Правила за действие с рационални числа. Събиране на положителни рационални числа
Урок 4
СТЕПЕН С НАТУРАЛЕН ПОКАЗАТЕЛ
цели: да насърчава формирането на компютърни умения и способности, натрупването на знания за степени, базирани на компютърен опит; Научете как да пишете големи и малки числа, като използвате степени на 10.
По време на часовете
I. Актуализиране на опорни знания.
Учителят анализира резултатите от тестовата работа, всеки ученик получава препоръки за разработване на индивидуален план за коригиране на изчислителните умения и способности.
След това учениците са помолени да извършат изчисления и да прочетат имената на известни математици, допринесли за изграждането на теорията на степените:
0,3 2 ; 5 3 ; (– 12) 2 ; ; ; –7 3 ; (–0,2) 3 ; –13 2 ; 1,7 2 ; ; 1,1 2 ; 1 3 .
Ключ:
С помощта на компютър или епипроектор на екрана се проектират портрети на учените Диофант, Рене Декарт, Симон Стевин. Учениците са поканени да подготвят, ако желаят, историческа информация за живота и работата на тези математици.
II. Формиране на нови понятия и методи на действие.
Учениците записват в тетрадките си следните изрази:
1. 2 + 2 + 2 + 2 + 2;
2. 2 + 2 + 2 + … + 2;
аусловия
3. 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5;
4. 5 ∙ 5 … ∙ 5;
нумножители
5. а∙ а∙ … ∙ а;
нумножители
Студентите са поканени да отговорят на въпроса: „Как тези записи могат да бъдат представени по-компактно, така че да станат „видими“?
След това учителят провежда разговор по нова тема, запознава учениците с понятието първа степен на числото. Учениците могат да подготвят драматизация на древна индийска легенда за изобретателя на шаха Сет и цар Шерам. Необходимо е да завършите разговора с история за използването на правомощията на 10 при писане на големи и малки количества и, предлагайки на учениците няколко справочника по физика, технология, астрономия, да им дадете възможност да намерят примери за такива количества в книгите.
III. Формиране на умения и способности.
1. Решение на упражнения № 40 г), д), е); 51.
По време на решението учениците заключават, че е полезно да запомнят: показател с отрицателна основа е положителен, ако показателят е четен, и отрицателен, ако показателят е нечетен.
2. Решение на упражнения № 41, 47.
IV. Обобщаване.
Учителят коментира и оценява работата на учениците в урока.
Домашна работа: клауза 1.3, № 42, 43, 52; по желание: подгответе съобщения за Диофант, Декарт, Стевин.
История справка
Диофант- древногръцки математик от Александрия (III век). Запазена е част от неговия математически трактат "Аритметика" (6 книги от 13), където е дадено решението на задачи, повечето от които водят до т. нар. "Диофантови уравнения", чието решение се търси в рационални положителни числа (Диофант няма отрицателни числа).
За да обозначи неизвестното и неговите степени (до шестата), знакът за равенство Диофант използва съкратено обозначение на съответните думи. Учените са открили и арабския текст на още 4 книги от Аритметиката на Диофант. Съчиненията на Диофант са отправна точка за изследванията на П. Ферма, Л. Ойлер, К. Гаус и др.
Декарт Рене (31.03.159 6 –11. 02. 1650) - френски философ и математик, произхожда от старо благородническо семейство. Получава образование в йезуитското училище La Flèche в Анжу. В началото на Тридесетгодишната война служи в армията, която напуска през 1621 г.; след няколко години пътуване той се премества в Холандия (1629), където прекарва двадесет години в самотни научни изследвания. През 1649 г. по покана на шведската кралица се премества в Стокхолм, но скоро умира.
Декарт полага основите на аналитичната геометрия и въвежда много съвременни алгебрични означения. Декарт значително подобрява нотацията, като въвежда общоприети знаци за променливи.
(х, при,z…) и коефициенти ( а, b, с…), както и нотация на степени ( х 4 , а 5 …). Писането на формулите на Декарт почти не се различава от съвременното.
В аналитичната геометрия основното постижение на Декарт е създаденият от него метод на координатите.
Стивин Саймън (1548–1620) е холандски учен и инженер. От 1583 г. преподава в университета в Лайден, през 1600 г. организира инженерно училище в университета в Лайден, където чете лекции по математика. Stevin's Tithing (1585) се занимава с десетичната система и десетичните дроби, които Саймън Стевин въвежда в Европа.
Тогава a + b = b + a, a + (b + c) = (a + b) + c.
Добавянето на нула не променя числото, а сумата от противоположните числа е нула.
Следователно за всяко рационално число имаме: a + 0 = a, a + (- a) = 0.
Умножението на рационални числа също има комутативни и асоциативни свойства. С други думи, ако a, b и c са произволни рационални числа, тогава ab - ba, a(bc) - (ab)c.
Умножението по 1 не променя рационално число, но произведението на число и неговата реципрочна стойност е 1.
Така че за всяко рационално число a имаме:
а) х + 8 - х - 22; в) a-m + 7-8+m;
б) -x-a + 12 + a -12; г) 6,1 -k + 2,8 + p - 8,8 + k - p.
1190. След като изберете удобен ред на изчисления, намерете стойността на израза:
1191. Формулирайте с думи комутативното свойство на умножението ab = ba и го проверете за:
1192. Формулирайте с думи асоциативното свойство на умножението a(bc)=(ab)c и го проверете за:
1193. Избирайки удобен ред на изчисления, намерете стойността на израза:
1194. Какво ще бъде числото (положително или отрицателно), ако умножите:
а) едно отрицателно число и две положителни числа;
б) две отрицателни и едно положително число;
в) 7 отрицателни и няколко положителни числа;
г) 20 отрицателни и няколко положителни? Направете заключение.
1195. Определете знака на продукта:
а) - 2 (- 3) (- 9) (-1,3) 14 (- 2,7) (- 2,9);
б) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.
а) Витя, Коля, Петя, Серьожа и Максим се събраха във фитнеса (фиг. 91, а). Оказа се, че всяко от момчетата познава само по две други. Кой кого познава? (Ръбът на графиката означава „ние се познаваме.“)
б) В двора се разхождат братя и сестри от едно семейство. Кои от тези деца са момчета и кои са момичета (фиг. 91, б)? (Пунктираните ръбове на графиката означават - "Аз съм сестра", а плътните - "Аз съм брат".)
1205. Изчислете:
1206. Сравнете:
а) 2 3 и 3 2 ; б) (-2) 3 и (-3) 2; в) 1 3 и 1 2 ; г) (-1) 3 и (-1) 2.
1207. Закръглете 5,2853 до хилядни; преди стотни; до десети; до единици.
1208. Решете задачата:
1) Мотоциклетистът настига велосипедиста. Сега между тях 23,4 км. Скоростта на мотоциклетист е 3,6 пъти по-голяма от тази на велосипедист. Намерете скоростите на велосипедиста и мотоциклетиста, ако е известно, че мотоциклетистът ще изпревари велосипедиста след часове.
2) Кола настига автобус. Сега между тях 18 км. Скоростта на автобуса е скоростта на автомобил. Намерете скоростите на автобуса и на автомобила, ако е известно, че автомобилът ще изпревари автобуса след часове.
1209. Намерете стойността на израза:
1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).
Проверете изчисленията си с калкулатор.
1210. След като изберете удобен ред на изчисления, намерете стойността на израза: 
1211. Опростете израза:
1212. Намерете стойността на израза:
1213. Направете следното:
1214. Учениците получиха задача да съберат 2,5 тона метален скрап. Те събраха 3,2 тона метален скрап. С колко процента учениците са изпълнили задачата и с колко са преизпълнили задачата?
1215. Автомобилът е изминал 240 км. От тях 180 км тя е изминала по селски път, а останалата част от пътя - по магистрала. Разходът на бензин за всеки 10 км селски път беше 1,6 литра, а на магистралата - 25% по-малко. Колко литра бензин са изразходвани средно за всеки 10 км пътуване?
1216. Излизайки от селото, велосипедистът забеляза пешеходец, който вървеше в същата посока по моста, и го настигна след 12 минути. Намерете скоростта на пешеходеца, ако скоростта на велосипедиста е 15 км/ч, а разстоянието от селото до моста е 1 км 800 м?
1217. Направете следното:
а) - 4,8 3,7 - 2,9 8,7 - 2,6 5,3 + 6,2 1,9;
б) -14,31:5,3 - 27,81:2,7 + 2,565:3,42+4,1 0,8;
в) 3,5 0,23 - 3,5 (- 0,64) + 0,87 (- 2,5).
Както знаете, хората се запознаха с рационалните числа постепенно. Отначало при броенето на предмети възникват естествени числа. Отначало те бяха малко. И така, доскоро местните жители на островите в пролива Торес (отделящ Нова Гвинея от Австралия) имаха само две числа на езика си: „урапун“ (едно) и „оказа“ (две). Островитяните смятали така: „оказа-урапун” (три), „оказа-оказа” (четири) и т.н. Всички числа, започвайки от седем, местните наричали думата, означаваща „много”.
Учените смятат, че думата за сто се е появила преди повече от 7000 години, за хиляда - преди 6000 години, а преди 5000 години в древен Египет и древен Вавилон се появяват имена за огромни числа - до милион. Но дълго време естествената редица от числа се смяташе за крайна: хората смятаха, че има най-голямо число.
Най-великият древногръцки математик и физик Архимед (287-212 г. пр. н. е.) е измислил начин да опише огромни числа. Най-голямото число, което Архимед знаеше как да назове, беше толкова голямо, че цифровият му запис би изисквал лента, две хиляди пъти по-дълга от разстоянието от Земята до Слънцето.
Но те все още не знаеха как да запишат такива огромни числа. Това става възможно едва след като индийските математици през 6 век. е изобретено числото нула и то започва да обозначава липсата на единици в цифрите на десетичния запис на числото.
При разделянето на плячката и по-късно при измерването на количествата и в други подобни случаи хората се срещали с необходимостта да въведат „разбити числа” – обикновени дроби. Действията върху дроби се смятаха за най-трудната област на математиката през Средновековието. Досега германците казват за човек, който е в трудна ситуация, че е "попаднал на фракции".
За да се улесни работата с дроби, бяха измислени десетични знаци. дроби. В Европа те са въведени през X585 г. от холандския математик и инженер Саймън Стевин.
Отрицателните числа се появиха по-късно от дробите. Дълго време такива числа се смятаха за „несъществуващи“, „фалшиви“, главно поради факта, че приетото тълкуване за положителни и отрицателни числа „имущество - дълг“ доведе до недоумение: можете да добавяте или изваждате „имущество“ или „дългове“, но как разбираме работата или частната „собственост“ и „дълг“?
Но въпреки подобни съмнения и недоумения, правилата за умножение и деление на положителни и отрицателни числа са предложени през 3 век. от гръцкия математик Диофант (във формата: „Изваденото, умножено по добавеното, дава изваденото; изваденото от изваденото дава добавеното“ и т.н.), а по-късно индийският математик Бхаскара (XII век) изразява същото правила в понятията „имущество“, „дълг“ („Продуктът от два имота или два дълга е имущество; произведението от имущество и дълг е дълг.“ Същото правило важи и за делбата).
Установено е, че свойствата на действията върху отрицателни числа са същите като тези върху положителни (например събирането и умножението имат комутативно свойство). И накрая, от началото на миналия век отрицателните числа се изравниха с положителните.
По-късно в математиката се появяват нови числа – ирационални, комплексни и др. Ще научите за тях в гимназията.
Н.Я.Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбург, В. И. Жохов, Математика за 6 клас, Учебник за гимназия
Книги и учебници по календарен план по математика 6 клас изтегли помагай на ученика онлайн
Снимка. Аритметични действия с рационални числа.
Текст:
Правила за работа с рационални числа:
. при събиране на числа с еднакви знаци е необходимо да се съберат техните модули и да се постави общият им знак пред сумата;
. при събиране на две числа с различни знаци от число с голям модул се изважда число с по-малък модул и пред получената разлика се поставя знакът на числото с по-голям модул;
. когато изваждате едно число от друго, трябва да добавите противоположното число към това, което се изважда: a - b \u003d a + (-b)
. при умножение на две числа с еднакви знаци модулите им се умножават и пред полученото произведение се поставя знак плюс;
. при умножаване на две числа с различни знаци техните модули се умножават и пред получения продукт се поставя знак минус;
. при деление на числа с еднакви знаци модулът на дивидент се разделя на модула на делителя и пред полученото частно се поставя знак плюс;
. при деление на числа с различни знаци модулът на дивидент се разделя на модула на делителя и пред полученото частно се поставя знак минус;
. Разделянето и умножаването на нула с всяко ненулево число води до нула:
. не можеш да делиш на нула.
РЕАЛНИ ЧИСЛА II
§ 36 Действия върху рационални числа
Както знаете, две фракции м / н и к / л са равни, тоест представляват едно и също рационално число тогава и само ако ml = nk .
Например 1/3 = 2/6, тъй като 1 6 = 3 2; -5 / 7 = 10 / - 14, защото (-5) (- 14) = 7 10; 0/1 = 0/5, тъй като 0 5 = 1 0 и т.н.
Очевидно за всяко цяло число r , не е равно на 0,
: м / н = м r / н r
Това следва от очевидното равенство T (П r ) = П (T r ). Следователно всяко рационално число може да бъде представено като отношение на две числа по безкраен брой начини. Например,
5 \u003d 5 / 1 \u003d -10 / -2 \u003d 15 / 3 и т.н.,
1 / 7 = 2 / -14 = -3 / 21 = -100 / 700 и т.н.
0 = 0 / 1 = 0 / -2 = 0 / 3 = 0 / 100 и т.н.
В множеството от всички рационални числа са възможни операциите събиране, умножение, изваждане и деление (с изключение на делене на нула). Припомнете си как се определят тези действия.
Сбор от две рационални числа м / н и к / л се определя по формулата:
Произведение на две рационални числа м / н и к / л се определя по формулата:
м / н к / л = мк / nl (2)
Тъй като едно и също рационално число допуска няколко записа (например 1/3 = 2/6 = 3/9 = ...), би било необходимо да се покаже, че сумата и произведението на рационалните числа не зависят от това как членовете или са написани фактори. Например,
1 / 2 + 1 / 3 = 2 / 4 + 3 / 9 ; 1 / 2 1 / 3 = 3 / 6 2 / 6
и т.н. Разглеждането на тези въпроси обаче е извън обхвата на нашата програма.
При събиране и умножение на рационални числа се спазват следните основни закони:
1) комутативен(или комутативен) закон за събиране
м / н + к / л = к / л + м / н
2) асоциативен(или асоциативен) закон за събиране:
( м / н + к / л ) + стр / р = м / н + ( к / л + стр / р )
3) комутативен(или комутативен) закон за умножение:
м / н к / л = к / л м / н
4) асоциативен(или асоциативен) закон за умножение:
( м / н к / л ) стр / р = м / н ( к / л стр / р )
5) разпределителен(или разпределителен) закон за умножение по отношение на събирането:
( м / н + к / л ) стр / р = м / н стр / р + к / л стр / р
Събирането и умножението са основни алгебрични операции. Що се отнася до изваждането и делението, тези операции се определят като обратни на събирането и умножението.
Разликата между две рационални числа м / н и к / л този номер се нарича х , която заедно с к / л дава м / н . С други думи разликата м / н - к / л
к / л + х = м / н
Може да се докаже, че такова уравнение винаги има корен и освен това само един:
Така че разликата между две числа м / н и к / л се намира по формулата:
Ако числата м / н и к / л са равни помежду си, тогава разликата им изчезва; ако тези числа не са равни едно на друго, тогава тяхната разлика е или положителна, или отрицателна. При м / н - к / л > 0 кажете число м / н повече брой к / л ; ако м / н - к / л < 0, то говорят, что число м / н по-малко от число к / л .
Частното при деление на рационално число м / ндо рационално число к / лтози номер се нарича х, която в продукта с к / лдава м / н . С други думи, частни м / н : к / л определен като корен на уравнението
к / л х = м / н .
Ако к / л =/= 0, тогава това уравнение има един корен
х = ml / нк
Ако к / л = 0, тогава това уравнение или изобщо няма корени (за м / н =/= 0), или има безкрайно много корени (напр м / н = 0). Желаейки да направим операцията деление уникално осъществима, ние се съгласяваме изобщо да не разглеждаме делението на нула. По този начин, разделяне на рационално число м / н до рационално число к / л винаги дефиниран, освен ако к / л =/= 0. В този случай
м / н : к / л = ml / нк
Упражнения
295. Изчислете по най-рационалния начин и посочете кои закони за действие трябва да се използват в този случай;
а) (5 1/12 - 3 1/4) 24; в) (333 1/3 4) (3/125 1/16).
б) (1/10 - 3 1/2) + 9/10
Сюжетът на чичо ваня. „Чичо Иван. Отношение към професора на др
Малкият Цахес, по прякор Цинобър
Майков, Аполон Николаевич - кратка биография