Първоизводна на функция и общ изглед.
а)Директна интеграция.
Намиране на интеграли на функции въз основа на директното прилагане на свойствата на неопределените интеграли и таблица с основни формули за интегриране. Разгледайте пример за намиране на интеграла на функция чрез директно интегриране.
Пример:
∫(х–3) 2г х= ∫(х 2 –6х+9)d х= ∫х 2г х- 6∫хд х+9∫d х=х 3 ∕3 -3х 2 +9х+C.
В по-голямата част от случаите имаме работа с интеграли на функции, които не могат да бъдат намерени чрез директно интегриране. В този случай е необходимо да се направи заместване (замяна на променливата).
б)Интегриране чрез заместване (промяна на променлива).
Интегрирането чрез заместване, или както често се нарича, методът на промяна на променлива, е един от по-ефективните и често срещани методи за интегриране. Методът на заместване е да се премине от дадена променлива за интегриране към друга променлива, за да се опрости субинтегралният израз и да се доведе до един от табличните интеграли. В този случай изборът на заместване се решава индивидуално от изпълнителя, т.к няма общи правила, определящи коя замяна в този случайпредприеме.
Пример:Намерете интеграла ∫ д 2x+3d х.
Нека въведем нова променлива t, свързана с хследваща зависимост 2 х+ 3 =t.
Вземете диференциалите на лявата и дясната страна на това равенство: 2d х=dt;d х=dt/2.
Сега вместо 2 х+ 3 и d хние заместваме техните стойности в интегранта. Тогава получаваме: ∫ д 2x+3d х=∫д tdt= д t + C. Връщайки се към предишната променлива, най-накрая получаваме израза:
∫д 2x+3d х=д 2x+3 + C.
За да се уверите, че интегралът е взет правилно, е необходимо да използвате функцията за противопроизводна д 2x+ 3 разграничете и проверете дали дали неговата производна е равна на интегралната функция:
(д 2x+ 3)" =д 2x+ 3 (2 х+3)" =д 2x+ 3 .
3. Определен интеграл и неговите свойства.
Концепцията за определен интеграл се използва широко в много области на науката и технологиите. С негова помощ се изчисляват области, ограничени от криви, обеми с произволна форма, мощност и работа на променлива сила, път на движещо се тяло, моменти на инерция и много други величини.
AT 
В преобладаващата част от случаите понятието определен интеграл се въвежда при решаване на задачи за определяне на площта на криволинейния трапец. Нека има непрекъсната функция y =f( х) на сегмента [ а, в]. Фигурата, ограничена от кривата y \u003d f ( х) ординати аах о вНО Пи сегмент [ а, в] абсцисната ос се нарича криволинеен трапец (фиг. 1).
Нека си поставим задачата: да определим площта S на криволинейния трапец аА или А П в. За да направим това, разделяме сегмента [ а, в] на Пне е задължително равни частии означете точките на разделяне, както следва: а=хоколо < хедин < х 2 ‹ … ‹ х П = в.
От точките на разделяне възстановяваме перпендикулярите до пресечната точка с кривата y \u003d f ( х). Така разделихме цялата област, ограничена от кривата, на Пелементарни криволинейни трапеци. Да възстановим от произволни точкивсеки сегмент ∆ х аз ordinatesf(C аз), докато се пресече с кривата y =f( х). След това изграждаме стъпаловидна фигура, състояща се от правоъгълници с основа ∆ х аз и височина f(C аз). елементарна област азthправоъгълникът ще бъде S аз =f(C аз)(х аз -х аз -1 ), и цялата местност С Пполучената стъпаловидна фигура ще бъде равна на сумата от площите на правоъгълниците:
С П=f(C o)( х 1 -Х o) + f (C 1) ( х 2 -Х 1 ) + … +f(С П- 1)(хП -Х П- 1).
За да съкратите записа на тази сума, въведете символа 
(сигма) - знак, означаващ сумиране на количествата. Тогава
С П
=
.
Тази сума S П,която се нарича интегрална сума, може да бъде по-голяма или по-малка от истинската стойност на дадената площ. Най-близката стойност до истинската стойност на площта ще бъде ограничението на сумата, при условие че елементарните сегменти ще бъдат разделени ( p→
), и дължината на голям сегмент ∆х максще клони към нула, т.е.
S=
(4)
Тази граница на интегралната сума (ако съществува) се нарича определен интегралот функция f( х) на сегмента [ а,в] и обозначават: 
=
(5)
(прочетете - „определен интеграл от апреди в ef ot x de x”).
Числа аи все наричат съответно долна и горна граница на интегриране, f( х) е интегрант; хе интеграционната променлива. Прилагайки формули (4) и (5) могат да бъдат записани. Че площта на криволинейния трапец е числено равна на интеграла на функцията, която ограничава трапеца, взета върху интервала на интегриране [а,в]:
.
Този факт изразява геометричния смисъл на определения интеграл.
Разгледайте свойствата на определения интеграл.
1. Определеният интеграл не зависи от обозначението на променливата, т.е.: 
=
.
2. Определеният интеграл на алгебричната сума е равен на алгебричната сума на определените интеграли на всеки член:
=
f 1 ( х)д x +
f 2 ( х)д х+ ….
Видяхме, че производната има многобройни приложения: производната е скоростта на движение (или, по-общо, скоростта на всеки процес); производно е наклондопирателна към графиката на функцията; използвайки производната, можете да изследвате функцията за монотонност и екстремуми; Производната помага за решаване на проблеми с оптимизацията.
Но в истинския животтрябва да решат и обратни задачи: например, наред с проблема за намиране на скоростта по известен закон за движение, съществува и проблемът за възстановяване на закона за движение по известна скорост. Нека разгледаме един от тези проблеми.
Пример 1Движи се по права линия материална точка, скоростта на движението му в момент t се дава по формулата u = tg. Намерете закона за движение.
Решение.Нека s = s(t) е желаният закон на движение. Известно е, че s"(t) = u"(t). Така че, за да разрешим проблема, трябва да изберем функция s = s(t), чиято производна е равна на tg. Лесно е да се досетите за това
Веднага отбелязваме, че примерът е решен правилно, но непълно. Получихме, че всъщност проблемът има безкрайно много решения: всяка функция на формата 
произволна константа, може да служи като закон на движение, т.к
За да направим задачата по-конкретна, трябваше да фиксираме първоначалната ситуация: да посочим координатата на движещата се точка в някакъв момент от времето, например при t=0. Ако, да речем, s (0) \u003d s 0, тогава от равенството получаваме s (0) \u003d 0 + C, т.е. S 0 \u003d C. Сега законът на движението е еднозначно дефиниран:
В математиката се задават реципрочни операции различни имена, измислете специална нотация: например повдигане на квадрат (x 2) и извличане корен квадратенсинус (sinx) и арксинус(arcsin x) и т.н. Процесът на намиране на производната по дадена функция се нарича диференциране, а обратната операция, т.е. процесът на намиране на функция по дадена производна - чрез интегриране.
Самият термин "производна" може да бъде оправдан "по светски начин": функцията y - f (x) "внася в света" нова функция y "= f" (x) Функцията y \u003d f (x) действа сякаш като "родител", но математиците, разбира се, не го наричат "родител" или "производител", те казват, че това е, по отношение на функцията y"=f"(x), първичното изображение, или накратко, антипроизводното.
Определение 1.Функцията y \u003d F (x) се нарича антипроизводна за функцията y \u003d f (x) на даден интервал X, ако за всички x от X равенството F "(x) \u003d f (x) е вярно .
На практика интервалът X обикновено не се посочва, а се подразбира (като естествен домейн на функцията).
Ето няколко примера:
1) Функцията y \u003d x 2 е антипроизводна за функцията y \u003d 2x, тъй като за всички x равенството (x 2) "\u003d 2x е вярно.
2) функцията y - x 3 е първоизводната за функцията y-3x 2, тъй като за всички x равенството (x 3)" \u003d 3x 2 е вярно.
3) Функцията y-sinx е антипроизводна на функцията y=cosx, тъй като за всички x равенството (sinx) "=cosx е вярно.
4) Функцията е антипроизводна за функцията на интервала, тъй като за всички x > 0 равенството е вярно
Като цяло, знаейки формулите за намиране на производни, не е трудно да се състави таблица с формули за намиране на антипроизводни.
Надяваме се, че разбирате как се съставя тази таблица: производната на функцията, която е записана във втората колона, е равна на функцията, която е записана в съответния ред на първата колона (проверете, не бъдете мързеливи, това е много полезно). Например, за функцията y \u003d x 5, антипроизводното, както установявате, е функцията (вижте четвъртия ред на таблицата).
Бележки: 1. По-долу доказваме теоремата, че ако y = F(x) е първоизводна за функция y = f(x), тогава функцията y = f(x) има безкрайно много първоизводни и всички те имат формата y = F (x ) + C. Следователно би било по-правилно да добавите термина C навсякъде във втората колона на таблицата, където C е произволно реално число.
2. За краткост понякога вместо фразата "функцията y = F(x) е първоизводната за функцията y = f(x)", те казват, че F(x) е първоизводната за f(x) ".
2. Правила за намиране на противопроизводни
При търсене на противопроизводни, както и при търсене на производни се използват не само формули (те са посочени в таблицата на стр. 196), но и някои правила. Те са пряко свързани със съответните правила за изчисляване на производни.
Знаем, че производната на даден сбор е равна на сбора на производните. Това правило генерира съответното правило за намиране на антипроизводни.
Правило 1Първопроизводната на сбор е равна на сбора от първопроизводните.
Обръщаме внимание на известна "лекота" на тази формулировка. Всъщност би било необходимо да се формулира теорема: ако функциите y = f(x) и y=g(x) имат първоизводни на интервала X, y-F(x) и y-G(x), съответно, тогава сумата на функциите y = f(x) + g(x) има първоизводна на интервала X и тази първоизводна е функцията y = F(x) + G(x). Но обикновено, когато се формулират правила (а не теореми), се оставя само ключови думи- така е по-удобно правилото да се прилага на практика
Пример 2Намерете първоизводната за функцията y = 2x + cos x.
Решение.Първоизводната за 2x е x "; първоизводната за cosx е sin x. Следователно, първоизводната за функцията y \u003d 2x + cos x ще бъде функцията y \u003d x 2 + sin x (и като цяло всяка функция на форма Y \u003d x 1 + sinx + C) .
Знаем, че постоянният множител може да бъде изваден от знака на производната. Това правило генерира съответното правило за намиране на антипроизводни.
Правило 2Константният фактор може да бъде изваден от първоизводния знак.
Пример 3
Решение.а) Първоизводната за sin x е -cos x; следователно, за функцията y \u003d 5 sin x, първоизводната ще бъде функцията y \u003d -5 cos x.
b) Първоизводната за cos x е sin x; следователно, за антипроизводната функция ще има функция
c) Първоизводната за x 3 е първоизводната за x е първоизводната за функцията y \u003d 1 е функцията y \u003d x. Използвайки първото и второто правило за намиране на първоизводни, получаваме, че първоизводната за функцията y \u003d 12x 3 + 8x-1 е функцията
Коментирайте.Както знаете, производната на продукт не е равна на произведението на производните (правилото за диференциране на продукт е по-сложно), а производната на частното не е равно на частното на производните. Следователно няма правила за намиране на първоизводната на произведението или на първоизводната на частното на две функции. Бъди внимателен!
Получаваме още едно правило за намиране на противопроизводни. Знаем, че производната на функцията y \u003d f (kx + m) се изчислява по формулата
Това правило генерира съответното правило за намиране на антипроизводни.
Правило 3Ако y \u003d F (x) е първоизводната за функцията y \u003d f (x), тогава първоизводната за функцията y \u003d f (kx + m) е функцията
Наистина,
Това означава, че е антипроизводна за функцията y \u003d f (kx + m).
Смисълът на третото правило е следният. Ако знаете, че антипроизводната за функцията y = f (x) е функцията y = F (x) и трябва да намерите антипроизводната на функцията y = f (kx + m), тогава продължете както следва: вземете същата функция F, но вместо аргумента x, заместете израза xx+m; освен това не забравяйте да напишете „коефициента на корекция“ преди знака на функцията
Пример 4Намерете противопроизводни за дадени функции:
Решение, а) Първоизводната за sin x е -cos x; това означава, че за функцията y \u003d sin2x, първоизводната ще бъде функцията
b) Първоизводната за cos x е sin x; следователно, за антипроизводната функция ще има функция
c) Следователно първоизводната за x 7 е, за функцията y \u003d (4-5x) 7, първоизводната ще бъде функцията
3. Неопределен интеграл
Вече отбелязахме по-горе, че проблемът за намиране на първоизводна за дадена функция y = f(x) има повече от едно решение. Нека обсъдим този въпрос по-подробно.
Доказателство. 1. Нека y \u003d F (x) е първоизводната за функцията y \u003d f (x) на интервала X. Това означава, че за всички x от X равенството x "(x) \u003d f (x) е вярно Намерете производната на всяка функция от формата y \u003d F (x) + C:
(F (x) + C) \u003d F "(x) + C \u003d f (x) + 0 \u003d f (x).
И така, (F(x)+C) = f(x). Това означава, че y \u003d F (x) + C е антипроизводна за функцията y \u003d f (x).
По този начин доказахме, че ако функцията y \u003d f (x) има антипроизводна y \u003d F (x), тогава функцията (f \u003d f (x) има безкрайно много антипроизводни, например всяка функция форма y \u003d F (x) +C е антипроизводна.
2. Нека сега докажем това определен типфункции, целият набор от антипроизводни е изчерпан.
Нека y=F 1 (x) и y=F(x) са две първоизводни за функцията Y = f(x) на интервала X. Това означава, че за всички x от интервала X са валидни следните отношения: F^( x) = f (X); F "(x) \u003d f (x).
Помислете за функцията y \u003d F 1 (x) -.F (x) и намерете нейната производна: (F, (x) -F (x)) "\u003d F [(x) - F (x) \u003d f (x) - f(x) = 0.
Известно е, че ако производната на функция в интервал X е идентично равна на нула, тогава функцията е постоянна в интервала X (виж теорема 3 в § 35). Следователно, F 1 (x) -F (x) \u003d C, т.е. Fx) \u003d F (x) + C.
Теоремата е доказана.
Пример 5Заложен е законът за изменение на скоростта от време v = -5sin2t. Намерете закона за движение s = s(t), ако е известно, че в момента t=0 координатата на точката е била равна на числото 1,5 (т.е. s(t) = 1,5).
Решение.Тъй като скоростта е производна на координатата като функция на времето, първо трябва да намерим първоизводната на скоростта, т.е. първоизводна за функцията v = -5sin2t. Една от тези първоизводни е функцията , а наборът от всички първоизводни има формата:
За да намерим конкретна стойност на константата C, използваме начални условия, според което s(0) = 1,5. Замествайки във формула (1) стойностите t=0, S = 1,5, получаваме:
Замествайки намерената стойност C във формула (1), получаваме закона за движение, който ни интересува:
Определение 2.Ако функция y = f(x) има първоизводна y = F(x) на интервала X, тогава множеството от всички първоизводни, т.е. множеството от функции под формата y \u003d F (x) + C, се нарича неопределен интеграл на функцията y \u003d f (x) и се обозначава:
(те гласят: „неопределеният интеграл ef от x de x“).
В следващия раздел ще разберем какво е скрит смисълпосоченото обозначение.
Въз основа на таблицата с антипроизводни, налични в този параграф, ще съставим таблица с основни неопределени интеграли:
Въз основа на горните три правила за намиране на антипроизводни, можем да формулираме съответните правила за интегриране.
Правило 1Интеграл от сумата на функциите е равно на суматаинтеграли на тези функции:
Правило 2Постоянният фактор може да бъде изваден от интегралния знак:
Правило 3Ако
Пример 6Намерете неопределени интеграли:
Решение, а) Използвайки първото и второто правило за интегриране, получаваме:
Сега използваме формулите за 3-та и 4-та интеграция:
В резултат на това получаваме:
б) Използвайки третото правило за интегриране и формула 8, получаваме:
в) За директното определяне на дадения интеграл нямаме нито съответната формула, нито съответното правило. В такива случаи понякога се изпълняват предварително идентични трансформацииизраз, съдържащ се под знака за интеграл.
Да използваме тригонометрична формулапонижаване:
След това последователно намираме:
А.Г. Мордкович алгебра 10 клас
Календарно-тематично планиране по математика, видеопо математика онлайн , Математика в училище
Този урок е първият от поредица видеоклипове за интеграция. В него ще разберем какво е първоизводна на функция, а също така ще изучаваме елементарните методи за изчисляване на тези много производни.
Всъщност тук няма нищо сложно: по същество всичко се свежда до концепцията за производна, с която вече трябва да сте запознати. :)
Веднага отбелязвам, че тъй като това е първият урок в нашия нова тема, днес няма да има сложни изчисления и формули, но това, което ще изучаваме днес, ще формира основата на много по-сложни изчисления и структури при изчисляване комплексни интегралии квадрати.
Освен това, когато започваме да изучаваме интегриране и интеграли в частност, ние имплицитно предполагаме, че ученикът вече е поне запознат с концепциите за производната и има поне елементарни умения за изчисляването им. Без ясно разбиране на това, няма какво да се прави в интеграцията.
Тук обаче се крие един от най-често срещаните и коварни проблеми. Факт е, че започвайки да изчисляват първите си антипроизводни, много ученици ги бъркат с производни. В резултат на това на изпити и самостоятелна работаправят се глупави и обидни грешки.
Затова сега няма да дам ясна дефиниция на антипроизводното. И в замяна ви предлагам да погледнете как се разглежда на прост конкретен пример.
Какво е примитивно и как се разглежда
Знаем тази формула:
\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
Тази производна се счита за елементарна:
\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]
Нека разгледаме отблизо получения израз и изразим $((x)^(2))$:
\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]
Но можем да го запишем и по този начин, според дефиницията на производната:
\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]
А сега внимание: това, което току-що записахме, е дефиницията на първоизводната. Но за да го напишете правилно, трябва да напишете следното:
Нека напишем следния израз по същия начин:
Ако обобщим това правило, можем да изведем следната формула:
\[((x)^(n))\до \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
Сега можем да формулираме ясна дефиниция.
Антипроизводна на функция е функция, чиято производна е равна на оригиналната функция.
Въпроси за антипроизводната функция
Изглежда, че е доста просто и ясна дефиниция. Въпреки това, след като го чуе, внимателният ученик веднага ще има няколко въпроса:
- Да кажем, че тази формула е правилна. В този случай обаче, когато $n=1$, имаме проблеми: в знаменателя се появява „нула“ и е невъзможно да се раздели на „нула“.
- Формулата е ограничена само до правомощия. Как се изчислява първоизводната, например синус, косинус и всяка друга тригонометрия, както и константи.
- Един екзистенциален въпрос: винаги ли е възможно изобщо да се намери антипроизводно? Ако е така, какво ще кажете за сбора, разликата, произведението и т.н.?
Веднага ще отговоря на последния въпрос. За съжаление антипроизводното, за разлика от производното, не винаги се взема предвид. Няма такава универсална формула, според която от всяка начална конструкция ще получим функция, която да е равна на тази подобна конструкция. Що се отнася до степените и константите, ще говорим за това сега.
Решаване на задачи със степенни функции
\[((x)^(-1))\до \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]
Както виждаме, дадена формулаза $((x)^(-1))$ не работи. Възниква въпросът: какво тогава работи? Не можем ли да преброим $((x)^(-1))$? Разбира се, че можем. Нека просто започнем с това:
\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]
Сега нека помислим: производната на коя функция е равна на $\frac(1)(x)$. Очевидно всеки студент, който поне малко се е занимавал с тази тема, ще запомни, че този израз е равен на производната на естествения логаритъм:
\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]
Следователно можем уверено да напишем следното:
\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\до \ln x\]
Тази формула трябва да се знае, точно както производната на степенна функция.
И така, какво знаем досега:
- За степенна функция — $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
- За константа - $=const\to \cdot x$
- Специален случай на степенна функция - $\frac(1)(x)\to \ln x$
И ако започнем да умножаваме и делим най-простите функции, как тогава да изчислим първоизводната на произведение или частно. За съжаление аналогиите с производната на продукт или частно не работят тук. Всякакви стандартна формулане съществува. За някои случаи има трудни специални формули - ще се запознаем с тях в бъдещи видео уроци.
Запомнете обаче: обща формула, няма подобна формула за изчисляване на производната на частно и произведение.
Решаване на реални проблеми
Задача №1
Нека всеки мощностни функцииброи отделно:
\[((x)^(2))\до \frac(((x)^(3)))(3)\]
Връщайки се към нашия израз, пишем общата конструкция:
Задача №2
Както вече казах, примитивните работи и частните "празни през" не се разглеждат. Тук обаче можете да направите следното:
Разделихме дробта на сумата от две дроби.
Нека изчислим:
Добрата новина е, че след като знаете формулите за изчисляване на антипроизводни, вече сте в състояние да изчислявате по-сложни структури. Нека обаче да продължим и да разширим още малко познанията си. Факт е, че много конструкции и изрази, които на пръв поглед нямат нищо общо с $((x)^(n))$, могат да бъдат представени като степен с рационален показател, а именно:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]
\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]
\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]
Всички тези техники могат и трябва да се комбинират. Силови изразимога
- умножение (степените се добавят);
- деление (степените се изваждат);
- умножете по константа;
- и т.н.
Решаване на изрази на степен с рационален показател
Пример #1
Нека преброим всеки корен поотделно:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\до \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\до \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]
Общо цялата ни конструкция може да бъде написана по следния начин:
Пример #2
\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \right))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]
Следователно ще получим:
\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]
Като цяло, събирайки всичко в един израз, можем да напишем:
Пример #3
Първо, имайте предвид, че вече сме изчислили $\sqrt(x)$:
\[\sqrt(x)\до \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]
\[((x)^(\frac(3)(2)))\до \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]
Нека пренапишем:
Надявам се, че няма да изненадам никого, ако кажа, че това, което току-що изучавахме, е само най-простите изчисления на първоизводни, най-елементарните конструкции. Нека сега да разгледаме малко повече сложни примери, в който освен таблични първоизводни ще се наложи и припомняне училищна програма, а именно формулите за намалено умножение.
Решаване на по-сложни примери
Задача №1
Спомнете си формулата за квадрат на разликата:
\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]
Нека пренапишем нашата функция:
Сега трябва да намерим първоизводната на такава функция:
\[((x)^(\frac(2)(3)))\до \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]
\[((x)^(\frac(1)(3)))\до \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]
Ние събираме всичко в общ дизайн:
Задача №2
В този случай трябва да отворим куба на разликата. Да си припомним:
\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]
Като се има предвид този факт, може да се напише по следния начин:
Нека модифицираме малко нашата функция:
Разглеждаме, както винаги, за всеки термин поотделно:
\[((x)^(-3))\до \frac(((x)^(-2)))(-2)\]
\[((x)^(-2))\до \frac(((x)^(-1)))(-1)\]
\[((x)^(-1))\до \ln x\]
Нека напишем получената конструкция:
Задача №3
Отгоре имаме квадрат на сбора, нека го отворим:
\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\left(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]
\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]
\[((x)^(\frac(1)(2)))\до \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
Нека напишем крайното решение:
А сега внимание! Силно важно нещо, с което е свързан лъвският пай от грешки и недоразумения. Факт е, че досега, броейки антипроизводни с помощта на производни, давайки трансформации, ние не мислихме на какво е равно производното на константа. Но производната на константа е равна на "нула". И това означава, че можете да напишете следните опции:
- $((x)^(2))\до \frac(((x)^(3)))(3)$
- $((x)^(2))\до \frac(((x)^(3)))(3)+1$
- $((x)^(2))\до \frac(((x)^(3)))(3)+C$
Това е много важно да се разбере: ако производната на една функция винаги е една и съща, тогава същата функция има безкраен брой антипроизводни. Можем просто да добавим всякакви постоянни числа към нашите примитиви и да получим нови.
Неслучайно в обяснението на задачите, които току-що решихме, беше написано „Запишете обща формапримитиви." Тези. вече се предполага, че не е един, а цяло множество от тях. Но всъщност те се различават само по константата $C$ в края. Затова в нашите задачи ще коригираме това, което не сме свършили.
Още веднъж пренаписваме нашите конструкции:
В такива случаи трябва да се добави, че $C$ е константа — $C=const$.
Във втората ни функция получаваме следната конструкция:
И последното:
И сега наистина получихме това, което се искаше от нас в първоначалното условие на проблема.
Решаване на задачи за намиране на първоизводни с дадена точка
След като знаем за константите и за особеностите на записване на първоизводни, съвсем логично възникват следния тип проблеми, когато от множеството на всички първоизводни се изисква да се намери една единствена такава, която да минава през дадена точка. Каква е тази задача?
Факт е, че всички първоизводни на дадена функция се различават само по това, че са изместени вертикално с някакво число. А това означава, че независимо от коя точка координатна равнинане го взехме, един примитивен определено ще премине и освен това само един.
И така, задачите, които сега ще решим, са формулирани по следния начин: не е лесно да се намери първоизводната, знаейки формулата на първоначалната функция, а да се избере точно една от тях, която минава през дадена точка, чиито координати ще да бъдат дадени в условието на проблема.
Пример #1
Първо, нека просто изчислим всеки член:
\[((x)^(4))\до \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((x)^(3))\до \frac(((x)^(4)))(4)\]
Сега заместваме тези изрази в нашата конструкция:
Тази функция трябва да премине през точката $M\left(-1;4 \right)$. Какво означава, че минава през точка? Това означава, че ако вместо $x$ поставим $-1$ навсякъде, а вместо $F\left(x \right)$ - $-4$, тогава трябва да получим правилното числово равенство. Да го направим:
Виждаме, че имаме уравнение за $C$, така че нека се опитаме да го решим:
Нека запишем самото решение, което търсихме:
Пример #2
На първо място, е необходимо да отворите квадрата на разликата, като използвате съкратената формула за умножение:
\[((x)^(2))\до \frac(((x)^(3)))(3)\]
Оригиналната структура ще бъде написана, както следва:
Сега нека намерим $C$: заместваме координатите на точката $M$:
\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]
Изразяваме $C$:
Остава да се покаже крайният израз:
Решаване на тригонометрични задачи
Като финален акордВ допълнение към това, което току-що анализирахме, предлагам да разгледаме още две предизвикателни задачисъдържащи тригонометрия. В тях по същия начин ще е необходимо да се намерят първоизводни за всички функции, след което да се избере от този набор единствената, която минава през точката $M$ на координатната равнина.
Гледайки напред, бих искал да отбележа, че техниката, която сега ще използваме, за да намерим антипроизводни от тригонометрични функции, всъщност е универсален приемза самотест.
Задача №1
Нека си припомним следната формула:
\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]
Въз основа на това можем да напишем:
Нека заместим координатите на точка $M$ в нашия израз:
\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]
Нека пренапишем израза, имайки предвид този факт:
Задача №2
Тук ще бъде малко по-трудно. Сега ще видите защо.
Нека си припомним тази формула:
\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]
За да се отървете от "минуса", трябва да направите следното:
\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]
Ето нашия дизайн
Заместете координатите на точката $M$:
Нека запишем крайната конструкция:
Това е всичко, което исках да ти кажа днес. Изучихме самия термин антипроизводни, откъде да ги броим елементарни функции, както и как да намерим първоизводната, минаваща през определена точка на координатната равнина.
Надявам се, че този урок ще ви помогне малко да разберете това трудна тема. Във всеки случай върху първоизводните се изграждат неопределени и неопределени интеграли, така че е абсолютно необходимо да ги разгледаме. Това е всичко за мен. Ще се видим скоро!
Ораторското изкуство като първообраз на журналистиката
Цитати за Наполеон - dslinkov — LiveJournal
Аз отмъщение Човекът на булдозера унищожи града