Основни елементи на призмата. Обем и повърхност на правилна четириъгълна призма

С помощта на този видео урок всеки ще може самостоятелно да се запознае с темата „Концепцията за многостен. Призма. Площта на призмата." По време на урока учителят ще говори за това какви са геометричните фигури като полиедър и призми, ще даде подходящи дефиниции и ще обясни същността им с конкретни примери.

С помощта на този урок всеки ще може самостоятелно да се запознае с темата „Концепцията за полиедър. Призма. Площта на призмата."

Определение. Повърхнина, съставена от многоъгълници и ограничаваща определено геометрично тяло, ще се нарича многостенна повърхност или полиедър.

Разгледайте следните примери за полиедри:

1. Тетраедър ABCDе повърхност, съставена от четири триъгълника: ABC, A.D.B., BDCИ ADC(Фиг. 1).

Ориз. 1

2. Паралелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1е повърхност, съставена от шест успоредника (фиг. 2).

Ориз. 2

Основните елементи на многостена са лица, ръбове и върхове.

Лицата са многоъгълниците, които изграждат полиедър.

Ръбовете са страните на лицата.

Върховете са краищата на ръбовете.

Помислете за тетраедър ABCD(Фиг. 1). Нека посочим основните му елементи.

Ръбове: триъгълници ABC, ADB, BDC, ADC.

Ребра: AB, AC, BC, DC, AD, BD.

Върхове: A, B, C, D.

Помислете за паралелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(фиг. 2).

Ръбове: успоредници AA 1 D 1 D, D 1 DCC 1, BB 1 C 1 C, AA 1 B 1 B, ABCD, A 1 B 1 C 1 D 1.

Ребра: АА 1 , BB 1 , СС 1 , DD 1 , AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, AB, A 1 B 1 , D 1 C 1 , DC.

Върхове: A, B, C, D, A 1, B 1, C 1, D 1.

Важен специален случай на полиедър е призмата.

ABCA 1 В 1 С 1(фиг. 3).

Ориз. 3

Еднакви триъгълници ABCИ A 1 B 1 C 1разположени в успоредни равнини α и β така, че ръбовете AA 1, BB 1, SS 1паралелен.

Това е ABCA 1 В 1 С 1- триъгълна призма, ако:

1) Триъгълници ABCИ A 1 B 1 C 1са равни.

2) Триъгълници ABCИ A 1 B 1 C 1разположени в успоредни равнини α и β: ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Ребра AA 1, BB 1, SS 1паралелен.

ABCИ A 1 B 1 C 1- основа на призмата.

AA 1, BB 1, SS 1- странични ребра на призмата.

Ако от произволна точка H 1една равнина (например β) пуска перпендикуляра NN 1към равнината α, то този перпендикуляр се нарича височина на призмата.

Определение. Ако страничните ръбове са перпендикулярни на основите, тогава призмата се нарича права, в противен случай се нарича наклонена.

Помислете за триъгълна призма ABCA 1 В 1 С 1(фиг. 4). Тази призма е права. Тоест страничните му ребра са перпендикулярни на основите.

Например ребро АА 1перпендикулярна на равнината ABC. Ръб, край АА 1е височината на тази призма.

Ориз. 4

Имайте предвид, че страничното лице AA 1 B 1 Bперпендикулярни на основите ABCИ A 1 B 1 C 1, тъй като минава през перпендикуляра АА 1към базите.

Сега помислете за наклонена призма ABCA 1 В 1 С 1(фиг. 5). Тук страничният ръб не е перпендикулярен на равнината на основата. Ако се пропусне от точката A 1перпендикулярен A 1 NНа ABC, тогава този перпендикуляр ще бъде височината на призмата. Имайте предвид, че сегментът АНе проекцията на сегмента АА 1до самолета ABC.

След това ъгълът между правата линия АА 1и самолет ABCе ъгълът между права линия АА 1и тя АНпроекция върху равнината, тоест ъгълът A 1 AN.

Ориз. 5

Помислете за четириъгълна призма ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(фиг. 6). Да видим как ще се получи.

1) Четириъгълник ABCDравен на четириъгълник A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) Четириъгълници ABCDИ A 1 B 1 C 1 D 1 ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Четириъгълници ABCDИ A 1 B 1 C 1 D 1разположени така, че страничните ребра да са успоредни, т.е. АА 1 ║ВВ 1 ║СС 1 ║DD 1.

Определение. Диагоналът на призмата е сегмент, свързващ два върха на призма, които не принадлежат на едно и също лице.

Например, AC 1- диагонал на четириъгълна призма ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Определение. Ако страничният ръб АА 1перпендикулярна на равнината на основата, тогава такава призма се нарича права линия.

Ориз. 6

Специален случай на четириъгълна призма е познатият ни паралелепипед. паралелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1показано на фиг. 7.

Нека да видим как работи:

1) Основите съдържат еднакви фигури. В случая - равни успоредници ABCDИ A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) Успоредници ABCDИ A 1 B 1 C 1 D 1лежат в успоредни равнини α и β: ABC║A 1 B 1 C 1 (α ║ β).

3) Успоредници ABCDИ A 1 B 1 C 1 D 1подредени по такъв начин, че страничните ребра да са успоредни едно на друго: АА 1 ║ВВ 1 ║СС 1 ║DD 1.

Ориз. 7

От точка A 1нека изпуснем перпендикуляра АНдо самолета ABC. Линеен сегмент A 1 Nе височината.

Нека да разгледаме как е структурирана една шестоъгълна призма (фиг. 8).

1) Основата съдържа равни шестоъгълници А Б В Г Д ЕИ A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1: А Б В Г Д Е= A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1.

2) Равнини на шестоъгълници А Б В Г Д ЕИ A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1успоредни, т.е. основите лежат в успоредни равнини: ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Шестоъгълници А Б В Г Д ЕИ A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1подредени така, че всички странични ребра да са успоредни едно на друго: AA 1 ║BB 1 …║FF 1.

Ориз. 8

Определение. Ако някой страничен ръб е перпендикулярен на равнината на основата, тогава такава шестоъгълна призма се нарича права.

Определение. Правата призма се нарича правилна, ако нейните основи са правилни многоъгълници.

Помислете за правилна триъгълна призма ABCA 1 В 1 С 1.

Ориз. 9

Триъгълна призма ABCA 1 В 1 С 1- правилен, това означава, че основите съдържат правилни триъгълници, тоест всички страни на тези триъгълници са равни. Освен това тази призма е права. Това означава, че страничният ръб е перпендикулярен на равнината на основата. Това означава, че всички странични лица са равни правоъгълници.

Така че, ако триъгълна призма ABCA 1 В 1 С 1- е правилно, тогава:

1) Страничният ръб е перпендикулярен на равнината на основата, тоест това е височината: АА 1 ⊥ ABC.

2) Основата е правилен триъгълник: ∆ ABC- правилно.

Определение. Общата повърхност на призмата е сумата от площите на всички нейни лица. Определен S пълен.

Определение. Площта на страничната повърхност е сумата от площите на всички странични повърхности. Определен S страна.

Призмата има две основи. Тогава общата повърхност на призмата е:

S пълен = S страничен + 2S основен.

Площта на страничната повърхност на права призма е равна на произведението на периметъра на основата и височината на призмата.

Ще проведем доказателството на примера на триъгълна призма.

дадени: ABCA 1 В 1 С 1- права призма, т.е. АА 1 ⊥ ABC.

AA 1 = h.

Докажи: S страна = P основна ∙ h.

Ориз. 10

Доказателство.

Триъгълна призма ABCA 1 В 1 С 1- прав, това означава AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C -правоъгълници.

Нека намерим площта на страничната повърхност като сумата от площите на правоъгълниците AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C:

S страна = AB∙ h + BC∙ h + CA∙ h = (AB + BC + CA) ∙ h = P основен ∙ h.

Получаваме, S страна = P основна ∙ h, Q.E.D.

Запознахме се с многостените, призмите и техните разновидности. Доказахме теоремата за страничната повърхност на призма. В следващия урок ще решаваме задачи с призми.

Геометрия. 10-11 клас: учебник за ученици от общообразователни институции (основни и специализирани нива) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-то издание, коригирано и разширено - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с. : аз ще.
Геометрия. 10-11 клас: Учебник за общообразователни институции / Шаригин И.Ф.: Дропла, 1999. - 208 с.: ил.
Геометрия. 10 клас: Учебник за общообразователните институции със задълбочено и профилирано изучаване на математика /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-то издание, стереотип. - М .: Bustard, 008. - 233 с. :I л.

IClass().
Shkolo.ru ().
Старата школа ().
WikiHow().

Какъв е минималният брой лица, които една призма може да има? Колко върха и ръба има такава призма?
Има ли призма, която има точно 100 ръба?
Страничното ребро е наклонено спрямо основната равнина под ъгъл 60°. Намерете височината на призмата, ако страничният ръб е 6 cm.
В права триъгълна призма всички ръбове са равни. Площта на страничната му повърхност е 27 cm 2. Намерете общата повърхност на призмата.

Стереометрията е клон на геометрията, който изучава фигури, които не лежат в една и съща равнина. Един от обектите на изследване на стереометрията са призмите. В статията ще дефинираме призмата от геометрична гледна точка, а също така ще изброим накратко свойствата, които са характерни за нея.

Геометрична фигура

Дефиницията на призмата в геометрията е следната: това е пространствена фигура, състояща се от два еднакви n-ъгълника, разположени в успоредни равнини, свързани помежду си с техните върхове.

Получаването на призма не е трудно. Нека си представим, че има два еднакви n-ъгълника, където n е броят на страните или върховете. Нека ги поставим така, че да са успоредни един на друг. След това върховете на един многоъгълник трябва да бъдат свързани със съответните върхове на другия. Получената фигура ще се състои от две n-ъгълни страни, които се наричат основи, и n четириъгълни страни, които като цяло са успоредници. Наборът от паралелограми образува страничната повърхност на фигурата.

Има и друг начин за геометрично получаване на въпросната фигура. Така че, ако вземем n-ъгълник и го прехвърлим в друга равнина, използвайки успоредни сегменти с еднаква дължина, тогава в новата равнина ще получим оригиналния многоъгълник. И двата многоъгълника и всички успоредни сегменти, изтеглени от техните върхове, образуват призма.

Картината по-горе демонстрира това. Нарича се така, защото основите му са триъгълници.

Елементи, които изграждат фигура

По-горе беше дадено определение за призма, от което става ясно, че основните елементи на фигурата са нейните ръбове или страни, които ограничават всички вътрешни точки на призмата от външното пространство. Всяко лице на въпросната фигура принадлежи към един от двата типа:

страничен;
основания.

Има n странични парчета и те са успоредници или техните специфични видове (правоъгълници, квадрати). По принцип страничните лица се различават една от друга. Има само две лица на основата; те са n-ъгълници и са равни помежду си. Следователно всяка призма има n+2 страни.

В допълнение към страните, фигурата се характеризира със своите върхове. Те представляват точки, в които три лица се докосват едновременно. Освен това две от трите лица винаги принадлежат към страничната повърхност, а една към основата. По този начин в призмата няма специално отделен връх, както например в пирамидата те са равни; Броят на върховете на фигурата е 2*n (n броя за всяка основа).

И накрая, третият важен елемент на призмата са нейните ребра. Това са сегменти с определена дължина, които се образуват в резултат на пресичането на страните на фигура. Подобно на лицата, ръбовете също имат два различни типа:

или образувани само от страни;
или възникват на кръстовището на успоредника и страната на n-ъгълната основа.

Следователно броят на ръбовете е равен на 3*n, а 2*n от тях принадлежат към втория от посочените типове.

Видове призми

Има няколко начина за класифициране на призмите. Всички те обаче се основават на две характеристики на фигурата:

по вида на n-въглеродната основа;
на страничен тип.

Първо, нека се обърнем към втората характеристика и да дадем дефиниция на права линия. Ако поне едната страна е общ успоредник, тогава фигурата се нарича наклонена или наклонена. Ако всички паралелограми са правоъгълници или квадрати, тогава призмата ще бъде права.

Определението може да се даде и малко по-различно: права фигура е призма, чиито странични ръбове и лица са перпендикулярни на нейните основи. Фигурата показва две четириъгълни фигури. Левият е прав, десният е наклонен.

Сега нека да преминем към класификацията според вида на n-gon, лежащ в основите. Може да има еднакви страни и ъгли или различни. В първия случай многоъгълникът се нарича правилен. Ако въпросната фигура съдържа в основата си многоъгълник с равни страни и ъгли и е права, тогава тя се нарича правилна. Според тази дефиниция правилната призма в основата си може да има равностранен триъгълник, квадрат, правилен петоъгълник или шестоъгълник и т.н. Изброените регулярни цифри са представени на фигурата.

Линейни параметри на призми

За описание на размерите на въпросните фигури се използват следните параметри:

височина;
страни на основата;
дължина на страничните ребра;
обемни диагонали;
диагонали на страните и основите.

За правилните призми всички тези величини са свързани една с друга. Например, дължините на страничните ребра са еднакви и равни на височината. За конкретна n-ъгълна правилна фигура има формули, които ви позволяват да определите всички останали, като използвате всеки два линейни параметъра.

Повърхност на фигура

Ако се позоваваме на определението за призма, дадено по-горе, тогава няма да е трудно да разберем какво представлява повърхността на фигурата. Повърхността е площта на всички лица. За права призма се изчислява по формулата:

S = 2*S o + P o *h

където S o е площта на основата, P o е периметърът на n-ъгълника в основата, h е височината (разстоянието между основите).

Обем на фигурата

Заедно с повърхността за практика е важно да знаете обема на призмата. Може да се определи по следната формула:

Този израз е валиден за абсолютно всеки тип призма, включително тези, които са наклонени и образувани от неправилни многоъгълници.

За правилните тя е функция от дължината на страната на основата и височината на фигурата. За съответната n-ъгълна призма формулата за V има специфичен вид.

Призма е геометрична триизмерна фигура, чиито характеристики и свойства се изучават в гимназиите. По правило при изучаването му се вземат предвид величини като обем и повърхност. В тази статия ще обсъдим малко по-различен въпрос: ще представим метод за определяне на дължината на диагоналите на призма, използвайки примера на четириъгълна фигура.

Каква форма се нарича призма?

В геометрията се дава следната дефиниция на призмата: това е триизмерна фигура, ограничена от две многоъгълни еднакви страни, които са успоредни една на друга и определен брой успоредници. Фигурата по-долу показва пример за призма, която отговаря на това определение.

Виждаме, че двата червени петоъгълника са равни един на друг и са в две успоредни равнини. Пет розови успоредника свързват тези петоъгълници в твърд обект - призма. Двата петоъгълника се наричат основи на фигурата, а нейните успоредници са странични лица.

Призмите могат да бъдат прави или наклонени, наричани още правоъгълни или наклонени. Разликата между тях е в ъглите между основата и страничните ръбове. За правоъгълна призма всички тези ъгли са равни на 90o.

Въз основа на броя на страните или върховете на многоъгълника в основата те говорят за триъгълни, петоъгълни, четириъгълни призми и т.н. Освен това, ако този многоъгълник е правилен и самата призма е права, тогава такава фигура се нарича правилна.

Призмата, показана на предишната фигура, е петоъгълна наклонена. Отдолу има петоъгълна права призма, която е правилна.

Удобно е да се извършват всички изчисления, включително метода за определяне на диагоналите на призма, специално за правилните фигури.

Какви елементи характеризират призмата?

Елементите на фигурата са компонентите, които я формират. Конкретно за призмата могат да се разграничат три основни типа елементи:

горнища;
ръбове или страни;
ребра

Лицата са основите и страничните равнини, представляващи в общия случай успоредници. В призма всяка страна винаги е един от два вида: или е многоъгълник, или успоредник.

Ръбовете на призмата са тези сегменти, които ограничават всяка страна на фигурата. Подобно на лицата, ръбовете също се предлагат в два типа: тези, принадлежащи към основата и страничната повърхност, или тези, принадлежащи само към страничната повърхност. Винаги има два пъти повече от първите, отколкото от вторите, независимо от вида на призмата.

Върховете са пресечните точки на трите ръба на призмата, два от които лежат в равнината на основата, а третият принадлежи на двете странични стени. Всички върхове на призмата са в равнините на основите на фигурата.

Числата на описаните елементи са свързани в едно равенство, което има следния вид:

P = B + C - 2.

Тук P е броят на ръбовете, B - върховете, C - страните. Това равенство се нарича теорема на Ойлер за многостена.

Фигурата показва триъгълна правилна призма. Всеки може да преброи, че има 6 върха, 5 страни и 9 ръба. Тези цифри са в съответствие с теоремата на Ойлер.

Диагонали на призмата

След свойства като обем и повърхнина, в задачите по геометрия често срещаме информация за дължината на конкретен диагонал на въпросната фигура, която или е дадена, или трябва да бъде намерена с други известни параметри. Нека разгледаме какви диагонали има призмата.

Всички диагонали могат да бъдат разделени на два вида:

Лежащ в равнината на лицата. Те свързват несъседни върхове на многоъгълник в основата на призма или успоредник на страничната повърхност. Стойността на дължините на такива диагонали се определя въз основа на познаването на дължините на съответните ръбове и ъглите между тях. За определяне на диагоналите на успоредниците винаги се използват свойствата на триъгълниците.
Призми, разположени вътре в обема. Тези диагонали свързват различните върхове на две основи. Тези диагонали са изцяло вътре във фигурата. Техните дължини са малко по-трудни за изчисляване, отколкото за предишния тип. Методът на изчисление включва отчитане на дължините на ребрата и основата и паралелограмите. За прави и правилни призми изчислението е сравнително просто, тъй като се извършва с помощта на Питагоровата теорема и свойствата на тригонометричните функции.

Диагонали на страните на четириъгълна права призма

Фигурата по-горе показва четири еднакви прави призми и са дадени параметрите на техните ръбове. На призмите с диагонал A, диагонал B и диагонал C прекъснатата червена линия показва диагоналите на три различни лица. Тъй като призмата е права линия с височина 5 cm, а основата й е представена от правоъгълник със страни 3 cm и 2 cm, не е трудно да се намерят отбелязаните диагонали. За да направите това, трябва да използвате Питагоровата теорема.

Дължината на диагонала на основата на призмата (диагонал А) е равна на:

D A = √(3 2 +2 2) = √13 ≈ 3,606 cm.

За страничната повърхност на призмата диагоналът е равен (виж диагонал B):

D B = √(3 2 +5 2) = √34 ≈ 5,831 cm.

И накрая, дължината на друг страничен диагонал е (виж диагонал C):

D C = √(2 2 +5 2) = √29 ≈ 5,385 cm.

Дължина на вътрешния диагонал

Сега нека изчислим дължината на диагонала на четириъгълната призма, която е показана на предишната фигура (Диагонал D). Това не е толкова трудно да се направи, ако забележите, че това е хипотенузата на триъгълник, в който катетите ще бъдат височината на призмата (5 cm) и диагоналът D A, показан на фигурата горе вляво (Диагонал A). Тогава получаваме:

D D = √(DA 2 +5 2) = √(2 2 +3 2 +5 2) = √38 ≈ 6,164 cm.

Правилна четириъгълна призма

Диагоналът на правилна призма, чиято основа е квадрат, се изчислява по същия начин, както в горния пример. Съответната формула е:

D = √(2*a 2 +c 2).

Където a и c са дължините съответно на страната на основата и страничния ръб.

Имайте предвид, че в изчисленията използвахме само Питагоровата теорема. За да се определят дължините на диагоналите на правилни призми с голям брой върхове (петоъгълни, шестоъгълни и т.н.), вече е необходимо да се използват тригонометрични функции.

В училищната програма за курс по стереометрия изучаването на триизмерни фигури обикновено започва с просто геометрично тяло - полиедър на призма. Ролята на неговите основи се изпълняват от 2 равни многоъгълника, лежащи в успоредни равнини. Специален случай е правилната четириъгълна призма. Основите му са 2 еднакви правилни четириъгълника, на които страните са перпендикулярни, имащи форма на успоредници (или правоъгълници, ако призмата не е наклонена).

Как изглежда призмата?

Правилната четириъгълна призма е шестоъгълник, чиито основи са 2 квадрата, а страничните стени са представени от правоъгълници. Друго име за тази геометрична фигура е прав паралелепипед.

По-долу е показан чертеж, показващ четириъгълна призма.

Виждате и на снимката най-важните елементи, които изграждат едно геометрично тяло. Те включват:

Понякога в задачи по геометрия можете да срещнете понятието сечение. Дефиницията ще звучи така: разрезът е всички точки на обемно тяло, принадлежащи към режеща равнина. Разрезът може да бъде перпендикулярен (пресича ръбовете на фигурата под ъгъл от 90 градуса). За правоъгълна призма се разглежда и диагонално сечение (максималния брой сечения, които могат да се построят е 2), минаващо през 2 ребра и диагоналите на основата.

Ако сечението е начертано по такъв начин, че режещата равнина не е успоредна нито на основите, нито на страничните повърхности, резултатът е пресечена призма.

За намиране на редуцирани призматични елементи се използват различни отношения и формули. Някои от тях са известни от курса по планиметрия (например, за да намерите площта на основата на призмата, достатъчно е да си припомните формулата за площта на квадрат).

Площ и обем

За да определите обема на призма с помощта на формулата, трябва да знаете площта на нейната основа и височина:

V = Sbas h

Тъй като основата на правилната тетраедрична призма е квадрат със страна а,Можете да напишете формулата в по-подробна форма:

V = a²·h

Ако говорим за куб - правилна призма с равни дължина, ширина и височина, обемът се изчислява по следния начин:

За да разберете как да намерите страничната повърхност на призмата, трябва да си представите нейното развитие.

От чертежа се вижда, че страничната повърхност е изградена от 4 равни правоъгълника. Площта му се изчислява като произведение от периметъра на основата и височината на фигурата:

Sстрана = Posn h

Като се има предвид, че периметърът на квадрата е равен на P = 4a,формулата приема формата:

Sстрана = 4a h

За куб:

Sстрана = 4a²

За да изчислите площта на общата повърхност на призмата, трябва да добавите 2 основни площи към страничната площ:

Пълен = Sстрана + 2Smain

Във връзка с четириъгълна правилна призма формулата изглежда така:

Общо = 4a h + 2a²

За повърхността на куб:

Пълен = 6a²

Познавайки обема или повърхността, можете да изчислите отделните елементи на геометрично тяло.

Намиране на елементи на призмата

Често има задачи, при които е даден обемът или е известна стойността на страничната повърхност, където е необходимо да се определи дължината на страната на основата или височината. В такива случаи могат да се изведат формулите:

дължина на основната страна: a = Sside / 4h = √(V / h);
височина или дължина на странично ребро: h = Sстрана / 4a = V / a²;
основна площ: Sbas = V / h;
странична лицева зона: отстрани gr = Sстрана / 4.

За да определите колко площ има диагоналното сечение, трябва да знаете дължината на диагонала и височината на фигурата. За квадрат d = a√2.Следователно:

Sdiag = ah√2

За да изчислите диагонала на призма, използвайте формулата:

dprize = √(2a² + h²)

За да разберете как да приложите дадените отношения, можете да практикувате и да решите няколко прости задачи.

Примери за задачи с решения

Ето някои задачи от държавните зрелостни изпити по математика.

Упражнение 1.

Пясъкът се изсипва в кутия с форма на правилна четириъгълна призма. Височината на нивото му е 10 см. Какво ще бъде нивото на пясъка, ако го преместите в съд със същата форма, но с два пъти по-дълга основа?

Следва да се мотивира по следния начин. Количеството пясък в първия и втория контейнер не се е променило, т.е. обемът му в тях е същият. Можете да означите дължината на основата с а. В този случай за първата кутия обемът на веществото ще бъде:

V₁ = ha² = 10a²

За втората кутия дължината на основата е 2а, но височината на нивото на пясъка е неизвестна:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Тъй като V₁ = V₂, можем да приравним изразите:

10a² = 4ha²

След като намалим двете страни на уравнението с a², получаваме:

В резултат на това новото ниво на пясък ще бъде h = 10 / 4 = 2,5см.

Задача 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ е правилна призма. Известно е, че BD = AB₁ = 6√2. Намерете общата повърхност на тялото.

За да улесните разбирането кои елементи са известни, можете да нарисувате фигура.

Тъй като говорим за правилна призма, можем да заключим, че в основата има квадрат с диагонал 6√2. Диагоналът на страничната повърхност има същия размер, следователно страничната страна също има формата на квадрат, равен на основата. Оказва се, че и трите измерения - дължина, ширина и височина са равни. Можем да заключим, че ABCDA₁B₁C₁D₁ е куб.

Дължината на всеки ръб се определя чрез известен диагонал:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Общата повърхност се намира с помощта на формулата за куб:

Пълно = 6a² = 6 6² = 216

Задача 3.

Стаята е в ремонт. Известно е, че подът му има формата на квадрат с площ от 9 m². Височината на стаята е 2,5 м. Каква е най-ниската цена за тапетиране на стая, ако 1 м² струва 50 рубли?

Тъй като подът и таванът са квадрати, т.е. правилни четириъгълници, а стените му са перпендикулярни на хоризонтални повърхности, можем да заключим, че това е правилна призма. Необходимо е да се определи площта на страничната му повърхност.

Дължината на помещението е a = √9 = 3м.

Площта ще бъде покрита с тапети Sстрана = 4 3 2,5 = 30 m².

Най-ниската цена на тапетите за тази стая ще бъде 50·30 = 1500рубли

По този начин, за решаване на задачи, включващи правоъгълна призма, е достатъчно да можете да изчислявате площта и периметъра на квадрат и правоъгълник, както и да знаете формулите за намиране на обема и повърхността.