаща уравнението на права линия през нормалния вектор, можете да въведете задачата

права линия през точка и насочващ вектор на права линия.

Определение. Всеки ненулев вектор (α 1, α 2), чиито компоненти отговарят на условието

Aα 1 + Bα 2 = 0Наречен вектор на посоката на правата линия.

Ah + Wu + C = 0.

Пример. Намерете уравнението на права линия с насочващ вектор (1, -1) и минаваща през точка A(1, 2).

Решение. Ще търсим уравнението на желаната права линия във вида: Ax + By + C = 0.Според определението,

коефициентите трябва да отговарят на условията:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = Б.

Тогава уравнението на права линия има формата: Ax + Ay + C = 0,или x + y + C / A = 0.

при x=1, y=2получаваме C/ A = -3, т.е. желано уравнение:

x + y - 3 = 0

Уравнение на права линия в отсечки.

Ако в общото уравнение на правата Ah + Wu + C = 0 C≠0, тогава, разделяйки на -C, получаваме:

или къде

Геометричният смисъл на коефициентите е, че коефициентът a е координатата на пресечната точка

права с ос оа b- координатата на пресечната точка на линията с оста OU.

Пример. Дадено е общото уравнение на права линия x - y + 1 = 0.Намерете уравнението на тази права линия в сегменти.

C \u003d 1, , a = -1, b \u003d 1.

Нормално уравнение на права линия.

Ако и двете страни на уравнението Ah + Wu + C = 0разделяне на число , което се нарича

нормализиращ фактор, тогава получаваме

xcosφ + ysinφ - p = 0 -нормално уравнение на права линия.

Знакът ± на нормализиращия фактор трябва да бъде избран така, че μ * C< 0.

Р- дължината на перпендикуляра, пуснат от началото до правата,

а φ - ъгълът, образуван от този перпендикуляр с положителната посока на оста о

Пример. Дадено е общото уравнение на права линия 12x - 5y - 65 = 0. Изисква се за писане на различни видове уравнения

тази права линия.

Уравнението на тази права линия в сегменти:

Уравнението на тази права с наклон: (раздели на 5)

Уравнение на права линия:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; р=5.

Трябва да се отбележи, че не всяка права линия може да бъде представена чрез уравнение в сегменти, например прави линии,

успоредни на осите или минаващи през началото.

Ъгъл между прави в равнина.

Определение. Ако са дадени два реда y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, тогава острия ъгъл между тези прави

ще се определи като

Две прави са успоредни, ако k 1 = k 2. Две линии са перпендикулярни

ако k 1 \u003d -1 / k 2 .

Теорема.

Директен Ah + Wu + C = 0и A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0са успоредни, когато коефициентите са пропорционални

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Ако също С 1 \u003d λС, тогава линиите съвпадат. Координати на пресечната точка на две прави

се намират като решение на системата от уравнения на тези прави.

Уравнението на права, минаваща през дадена точка, е перпендикулярна на дадена права.

Определение. Права, минаваща през точка M 1 (x 1, y 1)и перпендикулярна на правата y = kx + b

представено от уравнението:

Разстоянието от точка до права.

Теорема. Ако се даде точка M(x 0, y 0),след това разстоянието до линията Ah + Wu + C = 0дефиниран като:

Доказателство. Нека точката M 1 (x 1, y 1)- основата на перпендикуляра, паднал от точката Мза даденост

директен. След това разстоянието между точките Ми М 1:

(1)

Координати х 1и 1може да се намери като решение на системата от уравнения:

Второто уравнение на системата е уравнението на права линия, минаваща през дадена точка M 0 перпендикулярно

дадена линия. Ако трансформираме първото уравнение на системата във вида:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

тогава, решавайки, получаваме:

Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:

Теоремата е доказана.