вероятност p = 0,7. Намерете най-вероятния брой m 0 хора, които ще дойдат на срещата и съответната вероятност P n (m 0 ) .

Решение. Тъй като P 50 (m 0 )= C 50 m 0 (0,7)m 0 (0,3)50 − m 0 , проблемът е да се намери неотрицателно цяло число m 0 ≤ 50, което максимизира функцията P 50 (m 0 ) . Видяхме по-горе, че такова число е дадено с формула (6.4). AT

P 50 (35) = C 50 35 (0,7) 35 (0,3) 15 ≈ 0,123.

6.4. Формула на Поасон

Формули (6.1) и (6.3) дават точните вероятности, свързани със схемата на независими опити на Бернули. Въпреки това, изчисленията с помощта на тези формули, особено когато големи стойности n и m са много трудни. От голям практически интерес е да се получат сравнително прости приблизителни формули за изчисляване на съответните вероятности. Първо подобна формулаотгледан през 1837 г френски математики физикът Симон Поасон (1781–1840). По-долу е формулировката на резултата на Поасон.

Помислете за схема на Бернули от независими опити, в която броят на опитите n е „сравнително голям“, вероятността за „успех“ p е „сравнително малка“, а продуктът λ= np не е „нито малък, нито голям“41. При тези условия формулата

Това е известното приближение на Поасон за биномно разпределение. Доказателството на формула (6.6) ще бъде дадено в приложението към този раздел.

41 Точното значение на цитираните термини ще бъде обяснено по-долу, по-специално в § 6e.

Извиква се функцията от дясната страна на формула (6.6).

Разпределение на Поасон:

С тази нотация p(k, λ) ще бъде приблизителен израз за вероятността b(k;n, λn), когато n е „достатъчно голямо“.

Преди да обсъдим формула (6.6), представяме много илюстративни примериизползването му.

Стойностите на биномното разпределение и стойностите на разпределението на Поасон при n = 100, p = 0,01, λ = 1 са представени в табл. 6.2. Както виждаме, точността на приблизителната формула е доста висока.

Колкото по-голямо е n, толкова по-висока е точността на формулата на Поасон. Това се илюстрира със следния пример. Нека изчислим вероятността p k, че в общество от 500 души точно k души са родени в един и същи ден от годината. Ако тези 500 души са избрани на случаен принцип, тогава схемата на Бернули може да се приложи от n = 500 опита с вероятност за "успех" p = 1365. Изчисленията по точна формула (6.1) и приблизителна формула (6.6) при λ= 500365≈ 1.3699 са представени в табл. 6.3. Както виждаме, грешката е само в четвъртия знак след десетичната запетая, което е напълно приемливо за практиката.

			Таблица 6.2
	b(k; 100, 1.100)		p(k; 1)

Таблица 6.3.

		b(k; 500,1/365)	p(k, λ)
Разгледайте следния типичен пример за прилагане на формулата
Поасон.

Нека се знае, че вероятността за "срив" в работата на телефонната централа за всяко обаждане е 0,002. Получени 1000 обаждания. Определете вероятността в този случай да се появят 7 „повреди“.

Решение. Естествено е да се предположи, че в нормални условияповикванията, пристигащи на телефонната централа, са независими едно от друго. Ще разгледаме "успех" в теста - разговорът - повреда на телефонната централа. Вероятността за неуспех (p = 0,002) може да се счита за „достатъчно малка“ стойност, а броят на повикванията (n = 1000) е „достатъчно голям“. Така се намираме в условията на теоремата на Поасон. За параметъра λ получаваме стойността

Нека сега обсъдим границите на приложимост на формулата на Поасон. При

Когато се използва всяка приблизителна формула, естествено възниква въпросът за границите на нейната приложимост. При това се натъкваме на два аспекта на проблема. Първо, естествено е да се запитаме при какви реални условия е приложим законът на Поасон? Опитът показва, че простото разпределение на Поасон има относително универсална приложимост. Като цяло, от гледна точка на приложенията, математическите теореми са добри и лоши в следния смисъл: добрите теореми продължават да действат, дори ако условията им са нарушени, а лошите веднага престават да бъдат верни, ако условията за тяхното извеждане са нарушени . Теоремата на Поасон (6.6) е добра и дори отлична в този смисъл. А именно, законът на Поасон продължава да действа дори когато условията на схемата на Бернули са нарушени (т.е. може да се приеме променлива вероятност за успех и дори не твърде силна зависимост на резултатите от отделните опити)42. Може дори да се твърди, че разпределението на Поасон има относително универсална приложимост. Това трябва да се разбира в смисъл, че ако експерименталните данни показват, че законът на Поасон не е приложим, докато според здрав разум, би трябвало да работи, по-естествено е да поставим под въпрос статистическата стабилност на нашите данни, отколкото да търсим някакъв друг закон за разпределение. С други думи, Разпределението на Поасон е много успешна математическа формулировка на един от универсалните (в рамките на приложимостта на теорията на вероятностите) закони на природата.

Второ, възниква въпросът за порядъка на тези параметри, които са включени във формулата на Поасон и за които по-горе използвахме неясните термини „сравнително големи“, „сравнително малки“, „не малки и големи“. практиката на прилагане на формула (6.6) дава изясняващи отговори. Оказва се, че формулата на Поасон е достатъчно точна за практическо приложениеако броят на опитите n има реда

42 Естествено не трябва да се злоупотребява с тези характеристики на разпределението на Поасон. Например законът на Поасон очевидно се нарушава в ситуации, в които резултатите от отделните тестове са силно зависими.

няколко десетки (за предпочитане стотици), а стойността на параметъра λ = np е в диапазона от 0 до 10.

За да илюстрирате приложението на формулата на Поасон, разгледайте друг пример.

Нека се знае, че 10 000 стафиди разчитат на печенето на 1000 сладки стафиди. Изисква се да се намери разпределението на броя на стафидите в произволно избрана кифла.

Решение. Формираме последователността от независими тестове, както следва. Ще има общо n = 10 000 опита (по брой стафиди), а именно: опит номер k ще бъде, че ние определяме дали сме получили стафиди номер k в нашата произволно избрана кифличка43. След това, тъй като има общо 1000 кифлички, вероятността k -тата стафида да попадне в нашата кифличка е p = 1/1000 (ако приемем, че тестото е добре омесено при приготвянето на кифличките). Сега прилагаме разпределението на Поасон с параметъра λ= np = 10000 11000= 10. Получаваме:

P 10000 (k )≈ p (k ,10)= 10 k e − 10 .

По-конкретно, вероятността да получим кифла изобщо без стафиди (k = 0) е равна на e − 10 ≈ 0,5 10 − 4 . Най-вероятният брой стафиди ще бъде, съгласно формула (6.4), равен на 10. Съответната вероятност

P 10000(10) ≈ 10 10 e − 10 ≈ 0,125 . десет!

Примерът с кифлите и стафидите, въпреки светската си формулировка, е много общ характер. Така че, вместо стафиди в кифли, можете да говорите например за броя на бактериите в капка вода, взета от добре разбъркана кофа. Друг пример. Да приемем атомите радиоактивно веществоразпадат независимо един от друг и по време на даден интервал от време се случва разпадането на даден атом

43 Имайте предвид, че покупката на кок в магазин може да се разглежда като случаен избор.

Нека експериментът се проведе повторни тестовеспоред схемата на Бернули и броят на опитите е голям, вероятността за възникване на наблюдавано събитие в един опит е малка, а параметърът е постоянна стойност. Тогава за вероятността - вероятността събитието в тестовете да се появи веднъж, връзката е вярна

. (3.1)

Когато изчислявате вероятността в такъв случаен експеримент, можете да използвате приблизителната формула

, (3.2)

което се нарича Формула на Поасон,и числото е параметърът на Поасон.

Задача 3.1. Вероятността за брак при производството на определен продукт е 0,008. Намерете вероятността по време на проверката да няма повече от два дефектни артикула сред 500 артикула.

Решение: тъй като вероятността е малка и броят на опитите е голям, можем да приложим формулата на Поасон с параметъра . Желаната вероятност е вероятността от сумата от три събития: има два дефектни продукта, един или нито един. Ето защо

Определение 3.1

Потокът от събитияе поредица от събития, случващи се в случайни моменти.

Например, потокът от събития ще бъде повиквания, пристигащи в телефонната централа, сигнали по време на радиосесия, съобщения, пристигащи на сървъра и т.н.

Определение 3.2

Потокът от събития се нарича Поасон(най-простият), ако има следните свойства:

1. Свойство стационарност, т.е. дебит- постоянен.

2. свойство на обикновеност,тези. настъпването на две или повече събития в малък интервал е почти невъзможно.

3. Свойството да няма последействие,тези. вероятността за възникване на събития в даден период от време не зависи от това колко събития са се появили в който и да е друг сегмент.

Ако означим - вероятността за възникване на събития на потока на Поасон с интензитет във времето, тогава формулата е валидна:

. (3.3)

Задача 3.2. Една застрахователна компания обслужва 10 000 клиенти. Вероятността клиентът да се свърже с компанията в рамките на един ден е 0,0003. Каква е вероятността 4 клиента да се свържат с него в рамките на два дни?

Решение:Интензитетът на потока от клиенти за един ден е равен на

Следователно, .

Решаване на задачи 3.1 и 3.2 в околната среда Mathcad показано на фиг. 3.

Задача 3.3. Вероятността от повреда на турникетния четец на метрото в рамките на един час е малка. Намерете тази вероятност, ако вероятността да има поне една повреда за 8 часа е 0,98 и ако е известно, че средно 1000 души преминават през турникета на час?

Решение:Съгласно формули (1.3) и (3.3) с , вероятността да има поне един отказ в рамките на 8 часа е равна на:

С помощта на символни команди и след това се определя желаната вероятност.

Помислете за уравнението

Където функцията е дефинирана на .

Това уравнение определя разпространението на пътуваща вълна в n-измерна хомогенна среда със скорост ав точки от времето T > 0 .

За да бъде решението еднозначно, е необходимо да се определят началните условия. Първоначалните условия определят състоянието на пространството (или, както се казва, "първоначално смущение") в даден момент T = 0 :

Тогава обобщената формула на Кирхоф дава решение на този проблем.

Самият Кирхоф разглежда само триизмерния случай.

Идеята за получаване на решение

Едно просто извеждане на решението на основния проблем използва преобразуването на Фурие. Обобщената формула на Кирхоф има следващ изглед:

.

Ако вълновото уравнение съдържа дясна част f, терминът ще се появи от дясната страна на формулата:

Физически последици

Фронтовете на водещата и задната вълна от смущение, локализирано в пространството, действат върху наблюдателя за ограничен период от време

Нека влезе начален моментвреме T= 0 на някакъв компакт Мима локално смущение ( и/или ). Ако сме в някакъв момент, тогава, както се вижда от формулата (интеграционна област), ще почувстваме смущението след време .

Извън интервала от време, където , функция u(х 0 , T) е равно на нула.

По този начин първоначалното смущение, локализирано в пространството, предизвиква във всяка точка от пространството действие, локализирано във времето, т.е. смущението се разпространява под формата на вълна с преден и заден фронт, което изразява принципа на Хюйгенс). В самолета този принцип е нарушен. Оправданието за това е фактът, че носителят на смущението, който е компактен в , вече няма да бъде компактен в , а ще образува безкраен цилиндър и, следователно, смущението ще бъде неограничено във времето (y цилиндрични вълнилипсва заден ръб).

Формула на Поасон-Парсевал

Решение на уравнението за колебание на мембраната

(функция f(х,T)

с начални условия

дадено по формулата:

tex" alt="(!LANG: +\frac(\partial)(\partial t)\frac(1)(2\pi a)\iint\limits_(r .

Формула D "Аламбър

Едномерно решение вълново уравнение

(функция f(х,T) съответства на движещата сила)

с начални условия

има формата

Към област IIхарактеристиките идват само от едно семейство

Когато се използва формулата на d "Alembert, трябва да се има предвид, че понякога решението може да не е уникално в цялата разглеждана област. Решението на вълновото уравнение е представено като сума от две функции: u(х,T) = f(х + аT) + ж(х − аT) , т.е. определя се от две групи характеристики: . Примерът, показан на фигурата вдясно, илюстрира вълновото уравнение за полубезкраен низ, а началните условия в него са дадени само на зелената линия х≥0. Вижда се, че в обл азкакто ξ-характеристиките, така и η-характеристиките идват, докато в региона IIима само ξ-характеристики. Тоест в района IIФормулата на Д'Аламбер не работи.

Приложение на формули

AT общ изгледформулата на Кирхоф е доста тромава и следователно решението на проблемите математическа физикаизползването му обикновено е трудно. Може обаче да се използва линейността на вълновото уравнение с начални условия и потърсете решение под формата на сбор от три функции: u(х,T) = А(х,T) + б(х,T) + ° С(х,T) които задоволяват следните условия:

Сама по себе си такава операция не опростява използването на формулата на Кирхоф, но за някои проблеми е възможно да се избере решение или да се намали многоизмерен проблем до едноизмерен чрез промяна на променливи. Например, нека . След това, извършване на замяната ξ = х + 3г − 2z , уравнението за задача "C" ще приеме формата:

Така стигнахме до едномерно уравнение, което означава, че можем да използваме формулата на d "Alembert:

Поради паритет начално състояние, разтворът ще запази външния си вид в цялата област T > 0 .

Литература

Михайлов В.П., Михайлова Т.В., Шабунин М.И.колекция типични задачикурс Уравнения на математическата физика. - М .: MIPT, 2007. - ISBN 5-7417-0206-6

Връзки

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво е "формулата на Поасон" в други речници:

Формулата на Кирхоф е аналитичен израз за решаване на хиперболично частично диференциално уравнение (така нареченото "вълново уравнение") във всичко триизмерно пространство. Чрез метода на спускане (т.е. чрез намаляване на измерението) от него можете да ... ... Wikipedia

Формулата на Кирхоф е аналитичен израз за решаване на хиперболично частично диференциално уравнение (т.нар. „вълново уравнение“) в цялото пространство. Чрез метода на спускане (т.е. чрез намаляване на измерението) могат да се получат двумерни решения от него ... ... Wikipedia

Формулата, представляваща единството. класически решение u(x, t) на проблема на Коши за вълновото уравнение в триизмерното пространство-време (където c е скоростта на разпространение на сигнала), ако началните данни f(x), p(x), съответно, са три пъти и два пъти...... Физическа енциклопедия

Формулата за изчисляване на сумата от серия от формата Ако преобразуването на Фурие (малко по-различно от обикновено, нормализирано) на функцията F (x), тогава (m и n са цели числа). Това е P. f. С.; тя може да е..... Велика съветска енциклопедия

Формула P. f. с. важи, ако например функцията g(x) е абсолютно интегрируема на интервал, има ограничена вариация и P.f. с. също се записва като където ai и b са произволни две положителни числа, отговарящ на условието ab=2p и c(u).е… … Математическа енциклопедия

1) Същата като интеграла на Поасон 2) Формулата, която дава интегралното представяне на решението на задачата на Коши за вълновото уравнение в пространството: и има формата (1) където е средната стойност на функцията j върху сфера, разположена в пространството (x, y, z) с радиус при С… … Математическа енциклопедия

Безкрайно делимо разпределение в теорията на вероятностите е разпределението случайна величинатака че да може да бъде представен като произволен брой независими, равномерно разпределени термини. Съдържание 1 Определение 2 ... ... Уикипедия

Където λ е равно на средния брой появявания на събития в същото независими тестове, т.е. λ = n × p, където p е вероятността за събитие в един опит, e = 2,71828.

Серията на разпределение на закона на Поасон има формата:

Сервизно задание. Онлайн калкулаторът се използва за изграждане на разпределението на Поасон и изчисляване на всички характеристики на реда: математическо очакване, дисперсия и стандартно отклонение. Протоколът с решението се съставя във формат Word.

Брой опити: n= , Вероятност p =
Изчислете вероятността за: m =
ще дойде веднъж
по-малко веднъж
поне веднъж
Повече ▼ веднъж
няма повече веднъж
поне и не повече веднъж
ела поне веднъж

В случай, когато n е голямо и λ = p n > 10, формулата на Поасон дава много грубо приближение и за изчисляване на P n (m) се използват локалната и интегралната теореми на Moivre-Laplace.

Числени характеристики на случайна величина X

Математическото очакване на разпределението на Поасон
M[X] = λ

Дисперсия на разпределението на Поасон
D[X] = λ

Пример #1. Семената съдържат 0,1% плевели. Каква е вероятността да се намерят 5 семена на плевели в случайна селекция от 2000 семена?
Решение.
Вероятността p е малка, а числото n е голямо. np = 2 P(5) = λ 5 e -5 /5! = 0,03609
Очаквана стойност: M[X] = λ = 2
дисперсия: D[X] = λ = 2

Пример #2. Сред семената на ръжта има 0,4% семена от плевели. Съставете закона за разпределение на броя на плевелите с произволен подбор от 5000 семена. намирам очаквана стойности дисперсията на тази случайна променлива.
Решение. Очакване: M[X] = λ = 0,004*5000 = 20. Дисперсия: D[X] = λ = 20
Закон за разпределение:

х	0	1	2	…	м	…
П	е-20	20e-20	200e-20	…	20 метра -20 / метра!	…

Пример #3. На телефонната централа възниква неправилна връзка с вероятност 1/200. Намерете вероятността сред 200 връзки да има:
а) точно една грешна връзка;
б) по-малко от три неправилни връзки;
в) повече от две неправилни връзки.
Решение.Според условието на задачата вероятността за събитие е малка, затова използваме формулата на Поасон (15).
a) Дадено е: n = 200, p = 1/200, k = 1. Намерете P 200 (1).
Получаваме: . Тогава P 200 (1) ≈ e -1 ≈ 0,3679.
b) Дадено е: n = 200, p = 1/200, k< 3. Найдем P 200 (k < 3).
Имаме: a = 1.

в) Дадено е: n = 200, p = 1/200, k > 2. Намерете P 200 (k > 2).
Този проблем може да бъде решен по-просто: намерете вероятността противоположно събитие, тъй като в този случай е необходимо да се изчислят по-малко термини. Като вземем предвид предишния случай, имаме

Разгледайте случая, когато n е достатъчно голямо и p е достатъчно малко; поставяме np = a, където a е някакво число. В този случай желаната вероятност се определя от формулата на Поасон:

Вероятността за настъпване на k събития за време с продължителност t също може да се намери с помощта на формулата на Поасон:
където λ е интензивността на потока от събития, т.е. средният брой събития, които се появяват за единица време.

Пример #4. Вероятността дадена част да е дефектна е 0,005. Проверени са 400 части. Посочете формулата за изчисляване на вероятността повече от 3 части да са дефектни.

Пример номер 5. Вероятността за поява на дефектни части, когато са масова продукцияе равно на p. определете вероятността една партида от N части да съдържа а) точно три части; б) не повече от три дефектни части.
р=0,001; N=4500
Решение.
Вероятността p е малка, а числото n е голямо. np = 4,5< 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
Случайната променлива X има диапазон (0,1,2,...,m). Вероятностите на тези стойности могат да бъдат намерени по формулата:

Нека намерим серията за разпространение X.
Тук λ = np = 4500*0,001 = 4,5
P(0) = e - λ = e -4,5 = 0,01111
P(1) = λe -λ = 4,5e -4,5 = 0,04999

Тогава вероятността партида от N части да съдържа точно три части е равна на:

Тогава вероятността партида от N части да съдържа не повече от три дефектни части е:
P(x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736

Пример номер 6. Една автоматична телефонна централа получава средно N повиквания на час. Определете вероятността в дадена минута тя да получи: а) точно две обаждания; б) повече от две обаждания.
N = 18
Решение.
За една минута ATS получава средно λ = 18/60 min. = 0,3
Ако приемем, че произволен брой X повиквания, получени в PBX за една минута,
се подчинява на закона на Поасон, по формулата намираме търсената вероятност

Нека намерим серията за разпространение X.
Тук λ = 0,3
P(0) = e - λ = e -0,3 = 0,7408
P(1) = λe -λ = 0,3e -0,3 = 0,2222

Вероятността тя да получи точно две обаждания за дадена минута е:
Р(2) = 0,03334
Вероятността тя да получи повече от две обаждания за дадена минута е:
P(x>2) = 1 - 0,7408 - 0,2222 - 0,03334 = 0,00366

Пример номер 7. Разглеждаме два елемента, които работят независимо един от друг. Продължителността на времето на работа има експоненциално разпределение с параметър λ1 = 0,02 за първия елемент и λ2 = 0,05 за втория елемент. Намерете вероятността след 10 часа: а) и двата елемента да работят безотказно; б) само вероятност елемент #1 да не се повреди след 10 часа:
Решение.
P 1 (0) \u003d e -λ1 * t \u003d e -0,02 * 10 \u003d 0,8187

Вероятността елемент #2 да не се повреди след 10 часа е:
P 2 (0) \u003d e -λ2 * t \u003d e -0,05 * 10 \u003d 0,6065

а) двата елемента ще работят безупречно;
P(2) = P 1 (0)*P 2 (0) = 0,8187*0,6065 = 0,4966
б) само един елемент ще се повреди.
P(1) = P 1 (0)*(1-P 2 (0)) + (1-P 1 (0))*P 2 (0) = 0,8187*(1-0,6065) + (1-0,8187) *0,6065 = 0,4321

Пример номер 7. Производството дава 1% от брака. Каква е вероятността от 1100 продукта, взети за изследване, не повече от 17 да бъдат отхвърлени?
Забележка: тъй като тук n*p =1100*0.01=11 > 10, е необходимо да се използва

В много практически задачи трябва да се работи със случайни променливи, разпределени според особен закон, който се нарича закон на Поасон.

Помислете за прекъсната случайна променлива, която може да приема само цели числа, неотрицателни стойности:

и последователността от тези стойности е теоретично неограничена.

Казва се, че една случайна променлива е разпределена според закона на Поасон, ако вероятността, че тя приема определена стойност, се изразява с формулата

където a е някаква положителна стойност, наречена параметър на закона на Поасон.

Серията на разпределение на случайна променлива, разпределена според закона на Поасон, има формата:

Нека първо се уверим, че последователността от вероятности, дадена с формула (5.9.1), може да бъде серия на разпределение, т.е. че сумата от всички вероятности е равна на единица. Ние имаме:

.

На фиг. 5.9.1 показва полигоните на разпределението на случайна променлива, разпределена според закона на Поасон, съответстваща на различни значенияпараметър. Таблица 8 от приложението изброява стойностите за различни .

Нека дефинираме основните характеристики - математическо очакване и дисперсия - на случайна променлива, разпределена според закона на Поасон. По дефиниция на математическото очакване

.

Първият член на сбора (съответстващ на ) е равен на нула, следователно сумирането може да започне от:

Нека обозначим ; тогава

. (5.9.2)

По този начин параметърът не е нищо повече от математическото очакване на случайна променлива.

За да определим дисперсията, първо намираме втория начален момент на количеството:

Според доказаните по-рано

Освен това,

По този начин дисперсията на случайна променлива, разпределена според закона на Поасон, е равна на нейното математическо очакване.

Това свойство на разпределението на Поасон често се използва в практиката, за да се реши дали хипотезата, че дадена случайна променлива е разпределена според закона на Поасон, е правдоподобна. За да направите това, определете от опит статистическите характеристики - математическото очакване и дисперсията - на случайна променлива. Ако техните стойности са близки, това може да служи като аргумент в полза на хипотезата за разпределението на Поасон; рязката разлика в тези характеристики, напротив, свидетелства против хипотезата.

За случайна променлива, разпределена според закона на Поасон, нека определим вероятността тя да приеме стойност не по-малка от дадена. Нека означим тази вероятност:

Очевидно вероятността може да се изчисли като сума

Въпреки това е много по-лесно да се определи от вероятността за обратното събитие:

(5.9.4)

По-специално, вероятността, че стойността ще вземе положителна стойност, се изразява с формулата

(5.9.5)

Вече споменахме, че много практически задачи водят до разпределение на Поасон. Помислете за един от типични задачиот такъв вид.

Нека точките са произволно разпределени по оста x Ox (фиг. 5.9.2). Да приемем, че случайното разпределение на точките отговаря на следните условия:

1. Вероятността за попадение на даден брой точки на сегмент зависи само от дължината на този сегмент, но не зависи от позицията му по оста x. С други думи, точките са разпределени по оста x с еднаква средна плътност. Нека означим тази плътност (т.е. математическото очакване на броя точки на единица дължина) като .

2. Точките се разпределят по оста x независимо една от друга, т.е. вероятността да постигнете един или друг брой точки даден сегментне зависи от това колко от тях са попаднали на който и да е друг сегмент, който не се припокрива с него.

3. Вероятността за попадение в малка област от две или повече точки е незначителна в сравнение с вероятността за попадение в една точка (това условие означава практическата невъзможност за съвпадение на две или повече точки).

Нека отделим определен сегмент с дължина върху абсцисната ос и разгледаме дискретна случайна променлива - броят точки, попадащи върху този сегмент. Възможните стойности на количеството ще бъдат

Тъй като точките попадат на сегмента независимо една от друга, теоретично е възможно да има произволно голям брой от тях, т.е. серия (5.9.6) продължава за неопределено време.

Нека докажем, че случайната променлива има закона за разпределение на Поасон. За да направим това, изчисляваме вероятността точно точки да попаднат на сегмента.

Нека първо решим повече проста задача. Помислете за малък участък по оста Ox и изчислете вероятността поне една точка да попадне на този участък. Ще се аргументираме по следния начин. Математическото очакване на броя на точките, които се падат на този участък, очевидно е равно (защото има точки средно на единица дължина). Съгласно условие 3 за малък сегмент може да се пренебрегне възможността върху него да попаднат две или повече точки. Следователно математическото очакване на броя на точките, паднали върху сечението, ще бъде приблизително равно на вероятността една точка да падне върху него (или, което е еквивалентно в нашите условия, поне една).

Така до безкрайно малко по-висок ред, когато можем да разгледаме вероятността една (поне една) точка да падне на сайта, равна на , и вероятността нито една да не падне равна на .

Нека използваме това, за да изчислим вероятността да уцелим точно точки от сегмента. Разделете сегмента на равни частидължина . Нека се съгласим да наричаме елементарен сегмент "празен", ако не съдържа нито една точка, и "зает", ако в него е попаднала поне една. Съгласно горното, вероятността сегментът да бъде "зает" е приблизително равна на; вероятността да бъде "празен" е . Тъй като, съгласно условие 2, попаденията на точки в неприпокриващи се сегменти са независими, тогава нашите n сегмента могат да се разглеждат като независими „експерименти“, във всеки от които сегментът може да бъде „зает“ с вероятност. Намерете вероятността сред сегментите да има точно "заето". Според теоремата за повторението тази вероятност е равна на

или, обозначаващ

(5.9.7)

За достатъчно големи, тази вероятност е приблизително равна на вероятността точно точки да попаднат на сегмента, тъй като две или повече точки да попаднат на сегмента има незначителна вероятност. За да се намери точната стойност на , е необходимо в израз (5.9.7) да се отиде до границата при :

(5.9.8)

Нека трансформираме израза под знака за граница:

(5.9.9)

Първата дроб и знаменателят на последната дроб в израза (5.9.9) при очевидно клонят към единица. Изразът не зависи от. Числителят на последната дроб може да се преобразува, както следва:

(5.9.10)

Когато и израз (5.9.10) клони към . Така е доказано, че вероятността точно точките да попаднат в отсечка се изразява с формулата

където, т.е. количеството X се разпределя по закона на Поасон с параметъра .

Обърнете внимание, че значението на стойността е средният брой точки на сегмент.

Големината (вероятността X да бъде положителен) в този случайизразява вероятността поне една точка да попадне на сегмента:

По този начин видяхме, че разпределението на Поасон възниква, когато някои точки (или други елементи) заемат произволна позиция независимо една от друга и броят на тези точки, които попадат в дадена област, се брои. В нашия случай такава "област" беше сегмент на оста x. Нашето заключение обаче може лесно да се разшири до случая на разпределение на точки в равнината (произволно плоско поле от точки) и в пространството (произволно пространствено поле от точки). Лесно е да се докаже, че ако са изпълнени следните условия:

1) точките са разпределени статистически равномерно в полето със средна плътност;

2) точките попадат в неприпокриващи се региони независимо;

3) точките се появяват поотделно, а не по двойки, тройки и т.н., тогава броят на точките, попадащи във всяка област (плоска или пространствена), се разпределя според закона на Поасон:

където е средният брой точки, попадащи в областта.

За плоския корпус

къде е площта на района; за пространствено

къде е обемът на региона.

Обърнете внимание, че за разпределението на Поасон на броя точки, попадащи в сегмент или област, условието за постоянна плътност () не е от съществено значение. Ако другите две условия са изпълнени, тогава законът на Поасон все още е в сила, само параметърът a в него придобива различен израз: оказва се, че не просто умножениеплътност върху дължината, площта или обема на регион, но чрез интегриране на променлива плътност върху сегмент, площ или обем. (За повече информация вижте n° 19.4)

Наличието на произволни точки, разпръснати върху права, върху равнина или върху обем, не е единственото условие, при което възниква разпределението на Поасон. Може например да се докаже, че законът на Поасон е ограничаващ за биномното разпределение:

, (5.9.12)

ако едновременно насочим броя на експериментите към безкрайност и вероятността към нула и техният продукт остане постоянен:

Наистина, това ограничаващо свойство на биномното разпределение може да се запише като:

. (5.9.14)

Но от условието (5.9.13) следва, че

Замествайки (5.9.15) в (5.9.14), получаваме равенството

, (5.9.16)

което току-що беше доказано от нас по друг повод.

Това ограничаващо свойство на биномния закон често се използва в практиката. Да кажем, че е произведено голям бройнезависими експерименти, във всеки от които събитието има много малка вероятност. След това, за да изчислите вероятността дадено събитие да се случи точно веднъж, можете да използвате приблизителната формула:

, (5.9.17)

където е параметърът на този закон на Поасон, който приблизително замества биномното разпределение.

От това свойство на закона на Поасон - да изразява биномното разпределение с голям брой експерименти и малка вероятност за събитие - идва името му, често използвано в учебниците по статистика: законът редки събития.

Нека да разгледаме няколко примера, свързани с разпределението на Поасон от различни области на практиката.

Пример 1: Автоматична телефонна централа приема повиквания със средна плътност на повиквания на час. Ако приемем, че броят на повикванията за всеки период от време е разпределен според закона на Поасон, намерете вероятността точно три повиквания да пристигнат на станцията за две минути.

Решение. Средният брой обаждания за две минути е:

кв.м. За да ударите целта, поне един фрагмент е достатъчен, за да я ударите. Намерете вероятността за попадение в целта за дадена позиция на точката на прекъсване.

Решение. . Използвайки формула (5.9.4), намираме вероятността да уцелим поне един фрагмент:

(За изчисляване на стойността експоненциална функцияизползвайте таблица 2 в приложението).

Пример 7 Средна плътностпатогенни микроби в едно кубичен метървъздух е 100. За проба се вземат 2 куб.м. dm въздух. Намерете вероятността в него да бъде открит поне един микроб.

Решение. Приемайки хипотезата за разпределението на Поасон на броя на микробите в обем, намираме:

Пример 8. Изстреляни са 50 независими изстрела по някаква мишена. Вероятността за попадение в целта с един изстрел е 0,04. Възползвам се ограничаване на собственосттабиномиално разпределение (формула (5.9.17)), намерете приблизително вероятността целта да бъде ударена: нито един снаряд, един снаряд, два снаряда.

Решение. Ние имаме . Според таблица 8 от приложението намираме вероятностите.