Концепцията за атрактор. странни атрактори

Системен подход в географията: възникване и структурен изоморфизъм.

Емергенция (англ. emergence - появата, появата на нов) в теорията на системите - наличието на всяка система със специални свойства, които не са присъщи на нейните подсистеми и блокове, както и сумата от елементи, които не са свързани с специални системообразуващи връзки; несводимост на свойствата на системата до сумата от свойствата на нейните компоненти; синоним - "системен ефект".

В биологията и екологията понятието възникване може да се изрази по следния начин: едно дърво не е гора, натрупването на отделни клетки не е организъм. Например, свойствата на даден биологичен вид или биологична популация не представляват свойствата на отделните индивиди, понятията за плодовитост, смъртност, не са приложими за индивид, но са приложими за популация или вид като цяло.

В еволюционизма се изразява като появата на нови функционални единици на системата, които не се свеждат до прости пермутации на вече съществуващи елементи.

В науката за почвата: възникващото свойство на почвата е плодородието.

При класификацията на системите възникването може да бъде в основата на тяхната систематика като критериален признак на системата.

идеите за структурния изоморфизъм - идентичността на структурата без идентичността на елементите на съдържанието - които станаха широко разпространени в географията в края на 60-те - началото на 70-те години. 20-ти век на фона на победното шествие на системен подход. Възможността за използване на един и същи концептуален и математически апарат, например, за описване на криволичието на река и промяна в маршрута на федерална магистрала в САЩ (в последния случай има и пробив на особени речни брегове, които имат възникнала поради много по-високата цена на земята в близост до съществуващата магистрала - вижте книгата W. Bunge) е много полезно в практическо отношение и привлекателно в теоретично отношение.

Една от ключовите идеи, публикувана през 1962 г. Книгата на W. Bunge "Теоретична география" (превод на руски, публикуван през 1967 г.) е именно идеята за структурния изоморфизъм, разбиран като идентичност на методите за пространствена организация на географски явления от много различно естество, изучавани както от физическата география и социално-икономически. Бунге смело заимства идеи от геоморфологията и ги прилага при описанието на социално-географските явления. Стана учебникарско сравнение на криволиченето на реката и промяната в маршрута на федералната магистрала, която също е принудена да преодолява „речните укрепления“ на високите цени на земята.

Най-разпространените модели от този тип трябва да се считат за гравитационни и ентропийни модели.Моделите, разработени в рамките на теорията за разпространение на иновациите, се присъединяват към последните. Всички тези модели са заемки от различни клонове на физиката - било то класическа механика или термодинамика - с цел използване на математическия апарат, например, за моделиране на пътникопотоците между градовете в зависимост от техните демографски маси. Ясно е, че използването на такива модели изисква тяхното калибриране - избор на постоянни стойности на базата на най-обширен емпиричен материал и тяхната прогнозна стойност поради това обстоятелство не е безусловна.

Концепцията за атрактор. странни атрактори.

Атрактор (англ. attract - привличам, привличам) - набор от състояния (по-точно - точки от фазовото пространство) на динамична система, към които тя се стреми във времето. И така, най-простите варианти на атрактора са привлекателна фиксирана точка (например в проблема с махало с триене срещу въздух) и периодична траектория (пример са самовъзбуждащите се трептения в положителна обратна връзка), но има също много по-сложни примери.

Съществуват различни формализации на концепцията за аспирация, което води до различни дефиниции на атрактора, които дефинират съответно потенциално различни множества (често вложени едно в друго). Най-често използваните дефиниции са максималния атрактор (често в неговия малък съсед, вижте по-долу), атрактора на Милнор и неблуждащото множество.

Атракторите се класифицират според:

Формализации на понятието за стремеж: прави се разлика между максималния атрактор, неблуждащото множество, атрактора на Милнор, центъра на Биркхоф, статистическия и минималния атрактор.

Закономерности на самия атрактор: атракторите се делят на правилни (привличаща фиксирана точка, привличаща периодична траектория, многообразие) и странни (неправилни - често фрактални и/или в някаква секция подредени като набор на Кантор; динамиката върху тях обикновено е хаотична).

Локалност ("привличащо множество") и глобалност (тук - терминът "минимален" в смисъл на "неделим").

Синергийната революция доведе до дълбоки промени в научния мироглед, на първо място, до конституирането на финалистичното (телеологично) обяснение като равностойно на каузалното (каузалното), което съществуваше в науката само преди създаването на квантовата механика. Но по това време колапсът на причинно-следствената връзка засяга само феномените на микрокосмоса, регион, безкрайно далеч от нашето ежедневие. Синергийната революция доведе до разширяване на финалистичното обяснение до изучаването на някои явления от мезосвета, т.е. светът, в който живеем и който е достъпен за ежедневния ни опит. В същото време ни е много трудно да свикнем с мисълта, че протичането на някои процеси се определя не от началните условия, т.е. причина, а крайното състояние, към което се стремят. Това крайно състояние се нарича в синергетиката атрактор - зоната на привличане на процеса.

Активното обсъждане на финалистичните идеи, дошли от биологията и космологията, позволи да се промени интелектуалният климат в географията, да се разклати възгледът за каузалното (каузалното) обяснение като единствено възможно в науката като цяло и в географията в частност. Тази промяна в интелектуалния климат проправи пътя за проникването на идеите на синергетиката, включително идеите за атрактора - зоната на привличане на процеса. Още през 60-те години на ХХ век. идеята за конфиналност (еквифиналност) в развитието на гигантските градове стана широко разпространена - тези градове показват несравнимо повече прилики помежду си от тези малки и средни градове, от които са израснали. Анализът на развитието на транспортните мрежи, използвайки методите на теорията на графите, или анализът на развитието на градските селищни системи, използвайки теорията на централните места, също са примери за проблеми от този клас, където най-плодотворните идеи за определянето на процеса от крайното състояние, а не началните условия, относно желанието му за атрактор, който е идеален обект на научната теория. И ако атракторът е недостижим, това изобщо не означава, че той не съществува.

Значението за географията на теоретични конструкции като потенциална форма, която определя посоката на развитие на отделните организми и еволюцията на биологичните видове, или крайната симетрия е много голямо и не е останало незабелязано. Аналогията с каталога на формите на стабилна териториална организация на държавите, който всъщност е разработен от V.P. Semenov-Tyan-Shansky и по-рано от L.S. Berg публикува известната си работа върху номогенезата, е толкова очевидна, че не изисква допълнителна аргументация. Спрете се на по-малко очевидни идеи. На първо място, това са идеите за конфиналност (еквифиналност) в развитието на гигантските градове, представени от П. Хагет през 60-те години. Градовете от този клас показват несравнимо по-голяма прилика помежду си от малките градове, от които са израснали. Същите тенденции могат да се видят и в развитието на градските системи. Системи от централни места (градът се разбира като централно място, защото обслужва не само своето население, но и населението на своята зона, толкова по-голяма, колкото по-високото ниво на йерархия, към която принадлежи) също се стремят в своето развитие към определена равновесно състояние, т.нар. изостатично равновесие, което действа по отношение на тях като атрактор - зоната на привличане на процеса

Пример за изключително плодотворно приложение както на апарата на нелинейната динамика, така и на неговите идеологически принципи беше развитието на феноменологичната теория за растежа на населението на Земята от С. П. Капица, което позволява да се правят както проспективни, така и ретроспективни прогнози и беше успешно сравнено с емпирични реалност с помощта на последното. Най-важният мирогледен извод е, че нарастването на населението на Земята никога не се е регулирало от действието на външни фактори, а винаги от неизвестни вътрешни закони. Тази позиция е формализирана от създателя на теорията като принципът на демографския императив.

Фундаменталната трудност се крие във факта, че всички теории, които имаме в нашия арсенал, са разработени, за да опишат процесите в едно „икономическо“ общество, основано на непоклатимата вяра в икономическото равновесие като притегател на всички процеси, протичащи в икономиката, и ние са склонни да разглеждат социалните катаклизми като външни смущения, които отвеждат системата от състояние на равновесие, към което тя все още се стреми да се върне при първа възможност. Междувременно дори в самата икономика съмненията относно икономическото равновесие като „естествено“ или „нормално“ състояние на икономиката се разпространяват все по-широко. Те са изразени по-специално от такъв влиятелен икономист и социолог като М. Кастелс. Неговата теза е, че в информационното (с други думи „постикономическото”) общество икономическите процеси имат не само различен характер, но и друга посока. Според него териториалната организация на информационното общество, включително организацията на заселването, ще претърпи най-значителни промени в сравнение с индустриалното общество.

В резултат на това географите ще трябва да се справят с несравнимо по-сложни проблеми от тези, с които са се сблъсквали преди: да търсят не просто атрактори, т.е. области на привличане на изследваните процеси и странни атрактори, които са сложни непериодични решения. Такава задача едва ли може да бъде решена с усилията на самите географи, без сътрудничество с физици и математици, поне докато не израсне поколение географи, което от ученическата скамейка ще овладее математическия апарат на синергетиката. Нашата задача е да създадем концептуалните основи за такова сътрудничество чрез разработване на оперативни теории, които позволяват да се приложи към тяхното развитие първо концептуалния, а след това и математическия апарат на синергетиката.

В сек. Раздел 5.1 от тази глава ще покаже, че нелинейните дисипативни динамични системи естествено водят до концепцията за странен атрактор. След това (раздел 5.2) се въвежда ентропията на Колмогоров като функционална мярка за хаотично движение, след което (раздел 5.3) се разглежда проблемът за количеството информация, което може да бъде получено от измерения случаен сигнал.

В сек. 5.4 обсъжда появата на странен атрактор в модела на Ruelle-Takens-Newhouse, описващ прехода към турбулентност (във времето) и предоставя някои експериментални потвърждения на този модел. Следващият раздел съдържа интерпретация на група за пренормиране на този модел на преход към хаос. Главата завършва с критичен преглед на различни сценарии на преход и набор от рисунки на странни атрактори и техните фрактални граници.

5.1. Въведение и дефиниция на странни атрактори

В този раздел разглеждаме дисипативни системи, описани от потоци или картографии. Нека първо разгледаме дисипативните потоци, описани от автономна система от диференциални уравнения от първи ред:

Тук терминът "дисипативен" означава, че елементарен обем V, произволно избран във фазовото пространство, ограничено от повърхността S, е компресиран. Повърхността S се развива по такъв начин, че всяка нейна точка се движи по траекторията, определена от (5.1). Следователно, по теоремата за дивергенцията:

и след това по дефиниция системи с

Пример за този тип поток е моделът на Лоренц:

за кое от

т.е. елементарният обем се компресира експоненциално във времето

Ако разгледаме траекторията, генерирана от уравненията на модела на Лоренц на (фиг. 58), се оказва, че а) тя е привлечена от ограничена област във фазовото пространство; б) движението му е блуждаещо, т.е. траекторията прави един завой надясно, след това няколко завоя наляво, след това надясно, траекторията е много чувствителна към малки промени в началните условия, т.е. ако вместо условия ( 0; 0.01; 0) вземаме близки условия, новото решение скоро ще се отклони от предишното и броят на завоите ще бъде различен. На фиг. 59 е показана графика на зависимостта на максимума на променлива от. Полученият дисплей е приблизително триъгълен, което съответства според гл. 2, хаотична последователност

Ориз. 58. Компютърно изчислен атрактор на Лоренц (Lanford, 1977).

Ориз. 59. Последователни максимуми на променливата Z на атрактора на Лоренц (Lorenz, 1963).

За да обобщим: траекторията е чувствителна към промени в началните условия; хаотичен; е привлечен от ограничен регион във фазовото пространство; обемът на тази област (съгласно (5.4)) клони към нула. Това означава, че потокът на триизмерната система на Лоренц генерира набор от точки, чието измерение е по-малко от 3, т.е. неговият обем в триизмерното пространство е 0. На пръв поглед може да му се присвои следващото цяло число, но по-ниско измерение - 2. Това обаче противоречи на теоремата на Поанкаре - Бендиксон, който твърди, че хаотичен поток не може да съществува в ограничена област на двумерно пространство. Нека се позовем, например, на строго доказателство на тази теорема в монографията (Hirsch and Smale, 1965). Ориз. 60 показва, че непрекъснатостта на линиите на потока и фактът, че линията на потока разделя равнината на две части, ограничават траекторията толкова силно, че граничните цикли и фиксираните точки са единствените възможни атрактори в ограничената зона. Решението на този проблем се крие във факта, че наборът от точки, към които се привлича траекторията в системата на Лоренц (т.нар. атрактор на Лоренц), има размерност на Хаусдорф не цяло число, а между 2 и 3 (точната стойност това естествено води до концепцията за странен атрактор, който се появява в различни физически нелинейни системи.

Странният атрактор има следните свойства (официална дефиниция може да се намери в рецензии (Eckmann, 1981; Ruelle, 1980):

а) той е атрактор, т.е. заема ограничена област от фазовото пространство, към която след дълъг

Ориз. 60. Самозаснемане на обтекателна линия в ограничена зона на равнина. Експоненциалната дивергенция на траекториите противоречи на непрекъснатостта (обърнете внимание на противоположните посоки на стрелките).

интервал от време, всички достатъчно близки траектории от така наречената област на привличане се привличат. Обърнете внимание, че зоната на привличане може да има много сложна структура (вижте фиг. Раздел 5.7). Освен това самият атрактор се състои, така да се каже, от една траектория, т.е. траекторията трябва да премине през всяка точка на атрактора във времето. Наборът от изолирани фиксирани точки не е единичен атрактор;

б) свойството, което прави атрактора странен, е неговата чувствителност към началните условия, т.е. въпреки компресията в обема, няма намаляване на дължината във всички посоки и разстоянията между първоначално произволно близки точки на атрактора стават крайни след достатъчно дълго време . Както ще бъде показано в следващия раздел, това води до положителна ентропия на Колмогоров;

в) за да се опише физическа система, атракторът трябва да бъде структурно стабилен и типичен. С други думи, малки промени в параметъра във F (виж (5.1)) променят непрекъснато структурата на атрактора (по-долу ще характеризираме структурата по-подробно; сега имаме предвид, например, размерността на Хаусдорф на атрактора) и наборът от параметри, за които (5.1) генерира странен атрактор, не трябва да бъде набор от мярка 0 - в противен случай атракторът не е типичен и физически значим.

Всички странни атрактори, открити досега, имат дробно хаусдорфово измерение. Тъй като няма общоприета формална дефиниция на странен атрактор (Ruelle, 1980; Mandelbrot, 1982), все още не е ясно дали фракционността на размерността на Хаусдорф винаги следва от свойствата "a" - "b" или е допълнително необходима за странен атрактор.

Обикновено възниква странен атрактор, когато фазов поток компресира елементарен обем в едни посоки и го разтяга в други. За да остане в рамките на ограничената зона, елементарният обем едновременно се натрупва. Този процес на разтягане и сгъване генерира хаотично движение на траекторията на странния атрактор, точно както беше в случая на частично линейни преобразувания (Глава 2).

Тъй като горната дефиниция описва свойствата на набор от точки, концепцията за странен атрактор не се ограничава до потоци: дисипативните съпоставяния могат също да генерират странни атрактори. Дисплей

се нарича дисипативен, ако води до свиване на обема във фазовото пространство, т.е. ако модулът на Якобиан J, по който елементарният обем се умножава след итерация, е по-малък от 1:

Теоремата на Поанкаре-Бендиксон, която ограничава размерността на странните атрактори, генерирани от потоци, до стойности, по-големи от две, не е валидна за картографиране. Това се дължи на факта, че съпоставянията генерират дискретни точки и ограниченията, свързани с непрекъснатостта, се премахват. По този начин дисипативните картографирания могат да доведат до странни атрактори, чиято размерност е по-малка от 2.

За илюстрация нека разгледаме два примера, които поради по-ниската си размерност са по-лесни за визуализиране от атрактора на Лоренц.

Трансформация на Бейкър. На фиг. 61 показва конвенционална пекарска трансформация, картографиране със запазване на площта (напомнящо на пекар, който разточва тесто) и несъхраняваща площ, дисипативна пекарска трансформация. Математически

Ориз. 61. а - трансформация на Бейкър; b - дисипативна трансформация на пекаря.

израз за последното

където a е трансформация, водеща до изместване на Бернули. Неговият показател на Ляпунов (в x), което води до чувствителност към началните условия; обектът, получен чрез многократно прилагане на това преобразуване към единичния квадрат, е странен атрактор. Този атрактор е безкрайна последователност от хоризонтални линии и неговата зона на привличане включва всички точки от единичния квадрат. Показателят на Ляпунов в и в тази посока намалява така, че общият резултат (разтягане на и свиване на ) е намаляването на обема, необходимо за дисипативно картографиране.

Размерността на Хаусдорф DB на странен атрактор може да се изчисли по следния начин. По посока атракторът е просто едномерен (както е и картата) в гл. 2). Измерението на Хаусдорф в посока y следва от определението

и от самоподобието на атрактора по вертикалата (фиг. 61, b). Това дава

Ориз. 63. а - Изображение на атрактора Хенон, изграден върху 104 точки. Няколко последователни точки са номерирани, за да илюстрират блуждаещото движение на атрактора; b, c - увеличени изображения на квадрати от предишни фигури; r - височината на всяка колона - относителната вероятност за намиране на точка в един от шестте листа на предишния чертеж (Farmer, 1982a, b).

атракторна структура. Хаусдорфово измерение на атрактора на Хенон!) за . Този резултат се получава чрез наслагване на квадратна решетка с клетка върху равнината на дисплея и преброяване на броя на квадратите, заети от точки и изчисление!) Ако на фиг. 63, при разделителна способност, позволяваща да се видят шест "листа", относителната вероятност за всяко листо може да бъде оценена чрез просто преброяване на броя на точките върху него. Височината на всяка колона на фиг. 63, r е относителната вероятност, а ширината е дебелината на съответния лист.

Различни височини на колоните на фиг. 63d показват, че атракторът на Хенон не е хомогенен. Тази нехомогенност не може да бъде описана с едно измерение на Хаусдорф, така че в това, което следва, ще въведем безкраен набор от измерения, които характеризират статичната структура (т.е. разпределението на точките)

атрактор. Въпреки това, преди да направите това, е полезно да обсъдите ентропията на Колмогоров, която описва динамичното поведение на странен атрактор.

Във физическите системи n-мерното може да бъде, например, две или три координати за един или повече физически обекти; в икономическите системи те могат да бъдат отделни променливи като нивото на инфлация и нивото на безработица. Ако развиващата се променлива е дву- или триизмерна, атракторът на динамичния процес може да бъде представен геометрично в две или три измерения (както например на фигурата).

Ако при различни начални условия всички траектории в фазово пространствоще отиде до безкрайност, това ще означава, че такава система няма стабилно състояние.

В случай, че всички те завършват в една точка, т.е. системата ще стигне до определено състояние и няма да настъпят повече промени в нея, тогава такава точка ще бъде точка на стабилно състояние. След излизане от това състояние, под действието на краткотрайно смущение, системата винаги ще се връща в същото състояние.

В този случай всички траектории завършват в една точка, тоест тя, така да се каже, привлича всички фазови траектории към себе си с течение на времето. Такава точка се нарича атрактор (на английски за привличане - "привличане") от типа " атракционна точка". Концепцията за атрактор е обобщение на концепцията за равновесие за сложни системи.

Атракторът може да бъде точка, краен набор от точки, крива, хетерогенност или дори сложна фрактална структура, известна като странен атрактор. Ако променливата е скалар, атракторът е подмножество на реалната числова линия. Описвайки атрактора в хаотичните динамични системи, той е едно от постиженията на теорията на хаоса. Траекторията на динамичната система в атрактора не удовлетворява никакви специални ограничения за останалите изключения на атрактора, напред и назад във времето. Траекторията може да бъде периодична и хаотична. Ако наборът от точки е периодичен или хаотичен, но потокът в близка област е далеч от набора, наборът не е атрактор, а вместо това се нарича рефлектор (или репелер).

По този начин атракторът е компакт подмножество на фазовото пространстводинамична система, всички траектории от някакво съседство на която се стремят към нея, както времето клони към безкрайността. Атракторът може да бъде привлекателна фиксирана точка (периодична траектория (пример са самовъзбуждащи се трептения в положителна обратна връзка) или някаква ограничена област с нестабилни траектории вътре (като странен атрактор).

динамична система, като правило, се описва с едно или повече диференциални или диференциални уравнения. Уравненията на дадена динамична система показват нейното поведение по отношение на даден кратък период от време. За да се определи поведението на дадена система за по-дълъг период, уравненията трябва да бъдат интегрирани или чрез аналитични средства, или чрез итерация, често с помощта на компютри. Динамичните системи във физическия свят, като правило, възникват в резултат на дисипативни системи: ако няма движеща сила през времето, движението ще спре. Разсейването може да дойде от вътрешно триене, термодинамична или материална загуба и много други причини.

Разсейваните и движещите сили обикновено са балансирани, убивайки първоначалните преходни процеси и установявайки системата в нейното типично поведение. Подмножеството на фазовото пространство на динамична система, което съответства на типичното поведение, е атракторът, известен също като привличаща секция или атрактор. Инвариантните множества и граничните множества са подобни на концепцията за атрактор. Инвариантно множество е множество, което се развива само по себе си под влияние на динамиката. Атракторите могат да съдържат инвариантни множества. Граничното множество е множеството от точки, за които има някакво начално състояние, което завършва произволно близо до граничното множество (т.е. във всяка точка от множеството) с време до безкрайност. Атракторите са гранични множества, но не всички гранични множества са атрактори: ако е възможно да има няколко точки от системата, които се събират към гранични множества, но различни точки, малко нарушени от граничното множество, не могат да ги повлияят. Например, амортизираното махало има две инвариантни точки: точка x0 с минимална височина и точка x1 с максимална височина. Точката x0 също е гранично множество, тъй като траекториите се събират към нея; точката x1 не е пределно множество. Поради разсейването точката x0 също е атрактор. Ако няма разсейване, x0 няма да бъде атрактор.

Математическа дефиниция

Нека t представлява време и нека f(t, )-функцията определя динамиката на системата. Тоест, ако това са n-измерни точки във фазовото пространство, представящи първоначалното състояние на системата, тогава f (0, a) = a и с положителна стойност на t, f (t, a) е резултатът от еволюция на тази позиция след t единици време. Например, ако системата описва еволюцията на свободна частица в едно измерение, тогава фазовото пространство е равнината R2 с координати (x, v), където x е позицията на частицата, v е нейната скорост, a = ( x, v), а еволюцията е дадена от

Атракторът е подмножество на фазовото пространство и се характеризира със следните три условия:

Напред е инвариантен спрямо t: ако има елемент A и t (t, a), за всички t > 0 .

Има съседна област на A, наречена област на привличане за A и означена B(A) , която се състои от всички точки b, така че "въвежда A в границата t → ∞ ". По-формално, B(A) е множеството от всички точки b във фазовото пространство със следното свойство:

За всяко отворено наблизо областинИ има положителна константа t,

Няма собствено подмножество, което да има първите две свойства.

Тъй като зона на привличанесъдържа отворено множество, съдържащо A, всяка точка, която е достатъчно близо до A, се привлича към A. Дефиницията на атрактор използва метрика на фазовото пространство, но получената концепция обикновено зависи само от топологията на фазовото пространство.

В литературата има много други определения на атрактора. Например, някои автори изискват атракторът да има положителна мярка, други намаляват силата на изискването B(A) да е близка област.

периодично-3-цикълно привличане и неговата зона на привличане. Трите най-тъмни точки са 3-цикълни точки, които водят една до друга в последователността, и итерация от която и да е точка в зоната на привличане води до (обикновено асимптотична) конвергенция на тази последователност в три точки.

Видове атрактори

Атракторите са части или подмножества от фазовото пространство на динамична система. До 60-те години на миналия век атракторите не се смятаха за прости геометрични подмножества на фазово пространство, като точки, линии, повърхности и обеми. По-сложни атрактори, които не могат да бъдат класифицирани като прости геометрични подмножества, като топологични множества, бяха известни по това време, но се считаха за крехки аномалии. Стивън Смейл успя да покаже, че неговата подкова (Подковата на Смейл е примерът на Стив Смейл за динамична система, която има безкраен брой периодични точки (и хаотична динамика), и това свойство не се срива при малки смущения на системата) е надеждна и че неговият атрактор е като структура, която Кантор задава. Два прости атрактора - неподвижна точка и граничен цикъл. Атракторите могат да приемат много други геометрични форми (фазови подмножества). Но когато тези набори (или движения в тях) не могат лесно да бъдат описани като прости комбинации (напр. пресичане и обединение) на фундаментални геометрични обекти (напр. линии, повърхности, топки, тороиди, колектори), тогава атракторът се нарича странен атрактор.

Атракторите се класифицират според:

1. Формализации на понятието за стремеж: прави се разлика между максималния атрактор, неблуждащото множество, атрактора на Милнор, центъра на Биркхоф, статистическия и минималния атрактор.
2. Закономерности на самия атрактор: атракторите се делят на правилни (привличаща фиксирана точка, привличаща периодична траектория, многообразие) и странни (неправилни - често фрактални и/или в някаква секция подредени като набор на Кантор; динамиката върху тях обикновено е хаотична).
3. Локалност ("привличащо множество") и глобалност (тук - терминът "минимален" в смисъл на "неделим").

граничен цикъле периодичната орбита на системата, която е изолирана. Примерите включват махалото на часовника, веригата за настройка на радиото и сърдечния ритъм по време на почивка. (Граничният цикъл на идеално махало не е пример за атрактор на граничен цикъл, тъй като неговите орбити не са изолирани: във фазовото пространство на идеално махало, недалеч от всяка точка на периодичната орбита, има друг момент, който принадлежи към друга периодична орбита.

фазов портрет на ван дер Пол: привличане на ограничен цикъл

граничен тор

Може да има повече от една честота на периодичната траектория на системата през състоянието на граничния цикъл. Например във физиката една честота може да диктува скоростта, с която една планета се върти около звезда, докато втора честота описва колебанията в разстоянието между двете тела. Ако две от тези честоти образуват ирационална дроб (т.е. те са несъизмерими), траекторията вече не се затваря и граничният цикъл се превръща в граничен торус. Този тип атрактор се нарича Nt -тор, ако има Nt - несъизмерими честоти. Например, ето 2-торус:

Времевите редове, съответстващи на този атрактор, са квазипериодични редове: дискретността на извадките от суми на Nt-периодични функции (не непременно синусоида) с несъизмерими честоти. Такъв времеви ред няма строга периодичност, но неговият спектър на мощност все още се състои само от остри линии.

странен атрактор

Казват, че атракторът е странен, ако има фрактална структура. Това често се случва, когато динамиката върху него е хаотична, но има и странни атрактори, които не са хаотични. Терминът е въведен от Дейвид Рюел и Флорис Такенс, които описват атрактор, произтичащ от поредица от бифуркации на система, описваща флуиден поток. Странните атрактори често са диференцируеми в множество посоки, но някои, като праха на Кантор, не са диференцирани. Странни атрактори могат да бъдат намерени и в присъствието на шум, където могат да бъдат поставени, за да поддържат инвариантни случайни вероятностни мерки от типа на Синай-Руел-Боуен. Примерите за странни атрактори включват, Атрактор Хенон, атрактор на Рьослер и Атрактор на Лоренц.

Двойно навит атрактор

Атрактор на Лоренц

Частични уравнения

Параболичните PDE могат да имат крайномерни атрактори. Дифузната част на уравнението намалява високите честоти и в някои случаи води до глобален атрактор. Известно е, че уравненията на Гинзбург-Ландау, Курамото-Сивашински и двумерните, принудени уравнения на Навие-Стокс водят до глобални атрактори с крайни размери. За триизмерно несвиваемо уравнение на Навие-Стокс с периодични гранични условия, ако има глобален атрактор, тогава този атрактор ще бъде с краен размер.

От изчислителна гледна точка атракторите естествено могат да се разглеждат като самовъзбуждащи се атрактори или скрити атрактори. Самовъзбуждащи се атракторимогат да бъдат локализирани числено с помощта на стандартни изчислителни процедури, при които след преходна последователност траекторията започва от точка на нестабилен колектор в малка област на нестабилно равновесие, постигнато от атрактор (като класическите атрактори във Ван дер Пол, Белоусов -Жаботински, Лоренц и много други динамични системи). Обратно, областта на привличане на скрит атрактор не съдържа равновесна област, така че скрит атрактор не може да бъде локализиран с помощта на стандартни изчислителни процедури.

Хаотичен скрит атрактор (зелен домейн) в системата Чуа. Траектории с начални данни в близост до две точки (синьо), обикновено (червена стрелка) до безкрайност или обикновено (черна стрелка) до стабилна нулева равновесна точка (оранжево).

Софтуерът, който генерира странни атрактори, с право може да се счита за Chaoscope, който е 3D визуализатор на странни атрактори. Той е безплатен, работи на платформа Windows.

Онлайн генератор на странни атрактори: http://wokos.nethium.pl/attractors_en.net

В големи цикли - малки,

раждане на скорост,

И в малките - все по-малки,

Раждане на вискозитет.

(Луис Ф. Ричардсън)

Проблемът с турбулентността има богата история. Всички велики физици са се озадачавали над това. Плавният поток се разделя на къдрици и вихрови течения; произволни завои разрушават границите между течна и твърда повърхност; енергията от мащабно движение бързо се влива в малки завихряния. Защо? Може би най-разумните идеи бяха предложени от математиците, но повечето физици просто се страхуваха да изучават турбулентността, която изглеждаше почти неразбираема. Като доказателство за това може да послужи историята на Вернер Хайзенберг, известен учен, изучавал квантовата физика. Последният призна на смъртния си одър, че би искал да зададе на Господ Бог два въпроса - за основите на относителността и за причината за турбуленцията. „Мисля, че Господ ще ми отговори на първия от тях“, отбеляза Хайзенберг.

Теоретичната физика и феноменът на турбулентността завършиха играта наравно - науката сякаш се натъкна на омагьосана линия и замръзна близо до нея. Близо до магическата граница, където материята е все още стабилна, има работа за вършене. За щастие, плавно течащата течност изобщо не се държи така, сякаш всяка от безбройните молекули се движи независимо: капчици течно вещество, които са били наблизо в началната точка, обикновено остават близо една до друга, като коне в сбруя. Хидравличните инженери имат доста надеждни уравнения, описващи поведението на такъв ламинарен поток: те използват знания, натрупани през 19 век, когато движението на течности и газове е един от основните проблеми на физиката.

По наше време този проблем вече е потънал в сянка и дори най-дълбоките умове вярваха, че в динамиката на течностите не са останали никакви тайни, освен една, неизвестна дори на небето. От практическа страна всичко изглеждаше толкова ясно, че с леко сърце можеше да бъде оставено на милостта на специалистите техници. Според физиците динамиката на флуидите е еволюирала от научен проблем в инженерен. Младите светила на физиците вече намериха какво да правят, а изследователите на динамиката на флуидите се срещаха само в техническите факултети на университетите. Въпреки това сред практиците интересът към турбуленцията беше донякъде едностранен и се свеждаше до това как да се премахне това явление. Понякога турбуленцията е дори желателна (както например в реактивен двигател, където ефективното изгаряне зависи от бързото смесване), но в повечето случаи се равнява на катастрофа. Турбулентният въздушен поток, действащ върху крилото на самолета, затруднява излитането му. Турбулентният поток вътре в нефтопровода забавя движението на течността. Правителствата и корпорациите инвестират сериозно в самолети, турбинни двигатели, витла, подводници и други подобни устройства, които се движат през течни или газообразни среди. Изследователите се интересуват от кръвния поток в съдовете и сърдечните клапи, занимават се с вихрови течения и водовъртежи, пламъци и ударни вълни от различни видове експлозии. Смята се, че ядрените физици са участвали в проекта за атомна бомба по време на Втората световна война, но в действителност всички въпроси, свързани с ядрената физика, са решени преди началото на работата, а газовите и хидродинамичните аспекти са разгледани в Лос Аламос.

Какво е турбуленция? Пълен безпорядък във всички мащаби, малки вихрушки в огромни водовъртежи. Турбулентността е нестабилна и силно разсейваща, тоест има способността да забавя движението, изчерпвайки енергията. Това е същността на безредното движение. Но все пак какПроменя ли се потокът на течността от плавен към турбулентен? Представете си безупречно гладка куха тръба, изключително стабилен източник на водоснабдяване и цялата конструкция е добре защитена от вибрации. Сега си задайте въпроса: как може да се появи нещо безредно в потока, който тече вътре в тръбата?

Всички правила изглежда се провалят тук. Когато потокът е гладък или ламинарен, малките смущения изчезват, но веднага след появата на турбуленция броят им рязко се увеличава, давайки на науката нова загадка. Коритото на потока в подножието на скалата се превръща във водовъртеж, който става все по-голям, разделя се и се завихря, докато водата се движи надолу по течението, и струйка цигарен дим, която тихо се вие ​​във въздуха, издигайки се над пепелника, внезапно се ускорява и, като достигнал критична скорост, разбива се на бурни вихрушки. Прагът на турбулентност може да се наблюдава и измерва в лабораторни експерименти; тества се за всяко крило или витло на самолет в тест във аеродинамичен тунел. Въпреки това е трудно да се улови неговата природа. По правило на получените данни липсва универсалност - изследването чрез проба и грешка на крилото на Boeing 707 не дава нищо за дизайна на крилото на изтребителя F-16. Дори суперкомпютрите са почти безпомощни пред хаотичното движение на материята.

Нека си представим, че нещо разклаща течността, предизвиквайки вълни вътре в нея. Течността има вискозитет и поради тази причина енергията, която й се предава, когато се изтръска от нея. Ако спрете да разклащате течността, тя ще спре. Какво се случва, когато разклатите течността? В резултат на тази процедура нискочестотната енергия се предава на течността, ниските честоти се преобразуват в по-високи, генерирайки все по-бързи вихрови токове. Този процес, който води до разсейване на енергията на течността, е разгледан от А. Н. Колмогоров още през 30-те години на миналия век. Той разработи математическо описание на динамиката на вихрите, като ги разглежда във все по-малък и по-малък мащаб - докато достигне границата, при която вихрите стават толкова малки, че вискозитетът на веществото вече не им влияе.

За по-голяма яснота Колмогоров си представи, че цялата течност се състои от малки вихрови потоци и следователно е еднаква навсякъде. Подобно предположение за хомогенност е неправилно, както предположи Поанкаре преди четиридесет години, когато наблюдаваше въртяща се вода в бурна река, осеяна с участъци от спокоен поток. Така нестабилността на потока е локална и реално енергията се разсейва само в част от пространството. Ако внимателно изследвате турбулентния поток във всякакъв мащаб, ще забележите, че се откриват все повече и повече нови области на спокоен поток. Така хипотезата за хомогенност отстъпва място на предположението за прекъсване. Това донякъде идеализирано описание изглежда силно фрактално, с редуващи се турбулентни и гладки зони, които се забелязват във всякакъв мащаб, от големи до малки. Но тази картина до известна степен не е пълно отражение на реалността.

Много близък до формулирания по-горе, но същевременно независим е въпросът какво се случва с настъпването на турбулентността. Как флуидният поток преминава границата между гладко и турбулентно? През какви междинни етапи ще премине турбуленцията, преди да се почувства напълно? Тези въпроси получиха отговор от теория, която звучеше доста разумно. Тази общоприета парадигма дължи появата си на Лев Давидович Ландау, великият руски учен, чиито разработки в областта на хидродинамиката все още се считат за един от върховете на физическата наука. Моделът на Ландау е купчина конкуриращи се вихри. Той предположи, че когато в системата навлезе повече енергия, във всеки момент възниква нова честота, която не е съвместима с предишната, сякаш струна на цигулка реагира на увеличаване на движението на лъка, като звучи втори дисонантен тон, и след това трети, четвърти и т.н., докато звуците се слеят в неразбираема какофония.

Всяко течно или газообразно вещество е колекция от отделни частици-молекули, чийто брой е толкова голям, че може да изглежда безкраен. Ако всяка частица се движи сама по себе си, ще има безкрайно много вариации на движение на течности (научно казано, безкрайно много „степени на свобода“), а уравненията, описващи движението, ще включват безкраен брой променливи. Нищо подобно обаче не се случва: движението на всяка молекула до голяма степен зависи от движението на съседните й и може да има само няколко степени на свобода (поне при спокоен поток). Потенциално сложните движения остават съчетани, близките частици изобщо не се разминават или се разминават плавно и линейно, образувайки спретнати линии на снимки от аеродинамичен тунел. Частиците в струйката цигарен дим също се издигат като цяло за известно време.

След това има възмущение, разнообразие от мистериозни бурни импулси. Понякога такива движения дори получават имена: „осцилатор“, „кръстосани ролки“, „възел“, „зигзаг“, „подути вени“ (които се случват при разширени вени). Според Ландау възникващите нестабилни движения просто се натрупват, припокриват се едно с друго и по този начин създават намотки с частично съвпадащи скорости и размери. Спекулативно такъв общоприет модел на турбулентност изглежда отговаряше на реалните факти и неговата безполезност от гледна точка на математиката беше пренебрегната. И така, Ландау, след като изгради модел, който е нерешим от математическа гледна точка, запази достойнството си на учен, но от гледна точка на практик това беше пълен фалит.

Нека си представим, че водата с леко свирене бавно тече през тръба или тече вътре в цилиндър. Мислено увеличете натиска, като по този начин предизвикате появата на ритмични трептения напред-назад. Течността бавно удря стените на тръбата. Натиснете отново бутона на въображаемото устройство, като увеличите налягането. Не е известно къде ще се появи втората честота, която не е съвместима с първата. Дисхармоничните ритми, сякаш се състезават, се припокриват и сега вече се появи доста сложно движение: вълните се удрят в стените на тръбата, смесвайки се една с друга, така че е невъзможно да се улови техният ритъм. С увеличаването на налягането се появява трета, после четвърта, пета, шеста честота и всички те не съответстват една на друга, така че потокът става изключително сложен. Може би това е турбуленция. Физиците приеха това обяснение, но никой от тях не можа да предвиди кога точно увеличаването на енергията ще доведе до появата на нова честота или каква ще бъде тя. Никой не различи тези мистериозно появяващи се честоти по време на експеримента, тъй като теорията на Ландау за прага на турбулентността всъщност все още не е тествана.

Теоретикът извършва експерименти мислено, а експериментаторът също трябва да действа с ръцете си. Теоретикът е мислител, експериментаторът е занаятчия; първият не се нуждае от асистент, вторият е принуден да „набира“ студенти, да убеждава механици, съдебни лаборанти. Подреденият теоретик работи там, където няма шум и мръсотия; експериментаторът, от друга страна, е свързан с обекта на преживяване толкова тясно, колкото и скулпторът в работилницата, който е прикован с часове към безформена глина и се опитва с леко, после с рязко движение да й придаде желаната форма . Теоретикът може мислено да си представи колегите си като наивен Ромео, мечтаещ за красивата Жулиета, а сътрудниците на експериментатора, седящи с часове в лабораторията, се оплакват, пушат, пият кафе, потят се.

Тези двамата се нуждаят един от друг, но част от неравенството се прокрадва в отношенията им от онези древни времена, когато всеки учен е мислил и експериментирал едновременно. Въпреки че в някои от най-добрите експериментатори е останало нещо от теоретиците, разговорът на експертите очевидно не върви добре. В крайна сметка престижът на теоретиците е по-висок. Това е особено очевидно във физиката на високите енергии: теоретиците буквално се къпят в лъчите на славата, докато експериментаторите стават висококвалифицирани техници, работещи със скъпо и сложно оборудване. В следвоенните десетилетия, когато блясъкът на физиката се определяше от изучаването на елементарните частици, най-добрите експерименти бяха тези, проведени в ускорители на частици. Маса, заряд, въртене, симетрия - тези абстракции очароваха онези, които не принадлежаха към академичната среда, но се опитаха да бъдат в крак с времето, но само за някои учени изследването на атомните частици беше наистина физика. Преходът към изследване на все по-малки частици в най-кратки интервали от време изискваше все по-висока енергия, а оттам и модернизация на оборудването. Експерименталният клон на физиката на елементарните частици напредна през годините, много учени са работили в него и цели екипи са работили върху създаването на големи експерименти. Статиите за физиката на елементарните частици в списание "Physical Review" винаги са се отличавали с факта, че списъкът на авторите заема почти една четвърт от публикацията.

Някои експериментатори обаче предпочетоха да работят сами, в най-лошия случай заедно. В своите експерименти те използваха онези вещества, които бяха налични. Докато някои клонове на физическата наука, като хидродинамиката, загубиха значение, физиката на твърдото тяло, напротив, излезе на преден план. Сферата на изследванията, подчинени на нея, се разшири толкова много, че името на дисциплината трябваше да бъде променено на по-точно - "физика на кондензираната материя", тоест физика на материалите. Трябва да се каже, че в тази област оборудването е много по-просто и връзката между теоретици и експериментатори е много по-силна. Първите не проявиха излишен снобизъм, а вторите не се опитаха да се защитят от тях.

Въпреки всичко това те гледаха на много неща по различен начин. По-специално, теоретикът би могъл лесно, прекъсвайки доклада на експериментатора, да попита: „Възможно ли е да направите вашите данни по-убедителни? Не мислите ли, че тази диаграма е малко неясна? Не си ли струва да измерим тази стойност в по-широк диапазон, за да получим повече информация?

В отговор Хари Суини, изправен в целия си ръст (около пет и половина фута), можеше да каже с естествения чар на жител на Луизиана, в който обаче се усещаше нюйоркската избухливост: „Фактите съответстват на истината. Да, това е вярно, при условие че разполагаме с безкрайно количество „чисти“ експериментални данни. - И, като се обърна рязко към черната дъска, добави: - Всъщност имаме само ограничено количество информация на наше разположение, и дори тогава с грешки.

Суини експериментира с вещества. Докато е още студент в университета Джон Хопкинс, той усеща опияняващия чар на физиката на елементарните частици и това се превръща в повратна точка в съдбата му. Суини разговаря с ентусиазирания Мъри Гел-Ман, но докато наблюдаваше студентите по време на работа, откри, че всички те пишат компютърни програми или запояват искрови камери. Тогава Суини се запознал с опитен физик, който започнал да изучава фазовите преходи от твърдо към течност, от немагнитно вещество към магнит, от проводник към свръхпроводник. Доста дълго време Суини се сгуши в малка стая; беше с размерите на килер, но начинаещият учен живееше там сам. Той започна да поръчва инструменти от каталог и скоро в скромното му жилище се появиха лабораторна маса, лазер, сонди и някакво хладилно оборудване. Суини проектира инструмент за измерване на топлопроводимостта на въглеродния диоксид близо до критичната точка на кондензация. Много физици вярваха, че промените в топлопроводимостта са незначителни, но както откри Суини, това беше заблуда: топлопроводимостта се промени много значително. Всичко това беше обезпокоително. Сам, в малка стая, той направи откритие, когато видя неземното сияние на изпаренията на материята, всяка субстанция, близо до критичната точка - сияние, наречено "опал" поради белезникавия опалов цвят на разпръснатите лъчи.

Подобно на много явления, които са хаотични по природа, фазовите преходи се характеризират със специален тип макроскопично поведение, което е много трудно да се предвиди, като се гледат най-малките фрагменти. Когато твърдото тяло се нагрее, неговите молекули започват да вибрират под действието на входящата енергия, те се втурват към повърхността, противодействайки на силите, които ги свързват, и по този начин предизвикват разширяване на обема на веществото. Колкото по-силна е топлината, толкова повече веществото се разширява и както въжето се скъсва след дълго разтягане, така промените стават непредвидими и периодични при определени налягания и температури. Кристалната структура постепенно изчезва и молекулите се отдалечават една от друга, подчинявайки се на законите, установени за течност, които не могат да бъдат изведени от законите, определени за твърдо тяло. Средната енергия на атома се е променила съвсем малко, но веществото вече е течност, магнит или свръхпроводник, т.е. придобило е ново качество.

Günther Ahlers от AT&T Bell Laboratories в Ню Джърси изследва така наречения свръхфлуиден преход в течен хелий, при който, когато температурата спада, твърдото вещество се превръща в магическа течност без видим вискозитет или триене. Други се занимаваха със свръхпроводимост. Суини изследва точката на фазов преход между течност и пара. И той, и Алерс, Пиер Берг, Джери Голаб, Марцио Джилио и други експериментатори в САЩ, Франция и Италия - ново поколение физици, занимаващи се с фазови преходи - търсеха нови обекти за изследване в средата на 70-те години. Точно както пощальонът знае в детайли всички улички и къщи на своя обект, така те знаеха наизуст всички специални знаци на вещество, което променя състоянието си. Те изучават границата на равновесното състояние на материята.

Всички изследователи на фазовите преходи, почувствали под себе си коварно блато от съмнения, стъпиха върху спасителните камъни на аналогията. Фазовият преход от немагнитно състояние към магнитно се оказа подобенпреход "течност - пара". Преходът от течност към свръхфлуид е демонстриран сходствопреход от проводник към свръхпроводник. Математически изчисления, описващи едно преживяване, са приложени към много други и през 70-те години проблемът е почти решен. Единственият въпрос беше докъде може да се разшири новосъздадената теория. Какви други промени в света около нас, при по-внимателно разглеждане, ще се окажат фазови преходи?

Използването на техники, използвани в изследването на фазовите преходи за изследване на флуидни потоци, не е нито супер оригинална идея, нито самоочевиден подход.

Той не може да претендира за специална оригиналност, тъй като още в началото на 20-ти век най-големите учени - пионерите на хидродинамиката Рейнолдс, Рейли и техните последователи - забелязаха, че в хода на внимателно контролиран експеримент с течност, нейното движение се променя качествено се получава разклоняване или бифуркация. Например, когато съд с течност се нагрява отдолу, той започва да се движи от състояние на покой. Изкушението беше твърде голямо и, поддавайки му се, експертите предположиха, че физическата природа на бифуркацията просто прилича на това, което се случва в материята по време на фазовите преходи.

Използването на такива методи не може да се нарече очевиден подход, поради факта, че бифуркациите в течността, описани по-горе, не причиняват, като фазовите преходи, промени в самото вещество, а вместо това добавят нов елемент - движение. Течността от състояние на покой преминава към движение. И по каква причина математическото описание на такива промени трябва да съответства на уравненията за кондензираща пара?

През 1973 г. Суини преподава в Сити Колидж в Ню Йорк, а Джери Голъб, сериозен, но понякога детински възпитаник на Харвард, работи в Хавърфорд, в югоизточна Пенсилвания. Институцията там, буколичен селски колеж по либерални изкуства близо до Филаделфия, беше най-подходящото място да се откаже от кариерата на физик. Нямаше на кого да повери работа в лабораторията или други функции, поверени от наставника на неговото протеже - просто нямаше достатъчно дипломирани. Все пак Голуб обичаше да преподава физика на студенти и той започна да трансформира катедрата по физика в център, широко известен с високото качество на своите експерименти. След това, вземайки платен семестриален отпуск, той отива в Ню Йорк, за да работи с Хари Суини.

Имайки предвид аналогията на фазовите преходи и нестабилността, наблюдавана в течност, колегите решиха да изследват класическата система - течност, ограничена от пространството между два вертикални цилиндъра. Едната от тях се въртеше в другата, принуждавайки течността да се движи между двете повърхности. По този начин възможното движение на материята в космоса беше ограничено, за разлика от струите, които остават след движението на кораба в морето. Въртящите се цилиндри възпроизвеждат така наречения поток на Куете-Тейлър. Като правило, за удобство, вътрешният цилиндър се върти вътре в неподвижната рамка. Когато въртенето започне, набирайки скорост, се появяват първите признаци на нестабилност: течността образува изящен модел, наподобяващ снопове от тръби, а след това около цилиндъра, една над друга, се появяват замъглени зони, подобни на лента. Течните частици се движат не само в посоката на въртене на цилиндъра, но и се движат нагоре и надолу, въртейки се около горните зони. Подобното им поведение вече е разгледано от J. I. Taylor, който вижда и измерва количествените характеристики на това явление през 1923 г.

За да изследват потока Куете, учените проектираха апарат, който беше поставен на бюро и се състоеше от два цилиндъра. Външният стъклен цилиндър приличаше на тясна кутия за топка за тенис с височина един фут и два инча в диаметър. Вторият стоманен цилиндър беше спретнато поставен вътре в него, оставяйки пространство от около една осма от инча за водата. „Това беше много вълнуваща история“, спомня си Фрийман Дайсън, един от неволните очевидци на събитията от следващите месеци. „Тези двама господа, в тясно помещение, оборудвано като лаборатория, почти без пари, правят прекрасен експеримент, който бележи началото на пълноценно изследване на феномена турбулентност.“

И двамата изследователи бяха внимателни към своя научен проблем, чието решение скоро щеше да бъде възнаградено с традиционни аплодисменти и бързо потъна в забрава. Суини и Голуб възнамеряваха да потвърдят идеята на Ландау за праг на турбулентност и експериментите не дадоха ни най-малко основание да се съмняваме в това. Освен това беше известно, че физиците, които се занимават с хидродинамика, имат доверие в съображенията на Ландау. Самите физици, Суини и Голуб, също симпатизираха на тази теория, защото тя съответстваше на общата картина на фазовите преходи. Ландау разработи доста ефективна схема за изучаването им, основана на убеждението, че подобни явления трябва да се подчиняват на универсални закони и че не са свързани със спецификата на конкретни вещества. Когато Хари Суини изследва точката на оросяване на въглеродния диоксид, той, подобно на Ландау, беше убеден, че неговите открития могат да се приложат към точката на оросяване на ксенона и беше прав. Наистина, защо турбулентността не трябва да бъде стабилен ансамбъл от сблъскващи се вълни в движеща се течност?

За да се справят с бурното движение на течности, Суини и Голъб са създали арсенал от умни техники, усъвършенствани през годините на изучаване на фазовите преходи при много трудни обстоятелства. Те имаха такава методология на изследване и такива измервателни уреди, за които един обикновен физик дори не можеше да мечтае. Те използваха лазер за изследване на завихрящите се токове. Лъчът, който светеше през водата, беше пречупен или разпръснат, което можеше да се измери чрез лазерна доплерова интерферометрия. Получената информация се съхранява и обработва с помощта на компютър, който тогава, през 1975 г., беше рядкост на масите на експериментаторите.

Ландау отбеляза, че с нарастването на потока се появяват нови честоти, всяка в отделен период от време. „Знаехме за това“, спомня си по-късно Суини, „и решихме, че ще наблюдаваме преходите, за да видим къде точно ще се появят такива честоти. И гледахме - с пълна увереност, че преходът е ясно дефиниран. Започнахме фазов преход в двете посоки, или увеличавайки, или намалявайки скоростта на въртене на цилиндрите, и всичко се оказа така.

Отчитайки резултатите от извършената работа, Суини и Голуб бяха изправени пред факта, че между областта на чистата физика и областта на хидродинамиката съществува определена, много жива и подвижна граница. Тя, по-специално, определи кой от многото отдели на Националната научна фондация трябва да финансира изследвания. До началото на 80-те години на миналия век експериментът Куете-Тейлър отново навлиза в полето на физиката, но през 1973 г. се смята за чиста хидродинамика и първите резултати, получени от двама физици в малка лаборатория, изглеждат подозрително ясни за специалистите в тази област. Те просто не вярваха. В края на краищата, тези, които са посветили целия си живот на хидродинамиката, изобщо не са свикнали с експерименти, които повтарят проучвания във физиката на фазовите преходи. Освен това беше много трудно да се разбере теоретичната основа на експериментите от гледна точка на хидродинамиката. Обжалвайки отново Националната научна фондация за финансиране, Суини и Голъб бяха отказани. Някои от експертите просто не приеха техните резултати, докато други смятат, че резултатите нямат никаква новост.

Но работата никога не е спирала. „Имаше качествено определен преход“, каза Суини, „и ние го сметнахме за изключителен успех. И тогава отново продължихме напред, търсейки следващия.

И изведнъж последователността, за която пише Ландау, се срина. Експериментът не потвърди теорията. При следващия преход потокът „скочи“ до състояние на разстройство, без да открива никакви забележими цикли: без нови честоти, без постепенно увеличаване на неподредените фрагменти. Нищо. „Всичко, което открихме, е, че изведнъж стана хаотично.“ Няколко месеца по-късно на прага на лабораторията се появи слаб, очарователен европеец.

Дейвид Рюел обичаше да казва, че има два типа физици: първият тип е израснал, разглобявайки радиостанции (преди физиката на твърдото тяло, можете да си представите потоци от електрони, като се взирате в жици и вакуумни тръби, светещи с топла светлина), и тези, които принадлежеше към втората категория, обичаше да се забърква с химически реактиви. Самият Рюел, роден и израснал в северната част на Белгия, принадлежеше само към втория тип и предпочиташе аптекарските комплекти пред всички играчки - дори не комплекти в сегашния смисъл на думата, а просто химикали, независимо дали са експлозивни или отровни, с които той беше щедро доставени от местен фармацевт. Младият Дейвид смесва, разбърква, нагрява, кристализира и понякога дори експлодира цялото това богатство. Роден е в Гент през 1935 г. Майка му е треньор по гимнастика, а баща му е професор по лингвистика в университета. И въпреки че младият мъж направи кариера в света на науката, много далеч от обикновеното, той винаги е бил привлечен от мистичната страна на природата, която крие своите мистерии в спорите на гъби, селитра, зеленикаво-жълта сяра и въглен .

Математическата физика е областта, в която Рюел има значителен принос за откриването на хаоса. В началото на 70-те години той работи в Института за напреднали изследвания, образователна институция в предградията на Париж, създадена по модела на Института за напреднали изследвания в Принстън. Той вече беше развил навик, който му остана за цял живот: от време на време напускаше семейството и работата си, за да се скита с раница на гърба си в пустинята на Исландия или селските райони на Мексико. Понякога се срещаше с хора, които му даваха сърдечността и гостоприемството си. Споделяйки с тях скромна храна от тортили, месо и зеленчуци, ученият си мислеше, че вижда света такъв, какъвто е бил преди две хилядолетия. Връщайки се в института, той отново се потопи в изследванията. Колегите забелязаха колко слабо беше лицето му, колко рязко изпъкна линията на веждите, как брадичката му беше заострена. Рюел слушаше лекции на Стив Смейл за „подковата“ и хаотичния потенциал на динамичните системи. Мислеше за турбуленцията в течностите и класическата схема на Ландау, подозираше, че всички те някак си корелират, но в същото време си противоречат.

Ученият никога преди не е работил с флуидни потоци, но това изобщо не обезсърчи изследванията, както не обезсърчи по-малко щастливите му предшественици. "Новите неща се откриват, като правило, от непрофесионалисти", каза той. - Всъщност сложна и дълбока теория за турбулентността няма. Всичко, което можем да разберем за него, е от по-общ характер и следователно достъпно за хора, които не са се занимавали с него. Не беше трудно да се разбере защо турбулентността не се поддава на анализ - поведението на флуидните потоци се описва с нелинейни диференциални уравнения, в по-голямата си част неразрешими. И все пак Рюел разработи силно абстрактна алтернатива на схемата на Ландау, изразена на езика на Смейл, където пространството се използва като ковък материал, който може да бъде компресиран, разтегнат и огънат във форми, подобни на подкова. Статията е написана в Института за висши научни изследвания, с прекъсване за посещения при холандския математик Флорис Такенс, и публикувана съвместно през 1971 г. Стилът на статията не може да бъде сбъркан. Това беше чиста математика (имайте предвид, писалка по физика!) и съдържаше определения, теоремии доказателство запоследвано неизбежно от: Нека да...Ето един пример: " Доказателство (5.2.).Да приемем, че х? е семейство с един параметър ° С квекторни полета в хилбертовото пространство з, така че…”

И все пак в заглавието на публикацията, наречена „За природата на турбулентността“, имаше връзка с реалния свят и се усещаше умишлено съзвучие със заглавието на известната работа на Ландау „По въпроса за турбулентността“. Рюел и Такенс явно искаха да отидат много по-далеч от математиката, опитвайки се да предложат алтернатива на традиционните възгледи на прага на турбуленцията. Те предполагат, че източникът на цялата сложност в турбулентността не е суперпозицията на честотите, водеща до появата на безкраен брой независими и припокриващи се движения на течности, а само три отделни движения. Нещо в логиката им изглеждаше много неясно, заимствано и просто погрешно или едното, другото и третото едновременно - петнадесет години по-късно мненията по този въпрос все още се различаваха.

Въпреки това дълбокото прозрение, коментарите, маргиналните бележки и включванията от физиката направиха работата обект на внимание в продължение на много години. Най-съблазнителен изглежда образът, кръстен от авторите странен атрактор. Това име беше подсказващо, както казват психоаналитиците, тоест със самото си звучене пораждаше подсъзнателни асоциации, които Рюел усети по-късно. Терминът "странен атрактор" стана толкова популярен сред изследователите на хаоса, че Такенс и Рюел по-късно оспориха взаимно авторството си. Нито един от тях не можеше ясно да си спомни кой пръв използва термина. Такенс - висок, румен и буен Норман - понякога изпускаше: „Питал ли си някога Господ как е създал тази проклета Вселена? .. Не помня нищо... Създавам, без да помня подробностите на този процес.“ На което Рюел, главният съавтор, нежно отбеляза: „Различните хора работят по различни начини. Някои хора трябва да пишат статии сами, след което сами да жънат лаврите.

Странният атрактор живее във фазовото пространство - едно от най-удивителните изобретения на съвременната наука. Фазовото пространство прави възможно превръщането на числата в изображения, извличайки дори част от съществената информация от движещи се системи, механични или течни, и визуално демонстрирайки всичките им възможности. Физиците вече са се занимавали с два повече или по-малко прости вида атрактори - фиксирани точки и затворени криви, описващи поведението на такива системи, които са достигнали стабилно състояние или непрекъснато се повтарят.

Във фазовото пространство всички известни данни за динамична система във всеки момент от времето са концентрирани в една точка, която е дадената система в най-краткия интервал от време. В следващия момент системата вече ще претърпи промени, дори и съвсем незначителни, и точката ще промени местоположението си. Цялата продължителност на съществуването на системата може да бъде изобразена на графика, като се проследят движенията на дадена точка във времето и се наблюдава нейната орбита във фазовото пространство.

Но как всички данни за най-сложната система могат да бъдат представени само в една точка? Ако системата се характеризира с две променливи, не е трудно да се намери отговорът, той следва директно от евклидовата геометрия, преподавана в гимназията: една от променливите е разположена на хоризонталната ос х, а другата по вертикалната ос г. Ако системата е люлеещо се махало без триене, тогава една от променливите е нейната позиция в пространството, а другата е нейната скорост. Те се променят непрекъснато, образувайки линия от точки, която се извива в цикъл, който се повтаря отново и отново. Същата система, но притежаваща по-висока енергия, като се люлее по-бързо и по-далеч, образува цикъл във фазовото пространство, подобен на първия, но по-голям по размер.

Въпреки това, изправена пред едно от проявленията на реалността - триенето, системата започва да претърпява промени. За да се опише поведението на махало, подложено на триене, уравненията на движението не са необходими: всяко негово трептене всъщност завършва на едно и също място, в центъра, откъдето е започнало движението, и неговата скорост в тези моменти е нула. Тази централна фиксирана зона, така да се каже, "привлича" вибрации. Вместо вечно да рисува контури върху графиката, орбитата на махалото се спира навътре. Триенето разсейва енергията на системата, което във фазовото пространство изглежда като тласък към центъра. Има движение от външни зони с висока енергия към вътрешни зони с ниска енергия. Атракторът - най-простият възможен - е като магнит с размер на глава на карфица, вграден в лист гума.

Едно от предимствата на разглеждането на състоянията на една система като набор от точки в пространството е, че е по-лесно да се наблюдават промените, които се случват. Система, в която променливите непрекъснато нарастват и намаляват, се превръща в движеща се точка, като муха, която лети из стая. Ако определени комбинации от променливи никога не се появят, ученият може просто да предположи, че стаята е ограничена и насекомото никога няма да влезе. С периодичното поведение на изследваната система, когато се връща в едно и също състояние отново и отново, траекторията на полета на мухата образува цикъл и насекомото преминава през една и съща точка в пространството много пъти. Странни портрети на физически системи във фазовото пространство показваха модели на движение, които иначе бяха недостъпни за наблюдение. Така снимка на природен пейзаж в инфрачервени лъчи разкрива онези малки неща и детайли, които съществуват извън обсега на нашето възприятие. Ученият, гледайки фазовата картина, би могъл, призовавайки въображението да помогне, да разбере същността на самата система: цикъл тук съответства на периодичност там, специфичен завой олицетворява определена промяна, а празнотата говори за физическа невероятност.

Дори при наличието на две променливи, изображенията във фазовото пространство пак могат да ни изненадат по много начини. Дори на настолни монитори можете да създадете някои от тях, превръщайки уравненията в цветни траектории. Някои физици са започнали да създават серии от движещи се картини и да правят видеозаписи, които да показват на своите колеги. Математици от Калифорния издадоха книги, илюстрирани с много червено-синьо-зелени рисунки в стил анимация - "хаос комикси", както ги нарекоха колегите им, не без отрова. Но няколко измервания не покриваха цялото богатство от системи, които физиците искаха да изследват, и учените се стремяха да въведат повече от две променливи, което естествено изискваше увеличаване на броя на измерванията. Всеки фрагмент от динамична система, способна на независимо движение, вече е нова променлива, въплъщаваща различна „степен на свобода“ и за всяка такава степен е необходимо ново измерение във фазовото пространство. В противен случай няма сигурност, че една точка съдържа достатъчно информация, за да опише състоянието на системата във всеки един момент. Простите уравнения, изучавани от Робърт Мей, са едномерни. Те направиха възможно да се премине с едно число - стойността на температурата или размера на населението, което определяше местоположението на точка на права линия, разположена в едно измерение. Разширената система на Лоренц, която описва конвекцията в течности, има три измерения, не защото течността се движи в три пространствени измерения, а защото са необходими три добре дефинирани числа, за да се опише състоянието на течността във всеки даден момент.

Дори тополог с най-развита фантазия не е лесно да си представи пространства с четири, пет или повече измерения. Сложните системи обаче имат много независими променливи, така че математиците трябваше да се примирят с факта, че много степени на свобода изискват фазово пространство с безкрайно много измерения. Така неограничената природа се усеща в бурните струи на водопада или в непредсказуемостта на човешкия мозък. Но кой ще може да се справи с жестокото, неустоимо чудовище на турбуленцията, което се характеризира с разнообразие от форми, неопределен брой "степени на свобода", безкраен брой измерения?

Физиците имаха основателна причина да не харесват модел, чието поведение беше толкова неясно. Използвайки нелинейни уравнения, описващи движенията на течности, най-мощните суперкомпютри в света не можеха да проследят точно турбулентния поток дори на един кубичен сантиметър течност за няколко секунди. Разбира се, природата е по-виновна за това, отколкото Ландау, въпреки това схемата, предложена от съветския учен, създава ефекта на "поглаждане срещу вълната". Дори и без някакви солидни познания, физикът би могъл да подозира, че феноменът не може да бъде интерпретиран. Подобно чувство беше изразено от големия теоретик на квантовата физика Ричард Филипс Файнман: „Винаги ме е притеснявало, че според законите в съвременния им смисъл компютърът трябва да извърши безброй много логически операции, за да разбере какво се случва в пространството и времето, без значение колко малко е това пространство и колко кратко е времето. Как може да се случи нещо подобно на толкова малко пространство? Защо са нужни толкова много усилия, за да разберем най-накрая каква е по-нататъшната съдба на отрязък от време или капка пространство?

Ориз. 5.1. Нов начин за изучаване на махалото.

Една точка във фазовото пространство (на дясно)предава цялата информация за състоянието на динамичната система в определен момент от време (наляво). За обикновено махало две числа са достатъчни, за да представят неговата скорост и местоположение.

Точките образуват траектория, която ви позволява да визуализирате непрекъснатото поведение на динамична система за дълъг период от време. Повтарящият се "цикъл" представлява система, която винаги възпроизвежда едно и също състояние. Ако повтарящото се поведение е стабилно, подобно на часовник с махало, системата с малка намеса се връща към предишната орбита на движение. Във фазовото пространство траекториите в близост до орбитата са, така да се каже, включени в него, а самата орбита е атрактор.

Ориз. 5.2. Атракторът може да бъде една точка. В случай на махало, което непрекъснато губи енергия от триене, всички траектории са под формата на спирала, усукваща се навътре към точката, в която системата е стабилна, в който случай няма никакво движение.

Подобно на много от онези, които се занимаваха с хаоса, Дейвид Рюел подозираше, че обектите, наблюдавани в бурен поток - заплетени струи, спирални водовъртежи, магически къдрици, появяващи се и изчезващи отново - трябва да отразяват това, което е обяснено от законите на физиката, но все пак принадлежат на сфера мистериозна и неоткрита. Според неговото разбиране разсейването на енергия в турбулентен поток трябваше да доведе до вид свиване на фазовото пространство, привличане към атрактора. Несъмнено последният не остава фиксирана точка, тъй като потокът никога не достига до състояние на покой - енергията влиза в системата и я напуска. Какво друго може да бъде атрактор? В допълнение към описаното, според догмата, имаше само един възможен тип - периодичен атрактор или затворена крива, орбита, която привлича всички близки орбити. Ако махалото получава енергия от окачването и я губи поради триене, тогава стабилната орбита може да бъде затворен контур във фазовото пространство, отразяващ, например, редовните осцилаторни движения на махалото на стария часовник. Без значение къде точно започне да се движи махалото, то в крайна сметка ще стигне до тази конкретна орбита. Но ще дойде ли? Поради някои начални условия (а те се характеризират с минимум енергия), махалото ще спре. Така се оказва, че системата всъщност има два атрактора, единият от които е затворен контур, а другият е фиксирана точка. Всеки от атракторите има своя собствена "ниша" във фазовото пространство. Като цяло тя наподобява две речни долини, разделени от вододел.

За кратък период от време всяка точка от фазовото пространство може да означава възможното поведение на динамична система. Когато се изучава дългосрочната перспектива, самите атрактори стават единствените модели на поведение. Всички други видове движение са преходни. По дефиниция атракторите имат най-важното качество – стабилност. В реална система, където движещи се елементи се сблъскват и люлеят поради шума от околната среда, движението обикновено се връща към атрактора. Натискането може да изкриви траекторията за кратко време, но възникващите случайни движения бързо изчезват - дори ако котката внезапно докосне часовника на махалото, минутата няма да се увеличи до шестдесет и две секунди. Турбулентността в течностите обаче е явление от различен порядък, което никога не генерира един ритъм. Добре известно свойство на такова явление е, че в даден момент от времето се наблюдава целият спектър от възможни колебания. Турбуленцията може да се сравни с "бял шум" или статичен шум. Може ли проста детерминистична система от уравнения да опише подобно явление?

Ruelle и Takens се чудеха дали някой друг тип атрактор има подходящ набор от характеристики: стабилност, малък брой измерения, непериодичност. Устойчивостта означаваше достигане на крайното състояние на системата срещу всички шансове в един шумен свят. Малкият брой измервания предполагат, че орбитата във фазовото пространство трябва да бъде правоъгълник или подобна на кутия форма само с няколко степени на свобода. Непериодично означаваше липса на повторение, нищо подобно на монотонното тиктакане на старите часовници. От геометрична гледна точка въпросът изглеждаше като чист пъзел. Каква форма трябва да има една орбита, начертана в ограничено пространство, така че никога да не се повтаря и да не се пресича? В края на краищата система, която се е върнала в предишното си състояние, според приетия модел, трябва да следва обичайния си път. Да играя всекиритъм, орбитата трябва да бъде безкрайно дълга линия в ограничена област. С други думи, трябва да стане фрактален.

Въз основа на математически причини Рюел и Такенс провъзгласяват, че описаният феномен трябва да съществува. Въпреки че никога не са го виждали или изобразявали, едно изказване е било достатъчно. Впоследствие, говорейки на пленарна среща на Международния конгрес на математиците във Варшава, Руел каза: „Научната общност реагира много хладно на нашето предложение. Споменаването, че непрекъснатият спектър ще бъде свързан с малък брой "степени на свобода", се смяташе от много физици за просто ерес. Но имаше и други – една шепа, не повече. Усещайки пълното значение на произведението, публикувано през 1971 г., те започнаха да описват какво се загатва в него.

Всъщност до 1971 г. в научната литература вече има една малка скица на невъобразимото чудовище, което Рюел и Такенс се опитват да съживят.

Ориз. 5.3. Първият странен атрактор. През 1963 г. Едуард Лоренц успя да изчисли само първите няколко елемента на атрактора за своята проста система от уравнения. Той обаче осъзна, че "слоят" от две спирални крилоподобни форми трябва да има необичайна структура, неразличима в малък мащаб.

Едуард Лоренц го направи приложение към своята статия за детерминистичния хаос, публикувана през 1963 г. Това изображение беше сложна конструкция от две криви, една в друга, отдясно и пет криви отляво. Само за схематичното представяне на тези седем "примки" бяха необходими петстотин математически операции, успешно извършени от компютър. Точката, движеща се по зададената траектория във фазовото пространство, демонстрира бавно хаотично въртене на флуидните потоци, което се описва с три уравнения на Лоренц за явлението конвекция. Тъй като системата се характеризира с три независими променливи, този атрактор лежи в триизмерно фазово пространство. И въпреки че беше изобразен само фрагмент от него, Лоренц успя да види много повече: нещо като двойна спирала, крила на пеперуда, изтъкани с невероятно майсторство. Когато увеличаването на количеството топлина в системата на Лоренц доведе до движение на течността в една посока, точката беше в дясното "крило", когато потокът спря и се обърна, точката се премести в другата страна.

Атракторът беше стабилен, непериодичен, имаше малък брой измерения и никога не се пресичаше. Ако това се случи и той се върне към точката, която вече е преминал, движението ще се повтори в бъдеще, образувайки периодичен цикъл, но това не се случи. Това беше странното очарование на атрактора: примките и спиралите, които се появяваха на погледа, изглеждаха безкрайно дълбоки, никога напълно свързани или пресичащи се. Въпреки това те останаха в пространството, което имаше своя граница и беше ограничено от рамката на кутията. Защо това стана възможно? Как може безкраен брой траектории да лежат в ограничено пространство?

Преди изображенията на фракталите на Манделброт буквално да наводнят научния свят, изглеждаше много трудно да си представим характеристиките на конструкцията на такива форми. Самият Лоренц признава, че има "явно противоречие" в собственото му експериментално описание. „Много е трудно да се слеят две повърхности, ако всяка съдържа спирала и траекториите не се съединяват“, оплака се ученият. Въпреки това, в масата компютърни изчисления, той все още различи слабо видимо решение. Лоренц осъзна, че когато спиралите започнат ясно да се свързват, повърхностите трябва да се разделят, образувайки отделни слоеве, сякаш в купчина хартия за писане. „Виждаме, че всяка повърхност всъщност е съставена от две повърхности, така че когато се сближат, вече има четири. Продължавайки тази процедура, отбелязваме, че има осем повърхности и т. н. В резултат на това можем да заключим, че има безкраен брой повърхности, всяка от които е изключително близо до една от двете свързващи повърхности. Не е изненадващо, че през 1963 г. метеоролозите пренебрегнаха подобни съображения. Десетилетие по-късно Руел, научавайки за работата на Лоренц, беше буквално зашеметен. Впоследствие той посети Лоренц, но извади чувство на леко разочарование от тази среща. Изследователите не обсъждаха много дълго общи научни интереси; с характерната си плахост Лоренц избягва споровете и се опитва да придаде на посещението светски характер: учени и техните съпруги посещават музей на изкуствата.

Опитвайки се да намерят улики за разрешаване на загадката, Руел и Такенс поеха по два начина. По-специално те се опитаха да дадат теоретична обосновка на странните атрактори. Типичен ли беше атракторът на Лоренц? Възможни ли са други форми? Вторият път, по който тръгнаха учените, беше експерименталната дейност. Тя преследваше целта да потвърди или опровергае много далечното от математиката убеждение, че странните атрактори са приложими към хаоса в природата.

В Япония изследванията на електронни схеми, които симулират вибрациите на механични струни, но с ускорени темпове, накараха Йошисуке Уеда да открие поредица от невероятно красиви странни атрактори. В Германия Ото Рьослер, непрактикуващ доктор по медицина, който дойде да изследва хаоса чрез химия и теоретична биология, се опита да погледне на странните атрактори през философска леща, оставяйки математиката на заден план. Името му се свързва с един от най-простите атрактори - тясна сгъната лента, която е изследвана доста широко поради лекотата на нейната конструкция. Въпреки това, ученият постави във видима форма и атрактори с голям брой измерения. „Представете си колбас, вътре в който са затворени един в друг още колбаси“, каза той. „Извадете го, навийте го, изстискайте го и го върнете обратно.“ Наистина, огъването и свиването на пространството се оказа ключът към изграждането на странни атрактори и може би дори към динамиката на реалните системи, които ги генерират. Рьослер чувства, че тези форми олицетворяват принципа на самоорганизация на околния свят. Във въображението му беше привлечено нещо като ветрозащита на летище. „Ръкав, затворен в единия край с дупка в другия край, където вятърът се втурва“, обясни изследователят. - Изведнъж вятърът беше уловен. Неговата енергия прави нещо продуктивно, като дявола в средновековната история. Принципът е, че природата прави нещо против волята си и, оплетена в себе си, ражда красота.

Създаването на изображения на странни атрактори едва ли може да се нарече обичайно. Сложните пътеки на орбитите се вият през три или повече измерения, образувайки тъмна плетеница в пространството, която прилича на детски драсканици и е надарена с вътрешна структура, невидима отвън. За да представят такава триизмерна "мрежа" под формата на плоски картини, учените първо прилагат техниката на проекцията. Рисунката беше сянка, хвърлена от атрактора върху повърхността. Въпреки това, ако странните атрактори са доста сложни, проекцията замъглява всички детайли и окото се представя с объркване, което е почти невъзможно да се дешифрира. По-ефикасна техника е конструирането на т.нар обратна верига,или диаграми (разрези) на Поанкаре. Неговата същност се свежда до отделяне на „резенче“ от заплетената сърцевина на атрактора и пренасянето му в двуизмерно пространство, точно както патологът поставя срез от тъкан върху предметно стъкло на микроскоп.

Схемата на Поанкаре лишава атрактора от едно измерение и превръща непрекъснатата линия в сбор от точки. Трансформирайки атрактора в схемата на Поанкаре, ученият не се съмнява нито за минута, че ще запази самата същност на движението. Той може да си представи например, че странен атрактор витае като пчела пред очите му и орбитите на атрактора се движат нагоре и надолу, наляво и надясно, напред и назад по дисплея на компютъра и всеки път орбитата на атрактора пресича равнината на екрана, оставя светеща точка в пресечната точка. Такива точки или образуват петно ​​с произволна форма, подобно на петно, или започват да рисуват определен контур върху екрана.

Процесът, описан по-горе, съответства на вземане на проби от състоянието на системата, което не се извършва постоянно, а само от време на време. Кога да се вземе проба, т.е. от коя област на странния атрактор да се отреже парче, зависи от изследователя. Интервалът от време, който съдържа най-голямо количество информация, трябва да съответства на някакво физическо свойство на динамичната система. Например в схемата на Поанкаре може да се отрази скоростта на отвеса на махалото всеки път, когато преминава през най-ниската точка. Или експериментаторът е свободен да избере определен регулярен интервал от време, "замразявайки" последователни състояния в проблясъци на въображаема светлина, излъчвана от стробоскопичен източник. Във всеки случай, получените изображения в крайна сметка ще покажат елегантната фрактална структура, за която се досеща Едуард Лоренц.

Ориз. 5.4. Структура на атрактора. Странният атрактор, както е показано на горните снимки, първо има една орбита, след това десет, след това сто. Той описва хаотичното поведение на ротор на махало, който се колебае около кръга и се задвижва редовно от приток на енергия. След известно време, когато на фигурата се появят хиляда орбити (По-долу), атракторът ще се превърне в заплетена топка. За да може да се изследва вътрешната му структура, компютърът прави напречно сечение на атрактора – така нареченото сечение на Поанкаре (снимка в рамка). Тази техника намалява броя на измерванията от три на две. Всеки път, когато траекторията пресича равнината, тя оставя точка върху нея. Постепенно се появява много детайлно изображение. Извадката, показана тук, се състои от повече от осем хиляди точки, всяка от които е в орбита около атрактора. Всъщност системата се измерва на редовни интервали. Някои данни се губят, но други се разкриват в цялото им разнообразие.

Най-разбираемият и прост странен атрактор е построен от човек, който е много далеч от мистериите на турбулентността и хидродинамиката - астрономът Мишел Хенон от обсерваторията в Ница на южния бряг на Франция. Несъмнено в някои отношения астрономията даде тласък на изучаването на динамичните системи. Планетите, движещи се с точността на часовниковия механизъм, осигуряват триумфа на Нютон и вдъхновяват Лаплас. Въпреки това, небесната механика се различава значително от земната: земните системи, които губят енергия от триене, са разсейващи, което не може да се каже за астрономическите системи, които се считат за консервативни или хамилтонови. Всъщност в мащаб, близък до безкрайно малък, дори в астрономическите системи се наблюдава нещо като спиране. Това се случва, когато звездите излъчват енергия и приливното триене изчерпва кинетичната енергия на орбитиращите небесни тела. Въпреки това, за практическо удобство, астрономите пренебрегват разсейването в своите изчисления и без него фазовото пространство няма да се сгъне и свие, така че да образува безкраен брой фрактални слоеве. Не може да възникне странен атрактор. Какво ще кажете за хаоса?

Повече от един астроном е направил кариера, заобикаляйки динамичните системи, но Оенон не беше такъв. Той е роден в Париж през 1931 г., само няколко години по-късно от Лоренц. Оенон също беше от типа учен, който беше неумолимо привлечен от математиката. Той обичаше да решава малки, конкретни въпроси, които можеха да бъдат свързани с определени физически проблеми - по собствените му думи, "не това, което правят съвременните математици". Когато компютрите станаха достъпни дори за аматьори, Oenon имаше и кола. След като го събра със собствената си ръка, ученият се забавлява с компютъра. Между другото, много преди описаните събития той изучава особено труден проблем от областта на хидродинамиката. Става въпрос за сферични купове - кълбовидни звездни купове, в които броят на звездите достига милион. Това са най-старите и интересни обекти в нощното небе. Тяхната плътност е удивителна. Как такъв огромен брой звезди съжителстват в ограничено пространство и се развиват с течение на времето, астрономите се опитват да разберат през целия 20 век.

От гледна точка на динамиката, сферичен клъстер, който включва много тела, е доста важен обект на изследване. Когато става въпрос за двойка обекти, няма особени затруднения - Нютон напълно решава този проблем: всяко от двойка тела, например Земята и Луната, описва идеална елипса около общия център на тежестта на системата . Но добавете поне още един гравитационен обект и всичко се променя. Проблемът, в който фигурират три тела, вече е повече от труден. Както показа Поанкаре, в повечето случаи това е неразрешимо. Възможно е да се изчислят орбитите за определен интервал от време и с помощта на мощни компютри е възможно да се проследят за по-дълъг период до възникване на смущения, но уравненията не могат да бъдат решени аналитично, т.е. поведението на система от три тела не може да се извърши. Стабилна ли е слънчевата система? Разбира се, такова свойство му е присъщо, но дори и днес никой не е сигурен, че орбитите на някои планети няма да се променят до неузнаваемост, принуждавайки небесните тела да напуснат Слънцето завинаги.

Система като сферичния клъстер е твърде сложна, за да се подходи толкова директно, колкото въпросът за три тела. Динамиката на клъстера обаче може да бъде изследвана с някои трикове. Напълно приемливо е, по-специално, да се разглеждат единични звезди, пътуващи в космоса в някакво средно гравитационно поле с определен център на тежестта. От време на време две звезди се приближават достатъчно една до друга и в този случай всяко от взаимодействащите си тела трябва да се разглежда отделно. Астрономите разбраха, че сферичните клъстери изобщо не трябва да са стабилни: вътре в тях обикновено се образуват така наречените двойни звездни системи, в които звездите се движат по двойки в малки компактни орбити. Когато трета звезда се сблъска с такава система, една от трите обикновено ще получи рязък удар. С течение на времето енергията, получена от нея чрез това взаимодействие, ще достигне ниво, достатъчно за звездата да набере скорост, позволявайки й да избяга от клъстера. Така едно от телата напуска системата и клъстерното пространство след това леко се компресира. Когато Енон избра купа като предмет на своята докторска дисертация, той произволно предположи, че сферичен звезден куп, след като промени своя мащаб, ще остане вътрешно подобен. След като направи изчисленията, ученият получи зашеметяващ резултат: ядрото на клъстера ще се „сплеска“, придобивайки кинетична енергия и клонейки към безкрайно плътно състояние. Беше трудно да си представя такова нещо. Освен това данните от клъстерното изследване, получени по това време, не потвърждават това заключение. Въпреки това теорията на Оенон, наречена по-късно гравитационно-топлинен колапс, постепенно завладява умовете на учените.

Окуражен от резултата и готов за изненадите, много вероятни в научната работа, астрономът се обърна към по-лесните въпроси на звездната динамика. Той се опита да приложи математически подход към добре познати проблеми. Посещавайки Принстънския университет през 1962 г., Енон за първи път получава достъп до компютър и, подобно на Лоренц в Масачузетския технологичен институт, започва да моделира орбитите на звездите около техните центрове на тежест. В рамките на разумно опростяване галактическите орбити могат да се разглеждат като орбити на планети, но с едно изключение: центърът на тежестта тук не е точка, а триизмерен диск.

Енон компрометирана. "За по-голяма свобода на изследването", каза той, "нека забравим за момент, че проблемът е взет от астрономията." Въпреки че ученият не го споменава, "свободата на изследване" отчасти означава възможността да се използва компютър. Капацитетът на паметта на неговия компютър, който беше много муден, беше хиляди пъти по-малък от този на персоналните компютри, появили се двадесет и пет години по-късно. Но подобно на други специалисти, които по-късно работят върху проблемите на хаоса, Енон вярва, че един опростен подход ще се оправдае напълно. Фокусирайки се само върху самата същност на своята система, той прави открития, които могат да бъдат приложени към други, по-сложни системи. Няколко години по-късно изчисляването на галактическите орбити все още се смяташе за "забавление на теоретиците", въпреки това динамиката на звездните системи се превърна в обект на строги и скъпи изследвания. Той беше адресиран главно от онези, които се интересуваха от орбитите на частиците в ускорителите и стабилизирането на плазмата в магнитно поле.

За период от около 200 милиона години звездните орбити в галактиките придобиват три измерения, като вече не образуват идеални елипси. Реалните триизмерни орбити са също толкова трудни за визуализиране, колкото въображаемите конструкции във фазовото пространство. Това накара Хенон да прибегне до техника, сравнима с изготвянето на диаграми на Поанкаре: ученият си представи, че в единия край на галактиката плосък лист е поставен вертикално по такъв начин, че всяка орбита, подобно на кон, преминаващ през финалната линия на състезания, премина през него. Оенон отбеляза точката, в която орбитата пресича равнината, и проследи движението на точката от една орбита в друга.

Oenon маркира точките на ръка, но много хора, които използваха тази техника, вече работеха с компютри, гледайки как точките мигат на екрана като фенери, запалени една след друга привечер. Типичната орбита ще започне от точка в долния ляв ъгъл на изображението, след което при следващото завъртане, точката ще се премести няколко инча надясно, новото завъртане ще я наклони леко надясно и нагоре и т.н. каквато и да е форма в това място първоначално беше трудно, но когато броят на точките надхвърли 10-12, започна да се появява крива, наподобяваща очертанията на яйце с неговите контури. Последователно появяващите се точки всъщност образуваха кръг около кривата, но тъй като не се появяваха на едно и също място, с времето, когато броят им нарасна до сто или хиляда, кривата се очертаваше ясно.

Описаните орбити не могат да се нарекат напълно правилни, тъй като те никога не се повтарят с точност. Въпреки това няма да е грешка да ги считаме за предвидими и далеч от хаотични, тъй като точките никога не се появяват вътре в кривата или извън нея. Връщайки се към разширеното триизмерно изображение, може да се отбележи, че кривите рисуват контура на тороид или поничка, а диаграмата на Oenon е неговото напречно сечение. Засега ученият само нагледно изобразява това, което неговите предшественици смятат за вече доказано - периодичността на орбитите. В Копенхагенската обсерватория в продължение на почти двадесет години, от 1910 до 1930 г., астрономите внимателно наблюдават и изчисляват стотици орбити, но се интересуват само от периодични. „Аз, както и други по това време, бях убеден, че всички орбити трябва да се характеризират с редовност“, спомня си Хенон. Въпреки това, заедно със своя аспирант Карл Хейлс, той продължава да изчислява многобройни орбити, като постоянно увеличава енергийното ниво на своята абстрактна система. И скоро пред него се отвори нещо съвсем ново.

Отначало яйцевидната извивка започва да се огъва, придобивайки по-сложни форми и образувайки осмица. След това се раздели на няколко отделни форми, наподобяващи примка (всяка орбита беше огъната от примка). След това, на по-високи нива на енергия, се случи друга внезапна метаморфоза. „Дойде време да бъдем изненадани“, пишат изследователите. Някои от орбитите показаха такава нестабилност, че точките "подскачаха" произволно по целия лист хартия. На някои места все още се виждаха извивки, а на места точките вече не се оформяха в линии. Изображението беше впечатляващо: очевидно завършена бъркотия, в която ясно се виждаха остатъците от стабилност. Всички заедно начертаха контури, които накараха астрономите да мислят за някакъв вид „острови“ или „диапазон от острови“. Те се опитаха да работят на два различни компютъра, опитаха други методи за интеграция, но резултатите упорито не се промениха и учените можеха само да учат и да мислят.

Ориз. 5.5. Обикаля около центъра на галактиката. Опитвайки се да разбере траекториите, описани от звездите в пространството на галактиката, М. Енон разглежда пресичането на орбити с равнина. Получените изображения зависят от общото количество енергия в системата. Точките на стабилна орбита постепенно образуваха непрекъсната крива, а на други енергийни нива се разкри сложна структура - смесица от хаос и ред, представена от зони на разпръскване на точки.

Въз основа на собствените си числени данни, Enon и Heils предполагат наличието на дълбока структура в получените изображения. Те предположиха, че със силно нарастване ще се появяват все повече и повече малки острови и може би това ще продължи безкрайно дълго. Имаше спешна нужда от математическо доказателство. „Разглеждането на въпроса от гледна точка на математиката обаче не изглеждаше толкова лесно.“

Оенон се обърна към други въпроси, но четиринадесет години по-късно, след като научи за странните атрактори на Дейвид Руел и Едуард Лоренц, астрономът се заинтересува от тях. През 1976 г. той вече работи в обсерваторията в Ница, разположена високо над нивото на Средиземно море, на Големия корниз, и там чува историята на гостуващ физик за атрактора на Лоренц. Гостът, според него, се е опитал с помощта на различни трикове да изясни елегантната "микроструктура" на атрактора, без обаче да постигне осезаем успех. Оенон реши, че ще направи това, въпреки че дисипативните системи не бяха в сферата на неговите интереси ("понякога астрономите са предпазливи към тях - те са твърде разхвърляни").

Струваше му се разумно да се концентрира само върху геометричната същност на обекта на изследване, абстрахирайки се от неговия физически произход. Когато Лоренц и други са използвали диференциални уравнения, описващи непрекъснати промени в пространството и времето, Хенон е използвал диференциални уравнения, които могат да се разглеждат отделно във времето. Според дълбокото му убеждение ключът към разплитането са многократните операции по разтягане и прегъване на фазовото пространство – точно тези, които имитират действията на сладкар, който разточва тестото за сладкиши, прегъва го, после пак го разточва, прегъва. отново, като по този начин образува крехка многослойна структура. Енон, след като нарисува овал върху лист хартия и реши да го разтегне, избра алгоритъм за тази операция, според който всяка точка от овала беше преместена на нова позиция на фигурата, която се издигаше над центъра като арка . Извършената процедура беше подобна на изграждането на карта - точка по точка, овалът се превръщаше в "арка". Тогава Оенон започна втора операция - този път свиване, което избута навътре страните на арката, правейки я по-тясна. И третата трансформация върна тясната фигура в предишните й размери и тя съвпадна точно с оригиналния овал. За целите на изчислението и трите конструкции могат да бъдат комбинирани в една функция.

В духа на трансформацията на Oenon, те повториха идеята за "подковата" на Смейл. Изчисленията, изисквани от цялата процедура, бяха толкова лесни, че можеха да се извършат без затруднения на изчислителна машина. Всяка точка има две координати: хобозначавайки позицията му върху хоризонталната ос, и г, който указва позицията по вертикалната ос. За изчисляване на нова стойност за променлива х, трябва да вземете предишната стойност г, добавете 1 към него и извадете предишната стойност хна квадрат, умножено по 1,4. За изчисляване на стойността гумножете предишната стойност хс 0,3. Така получаваме: хново = г + 1–1,4х?; гново = 0,3 х. Оенон избра начална позиция почти произволно и като взе калкулатора, започна да заделя точки една по една, докато броят им достигна няколко хиляди. След това, използвайки компютъра IBM-7040, той бързо изчислява координатите на пет милиона точки. Такава операция е достъпна за всеки, тъй като изисква само персонален компютър с графичен дисплей.

Отначало точките сякаш произволно „скачат“ по екрана, създавайки същия ефект като секцията на Поанкаре, която изобразява триизмерен атрактор, „лутащ“ напред-назад по повърхността на дисплея, но достатъчно бързо, за да покаже отчетлив контур, извит като плод на банан. Колкото по-дълго работи програмата, толкова повече подробности се появяват. Изглежда, че части от рисунката дори имат дебелина. В бъдеще обаче последният се разделя на две отделни линии, които от своя страна се разделят на четири: две вървят една до друга, а другите две се отстраняват една от друга. Увеличавайки изображението, отбелязваме, че всеки от четирите споменати реда включва два и така нататък до безкрайност. Подобно на атрактора на Лоренц, атракторът на Оенон показва безкрайно движение в обратна посока, като безкраен низ от матрьошки, вложени една в друга.

Ориз. 5.6. Оенонов атрактор. Една проста комбинация от сгъване и разтягане доведе до атрактор, който е лесен за изчисляване, но въпреки това е слабо разбран от математиците. С появата на хиляди и милиони точки се появяват все повече и повече детайли. Това, което изглежда като една линия, се оказва двойка, когато се увеличи. След това се оказва, че вече има четири реда. И все пак е невъзможно да се предвиди дали две последователно появяващи се точки ще останат една до друга или ще бъдат разположени далеч една от друга.

Скритият детайл - някои линии в други - в завършен вид може да се намери в поредица от изображения, направени при все по-големи увеличения. Свръхестественото влияние на един странен атрактор обаче може да се изпита и по друг начин, като се наблюдава раждането на пунктирана форма, изплуваща като призрак от мъглата. Точките, които се появяват толкова произволно, се „разпръскват“ по повърхността на екрана, че наличието на каквато и да е структура в техния комплект, да не говорим за такава заплетена и крехка, изглежда невероятно. Всички последователно открити точки са произволно далеч една от друга, точно както всеки две точки в началото на турбулентен поток са съседни. След като сте задали произволен брой точки, е невъзможно да се предвиди къде ще се появи следващата. Човек може само да предположи, че ще бъде някъде в атрактора.

Точки с такава степен на произволност се „разпръскват“ пред очите ви и моделът изглежда толкова ефимерен, че неволно забравяте за принадлежността на наблюдаваната форма към атракторите. Тези очертания в никакъв случай не са някаква траектория, описана от динамична система; по отношение на тази траектория всички останали се събират в една точка. Ето защо изборът на начални условия няма никакво значение. Докато началната точка е близо до атрактора, следващите няколко точки ще се събират към атрактора с необичайна скорост.

Когато през 1974 г. Дейвид Руел посети Голаб и Суини в тяхната скромна лаборатория, се оказа, че нейната теория и експеримент са много слабо свързани. Предимството беше следното: малко математика, доста смела, но технически съмнителна; един цилиндър с турбулентна течност, чието поведение не е особено забележително, но явно противоречи на общоприетата теория. Учените прекараха цялата първа половина на деня в обсъждане на изследването, а след това Суини и Голъб, заедно със съпругите си, отидоха на почивка в Адирондак, където семейство Голъб имаше хижа. Те не видяха странния атрактор със собствените си очи и не разбраха много от това, което се случва на прага на турбуленцията, но бяха твърдо убедени, че Ландау греши, а Руел се приближи много до истината.

Странен атрактор, този фрагмент от вселената, станал видим благодарение на компютър, започна като проста вероятност. Той само маркира областта, в която богатото въображение на много учени от 20 век не успява да проникне. Когато компютрите свършиха работата си, експертите разбраха, че полученият образ, като лицето на отдавна познат човек, трепти навсякъде: в мелодията на бурни потоци, зад булото от облаци, покриващи небето. Природата е опитомена. Изглеждаше, че безпорядъкът е пренесен в мейнстрийма, разложен на модели, в които имплицитно се отгатва общ мотив.

Минаха години и признаването на феномена на странните атрактори проправи пътя за революция в изучаването на хаоса, давайки на участващите в изчисленията ясна изследователска програма. Странни атрактори започват да се търсят навсякъде, където се усеща безпорядък в природните явления. Мнозина твърдят, че основата на времето на планетата Земя не е нищо повече от странен атрактор. Други, събрали милиони цифри от отчетите на борсите и обработили ги на компютри, надникнаха в резултатите с надеждата и там да намерят атрактор.

В средата на 70-те години подобни открития все още принадлежаха на бъдещето. Тогава никой не видя атрактора в резултатите от експеримента, а пътеките, водещи до него, бяха покрити с мъгла. Странният атрактор, изпълнен с математическо съдържание, непознати досега основни характеристики на хаоса, по-специално "силна зависимост от началните условия". „Смес“ беше друго свойство, което имаше смисъл, да речем, за дизайнер на реактивен двигател, който се интересуваше от оптималната комбинация от гориво и кислород, но никой не знаеше как да измери такива характеристики, като им присвои числа. Странните атрактори изглеждаха фрактални, тоест истинското им измерение беше дробно. Никой не знаеше как да го измери или как да използва резултатите от такива измервания за решаване на реални инженерни проблеми.

Най-важното е, че никой не може да каже дали странните атрактори биха повдигнали завесата на тайната над нелинейните системи. Все още изглеждаше, че за разлика от линейните системи, които лесно се разрешават и класифицират, нелинейните системи не могат да бъдат класифицирани - да не се намерят две подобни. Учените вече подозираха, че имат общи свойства, но когато се стигна до измервания и изчисления, всяка нелинейна система се оказа нещо сама по себе си. Разбирането на единия от тях не даде абсолютно нищо за проникване в другия. Атракторът на Лоренц разкри стабилността и скритата структура на една система, която иначе изглеждаше напълно неструктурирана. Но как би могла тази двойна спирала да помогне на специалистите да изучават обекти, които нямат нищо общо с нея? Никой не знаеше.

Все пак учените се зарадваха. Откривателите на нови форми компрометираха строгостта на научния стил. Рюел пише: „Не съм споменавал естетическото въздействие на странните атрактори. Тези плетеници от криви и рояци точки понякога предизвикват великолепни фойерверки или мистериозни галактики, понякога приличат на причудлив бунт от растения. Пред нас е огромно царство от неоткрити форми и непознато съвършенство.

СТРАНЕН АТРАКТОР

Привличащият набор от нестабилни траектории във фазовото пространство на дисипатива динамична система. S.A., за разлика от атрактора, не е многообразие (тоест не е крива или повърхност); геом. устройството е много сложно и структурата му е фрактална (виж фиг. фрактали).Поради това той получи името. „странно“ [D. Рюел (D. Ruelle), Ф. Такенс (F. Takens)]. Фактът, че всички траектории, разположени в близост до S. a., се привличат към него при , е фундаментално свързан с природата на нестабилностите на съставните му траектории (бифуркация, граничен цикъл). ТраекторииS. а. описват стационарни стохастици. собствени трептения,поддържани в дисипативна система благодарение на енергията на външния. източник. S. a. характерни само за собствени трептения. системи, чиято размерност на фазовото пространство е повече от две (фиг. 1). Първата изследвана система със С. и. - система Лоренц-триизмерен.

Ориз. 1. Странен атрактор в система, описана с уравнения от тип (1).

Системи с периодичен собствени колебания, математика. образът на който е граничният цикъл, е възможно да се изследва доста пълно с помощта на методите на качествената теория на теорията на диференциалите. ур-ция. Изграждането на теорията стохастични колебания,състоящ се по-специално в дефинирането (прогнозирането) на характеристиките на свойствата на S. a. според зададените параметри на системата е изключително трудно дори за тримерни системи. Такава конструкция обаче може да се извърши, Пример. Точно както генераторът на Ван дер Пол е най-простият каноничен. пример за система, която демонстрира периодични. автотрептения, схема 2а и определяне на малко сложен генератор на Ван дер Пол, може да служи като един от най-простите примери за стохастични генератори. b. Докато текущата азвъв веригата и напрежението в мрежата . са малки, тунелният диод не изобразява същества. влияние върху трептенията във веригата и те, както в конвенционалния тръбен генератор, се увеличават. В този случай токът протича през тунелния диод аз, а напрежението върху него се определя от характерния клон I(V).Кога е токът аздостига стойността То,има почти мигновено превключване на тунелния диод (скоростта на превключване е свързана с малък капацитет C 1) -напрежението се настройва рязко V m .След това токът през тунелния диод намалява и той превключва обратно от секцията към . В резултат на две превключвания тунелният диод почти напълно абсорбира енергията, влизаща във веригата, и трептенията започват да растат отново. (Когато се разглежда работата на веригата, характеристиката на лампата може да се счита за линейна; това е оправдано от факта, че в режима, който ни интересува, трептенията са ограничени до нелинейната характеристика на тунелния диод.) По този начин генерираният сигнал U(t) е последователност от влакове с нарастващи трептения; краят на всеки влак се характеризира със скок на напрежението V(t).

Ориз. Фиг. 2. Схематична диаграма (a) на прост генератор на шум на Van der Pol с тунелен диод, добавен към неговата мрежа. Волт-амперна характеристика (b) на нелинеен елемент - тунелен диод.

За количествено описание на работата на веригата, първоначалните уравнения

преобразуван в безразмерна форма:

където x = I/Im, z=V/Vm,

- нормализирана характеристика на диода. Тук е малък параметър. Следователно всички движения във фазовото пространство (фиг. 3)

Ориз. 3. Поведение на траекториите във фазовото пространство на система (1) за

могат да бъдат разделени на диоди с бързо превключване (директни x = const, y= const) и бавно, при което напрежението на диода „следва“ потока; съответните траектории лежат върху повърхностите НОи B[x = f(z), f"(z) >0], съответстващи на сеченията и характеристиките на диода.

Системата има едно нестабилно [при ] равновесно състояние x = y = z= 0 тип седло. Траектории, лежащи на повърхността НО,върти се около нестабилен фокус и в крайна сметка достига до ръба на повърхността НО.Тук възниква точка на прекъсване, която отразява състоянието на системата (т.нар. представящи точки) на фазовата траектория по линията на бързи движения към повърхността AT.Преживява AT,представляваща точка се счупи обратно на повърхността НОи попада в близост до равновесното състояние - започва нова поредица от нарастващи трептения. Картата на Поанкаре, съответстваща на уравнения (1), може да се опише на части с непрекъсната функция, чиято графика е показана на фиг.5. Линеен участък I с коеф. ъгъл на наклон, по-голям от единица, описва развъртането на траекторията на повърхността на бавни движения НО,съответстващ на нарастването на трептенията във веригата. Раздел II описва етапа на връщане на траекториите A към повърхността AT,обратно към НО(Вижте фиг. 3). Всички траектории, лежащи извън основата на квадрата, обозначен с пунктирана линия, влизат в него при асимптотично големи стойности на времето, т.е. д- абсорбиращ и съдържа атрактор. Всички траектории в тази област са нестабилни, т.е. атракторът е странен. свойствата на стохастичността на движенията (както показват числените изследвания) се запазват.

Ориз. 4. Спектър на мощността на сигнала, генериран от схемата, показана на фиг. 2а и осцилограмата на този сигнал.

Ориз. 5. Графика на функцията f(x), която описва динамиката на веригата на фиг. 2 в .

Фрактално измерение. Цялото разнообразие от статистики. свойства на случаен сигнал, генериран динамично. система със S. a., може да бъде описана, ако е известно разпределението на вероятностите на състоянията на системата. Въпреки това е изключително трудно да се получи (и използва) това разпределение за специфични системи със S.A. (дори само защото плътността на разпределение на инвариантна вероятностна мярка винаги е единична). Това е една от причините за описанието на С. и.

където , някакъв фиксиран параметър, е числото н-дименсионни топки с диаметър, покриващ S. a. динамичен системи с н-дименсионално фазово пространство.

Размерът, определен съгласно уравнение (2) сочевидно не може да бъде n, но може да бъде по-малко П(н-дименсионалните топки може да са почти празни). За "обикновени" комплекти уравнение (2) дава очевидни резултати. И така, за набор от кточки,; за участък от дължина Лправа лилия,;за парче квадрат Сдвумерна повърхнина и др. Неравенството на размерността на цяло число съответства на сложна геом. 2.6).

С физически гледна точка, особено "достойнство" на фракталното измерение на S. a. и броят на степените на свобода ra има формата:

Бифуркации странни атрактори.Начини на раждане на стохастика. Фейгенбаум сценарий - верига бифуркацииудвояване на периода на стабилен граничен цикъл. Ако при промяна на контролния параметър периодичният В n-измерно фазово пространство поведението на траекториите на картата на Поанкаре в близост до периода на граничния цикъл, подложен на бифуркация на удвояване, се определя от функцията, например, f(x),графиката е подобна на парабола. Тази функция описва връзката между координатите в посоката на имота. подпространства на оператора за линеаризация на картата на Поанкаре, съответстваща на множителя (-1) ( j+ 1)-goi на j-тото пресичане на траекторията на секущата на Поанкаре: xj+1= f(xj).Възникващият устойчив граничен цикъл на двоен период съответства на двупериоден. път на показване f.При по-нататъшна промяна на параметъра на бифуркацията, удвояванията на периода се повтарят безкрайно и бифуркациите. стойности, например, се натрупват до критични точка, съответстваща на появата на S. a. В съответствие със сценария на Фейгенбаум съществува универсален (независим от конкретна система) закон

където \u003d 4.6692 ... е универсалната константа на Фейгенбаум (виж. универсалност на Фейгенбаум).

Роден S. a. при фиксирани отговори няколко. интервали по оста Х;участъците между тези интервали съдържат траектории, привлечени от атрактора, а също 2 м-периодични (спрямо дисплея f), нестабилни гранични цикли, като се започне от някои m0и по-малко. С увеличаване на параметъра скоростта на траекториите на S. a. нараства и той „набъбва“, последователно поглъщайки нестабилни гранични цикли от периоди 2 t+1 ,2 t, ... В този случай броят на сегментите, съответстващи на атрактора,

Ориз. 6. "Обратни бифуркации" на удвояване на периода, илюстриращи издуването на атрактора, възникнал според сценария на Фейгенбаум.

Прекъсваемост. В много системи по време на преминаването на контролния параметър (да речем) през бифуркация. преход на стойност към стохастик. собствени колебания, външно извършени като рядко нарушение на редовните колебания "стохастични". пръски." В този случай продължителността на ламинарната (редовна) фаза е толкова по-голяма, колкото по-ниска е суперкритичността.С увеличаването на суперкритичността продължителността на редовната фаза намалява. Тази картина се тълкува чрез следната еволюция на основните. обекти във фазовото пространство, те "забелязват", че старият атрактор е изчезнал и, оставайки близо до сепаратриса (също изчезнал) на седловиден граничен цикъл, те отиват в друга част от фазовото пространство. Ако в подкритичен Ако системата беше глобално стабилна (т.е. имаше само един привличащ обект), тогава тези траектории след известно време отново попадат в близост до изчезналия граничен цикъл. Ако в същото време в подкритичен. диапазонът от стойности на параметрите на сепаратриса на цикъла на седлото беше вграден във фазовото пространство от доста сложна геом. начин (формира безкраен брой гънки - „гофрирани“, съдържа хетероклинни траектории на други седловидни цикли и т.н.), т.е. преходният процес показва неправилно поведение, тогава времето, необходимо за навлизане в близост до изчезналия цикъл, ще вече е случайна променлива. Освен това се повтаря ламинарната фаза.В допълнение към тези основни начини за възникване на S., a. Доста често има и преходи към хаотичен. автоколебания чрез разрушаване на квазипериодични (във фазовото пространство, когато параметрите на управление се променят, той губи гладкост и привличащият двуизмерен тор се разрушава) и комбинирани сценарии.

Многоизмерен странни атракторичесто се срещат в системи с голям брой степени на свобода. Сред възможните механизми, Турбуленция).

Лит.: 1) Рабинович М. И., Трубецков Д. И., Въведение в теорията на трептенията и вълните, М., 1984; 2) А. Лихтенберг, М. Либерман, Регулярна стохастична динамика, прев. от англ., М., 1984; 3) Афраимович В. С., Рейман А. М., Размерност и ентропия в многомерни системи, в книгата: Нелинейни вълни. Динамика и еволюция, изд. А. В. Гапонов-Грехов, М. И. Рабинович, В. С. Афраимович, М.

• скитане, пребиваване в чужда страна...

  Кратък църковнославянски речник

• - виж Синергетика...

  Голяма психологическа енциклопедия

• - странен старши-слава. странен ξένος. От предишни...

  Етимологичният речник на Васмер

• - Заемане от старославянски, където се формира от страната, която на староруския език има значението "чужда страна, чужд народ" ...

  Етимологичен речник на руския език от Крилов

• - A/C pr вижте _Приложение II странно странно странно странно по-странно 259 вижте _Приложение II - Защо говорите толкова неблагоприятно за него? За това, че сме неспокойно суетящи се, преценявайки всичко ... & GT ...

  Речник на руските ударения

• - кр.ф. страна / нен, странно /, страна / нно, държава / нн ...

  Правописен речник на руския език

• - СТРАННО, та, та; -anen, -anna, -anno. Необичайно, неразбираемо, озадачаващо. В. характер. В. изглед. Намирам поведението му за странно. Учудвам се, че не се обажда...

  Обяснителен речник на Ожегов

• - СТРАНЕН, странен, странен; странно, странно, странно. 1. Необичаен, труден за обяснение, озадачаващ. Странен начин на говорене. Странни погледи. „Тихите срещи бяха странни...

  Обяснителен речник на Ушаков

• Обяснителен речник на Ефремова

• - странно I прил. Необичайно, озадачаващо. II прил. остарели По пътя; странно, странно...

  Обяснителен речник на Ефремова

• - странно прил., изп. много често Морфология: странно, странно, странно, странно; непознат; нар. странно 1...

  Речник на Дмитриев

• - str "данни; кратка форма -" anen, -ann "a, -" ...

  Руски правописен речник

• - Заеми. от ст.-сл. език суф. произлиза от страна в значението на "чужда страна, хора", в други руски. език тази стойност все още е известна. Първоначално - "извънземно", "извънземно", след това - "необичайно, неразбираемо", ...

  Етимологичен речник на руския език

• - @font-face (шрифт-семейство: "ChurchArial"; src: url;) span (font-size:17px; font-weight:normal !important; шрифт-семейство: "ChurchArial",Arial,Serif;)   прил. - скитник, скитник; аутсайдер, странник; невероятно...

  Църковнославянски речник

• - ...

  Словоформи

• - точка...

  Речник на синонимите

"СТРАНЕН АТРАКТОР" в книгите

странен вкус

автор

странен вкус

От книгата Малки планински работници [Мравки] автор Мариковски Павел Юстинович

Странен вкус, но трябва ли да опитате да запазите гнездо на жълт лазиус в плен? В късната есен окачвам парчета памучна вата близо до няколко гнезда на храстите. И когато дойде зимата, ние караме ски за обитателите на подземните жилища.

Странен резерват

От книгата Моите пътувания. следващите 10 години автор Конюхов Федор Филипович

Strange Reserve 24 април 2002 г. Атсан-Худук (Калмикия, Яшкулска област) - Ти (Калмикия, Яшкулска област) - 31 км керван на територията на резервата Черни земи. Обхваща три региона на Русия - Република Калмикия, Астраханската област и Републиката

СТРАННА КЪЩА

От книгата Червения дявол автор Демин Михаил

СТРАННА КЪЩА Останал сам, разпръснах книжата на масата. Седна, пуши. И се замислих, прегледах в паметта си събитията от деня, опитвайки се да ги проумея. И изведнъж, незнайно защо, пред мен се появи видение от детството. Не съм нарекъл тази памет, тя дойде сама ... Нашата памет е като

Странен сън

От книгата Генерал Дима. кариера. Затвор. любов автор Якубовская Ирина Павловна

Странен сън ... Никога няма да забравя този сън. Сънувах го на 13 март, от четвъртък до петък. Сякаш Дима беше на село, а аз бях сама вкъщи. Изведнъж ми се прииска да го изненадам - ​​да го зарадвам с неочакваното си идване. Приближавайки се до дачата, видях ярко осветена

СТРАНЕН СВЯТ

От книгата Такава е моята възраст автор Шаховская Зинаида Алексеевна

СТРАНЕН СВЯТ Господа, шоуто свърши. Добродетелта, извинете, порокът се наказва, но добродетелта ... Но къде

ОБЕКТЪТ КАТО СТРАНЕН АТРАКТОР

От книгата Прозрачност на злото автор Бодрияр Жан

ОБЕКТЪТ КАТО СТРАНЕН АТРАКТОР В крайна сметка образите на всичко, което ни е чуждо, се въплътяват в един единствен образ – в образа на Обекта. Неумолимостта и иредентизма на обекта е единственото нещо, което остава.Дори на хоризонта на науката, обектът изглежда все по-неуловим,

Какво е „Великият атрактор“?

От книгата 100 велики мистерии на астрономията автор Волков Александър Викторович

Какво е „Великият атрактор“? До началото на 20 век нашата Галактика се смяташе за уникален обект. Днес знаем, че може би има най-малко 125 милиарда галактики в частта от Вселената, достъпна за нашето наблюдение. Всяка съдържа милиарди или трилиони.

Голям привличащ, или супер привличане

От книгата 100 велики тайни на вселената автор Бернацки Анатолий

Голям атрактор или суперпривличане В началото на последното десетилетие на миналия век астрономите установиха, че галактиките се разлитат в космоса не една по една, а в огромни клъстери, като ята птици по време на полети. И така, Млечният път заедно с

"Странен" подарък

От книгата Innocent Reading автор Костирко Сергей Павлович

"Странен" подарък Сергей Довлатов. „Реч без повод... или редакторска колона“. М .: Махаон, 2006. С всички доказателства за литературния дар на Сергей Довлатов, този дар е странен. Критикът Елисеев, за да анализира един от своите разкази, е бил принуден да използва контекста, нито повече, нито по-малко.

СТРАННО КУЧЕ

От книгата Restless Nosir автор Ортиков Болт

СТРАННО КУЧЕ Нашето село Чинор се намира в подножието на високи планини. „Чинор” на таджикски означава „чинар”. Селото е наречено така вероятно защото в самия му център, до борда на колхоза, расте висок гъст чинар. Тя се вижда далече, далече! В сянката на чинар - чайна и

атрактор за махмурлук

От книгата Критика на нечистия разум автор Силаев Александър Юриевич

Атрактор на махмурлук Процесът на връщане към себе си от махмурлук е интересен: първо се възстановява функцията за мислене и вземане на решения, след това писане и едва след това четене (писането вече е нормално, но четенето е скрап). Но това е лично за мен. Това означава ли нещо или е? И банално: ако

1. Странен свят

От книгата Фокнър - Есе за творчеството автор Анастасиев Николай Аркадиевич

1. Странен свят Отваряйки почти всеки от романите на Фокнър, вие веднага усещате, че се намирате в огромна, значима, богата страна, в страна, която живее изключително интензивен живот, страна, чиито проблеми имат значение - изключително. Но за да дешифрирате законите на това

"Аз съм странен, странен"

От книгата Живата традиция на ХХ век. За светците и подвижниците на нашето време автор Никифорова Александра Юриевна

„Странно аз, странно“ Зураб Варази: Няколко дни преди смъртта на отец Гавриил реших да взема кръвта му за анализ. Когато го попитах за това, свещеникът отговори: „Защо ви трябва кръв?“ Обясних, че е необходимо да се провери хемоглобин, функция на черния дроб и т.н.

Странно

От книгата Дъщерята на генерала автор Петров Александър Петрович

Странната възрастна жена Харина залови Наташа. Така тя се обяви. Наташа помагаше на бавачката с домакинската работа и слушаше възрастната жена, която не можеше да каже достатъчно „най-накрая“. Сергей закова нещо някъде, оправи го и се отправи към храма, просто затвори портата след себе си,