Площта на страничната повърхност на пирамидата. Как да изчислим площта на пирамида: основа, страна и обща

е многостранна фигура, чиято основа е многоъгълник, а останалите лица са представени от триъгълници с общ връх.

Ако основата е квадрат, тогава се нарича пирамида четириъгълна, ако е триъгълник – тогава триъгълна. Височината на пирамидата се изчертава от върха й перпендикулярно на основата. Използва се и за изчисляване на площ апотема– височината на страничното лице, спусната от върха му.
Формулата за площта на страничната повърхност на пирамидата е сумата от площите на нейните странични лица, които са равни една на друга. Този метод на изчисление обаче се използва много рядко. По принцип площта на пирамидата се изчислява чрез периметъра на основата и апотемата:

Нека разгледаме пример за изчисляване на площта на страничната повърхност на пирамида.

Нека е дадена пирамида с основа ABCDE и връх F. AB =CD =DE =EA =3 см. Намерете площта на страничната повърхност на пирамидата.
Нека намерим периметъра. Тъй като всички ръбове на основата са равни, периметърът на петоъгълника ще бъде равен на:
Сега можете да намерите страничната област на пирамидата:

Площ на правилна триъгълна пирамида

Правилната триъгълна пирамида се състои от основа, в която лежи правилен триъгълник и три странични стени, които са еднакви по площ.
Формулата за площта на страничната повърхност на правилна триъгълна пирамида може да се изчисли по различни начини. Можете да приложите обичайната формула за изчисление, като използвате периметъра и апотемата, или можете да намерите площта на едно лице и да я умножите по три. Тъй като лицето на пирамидата е триъгълник, прилагаме формулата за площта на триъгълника. Това ще изисква апотема и дължината на основата. Нека разгледаме пример за изчисляване на страничната повърхност на правилна триъгълна пирамида.

Дадена е пирамида с апотема a = 4 cm и основа b = 2 cm. Намерете лицето на страничната повърхност на пирамидата.
Първо намерете областта на една от страничните повърхности. В този случай ще бъде:
Заместете стойностите във формулата:
Тъй като в правилната пирамида всички страни са еднакви, площта на страничната повърхност на пирамидата ще бъде равна на сумата от площите на трите лица. Съответно:

Площ на пресечена пирамида

СъкратенПирамидата е многостен, образуван от пирамида и нейното напречно сечение, успоредно на основата.
Формулата за площта на страничната повърхност на пресечена пирамида е много проста. Площта е равна на произведението на половината от сбора на периметрите на основите и апотемата:

Паралелепипедът е четириъгълна призма с паралелограм в основата си. Има готови формули за изчисляване на страничната и общата повърхност на фигура, за които са необходими само дължините на трите измерения на паралелепипеда.

Как да намерите страничната повърхност на правоъгълен паралелепипед

Необходимо е да се прави разлика между правоъгълен и прав паралелепипед. Основата на права фигура може да бъде всеки успоредник. Площта на такава фигура трябва да се изчисли с помощта на други формули.

Сумата S на страничните стени на правоъгълен паралелепипед се изчислява с помощта на простата формула P*h, където P е периметърът, а h е височината. Фигурата показва, че противоположните страни на правоъгълен паралелепипед са равни, а височината h съвпада с дължината на ръбовете, перпендикулярни на основата.

Повърхност на кубоид

Общата площ на фигурата се състои от страната и площта на 2 основи. Как да намерите площта на правоъгълен паралелепипед:

Където a, b и c са размерите на геометричното тяло.
Описаните формули са лесни за разбиране и полезни при решаването на много геометрични задачи. Пример за типична задача е показан на следното изображение.

При решаване на задачи от този вид трябва да се помни, че основата на четириъгълна призма е избрана произволно. Ако вземем лицето с размери x и 3 като основа, тогава стойностите на Sside ще бъдат различни и Stotal ще остане 94 cm2.

Повърхност на куб

Кубът е правоъгълен паралелепипед, в който всичките 3 измерения са равни. В това отношение формулите за общата и страничната площ на куба се различават от стандартните.

Периметърът на куба е 4a, следователно Sстрана = 4*a*a = 4*a2. Тези изрази не са необходими за запаметяване, но значително ускоряват решаването на задачите.

Пирамида- една от разновидностите на полиедър, образуван от многоъгълници и триъгълници, които лежат в основата и са неговите лица.

Освен това на върха на пирамидата (т.е. в една точка) всички лица са обединени.

За да се изчисли площта на пирамидата, струва си да се определи, че нейната странична повърхност се състои от няколко триъгълника. И можем лесно да намерим техните области с помощта

различни формули. В зависимост от това какви данни знаем за триъгълниците, търсим тяхната площ.

Изброяваме някои формули, които могат да се използват за намиране на площта на триъгълниците:

1. S = (a*h)/2 . В този случай знаем височината на триъгълника ч , която е спусната настрани а .
2. S = a*b*sinβ . Ето страните на триъгълника а , b , а ъгълът между тях е β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . Ето страните на триъгълника a, b, c . Радиусът на окръжност, вписана в триъгълник, е r .
4. S = (a*b*c)/4*R . Радиусът на описана окръжност около триъгълник е Р .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Тази формула трябва да се прилага само когато триъгълникът е под прав ъгъл.
6. S = (a²*√3)/4 . Прилагаме тази формула към равностранен триъгълник.

Само след като изчислим площите на всички триъгълници, които са лицата на нашата пирамида, можем да изчислим площта на нейната странична повърхност. За целта ще използваме горните формули.

За да изчислите площта на страничната повърхност на пирамидата, не възникват трудности: трябва да намерите сумата от площите на всички триъгълници. Нека изразим това с формулата:

Sp = ΣSi

Тук Si е площта на първия триъгълник и С П - площ на страничната повърхност на пирамидата.

Нека разгледаме един пример. Дадена е правилна пирамида, нейните странични лица са образувани от няколко равностранни триъгълника,

« Геометрията е най-мощният инструмент за изостряне на умствените ни способности».

Галилео Галилей.

а квадратът е основата на пирамидата. Освен това ръбът на пирамидата има дължина 17 cm. Нека намерим площта на страничната повърхност на тази пирамида.

Разсъждаваме така: знаем, че лицата на пирамидата са триъгълници, те са равностранни. Знаем също каква е дължината на ръба на тази пирамида. От това следва, че всички триъгълници имат равни страни и дължината им е 17 cm.

За да изчислите площта на всеки от тези триъгълници, можете да използвате следната формула:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Тъй като знаем, че квадратът лежи в основата на пирамидата, се оказва, че имаме четири равностранни триъгълника. Това означава, че страничната повърхност на пирамидата може лесно да се изчисли по следната формула: 125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Нашият отговор е следният: 500,548 cm² - това е площта на страничната повърхност на тази пирамида.

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от Вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Определение. Страничен ръб- това е триъгълник, в който един ъгъл лежи на върха на пирамидата, а противоположната страна съвпада със страната на основата (многоъгълник).

Определение. Странични ребра- това са общите страни на страничните лица. Една пирамида има толкова ръбове, колкото са ъглите на многоъгълник.

Определение. Височина на пирамидата- това е перпендикуляр, спуснат от върха към основата на пирамидата.

Определение. апотема- това е перпендикуляр към страничната повърхност на пирамидата, спуснат от върха на пирамидата към страната на основата.

Определение. Диагонално сечение- това е сечение на пирамида от равнина, минаваща през върха на пирамидата и диагонала на основата.

Определение. Правилна пирамидае пирамида, в която основата е правилен многоъгълник, а височината се спуска към центъра на основата.

Обем и повърхност на пирамидата

Формула. Обем на пирамидатапрез основна площ и височина:

Свойства на пирамидата

Ако всички странични ръбове са равни, тогава около основата на пирамидата може да се начертае кръг, а центърът на основата съвпада с центъра на кръга. Също така, перпендикуляр, пуснат от върха, минава през центъра на основата (кръг).

Ако всички странични ръбове са равни, тогава те са наклонени към равнината на основата под същите ъгли.

Страничните ръбове са равни, когато образуват равни ъгли с равнината на основата или ако може да се опише окръжност около основата на пирамидата.

Ако страничните стени са наклонени към равнината на основата под същия ъгъл, тогава в основата на пирамидата може да се впише окръжност, а върхът на пирамидата се проектира в нейния център.

Ако страничните лица са наклонени към равнината на основата под същия ъгъл, тогава апотемите на страничните лица са равни.

Свойства на правилна пирамида

1. Върхът на пирамидата е на еднакво разстояние от всички ъгли на основата.

2. Всички странични ръбове са равни.

3. Всички странични ребра са наклонени под еднакъв ъгъл спрямо основата.

4. Апотемите на всички странични лица са равни.

5. Площите на всички странични лица са равни.

6. Всички лица имат еднакви двустенни (плоски) ъгли.

7. Около пирамидата може да се опише сфера. Центърът на описаната сфера ще бъде пресечната точка на перпендикулярите, които минават през средата на ръбовете.

8. Можете да поставите сфера в пирамида. Центърът на вписаната сфера ще бъде точката на пресичане на ъглополовящите, излизащи от ъгъла между ръба и основата.

9. Ако центърът на вписаната сфера съвпада с центъра на описаната сфера, тогава сумата от равнинните ъгли при върха е равна на π или обратно, един ъгъл е равен на π/n, където n е числото на ъглите в основата на пирамидата.

Връзката между пирамидата и сферата

Сфера може да бъде описана около пирамида, когато в основата на пирамидата има многостен, около който може да се опише окръжност (необходимо и достатъчно условие). Центърът на сферата ще бъде пресечната точка на равнини, минаващи перпендикулярно през средните точки на страничните ръбове на пирамидата.

Винаги е възможно да се опише сфера около всяка триъгълна или правилна пирамида.

Сфера може да бъде вписана в пирамида, ако симетралните равнини на вътрешните двустенни ъгли на пирамидата се пресичат в една точка (необходимо и достатъчно условие). Тази точка ще бъде центърът на сферата.

Връзка между пирамида и конус

Конусът се нарича вписан в пирамида, ако върховете им съвпадат и основата на конуса е вписана в основата на пирамидата.

В пирамида може да се впише конус, ако апотемите на пирамидата са равни една на друга.

Конусът се нарича описан около пирамида, ако върховете им съвпадат и основата на конуса е описана около основата на пирамидата.

Може да се опише конус около пирамида, ако всички странични ръбове на пирамидата са еднакви.

Връзка между пирамида и цилиндър

Пирамидата се нарича вписана в цилиндър, ако върхът на пирамидата лежи върху една основа на цилиндъра, а основата на пирамидата е вписана в друга основа на цилиндъра.

Може да се опише цилиндър около пирамида, ако може да се опише окръжност около основата на пирамидата.

Определение. Пресечена пирамида (пирамидална призма)е многостен, който се намира между основата на пирамидата и секционната равнина, успоредна на основата. Така пирамидата има по-голяма основа и по-малка основа, която е подобна на по-голямата. Страничните лица са трапецовидни.

Определение. Триъгълна пирамида (тетраедър)е пирамида, в която три лица и основа са произволни триъгълници.

Тетраедърът има четири лица и четири върха и шест ръба, където всеки два ръба нямат общи върхове, но не се докосват.

Всеки връх се състои от три лица и ръбове, които се образуват триъгълен ъгъл.

Сегментът, свързващ върха на тетраедър с центъра на срещуположното лице, се нарича медиана на тетраедъра(GM).

Бимедианнарича сегмент, свързващ средните точки на противоположни ръбове, които не се допират (KL).

Всички бимедиани и медиани на тетраедър се пресичат в една точка (S). В този случай бимедианите се делят наполовина, а медианите се делят в съотношение 3:1, като се започне от върха.

Определение. Наклонена пирамидае пирамида, в която един от ръбовете образува тъп ъгъл (β) с основата.

Определение. Правоъгълна пирамидае пирамида, в която една от страничните стени е перпендикулярна на основата.

Определение. Остроъгълна пирамида- пирамида, в която апотемата е повече от половината от дължината на страната на основата.

Определение. Тъпа пирамида- пирамида, в която апотемата е по-малка от половината от дължината на страната на основата.

Определение. Правилен тетраедър- тетраедър, в който и четирите лица са равностранни триъгълници. Той е един от петте правилни многоъгълника. В правилния тетраедър всички двустенни ъгли (между лицата) и тристенни ъгли (във върха) са равни.

Определение. Правоъгълен тетраедърсе нарича тетраедър, в който има прав ъгъл между три ръба на върха (ръбовете са перпендикулярни). Оформят се три лица правоъгълен триъгълен ъгъли лицата са правоъгълни триъгълници, а основата е произволен триъгълник. Апотемата на всяко лице е равна на половината от страната на основата, върху която пада апотемата.

Определение. Изоедърен тетраедърсе нарича тетраедър, чиито странични лица са равни една на друга, а основата е правилен триъгълник. Такъв тетраедър има лица, които са равнобедрени триъгълници.

Определение. Ортоцентричен тетраедърсе нарича тетраедър, в който всички височини (перпендикуляри), които са спуснати от върха към противоположното лице, се пресичат в една точка.

Определение. Звездна пирамиданаречен полиедър, чиято основа е звезда.

Определение. Бипирамида- многостен, състоящ се от две различни пирамиди (пирамидите също могат да бъдат отсечени), имащи обща основа, а върховете лежат на противоположните страни на основната равнина.