Приложенията на определения интеграл са примери за решения. Изчисляване на площта на плоска фигура

Лекция 21 Приложения определен интеграл(2 часа)

Геометрични приложения

а) площ на фигурата

Както беше отбелязано в Лекция 19, числено равна на площ криволинеен трапец, ограничена крива при = f(х) , прави линии х = а, х = bи сегмент [ а, b] на оста OX. В същото време, ако f(х) £ 0 на [ а, b], тогава интегралът трябва да се вземе със знак минус.

Ако е включено даден сегментфункция при = f(х) променя знака, след което за да изчислите площта на фигурата, затворена между графиката на тази функция и оста OX, трябва да разделите сегмента на части, на всяка от които функцията запазва своя знак, и да намерите площта на всяка част от фигурата. Желаната област в този случай е алгебричната сума на интегралите върху тези сегменти, а интегралите, съответстващи на отрицателните стойности на функцията, се вземат в тази сума със знак минус.

Ако фигурата е ограничена от две криви при = f 1 (х) и при = f 2 (х), f 1 (х)£ f 2 (х), тогава, както следва от фиг. 9, неговата площ е равна на разликата между площите на криволинейните трапеци аслънце bи а AD b, всеки от които е числено равен на интеграла. означава,

Имайте предвид, че площта на фигурата, показана на фигура 10, a, се намира по същата формула: S = (Докажи го!). Помислете как да изчислите площта на фигурата, показана на фигура 10, b?

Говорихме само за криволинейни трапеци, съседни на оста OX. Но подобни формули са валидни и за фигури, съседни на оста y. Например площта на фигурата, показана на фигура 11, се намира по формулата

Нека линията г=f(х) ограничаване на криволинейния трапец може да се даде от параметричните уравнения , TО , и j(a)= а, j(b) = b, т.е. при= . Тогава площта на този криволинеен трапец е

.

б) Дължина на дъгата на кривата

Нека има крива при = f(х). Помислете за дъгата на тази крива, съответстваща на промяната хна сегмента [ а, b]. Нека намерим дължината на тази дъга. За да направим това, разделяме дъгата AB на Пчасти с точки A \u003d M 0, M 1, M 2, ..., M П= B (фиг. 14), съответстващи на точките х 1 , х 2 , ..., x n Î [ а, b].

Означете D аздължина на дъгата, тогава л= . Ако дължините на дъгата D аздостатъчно малки, те могат да се считат приблизително равни дължинисъответните сегменти, свързващи точките М аз-1,М аз. Тези точки имат координати M аз -1 (x i -1, f (x i-1)), М аз(x i, f(x i)). Тогава дължините на отсечките са съответно равни

Тук се използва формулата на Лагранж. Да сложим x i – x i-1=D x i, получаваме

Тогава л = , където

л = .

И така, дължината на дъгата на кривата при = f(х), съответстващ на промяната хна сегмента [ а, b], се намира по формулата

л = , (1)

Ако кривата е зададена параметрично, TО, т.е. г(T) = f(х(T)), тогава от формула (1) получаваме:

л=
.

Така че, ако кривата е дадена параметрично, тогава дължината на дъгата на тази крива, съответстваща на промяната Tн, се намира по формулата

в) Обемът на тялото на въртене.

Фиг.15

Помислете за криволинеен трапец а AB b, ограничена с линия при = f(х), прав х = а, х = bи сегмент [ а,b] на оста OX (фиг. 15). Нека този трапец се върти около оста OX, резултатът ще бъде въртящо се тяло. Може да се докаже, че обемът на това тяло ще бъде равен на

По подобен начин можете да изведете формулата за обема на тяло, получено чрез въртене около оста y на криволинеен трапец, ограничен от графиката на функцията х= j( при), прав г = ° С , г = ди сегмент [ ° С,д] ос y (фиг. 15):

Физически приложения на определения интеграл

В Лекция 19 доказахме, че от физическа гледна точка интегралът е числено равна на масатаправолинеен тънък нееднороден прът с дължина л= b – а, с променлива линейна плътност r = f(х), f(х) ³ 0, където хе разстоянието от върха на пръта до левия му край.

Нека разгледаме други физически приложения на определения интеграл.

Задача 1. Намерете работата, необходима за изпомпване на масло от вертикален цилиндричен резервоар с височина H и радиус на основата R. Плътността на маслото е r.

Решение.Да строим математически моделтази задача. Нека оста OX минава по оста на симетрия на цилиндъра с височина H и радиус R, началото - в центъра на горната основа на цилиндъра (фиг. 17). Нека разделим цилиндъра Пмалки хоризонтални части. Тогава къде A i- помпена работа азти слой. Това разделение на цилиндъра съответства на разделянето на сегмента на промяната във височината на слоя в Пчасти. Помислете за един от тези слоеве, разположен на разстояние x iот повърхността, ширина D х(или веднага dx). Изпомпването на този слой може да се разглежда като "повдигане" на слоя на височина x i.

Тогава извършената работа за изпомпване на този слой е равна на

A i„Р i x i, ,

където П аз=rgV аз= rgpR 2 dx, Р аз– тегло, V азе обемът на слоя. Тогава A i" Р i x i= rgpR 2 dx.x i, където

, и следователно .

Задача 2. Намерете инерционния момент

а) кух тънкостенен цилиндър около ос, минаваща през неговата ос на симетрия;

б) плътен цилиндър около ос, минаваща през неговата ос на симетрия;

в) дължина на тънък прът локоло оста, минаваща през средата му;

г) дължина на тънък прът локоло оста, минаваща през левия му край.

Решение.Както знаете, инерционният момент на точка спрямо оста е равен на Дж=г-н 2 , и точкови системи .

а) Цилиндърът е тънкостенен, което означава, че дебелината на стената може да се пренебрегне. Нека радиусът на основата на цилиндъра R, неговата височина H и плътността на масата по стените са равни на r.

Нека разделим цилиндъра Пчасти и намерете къде J i- момент на инерция аз-ти дялов елемент.

Обмисли аз-ти преграден елемент (безкрайно малък цилиндър). Всички негови точки са на разстояние R от оста л. Нека масата на този цилиндър t i, тогава t i= rV аз» RS страна= 2prR dx i, където x iО. Тогава J i» R 2 prR dx i, където

.

Ако r е константа, тогава Дж= 2prR 3 N, и тъй като масата на цилиндъра е M = 2prRН, тогава Дж= MR 2.

б) Ако цилиндърът е твърд (напълнен), тогава го разделяме на П vloтънки цилиндри, сгушени един в друг. Ако Пголеми, всеки от тези цилиндри може да се счита за тънкостенен. Това разделение съответства на разделянето на сегмента в Пчасти по точки R аз. Да намерим масата аз-ти тънкостенен цилиндър: t i= rV аз, където

V аз=pR аз 2 H - pR аз- 1 2 H \u003d pH (R аз 2-R аз -1 2) =

PH(R аз-Р аз-1)(Р аз+Р аз -1).

Тъй като стените на цилиндъра са тънки, можем да приемем, че R аз+Р аз-1 » 2R ази Р аз-Р аз-1=DR аз, след това В аз» pH2R азд-р аз, където t i» rpН×2R азд-р аз,

Тогава най-накрая

в) Да разгледаме прът с дължина л, чиято масова плътност е равна на r. Нека оста на въртене минава през средата му.

Моделираме пръта като сегмент от оста OX, тогава оста на въртене на пръта е оста OY. Помислете за елементарен сегмент, неговата маса, разстоянието до оста може да се счита за приблизително равно на r i= x i. Тогава инерционният момент на този участък е , откъдето инерционният момент на целия прът е . Като се има предвид, че масата на пръта е , тогава

г) Сега нека оста на въртене минава през левия край на пръта, т.е. прътовият модел е сегмент от оста OX. Тогава по подобен начин, r i= x i, , където , и тъй като , тогава .

Задача 3.Намерете силата на натиск на течност с плътност r върху правоъгълен триъгълник с катети аи b, потопени вертикално в течност, така че кракът ае на повърхността на течността.

Решение.

Нека изградим модел на задача. Нека горната част прав ъгълтриъгълник е в началото, катет асъвпада със сегмента на оста OY (оста OY определя повърхността на течността), оста OX е насочена надолу, кракът bсъвпада с сегмента на тази ос. Хипотенузата на този триъгълник има уравнението , или .

Известно е, че ако върху хоризонталната зона на района С, потопен в течност с плътност r, се притиска от стълб течност с височина ч, тогава силата на натиск е равна на (закон на Паскал). Нека използваме този закон.

Нека представим някои приложения на определения интеграл.

Изчисляване на площта на плоска фигура

Площта на криволинеен трапец, ограничен от крива (където
), прав
,
и сегмент
брадви
, се изчислява по формулата

.

Площ на фигура, ограничена от криви
и
(където
) прав
и
изчислено по формулата

.

Ако кривата е дадена с параметрични уравнения
, тогава площта на криволинейния трапец, ограничена от тази крива, прави линии
,
и сегмент
брадви
, се изчислява по формулата

,

където и се определят от уравненията
,
, а
при
.

Площ на извит сектор, ограничен от крива, дефинирана в полярни координатиуравнение
и два полярни радиуса
,
(
), се намира по формулата

.

Пример 1.27.Изчислете площта на фигура, ограничена от парабола
и директно
(Фигура 1.1).

	Решение.Нека намерим пресечните точки на правата и параболата. За да направим това, решаваме уравнението , . Където , . Тогава по формула (1.6) имаме .

Изчисляване на дължината на дъгата на равнинна крива

Ако кривата
на сегмента
- гладка (т.е. производната
е непрекъсната), тогава дължината на съответната дъга на тази крива се намира по формулата

.

При параметрично задаване на крива
(
- непрекъснато диференцируеми функции) дължината на дъгата на кривата, съответстваща на монотонна промяна на параметъра от преди , се изчислява по формулата

Пример 1.28.Изчислете дължината на дъгата на крива
,
,
.

Решение.Нека намерим производните по отношение на параметъра :
,
. Тогава по формула (1.7) получаваме

.

2. Диференциално смятане на функциите на няколко променливи

Нека всяка подредена двойка числа
от някаква област
отговаря на определено число
. Тогава Наречен функция на две променливи и ,
-независими променливи или аргументи ,
-област на дефиниция функции, но комплекта всички функционални стойности - неговия обхват и обозначават
.

Геометрично областта на дадена функция обикновено е част от равнината
ограничени от линии, които могат или не могат да принадлежат на тази област.

Пример 2.1.Намерете домейн
функции
.

Решение.Тази функция е дефинирана в тези точки на равнината , в който , или . Точки от равнината, за които , формират границата на района . Уравнението дефинира парабола (фиг. 2.1; тъй като параболата не принадлежи на областта , е показано като пунктирана линия). Освен това е лесно да се провери директно, че точките, за които , разположен над параболата. Регион е отворена и може да се определи чрез системата от неравенства:

Ако е променлива дайте малко тласък
, а оставете го постоянно, след това функцията
ще получи увеличение
Наречен частна функция за нарастване по променлива :

По същия начин, ако променливата получава увеличение
, а остава постоянна, тогава функцията
ще получи увеличение
Наречен частна функция за нарастване по променлива :

Ако съществуват ограничения:

,

,

те се наричат частни производни на функция
по променливи и съответно.

Забележка 2.1. Частните производни на функции на произволен брой независими променливи се дефинират по подобен начин.

Забележка 2.2. Тъй като частната производна по отношение на всяка променлива е производна по отношение на тази променлива, при условие че другите променливи са постоянни, тогава всички правила за диференциране на функции на една променлива са приложими за намиране на частни производни на функции на произволен брой променливи.

Пример 2.2.
.

Решение. Намираме:

,

.

Пример 2.3.Намерете частични производни на функции
.

Решение. Намираме:

,

,

.

Пълно увеличение на функцията
се нарича разлика

Основна част от общото увеличение на функцията
, линейно зависими от увеличенията на независими променливи
и
,се нарича пълен диференциал на функцията и означено
. Ако функцията има непрекъснати частични производни, тогава общият диференциал съществува и е равен на

,

където
,
- произволни увеличения на независими променливи, наречени техни диференциали.

По същия начин за функция на три променливи
общият диференциал се дава от

.

Нека функцията
има в точката
частни производни от първи ред по отношение на всички променливи. Тогава векторът се извиква градиент функции
в точката
и означено
или
.

Забележка 2.3. Символ
се нарича оператор на Хамилтън и се произнася "numbla".

Пример 2.4.Намерете градиента на функция в точка
.

Решение. Нека намерим частични производни:

,
,

и изчислете техните стойности в точката
:

,
,
.

Следователно,
.

производна функции
в точката
по посока на вектора
наречена граница на съотношението
при
:

, където
.

Ако функцията
е диференцируема, то производната в тази посока се изчислява по формулата:

,

където ,- ъгли, кой вектор форми с оси
и
съответно.

В случай на функция на три променливи
производната на посоката се определя по подобен начин. Съответната формула има формата

,

където
- насочващи косинуси на вектора .

Пример 2.5.Намерете производната на функция
в точката
по посока на вектора
, където
.

Решение. Нека намерим вектора
и неговите косинуси на посоката:

,
,
,
.

Изчислете стойностите на частичните производни в точката
:

,
,
;
,
,
.

Замествайки в (2.1), получаваме

.

Частични производни от втори ред наречени частични производни, взети от частни производни от първи ред:

,

,

,

Частични производни
,
Наречен смесен . Стойностите на смесените производни са равни в тези точки, където тези производни са непрекъснати.

Пример 2.6.Намерете частични производни от втори ред на функция
.

Решение. Изчислете първите частични производни от първи ред:

,
.

Разграничавайки ги отново, получаваме:

,
,

,
.

Сравнявайки последните изрази, виждаме това
.

Пример 2.7.Докажете, че функцията
удовлетворява уравнението на Лаплас

.

Решение. Намираме:

,
.

,
.

.

Точка
Наречен локална максимална точка (минимум ) функции
, ако за всички точки
, различни от
и принадлежащи към достатъчно малка околност от него, неравенството

(
).

Максимумът или минимумът на една функция се нарича неин екстремум . Точката, в която е достигнат екстремумът на функцията, се нарича екстремна точка на функцията .

Теорема 2.1 (Необходими условия за екстремум ). Ако точка
е екстремната точка на функцията
, тогава поне една от тези производни не съществува.

Точките, за които тези условия са изпълнени, се наричат стационарен или критичен . Екстремните точки винаги са неподвижни, но стационарната точка може да не е екстремна точка. За да бъде стационарна точка точка на екстремум, трябва да са изпълнени достатъчни екстремални условия.

Нека първо въведем следната нотация :

,
,
,
.

Теорема 2.2 (Достатъчни условия за екстремум ). Нека функцията
е два пъти диференцируема в околност на точка
и точка
е неподвижен за функцията
. Тогава:

1.Ако
, тогава точката
е екстремумът на функцията и
ще бъде максималната точка при
(
)и минималната точка при
(
).

2.Ако
, след това в точката

няма екстремум.

3.Ако
, тогава може да има или да няма екстремум.

Пример 2.8.Изследване на функция за екстремум
.

Решение. Тъй като в този случайвинаги съществуват частни производни от първи ред, тогава за намиране на стационарните (критични) точки решаваме системата:

,
,

където
,
,
,
. Така имаме две стационарни точки:
,
.

,
,
.

За точка
получаваме:, тоест в тази точка няма екстремум. За точка
получаваме: и
, Следователно

в този момент дадена функциядостига локален минимум: .

Министерство на образованието и науката на Руската федерация

федерална държавна автономна образователна институция

висше професионално образование

„Северен (Арктика) федерален университетна името на M.V. Ломоносов"

Катедра по математика

КУРСОВА РАБОТА

По дисциплина Математика

Пятишева Анастасия Андреевна

Ръководител

Изкуство. учител

Бородкина Т. А.

Архангелск 2014 г

ЗАДАЧА ЗА КУРСОВА РАБОТА

Приложения на определения интеграл

ИЗХОДНИ ДАННИ:

21. y=x 3 , y= ; 22.

ВЪВЕДЕНИЕ

В тази курсова работа ми бяха дадени следните задачи: да изчисля площите на фигури, ограничени от графики на функции, ограничени от линии, дадени от уравнения, също ограничени от линии, дадени от уравнения в полярни координати, да изчисля дължините на дъгите на кривите дадени чрез уравнения в правоъгълна системакоординати, зададени от параметрични уравнения, дадени от уравнения в полярни координати, както и изчисляване на обемите на тела, ограничени от повърхности, ограничени от графики на функции, и образувани от въртенето на фигури, ограничени от графики на функции, около полярната ос. Избрах курсова работа на тема „Определен интеграл. В тази връзка реших да разбера колко лесно и бързо можете да използвате интегрални изчисления и колко точно можете да пресмятате поставените ми задачи.

ИНТЕГРАЛ е едно от най-важните понятия на математиката, възникнало във връзка с необходимостта, от една страна, да се намерят функции по техните производни (например да се намери функция, която изразява пътя, изминат от движеща се точка, според скорост на тази точка), а от друга страна, за измерване на площи, обеми, дължини, дъги, работата на силите за определен период от време и др.

Разкриване на темата срочна писмена работаСледвах следния план: дефиниране на определен интеграл и неговите свойства; дължина на дъгата на кривата; площ на криволинейния трапец; повърхност на въртене.

За всяка функция f(x), непрекъсната на сегмента, съществува антипроизводна на този сегмент, което означава, че съществува неопределен интеграл.

Ако функцията F(x) е някаква антипроизводна на непрекъсната функция f(x), тогава този израз е известен като формулата на Нютон-Лайбниц:

Основните свойства на определения интеграл:

Ако долната и горната граница на интегриране са равни (a=b), тогава интегралът е равен на нула:

Ако f(x)=1, тогава:

При пренареждане на границите на интегриране, определеният интеграл променя знака на противоположния:

Постоянният фактор може да бъде изваден от знака на определен интеграл:

Ако функциите са интегрируеми на, то тяхната сума е интегрируема и интегралът на сумата е равно на суматаинтеграли:

Има и основни методи за интегриране, като например промяна на променлива,:

Поправка на диференциала:

Формулата за интегриране по части позволява да се намали изчисляването на интеграла до изчисляването на интеграла, което може да се окаже по-просто:

Геометричният смисъл на определен интеграл е, че за непрекъсната и неотрицателна функция той е в геометричен смисъл площта на съответния криволинеен трапец.

Освен това, като използвате определен интеграл, можете да намерите площта на областта, ограничена от криви, прави линии и, където

Ако криволинеен трапец е ограничен от крива, зададена параметрично от правите x = a и x = b и оста Ox, тогава неговата площ се намира по формулата, където те се определят от равенството:

. (12)

Основната област, площта на която се намира с помощта на определен интеграл, е криволинеен сектор. Това е областта, ограничена от два лъча и крива, където r и са полярни координати:

Ако кривата е графика на функцията където и функцията на нейната производна е непрекъсната на този сегмент, тогава повърхността на фигурата, образувана от въртенето на кривата около оста Ox, може да се изчисли по формулата:

. (14)

Ако функция и нейната производна са непрекъснати на сегмент, тогава кривата има дължина, равна на:

Ако уравнението на кривата е дадено в параметрична форма

където x(t) и y(t) са непрекъснати функции с непрекъснати производни и тогава дължината на кривата се намира по формулата:

Ако кривата е дадена чрез уравнение в полярни координати, където и са непрекъснати в сегмента, тогава дължината на дъгата може да се изчисли, както следва:

Ако криволинеен трапец се върти около оста Ox, ограничен от непрекъснат сегмент и прави линии x \u003d a и x \u003d b, тогава обемът на тялото, образуван от въртенето на този трапец около оста Ox, ще бъде равен на :

Ако криволинеен трапец е ограничен от графика на непрекъсната функция и прави x = 0, y = c, y = d (c< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, будет равен:

Ако фигурата е ограничена от криви и (е „по-висока“ отколкото от прави линии x = a, x = b, тогава обемът на тялото на въртене около оста Ox ще бъде равен на:

и около оста y (:

Ако криволинейният сектор се завърти около полярната ос, тогава площта на полученото тяло може да се намери по формулата:

2. РЕШАВАНЕ НА ПРОБЛЕМИ

Задача 14: Изчислете площите на фигури, ограничени от графики на функции:

1) Решение:

Фигура 1 - Графика на функциите

X се променя от 0 на

x 1 = -1 и x 2 = 2 - граници на интегриране (това може да се види на фигура 1).

3) Изчислете площта на фигурата, като използвате формула (10).

Отговор: S = .

Задача 15: Изчислете повърхнините на фигурите, ограничени от линиите, дадени с уравненията:

1) Решение:

Фигура 2 - Графика на функциите

Да разгледаме функция на интервала.

Фигура 3 - Таблица с променливи за функцията

Тъй като тогава 1 дъга ще се побере на този период. Тази дъга се състои от централна част (S 1) и странични части. Централната част се състои от желаната част и правоъгълник (S pr):. Нека изчислим площта на една централна част на дъгата.

2) Намерете границите на интеграция.

и y = 6, следователно

За интервал, границите на интегриране.

3) Намерете площта на фигурата, като използвате формула (12).

криволинеен интегрален трапец

Задача 16: Изчислете площите на фигури, ограничени от линии, дадени с уравнения в полярни координати:

1) Решение:

Фигура 4 - Графика на функциите,

Фигура 5 - Таблица с променливи функции,

2) Намерете границите на интеграция.

Следователно -

3) Намерете площта на фигурата, като използвате формула (13).

Отговор: S=.

Задача 17: Изчислете дължините на дъгите на криви, дадени с уравнения в правоъгълна координатна система:

1) Решение:

Фигура 6 - Графика на функцията

Фигура 7 - Таблица с функционални променливи

2) Намерете границите на интеграция.

варира от ln до ln, това е очевидно от условието.

3) Намерете дължината на дъгата, като използвате формула (15).

Отговор: л =

Задача 18: Изчислете дължините на дъгите на криви, дадени от параметрични уравнения: 1)

1) Решение:

Фигура 8- Функционална графика

Фигура 11 - Таблица с функционални променливи

2) Намерете границите на интеграция.

ts варира от, това е очевидно от условието.

Нека намерим дължината на дъгата с помощта на формула (17).

Задача 20: Изчислете обемите на тела, ограничени от повърхности:

1) Решение:

Фигура 12 - Графика на функциите:

2) Намерете границите на интеграция.

Z се променя от 0 на 3.

3) Намерете обема на фигурата по формула (18)

Задача 21: Изчислете обемите на тела, ограничени от графики на функции, ос на въртене Ox: 1)

1) Решение:

Фигура 13 - Графика на функциите

Фигура 15 - Таблица с функционална графика

2) Намерете границите на интеграция.

Точките (0;0) и (1;1) са общи за двете графики, следователно това са границите на интегриране, което е очевидно на фигурата.

3) Намерете обема на фигурата по формула (20).

Задача 22: Изчислете площта на телата, образувани от въртенето на фигури, ограничени от функционални графики около полярната ос:

1) Решение:

Фигура 16 - Графика на функцията

Фигура 17 - Таблица с променливи за графиката на функцията

2) Намерете границите на интеграция.

c промени от

3) Намерете площта на фигурата, като използвате формула (22).

Отговор: 3,68

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процеса на завършване на моята курсова работа по темата „Определен интеграл“ научих как да изчислявам площи различни тела, намерете дължините на различни дъги от криви и изчислете обеми. Това представянеотносно работата с интеграли, ще ми помогне в бъдеще професионална дейносткак да изпълнявате бързо и ефективно различни дейности. В крайна сметка самият интеграл е едно от най-важните понятия на математиката, възникнало във връзка с необходимостта, от една страна, да се намерят функции по техните производни (например да се намери функция, изразяваща пътя, изминат от движещ се точка, според скоростта на тази точка), а от друга страна, за измерване на площи, обеми, дължини на дъги, работа на силите за определен период от време и др.

СПИСЪК НА ИЗПОЛЗВАНИТЕ ИЗТОЧНИЦИ

1. Написано, D.T. Конспекти от лекции по висша математика: Част 1 - 9-то изд. - М.: Ирис-прес, 2008. - 288 с.

2. Бугров, Я.С., Николски, С.М. Висша математика. Диференциал и интегрално смятане: V.2 - М.: Дрофа, 2004. - 512 с.

3. В. А. Зорич, Математически анализ. Част I. - Изд. 4-ти - М.: МЦНМО, 2002. - 664 с.

4. Кузнецов Д.А. „Сборник задачи за висша математика» Москва, 1983 г

5. Николски С. Н. „Елементи математически анализ". - М.: Наука, 1981.

Подобни документи

Изчисляване на площите на равнинни фигури. Намиране на определен интеграл на функция. Определяне на площта под кривата, площта на фигурата, затворена между кривите. Изчисляване на обемите на телата на въртене. Границата на интегралната сума на функция. Определяне на обема на цилиндър.

презентация, добавена на 18.09.2013 г


Характеристики на изчисляване на обемите на тела, ограничени от повърхности, използвайки геометричен смисъл двоен интеграл. Определяне на площите на равнинни фигури, ограничени от линии, с помощта на метода на интегриране в хода на математическия анализ.

презентация, добавена на 17.09.2013 г


Производна на определен интеграл по отношение на променлива горен лимит. Изчисляване на определен интеграл като граница на интегралната сума по формулата на Нютон–Лайбниц, промяна на променлива и интегриране по части. Дължина на дъгата в полярна системакоординати.

контролна работа, добавена на 22.08.2009 г


Моменти и масови центрове на равнинни криви. Теорема на Гулден. Повърхнината, образувана от въртенето на дъга от равнинна крива около ос, която лежи в равнината на дъгата и не я пресича, е равна на произведението от дължината на дъгата и дължината на окръжността.

лекция, добавена на 09/04/2003


Техниката и основните етапи на намиране на параметрите: площта на криволинейния трапец и сектор, дължината на дъгата на кривата, обемът на телата, повърхността на телата на въртене, работата на променлива сила. Редът и механизмът за изчисляване на интеграли с помощта на пакета MathCAD.

контролна работа, добавена на 21.11.2010 г


Необходими и достатъчно условиеналичието на определен интеграл. Равенство на определен интеграл от алгебрична сума(разлика) на две функции. Теорема за средната стойност – следствие и доказателство. Геометричният смисъл на определен интеграл.

презентация, добавена на 18.09.2013 г


Задача числено интегриранефункции. Изчисляване на приближената стойност на определен интеграл. Намиране на определен интеграл чрез методите на правоъгълници, средни правоъгълници, трапеци. Грешката на формулите и сравнението на методите по отношение на точността.

ръководство за обучение, добавено на 01.07.2009 г


Методи за изчисляване на интеграли. Формули и проверка на неопределен интеграл. Площ на криволинеен трапец. Неопределено, определено и сложен интеграл. Основни приложения на интегралите. Геометричен смисъл на определени и неопределени интеграли.

презентация, добавена на 15.01.2014 г


Изчисляване на площта на фигура, ограничена от дадени линии, използвайки двоен интеграл. Изчисляване на двойния интеграл чрез преминаване към полярни координати. Метод на определяне криволинейни интегралиот втори вид по дадена линия и поток на векторно поле.

контролна работа, добавена на 14.12.2012 г


Понятието за определен интеграл, изчисляване на площта, обема на тялото и дължината на дъгата, статичния момент и центъра на тежестта на кривата. Изчисляване на площта в случай на правоъгълна криволинейна област. Приложение на криволинейни, повърхностни и тройни интеграли.

Лекции 8. Приложения на определен интеграл.

Приложение на интеграла към физически задачисе основава на свойството за адитивност на интеграла върху множество. Следователно с помощта на интеграла могат да се изчислят такива величини, които сами по себе си са адитивни в множеството. Например, площта на фигура е равна на сумата от площите на частите й. Дължината на дъгата, повърхността, обемът на тялото и масата на тялото имат същото свойство. Следователно всички тези величини могат да бъдат изчислени с помощта на определен интеграл.

Има два начина за решаване на проблеми: методът на интегралните суми и методът на диференциалите.

Методът на интегралните суми повтаря конструкцията на определен интеграл: конструира се дял, маркират се точки, в тях се изчислява функция, изчислява се интегрална сума и се извършва преминаването към границата. При този метод основната трудност е да се докаже, че в границата ще се получи точно това, което е необходимо в проблема.

Диференциалният метод използва неопределения интеграл и формулата на Нютон–Лайбниц. Изчислява се диференциалът на стойността, която трябва да се определи, и след това, като се интегрира този диференциал, се получава необходимата стойност с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц. При този метод основната трудност е да се докаже, че се изчислява диференциалът на желаната стойност, а не нещо друго.

Изчисляване на площите на равнинни фигури.

1. Фигурата е ограничена до графиката на функцията, посочена в Декартова системакоординати.

Стигнахме до концепцията за определен интеграл от проблема за площта на криволинейния трапец (всъщност, използвайки метода на интегралните суми). Ако функцията приема само не отрицателни стойности, тогава площта под графиката на функцията върху сегмента може да се изчисли с помощта на определен интеграл. забележи това така че тук можете да видите метода на диференциалите.

Но функцията може също да приема отрицателни стойности на определен сегмент, тогава интегралът върху този сегмент ще даде отрицателна площ, което противоречи на определението за площ.

Можете да изчислите площта с помощта на формулатаС=. Това е еквивалентно на промяна на знака на функцията в онези области, в които тя приема отрицателни стойности.

Ако трябва да изчислите площта на фигура, ограничена отгоре от графиката на функцията и отдолу от графиката на функцията, тогава можете да използвате формулатаС= , защото .

Пример. Изчислете площта на фигурата, ограничена от прави линии x=0, x=2 и графики на функции y=x 2 , y=x 3 .

Забележете, че на интервала (0,1) е изпълнено неравенството x 2 > x 3, а за x >1 е изпълнено неравенството x 3 > x 2. Ето защо

2. Фигурата е ограничена до графиката на функцията, дадена в полярната координатна система.

Нека графиката на функцията е дадена в полярната координатна система и искаме да изчислим площта на криволинейния сектор, ограничен от два лъча и графиката на функцията в полярната координатна система.

Тук можете да използвате метода на интегралните суми, изчислявайки площта на извит сектор като границата на сумата от площите на елементарните сектори, в които графиката на функцията се заменя с дъга от кръг .

Можете също да използвате диференциалния метод: .

Можете да разсъждавате така. Заменяйки елементарния криволинеен сектор, съответстващ на централния ъгъл с кръгов сектор, имаме пропорцията . Оттук . Интегрирайки и използвайки формулата на Нютон-Лайбниц, получаваме .

Пример. Изчислете площта на кръга (проверете формулата). Ние вярваме . Площта на кръга е .

Пример. Изчислете площта, ограничена от кардиоидата .

3 Фигурата е ограничена до графиката на функция, зададена параметрично.

Функцията може да бъде зададена параметрично във формата . Използваме формулата С= , замествайки в него границите на интегриране по отношение на новата променлива. . Обикновено при изчисляване на интеграла се разграничават областите, в които интеграндът има определен знак и се взема предвид съответната област с един или друг знак.

Пример. Изчислете площта, оградена от елипсата.

Използвайки симетрията на елипсата, изчисляваме площта на една четвърт от елипсата, разположена в първия квадрант. в този квадрант. Ето защо .

Изчисляване на обеми на тела.

1. Изчисляване на обемите на тела от площите на успоредни сечения.

Нека се изисква да се изчисли обемът на някакво тяло V от известни площадисечения на това тяло с равнини, перпендикулярни на правата OX, прекарана през всяка точка x от отсечката OX.

Прилагаме метода на диференциалите. Като се има предвид елементарният обем над отсечката като обем на прав кръгов цилиндър с основна площ и височина, получаваме . Интегрирайки и прилагайки формулата на Нютон-Лайбниц, получаваме

2. Изчисляване на обемите на телата на въртене.

Нека се изисква да се изчисли ОХ.

Тогава .

по същия начин, обем на въртящо се тяло около осой, ако функцията е дадена във формата , може да се изчисли с помощта на формулата .

Ако функцията е дадена във формата и се изисква да се определи обемът на тялото на въртене около остаой, тогава формулата за изчисляване на обема може да се получи, както следва.

Преминавайки към диференциала и пренебрегвайки квадратичните членове, имаме . Интегрирайки и прилагайки формулата на Нютон-Лайбниц, имаме .

Пример. Изчислете обема на сферата.

Пример. Да се ​​изчисли обемът на прав кръгов конус, ограничен от повърхнина и равнина.

Изчислете обема като обем на въртеливо тяло, образувано от въртене около оста OZ правоъгълен триъгълникв равнината OXZ, чиито крака лежат на оста OZ и линията z \u003d H, а хипотенузата лежи на линията.

Изразявайки x чрез z, получаваме .

Изчисляване на дължината на дъгата.

За да получим формули за изчисляване на дължината на дъга, нека си припомним формулите за диференциала на дължината на дъга, получени през 1-ви семестър.

Ако дъгата е графика на непрекъснато диференцируема функция, разликата в дължината на дъгата може да се изчисли по формулата

. Ето защо

Ако параметрично е зададена гладка дъга, тогава

. Ето защо .

Ако дъгата е в полярни координати, тогава

. Ето защо .

Пример. Изчислете дължината на дъгата на графиката на функцията, . .

Площта на криволинейния трапец, ограничена отгоре от графиката на функция y=f(x), ляво и дясно - прави х=аи x=bсъответно отдолу - оста вол, се изчислява по формулата

Площ на криволинеен трапец, ограничен отдясно от графиката на функция x=φ(y), отгоре и отдолу - прави y=dи y=cсъответно отляво - оста Ой:

Квадрат криволинейна фигура, ограничена отгоре от графиката на функцията y 2 \u003d f 2 (x), отдолу - графика на функцията y 1 \u003d f 1 (x), ляво и дясно - прави х=аи x=b:

Площта на криволинейна фигура, ограничена отляво и отдясно от функционални графики x 1 \u003d φ 1 (y)и x 2 \u003d φ 2 (y), отгоре и отдолу - прави y=dи y=cсъответно:

Разгледайте случая, когато линията, ограничаваща криволинейния трапец отгоре, е дадена от параметричните уравнения x = φ 1 (t), y \u003d φ 2 (t), където α ≤ t ≤ β, φ 1 (α)=a, φ 1 (β)=b. Тези уравнения дефинират някаква функция y=f(x)на сегмента [ а, б]. Площта на криволинейния трапец се изчислява по формулата

Нека да преминем към нова променлива x = φ 1 (t), тогава dx = φ" 1 (t) dt, а y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t), следователно \begin(displaymath)

Област в полярни координати

Помислете за криволинеен сектор OAB, ограничен с линия, дадено от уравнението ρ=ρ(φ) в полярни координати, два лъча ОАи ОВ, за което φ=α , φ=β .

Разделяме сектора на елементарни сектори OM k-1 M k ( k=1, …, n, М 0 =А, Mn=B). Означаваме с Δφkъгъл между гредите OM k-1и OM kобразуващи ъгли с полярната ос φk-1и φkсъответно. Всеки от елементарните сектори OM k-1 M kзаменете с кръгъл сектор с радиус ρ k \u003d ρ (φ "k), където φ" k- стойност на ъгъла φ от интервала [ φk-1, φk], и централен ъгъл Δφk. Площта на последния сектор се изразява с формулата .

изразява площта на "стъпаловиден" сектор, който приблизително замества дадения сектор OAB.

Секторна площ OABсе нарича границата на площта на "стъпаловиден" сектор при n→∞и λ=max Δφ k → 0:

защото , тогава

Дължина на дъгата на кривата

Нека на интервала [ а, б] е дадена диференцируема функция y=f(x), чиято графика е дъгата . Линеен сегмент [ а,б] се разделят на нчасти точки х 1, x2, …, xn-1. Тези точки ще съответстват на точките M1, М2, …, Mn-1дъги, свързват ги с начупена линия, която се нарича начупена линия, вписана в дъга. Периметърът на тази прекъсната линия е означен с s n, това е

Определение. Дължината на дъгата на линията е границата на периметъра на полилинията, вписана в нея, когато броят на връзките M k-1 M kнараства неограничено, а дължината на най-голямата от тях клони към нула:

където λ е дължината на най-голямата връзка.

Ще броим дължината на дъгата от някои от нейните точки, напр. А. Нека в точката M(x,y)дължината на дъгата е с, и в точката M"(x+Δx,y+Δy)дължината на дъгата е s+Δs, където i>Δs - дължина на дъгата. От триъгълник МНМ"намерете дължината на хордата: .

от геометрични съображенияследва това

безкрайно малката дъга на линията и хордата, която я свързва, са еквивалентни.

Нека трансформираме формулата, изразяваща дължината на хордата:

Преминавайки до границата в това равенство, получаваме формула за производната на функцията s=s(x):

от които намираме

Тази формула изразява диференциала на дъгата на равнинна крива и има проста геометричен смисъл : изразява Питагоровата теорема за безкрайно малък триъгълник MTN (ds=MT, ).

Диференциалът на дъгата на пространствената крива се дава от

Помислете за дъга от пространствена линия, дадена от параметричните уравнения

където α ≤ t ≤ β, φ i (t) (i=1, 2, 3) са диференцируеми функции на аргумента T, тогава

Интегрирайки това равенство върху интервала [ α, β ], получаваме формула за изчисляване на дължината на тази дъга

Ако правата лежи в равнина Окси, тогава z=0за всички t∈[α, β], Ето защо

В случай, когато плоска линиядадено от уравнението y=f(x) (a≤x≤b), където f(x)е диференцируема функция, последната формула приема формата

Нека плоската линия е дадена от уравнението ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) в полярни координати. В този случай имаме параметрични уравнениялинии x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) sin φ, където полярният ъгъл се приема като параметър φ . Тъй като

след това формулата, изразяваща дължината на дъгата на линията ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) в полярни координати има формата

обем на тялото

Нека намерим обема на тялото, ако е известна площта на всяко напречно сечение на това тяло, перпендикулярно на определена посока.

Нека разделим това тяло на елементарни слоеве с равнини, перпендикулярни на оста воли се определя от уравненията x=конст. За всякакви фиксирани x∈известна област S=S(x)напречно сечение на това тяло.

Елементарен слой, отрязан от равнини х=х k-1, x=x k (k=1, …, n, х 0 =а, xn=b), заместваме го с цилиндър с височина ∆x k =x k -x k-1и базова площ S(ξk), ξk ∈.

Обемът на посочения елементарен цилиндър се изразява с формулата Δvk =E(ξk)Δxk. Нека обобщим всички подобни продукти

което е интегралната сума за дадената функция S=S(x)на сегмента [ а, б]. Изразява обема на стъпаловидно тяло, състоящо се от елементарни цилиндри и приблизително заместващо даденото тяло.

Обемът на дадено тяло е границата на обема на определеното стъпаловидно тяло при λ→0 , където λ - дължината на най-големия от елементарните сегменти ∆x k. Означаваме с Vобема на даденото тяло, то по дефин

От друга страна,

Следователно обемът на тялото според даденото напречни сеченияизчислено по формулата

Ако тялото е образувано от въртене около ос волкриволинеен трапец, ограничен отгоре с дъга от непрекъсната линия y=f(x), където a≤x≤b, тогава S(x)=πf 2 (x)и последната формула става:

Коментирайте. Обемът на тяло, получен чрез въртене на криволинеен трапец, ограничен отдясно от графика на функция x=φ(y) (c ≤ x ≤ d), около оста Ойизчислено по формулата

Повърхностна площ на въртене

Помислете за повърхността, получена чрез завъртане на дъгата на линията y=f(x) (a≤x≤b) около оста вол(да приемем, че функцията y=f(x)има непрекъсната производна). Фиксираме стойността x∈, аргументът на функцията ще бъде увеличен dx, което съответства на "елементарния пръстен", получен чрез завъртане на елементарната дъга Δl. Този "пръстен" се заменя с цилиндричен пръстен - страничната повърхност на тялото, образувана от въртенето на правоъгълник с основа, равна на диференциала на дъгата дл, и височина h=f(x). Отрязвайки последния пръстен и го разгъваме, получаваме лента с шир дли дължина 2πy, където y=f(x).

Следователно разликата в повърхностната площ се изразява с формулата

Тази формула изразява площта на повърхността, получена чрез завъртане на дъгата на линия y=f(x) (a≤x≤b) около оста вол.