С.П. БОБКОВ, Д.О. БИТЕВ

МОДЕЛИРАНЕ НА СИСТЕМИ

Урок

Федерална агенция за образование

Държавна образователна институция за висше професионално образование

Ивановски държавен химикотехнологичен университет

Международен университет за бизнес и нови технологии (институт)

С.П. БОБКОВ, Д.О. БИТЕВ

МОДЕЛИРАНЕ НА СИСТЕМИ

За студенти.

Бобков С.П. Моделиране на системи: учебник. надбавка / С.П. Бобков,

ПРЕДИ. Битев; Иван. състояние химическа технология унив. – Иваново, 2008. – 156 с. - ISBN

Целта на учебника е да даде на студентите общи познания за съвременните методи за моделиране на технически и технико-икономически системи и обекти.

Ръководството разглежда общи въпроси и съвременни методически

технология на моделиране, непрекъснати и дискретни детерминирани модели

разделения на обекти и системи, стохастични модели с дискретно и непрекъснато време. Много внимание се отделя на методите за симулационно моделиране на системи с вероятностни характеристики. Направен е преглед на други подходи за моделиране на сложни системи, като информационно-ентропийни, използването на невронни мрежи и мрежи на Петри.

Учебникът е предназначен за студенти от специалностите 080801 „Приложна информатика” и 230201

„Информационни системи и технологии“. В допълнение, ръководството може да бъде полезно за студенти от други специалности и области.

Таблица 7. Ил.92. Библиография: 10 загл

Публикува се с решение на редакционно-издателския съвет Иванов-

Руски държавен химикотехнологичен университет.

Рецензенти:

Катедра по приложна математика, Ивановски държавен енергиен университет; Доктор на физико-математическите науки V.A. Соколов, (Ярославски държавен университет).

ISBN 5-9616-0268-6 © Държавна образователна институция за висше професионално образование Ивановски държавен химико-технологичен университет, 2008

1.5. Концепцията за схема за математическо моделиране. . . . . . . . . . . . . . 12

1.6. Обща методика за създаване на математически модели. . . . . . . . . . . 13

1.7. Основни понятия на системния подход към създаването

математически модели. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. ДЕТЕРМИНИСТИЧНИ МОДЕЛИ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1. Математически модели на технически обекти. . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.1. Компонентни функционални уравнения на обекти. . . . . 20

2.1.2. Фазови променливи и техните аналогии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.3. Топологични уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.4. Примери за създаване на модели на технически обекти. . . . . . . 25

2.1.5. Модели на технологични устройства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2. Крайни автомати. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.1. Концепцията за краен автомат. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.2. Методи за описание и класове на крайни автомати. . . . . . . . 32

2.2.3. Други видове крайни автомати. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3. СТОХАСТИЧНИ МОДЕЛИ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1. Елементи от теорията на марковските случайни процеси. . . . . . . . . . . 39

3.1.1. Концепцията за случаен процес. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.2. Дискретни вериги на Марков. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.3. Стационарно разпределение на вероятностите. . . . . . . . . . . . . 43

3.1.4. Непрекъснати вериги на Марков. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.5. Уравнения A.N. Колмогоров. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1.6. Потоци от събития. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2. Основи на теорията на масовото обслужване. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.1. Обобщена блокова схема на QS. Настроики

и характеристики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.2. QS с отворен край с изчакване и заявки на пациенти. 58

3.2.3. Гранични варианти на QS с отворен цикъл. . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2.4 Общ случай на QS с отворена верига. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2.5. Затворен QS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2.6. Мрежи за опашка

с прости потоци от събития. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.3. Вероятностни автомати. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4. СИМУЛАЦИОННО МОДЕЛИРАНЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Дефиниция на симулационен метод. . . . . . . . . .
4.2. Основни понятия на симулационното моделиране. . . . . . . . . . . .
4.3. Основни етапи на симулационното моделиране. . . . . . . . . . . . . .
4.4. Време в симулационни модели. Псевдопаралелизъм. . . . . . . . . .
4.5. Обобщени симулационни алгоритми. . . . . . .
4.6. Моделиране на случайни фактори. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1. Моделиране на основни случайни променливи. . . . . . . . . . . .
4.6.2. Моделиране на непрекъснати случайни променливи
със случайно разпределение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.3. Моделиране на дискретни случайни променливи. . . . . . . . .
4.6.4. Моделиране на случайни събития и техните потоци. . . . . . .
4.7 Моделиране на случайни процеси. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.1 Дискретни вериги на Марков. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.2 Непрекъснати вериги на Марков. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8. Обработка и анализ на резултатите от симулацията.
4.8.1. Оценка на вероятностните параметри. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.2. Оценка на корелационни параметри. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.3. Изчисляване на усреднени за времето QS параметри. . . . . . . . . . . .
4.9. Планиране на експерименти със симулационни модели. . . . .
4.10. Общи проблеми на симулационното моделиране. . . . . . . . . . . .
5. ПРЕГЛЕД НА АЛТЕРНАТИВНИ ПОДХОДИ ЗА МОДЕЛИРАНЕ
КОМПЛЕКСНИ СИСТЕМИ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1. мрежи на Петри. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1. Дефиниция на мрежа на Петри. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2. Функциониране на мрежа на Петри. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3. Анализ на мрежите на Петри. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Невронни мрежи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1. Концепцията за невронна мрежа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2. Изкуствен неврон. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3. Основни видове активиращи функции на изкуствените
неврони. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4. Видове прости невронни мрежи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.5. Рекурентни и самоорганизиращи се невронни мрежи. . .
5.2.6. Общи бележки за използването на невронни мрежи. . . .
5.3. Информационно-ентропиен подход към системното моделиране
СПИСЪК НА ПРЕПОРЪЧИТЕЛНА ЛИТЕРАТУРА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .

ВЪВЕДЕНИЕ

Моделирането е универсален метод за получаване и използване на знания за околния свят. Моделирането винаги се използва от човек в целенасочени дейности, особено в научните изследвания. В съвременните условия нараства ролята и значението на математическото моделиране, което с развитието на компютърните технологии често се нарича компютърно моделиране.

Математическите (компютърни) модели, поради своята логика и строго формален характер, позволяват да се идентифицират основните фактори, които определят свойствата на изследваните системи и да се изследват техните реакции към външни влияния и промени в параметрите. Често математическите модели са по-прости и по-удобни за използване от естествените (физически). Те дават възможност за извършване на изчислителни експерименти, чието реално изпълнение е трудно или невъзможно.

Изучаването на основните принципи на математическото моделиране е неразделна част от обучението на специалисти в техническите области на дейност. Дисциплините, свързани с изучаването на основните аспекти на моделирането на обекти и системи, са задължително включени в съответните учебни програми, като част от федералните образователни стандарти.

Целта на този урок е последователно представяне на съвременни методи за моделиране. Ръководството е предназначено основно за студенти, обучаващи се в специалностите и направленията на „Информационни системи“ и „Приложна информатика (по отрасли). Въпреки това, като се има предвид опитът от преподаването на такива дисциплини в техническите университети, авторите считат за препоръчително да не се ограничават себе си да разглеждат само информационни системи, но също така включват в текста разглеждане на технически и технико-икономически системи и обекти.

Материалът на ръководството е структуриран по следния начин. В първата глава се разглеждат общи въпроси и съвременна методология на моделиране, използването на системен подход при създаване на математически модели. Втората глава е посветена на разглеждането на непрекъснати и дискретни детерминирани модели на обекти и системи. Предлага се използването на метода на аналогиите при синтеза и анализа на модели на технически обекти с различна физическа природа. Третата глава изучава стохастични модели с дискретно и непрекъснато време. Много внимание в ръководството е отделено на методите за симулиране на системи с вероятностни характеристики, което съставлява съдържанието на четвърта глава. Петата глава предоставя преглед на други подходи за моделиране на сложни системи, като информационна ентропия, използване на невронни мрежи и мрежи на Петри.

ОБЩИ ПОНЯТИЯ ЗА МАТЕМАТИЧЕСКО МОДЕЛИРАНЕ

Математическият модел на технически обект е набор от математически обекти и връзки между тях, който адекватно отразява свойствата на обекта, който се изследва, които представляват интерес за изследователя (инженера).

Моделът може да бъде представен по различни начини.

Модели на презентационни форми:

инвариантно - записване на моделни връзки с помощта на традиционен математически език, независимо от метода за решаване на моделните уравнения;

аналитичен - запис на модела под формата на резултат от аналитично решение на изходните уравнения на модела;

алгоритмичен - запис на връзките между модела и избрания метод за числено решение под формата на алгоритъм.

схематичен (графичен) - представяне на модела на някакъв графичен език (например графичен език, еквивалентни схеми, диаграми и др.);

физически

аналогов

Най-универсално е математическото описание на процесите – математическото моделиране.

Концепцията за математическо моделиране включва и процеса на решаване на задача на компютър.

Обобщен математически модел

Математическият модел описва връзката между изходните данни и желаните величини.

Елементите на обобщения математически модел са (фиг. 1): набор от входни данни (променливи) X,Y;

X е набор от променливи променливи; Y - независими променливи (константи);

математически оператор L, който дефинира операции върху тези данни; под което имаме предвид пълна система от математически операции, които описват числени или логически връзки между набори от входни и изходни данни (променливи);

набор от изходни данни (променливи) G(X,Y); е набор от критериални функции, включително (ако е необходимо) целева функция.

Математическият модел е математически аналог на проектирания обект. Степента на неговата адекватност към обекта се определя от формулирането и правилността на решенията на проектния проблем.

Наборът от разнообразни параметри (променливи) X образува пространството от разнообразни параметри Rx (пространство за търсене), което е метрика с размерност n, равна на броя на разнообразните параметри.

Множеството от независими променливи Y образува пространството на метричните входни данни Ry. В случай, че всеки компонент на пространството Ry е специфициран от диапазон от възможни стойности, наборът от независими променливи се преобразува в някакво ограничено подпространство на пространството Ry.

Наборът от независими променливи Y определя работната среда на обекта, т.е. външни условия, при които ще работи проектираният обект

Не може да бъде:

• - технически параметри на обекта, които не подлежат на промяна в процеса на проектиране;
• - физически смущения на средата, с която обектът на проектиране взаимодейства;
• - тактически параметри, които проектният обект трябва да постигне.

Изходните данни на разглеждания обобщен модел формират метричното пространство на критериалните показатели RG.

Диаграмата за използване на математически модел в система за автоматизирано проектиране е показана на фиг. 2.

Изисквания към математическия модел

Основните изисквания към математическите модели са изискванията за адекватност, гъвкавост и ефективност.

Адекватност. Моделът се счита за адекватен, ако отразява посочените свойства с приемлива точност. Точността се определя като степен на съответствие между стойностите на изходните параметри на модела и обекта.

Точността на модела варира при различните условия на работа на обекта. Тези условия се характеризират с външни параметри. В пространството на външните параметри изберете областта на адекватност на модела, където грешката е по-малка от определената максимално допустима грешка. Определянето на диапазона на адекватност на моделите е сложна процедура, която изисква големи изчислителни разходи, които бързо нарастват с увеличаване на размерността на пространството на външните параметри. Този проблем по обхват може значително да надхвърли проблема с параметричната оптимизация на самия модел и следователно може да не бъде решен за новопроектирани обекти.

Универсалността се определя главно от броя и състава на външните и изходните параметри, взети предвид в модела.

Икономическата ефективност на модела се характеризира с разходите за изчислителни ресурси за неговата реализация - разходите за компютърно време и памет.

Противоречивите изисквания към модела да има широк диапазон на адекватност, висока степен на гъвкавост и висока ефективност обуславят използването на редица модели за обекти от един и същи тип.

Методи за получаване на модели

Получаването на модели в общия случай е неформализирана процедура. Основните решения относно избора на вида на математическите зависимости, характера на използваните променливи и параметри се вземат от проектанта. В същото време операции като изчисляване на числови стойности на параметрите на модела, определяне на области на адекватност и други се алгоритмизират и решават на компютър. Следователно моделирането на елементите на проектираната система обикновено се извършва от специалисти в специфични технически области, като се използват традиционни експериментални изследвания.

Методите за получаване на функционални модели на елементи са разделени на теоретични и експериментални.

Теоретичните методи се основават на изучаване на физическите закони на процесите, протичащи в даден обект, определяне на математическото описание, съответстващо на тези закони, обосноваване и приемане на опростени предположения, извършване на необходимите изчисления и привеждане на резултата в приетата форма на моделно представяне.

Експерименталните методи се основават на използването на външни прояви на свойствата на даден обект, регистрирани по време на експлоатацията на обекти от същия тип или по време на целеви експерименти.

Въпреки евристичния характер на много операции, моделирането има редица разпоредби и техники, които са общи за получаване на модели на различни обекти. Те имат доста общ характер

техника за макро моделиране,

математически методи за планиране на експерименти,

алгоритми за формализирани операции за изчисляване на числови стойности на параметри и определяне на области на адекватност.

Използване на математически модели

Изчислителната мощ на съвременните компютри, съчетана с предоставянето на всички системни ресурси на потребителя, възможността за интерактивен режим при решаване на проблем и анализ на резултатите, ни позволява да минимизираме времето, необходимо за решаване на проблем.

При съставянето на математически модел от изследователя се изисква:

изучаване на свойствата на обекта, който се изследва;

способността да се отделят основните свойства на обекта от второстепенните;

оценете направените предположения.

Моделът описва връзката между изходните данни и желаните количества. Последователността от действия, които трябва да се извършат, за да се премине от първоначалните данни към желаните стойности, се нарича алгоритъм.

Алгоритъмът за решаване на задачата на компютър е свързан с избора на числен метод. В зависимост от формата на представяне на математическия модел (алгебрична или диференциална форма) се използват различни числени методи.

Същността на икономико-математическото моделиране е да опише социално-икономическите системи и процеси под формата на икономико-математически модели.

Нека разгледаме въпросите за класификацията на икономическите и математическите методи. Тези методи, както беше отбелязано по-горе, представляват комплекс от икономически и математически дисциплини, които са сплав от икономика, математика и кибернетика.

Следователно класификацията на икономико-математическите методи се свежда до класификацията на съставящите ги научни дисциплини. Въпреки че все още не е разработена общоприета класификация на тези дисциплини, с известна степен на приближение могат да се разграничат следните раздели като част от икономическите и математическите методи:

• * икономическа кибернетика: системен анализ на икономиката, теория на икономическата информация и теория на системите за управление;
• * математическа статистика: икономически приложения на тази дисциплина - извадков метод, дисперсионен анализ, корелационен анализ, регресионен анализ, многовариантен статистически анализ, факторен анализ, теория на индексите и др.;
• * математическа икономика и иконометрия, която изучава едни и същи въпроси от количествена страна: теория на икономическия растеж, теория на производствените функции, вложени баланси, национални сметки, анализ на търсенето и потреблението, регионален и пространствен анализ, глобално моделиране и др.;
• * методи за вземане на оптимални решения, включително изследване на операциите в икономиката. Това е най-обемният раздел, включващ следните дисциплини и методи: оптимално (математическо) програмиране, включително разклонени и свързани методи, мрежови методи за планиране и контрол, програмно-насочени методи за планиране и контрол, теория и методи за управление на запасите, опашки теория, теория на игрите, теория и методи за вземане на решения, теория на планирането. Оптималното (математическо) програмиране от своя страна включва линейно програмиране, нелинейно програмиране, динамично програмиране, дискретно (целочислено) програмиране, дробно линейно програмиране, параметрично програмиране, разделимо програмиране, стохастично програмиране, геометрично програмиране;
• * методи и дисциплини, специфични поотделно както за централно планирана икономика, така и за пазарна (конкурентна) икономика. Първите включват теорията за оптималното функциониране на икономиката, оптималното планиране, теорията за оптималното ценообразуване, моделите на материално-техническото снабдяване и др. Вторите включват методи, които позволяват разработването на модели на свободна конкуренция, модели на капиталистическия цикъл, модели на монопола, модели на индикативно планиране, модели на теорията на фирмата и др.

Много от методите, разработени за централно планирана икономика, могат също да бъдат полезни при икономическо и математическо моделиране в пазарна икономика;

* методи за експериментално изследване на икономическите явления. Те обикновено включват математически методи за анализ и планиране на икономически експерименти, методи за машинна имитация (симулационно моделиране) и бизнес игри. Това включва и методи за експертни оценки, разработени за оценка на явления, които не могат да бъдат директно измерени.

Нека сега да преминем към въпросите на класификацията на икономическите и математическите модели, с други думи, математическите модели на социално-икономическите системи и процеси.

Понастоящем също няма унифицирана система за класификация на такива модели, но обикновено се идентифицират повече от десет основни характеристики на тяхната класификация или класификационни заглавия. Нека да разгледаме някои от тези заглавия.

Според общото предназначение икономико-математическите модели се делят на теоретико-аналитични, използвани при изследване на общи свойства и закономерности на икономическите процеси, и приложни, използвани при решаване на конкретни икономически проблеми на анализа, прогнозирането и управлението. В този учебник се разглеждат различни видове приложни икономически и математически модели.

Въз основа на степента на агрегиране на обектите на моделиране, моделите се разделят на макроикономически и микроикономически. Въпреки че няма ясно разграничение между тях, първите от тях включват модели, които отразяват функционирането на икономиката като цяло, докато микроикономическите модели се свързват като правило с такива части на икономиката като предприятия и фирми.

Според конкретната цел, т.е. според целта на създаване и използване, се разграничават балансови модели, които изразяват изискването за съответствие между наличието на ресурси и тяхното използване; трендови модели, при които развитието на моделираната икономическа система се отразява чрез тенденцията (дългосрочната тенденция) на нейните основни показатели; оптимизационни модели, предназначени да изберат най-добрия вариант от определен брой възможности за производство, дистрибуция или потребление; симулационни модели, предназначени за използване в процеса на машинна симулация на изследваните системи или процеси и др.

Въз основа на вида информация, използвана в модела, икономико-математическите модели се делят на аналитични, изградени върху априорна информация, и идентифицируеми, изградени върху апостериорна информация.

Въз основа на фактора време моделите се делят на статични, при които всички зависимости са свързани с един момент във времето, и динамични, описващи икономически системи в процес на развитие.

Като се вземе предвид факторът на несигурност, моделите попадат в детерминистични, ако техните изходни резултати са еднозначно определени от управляващи действия, и стохастични (вероятностни), ако при определяне на определен набор от стойности на входа на модела могат да бъдат различни резултати получен на изхода му в зависимост от действието на случаен фактор.

Икономико-математическите модели могат да бъдат класифицирани и според характеристиките на математическите обекти, включени в модела, с други думи, според вида на използвания в модела математически апарат. Въз основа на тази функция, матрични модели, линейни и нелинейни модели за програмиране, корелационно-регресионни модели,

Основни концепции на математическото моделиране на модели на теория на масовото обслужване, модели за мрежово планиране и управление, модели на теория на игрите и др.

И накрая, според вида на подхода към изследваните социално-икономически системи се разграничават описателни и нормативни модели. С дескриптивния подход се получават модели, които са предназначени да опишат и обяснят реално наблюдавани явления или да предскажат тези явления; Като пример за описателни модели можем да цитираме споменатите по-горе модели на баланс и тенденция. При нормативния подход не се интересува как е структурирана и се развива икономическата система, а как трябва да бъде структурирана и как трябва да функционира по смисъла на определени критерии. По-специално, всички оптимизационни модели са от нормативен тип; Друг пример са нормативните модели на жизнения стандарт.

Нека разгледаме като пример икономико-математическия модел на баланса вход-изход (EMM IOB). Като се имат предвид горните класификационни заглавия, това е приложен, макроикономически, аналитичен, описателен, детерминистичен, балансов, матричен модел; има както статични, така и динамични методи

Линейното програмиране е специален клон на оптималното програмиране. От своя страна оптималното (математическо) програмиране е клон на приложната математика, който изучава проблемите на условната оптимизация. В икономиката такива проблеми възникват при практическото прилагане на принципа на оптималност в планирането и управлението.

Необходимо условие за използване на оптимален подход към планирането и управлението (принципът на оптималност) е гъвкавостта и алтернативността на производствените и икономическите ситуации, при които трябва да се вземат планови и управленски решения. Точно такива ситуации, като правило, представляват ежедневната практика на икономическия субект (избор на производствена програма, привързване към доставчици, маршрутизиране, рязане на материали, подготовка на смеси и др.).

Същността на принципа на оптималност е желанието да се избере такова решение за планиране и управление X = (xi, X2 xn), където Xy, (y = 1. i) са неговите компоненти, които най-добре да отчитат вътрешните възможности и външни условия на производствената дейност на стопански субект .

Думите „най-добър“ тук означават избор на някакъв критерий за оптималност, т.е. някакъв икономически показател, който ви позволява да сравните ефективността на определени решения за планиране и управление. Традиционни критерии за оптималност: „максимална печалба“, „минимални разходи“, „максимална рентабилност“ и т.н. Думите „ще вземат предвид вътрешните възможности и външните условия на производствената дейност“ означават, че редица условия са наложени върху избора на планиране и управленско решение (поведение), т.е. изборът на X се извършва от определена област от възможни (допустими) решения D; тази област се нарича още зона за дефиниране на проблема. общ проблем за оптимално (математическо) програмиране, в противен случай - математически модел на проблем за оптимално програмиране, чиято конструкция (разработка) се основава на принципите на оптималност и последователност.

Вектор X (набор от управляващи променливи Xj, j = 1, n) се нарича допустимо решение или план на проблем с оптимално програмиране, ако той удовлетворява системата от ограничения. И този план X (допустимо решение), който осигурява максимума или минимума на целевата функция f(xi, *2, ..., xn), се нарича оптимален план (оптимално поведение или просто решение) на проблема с оптималното програмиране.

По този начин изборът на оптимално управленско поведение в конкретна производствена ситуация е свързан с извършване на икономико-математическо моделиране от гледна точка на последователност и оптималност и решаване на проблема за оптимално програмиране. Проблемите на оптималното програмиране в най-общ вид се класифицират по следните критерии.

• 1. По естеството на връзката между променливите -
• а) линеен,
• б) нелинейни.

В случай а) всички функционални връзки в системата от ограничения и целевата функция са линейни функции; наличието на нелинейност в поне един от споменатите елементи води до случай b).

• 2. По естеството на промяната в променливите --
• а) непрекъснато,
• б) дискретни.

В случай, че а) стойностите на всяка от контролните променливи могат напълно да запълнят определена област от реални числа; в случай б) всички или поне една променлива може да приема само цели числа.

• 3. Като се има предвид факторът време --
• а) статичен,
• б) динамичен.

При задачи а) моделирането и вземането на решения се извършват при предположението, че елементите на модела са независими от времето през периода от време, за който се взема решението за планиране и управление. В случай б) подобно предположение не може да се приеме с достатъчно аргументи и е необходимо да се вземе предвид факторът време.

• 4. Въз основа на наличността на информация за променливите --
• а) задачи при условия на пълна сигурност (детерминирани),
• б) задачи при условия на непълна информация,
• в) задачи в условия на несигурност.

В задачи б) отделните елементи са вероятностни величини, но техните закони на разпределение са известни или могат да бъдат установени чрез допълнителни статистически изследвания. В случай c) е възможно да се направи предположение за възможните резултати от случайни елементи, но няма начин да се направи заключение за вероятностите на резултатите.

• 5. Според броя на критериите за оценка на алтернативите --
• а) прости, еднокритериални задачи,
• б) сложни, многокритериални задачи.

При проблеми а) е икономически приемливо да се използва един критерий за оптималност или може да се постигне с помощта на специални процедури (например „претегляне на приоритетите“)

ЛЕКЦИЯ 4

Определение и цел на математическото моделиране

Под модел(от лат. modulus - мярка, образец, норма) ще разбираме такъв материално или мислено представен обект, който в процеса на познание (изучаване) замества първоначалния обект, запазвайки някои от неговите типични черти, които са важни за това изследване. Процесът на изграждане и използване на модел се нарича моделиране.

Същността математическо моделиране (ММ) се състои в замяна на обекта (процеса), който се изследва, с адекватен математически модел и последващо изследване на свойствата на този модел, като се използват или аналитични методи, или изчислителни експерименти.

Понякога е по-полезно, вместо да се дават строги дефиниции, да се опише определена концепция с конкретен пример. Ето защо, ние илюстрираме горните дефиниции на MM, използвайки примера на проблема за изчисляване на специфичния импулс. В началото на 60-те години учените са изправени пред задачата да разработят ракетно гориво с най-висок специфичен импулс. Принципът на задвижване на ракетата е следният: течното гориво и окислителят от резервоарите на ракетата се подават към двигателя, където се изгарят, а продуктите от горенето се отделят в атмосферата. От закона за запазване на импулса следва, че в този случай ракетата ще се движи със скорост.

Специфичният импулс на горивото е полученият импулс, разделен на масата на горивото. Провеждането на експерименти беше много скъпо и доведе до системни повреди на оборудването. Оказа се, че е по-лесно и по-евтино да се изчислят термодинамичните функции на идеалните газове, като се използват за изчисляване на състава на изтичащите газове и температурата на плазмата, а след това и специфичния импулс. Тоест, за извършване на ММ на процеса на изгаряне на горивото.

Концепцията за математическо моделиране (ММ) е една от най-често срещаните в научната литература днес. По-голямата част от съвременните дипломни и дисертационни работи са свързани с разработването и използването на подходящи математически модели. Компютърната ММ днес е неразделна част от много области на човешката дейност (наука, технологии, икономика, социология и др.). Това е една от причините за днешния дефицит на специалисти в областта на информационните технологии.

Бързият растеж на математическото моделиране се дължи на бързото усъвършенстване на компютърните технологии. Ако преди 20 години само малък брой програмисти са участвали в числени изчисления, сега капацитетът на паметта и скоростта на съвременните компютри правят възможно решаването на проблеми с математическото моделиране, достъпни за всички специалисти, включително студенти.

Във всяка дисциплина първо се дава качествено описание на явленията. И след това - количествени, формулирани под формата на закони, установяващи връзки между различни величини (напрегнатост на полето, интензитет на разсейване, заряд на електрона, ...) под формата на математически уравнения. Следователно можем да кажем, че във всяка дисциплина има толкова наука, колкото и математика в нея, и този факт позволява много проблеми да бъдат успешно решени с помощта на методи за математическо моделиране.

Този курс е предназначен за студенти по приложна математика, които завършват дипломната си работа под ръководството на водещи учени, работещи в различни области. Следователно този курс е необходим не само като учебен материал, но и като подготовка за дипломна работа. За да изучаваме този курс, ще ни трябват следните раздели по математика:

1. Уравнения на математическата физика (механика на надвишение, газ и хидродинамика)

2. Линейна алгебра (теория на еластичността)

3. Скаларни и векторни полета (теория на полето)

4. Теория на вероятностите (квантова механика, статистическа физика, физическа кинетика)

5. Специални функции.

6. Тензорен анализ (теория на еластичността)

7. Математически анализ

ММ по природни науки, технологии и икономика

Нека първо разгледаме различни раздели на природните науки, технологиите и икономиката, в които се използват математически модели.

Естествени науки

Физиката, която установява основните закони на естествените науки, отдавна е разделена на теоретична и експериментална. Теоретичната физика се занимава с извеждането на уравнения, които описват физически явления. По този начин теоретичната физика може да се счита и за една от областите на математическото моделиране. (Не забравяйте, че заглавието на първата книга по физика - "Математически принципи на естествената философия" от И. Нютон може да се преведе на съвременен език като "Математически модели на естествената наука".) Въз основа на получените закони се извършват инженерни изчисления , които се извършват в различни институти, фирми, конструкторски бюра. Тези организации разработват технологии за производство на съвременни продукти, които са интензивни на знания.По този начин концепцията за наукоемки технологии включва изчисления с помощта на подходящи математически модели.

Един от най-обширните клонове на физиката е класическа механика(понякога този раздел се нарича теоретична или аналитична механика). Този раздел от теоретичната физика изучава движението и взаимодействието на телата. Изчисленията с помощта на формули на теоретичната механика са необходими при изучаване на въртенето на тела (изчисляване на инерционни моменти, гиростати - устройства, които поддържат оста на въртене неподвижна), анализиране на движението на тяло в безвъздушно пространство и др. Един от разделите на теоретичната механика се нарича теория на стабилността и е в основата на много математически модели, описващи движението на самолети, кораби и ракети. Раздели на практическата механика - курсове „Теория на машините и механизмите“, „Машинни части“ се изучават от студенти от почти всички технически университети (включително Московския държавен университет).

Теория на еластичността– част от раздел механика на континуума, което предполага, че материалът на еластичното тяло е хомогенен и непрекъснато разпределен в целия обем на тялото, така че най-малкият елемент, изрязан от тялото, има същите физически свойства като цялото тяло. Приложение на теорията на еластичността - курсът „съпротивление на материалите“ се изучава от студенти от всички технически университети (включително Московския държавен университет). Този раздел е необходим за всички изчисления на якост. Това включва изчисляване на якостта на корпусите на кораби, самолети, ракети, изчисляване на якостта на стоманени и стоманобетонни конструкции на сгради и много други.

Газ и хидродинамика, подобно на теорията на еластичността, е част от раздела механика на континуума, разглежда законите на движение на течности и газове. Уравненията на газа и хидродинамиката са необходими при анализиране на движението на тела в течна и газообразна среда (сателити, подводници, ракети, снаряди, автомобили), при изчисляване на изтичането на газ от дюзите на ракетни и самолетни двигатели. Практическо приложение на хидродинамиката - хидравлика (спирачка, волан,...)

Предишните раздели на механиката разглеждаха движението на телата в макрокосмоса, а физическите закони на макрокосмоса не са приложими в микрокосмоса, в който се движат частици материя - протони, неутрони, електрони. Тук се прилагат съвсем различни принципи и е необходимо да се опише микросветът квантова механика. Основното уравнение, описващо поведението на микрочастиците, е уравнението на Шрьодингер: . Тук е хамилтоновият оператор (хамилтониан). За едномерно уравнение на движение на частица https://pandia.ru/text/78/009/images/image005_136.gif" width="35" height="21 src=">-потенциална енергия. Решението на това уравнението е набор от енергийни собствени стойности и собствени функции..gif" width="55" height="24 src=">– плътност на вероятността. Квантово-механичните изчисления са необходими за разработването на нови материали (микросхеми), създаването на лазери, разработването на методи за спектрален анализ и др.

Решете голям брой проблеми кинетика, описващ движението и взаимодействието на частиците. Тук имаме дифузия, пренос на топлина и теорията за плазмата - четвъртото състояние на материята.

Статистическа физикаразглежда ансамбли от частици, ни позволява да кажем за параметрите на ансамбъла въз основа на свойствата на отделните частици. Ако ансамбълът се състои от газови молекули, тогава свойствата на ансамбъла, получени чрез методите на статистическата физика, са уравненията на газовото състояние, добре познати от гимназията: https://pandia.ru/text/78/009/images/ image009_85.gif" width="16" height="17 src=">.gif" width="16" height="17"> е молекулното тегло на газа. K – константа на Ридберг. Свойствата на разтворите, кристалите и електроните в металите също се изчисляват с помощта на статистически методи. ММ на статистическата физика е теоретичната основа на термодинамиката, която е в основата на изчисляването на двигатели, отоплителни мрежи и станции.

Теория на полетоописва с помощта на методите на ММ една от основните форми на материята – полето. В този случай основният интерес са електромагнитните полета. Уравненията на електромагнитното поле (електродинамика) са изведени от Максуел: , , . Тук и https://pandia.ru/text/78/009/images/image018_44.gif" width="16" height="17"> - плътност на заряда, - плътност на тока. Уравненията на електродинамиката са в основата на изчисленията на разпространението на електромагнитни вълни, необходими за описание на разпространението на радиовълни (радио, телевизия, клетъчни комуникации) и за обяснение на работата на радарните станции.

Химията може да бъде представена в два аспекта, подчертавайки описателната химия - откриването на химични фактори и тяхното описание - и теоретичната химия - развитието на теории, които позволяват да се обобщят установени фактори и да се представят под формата на специфична система (L. Pauling ). Теоретичната химия се нарича още физическа химия и по същество е клон на физиката, който изучава веществата и техните взаимодействия. Следователно всичко, което е казано по отношение на физиката, напълно важи и за химията. Клоновете на физическата химия ще бъдат термохимията, която изучава топлинните ефекти на реакциите, химичната кинетика (скоростите на реакцията), квантовата химия (структурата на молекулите). В същото време проблемите по химия могат да бъдат изключително сложни. Например, за решаване на проблемите на квантовата химия - науката за структурата на атомите и молекулите - се използват програми, които са сравними по обхват с програмите за противовъздушна отбрана на страната. Например, за да опишете молекулата UCl4, състояща се от 5 атомни ядра и +17 * 4) електрони, трябва да напишете уравнението на движението - частични диференциални уравнения.

Биология

Математиката наистина дойде в биологията едва през втората половина на 20 век. Първите опити за математическо описание на биологични процеси, свързани с модели на динамика на популацията. Популацията е общност от индивиди от един и същи вид, заемащи определена област от пространството на Земята. Тази област на математическата биология, която изучава промените в размера на популацията при различни условия (наличие на конкуриращи се видове, хищници, болести и т.н.), впоследствие служи като математическа тестова площадка, на която са „тествани“ математически модели в различни области на биологията. ” Включително модели на еволюция, микробиология, имунология и други области, свързани с клетъчните популации.
Първият известен модел, формулиран в биологична формулировка, е известният ред на Фибоначи (всяко следващо число е сбор от предходните две), което Леонардо от Пиза цитира в своята работа през 13 век. Това е поредица от числа, която описва броя на двойките зайци, които се раждат всеки месец, ако зайците започнат да се размножават от втория месец и произвеждат двойка зайци всеки месец. Редът представлява поредица от числа: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

1,

2 ,

3,

5,

8, 13, …

Друг пример е изследването на процесите на йонен трансмембранен транспорт върху изкуствена двуслойна мембрана. Тук, за да се изследват законите на образуване на порите, през които йонът преминава през мембраната в клетката, е необходимо да се създаде моделна система, която може да бъде изследвана експериментално и за която физическото описание, добре разработено от науката, може използван.

Класически пример за ММ също е популацията на Drosophila. Още по-удобен модел са вирусите, които могат да се размножават in vitro. Методите за моделиране в биологията са методи на теорията на динамичните системи, а средствата са диференциални и диференциални уравнения, методи на качествена теория на диференциалните уравнения и симулационно моделиране.
Цели на моделирането в биологията:
3. Изясняване на механизмите на взаимодействие между елементите на системата
4. Идентифициране и проверка на параметрите на модела с помощта на експериментални данни.
5. Оценка на устойчивостта на системата (модела).

6. Прогнозиране на поведението на системата при различни външни въздействия, различни методи за управление и др.
7. Оптимално управление на системата в съответствие с избрания критерий за оптималност.

Техника

В усъвършенстването на технологиите участват голям брой специалисти, които в работата си разчитат на резултатите от научните изследвания. Следователно ММ в технологиите е същото като ММ в естествените науки, което беше обсъдено по-горе.

Икономика и социални процеси

Общоприето е, че математическото моделиране като метод за анализ на макроикономически процеси е използвано за първи път от лекаря на крал Луи XV, д-р. Франсоа Кене, който през 1758 г. публикува труда „Икономическа таблица“. Тази работа прави първия опит да се опише количествено националната икономика. И през 1838 г. в кн О. КурноКоличествените методи на "Изследване на математическите принципи на теорията на богатството" бяха използвани за първи път за анализ на конкуренцията на продуктовия пазар при различни пазарни ситуации.

Теорията на Малтус за популацията също е широко известна, в която той предлага идеята: растежът на населението не винаги е желателен и този растеж върви по-бързо от нарастващата способност за осигуряване на населението с храна. Математическият модел на такъв процес е доста прост: нека нарастването на населението за времето https://pandia.ru/text/78/009/images/image027_26.gif" width="15" height="24"> бъде равна на .и - коефициенти, отчитащи раждаемостта и смъртността (човека/година).Тогава

https://pandia.ru/text/78/009/images/image032_23.gif" width="151" height="41 src=">Инструментални и математически методи " href="/text/category/instrumentalmznie_i_matematicheskie_metodi/" rel ="bookmark">математически методи за анализ (например през последните десетилетия в хуманитарните науки се появиха математически теории за културното развитие, математически модели на мобилизация, циклично развитие на социокултурните процеси, модел на взаимодействие между хората и правителство, модел на надпреварата във въоръжаването и др. са конструирани и изследвани).

В най-общ план процесът на ММ на социално-икономическите процеси може да бъде разделен на четири етапа:

формулиране на система от хипотези и разработване на концептуален модел; разработване на математически модел; анализ на резултатите от моделните изчисления, което включва съпоставянето им с практиката; формулиране на нови хипотези и усъвършенстване на модела в случай на несъответствие между резултатите от изчисленията и практическите данни.

Обърнете внимание, че като правило процесът на математическо моделиране е цикличен по природа, тъй като дори при изучаване на сравнително прости процеси рядко е възможно да се изгради адекватен математически модел и да се изберат неговите точни параметри от първата стъпка.

В момента икономиката се разглежда като сложна развиваща се система, за чието количествено описание се използват динамични математически модели с различна степен на сложност. Една от областите на изследване на макроикономическата динамика е свързана с изграждането и анализа на сравнително прости нелинейни симулационни модели, които отразяват взаимодействието на различни подсистеми - пазара на труда, пазара на стоки, финансовата система, природната среда и др.

Теорията за катастрофите се развива успешно. Тази теория разглежда въпроса за условията, при които промяна в параметрите на нелинейна система кара точка във фазовото пространство, характеризираща състоянието на системата, да се премести от областта на привличане към първоначалното равновесно положение към областта на привличане до друго равновесно положение. Последното е много важно не само за анализа на техническите системи, но и за разбирането на устойчивостта на социално-икономическите процеси. В тази връзка констатациите представляват интерес за значението на изучаването на нелинейни модели за управление. В книгата „Теорията на катастрофите“, публикувана през 1990 г., той пише по-специално: „... сегашната перестройка до голяма степен се обяснява с факта, че поне някои механизми за обратна връзка са започнали да работят (страх от лично унищожение). ”

(параметри на модела)

При изграждането на модели на реални обекти и явления често се налага да се справяте с липса на информация. За изследвания обект разпределението на свойствата, параметрите на въздействие и първоначалното състояние са известни с различна степен на несигурност. При изграждането на модел са възможни следните опции за описание на несигурни параметри:

Класификация на математическите модели

(методи за изпълнение)

Методите за прилагане на ММ могат да бъдат класифицирани според таблицата по-долу.

Методи за прилагане на ММ Много често аналитичното решение за даден модел се представя под формата на функции. За да се получат стойностите на тези функции за конкретни стойности на входните параметри, се използва тяхното разширяване в серии (например Тейлър) и стойността на функцията за всяка стойност на аргумента се определя приблизително. Моделите, които използват тази техника, се наричат близо. При числен подходнаборът от математически отношения на модела се заменя с крайномерен аналог. Това най-често се постига чрез дискретизиране на първоначалните отношения, т.е. чрез преминаване от функции на непрекъснат аргумент към функции на дискретен аргумент (мрежови методи). Решението, намерено след компютърни изчисления, се приема като приблизително решение на първоначалния проблем. Повечето съществуващи системи са много сложни и за тях е невъзможно да се създаде реален модел, описан аналитично. Такива системи трябва да се изучават с помощта на симулационно моделиране. Един от основните методи за симулационно моделиране е свързан с използването на сензор за случайни числа. Тъй като огромен брой проблеми се решават с помощта на MM методи, методите за прилагане на MM се изучават в повече от един курс. Това включва частични диференциални уравнения, числени методи за решаване на тези уравнения, изчислителна математика, компютърно моделиране и др. Полинг, Линус Карл (Полинг, Линус Карл), американски химик и физик, удостоен с Нобелова награда за химия за 1954 г. за изследванията си върху природата на химичните връзки и определянето на структурата на протеините. Роден на 28 февруари 1901 г. в Портланд (Орегон). Той разработи квантово-механичен метод за изследване на структурата на молекулите (заедно с американския физик J. Slayer) - метода на валентните връзки, както и теорията на резонанса, която позволява да се обясни структурата на въглеродсъдържащите съединения. , предимно ароматни съединения. По време на култа към личността на СССР учените, занимаващи се с квантова химия, са били преследвани и обвинявани в „паулингизъм“. МАЛТУС, ТОМАС РОБЪРТ (Malthus, Thomas Robert) (), английски икономист. Роден в Рукъри близо до Доркинг в Съри на 15 или 17 февруари 1766 г. През 1798 г. той публикува работата си анонимно Опит в областта на закона за населението.През 1819 г. Малтус е избран за член на Кралското общество.

Модел (от лат. modulus - мярка) и моделиране са общонаучни понятия. Моделирането от общонаучна гледна точка действа като начин на познание чрез изграждането на специални обекти, системи - модели на изследваните обекти, явления или процеси. В този случай един или друг обект се нарича модел, когато се използва за получаване на информация относно друг обект - прототип на модела.

Методът на моделиране се използва в практически всички науки без изключение и на всички етапи на научните изследвания. Евристичната сила на този метод се определя от факта, че с помощта на метода на моделиране е възможно да се сведе изследването на сложното до простото, невидимото и неосезаемото, видимото и осезаемото и т.н.

Когато изучаваме обект (процес или явление) с помощта на метода на моделиране, можем да изберем като модел онези свойства, които в момента ни интересуват. Научното изследване на всеки обект винаги е относително. В конкретно изследване е невъзможно да се разгледа обект в цялото му многообразие. Следователно, един и същ обект може да има много различни модели и нито един от тях не може да се каже, че е единственият истински модел на този обект.

Прието е да се разграничават четири основни Имотимодели:

· опростяване в сравнение с изучавания обект;

· способност за отразяване или възпроизвеждане на обекта на изследване;

· способност за подмяна на обекта на изследване на определени етапи от неговото познание;

· способност за получаване на нова информация за обекта, който се изучава.

Изследването на различни явления или процеси чрез математически методи се извършва с помощта на математически модел. Математически моделе формализирано описание на езика на математиката на изследвания обект. Такова формализирано описание може да бъде система от линейни, нелинейни или диференциални уравнения, система от неравенства, определен интеграл, полином с неизвестни коефициенти и др. Математическият модел трябва да обхваща най-важните характеристики на изследвания обект и да отразява връзки между тях.

Преди да се създаде математически модел на обект (процес или явление), той се изучава дълго време с помощта на различни методи: наблюдение, специално организирани експерименти, теоретичен анализ и т.н., т.е. качествената страна на явлението се изучава доста добре. , разкриват се връзките, в които се намират елементите на обекта. След това обектът се опростява и от многообразието на присъщите му свойства се отделят най-съществените. Ако е необходимо, се правят предположения за съществуващи връзки с външния свят.

Както беше посочено по-рано, нито един модел не е идентичен на самото явление; той само предоставя известно приближение към реалността. Но моделът изброява всички предположения, които са в основата му. Тези предположения може да са груби и въпреки това да предоставят напълно задоволително приближение към реалността. За едно и също явление могат да бъдат изградени няколко модела, включително математически. Например, можете да опишете движението на планетите от Слънчевата система, като използвате:

8 модел на Кеплер, който се състои от три закона, включително математически формули (уравнение на елипса);

8 от модела на Нютон, който се състои от една формула, но въпреки това е по-общ и точен.

В оптиката се разглеждат няколко модела на светлината: корпускулярна, вълнова и електромагнитна. За тях бяха изведени множество количествени закономерности. Всеки от тези модели изискваше собствен математически подход и подходящи математически инструменти. Корпускулярната оптика използва средствата на евклидовата геометрия и стигна до заключението за законите за отражение и пречупване на светлината. Вълновият модел на теорията на светлината изисква нови математически идеи и чисто изчислително бяха открити нови факти, свързани с явленията дифракция и интерференция на светлината, които не бяха наблюдавани преди това. Тук геометричната оптика, свързана с корпускулярния модел, се оказва безсилна.

Конструираният модел трябва да бъде такъв, че да може да замени обект (процес или явление) в изследването и да има сходни с него характеристики. Сходството се постига или чрез сходство в структурата (изоморфизъм), или чрез аналогия в поведението или функционирането (изофункционалност). Въз основа на сходството на структурата или функцията на модела и оригинала, съвременната технология тества, изчислява и проектира сложни системи, машини и конструкции.

Както бе споменато по-горе, много различни модели могат да бъдат изградени за един и същ обект, процес или явление. Някои от тях (не непременно всички) могат да бъдат изоморфни. Например в аналитичната геометрия крива в равнина се използва като модел за съответното уравнение в две променливи. В този случай моделът (кривата) и прототипът (уравнението) са изоморфни на системи (точки, лежащи върху кривата и съответните двойки числа, удовлетворяващи уравнението),

В книгата „Математиката провежда експеримент“ академик Н. Н. Моисеев пише, че всеки математически модел може да възникне по три начина:

· В резултат на директно изследване и разбиране на обект (процес или явление) (феноменологичен) (пример - уравнения, описващи динамиката на атмосферата, океана),

· В резултат на някакъв процес на дедукция, когато се получава нов модел като частен случай на по-общ модел (асимптоматичен) (пример - уравнения на хидротермодинамиката на атмосферата),

· В резултат на някакъв процес на индукция, когато новият модел е естествено обобщение на „елементарни“ модели (модел на ансамбъла или обобщен модел).

Процесът на разработване на математически модели се състои в следното етапи:

· формулиране на проблема;

· определяне целта на моделирането;

· организиране и провеждане на изследване на предметната област (изследване на свойствата на моделиращ обект);

· разработване на модел;

· проверка на неговата точност и съответствие с реалността;

· практическа употреба, т.е. трансфер на знания, получени с помощта на модела, към обекта или процеса, който се изучава.

Моделирането като начин за разбиране на законите и природните явления придобива особено значение при изучаването на обекти, които не са напълно достъпни за пряко наблюдение или експериментиране. Те също така включват социални системи, единственият възможен начин за изучаване на които често е моделирането.

Няма общи методи за конструиране на математически модели. Във всеки конкретен случай е необходимо да се изхожда от наличните данни, целевата ориентация, да се вземат предвид целите на изследването, както и да се балансира точността и детайлността на модела. Той трябва да отразява най-важните характеристики на явлението, съществени фактори, от които основно зависи успехът на моделирането.

При разработването на модели е необходимо да се спазват следните основни методологични принципи за моделиране на социални явления:

· принципът на проблемността, който предполага движение не от готови „универсални“ математически модели към проблеми, а от реални, действителни проблеми - към търсене и разработване на специални модели;

· принципът на систематичност, който разглежда всички връзки на моделираното явление по отношение на елементите на системата и нейната среда;

· принципът на вариативност при формализацията на процесите на управление, свързан със специфични различия в законите на развитие на природата и обществото. За да го обясним, е необходимо да разкрием фундаменталната разлика между моделите на социалните процеси и моделите, описващи природните явления.

Лекция №1

Въведение. Понятие за математически модели и методи

Раздел 1. Въведение

2. Методи за конструиране на математически модели. Концепцията за системен подход. 1

3. Основни понятия на математическото моделиране на икономическите системи. 4

4. Методи за аналитично, симулационно и пълномащабно моделиране. 5

Тестови въпроси.. 6

1. Съдържание, цели и задачи на дисциплината "Методи на моделиране"

Тази дисциплина е посветена на изучаването на методите за моделиране и практическото приложение на придобитите знания. Целта на дисциплината е да обучи студентите по общи въпроси на теорията на моделирането, методите за конструиране на математически модели и формални описания на процеси и обекти, използването на математически модели за провеждане на изчислителни експерименти и решаване на оптимизационни задачи с помощта на съвременни изчислителни средства.

Целите на дисциплината включват:

Да запознае студентите с основните концепции на теорията на математическото моделиране, теорията на системите, теорията на подобието, теорията на експерименталното планиране и обработката на експериментални данни, използвани за конструиране на математически модели,

Да даде на студентите умения в областта на поставяне на задачи за моделиране, математически описания на обекти/процеси/, числени методи за реализиране на математически модели на компютър и решаване на оптимизационни задачи.

В резултат на изучаването на дисциплината студентът трябва да овладее методите за математическо моделиране на процеси и обекти от формулиране на задача до внедряване на математически модели на компютър и представяне на резултатите от моделни изследвания.

Дисциплината се състои от 12 лекции и 12 практически упражнения. В резултат на изучаването на дисциплината студентът трябва да овладее методите на математическото моделиране от формулирането на задача до внедряването на математически модели на компютър

2. Методи за конструиране на математически модели. Концепцията за системен подход

5. Разрешаване на проблема.

Последователното използване на методите за изследване на операциите и тяхното прилагане в съвременните информационни и изчислителни технологии позволява да се преодолее субективността и да се елиминират така наречените волеви решения, основани не на стриктно и точно отчитане на обективни обстоятелства, а на случайни емоции и личен интерес на мениджърите в различни нива, които освен това не могат да координират тези волеви решения.

Системният анализ позволява да се вземе предвид и да се използва в управлението цялата налична информация за управлявания обект, да се координират решенията, взети от гледна точка на обективен, а не субективен критерий за ефективност. Спестяването на изчисления при управление е същото като спестяването на прицелване при стрелба. Компютърът обаче не само дава възможност да се вземе предвид цялата информация, но също така освобождава мениджъра от ненужна информация и заобикаля цялата необходима информация, заобикаляйки човека, представяйки му само най-обобщената информация, квинтесенцията. Системният подход в икономиката е ефективен сам по себе си, без използването на компютър, като изследователски метод и не променя вече откритите икономически закони, а само учи как най-добре да ги използваме.

4. Методи за аналитично, симулационно и пълномащабно моделиране

Моделирането е мощен метод на научно познание, при който изследваният обект се заменя с по-прост обект, наречен модел. Основните видове на процеса на моделиране могат да се считат за два вида - математическо и физическо моделиране. При физическо (пълномащабно) моделиране изследваната система се заменя с друга материална система, съответстваща на нея, която възпроизвежда свойствата на изследваната система, като запазва тяхната физическа природа. Пример за този тип моделиране е пилотна мрежа, с помощта на която се изследва принципната възможност за изграждане на мрежа, базирана на определени компютри, комуникационни устройства, операционни системи и приложения.

Възможностите за физическо моделиране са доста ограничени. Тя ви позволява да решавате отделни проблеми, когато задавате малък брой комбинации от изследваните системни параметри. Наистина, при пълномащабно моделиране на компютърна мрежа е почти невъзможно да се провери нейната работа за опции с помощта на различни видове комуникационни устройства - рутери, комутатори и др. Тестването на практика на около дузина различни видове рутери е свързано не само с големи разходи за усилия и време, но и със значителни материални разходи.

Но дори и в случаите, когато по време на оптимизацията на мрежата не се променят типовете устройства и операционни системи, а само техните параметри, провеждането на експерименти в реално време за огромен брой различни комбинации от тези параметри е практически невъзможно в обозримо време. време. Дори простата промяна на максималния размер на пакета във всеки протокол изисква преконфигуриране на операционната система на стотици компютри в мрежата, което изисква много работа от страна на мрежовия администратор.

Ето защо, когато се оптимизират мрежите, в много случаи е за предпочитане да се използва математическо моделиране. Математическият модел е набор от зависимости (формули, уравнения, неравенства, логически условия), които определят процеса на промяна на състоянието на системата в зависимост от нейните параметри, входни сигнали, начални условия и време.

Специален клас математически модели са симулационните модели. Такива модели са компютърни програми, които стъпка по стъпка възпроизвеждат събития, случващи се в реална система. Във връзка с компютърните мрежи, техните симулационни модели възпроизвеждат процесите на генериране на съобщения от приложения, разбиване на съобщения в пакети и рамки на определени протоколи, закъснения, свързани с обработката на съобщения, пакети и рамки в рамките на операционната система, процеса на компютърен достъп до споделена мрежова среда, процес на обработка на входящи пакети от рутер и т.н. При симулиране на мрежа не е необходимо да се закупува скъпо оборудване - нейната работа се симулира от програми, които доста точно възпроизвеждат всички основни характеристики и параметри на такова оборудване.

Предимството на симулационните модели е възможността да се замени процесът на промяна на събитията в изследваната система в реално време с ускорен процес на промяна на събитията с темпото на програмата. В резултат на това за няколко минути е възможно да се възпроизведе работата на мрежата за няколко дни, което дава възможност да се оцени работата на мрежата в широк диапазон от различни параметри.

Резултатът от симулационния модел са статистически данни, събрани по време на наблюдение на текущи събития за най-важните характеристики на мрежата: времена за реакция, нива на използване на канали и възли, вероятност за загуба на пакети и др.

Има специални симулационни езици, които правят процеса на създаване на програмен модел по-лесен от използването на езици за програмиране с общо предназначение. Примерите за симулационни езици включват езици като SIMULA, GPSS, SIMDIS.

Има и системи за симулационно моделиране, които се фокусират върху тесен клас системи, които се изучават и ви позволяват да изграждате модели без програмиране.

Контролни въпроси

Формулирайте дефиниция на процеса на моделиране. Какво е модел? Симулационни свойства. Формулирайте основните етапи на изграждане на модел, използвайки класическия метод. Формулирайте основните етапи на изграждане на модел с помощта на системен подход. Назовете функциите на моделите. Какви са етапите в процеса на решаване на икономически проблеми? Основни видове процес на моделиране.