Конструирайте скици на повърхността на цилиндрична повърхност на въртене. Конична повърхност

Теорема.

Разстояние от точка до линия, дадена точка и насочен вектор могат да бъдат намерени по формулата

.

А разстояние между две пресичащи се линиисе намира по формулата

.

Повърхност на въртенее повърхност, която заедно с всяка своя точка съдържа цялата окръжност, получена чрез въртене на тази точка около някаква фиксирана линия. Правата линия, около която се извършва въртене, се нарича ос на въртене. Въртенето на точка около ос се извършва в равнина, перпендикулярна на оста. В сечението на повърхността на въртене с равнини, перпендикулярни на оста на въртене, се получават кръгове, които се наричат паралели. Равнините, минаващи през оста на въртене, пресичат повърхността на въртене по линии, наречени меридиани.

Теорема. IN правоъгълна системакоординатно уравнение

е уравнението на повърхността на въртене, образувана от въртене около оста на линията, дадени от уравненията

Цилиндрична повърхностили цилиндъре повърхност, която заедно с всяка точка съдържа цялата права, минаваща през точката, успоредна на даден ненулев вектор. направо, успореден на вектораи принадлежащи на цилиндрична повърхнина се наричат формиранетази повърхност.

Цилиндричната повърхност може да бъде оформена по следния начин. Нека е някаква права и нека е ненулев вектор. Повърхнината, образувана от всички прави линии, всяка от които минава през определена точка от линията, успоредна на вектора, ще бъде цилиндрична. В този случай линията се извиква ръководствотова са повърхности.

Ако е избрана правоъгълна координатна система, така че генераторите на цилиндричната повърхност от втори ред да са успоредни на оста и водачът в системата да има канонично уравнение, тогава цилиндричните повърхности се дефинират, както следва.

- елиптичен цилиндър;

- хиперболичен цилиндър;

- параболичен цилиндър;

-цилиндър, разделен на двойка равнини, пресичащи се по оста;

- цилиндър, разделен на двойка успоредни равнини;

- цилиндър, който е двойка слети равнини.

Тези уравнения се наричат канонични уравнениясъответни цилиндрични повърхности от втори ред.

Ако в каноничното уравнение на елиптичен цилиндър, тогава водачът на цилиндъра е окръжност, лежаща в равнината. В този случай повърхността е ротационен цилиндър.

Конична повърхностили конусс връх в точка е повърхност, която има свойството, че заедно с всяка своя точка, различна от точката, тази повърхност съдържа линия.

Нар. прави, минаващи през върха на конус и лежащи върху него формиранетози конус.

Нека разгледаме права и точка в пространството, които не лежат на правата. Повърхнината, образувана от всички прави линии, всяка от които минава през точка и през някаква точка от правата, е конична повърхнина с връх.

В този случай линията се извиква ръководство.

Да разгледаме конична повърхност с връх в началото на правоъгълна координатна система, чийто водач е елипса:

.

Нека намерим уравнението на тази повърхност. Нека точка, различна от точката, принадлежи на конуса. Тогава правата линия ще пресече водача в даден момент. Тъй като и двата вектора са колинеарни, има такова реално число, че , или в координати:

От тук намираме

.

Замествайки получените изрази в първото от равенствата, след прости трансформации намираме:

.

И така, координатите на всяка точка от конуса удовлетворяват това уравнение. Също така е лесно да се провери, че ако една точка не принадлежи на конуса, тогава нейните координати не отговарят на това уравнение.

Така получихме уравнение от втора степен, така се нарича конусът конус от втори ред.И самото уравнение се нарича канонично уравнение на конична повърхност от втори ред.

В случая, когато водачът на конична повърхност от втори ред е кръг, т.е. когато , уравнението приема формата

.

Повърхнината, определена от това уравнение в правоъгълна координатна система, се нарича кръгла конична повърхностили кръгъл конус.

Практически упражнения:

Тема 1:

Тема 2:

Тема 3:

Тема 4:

Тема 5:

Тема 6:

Тема 7:

Тема 8:

Тема 9:

Тема 10:

Тема 11.

Тема 12.

Тема 13.

Тема 14.

Тема 15.

Самостоятелна работаученици:

Тема 1:Бинарни операции върху множество. Концепцията за група, пръстен и поле. Примери. Поле от комплексни числа. № 101 – 113, 17 – 18 б. ; No 2.8, 2.10, 2.13, 2.15-2.21, 18-20 б.

Тема 2:Операции с комплексни числа. Алгебрична и тригонометрична форма комплексно число. № 118 – 119, 136 – 140, 19 -20 б., № 2.22 – 2.23, 2.26 – 2.28, 2.46-2.50, 20 – 23 б.

Тема 3:Пермутации и замествания. Заместваща група. Циклични замествания. № 219 -221, 223, № 410 / 28 – 29, 55 -56 б. № 3.2 – 3.6, 3.38 / 26 – 27, 33 b

Тема 4:Матрици и операции върху тях. Детерминанти от втори и трети ред. № 235 – 240, 243 – 245, 231-232 / 31-32 б., № 3.24-3.27, 3.30 (1,2) / 29-30 б.

Тема 5:Детерминанти и техните свойства. Непълнолетни и алгебрични добавки. Определители от n-ти ред № 231–232, 266–267, 273–280, № 374, 31, 35–37, 48 б., № 442 / 61 б. , No 3.30–3.31 / 30–31 б., No 4.24–4.28 / 44-45 б.

Тема 6:Обратна матрица и методи за нейното изчисляване. Матрични уравнения. № 400, 410–411 / 55–56 б. , № 3.38–3.40 / 33–34 б.

Тема 7:системи линейни уравнения. Аритметично n-мерно векторно пространство. Метод на Гаус. Правилото на Крамър. № 443–447 / 62–64 б. , № 4.18–4.19, 4.64 / 41 – 43, 51 б.

Тема 8:Полиноми в една променлива НОД на полиноми. Корени на полиноми. Формулите на Виета. Основната теорема на алгебрата и нейното следствие. № 400–402 / 53–54 б. , № 443–447, 449 / 62 – 64 б. No 3.55-3.59, 4.18 - 4.19, 4.64 /36-37, 41-43, 51 б.

Тема 9:Вектори. Основа векторно пространство. № 650, 167, 173 /89, 22 – 23 б. , No 11.59, 11.60, 11.65, 11.74 – 11.77, 11.81 – 11.86 / 123 – 125 б.

Тема 10:Скаларно, векторно и смесено произведение на вектори. 104, 114, 117, 118, 124, 424, 428, 445 (1,3,6), 446 (1,3), 454, 462, 468 (1,3), 473, 487 (1), 489 ( 1.3) .

Тема 11.Права на равнина. Различни видовеуравнения на равнината. Разстояние от точка до равнина. Относителното положение на две прави линии. 279(a, c), 282(a, c), 289(a, c), 294(a), 552, 553.

Тема 12.Криви от втори ред. Елипса, хипербола, парабола. Заключение канонични уравнения. 376, 379, 392, 403, 477(a, c), 479, 486, 507(a), 515, 558(1.3), 559(1.3), 564(1, 3), 567, 584 (1), 585(1), 598, 600(1).

Тема 13.Самолет в космоса. Различни видове равнинни уравнения. Разстояние от точка до равнина. Относителното положение на две равнини. 756, 758(a, c), 764(a, c), 765(a, c), 767(a, c), 794(a, c), 796(a, c), 798, 713, 715, 718(1), 719(1), 728(1, 3), 730(1), 733(1, 3).

Тема 14.Права линия в пространството. Различни видове уравнения. Относителното положение на две прави линии. 1058(a), 1059(a, c), 1060(a), 1066(a), 1068(a), 1113(a), 1116(a), 1122(a), 624(1, 3), 625 (1,3), 630(1), 632, 645(1).

Тема 15.Повърхнини от 2-ри ред. Повърхнини на въртене. Цилиндрични повърхности. Конични повърхности. 1252, 1254 (a, c), 1256, 769, 770 (1), 771, 775 (1).

ориз. 3.15

Повърхностите на въртене имат много широко приложение във всички области на техниката. Повърхност на въртене е повърхност, получена от въртенето на определена генерираща линия. 1 около фиксирана линия аз- ос на въртене на повърхността (фиг. 3.15). На чертежа повърхността на въртене се уточнява чрез нейния контур. Контурът на повърхността е линиите, които ограничават площите на нейните проекции. При въртене всяка точка от генератора описва окръжност, чиято равнина е перпендикулярна на оста. Съответно линията на пресичане на повърхността на въртене с равнина, перпендикулярна на оста, е кръг. Такива кръгове се наричат ​​паралели (фиг. 3.15). Паралелът на най-големия радиус се нарича екватор, най-малкият - гърлото. Равнината, минаваща през оста на повърхността на въртене, се нарича меридионална, линията на нейното пресичане с повърхността на въртене се нарича меридиан. Меридианът, разположен в равнина, успоредна на равнината на проекциите, се нарича главен меридиан. В практиката на изготвяне на чертежи най-често се срещат следните повърхности на въртене: цилиндрична, конична, сферична, торична.

ориз. 3.16

Цилиндрична повърхност на въртене. Като ръководство Атрябва да вземе кръг и като права линия b- ос аз(фиг. 3.16). Тогава откриваме, че генераторът л, успоредна на оста аз, се върти около последния. Ако оста на въртене е перпендикулярна хоризонтална равнинапрогнози, след това нататък П 1 цилиндрична повърхност се проектира в кръг и върху П 3 - в правоъгълник. Главният меридиан на цилиндрична повърхност е две успоредни линии.

Фигура 3.17

Конична повърхност на въртенеполучаваме чрез завъртане на праволинейната образуваща локоло оста аз. В този случай, образуващата лпресича оста азв точката С, наречен връх на конуса (фиг. 3.17). Основният меридиан на коничната повърхност е две пресичащи се прави линии. Ако вземем права отсечка за образуваща и оста на конуса е перпендикулярна П 1, след това нататък П 1 конична повърхност се проектира в кръг и върху П 2 - в триъгълник.

Сферична повърхностсе образува поради въртенето на окръжността около ос, минаваща през центъра на окръжността и лежаща в нейната равнина (фиг. 3.18). Екваторът и меридианите на сферична повърхност са равни кръгове. Следователно, когато се проектира ортогонално върху която и да е равнина, сферичната повърхност се проектира в кръгове.

ориз. 3.18Когато една окръжност се върти около ос, лежаща в равнината на тази окръжност, но не минаваща през нейния център, се образува повърхност, наречена тор (фиг. 3.19).

ориз. 3.19

11. ПОЗИЦИОННИ ПРОБЛЕМИ ЗА ПРИНАДЛЕЖНОСТ НА ТОЧКА, ЛИНИЯ НА ПОВЪРХНОСТ. Под позиционносе отнася до проблеми, чието решение ни позволява да получим отговор дали даден елемент (точка) или подмножество (линия) принадлежи към множество (повърхност). Позиционните задачи включват и задачи за идентифициране на общи елементи, принадлежащи към различни геометрични форми. Първата група проблеми могат да се обединят под общото наименование проблем за членството. В частност, това са задачи за определяне на принадлежност на дадена точка към повърхнина; 3) принадлежност на дадена линия към повърхнина. Тази група също съдържа три типа задачи: 1) за пресичане на права с повърхнина; 3) за пресичане на права с повърхнина. Принадлежност на точка към повърхнина . Основната точка при решаването на проблеми за тази опция за аксесоар е следната: : точка принадлежи на повърхност, ако принадлежи на която и да е линия от тази повърхност. В този случай линиите трябва да бъдат избрани възможно най-прости, за да се улесни конструирането на проекции на такава линия, след което използвайте факта, че проекциите на точка, разположена на повърхността, трябва да принадлежат на същите проекции на линията на тази повърхност . Примерно решение на този проблем е показано на фигурата.. Тук има две решения, тъй като могат да се начертаят две прости линии, които принадлежат на коничната повърхност. В първия случай се начертава права линия - образуващата на коничната повърхност S1, така че да минава през всяка дадена проекцияточка C. Следователно приемаме, че точка C принадлежи на коничната повърхност, генерираща S1, и следователно на самата конична повърхност. В този случай едноименните проекции на точка C трябва да лежат на съответните проекции на тази образуваща. Друга най-проста линия е окръжност с диаметър 1-2 (радиусът на тази окръжност се измерва от оста на конуса до. контурната образуваща). Този факт е известен от училищен курс по геометрия: когато кръгъл конус се пресича с равнина, успоредна на основата му или перпендикулярна на оста му, ще се получи кръг в напречно сечение. Вторият метод на решение ви позволява да намерите липсващата проекция на точка C, определена от нейната фронтална проекция, принадлежаща на повърхността на конуса и съвпадаща на чертежа с оста на въртене на конуса, без да се конструира трета проекция. Винаги трябва да имате предвид дали дадена точка, лежаща на повърхността на конус, е видима или невидима (ако не е видима, съответната проекция на точката ще бъде оградена в скоби). Очевидно е, че в нашата задача точка C принадлежи на повърхността, тъй като проекциите на точката принадлежат на проекциите на едноименните линии, използвани за решението както в първия, така и във втория метод на решение. Принадлежност към повърхностна линия. Основна точка: права принадлежи на повърхност, ако всички точки на линията принадлежат на дадена повърхност. Това означава, че в този случай на членство проблемът за принадлежността на точка към повърхност трябва да бъде решен няколко пъти. Торема Мондж: ако две повърхности от втори ред са описани около една трета или вписани в нея, тогава линията на тяхното пресичане се разделя на две криви от втори ред, равнините на които преминават през правата линия, свързваща пресечните точки на допирателната окръжност.

12. СЕЧЕНИЯ НА КОНУСА НА ВЪРТЕНЕ С ПРОЕКЦИОННИ РАВНИНИ . При пресичане на повърхноститела чрез проектиращи равнини, едната проекция на сечението съвпада с проекцията на проектиращата равнина. Един конус може да има пет различни форми на напречно сечение. Триъгълник- ако сечащата равнина пресича конуса през върха по две образуващи. кръг- ако равнината пресича конуса успоредно на основата (перпендикулярно на оста). Елипса- ако равнината пресича всички образуващи под определен ъгъл. Парабола- ако равнината е успоредна на една от образуващите на конуса. Хипербола- ако равнината е успоредна на оста или две образуващи на конуса. Разрез на повърхнина с равнинапредставлява плоска фигура, ограничено затворена линия, всички точки от които принадлежат както на сечащата равнина, така и на повърхността. Когато равнина пресича многостен в сечение, се получава многоъгълник с върхове, разположени по ръбовете на многостена. Пример. Построете проекции на правата L на пресечната повърхност на прав кръгов конус ω с равнината β. Решение. Разрезът образува парабола, чийто връх е проектиран в точка A (A′, A′′). Точките A, D, E на пресечната линия са крайни. На фиг. изграждането на желаната пресечна линия се извършва с помощта на хоризонтални равнини на нивото αi, които пресичат повърхността на конуса ω по паралелите pi, а равнината β - по сегментите на фронтално изпъкнали прави линии. Пресечната линия L е напълно видима на равнините.

№13.Коаксиални повърхности. Метод на концентричните сфери.

При конструирането на линия на пресичане на повърхности, особеностите на пресичането на коаксиални повърхности на въртене позволяват използването на сфери, коаксиални с тези повърхности, като помощни междинни повърхности. Коаксиалните повърхности на въртене включват повърхности, които имат обща ос на въртене. На фиг. 134 показва коаксиален цилиндър и сфера (фиг. 134, a), коаксиален конус и сфера (фиг. 134, b) и коаксиален цилиндър и конус (фиг. 134, c)

Коаксиалните повърхности на въртене винаги се пресичат по окръжности, чиито равнини са перпендикулярни на оста на въртене. Има толкова много от тези кръгове, общи за двете повърхности, колкото са точките на пресичане на контурните линии на повърхностите. Повърхностите на фиг. 134 се пресичат по окръжности, създадени от точки 1 и 2 от пресечната точка на главните им меридиани. Спомагателна междинна сфера пресича всяка от дадените повърхности по окръжност, при пресичането на която се получават точки, които принадлежат на другата повърхност, а следователно и на пресечната линия. Ако осите на повърхностите се пресичат, тогава спомагателните сфери се изтеглят от един център - точката на пресичане на осите. В този случай линията на пресичане на повърхности се изгражда по метода на спомагателните концентрични сфери. При конструиране на линия на пресичане на повърхности за използване на метода на спомагателните концентрични сфери трябва да бъдат изпълнени следните условия: 1) пресичане на повърхности на въртене 2) оси на повърхности - пресичащи се прави линии - успоредни на една от проекционните равнини, т.е. има обща равнинасиметрия; 3) не можете да използвате метода на спомагателните режещи равнини, тъй като те не осигуряват графично прости линии на повърхности. Обикновено методът на спомагателната сфера се използва в комбинация с метода на спомагателната режеща равнина. На фиг. 135 е построена линия на пресичане на две конични повърхнини на въртене с оси на въртене, пресичащи се във фронталната равнина на ниво Ф (Ф1). Това означава, че главните меридиани на тези повърхности се пресичат и при тяхното пресичане дават точката на видимост на пресечната линия спрямо равнината P2 или най-високата A и най-ниската точка B. В пресечната точка на хоризонталния меридиан h и паралела h", лежащ в една спомагателна сечна равнина Г(Г2), се определят точките на видимост C и D на пресечната линия спрямо равнината P1. Не е целесъобразно да се използва спомагателна сечна равнина равнини за изграждане на допълнителни точки на пресечната линия, тъй като равнините, успоредни на Ф, ще пресичат двете повърхности по хиперболи, а равнините, успоредни на Г, ще създадат окръжности и хиперболи в пресечната точка на спомагателни хоризонтално или фронтално проектирани равнини, начертани през върха на едната от повърхнините ще ги пресичат по образуващи и елипси B. в този примерса изпълнени условия, които позволяват използването на спомагателни сфери за изграждане на точки на пресечната линия. Осите на повърхностите на въртене се пресичат в точка O (O1; O2), която е центърът на спомагателните сфери, радиусът на сферата варира в рамките на Rmin< R < Rmах- Радиус максимальной сферы определяется расстоянием от центра О наиболее удаленной точки В (Rmax = О2В2), а радиус минимальной сферы определяется как радиус сферы, касающейся одной поверхности (по окружности h2) и пересекающей другую (по окружности h3).Плоскости этих окружностей перпендикулярны осям вращения поверхностей. В пересечении этих окружностей получаем точки Е и F, принадлежащие линии пересечения поверхностей:

h22 ^ h32 = E2(F2); E2E1 || A2A1; E2E1 ^ h21 =E1; F2F ^ h1 = F1 Междинна сфера с радиус R пресича повърхностите по окръжности h4 и h5, в пресечната точка на които са точките на Mie N: h42 ^ h52 = M2(N2); M2M1 || A2A1, M2M1 ^ h41 = M1; N2N1 ^ h41 = N1 Чрез свързване на проекциите на построените точки със същото име, като се вземе предвид тяхната видимост, получаваме проекциите на линията на пресичане на повърхностите.

номер 14. изграждане на линия на пресичане на повърхности, ако поне една от тях е издадена. Характерни точки на пресечната линия.

Преди да започнете да конструирате линията на пресичане на повърхности, е необходимо внимателно да проучите условията на проблема, т.е. какви повърхности се пресичат. Ако една от повърхностите е издадена, тогава решението на проблема е опростено, т.к на една от проекциите пресечната линия съвпада с проекцията на повърхността. И задачата се свежда до намиране на втората проекционна линия. Когато решавате проблем, първо трябва да отбележите „характерните“ точки или „специалните“ точки. това:

· Точки на екстремни генератори

Точки, разделящи линия на видими и невидими части

· Горни и долни точки и т.н. След това трябва разумно да изберете метода, който ще използваме, когато конструираме линията на пресичане на повърхности. Ще използваме два метода: 1. спомагателни режещи равнини. 2. спомагателни секущи сфери. Проекционните повърхности включват: 1) цилиндър, ако оста му е перпендикулярна на равнината на проекцията; 2) призма, ако ръбовете на призмата са перпендикулярни на равнината на проекцията. Проекционната повърхност се проектира в една линия върху проекционната равнина. Всички точки и линии, принадлежащи към страничната повърхност на изпъкналия цилиндър или изпъкналата призма, се проектират в права върху равнината, към която е перпендикулярна оста на цилиндъра или ръба на призмата. Пресечната линия на повърхнините принадлежи на двете повърхнини едновременно и ако една от тези повърхнини е издадена, тогава може да се използва следното правило за конструиране на пресечната линия: ако една от пресичащите се повърхнини е издадена, тогава едната проекция на пресечната линия е в чертежа в завършен вид и съвпада с проекцията на проектиращата повърхност (окръжността, в която се проектира цилиндърът или многоъгълникът, в който се проектира призмата). Втората проекция на пресечната линия се конструира въз основа на условието, че точките на тази линия принадлежат на друга непроектираща се повърхност.

Разгледаните характеристики на характерните точки улесняват проверката на правилността на конструкцията на линията на пресичане на повърхности, ако тя е конструирана с помощта на произволно избрани точки. В този случай десет точки са достатъчни, за да начертаете гладки проекции на пресечната линия. При необходимост могат да се конструират произволен брой междинни точки. Изградените точки са свързани с гладка линия, като се вземат предвид характеристиките на тяхното положение и видимост. Да формулираме общо правилоизграждане на линията на пресичане на повърхности: изберете вида на спомагателните повърхности; конструирайте линии на пресичане на спомагателни повърхности с дадени повърхности; намерете пресечните точки на построените линии и ги свържете една с друга. Избираме спомагателни режещи равнини по такъв начин, че да се получат геометрично прости линии (прави или кръгове) в пресечната точка с дадените повърхности. Избор на помощни сечащи равнини. Най-често проекционните равнини, по-специално равнините на нивото, се избират като спомагателни режещи равнини. В този случай е необходимо да се вземат предвид пресечните линии, получени на повърхността в резултат на пресичането на повърхността с равнина. Така че конусът е най-сложната повърхност по отношение на броя на линиите, получени върху нея. Само равнини, минаващи през върха на конуса или перпендикулярни на оста на конуса, го пресичат съответно по права линия и кръг (геометрично най-простите линии). Равнина, успоредна на една образуваща, я пресича по парабола, равнина, успоредна на оста на конуса, я пресича по хипербола, а равнина, пресичаща всички образуващи и наклонена към оста на конуса, я пресича по елипса. На сфера, когато се пресича с равнина, винаги се получава кръг, а ако се пресича с равнинна равнина, тогава този кръг се проектира върху равнината на проекцията съответно в права линия и кръг. И така, като спомагателни равнини избираме хоризонтални равнини на ниво, които пресичат както конуса, така и сферата в кръгове (най-простите линии). някои специални случаиповърхностни пресичанияВ някои случаи местоположението, формата или съотношенията на размерите на извитите повърхности са такива, че не са необходими сложни конструкции за изобразяване на линията на тяхното пресичане. Те включват пресичане на цилиндри с успоредни образуващи, конуси с общ връх, коаксиални повърхнини на въртене, повърхнини на въртене, описани около една сфера.

ориз. 3.15

Повърхностите на въртене имат много широко приложение във всички области на техниката. Повърхност на въртене е повърхност, получена от въртенето на определена генерираща линия. 1 около фиксирана линия аз- ос на въртене на повърхността (фиг. 3.15). На чертежа повърхността на въртене се уточнява чрез нейния контур. Контурът на повърхността е линиите, които ограничават площите на нейните проекции. По време на въртене всяка точка от генератора описва окръжност, чиято равнина е перпендикулярна на оста. Съответно линията на пресичане на повърхността на въртене с равнина, перпендикулярна на оста, е кръг. Такива кръгове се наричат ​​паралели (фиг. 3.15). Паралелът на най-големия радиус се нарича екватор, най-малкият - гърлото. Равнината, минаваща през оста на повърхността на въртене, се нарича меридионална, линията на нейното пресичане с повърхността на въртене се нарича меридиан. Меридиан, лежащ в равнина успоредна на равнинатапроекциите се наричат ​​главен меридиан. В практиката на изготвяне на чертежи най-често се срещат следните повърхности на въртене: цилиндрична, конична, сферична, тор.

ориз. 3.16

Цилиндрична повърхност на въртене. Като ръководство Атрябва да вземе кръг и като права линия b- ос аз(фиг. 3.16). Тогава откриваме, че генераторът л, успоредна на оста аз, се върти около последния. Ако оста на въртене е перпендикулярна на хоризонталната равнина на проекциите, тогава на П 1 цилиндрична повърхност се проектира в кръг и върху П 3 - в правоъгълник. Главният меридиан на цилиндрична повърхност е две успоредни линии.

Фигура 3.17

Конична повърхност на въртенеполучаваме чрез завъртане на праволинейната образуваща локоло оста аз. В този случай, образуващата лпресича оста азв точката С, наречен връх на конуса (фиг. 3.17). Основният меридиан на коничната повърхност е две пресичащи се прави линии. Ако вземем права отсечка за образуваща и оста на конуса е перпендикулярна П 1, след това нататък П 1 конична повърхност се проектира в кръг и върху П 2 - в триъгълник.

Сферична повърхностсе образува поради въртенето на окръжността около ос, минаваща през центъра на окръжността и лежаща в нейната равнина (фиг. 3.18). Екваторът и меридианите на сферична повърхност са равни кръгове. Следователно, когато се проектира ортогонално върху която и да е равнина, сферичната повърхност се проектира в кръгове.

ориз. 3.18Когато една окръжност се върти около ос, лежаща в равнината на тази окръжност, но не минаваща през нейния център, се образува повърхност, наречена тор (фиг. 3.19).

ориз. 3.19

11. ПОЗИЦИОННИ ПРОБЛЕМИ ЗА ПРИНАДЛЕЖНОСТ НА ТОЧКА, ЛИНИЯ НА ПОВЪРХНОСТ.Под позиционносе отнася до проблеми, чието решение ни позволява да получим отговор дали даден елемент (точка) или подмножество (линия) принадлежи на множество (повърхност). Позиционните задачи включват и задачи за определяне общи елементипринадлежащи на различни геометрични фигури. Първата група задачи може да се комбинира под общо имепринадлежащи задачи. В частност, това са задачи за определяне на принадлежност на дадена точка към повърхнина; 3) принадлежност на дадена линия към повърхнина. Тази група също съдържа три типа задачи: 1) за пресичане на права с повърхнина; 3) за пресичане на права с повърхнина. Принадлежност на точка към повърхнина . Основният момент при решаването на проблеми за тази опция за аксесоар е следният : точка принадлежи на повърхност, ако принадлежи на която и да е линия от тази повърхност. В този случай линиите трябва да бъдат избрани възможно най-прости, за да се улесни конструирането на проекции на такава линия, след което използвайте факта, че проекциите на точка, разположена на повърхността, трябва да принадлежат на същите проекции на линията на тази повърхност . Примерно решение на този проблем е показано на фигурата.. Тук има две решения, тъй като могат да се начертаят две прости линии, които принадлежат на коничната повърхност. В първия случай се начертава права линия - образуващата на коничната повърхнина S1, така че да минава през всяка дадена проекция на точка C. По този начин приемаме, че точка C принадлежи на образуващата на коничната повърхност S1 и следователно на самата конична повърхност. В този случай едноименните проекции на точка C трябва да лежат на съответните проекции на тази образуваща. Друга най-проста линия е окръжност с диаметър 1-2 (радиусът на тази окръжност се измерва от оста на конуса до. контурната образуваща). Този факт е известен и от училищен курсгеометрия: когато кръгъл конус пресича равнина, успоредна на основата му или перпендикулярна на оста му, ще се получи кръг в напречно сечение. Вторият метод на решение ви позволява да намерите липсващата проекция на точка С, определена от нейната фронтална проекция, принадлежаща на повърхността на конуса и съвпадаща на чертежа с оста на въртене на конуса, без да се конструира трета проекция. Винаги трябва да имате предвид дали дадена точка, разположена върху повърхността на конус, е видима или невидима (ако не е видима, съответната проекция на точката ще бъде оградена в скоби). Очевидно е, че в нашата задача точка C принадлежи на повърхността, тъй като проекциите на точката принадлежат на проекциите на едноименните линии, използвани за решението както в първия, така и във втория метод на решение. Принадлежност към повърхностна линия. Основна точка: права принадлежи на повърхност, ако всички точки на линията принадлежат на дадена повърхност. Това означава, че в в този случайЗа да се определи дали дадена точка принадлежи на повърхност, проблемът дали дадена точка принадлежи на повърхност трябва да бъде решен няколко пъти. Торема Мондж: ако две повърхности от втори ред са описани около една трета или вписани в нея, тогава линията на тяхното пресичане се разделя на две криви от втори ред, равнините на които преминават през правата линия, свързваща пресечните точки на допирателната окръжност.

12. СЕЧЕНИЯ НА КОНУСА НА ВЪРТЕНЕ С ПРОЕКЦИОННИ РАВНИНИ.При пресичане на повърхноститела чрез проектиращи равнини, едната проекция на сечението съвпада с проекцията на проектиращата равнина. Един конус може да има пет различни форми на напречно сечение. Триъгълник- ако сечащата равнина пресича конуса през върха по две образуващи. кръг- ако равнината пресича конуса успоредно на основата (перпендикулярно на оста). Елипса- ако равнината пресича всички образуващи под определен ъгъл. Парабола- ако равнината е успоредна на една от образуващите на конуса. Хипербола- ако равнината е успоредна на оста или две образуващи на конуса. Разрез на повърхнина с равнинае плоска фигура, ограничена от затворена линия, всички точки на която принадлежат както на сечещата равнина, така и на повърхността. Когато равнина пресича многостен в сечение, се получава многоъгълник с върхове, разположени по ръбовете на многостена. Пример. Построете проекции на правата L на пресечната повърхност на прав кръгов конус ω с равнината β. Решение. Разрезът образува парабола, чийто връх е проектиран в точка A (A′, A′′). Точките A, D, E на пресечната линия са крайни. На фиг. изграждането на желаната пресечна линия се извършва с помощта на хоризонтални равнини на нивото αi, които пресичат повърхността на конуса ω по паралелите pi, а равнината β - по сегментите на фронтално изпъкнали прави линии. Пресечната линия L е напълно видима на равнините.

№ 13. Коаксиални повърхнини. Метод на концентричните сфери.

При конструирането на линия на пресичане на повърхности, особеностите на пресичането на коаксиални повърхности на въртене позволяват използването на сфери, коаксиални с тези повърхности, като помощни междинни повърхности. Коаксиалните повърхности на въртене включват повърхности, които имат обща ос на въртене. На фиг. 134 показва коаксиален цилиндър и сфера (фиг. 134, a), коаксиален конус и сфера (фиг. 134, b) и коаксиален цилиндър и конус (фиг. 134, c)

Коаксиалните повърхности на въртене винаги се пресичат по окръжности, чиито равнини са перпендикулярни на оста на въртене. Има толкова много от тези кръгове, общи за двете повърхности, колкото са точките на пресичане на контурните линии на повърхностите. Повърхностите на фиг. 134 се пресичат по окръжности, създадени от точки 1 и 2 от пресечната точка на главните им меридиани. Спомагателна междинна сфера пресича всяка от дадените повърхности по окръжност, при пресичането на която се получават точки, които принадлежат на другата повърхност, а следователно и на пресечната линия. Ако осите на повърхностите се пресичат, тогава спомагателните сфери се изтеглят от един център - точката на пресичане на осите. В този случай линията на пресичане на повърхности се изгражда по метода на спомагателните концентрични сфери. При конструиране на линия на пресичане на повърхности, за да се използва методът на спомагателните концентрични сфери, трябва да бъдат изпълнени следните условия: 1) пресичане на повърхности на въртене 2) осите на повърхностите - пресичащи се прави линии - са успоредни на една от; проекционни равнини, т.е. има обща равнина на симетрия 3) методът не може да използва спомагателни режещи равнини, тъй като те не осигуряват графично прости линии на повърхности; Обикновено методът на спомагателната сфера се използва в комбинация с метода на спомагателната режеща равнина. На фиг. 135 е построена линия на пресичане на две конични повърхнини на въртене с оси на въртене, пресичащи се във фронталната равнина на ниво Ф (Ф1). Това означава, че главните меридиани на тези повърхности се пресичат и при тяхното пресичане дават точката на видимост на пресечната линия спрямо равнината P2 или най-високата A и най-ниската точка B. В пресечната точка на хоризонталния меридиан h и паралела h", лежащ в една спомагателна сечна равнина Г(Г2), се определят точките на видимост C и D на пресечната линия спрямо равнината P1. Не е целесъобразно да се използва спомагателна сечна равнина равнини за изграждане на допълнителни точки на пресечната линия, тъй като равнините, успоредни на Ф, ще пресичат двете повърхности по хиперболи, а равнините, успоредни на Г, ще създадат окръжности и хиперболи в пресечната точка на спомагателни хоризонтално или фронтално проектирани равнини, начертани през върха на едната на повърхнините ще ги пресичат по образуващи и елипси, позволяващи използването на спомагателни сфери за построяване на точките на пресичане. Осите на повърхнините на въртене се пресичат в точка O (O1; O2), която е центърът на спомагателната. сфери, радиусът на сферата варира в рамките на Rmin.< R < Rmах- Радиус максимальной сферы определяется расстоянием от центра О наиболее удаленной точки В (Rmax = О2В2), а радиус минимальной сферы определяется как радиус сферы, касающейся одной поверхности (по окружности h2) и пересекающей другую (по окружности h3).Плоскости этих окружностей перпендикулярны осям вращения поверхностей. В пересечении этих окружностей получаем точки Е и F, принадлежащие линии пересечения поверхностей:

h22 ^ h32 = E2(F2); E2E1 || A2A1; E2E1 ^ h21 =E1; F2F ^ h1 = F1 Междинна сфера с радиус R пресича повърхностите по окръжности h4 и h5, в пресечната точка на които са точките Mi N: h42 ^ h52 = M2(N2); M2M1 || A2A1, M2M1 ^ h41 = M1; N2N1 ^ h41 = N1 Чрез свързване на проекциите на построените точки със същото име, като се вземе предвид тяхната видимост, получаваме проекциите на линията на пресичане на повърхностите.

номер 14. изграждане на линия на пресичане на повърхности, ако поне една от тях е издадена. Характерни точки на пресечната линия.

Преди да започнете да конструирате линията на пресичане на повърхности, е необходимо внимателно да проучите условията на проблема, т.е. какви повърхности се пресичат. Ако една от повърхностите е издадена, тогава решението на проблема е опростено, т.к на една от проекциите пресечната линия съвпада с проекцията на повърхността. И задачата се свежда до намиране на втората проекционна линия. Когато решавате проблем, първо трябва да отбележите „характерните“ точки или „специалните“ точки. това:

· Точки на екстремни генератори

Точки, разделящи линия на видими и невидими части

· Горни и долни точки и т.н. След това трябва разумно да изберете метода, който ще използваме, когато конструираме линията на пресичане на повърхности. Ще използваме два метода: 1. спомагателни режещи равнини. 2. спомагателни секущи сфери. Проекционните повърхности включват: 1) цилиндър, ако оста му е перпендикулярна на равнината на проекцията; 2) призма, ако ръбовете на призмата са перпендикулярни на равнината на проекцията. Проекционната повърхност се проектира в една линия върху проекционната равнина. Всички точки и линии, принадлежащи към страничната повърхност на изпъкналия цилиндър или изпъкналата призма, се проектират в права върху равнината, към която е перпендикулярна оста на цилиндъра или ръба на призмата. Пресечната линия на повърхнините принадлежи на двете повърхнини едновременно и ако една от тези повърхнини е издадена, тогава може да се използва следното правило за конструиране на пресечната линия: ако една от пресичащите се повърхнини е издадена, тогава едната проекция на пресечната линия е в чертежа в завършен вид и съвпада с проекцията на проектиращата повърхност (окръжността, в която се проектира цилиндърът или многоъгълникът, в който се проектира призмата). Втората проекция на пресечната линия се конструира въз основа на условието, че точките на тази линия принадлежат на друга непроектираща се повърхност.

Разгледаните характеристики на характерните точки улесняват проверката на правилността на конструкцията на линията на пресичане на повърхности, ако тя е конструирана с помощта на произволно избрани точки. В този случай десет точки са достатъчни, за да начертаете гладки проекции на пресечната линия. При необходимост могат да се конструират произволен брой междинни точки. Изградените точки са свързани с гладка линия, като се вземат предвид характеристиките на тяхното положение и видимост. Нека формулираме общо правило за изграждане на линията на пресичане на повърхности: изберете вида на спомагателните повърхности; построяват линии на пресичане на спомагателни повърхности с дадени повърхности; намерете пресечните точки на построените линии и ги свържете една с друга. Избираме спомагателни режещи равнини по такъв начин, че да се получат геометрично прости линии (прави или кръгове) в пресечната точка с дадените повърхности. Избор на помощни сечащи равнини. Най-често проекционните равнини, по-специално равнините на нивото, се избират като спомагателни режещи равнини. В този случай е необходимо да се вземат предвид пресечните линии, получени на повърхността в резултат на пресичането на повърхността с равнина. Така че конусът е най-сложната повърхност по отношение на броя на линиите, получени върху нея. Само равнини, минаващи през върха на конуса или перпендикулярни на оста на конуса, го пресичат съответно по права линия и кръг (геометрично най-простите линии). Равнина, успоредна на една образуваща, я пресича по парабола, равнина, успоредна на оста на конуса, я пресича по хипербола, а равнина, пресичаща всички образуващи и наклонена към оста на конуса, я пресича по елипса. На сфера, когато се пресича с равнина, винаги се получава кръг, а ако се пресича с равнинна равнина, тогава този кръг се проектира върху равнината на проекцията съответно в права линия и кръг. И така, като спомагателни равнини избираме хоризонтални равнини на ниво, които пресичат както конуса, така и сферата в кръгове (най-простите линии). Някои специални случаи на повърхностни пресичанияВ някои случаи местоположението, формата или съотношението на размера на извитите повърхности са такива, че не са необходими сложни конструкции за изобразяване на линията на тяхното пресичане. Те включват пресичане на цилиндри с успоредни образуващи, конуси с общ връх, коаксиални повърхнини на въртене, повърхнини на въртене, описани около една сфера.

Повърхностите на въртене и телата, ограничени от тях, се използват широко в много области на техниката: цилиндърът на електронно-лъчева тръба (фиг. 8.11,А), център на струга (фиг. 8.11,б), обемен микровълнов резонатор на електромагнитни трептения (фиг. 8.11, V), Дюаров съд за съхраняване на течен въздух (фиг. 8.11, G), електронен колектор на мощно устройство с електронен лъч (фиг. 8.11, d) и др.

В зависимост от вида на генератора, повърхностите на въртене могат да бъдат с линейка, без линейка или да се състоят от части от такива повърхности.

Повърхност на въртене е повърхност, получена от въртенето на определена генерираща линия около фиксирана права линия - оста на повърхността.

На чертежите оста е представена с тире-пунктирана линия. Линията за формоване може общ случайимат както извити, така и прави участъци. Повърхността на въртене в чертежа може да бъде определена чрез образуващата и позицията на оста. Фигура 8.12 показва повърхност на въртене, която се образува от въртенето на образуващатаАьCD (челната му проекция a"b"c"d") около ос OO 1 (фронтална проекцияо"о 1" , перпендикулярна на равнинатаН. При въртене всяка точка от генератора описва окръжност, чиято равнина е перпендикулярна на оста. Съответно линията на пресичане на повърхността на въртене с всяка равнина, перпендикулярна на оста, е кръг. Такива кръгове се наричатпаралели. Изгледът отгоре (фиг. 8.12) показва проекциите на окръжности, описани с точки A, B, C и D, преминаване през проекции a, b, c, d. Най-големият паралел от двата паралела, съседни на него от двете му страни, се наричаекватор, подобен на най-малкия -гърлото.

Равнината, минаваща през оста на повърхността на въртене, се наричамеридионален, линията на нейното пресичане с повърхността на въртене -меридиан. Ако оста на повърхността е успоредна на проекционната равнина, тогава меридианът, лежащ в равнина, успоредна на тази проекционна равнина, се наричаглавен меридиан.Основният меридиан се проектира върху тази проекционна равнина без изкривяване. Така че, ако оста на повърхността на въртене е успоредна на равнината V, тогава главният меридиан се проектира върху равнината V без изкривяване, като проекция a"f"b"c"d". Ако оста на повърхността на въртене е перпендикулярна на равнинатаН, тогава хоризонталната проекция на повърхността има очертание под формата на кръг.

Най-удобни за създаване на изображения на повърхности на въртене са случаите, когато техните оси са перпендикулярни на равнината H, към равнината V или към равнината W.

Някои повърхности на революцияса специални случаи на повърхности, обсъдени в 8.1, например, цилиндър на въртене, конус на въртене. За цилиндър и конус на въртене меридианите са прави линии. Те са успоредни на оста и на еднакво разстояние от нея за цилиндър или пресичат оста в една и съща точка под същия ъгъл спрямо оста за конус. Цилиндърът и конусът на въртене са повърхности, които са безкрайни по посока на техните съставни части; следователно в изображенията те са ограничени от някои линии, например линиите на пресичане на тези повърхности с проекционни равнини или някой от паралелите. От стереометрията е известно, че прав кръгов цилиндър и прав кръгов конус са ограничени от повърхност на въртене и равнини, перпендикулярни на оста на повърхността. Меридианът на такъв цилиндър е правоъгълник, а меридианът на конуса е триъгълник.

Повърхност на въртене като сфера е ограничена и може да бъде изобразена изцяло на чертежа. Екваторът и меридианите на една сфера са равни кръгове. При ортогонална проекция върху трите проекционни равнини очертанията на една сфера се проектират върху кръг.

Тор. Когато една окръжност (или нейната дъга) се завърти около ос, лежаща в равнината на тази окръжност, но не минаваща през нейния център, се получава повърхност, наречена тор. Фигура 8.13 показва: отворен тор или кръгъл пръстен, - Фигура 8.13,а, затворен тор - Фигура 8.13,б, самопресичащ се тор - Фигура 8.13, c, град Tor (фиг. 8.13, d) наричан още лимоновиден. На фигура 8.13 те са показани в позиция, в която оста на тора е перпендикулярна на равнината на проекциятаН. Сферите могат да бъдат вписани в отворени и затворени тори. Торът може да се разглежда като повърхност, която обгражда еднакви сфери, чиито центрове са разположени в окръжност.

В конструкциите на чертежите широко се използват две системи от кръгови сечения на торус: в равнини, перпендикулярни на неговата ос, и в равнини, минаващи през оста на тора. При това в апартамент

В области, перпендикулярни на оста на тора, от своя страна има две семейства окръжности - линиите на пресичане на равнините с външната повърхност на тора и линиите на пресичане на равнините с вътрешната повърхност на тора. Торусът с форма на лимон (фиг. 8.13, d) има само първото семейство кръгове.

Освен това торът има и трета система от кръгови сечения, които лежат в равнини, минаващи през центъра на торуса и допирателни към него вътрешна повърхност. Фигура 8.14 показва кръгли секции с центрове o 1p и o 2p на допълнителна проекционна равнина R, образувана от фронтално изпъкналата равнина Q(Qv), минаваща през центъра на тора с проекциио" о и допирателна към вътрешната повърхност на тора в точки с проекции 1", 1, 2" 2. Проекции на точки 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10направи чертежа по-лесен за четене. Диаметър d тези кръгли участъци равен на дължинатаголеми оси на елипси, в които се проектират кръгли сечения върху хоризонталната проекционна равнина: d = 2R.

Точки на повърхността на въртене.Позицията на точка върху повърхността на въртене се определя от принадлежността на точката към линията на рамката на повърхността, т.е. с помощта на окръжност, минаваща през тази точка на повърхността на въртене. В случай на линейчати повърхности за тази цел могат да се използват и праволинейни образуващи.

Използването на паралелна и праволинейна образуваща за конструиране на проекции на точки, принадлежащи на дадена повърхност на въртене, е показано на фигура 8.12. Ако

предвид проекцията t", след това се извършва фронтална проекция f"f1" паралели и след това радиусР начертайте кръг - хоризонтална проекция на паралел - и намерете проекция върху негоТ. Ако е зададена хоризонтална проекцияТ, тогава трябва да начертаете радиус R=om кръг, конструирайте f" от точка f и начертайте f"f1" - челна проекция на успоредника – и върху него в проекционна комуникациямаркирайте точкаТ". Ако се даде проекцияп" върху линеен (коничен) участък от повърхността на въртене, след което се извършва фронтална проекция d"s" контурна образуваща и през n" проекцията - челна проекцият "к" образуваща на повърхността на конуса. След това върху хоризонталната проекцияск Проекцията n е конструирана от този генератор. Ако беше дадена хоризонтална проекция n, тогава през нея трябва да се начертае хоризонтална проекцияск образуваща, според проекцията k" и s" (неговата конструкция беше обсъдена по-горе) конструирайте фронтална проекция s"до" и върху него в проекционната връзка маркирайте проекцията n"

Фигура 8.15 показва изграждането на точкови проекцииДО, принадлежащи на повърхността на тора. Трябва да се отбележи, че конструкцията е направена за видими хоризонтални проекциидо и челна проекцияДо".

Фигура 8.16 показва конструкцията по дадена челна проекцияТ" точки върху хоризонталната повърхност на сферата t и профил t" проекции. ПроекцияТ конструиран с помощта на окръжност - паралел, минаващ през проекцията t". Неговият радиус е o-1. Проекция t "" се конструира с помощта на окръжност, чиято равнина е успоредна на профилната равнина на проекциите, минаващи през проекцията t". Неговият радиус е около "2".

Изграждането на проекции на линии върху повърхност на въртене може да се извърши и с помощта на окръжности - паралели, преминаващи през точки, принадлежащи на тази линия.

Фигура 8.17 показва конструкцията на хоризонтална проекцияаь линия, определена от фронтална проекцияа "б" върху повърхност на въртене, състояща се от части от повърхностите на сфера, тор и конус. За да начертаете по-точно хоризонталната проекция на линията, нека продължим нейната фронтална проекция нагоре и надолу и маркирайте проекциите 6" и 5" крайни точки. Хоризонтални проекции 6, 1, 3, 4, 5 изградени с помощта на комуникационни линии. Проекции b, 2, 7, 8, а изграден с помощта на паралели, фронтални проекциикоито преминават през проекции b"2", 7", 8", а" тези точки. Броят и местоположението на междинните точки се избират въз основа на формата на линията и необходимата точност на конструкцията. Хоризонталната проекция на линията се състои от участъци: b-1 - части от елипсата,

Повърхностите на въртене са повърхности, образувани от въртене на произволна генератора около фиксирана ос (фиг. 51, а). Ръководството на повърхността на въртене е кръг с постоянен (цилиндър) или променлив радиус (конус, сфера). Нормално - сечение, перпендикулярно на оста на въртене на която и да е повърхност на въртене, това е кръг с център върху оста си;

ориз. 51. Повърхност на въртене: а – основни линии на повърхнина на въртене; b – представяне на повърхността на въртене под формата на мрежа

Насоките се наричат ​​също паралели на повърхността на революцията. Равнините на паралелите са перпендикулярни на оста на повърхността. Най-големият от паралелите се нарича екватор на повърхността, най-малкият - гърлото. Равнините, минаващи през оста на повърхността на въртене, се наричат ​​меридионални, а линиите, по които те пресичат повърхността, се наричат ​​меридиани. Повърхността на въртене може да бъде представена от паралели или меридиани на повърхността, както и мрежа, състояща се от паралели и меридиани (фиг. 51, b).

Повърхността на въртене се нарича затворена, ако меридионалното сечение на повърхността е затворена крива линия, пресичаща оста на повърхността в две точки.

При въртене около оста на равнина или пространствена алгебрична крива от n-ти ред се образува алгебрична повърхност на въртене, в общия случай, от 2-ри ред. Ако крива от втори ред се върти около оста си, тогава тя образува повърхност от втори ред.

В зависимост от вида на генератора има:

Торични повърхнини – повърхности, образувани от въртенето на кръг или дъга от кръг:

ориз. 52. Торични повърхнини: а – сфера; b – отворен тор (пръстен); c – затворен тор; г – глобоид

• Сферасе образува чрез въртене на кръг около ос, минаваща през центъра му (фиг. 52, а).
• Торсе образува чрез въртене на окръжност около ос, лежаща в равнината на тази окръжност и не минаваща през нейния център (торусът е повърхност от четвърти ред). Разграничете отворен тор, образуван от въртенето на окръжност около ос, която не пресича генератора (фиг. 52, b) и затворен тор, образуван от въртенето на кръг около ос, която пресича генериращия кръг или го докосва (фиг. 52, в).
• Глобоиденсе формира чрез въртене на кръг с достатъчно голям радиус около ос, която не пресича генератора (фиг. 52, d).

Елипсоид въртенето се образува чрез завъртане на елипса около оста си. Ако голямата ос на елипсата се приеме за ос на въртене, елипсоидът на въртене се нарича удължен (фиг. 53.a), ако малката ос се приеме за компресирана или сфероидна (фиг. 53.b). глобус, например, е близка по форма до сфероид

ориз. 53. Въртетелни повърхнини: а – удължен елипсоид; b – сфероид

Параболоид на въртене се образува чрез въртене на парабола около оста си (фиг. 54). Параболоидите на въртене се използват като отразяваща повърхност в прожекторите и автомобилните фарове за създаване на паралелен светлинен лъч.

ориз. 54. Параболоид на въртене

Хиперболоид на въртене се образува чрез завъртане на хипербола. Разграничете еднолистов хиперболоид(фиг. 55, а), образувана от въртене на хиперболата около нейната въображаема ос, и двулистов хиперболоид(Фиг. 55, b), образувана от въртене на хиперболата около реалната й ос.