Приблизително графично решение на уравнения. Приближено решаване на алгебрични уравнения

Начало > Урок

Представени материали: Бележки към урока Кратко обобщение: Някои теми от курса по алгебра и математика могат да бъдат представени с помощта на методи на компютърни науки. Такива теми включват " Квадратична функцияи неговите свойства”, „Приближени методи за решаване на уравнения”. В моите бележки Предмет: алгебра и математически анализ+ информатика Степен на обучение на учениците – В клас задълбочено проучванематематика. форма академична работа- час на класа.

Учител:Касаткина Олга Александровна, Образователна институция:Общинска образователна институция Средно училище № 81 на град Новосибирск Вещ: алгебра и информатика клас: 11 клас със задълбочено изучаване на математика. Предмет:Приближени методи за решаване на уравнения Целта на урока:Изучаване на приближени методи за решаване на уравнения, изучаване на възможността за приближено решаване на уравнения с помощта на компютър. Цели на урока:продължете да изучавате приблизителни методи за решаване на уравнения, запознайте учениците с метода половин деление, създават алгоритъм за решаване на уравнения по метода на половинките на алгоритмичен език, запознават учениците с приблизителен метод за решаване на уравнения с помощта на електронен Excel таблици, да развие у учениците способността за приблизително решаване на уравнения с помощта на електронни таблици Excel, за да създадете необходимост за използване от учениците информационни технологиипри решаване на задачи по математика, развиват междупредметни връзки. Тип урок: урок за изучаване на нов материал. Оборудване:компютърен клас, оборудван с компютри Pentium I и по-нови, лицензиран софтуер: операционна система Windows 97/2000/XP, MS Office 2000 и по-нова версия, среда за програмиране Visual Basic, интерактивна дъска, проектор.

Организиране на времето. Обявяване на темата, целта и задачите на урока. Актуализиране на знанията, необходими за изучаване на нов материал:

Как се нарича уравнението? Какъв е коренът на едно уравнение? Какво означава „решаване на уравнение“? (Използвайте интерактивна дъска) Обяснете как можете да решите графично уравнение (Използвайте интерактивна бяла дъска, на която е начертана графика в предварително подготвена координатна система) Как да изобразите графика на функция в Excel? (използвайте интерактивна бяла дъска и файл "разписание") Използване на функцията търсене на решениев Excel.

Учене на нов материал.

Проблемна лекция-разговор “Методи за приближено решаване на уравнения.”План на лекцията. Решаване на уравнения по метода на разполовяването. За да се приближи решението на уравнението f(x)=0 чрез метода на половин деление, се приема, че функцията f(x) е дефинирана на сегмента, е непрекъсната и има в краищата на сегмента различни знаци: f(a) f(b)<0. Задача:приблизително решаване на уравнението f(x)=0.

дадени: - област на дефиниция, e - точност на приближението.

Трябва да се намери: с – приблизително решение, |f(c)|

методът за търсене на приближения се основава на изчисляване на средата на сегмента c=(a+b)/2 и анализиране на стойността на функцията f(c) в тази точка. Ако стойността на функцията в тази точка е по-малка от дадено e, тогава е намерено приблизително решение. Ако стойността на функцията в средата на сегмента е по-голяма от e, тогава от сегментите и [c; b] се избира тази, на която функцията f(x) има различни знаци в краищата, и решението се търси на тази отсечка.

Съставяне на алгоритъм за решаване на уравнения по метода на разполовяването.се осъществява с активното участие на студенти. Докато алгоритъмът се компилира, той се показва на интерактивната бяла дъска или може да бъде написан на обикновена бяла дъска. Алгоритъм, съответстваща на метода на разполовяване, има формата:

Ако f(a)·f(b)≤0

Че c=(a+b)/2

Чао|f(c)|>e

nc Акое (а) е (б)<0

Че b=c

в противен случай a=c

край на клона

край на клона

Демонстрация на програмата,написана на език за програмиране ВизуалноОсновен, който прилага метода на половинките (програмата се проектира върху интерактивна дъска, програмата се съставя предварително от учителя или учениците, които се интересуват от програмиране). ( програма в папката Kasatkin_equations ) Приблизително решение на уравнения с помощта на електронни таблици на Excel. Задача: решете уравнението x 3 /10=sinx (използвайте файл "разписание") За графично решаване на уравнението въвеждаме функцията y=x 3 /10- sinx Таблица със стойности на функциите ​​​​​​в интервала (-2,5; 2,5) със стъпка 0,5 (подготвена предварително) е демонстрирана на интерактивната дъска. Нека начертаем тази функция. В интервала (-2.5; 2.5) графиката има три точки на пресичане с оста x, което означава, че в този интервал уравнението има три корена. Въпрос към учениците:как да намеря приблизително решение на уравнението? Предложен отговор: Сред стойностите на функцията в таблицата избираме тази, която е най-близка до нула, тогава стойността x, която съответства на тази стойност на функцията, ще бъде приблизително решение на уравнението. Въпрос към учениците:Как мога да използвам Excel, за да намеря по-точна коренна стойност? Предложен отговор:използване на функцията търсене на решениезадаваме клетката на таблицата, чиято стойност е най-близка до 0, на 0 и Excel намира необходимата стойност x.

Фиксиране на материала. Проверка на качеството на усвояване на материала.

Работа на компютри. На всеки компютър е предварително инсталирана програма за решаване на уравнения по метода на разполовяването. Учениците получават задача на карти за решаване на уравнения в Excel и проверка на правилността на задачата с тази програма. Тъй като този урок е урок за изучаване на нов материал, на всяка работна станция има инструкции за приблизително решаване на уравнения на компютър в Excel. Примери за карти със задачи, предложени за решение: tgx+x 2 =0, x 3 +x=-1, log(x 2 -x)=x. Въз основа на резултатите от работата може да се прецени качеството на усвояването на материала от учениците.

Домашна работа.

Създайте програма на VB, която реализира алгоритъм за решаване на уравнения чрез метода на разполовяването. С помощта на програмата решете уравнения от учебник № 323 (задачата е дадена, като се има предвид, че всички ученици от класа имат възможност да работят на компютри в кабинета по информатика в училище или у дома). Инструкции Графично решение на уравнението Упражнение: решете уравнението x 3 /10 = sin x графично.

Таблични функции г 1 = х 3 /10 И г 2 = грях х в диапазона от –2,5 до 2,5 на стъпки от 0,5. (Използвайте формули за автоматично довършване и копиране. Обърнете внимание на броя на десетичните знаци в примера.) Начертайте функционални графики като типова диаграма Графика с маркери. Определете приблизителните стойности на корените на уравнението.

Задача: решете уравнението x 3 /10 = sin x чрез избор на параметър. При избор на параметър стойността в клетката на аргумента на функцията се променя, докато числото в клетката със стойност на функцията стане равно на зададеното. Точността на избора зависи от зададената точност на представяне на числата в клетките на таблицата.

Табулирайте функция г= х 3 /10 - грях х в диапазона от -2,5 до 2,5 на стъпки от 0,5. (Използвайте формула за автоматично попълване и копиране.) Задайте точността на числата в клетките до 4 знака след десетичната запетая. Изберете клетката, съдържаща стойността на функцията, която е най-близка до нула, например K3. Намерете командата в главното меню Избор на услуга/параметър. В прозореца Избор на параметрив полето Значениезадайте необходимата стойност на функцията (0) и в полето Промяна на стойността на клетказадайте името на клетка K2. След като се появи прозорецът Резултат от избора на параметърщракнете Добреи прочетете новата стойност в клетка K2 в таблицата. По същия начин изберете друг корен на уравнението.

Приложение

файл диаграма.xlsпрограма, която прилага метода на разполовяване.

Например:

Нека поставим задачата да намерим валиденкорените на това уравнение.

А такива определено има! - от статии за функционални графикиИ уравнения на висшата математикамного добре знаеш какъв е графикът полиномна функция нечетна степенпресича оста поне веднъж, следователно нашето уравнение има понеедин истински корен. един. Или две. Или три.

Първо, моля да проверите наличността рационаленкорени. Според съответна теорема, само числата 1, –1, 3, –3 могат да претендират за тази „титла“ и чрез директно заместване е лесно да се уверите, че нито едно от тях не „подходящо“. Така ирационалните ценности остават. Могат да бъдат намерени ирационалните корени на полином от степен 3 точно (изразява се чрез радикали)с помощта на т.нар Кардано формули , обаче, този метод е доста тромав. Но за полиноми от 5-та и по-високи степени изобщо няма общ аналитичен метод и освен това на практика има много други уравнения, в които точни стойностиневъзможно е да се получат истински корени (въпреки че съществуват).

Въпреки това, в прилож (например инженерство)проблеми, повече от приемливо е да се използват изчислени приблизителни стойности с определена точност.

Нека зададем точността за нашия пример. Какво означава? Това означава, че трябва да намерим ТАКАВА приблизителна стойност на корена (корени)в който ние Гарантирано е, че грешим с не повече от 0,001 (една хилядна) .

Абсолютно ясно е, че решението не може да бъде стартирано „на случаен принцип“ и следователно в първата стъпка корените отделно. Да се ​​отдели корен означава да се намери достатъчно малък (обикновено единичен) сегмент, към който принадлежи този корен и върху който няма други корени. Най-простият и достъпен графичен метод за разделяне на корените. Да строим точка по точкаграфика на функция :

От чертежа следва, че уравнението очевидно има един реален корен, принадлежащ на сегмента. В края на този интервал функцията приема стойности на различни знаци: , и от факта непрекъснатост на функцията върху сегментаВеднага се вижда елементарен начин за изясняване на корена: разделяме интервала наполовина и избираме сегмента, в краищата на който функцията приема различни знаци. В случая очевидно става въпрос за сегмент. Разделяме получения интервал наполовина и отново избираме сегмента „различен знак“. И така нататък. Такива последователни действия се наричат итерации. В този случай те трябва да се извършват, докато дължината на сегмента стане по-малка от два пъти точността на изчислението, а средата на последния сегмент с различен знак трябва да бъде избрана като приблизителна стойност на корена.

Разглежданата схема получи естествено име - метод на разделяне на половина. И недостатъкът на този метод е скоростта. Бавно. Толкова бавно. Ще има твърде много итерации, преди да постигнем необходимата точност. С развитието на компютърните технологии това, разбира се, не е проблем, но математиката е това, за което е математиката, за да търси най-рационалните решения.

И един от по-ефективните начини за намиране на приблизителната стойност на корена е точно метод на допирателната. Кратката геометрична същност на метода е следната: първо, като се използва специален критерий (повече за това малко по-късно)един от краищата на сегмента е избран. Този край се нарича началенприближение на корена, в нашия пример: . Сега начертаваме допирателна към графиката на функцията по абсцисата (синя точка и лилава допирателна):

Тази допирателна пресича оста x в жълтата точка и имайте предвид, че в първата стъпка почти сме „улучили корена“! Ще бъде първикоренов подход. След това спускаме жълтия перпендикуляр към графиката на функцията и „стигаме“ до оранжевата точка. Отново прокарваме допирателна през оранжевата точка, която ще пресече оста още по-близо до корена! И така нататък. Не е трудно да се разбере, че използвайки метода на допирателната, ние се приближаваме до целта със скокове и границите и ще са необходими буквално няколко итерации, за да постигнем точност.

Тъй като допирателната се определя чрез производна на функцията, тогава този урок се озова в раздела „Деривати“ като едно от неговите приложения. И без да навлизам в подробности теоретична обосновка на метода, ще разгледам техническата страна на въпроса. На практика описаният по-горе проблем се среща приблизително в следната формулировка:

Пример 1

С помощта на графичния метод намерете интервала, на който се намира реалният корен на уравнението. Използвайки метода на Нютон, получете приблизителна стойност на корена с точност до 0,001

Ето една „щадяща версия“ на задачата, в която веднага се посочва наличието на един валиден корен.

Решение: на първото стъпалокоренът трябва да бъде разделен графично. Това може да стане чрез плотиране (вижте илюстрациите по-горе), но този подход има редица недостатъци. Първо, не е факт, че графиката е проста (не знаем предварително), а софтуерът не винаги е под ръка. И второ (следствие от 1-во), с голяма вероятност резултатът дори няма да бъде схематичен чертеж, а груб чертеж, което, разбира се, не е добро.

Е, защо се нуждаем от ненужни трудности? Нека си представим уравнениетовъв формата ВНИМАТЕЛНО построете графики и маркирайте корена в чертежа („X“ координата на пресечната точка на графиките):

Очевидно предимство този методе, че графиките на тези функции се изграждат на ръка много по-точно и много по-бързо. Между другото, имайте предвид, че правкръстосани кубична параболав една точка, което означава, че предложеното уравнение всъщност има само един реален корен. Вярвай, но проверявай ;-)

И така, нашият „клиент“ принадлежи към сегмента и „на око“ е приблизително равен на 0,65-0,7.

На второто стъпалотрябва да изберете първоначално приближениекорен Обикновено това е един от краищата на сегмента. Първоначалното приближение трябва да отговаря на следното условие:

Да намерим първиИ второпроизводни функции :

и проверете левия край на сегмента:

Така нулата „не пасна“.

Проверка на десния край на сегмента:

- Всичко е наред! Избираме като първоначално приближение.

На третата стъпкаЧака ни пътят към корена. Всяко следващо коренно приближение се изчислява от предишните данни, като се използва следното рецидивиращформули:

Процесът завършва, когато е изпълнено условието, където е предварително определена точност на изчисление. В резултат на това "n-то" приближение се приема като приблизителна стойност на корена: .

Следват рутинните изчисления:

(закръгляването обикновено се извършва до 5-6 знака след десетичната запетая)

Тъй като получената стойност е по-голяма от , преминаваме към 1-во приближение на корена:

Изчисляваме:

, така че е необходимо да се премине към второто приближение:

Да преминем към следващия кръг:

, така че итерациите са завършени и второто приближение трябва да се приеме като приблизителна стойност на корена, който в съответствие с дадената точност трябва да бъде закръглен до една хилядна:

На практика е удобно да се въведат резултатите от изчисленията в таблица, за да се съкрати донякъде, дробът често се обозначава с:

Ако е възможно, по-добре е да извършите самите изчисления в Excel - това е много по-удобно и по-бързо:

Отговор: с точност до 0,001

Позволете ми да ви напомня, че тази фраза предполага факта, че сме сгрешили в оценката си истински смисълкорен с не повече от 0,001. Тези, които се съмняват, могат да вземат микрокалкулатор и отново да заменят приблизителната стойност от 0,674 в лявата страна на уравнението.

Сега нека "сканираме" дясната колона на таблицата отгоре надолу и забележете, че стойностите непрекъснато намаляват в абсолютна стойност. Този ефект се нарича конвергенцияметод, който ни позволява да изчислим корена с произволно висока точност. Но конвергенцията не винаги се осъществява - тя е осигурена редица условия, за което премълчах. По-специално сегментът, върху който е изолиран коренът, трябва да бъде достатъчно малък– в противен случай стойностите ще се променят на случаен принцип и няма да можем да завършим алгоритъма.

Какво да правим в такива случаи? Проверете дали посочените условия са изпълнени (вижте връзката по-горе)и, ако е необходимо, намалете сегмента. Така че, относително казано, ако в анализирания пример интервалът не е подходящ за нас, тогава трябва да вземем предвид например сегмента. В практиката съм се сблъсквал с такива случаи, и тази техника наистина помага! Същото трябва да се направи, ако двата края на „широкия“ сегмент не отговарят на условието (т.е. никой от тях не е подходящ като първоначално приближение).

Но обикновено всичко работи като часовник, макар и не без капани:

Пример 2

Определете графично броя на реалните корени на уравнението, отделете тези корени и, използвайки метода на Нютон, намерете приблизителните стойности на корените с точност

Условието на проблема стана забележимо по-строго: първо, съдържа силен намек, че уравнението няма един корен, второ, изискването за точност се е увеличило, и трето, с графиката на функцията много по-трудно за справяне.

И следователно решениеНека започнем с трик за спестяване: представете си уравнението във формата и начертайте графики:


От чертежа следва, че нашето уравнение има два реални корена:

Алгоритъмът, както разбирате, трябва да бъде „завъртян“ два пъти. Но това е дори в най-тежките случаи; понякога трябва да прегледате 3-4 корена.

1) Използване на критерий Нека разберем кой край на отсечката да изберем като първоначално приближение на първия корен. Намиране на производни на функции :

Тестване на левия край на сегмента:

- дойде!

Следователно това е първоначално приближение.

Ще прецизираме корена, използвайки метода на Нютон, използвайки рекурентната формула:
- до дробта по модулняма да бъде по-малка от необходимата точност:

И тук думата „модул“ придобива неилюзорно значение, тъй като стойностите са отрицателни:


По същата причина трябва да се обърне специално внимание при преминаване към всяко следващо приближение:

Въпреки доста високото изискване за точност, процесът отново завърши при 2-ро приближение: , следователно:

С точност до 0,0001

2) Нека намерим приблизителната стойност на корена.

Проверяваме левия край на сегмента за въшки:

, следователно не е подходящо като първоначално приближение.

Разделяне на корените
Нека е дадено уравнението f(x)=0, (1).
където f(x) е дефинирано и непрекъснато в някакъв краен или безкраен интервал a≤x≤b.
Всяка стойност ξ, която превръща функцията f(x) в нула, т.е. такава, че f(ξ)=0, се нарича корен на уравнение (1) или нула на функцията f(x).
Число ξ се нарича корен от k-та кратност, ако при x= ξ, заедно с функцията f(x), неговите производни до (k-1) ред включително са нулеви
f(ξ) = f’(ξ) = … = f k -1 (ξ) = 0
Единичен корен се нарича прост.

Приблизителното определяне на корените на уравнение (1) обикновено се състои от два етапа:
1. Разделяне на корени, т.е. установяване на интервали [α i ,β i ], които съдържат един корен на уравнение (1).
2. Уточняване на приблизителните корени, тоест привеждането им до дадена точност.

Следата е полезна за отделяне на корени. теорема:
Теорема 1.Ако непрекъсната функция f(x) приема стойности на различни знаци в краищата на сегмента, т.е. f(a)f(b)<0, то внутри этого отрезка содержится, по меньшей мере, один корень уравнения f(x)=0, то есть найдется хотя бы одно число , такое, что f(ξ)=0.
Коренът очевидно е уникален, ако f ‘(x) съществува и поддържа постоянен знак в рамките на интервала.
Доказателство:Нека f(a) за определеност<0, f(b)>0. Тогава интервалът съдържа поне една точка ξ в интервала (ξ 1 , ξ 2) (a< ξ 1 < ξ< ξ 2 f(ξ 1)<0, f(ξ 2)>0. (2)
Поради непрекъснатостта на функцията, за всяко произволно малко δ>0 винаги има число ε>0 такова, че за | ξ 1 - ξ 2 |<ε выполняется |f 1 – f 2 |<δ, где f i =f(ξ i); i=1,2. Из условия (3.2) и условия |f 1 – f 2 |<δ следует, что |f 1 |<δ и |f 2 |<δ. Поскольку f 1 <0, а f 2 >0 и f(x) е непрекъсната, тогава има граница или f(ξ)=0 и по този начин първата част от теоремата е доказана.
Освен това, ако f ‘(x) запази своя знак, тогава ще бъде монотонно, т.е. за всеки x 1 0) или f(x 1) > f(x 2) (ако f ‘(x)<0). В силу условия f(a)f(b)<0, монотонности и непрерывности корень будет единственный. Доказательство закончено.
Нека разгледаме графичен или табличен метод за разделяне на корени. В даден интервал е зададена мрежа a=x 1 , тогава точността на намиране на корена ще бъде равна на половината от интервала . Също така трябва да се уверите дали намереният корен е единственият. За да направите това, достатъчно е да извършите процеса на половинки, разделяйки интервала на две, четири и т.н. равни части и определяне на знаците на функцията f(x) в точките на делене. При разделянето повишаваме точността на определяне на корена.

Пример №1. Определете корените на уравнението f(x) = x 3 – 6x +2 = 0
Решение:Нека начертаем груба диаграма.

х	-∞	-3	-1	0	1	3	∞
f(x)	-	-	+	+	-	+	+

Следователно уравнението (3.3) има три реални корена, лежащи в интервалите (-3,-1), (0.1) и (1.3).
За графично решаване на уравнение (3.3) е удобно да се замени (3.3) с еквивалентното уравнение
f 1 (x) = f 2 (x) или x 3 = 6x-2, т.е
f(x 1) = x 3,
f 2 (x) = 6x-2.
Тази стойност x=ξ, при която f 1 (ξ) = f 2 (ξ), ще бъде коренът на уравнение (3.3).

Пример №2. x*log(x)=1.
Решение: ,
ξ ≈ 2,5.

И така, идентифицирахме интервалите, които съдържат един корен. Нека сега разгледаме методите за рафиниране на корени.
Преди да преминем към методите за прецизиране на корени, нека дефинираме конвергенцията на поредица от числа (или конвергенцията на итеративен процес).
Определение 1.Ако неравенството е в сила
, (4)
тогава се казва, че последователността (x k ) се сближава линейно към границата ξ. Тук α е коефициентът на конвергенция. Ако α → 0, тогава имаме суперлинейна конвергенция.

Определение 2.Ако има r>1 (r=2,3,...) такова, че , (5)
тогава последователността (x k) има сходимост от ред r. Тук c = const.
Максимумът в (4) и (5) се взема за всички последователности (x k).

Пример №3. Отделете корените на уравнението f(x) с помощта на графично-аналитичен метод. Намерете корените на уравнение с дадена точност, като използвате методи на разполовяване, Нютон или проста итерация. Проверете верността на намерените решения чрез пресмятане на остатъците.

Реалните корени на уравнението f(x)=0 (както алгебрични, така и трансцендентални) могат да бъдат приблизително намерени графично или чрез разделяне на корените. За да решите уравнението f(x)=0 графично, изградете графика на функцията y=f(x); Абсцисите на пресечните точки и точките на допир на графиката с абсцисната ос са корените на уравнението. Методът за разделяне на корените е да се намерят две числа a и b, за които функцията f(x), приета за непрекъсната, има различни знаци - в този случай има поне един корен между a и b; ако производната f"(x) запазва знака си в интервала от a до b, тогава f(x) е монотонна функция, тогава този корен е уникален (фиг. 1).

Снимка 1.

По-усъвършенствани техники, които ви позволяват да намерите корена с всякаква точност, са следните. Нека такива две стойности на аргумента x=a, x=b (a

Използвайки метода на хордата: стойността на корена x 1 на уравнението f(x) = 0 в интервала [a, b] се намира с първо приближение по формулата

След това се избира един от интервалите , , в краищата на които стойностите f(x) имат различни знаци и коренът x 2 се намира във второто приближение по същата формула, но с числото x 1, заменено с x 2, а числото b или a с x 1 ( в зависимост от това дали е взет интервалът или [x 1, b]). Следващите приближения се намират по подобен начин (фиг. 2).

Фигура 2.

Използвайки метода на допирателната (или метода на Нютон), разглеждаме този край на интервала [a, b], където f(x) и f""(x) имат еднакви знаци (фиг. 3).

Фигура 3.

В зависимост от това дали това условие е изпълнено в края на x=a или в края на x=b, стойността на корена x 1 в първо приближение се определя по една от формулите

След това се разглежда интервалът (ако е използвана първата от тези формули) или (ако е използвана втората формула) и по подобен начин се намира стойността на корена x 2 чрез второто приближение и т.н.

Комбинираното използване на метода на хордата и метода на допирателната е както следва. Установява се в кой край на интервала [a, b] стойностите f(x) и f"(x) имат еднакви знаци. За този край на интервала се използва една от формулите на метода на допирателната , съответно получаване на стойността x 1. Използвайки за един от интервалите формулата, използвайки метода на акордите, се получава стойността x 2. След това изчисленията се извършват по същия начин за интервала и т.н.

Пример 1: y=f(x)=x 3 +2x-6=0. Чрез изпитание намираме 1.4<х< 1,5. Определяем корень по способу хорд: a=1,4; f(a)=-0,456; b=1,5; f(b)=0,375.
Първи подход:

Повтаряме операцията, като заменяме стойностите на a, f(a) с x 1 =1,455; f(x 1)=-0,010.

Второ приближение:

Пример 2: x-1,5 cos x=0. Намираме първото приближение, използвайки маса 1.35: ако зададете x 1 =0,92, тогава cos x 1 =0,60582 и 0,92≈1,5?0,61. Ние изясняваме корена, използвайки метода на допирателната: y"=1+1,5 sin x; y""=1,5 cos x. Използвайки същата таблица, имаме:

Накрая

Приблизителните методи за решаване на уравнения включват и итерационния метод. Състои се в това, че по някакъв начин уравнението се свежда до вида x=φ(x). След като намерите приблизително x 1, заменете намерената стойност в дясната страна на уравнението и намерете прецизирани приблизителни стойности x 2 =φ(x 1), x 3 =φ(x 2) и т.н.; числа x 2, x 3, ... се доближават до желания корен (процесът се сближава), ако?φ?(x)?<1.