Представяне на функции и техните графики. Интерактивна презентация "функции, техните свойства и графики" Функции и техните графики

Презентация „Степенни функции, техните свойства и графики“ е визуално помагало за провеждане на училищен урок по тази тема. След изучаване на характеристиките и свойствата на степен с рационален показател е възможно да се направи пълен анализ на свойствата на степенна функция и нейното поведение в координатната равнина. По време на тази презентация се разглежда концепцията за степенна функция, нейните различни видове, поведението на графиката в координатната равнина на функция с отрицателен, положителен, четен, нечетен показател, направен е анализ на свойствата на графиката , и са описани примери за решаване на задачи с помощта на изучения теоретичен материал.

Използвайки тази презентация, учителят има възможност да повиши ефективността на урока. Слайдът ясно показва конструкцията на графиката; с помощта на цветно подчертаване и анимация се подчертават характеристиките на поведението на функцията, формиращи дълбоко разбиране на материала. Яркото, ясно и последователно представяне на материала гарантира по-доброто му запаметяване.

Демонстрацията започва със свойството на степен с рационален показател, научено в предишни уроци. Отбелязва се, че се трансформира в корен a p/q = q √a p за неотрицателно a и неравно на едно q. Припомняме как се прави това с помощта на примера 1,3 3/7 = 7 √1,3 3 . Следва дефиниция на степенната функция y=x k, в която k е рационален дробен показател. Определението е в кутия за запаметяване.

Слайд 3 демонстрира поведението на функцията y=x 1 в координатната равнина. Това е функция на формата y=x, а графиката е права линия, минаваща през началото на координатите и разположена в първата и третата четвърт на координатната система. Фигурата показва изображение на графиката на функцията, маркирана в червено.

След това разглеждаме степента на 2-степенната функция. Слайд 4 показва изображение на графиката на функцията y=x 2 . Учениците вече са запознати с тази функция и нейната графика - парабола. Слайд 5 разглежда кубична парабола - графика на функцията y=x 3 . Поведението му също вече е проучено, така че учениците могат да си припомнят свойствата на графиката. Разгледана е и графиката на функцията y=x 6 . Той също така представлява парабола - нейното изображение е приложено към описанието на функцията. Слайд 7 показва графика на функцията y=x 7 . Това също е кубична парабола.

След това се описват свойствата на функции с отрицателни показатели. Слайд 8 описва типа степенна функция с отрицателна цяло число y=x -n =1/x n. Пример за графика на такава функция е графиката y=1/x 2. Има прекъсване в точката x=0, състои се от две части, разположени в първата и втората четвърт на координатната система, всяка от които, клонейки към безкрайност, е притисната към абсцисната ос. Отбелязва се, че това поведение на функцията е типично за дори n.

На слайд 10 е построена графика на функцията y = 1/x 3, части от която лежат в първата и третата четвърт. Графиката също се прекъсва в точката x=0 и има асимптоти y=0 и x=0. Отбелязва се, че това поведение на графиката е типично за функция, в която степента е нечетно число.

Слайд 11 описва поведението на графиката на функцията y=x0. Това е правата линия y=1. Демонстрира се и на правоъгълна координатна равнина.

След това се анализира разликата между местоположението на клона на функцията y=x n с нарастващ показател n. За визуална демонстрация функционалните зависимости са маркирани със същия цвят като графиките. В резултат на това може да се види, че с увеличаването на индекса на функцията клонът на графиката се притиска по-силно към ординатната ос и графиката става по-стръмна. В този случай графиката на функцията y=x 2.3 заема средно положение между y=x 2 и y=x 3.

На слайд 13 разглежданото поведение на степенната функция е обобщено в модел. Отбелязва се, че на 0<х<1 при увеличении показателя степени, уменьшается значение выражения х 5 < х 4 < х 3 , следовательно и √х 5 < √х 4 < √х 3 . Для х, большего 1, верно обратное утверждение - при увеличении показателя степени значение степенной функции увеличивается, то есть х 5 >x 4 > x 3, следователно √x 5 > √x 4 > √x 3.

Това е последвано от подробно разглеждане на поведението в координатната равнина на степенната функция y = x k, в която показателят е неправилната дроб m/n, където m>n. На фигурата описанието на тази функция е придружено от построена графика в първата четвърт на координатната система, която представлява разклонение на параболата y=x 7/2. Свойствата на функцията за m/n>1 са описани на слайд 15 с помощта на примера на графиката y=x 7/2. Отбелязва се, че има дефиниционна област - лъч 0 x y 7 -5 [-5;7) [-5;7] (-3;5] Намерете дефиниционната област на функцията, чиято графика е показана на фигурата 5 -3 Област на дефиниране на функцията - стойности, взети от независимата променлива Коломина Н.Н.

8 слайд

Описание на слайда:

Набор от функционални стойности. Наборът от стойности на функция е наборът от всички реални стойности на функцията y, които тя може да приеме. Например наборът от стойности на функцията y= x+1 е наборът R, наборът от стойности на функцията е наборът от реални числа, по-големи или равни на 1. y= X2 +1 Коломина Н.Н.

Слайд 9

Описание на слайда:

Намерете набора от стойности на функцията, чиято графика е показана на фигурата. y x 0 -6 -4 6 6 (-4;6) [-6;6] (-6;6) [-4;6] Наборът от стойности на функцията е стойностите, които зависимата променлива y приема . Коломина Н.Н.

10 слайд

Описание на слайда:

Изследване на функцията за паритет. Функция се извиква, дори ако за всички стойности на x в областта на дефиниране на тази функция, когато знакът на аргумента се промени на противоположния, стойността на функцията не се променя, т.е. . Например параболата y = X2 е четна функция, т.к (-X2)= X2. Графиката на четната функция е симетрична спрямо оста y. Коломина Н.Н.

11 слайд

Описание на слайда:

Една от следващите фигури показва графиката на четна функция. Предоставете този график. x x x x y y y Графиката е симетрична спрямо оста Oy 0 0 0 0 Коломина Н.Н.

12 слайд

Описание на слайда:

Една функция се нарича нечетна, ако за всички стойности на x в областта на дефиниране на тази функция, когато знакът на аргумента се промени на противоположния, функцията се променя само в знака, т.е. . Например функцията y = X3 е нечетна, т.к (-X)3 = -X3. Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото. Не всяка функция има свойството да е четно или нечетно. Например функцията не е нито четна, нито нечетна: X2+ X3 (-X)2+ (-X)3 = X2 – X3; X2 + X3 X2 – X3; = / Коломина Н.Н.

Слайд 13

Описание на слайда:

x x x x y y Една от следващите фигури показва графиката на нечетна функция. Предоставете този график. Графиката е симетрична спрямо точка O. O O O O Коломина Н.Н.

Слайд 14

Описание на слайда:

Сред многото функции има функции, чиито стойности се увеличават или намаляват само с увеличаване на аргумента. Такива функции се наричат ​​нарастващи или намаляващи. Функция се нарича нарастваща в интервала a x b, ако за всеки X1 и принадлежащ на този интервал, при X1 X2 е валидно неравенството за интервали на нарастване и намаляване /\ /\ X2 /\ /\ 1 2 Функцията се нарича. намаляваща в интервала a x b, ако за всеки X1 и X2, принадлежащи на този интервал, за X1 X2 е в сила неравенството /\ /\ /\ 2 1 > N.N.

15 слайд

Описание на слайда:

[-6;7] [-5;-3] U [-3;7] [-3;2] x 0 2 6 -5 7 -3 -6 -2 3 Фигурата показва графиката на функцията y = f(x), посочен в интервала (-5;6). Посочете интервалите, в които функцията нараства. в Коломин Н.Н.

16 слайд

Описание на слайда:

y x 1 2 4 0 Нулата на функцията е стойността на x, при която y = 0. На фигурата това са точките на пресичане на графиката с оста Ox. Фигурата показва графиката на функцията y = f(x). Посочете броя на нулите на функцията. 0 Коломина Н.Н.

Слайд 17

Описание на слайда:

18 слайд

Описание на слайда:

Изследване на функция за монотонност. Както нарастващите, така и намаляващите функции се наричат ​​монотонни, а интервалите, в които функцията нараства или намалява, се наричат ​​монотонни интервали. Например функцията y = X2 при x 0 нараства монотонно. Функцията y = X3 монотонно нараства по цялата числова ос, а функцията y = -X3 монотонно намалява по цялата числена ос. /\ /\ Коломина Н.Н.

Слайд 19

Описание на слайда:

Изследвайте функцията за монотонност. Функция y=x2 Функция y=x2 при x<0 монотонно убывает, при х>0 монотонно нараства x -2 -1 0 1 2 y 4 1 0 1 4 Коломина Н.Н.

20 слайд

Описание на слайда:

Обратна функция Ако функцията приема всяка от своите стойности само за една стойност на x, тогава такава функция се нарича обратима. Например функцията y=3x+5 е обратима, т.к всяка стойност на y се приема с една стойност на аргумента x. Напротив, функцията y = 3X2 не е обратима, тъй като например тя приема стойността y = 3 както за x = 1, така и за x = -1. За всяка непрекъсната функция (такава, която няма точки на прекъсване) има монотонна, еднозначна и непрекъсната обратна функция. Коломина Н.Н.

21 слайда

Описание на слайда:

Диктовка Намерете диапазона от стойности Разгледайте интервалите на нарастващи и намаляващи функции. № Опция-1 № Вариант-2 Намерете домейна на дефиниция на функцията 1 1 2 2 Посочете метода за уточняване на функцията 3 3 Проверете функцията за паритет 4 4 5 5 x -2 -1 0 1 y 3 5 7 9 Коломина Н.Н.

22 слайд

Описание на слайда:

Функции. 1. Линейна функция 2. Квадратична функция 3. Степенна функция 4. Експоненциална функция 5. Догаритмична функция 6. Тригонометрична функция Коломин Н.Н.

Слайд 23

Описание на слайда:

Линейна функция y = kx + b k – ъглов коефициент b x y α 0 b – свободен коефициент k = tan α Коломина Н.Н.

24 слайд

Презентацията представя основните елементарни функции

Вижте съдържанието на документа
"Презентация на тема "Елементарни функции и техните графики""

при Х, х u.

Видове функции и изграждане на графични изображения:

1. Видове функции

• Мощност
• Показателно
• Логаритмичен
• Тригонометричен

2. Изграждане на графични изображения

3. Тествайте

Видове функции

n – произволно число

• Линеен
• Квадратичен
• Кубичен
• Хипербола
• Y=X 1/2 и Y=-X 1/2
• Y=X 1/3 и Y=-X 1/3

Силова функция

Y=kX+b, където k и b са произволни числа

Y=ax 2 +bx+c, където a, b и c са произволни числа, a ≠0

графика на квадратна функция – парабола

Свойства на функцията Y=X 2 и Y= - X 2

• OOF: (- ∞:∞)
• OPF: [ 0;∞)
• Функцията нараства през интервала
• Функционални нули: Y=0 при x=0
• Y min =0 при x=0

1. OOF: (- ∞:∞)

2. OPF: (-∞;0 ]

3. Функцията нараства на интервала (- ∞;0 ] ; функцията намалява на интервала - събиране, [-] - изваждане, [*] - умножение, [:] - деление. Всички онези функции, които могат да бъдат получени от основните елементи, използващи аритметични операции, се наричат ​​елементарни функции и представляват клас елементарни функции.

Образуване на клас от елементарни функции Имайки определен набор от основни функции f1, f2,f3,...fk и допустими операции F1, F2, ... Fs върху тях (те могат да се прилагат произволен брой пъти), можем получите други функции, подобно на това как от частите на дизайнера, използвайки определени правила за свързването им, можете да получите различни модели. Класът на всички функции, получени по този начин, се означава по следния начин:< f1,f2,...fk; F1,F2,...Fs>. По-специално, ако приемем всички основни елементарни функции като основни и позволим само аритметични операции, получаваме клас от елементарни функции. Вземайки за основа някои от основните елементарни функции и позволявайки, може би, само някои от посочените операции, ние получаваме някои подкласове от класа на елементарните функции, някои семейства от функции, генерирани от тази база и тези операции. Ето някои примери за такива семейства от функции, където (а) се разбира като операция на умножение по всяка константа: - семейство цели положителни степени y=x, където n € N; - семейство линейни функции y= ax + b; - семейство от полиноми y= axn +...+an-1x +an, където n € N.

Изграждане на графики За да построите графика на функцията y = 3x2, трябва да умножите графиката на функцията y = x2 по 3. В резултат на това графиката на функцията y = x2 ще се разтегне 3 пъти по ординатната ос, и ако y = 0,3 x2, тогава графиката ще бъде компресирана до 0,3 пъти по оста Oy. (Приложение 8, 9).

Построяване на графики Графиката на функцията y=3(x -4)2 може да бъде получена чрез изпълнение на следните стъпки: - събираме графиките на идентичната функция y=x и константата y=-4, получаваме графика на функцията y=x-4; - умножаваме графиките на функциите y=x-4 и y=x-4, получаваме графиката на функцията y= (x -4)2; - умножаваме y= (x -4)2 по 3, получаваме графика на функцията y=3(x -4)2. Или просто изместете графиката на функцията y=3x2 по оста Ox с 4 единични сегмента (Приложение 10).

Трансформации на оригиналната графика на функцията y= f(x). От горното можем да направим следния извод, че извършвайки различни действия с графики на елементарни функции, ние извършваме трансформации на тези графики, а именно: паралелна транслация, симетрия спрямо правата Ox и правата Oy.